高中数学单元测试——第四章指数函数与对数函数（较易版01）

**基本信息** 高中数学指数函数与对数函数单元复习卷（较易版），覆盖基础运算、函数性质及实际应用，适配单元巩固，注重数学思维与应用能力培养。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |单选题|8/40|指数对数运算、函数图像定点、单调性|基础巩固，聚焦概念理解| |多选题|3/18|运算辨析、命题真假判断、函数交点|能力提升，考查逻辑推理| |填空题|3/15|对数计算、函数值域、零点存在性|知识应用，强化数学眼光| |解答题|5/67|指数模型应用（食品生产）、污染物处理优化、函数奇偶性与单调性|综合创新，结合现实情境，体现数学语言表达现实世界|

高中数学单元测试 —— 第四章 指数函数与对数函数（较易版01） 学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________ 一、单选题 1．（本题5分）若，则（    ） A． B． C． D． 2．（本题5分）已知，，则（    ） A． B． C．1 D． 3．（本题5分）计算（   ） A．14 B．49 C． D． 4．（本题5分）已知函数，则（    ） A． B． C． D．4 5．（本题5分）已知指数函数的图像经过点，则（    ） A．4 B．1 C．2 D． 6．（本题5分）函数（，且）的图象过定点，则（   ） A．5 B．4 C．3 D．2 7．（本题5分）若函数的值域为，且在区间上单调递增，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 8．（本题5分）已知a，，定义运算“”：，设函数，，若函数的图象与x轴恰有两个公共点，则实数c的取值范围是（   ） A． B． C． D． 二、多选题 9．（本题6分）下列计算正确的是（    ） A． B． C． D． 10．（本题6分）（多选）下列命题为真命题的是（   ） A．“，”的否定为“，” B．若函数的定义域为，则“”是“为奇函数”的必要不充分条件 C．函数在区间上的值域为 D．用二分法求方程在区间内的实根，下一个有根区间是 11．（本题6分）已知函数和的图象与直线交点的横坐标分别为，则（    ） A． B． C． D． 三、填空题 12．（本题5分）计算：_____. 13．（本题5分）已知函数，，则此函数的值域为__________ 14．（本题5分）已知的零点为，若，则整数的最大值是______. 四、解答题 15．（本题13分）已知，． (1)求的值； (2)用m，n表示． 16．（本题15分）一食品生产厂第年生产某食品的年产量y（单位：吨）满足关系式.已知该厂第2年比第1年多生产了8.75吨该食品. (1)求m的值； (2)若该厂第年生产该食品的年产量比第年增加的量不低于12.5吨，求整数n的最小值. 17．（本题15分）已知函数为偶函数． (1)求实数k的值； (2)设，若函数与图象有2个公共点，求实数a的取值范围． 18．（本题17分）近年来，赣州市坚定走生态优先､绿色发展之路，获评生态环境领域激励表扬城市.某校数学建模小组开展“保护环境，从我做起”研究活动，发现某类污染物处理时间（单位：天）与污染物排放量（单位：吨）之间满足关系式（其中均为常数），且当时，；当时，. (1)求的值； (2)若污染物排放量为时，求所需的处理时间； (3)若污染物分两次处理，排放量分别为和，其中，求所需的总处理时间的最小值. 19．（本题17分）已知定义域为的函数是奇函数. (1)求实数的值并用定义证明函数在上单调递增； (2)解不等式：； (3)若方程在内有解，求实数b的取值范围. 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 2 / 2 $ 高中数学单元测试 —— 第四章 指数函数与对数函数（较易版01） 学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________ 一、单选题 1．（本题5分）若，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据根式的性质化简即可得解. 【详解】因为， 所以， 故选：A 2．（本题5分）已知，，则（    ） A． B． C．1 D． 【答案】D 【分析】根据给定条件，利用指数运算法则求得答案. 【详解】由，得，而，则， 所以. 故选：D 3．（本题5分）计算（   ） A．14 B．49 C． D． 【答案】B 【分析】根据幂的运算性质及对数恒等式即可求解 【详解】因为． 故选：B． 4．（本题5分）已知函数，则（    ） A． B． C． D．4 【答案】D 【分析】根据给定的分段函数，依次判断代入计算得解. 【详解】函数，则， 所以. 故选：D 5．（本题5分）已知指数函数的图像经过点，则（    ） A．4 B．1 C．2 D． 【答案】A 【分析】根据指数函数的定义即可求解. 【详解】由指数函数的图象经过点，可得，解得， 所以， 故选：A. 6．（本题5分）函数（，且）的图象过定点，则（   ） A．5 B．4 C．3 D．2 【答案】A 【分析】根据得到定点坐标，即可得到答案. 【详解】因为，所以定点为， 则，故. 故选：A 7．（本题5分）若函数的值域为，且在区间上单调递增，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】利用一元二次方程根的分布以及复合函数单调性法则可得答案. 【详解】由函数的值域为， 得函数的值域包含， 则函数的图象与轴有交点， 即方程有实根， 所以，解得或； 由函数在上单调递增， 而函数在定义域上单调递增， 则函数在上单调递增且恒为正， ，解得； 综上，实数的取值范围是. 故选：A． 8．（本题5分）已知a，，定义运算“”：，设函数，，若函数的图象与x轴恰有两个公共点，则实数c的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据运算，得到，再由函数的图象与轴恰有两个公共点，转化为函数的图象恰有两个公共点，利用数形结合法求解. 【详解】因为， 由， 可得， 即， 因为，所以，解得， 所以当时，， 所以当时，. 即， 因为函数的图象与轴恰有两个公共点， 即函数的图象恰有两个公共点， 在同一坐标系中，作出函数的图象，如图所示： 由图象知：， 则实数的取值范围是 故选：A 二、多选题 9．（本题6分）下列计算正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】BCD 【解析】根据对数的运算法则，逐一分析选项即可得答案. 【详解】对于A：，故A错误； 对于B：，故B正确； 对于C：因为，所以，故C正确； 对于D：，故D正确. 故选：BCD 10．（本题6分）（多选）下列命题为真命题的是（   ） A．“，”的否定为“，” B．若函数的定义域为，则“”是“为奇函数”的必要不充分条件 C．函数在区间上的值域为 D．用二分法求方程在区间内的实根，下一个有根区间是 【答案】BCD 【分析】结合全称量词命题的否定检验选项A；结合奇函数的定义检验选项B；结合反比例函数的性质检验选项C，结合二分法检验选项D. 【详解】，的否定为，，A错误； 函数的定义域为，时，函数不一定为奇函数， 例如，即充分性不成立； 当为奇函数时，一定成立，即必要性成立，B正确； 当时，，则， ，C正确； 令，则在内单调递增，，， 又，所以下一个有根区间是，D正确. 故选：BCD. 11．（本题6分）已知函数和的图象与直线交点的横坐标分别为，则（    ） A． B． C． D． 【答案】ABD 【分析】利用函数和互为反函数，确定关系，可判断AB，结合二次函数性质判断CD． 【详解】函数和互为反函数，它们的图象关于直线对称， 作出它们的图象及直线，由直线与直线垂直， 且交点为知，， 因此，所以有： ， ， 正确的ABD，错误的是C， 故选：ABD． 三、填空题 12．（本题5分）计算：_____. 【答案】/ 【分析】运用换底公式，结合指数幂的运算公式、对数的运算性质进行运算即可. 【详解】 . 故答案为： 13．（本题5分）已知函数，，则此函数的值域为__________ 【答案】 【分析】令，由的单调性求解. 【详解】令，因为，所以， 因为函数在单调递减，且时，；时，， 所以函数的值域为， 故答案为：. 14．（本题5分）已知的零点为，若，则整数的最大值是______. 【答案】 【分析】根据题意分析的零点，，得到，通过判断的范围即可得到答案. 【详解】函数的定义域为， 当时，恒成立，不存在零点； 当时，单调递增，且，， 所以的零点，， 即，两边同时取对数，即，即， 所以，所以， 记， 显然，单调递减，所以， 所以，所以整数的最大值是0. 故答案为：0 【点睛】关键点点睛：本题关键点在于判断的零点的范围，并通过和代入原式进行化简，再构造函数结合单调性判断范围进而求解答案.本题考查了转化与化归能力，属于中档题. 四、解答题 15．（本题13分）已知，． (1)求的值； (2)用m，n表示． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）依题意可得，再根据对数的运算法则求出，最后根据指数、对数的关系计算可得； （2）利用换底公式及对数的运算性质计算可得. 【详解】（1）因为，所以， 又，所以， 所以； （2）因为，， 所以. 16．（本题15分）一食品生产厂第年生产某食品的年产量y（单位：吨）满足关系式.已知该厂第2年比第1年多生产了8.75吨该食品. (1)求m的值； (2)若该厂第年生产该食品的年产量比第年增加的量不低于12.5吨，求整数n的最小值. 【答案】(1) (2)4. 【分析】（1）由题意可得，求解即可； （2）由题意可得，代入，结合指数函数的性质求解即可. 【详解】（1）由题意可得， 即， 解得； （2）由题意可得， 即， 代入, 得， 所以，，， 因为为单调递增函数， 且，， 所以，， 所以整数n的最小值为4. 17．（本题15分）已知函数为偶函数． (1)求实数k的值； (2)设，若函数与图象有2个公共点，求实数a的取值范围． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据偶函数的定义及性质直接化简求值； （2）由函数与图象有2个公共点，可得有两个实数根，再利用换元法转化为二次方程有两个根，利用判别式求参数范围． 【详解】（1）函数的定义域为R，因为函数为偶函数． 所以，即， 所以，所以； （2）因为函数与图象有2个公共点， 所以， 即，， 设，则，即. 又在R上单调递增，所以方程有两个不等的正根； 所以，解得， 所以a的取值范围为． 18．（本题17分）近年来，赣州市坚定走生态优先､绿色发展之路，获评生态环境领域激励表扬城市.某校数学建模小组开展“保护环境，从我做起”研究活动，发现某类污染物处理时间（单位：天）与污染物排放量（单位：吨）之间满足关系式（其中均为常数），且当时，；当时，. (1)求的值； (2)若污染物排放量为时，求所需的处理时间； (3)若污染物分两次处理，排放量分别为和，其中，求所需的总处理时间的最小值. 【答案】(1)， (2) (3) 【分析】（1）由题干中的函数解析式以及给定的值，建立方程组，结合对数运算，可得答案； （2）由（1）所得函数解析式，代入给定值，可得答案； （3）由基本不等式，可得答案. 【详解】（1）由题意知，得，故， 两式相减可得，故， 故． （2）由（1）可知，当时，， 故所需的处理时间为天. （3）， 当且仅当时取等号， 故所需的总处理时间的最小值为天. 19．（本题17分）已知定义域为的函数是奇函数. (1)求实数的值并用定义证明函数在上单调递增； (2)解不等式：； (3)若方程在内有解，求实数b的取值范围. 【答案】(1)；证明见解析； (2)； (3) 【分析】（1）由题可得，据此可得解析式；然后取，，证明 即可； （2）由（1）分析结合题意可得，解不等式可得答案； （3）由（1）分析可得等价于，则的范围为函数在上的值域，然后令，研究函数值域可得答案. 【详解】（1）因是R上的奇函数， 则.则. 取，，. 因，，则，，. 从而，则在R上单调递增； （2），结合（1）分析，可得： . 或， 则； （3）在上有解，由（1）分析可知等价于： ， 则的范围为函数在上的值域. 令，则.令. ，得其在上单调递减，在上单调递增. 则，. 则. 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 2 / 2 $