第四章 指数函数与对数函数 单元测试-2026-2027学年高一上学期数学人教A版必修第一册

**基本信息** 高中数学指数函数与对数函数单元卷，通过基础判断、图像分析及综合应用，覆盖函数性质、零点、奇偶性等核心知识，适配单元复习，培养抽象能力与推理意识。 **题型特征** |题型|题量|知识覆盖|命题特色| |----|----|----------|----------| |单选题|8|指数对数比较、零点个数、图像识别|结合图像辨析，强化几何直观| |多选题|3|分段函数性质、单调性、函数性质P|多选项设计，考查批判性思维| |填空题|3|指数运算、定点问题、值域求参|基础与能力结合，落实运算能力| |解答题|5|计算、图像绘制、奇偶性判断、恒成立问题|综合应用，体现数学建模与逻辑推理|

第四章指数函数与对数函数单元测试 学校： 姓名： 班级： 考号： 一、单选题 1.设0=0.62，b=0.62,c=0.5 ,则下列不等式中正确的是() A.a>b>c B.b>a>c C.c>a>b D.c>b>a 之.西数=+的点个数是〔) A.0 B.1 C.2 D.3 y=log。x(a>0 3.函数 的图像，如图所示，则下列函数图像正确的是() y=logx 1 -3 =(-x) 4.函数f()=2产+nr-3 的零点所在区间为() A.(2,3) c D.(1,2) 5.已知指数函数f=(24-5a+3到口在R上单调送指，则0的省为() 试卷第1页，共3页 c.2 3 A.3 B.2 D. 6.下列函数不是指数函数的是 Ay=21 B.y=3 C =4 D.y-2 试卷第2页，共3页 7.函数0=a:@”=h,@’=c,0y =d的图象如图所示，a,b,C,d分别是 5 14 下列四个数：4，√3,3，i中的一个，则ab,c'd的值分别是 v=ay=b 14 541 B.5,4,ū，3 41 c.,3,5,4 145 D.3,i,4,5 8.求函数w)=lg(x2-2x-3)的单调递减区间() A.（0,-) B.（-0,- c.(3,+o) D.[3.+) 二、多选题 9.设两数的定义该为R,满起1+列=-1-f0+=/-,当 x(,时，f)=-+ ,则下列结论正确的是() ) B.f(x)在(6,8)上为减函数 C.fx+7)为奇函数 D.方程f)+gx=0 有且仅有6个实数解 10.给出下列结论，其中不正确的结论是() -x2+ A.函数y 的最大值为2 B.已知函数'=og.2-a>0且a+D在0，)上是减函数，则实数“的取值范围是 试卷第3页，共3页 1,2) 。.在同-平面直角坐标系中，函数”=2与=8，的图象关于直线”=对称 D,已知定义在R上的奇西数（在®，0叭内有10个零点，则西数/儿的零点个 数为221 X1+x2 11.若存在两个不等的实数x,为，使x,名，2均在函数f)的定义域内，且满足 2,则称函数()具有性质T,下列函数具有性质T的是() A.f(x)=2 B.f(x)=k2-2x C.f(ax)=lgx D.J(x)=x+x 三、填空题 12.若a2+a2=3,则a+a2= 13.函数)=d+2a>0a≠) 的图象恒过定点P,则点P的坐标为 -log2(2-x),x≤1， f(x)= 14.已知函数 x+名4，>1的值域为R则实数。的取值范围是 四、解答题 15.计算： 32 (1)21og32-l1og,号+log,8-253 试卷第4页，共3页 f(x)= -x(x+4),x≤0 16.已知函数 x,x>0 (1)求ff(-) (2)画出函数()图像，若其图像与直线y=b有三个交点，求实数b的取值范围 1.数闭+号a0R1. )求函数/的定义域 (2)判断函数 的奇偶性： 试卷第5页，共3页 (3)者()>0 其定义域上恒成立，求实数“的取值范围 18.已知函数f闭=（宁分，函数8(）=logx (1)若80mr+2x+m 的定义域为R,求实数”的取值范围： (2)当*e-l时，求函数”=UP-2a4+3 h(a) 的最小值 (3)是否存在非负实数m、n,使得函数 y=log f(x2) 2 的定义域为[m,n川，值域为2m,2m, 若存在，求出mn的值；若不存在，则说明理由. 19已知商数f=e 试卷第6页，共3页 )若/(a)=1 求a的值： ②判断函数()的奇偶性，并证明你的结论： （B)若()≥m对于xCB,+切）恒成立，求实数m的范围. 试卷第7页，共3页 第四章 指数函数与对数函数 单元测试 学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________ 一、单选题 1．设，则下列不等式中正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据幂函数的单调性和指数函数单调性，比较函数值的大小，求出结果. 【详解】因为在上单调递减，所以，即， 因为在上单调递增，所以，即， 所以. 故选：B. 2．函数的零点个数是（    ） A．0 B．1 C．2 D．3 【答案】B 【分析】根据零点的定义求解. 【详解】函数的定义域为， 令，即，解得， 所以函数的零点个数是1个， 故选:B. 3．函数，且的图像，如图所示，则下列函数图像正确的是（    ）    A．   B．   C．   D．   【答案】B 【分析】由且的图像过点，求出，将代入ABCD选项，逐一判断即可. 【详解】且的图像过点， ，解得：. 对于A ，，，在上单调递减，故A错误； 对于B，，，定义域为，令，则， 是奇函数，且单调递增，故B正确； 对于C，，当时，，故C错误； 对于D，，，当时，，故D错误. 故选：B 4．函数的零点所在区间为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】先确定函数的定义域与单调性，再计算各区间端点的函数值，结合零点存在性定理判断零点所在区间. 【详解】由函数可知，函数的定义域为， 又与在上单调递增，所以函数在上单调递增， 因为， 所以，根据零点存在性定理可知，函数的零点所在区间为. 5．已知指数函数在上单调递增，则的值为（    ） A．3 B．2 C． D． 【答案】B 【分析】令系数为，解出的值，又函数在上单调递增，可得答案． 【详解】解得， 又函数在上单调递增，则， 故选：B 6．下列函数不是指数函数的是 A． B． C． D． 【答案】A 【解析】由指数函数的定义，一一判断，即可得出选项． 【详解】指数函数是形如（且）的函数. 对于A：，系数不是1，所以不是指数函数； 对于B：，符合指数函数的定义，所以是指数函数； 对于C：，符合指数函数的定义，所以是指数函数； 对于D：，符合指数函数的定义，所以是指数函数. 故选：A. 【点睛】本题主要考查了指数函数的定义，是基础题． 7．函数①；②；③；④的图象如图所示，，，，分别是下列四个数：，，，中的一个，则，，，的值分别是 A．，，， B．，，， C．，，， D．，，， 【答案】C 【分析】作直线与每个指数函数的图象相交，交点的纵坐标即为底数值，且交点从上至下纵坐标依次减小，即可求出，，，的值. 【详解】如图所示： 直线与函数图象的交点的纵坐标从上到下依次为，，，，而，故选C. 【点睛】根据指数函数图象判断底数的大小的两种方法： （1）根据单调性首先判断，在轴右侧，越靠近轴对应的底数越大；在轴左侧，越靠近轴对应的底数越小； （2）作一条直线，与指数函数图象交点的纵坐标即为底数大小，根据纵坐标的大小即可判断底数大小关系. 8．求函数f(x)＝lg(x2－2x－3)的单调递减区间（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】先解二次不等式求得函数的定义域，结合二次函数的单调性，以及复合函数的单调性的判定方法，求得函数的单调递减区间为(－∞，－1). 【详解】要使函数有意义，则，解得或， 设，则函数在上单调递减，在上单调递增． 因为函数在定义域上为增函数， 所以由复合函数的单调性性质可知，则此函数的单调递减区间是． 故选A． 二、多选题 9．设函数的定义域为，满足，当时，，则下列结论正确的是（    ） A． B．在上为减函数 C．为奇函数 D．方程有且仅有6个实数解 【答案】ACD 【分析】根据已知得到、，进而有，再利用对称性、周期性判断A、B、C，结合区间解析式及对称性和周期性化为函数与的大致图象，数形结合确定零点个数判断D. 【详解】由，则函数为奇函数， 即函数的图象关于点成中心对称，得， 由，则函数为偶函数， 即函数的图象关于直线成轴对称，得， 两式相加可得，则，即， A，，故A正确； B，由周期性知，函数在区间与上图象相同， 由函数的图象关于点成中心对称， 则函数在区间与上的单调性相同，， 当时，， 函数在上单调递增，则函数在上单调递增， 所以函数在上单调递增，则函数在上单调递增，故B错误； C，由，则函数为奇函数，故C正确； D，由题意，作图如下： 则函数与有且仅有个交点， 所以有且仅有6个实数解，故D正确. 故选：ACD 10．给出下列结论，其中不正确的结论是（    ） A．函数的最大值为 B．已知函数且在上是减函数，则实数的取值范围是 C．在同一平面直角坐标系中，函数与的图象关于直线对称 D．已知定义在上的奇函数在内有110个零点，则函数的零点个数为221 【答案】AB 【分析】由复合函数的单调性可求的的最小值，在上为减函数时的范围，判断A、B的正误，结合指对数函数图像的关系、奇函数的性质可判断C、D的正误. 【详解】对A选项，利用复合函数的单调性，令，随增大函数值减小， 而当时，有最大值，可求得当时，的最小值为，可知A选项错误； 对B选项，可令， 当时，中，随增大而减小，若原函数是减函数，则随增大而增大，可得，与条件矛盾； 当时，随减小而减小，且真数要恒大于0， 满足题意的不等式组为，可知的取值范围为，B选项错误； 对C选项，设的图像上任意一点，将指数式转化为对数式：，可知其关于的对称点在的图像上， 反之，对于的图像上的任意一点，将对数式转化为指数式，有，即点关于直线的对称点在函数的图像上， 可知的图像与的图像关于对称，C选项正确； （也可根据同一底数的指数函数和对数函数互为反函数，互为反函数的函数图像关于对称判断）； 对于D选项，奇函数的图像关于原点中心对称，在有个零点，则在也有个零点，再加上定义在上的奇函数图像必过原点，也是一个零点，共有个零点，D选项正确. 故选：AB 11．若存在两个不等的实数，，使，，均在函数的定义域内，且满足，则称函数具有性质，下列函数具有性质的是（    ） A． B． C． D． 【答案】BD 【分析】性质T可等价转化为存在一条直线与函数的图象有三个交点，且这三个交点中间一个为其余两个点所构成的线段的中点，根据熟知的指数函数和对数函数的图象，直观判定可知AC错误；利用奇函数的性质可以判定D正确；利用图象的翻折变换画出B中的函数的图象，从直观考察，即可判定具有性质T. 【详解】记, 点 线段的中点为, 等价于, 故在函数的图像上， 于是题设要求的性质T等价于在函数的图象上存在两点，其中点也在函数的图象上， 或者说存在一条直线与函数的图象有三个交点，且这三个交点中间一个为其余两个点所构成的线段的中点， 由指数函数和对数函数的图象可知，AC显然错误； 对于D，函数为奇函数，图象关于坐标原点对称，过原点的斜率为正值的直线与曲线相交于三个点，其中一个是原点，由奇函数的图象的对称性可知，此函数具有性质T, 对于B,画出函数的图象，如图过原点A的直线AB,适当转动，显然可以使得M为线段AB的中点，故具有性质T. 故选：BD. 【点睛】本题主要考查函数的新定义问题，熟练掌握线段的中点坐标公式，结合题意，不难将性质T转化为几何意义，然后根据图象直观考察即可，通常的严谨的代数的论证是考试中的一个陷阱，耗时太多，考试中遇到客观题时首先要具备数形结合的思想，能直观解决就直接解决，实在不行再从代数上进行严格的探求. 三、填空题 12．若，则_____ 【答案】 【分析】对条件反复平方即可得到答案. 【详解】由于，故. 这就意味着，从而. 故答案为： 13．函数的图象恒过定点P，则点P的坐标为______. 【答案】 【解析】根据指数函数的性质，取指数为0时，求得x的值和f(x)的值，即得P的坐标. 【详解】当且仅当x=1时，f(x)的取值与底数a的变化无关，,∴函数f(x)过定点(1,3), 即P的坐标为, 故答案为：. 【点睛】本题考查指数型函数的图象过定点问题，属基础题，关键是掌握指数函数的性质，当指数为零时幂的值不受底数的变化的影响. 14．已知函数的值域为，则实数的取值范围是____________ 【答案】. 【分析】先利用对数型复合函数的性质得到在时的取值范围是；对于当时，，分和两种情况讨论其单调性，进而得出其取值范围，结合题意，得到各种情况下所满足的不等式（组），进而求并集得到结论. 【详解】当时，为单调递增函数，f(1)=0,当时，f(x)趋近于负无穷大，故在时f(x)的取值范围是； 当时，. 若,则在上内单调递减，在上单调递增，当时取得最小值， 所以在上取值范围是, 为使的值域为R，，所以； 若时在上单调递增，取值范围时, 为使的值域为R，，故，所以时满足题意， 综上，实数a的取值范围是. 故答案为：. 四、解答题 15．计算： (1) (2)； 【答案】(1) (2)100 【分析】（1）根据对数的运算公式计算化简即可； （2）根据指数幂的运算公式计算化简即可. 【详解】（1）由题意得 . （2）由题意得 ． 16．已知函数 (1)求 (2)画出函数图像，若其图像与直线有三个交点，求实数的取值范围. 【答案】(1) (2)图像见答案， 【分析】（1）直接计算得到答案. （2）确定函数的单调性，画出函数图像，根据图像得到答案. 【详解】（1），则，. （2），函数单调递增，，函数单调递减， 时，函数单调递增，且，， 画出函数图像，如图所示：        根据图像知：. 17．已知函数（且）． （1）求函数的定义域； （2）判断函数的奇偶性； （3）若在其定义域上恒成立，求实数的取值范围. 【答案】（1）；（2）函数为奇函数；（3）. 【分析】（1）根据分式分母不为零求解出的范围即为定义域； （2）先判断定义域是关于原点对称的，然后通过计算找到与的关系即可判断奇偶性； （3）判断函数的奇偶性，将问题转化为：在恒成立，由此求解出的取值范围. 【详解】（1）由，解得， ∴函数的定义域为； （2）定义域为关于原点对称，且， ∴函数为奇函数； （3）∵为奇函数，∴为偶函数． ∴在其定义域上恒成立等价于在上恒成立， 即在上恒成立，即在上恒成 ∴在上恒成立，∴， 故实数的取值范围是. 【点睛】本题考查指数型函数的综合应用，难度一般. （1）判断指数型函数的奇偶性，首先要判断函数的定义域是否关于原点对称； （2）解具有奇偶性的函数的相关不等式，首先可通过奇偶性将不等式简化，然后再考虑利用单调性或者直接求不等式解集. 18．已知函数，函数. （1）若的定义域为，求实数的取值范围； （2）当时，求函数的最小值； （3）是否存在非负实数，使得函数的定义域为，值域为，若存在，求出的值；若不存在，则说明理由. 【答案】（1）；（2）；（3） 【分析】（1）根据等价转化的方法，得到在上恒成立，然后利用分类讨论的方法，或，并结合二次函数的图像与性质，可得结果. （2）利用换元法，可得，然后根据讨论对称轴与区间 的位置关系，根据函数单调性，可得结果. （3）化简式子可得，利用该函数的单调性，可得，计算可得结果. 【详解】（1）由， 所以 又的定义域为， 则在上恒成立 当时，，则在上不恒成立 当时，则 综上： （2）令，则 所以在最小值 等价于在的最小值 对称轴为 当时，在递增 则在处有最小值 当时， 则在处有最小值 当时，在递减 则在处有最小值 综上： （3）存在 ① 由为非负实数，所以①在单调递增 又值域为，所以 所以存在，当时， 函数在上，值域为 【点睛】本题简单考查了指数函数与对数函数，主要考查二次函数的图像与性质，第二问中，难点在于采用讨论对称轴与的位置关系，典型的动轴顶区间的问题，属中档题. 19．已知函数． (1)若，求a的值； (2)判断函数的奇偶性，并证明你的结论； (3)若对于恒成立，求实数m的范围． 【答案】(1) (2)奇函数，证明见解析 (3) 【分析】（1）代入，得到，利用对数的运算即可求解； （2）先判断奇偶性，然后分析定义域并计算的数量关系，由此完成证明； （3）将已知转化为，求出在的最小值，即可得解. 【详解】（1），，即，解得， 所以a的值为 （2）为奇函数，证明如下： 由，解得：或，所以定义域为关于原点对称， 又， 所以为奇函数； （3）因为， 又外部函数为增函数，内部函数在上为增函数， 由复合函数的单调性知函数在上为增函数， 所以， 又对于恒成立，所以，所以， 所以实数的范围是 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $