第二章 有理数及其运算能力提升自测卷 2026--2027学年人教版七年级数学上册

**基本信息** 聚焦有理数运算，融合文化传承（如元代《算术启蒙》记载）与科技情境（如灯语二进制通信），适配初中数学第二章单元复习，提升运算能力、抽象能力与模型意识。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |单选|10/30|有理数计算、科学记数法、符号法则|第3题引用古代数学文献，第9题结合七进制结绳计数| |填空|4/12|绝对值、二进制换算、幻方|第12题二进制与十进制换算，体现数学抽象| |解答|7/58|实际应用、阅读材料、数形结合|第16题高速公路检修情境（模型意识），第21题数轴距离探究（几何直观）|

第二章 有理数的运算能力提升自测卷 （考试时间：90分钟 试卷满分：100分） 1、 单项选择题（本题共10小题，每小题3分，共30分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。） 1．计算：（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】解：． 2．据国家教育部预计，2026年我国高考报名人数达10290000人，把10290000这个数用科学记数法表示为（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】解：． 3．我国元代《算术启蒙》中记载：“同名相乘为正，异名相乘为负”，则下列运算的结果为负数的是（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据题意给出的“同名相乘为正，异名相乘为负”，结合乘任何数都得的性质，判断各选项结果的符号，即可得出答案． 【详解】解：选项A：，不是负数，不符合要求； 选项B：，两数同号，同名相乘得正，结果为正数，不符合要求； 选项C：，两数同号，同名相乘得正，结果为正数，不符合要求； 选项D：，两数异号，异名相乘得负，结果为负数，符合要求． 4．小明做了以下四道题，其中正确的是（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】解：A选项：，该项错误． B选项：，该项错误． C选项：，该项正确． D选项：，计算错误． 5．水的化学式是，其中氢元素的化合价是，氧元素的化合价是．计算的结果是（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】解：． 6．规定是一种特殊运算符号，且，，…，则的值为（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据新定义计算即可求解． 【详解】解：． 7．对于有理数，下列说法正确的有（     ） ①若，则与互为相反数； ②若，则一定异号； ③若且两数同号，则； ④若，两数异号，则； ⑤若，则． A．3 个 B．2 个 C．1 个 D．0 个 【答案】A 【分析】通过定义判断、举反例、分类讨论验证每个说法的正误即可． 【详解】解：①若，则与互为相反数，故①正确； ②若，举反例：取，，满足，但、同为负，是同号，故②错误； ③若且两数同号，根据同号两数相加的法则：同号相加取相同符号，若两数同为负，和一定为负，无法满足和大于0，因此两数只能同为正，即，故③正确； ④若且两数异号，举反例：取，，满足且两数异号，，不符合结论，故④错误； ⑤若，因为， 因此可得， 分类讨论：若，则，可得； 若，则，整理得， 因此无论取何值，都有，故⑤正确． 综上，正确的说法共3个． 8．一条数轴上有点、、，其中点、表示的数分别是，，现以点为折点，将数轴向右对折，若点落在射线上，并且，则点表示的数是（    ） A． B． C．或 D．或 【答案】D 【分析】分两种情况：点在线段上和点在的延长线上，根据和点B表示的数求出点表示的数，再根据折叠可得点C为的中点，据此讨论求解即可． 【详解】解：当点在线段上时，∵，且点B表示的数为10， ∴点表示的数为， ∵点A表示的数为， ∴点C表示的数为； 当点在的延长线上时，∵，且点B表示的数为10， ∴点表示的数为， ∵点A表示的数为， ∴点C表示的数为； 综上所述，点C表示的数为或． 9．我们常用的十进制数，如，我国古代易经一书记载，远古时期，人们通过在绳子上打结来记录数量，如图，一位母亲在如下排列的绳子上打结，并采用七进制（如），用来记录孩子自出生后的天数，由图可知，孩子自出生后的天数是（   ）天． A． B． C． D． 【答案】C 【分析】先数出每根绳子上的结数，然后将从左向右的每一位数字分别乘，，，，再将计算结果相加． 【详解】解：据图可知，从左向右，四根绳子的结数分别是、、、， 则孩子出生的天数为． 10．正所谓：“人有人言，灯有灯语”．灯语灯光通信是船只之间通信的一种通用化语言，在国际上的使用十分广泛．利用灯光，以二进制的原理传递信息，可以帮助船员在较远的目视距离相互沟通．例如：“”表示亮红灯，“”表示亮绿灯．两只远洋航行的船只用亮红灯和亮绿灯来进行交流，并在启航前作如图所示的约定： 根据约定的规则，下列说法正确的有（   ） ①“”表示字母； ②若要表示个英文字母，需要盏灯； ③先后发出“”、“”、“”、“”表示“”的缩写“”． A．个 B．个 C．个 D．个 【答案】B 【分析】由题意可得，表示二进制中的，表示二进制中的，转化为二进制，然后根据二进制转化为十进制，进行解题即可． 【详解】解：由题意可得，表示二进制中的，表示二进制中的， ∴表示二进制的数为， ∴表示十进制的数为，在字母表中第个字母为， ∴表示字母；故①正确； ∵， ， ， ， ， ∴用二进制表示为， ∴要表示个英文字母需要盏灯，故②错误； 由题意可得，表示二进制为，转化为十进制为；在字母表中第个字母为， ∴表示字母；由题意可得， 表示字母；表示字母； 表示二进制为，转化为十进制为；在字母表中第个字母为， ∴表示字母； ∴③错误； 2、 填空题（本题共4小题，每小题3分，共12分．） 11．若，且，那么的值是________． 【答案】或 【分析】根据绝对值的定义确定x和y的所有可能取值，再结合的条件筛选出符合的取值，最后计算的值即可. 【详解】解：∵， ∴． ∵， ∴或． 当时， ； 当时， ． 故答案为或． 12．日常生活中我们常使用的数是十进制数，而计算机程序使用的数是二进制数（只有数码0和1），它们两者之间可以互相换算，如将二进制数记为，换算成十进制数应为：，按此方式，将二进制换算成十进制数为______． 【答案】 【分析】根据二进制转化为十进制数的计算方法列出算式计算即可． 【详解】解：． 13．的值等于____________． 【答案】或3 【分析】根据、的正负性（同正、同负、一正一负）分类讨论，结合绝对值的性质计算式子的值． 【详解】解：由题可知且， 分以下四种情况讨论： ①当时， ， 原式； ②当时， ， 原式； ③当时， ， 原式； ④当时， ， 原式， 综上，式子的值为3或． 14．如图，方格表中每一行、每一列及两条对角线中所填数的和均相等，则x的值为______． 1 x 0 【答案】 【分析】先根据第一列的三个数求出和，由第二行即可求出最中间的数，再根据所在的对角线及和即可求出右上角的数，最后由第一行的数及和即可求出x的值． 【详解】解：由图可得，和为， 则最中间的数是， 则右上角的数是， 所以． 三、解答题（本题共7小题，第15-第20题每小题8分，第21题10分，共58分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．） 15．计算： (1) (2) 【答案】(1) (2) 【分析】（1）先括号里的有理数的加减运算，再根据有理数的乘法和加减运算法则求解即可； （2）先乘方和绝对值运算，再乘除运算，最后加减运算即可求解． 【详解】（1）解： ； （2）解： ． 16．某高速公路检修队开车从A地出发，在东西走向的公路上检修道路，规定向东走为正，向西走为负，从出发到收工时所行驶的路程记录如下（单位：千米）：，，，，，，，． (1)问收工时，检修队在A地哪边，距A地多远？ (2)问从出发到收工时，汽车共行驶多少千米？ (3)在汽车行驶过程中，若每行驶1千米耗油升，共用油费元．问油价是每升多少元？ 【答案】(1)收工时检修队在A地东边，距A地10千米 (2)汽车共行驶52千米 (3)油价是每升元 【分析】（1）将所有行驶路程记录求和，根据结果正负判断方向，结果的绝对值为距A地的距离； （2）计算所有行驶路程记录的绝对值之和，即为总行驶路程； （3）先由总行驶路程和单位耗油量求出总耗油量，再用总油费除以总耗油量得到油价． 【详解】（1）解：各段路程的和为 （千米）， ∵规定向东走为正， ∴收工时检修队在A地东边，距A地10千米． （2）解： （千米）， 答：汽车共行驶52千米． （3）解：总耗油量为（升）， 油价为（元/升）， 答：油价是每升元． 17．阅读材料，求值：． 解：设①，将等式两边同时乘以2得： ②， ，得：， 所以， 即， 请你仿照此法计算： (1)； (2)（其中为正整数） 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据材料提示，设，结合题意的计算方法求解即可； （2）设，等式两边同时乘以3，结合题意的计算方法求解即可． 【详解】（1）解：设， ∴， ∴， ； （2）解：设， ∴， ∴， ， ∴． 18．“十一”黄金周期间，某风景区在7天假期中每天旅游的人数变化如表：（正数表示比前一天多的人数，负数表示比前一天少的人数）（单位：万人），已知9月30日游客为2万． 日期 1日 2日 3日 4日 5日 6日 7日 人数变化 (1)求10月2日游客的人数为多少？ (2)请判断7天内游客人数最多的是哪天？最少的是哪天？它们相差多少万人？ 【答案】(1)10月2日游客的人数为4.4万人 (2)3日人数最多，7日人数最少，它们相差2.2万人 【分析】（1）将9月30日游客人数加上1日和2日增加的人数就是10月2日的游客人数； （2）先计算出这7天每天的人数，比较得到人数最多和最少的天数，计算出相差多少万人即可； 【详解】（1）解：10月2日游客的人数为：（万人）； （2）解：10月1日有游客：（万人）； 10月2日游客的人数为（万人）； 10月3日游客的人数为（万人）； 10月4日游客的人数为（万人）； 10月5日游客的人数为（万人）； 10月6日游客的人数为（万人）； 10月7日游客的人数为（万人）； 所以游客最多的是10月3日，最少的是10月7日，它们相差（万人）； 19．探索发现：；； 根据你发现的规律，回答下列问题： (1)___________，___________； (2)类比上述规律计算下列式子：． 【答案】(1)； (2) 【分析】（1）观察所给式子，得出规律求解即可； （2）将每个加数按照规律展开，求解即可． 【详解】（1）解：观察上述规律， ， ， 故答案为：；． （2）解：对原式进行变形化简如下， 20．综合与实践 问题情境：下列A、B、C、D四张卡片上各写有一个数（每张卡片除正面数字不同外其余均相同，下列问题中出现的计算均默认为卡片上的数字）： (1)求卡片A与卡片B的差，卡片B与卡片D的商． (2)求四张卡片上数的绝对值的和． (3)聪明的小涵提出了这样一个问题： 已知卡片A和卡片B的倒数分别是a和b，卡片C的相反数是c，卡片D相反数的倒数为d． ①求a，b，c，d的值； ②在计算时有两种方法：一是先算括号里，再算乘法；二是利用乘法分配律求原式的结果． 请你选择其中一种方法求式子的值． 【答案】(1)， (2) (3)①，，，，②139 【分析】（1）根据绝对值的定义求出各数的绝对值再求和； （2）①依据倒数和相反数的定义求出a，b，c，d的值； ②可按照先算括号内再算乘法的顺序，也可利用乘法分配律进行计算． 【详解】（1）解：， ． ∴卡片A与卡片B的差为，卡片B与卡片D的商为． （2）解：， ∴四张卡片上数的绝对值的和为． （3）解：①∵卡片A和卡片B的倒数分别是a和b，卡片A为，卡片B为15， ∴，， 又∵卡片C的相反数是c，卡片D相反数的倒数为d，卡片C为，卡片D为， ∴，． ② ； ． 21．【阅读理解】我国数学家华罗庚说过“数缺形时少直观，形少数时难入微；数形结合百般好，隔离分家万事休”．数形结合是解决数学问题的重要思想方法．数轴是一个非常重要的数学工具，它使数和数轴上的点建立起一一对应的关系，揭示了数与点之间的内在联系，它是“数形结合”的基础．如：表示3与1差的绝对值，也可理解为3与1两数在数轴上所对应的两点之间的距离；可以看作，表示3与的差的绝对值，也可理解为3与两数在数轴上所对应的两点之间的距离． 【学以致用】 （1）_____． （2）若，则__________． 【迁移拓展】 （3），则_____． （4）若，所有符合条件的整数的和为_____． 【答案】（1）7；（2）或；（3）；（4） 【分析】本题考查了绝对值的几何意义，数轴上两点的距离，有理数的加法运算， （1）根据两点间的距离即可得出结论； （2）结合数轴可找出数轴上离表示的点距离为2的数即可求解； （3）表示数轴上到点1和距离相等的点． （4）表示数轴上到点2和的距离和为7，由此可得出在和2之间（包括端点），进而即可得出的值，然后求和即可． 【详解】解：（1）； 故答案为：7； （2）表示数轴上离表示的点距离为2的数 ∴或； 故答案为：或； （3）表示数轴上到点1和距离相等的点． ； 故答案为：； （4）表示数轴上到点2和的距离和为7， 在和2之间（包括端点）， 是整数， 的值为：，，，，，，， 它们的和为：． 故答案为：． 1 学科网（北京）股份有限公司 $ 第二章 有理数的运算能力提升自测卷 （考试时间：90分钟 试卷满分：100分） 1、 单项选择题（本题共10小题，每小题3分，共30分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。） 1．计算：（     ） A． B． C． D． 2．据国家教育部预计，2026年我国高考报名人数达10290000人，把10290000这个数用科学记数法表示为（     ） A． B． C．D． 3．我国元代《算术启蒙》中记载：“同名相乘为正，异名相乘为负”，则下列运算的结果为负数的是（     ） A． B． C． D． 4．小明做了以下四道题，其中正确的是（     ） A． B． C． D． 5．水的化学式是，其中氢元素的化合价是，氧元素的化合价是．计算的结果是（     ） A． B． C． D． 6．规定是一种特殊运算符号，且，，…，则的值为（     ） A． B． C． D． 7．对于有理数，下列说法正确的有（     ） ①若，则与互为相反数； ②若，则一定异号； ③若且两数同号，则； ④若，两数异号，则； ⑤若，则． A．3 个 B．2 个 C．1 个 D．0 个 8．一条数轴上有点、、，其中点、表示的数分别是，，现以点为折点，将数轴向右对折，若点落在射线上，并且，则点表示的数是（    ） A． B． C．或 D．或 9．我们常用的十进制数，如，我国古代易经一书记载，远古时期，人们通过在绳子上打结来记录数量，如图，一位母亲在如下排列的绳子上打结，并采用七进制（如），用来记录孩子自出生后的天数，由图可知，孩子自出生后的天数是（   ）天． A． B． C． D． 10．正所谓：“人有人言，灯有灯语”．灯语灯光通信是船只之间通信的一种通用化语言，在国际上的使用十分广泛．利用灯光，以二进制的原理传递信息，可以帮助船员在较远的目视距离相互沟通．例如：“”表示亮红灯，“”表示亮绿灯．两只远洋航行的船只用亮红灯和亮绿灯来进行交流，并在启航前作如图所示的约定： 根据约定的规则，下列说法正确的有（   ） ①“”表示字母； ②若要表示个英文字母，需要盏灯； ③先后发出“”、“”、“”、“”表示“”的缩写“”． A．个 B．个 C．个 D．个 2、 填空题（本题共4小题，每小题3分，共12分．） 11．若，且，那么的值是________． 12．日常生活中我们常使用的数是十进制数，而计算机程序使用的数是二进制数（只有数码0和1），它们两者之间可以互相换算，如将二进制数记为，换算成十进制数应为：，按此方式，将二进制换算成十进制数为______． 13．的值等于____________． 14．如图，方格表中每一行、每一列及两条对角线中所填数的和均相等，则x的值为______． 1 x 0 三、解答题（本题共7小题，第15-第20题每小题8分，第21题10分，共58分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．） 15．计算： (1) (2) 16．某高速公路检修队开车从A地出发，在东西走向的公路上检修道路，规定向东走为正，向西走为负，从出发到收工时所行驶的路程记录如下（单位：千米）：，，，，，，，． (1)问收工时，检修队在A地哪边，距A地多远？ (2)问从出发到收工时，汽车共行驶多少千米？ (3)在汽车行驶过程中，若每行驶1千米耗油升，共用油费元．问油价是每升多少元？ 17．阅读材料，求值：． 解：设①，将等式两边同时乘以2得： ②， ，得：， 所以， 即， 请你仿照此法计算： (1)； (2)（其中为正整数） 18．“十一”黄金周期间，某风景区在7天假期中每天旅游的人数变化如表：（正数表示比前一天多的人数，负数表示比前一天少的人数）（单位：万人），已知9月30日游客为2万． 日期 1日 2日 3日 4日 5日 6日 7日 人数变化 (1)求10月2日游客的人数为多少？ (2)请判断7天内游客人数最多的是哪天？最少的是哪天？它们相差多少万人？ 19．探索发现：；； 根据你发现的规律，回答下列问题： (1)___________，___________； (2)类比上述规律计算下列式子：． 20．综合与实践 问题情境：下列A、B、C、D四张卡片上各写有一个数（每张卡片除正面数字不同外其余均相同，下列问题中出现的计算均默认为卡片上的数字）： (1)求卡片A与卡片B的差，卡片B与卡片D的商． (2)求四张卡片上数的绝对值的和． (3)聪明的小涵提出了这样一个问题： 已知卡片A和卡片B的倒数分别是a和b，卡片C的相反数是c，卡片D相反数的倒数为d． ①求a，b，c，d的值； ②在计算时有两种方法：一是先算括号里，再算乘法；二是利用乘法分配律求原式的结果． 请你选择其中一种方法求式子的值． 21．【阅读理解】我国数学家华罗庚说过“数缺形时少直观，形少数时难入微；数形结合百般好，隔离分家万事休”．数形结合是解决数学问题的重要思想方法．数轴是一个非常重要的数学工具，它使数和数轴上的点建立起一一对应的关系，揭示了数与点之间的内在联系，它是“数形结合”的基础．如：表示3与1差的绝对值，也可理解为3与1两数在数轴上所对应的两点之间的距离；可以看作，表示3与的差的绝对值，也可理解为3与两数在数轴上所对应的两点之间的距离． 【学以致用】 （1）_____． （2）若，则__________． 【迁移拓展】 （3），则_____． （4）若，所有符合条件的整数的和为_____． 1 学科网（北京）股份有限公司 $