17.2.2用完全平方公式分解因式-课件-2026-2027学年人教版八年级数学上册

该初中数学课件聚焦“用完全平方公式分解因式”，通过情境提问与复习导入结合，回顾整式乘法与因式分解的逆向关系，承接提公因式法和平方差公式，构建后续学习的基础支架。 其亮点在于以问题链引导学生观察完全平方式特点，培养抽象能力与推理意识，通过分层练习和易错总结强化运算能力，口诀与整体代换助力数学语言表达，帮助学生系统掌握分解步骤，教师可利用其清晰结构提升教学效率。

人教版（新教材）数学八年级上册 第十七章 因式分解 17.2.2用完全平方公式分解因式 授课教师： . 班 级： 8年级（ ）班 . 时 间： . 2026/9/1 17.2.2 用完全平方公式分解因式 专项练习（人教版八年级上册） 一、核心知识点梳理 用完全平方公式分解因式是公式法因式分解的核心重难点，是整式乘法完全平方公式的逆向应用，与平方差公式并列，是初中因式分解两大核心公式。本节内容承接提公因式法与平方差公式分解，是后续分式化简、解方程、代数式最值问题的重要基础。本节两个核心完全平方分解公式：$$a^2+2ab+b^2=(a+b)^2$$、$$a^2-2ab+b^2=(a-b)^2$$。公式适用条件：多项式为二次三项式，首尾两项是平方形式且符号为正，中间项是首尾两项底数乘积的2倍，符号可正可负。公式中的$$a$$、$$b$$可以是数字、单项式或多项式整体。标准解题步骤：先提公因式，再判断是否符合完全平方式结构，找准首平方、尾平方、两倍中间项，最后套用公式分解，确保结果彻底、无法继续拆分。核心口诀：“首平方、尾平方，首尾两倍在中央，同号和方、异号差方”。 二、基础专项练习（选择+填空） 1. 下列多项式属于完全平方式的是（）A.$$x^2+2x-1$$ B.$$x^2-4x+4$$ C.$$x^2+4x-4$$ D.$$x^2-2xy-y^2$$ 2. 分解因式$$a^2-10a+25$$的结果正确的是（）A.$$(a-5)^2$$ B.$$(a+5)^2$$ C.$$(a-10)^2$$ D.$$(a+10)(a-10)$$ 3. 填空：$$x^2+8x+16=$$______；$$m^2-6mn+9n^2=$$______。 4. 因式分解：$$4x^2-12x+9=$$______。 5. 若$$x^2-kx+9$$是完全平方式，则k的值为______。 三、提升专项练习（计算+解答） 1. 基础公式分解：（1）$$a^2+12a+36$$ （2）$$25-10x+x^2$$ （3）$$9x^2+24xy+16y^2$$ 2. 先提公因式再套公式：（1）$$3x^2-12x+12$$ （2）$$2a^3-8a^2+8a$$ 3. 整体结构完全平方分解：（1）$$(m+n)^2-4(m+n)+4$$ （2）$$(x-2y)^2+8(x-2y)+16$$ 4. 因式分解求值：已知$$x=4$$，求代数式$$x^2-6x+9$$的值。 四、参考答案与详细解析 基础练习解析：1. B 解析：完全平方式要求首尾平方同正，中间项为两倍乘积，其余选项首尾符号不符、中间项不满足结构，只有B符合$$(x-2)^2$$结构。2. A 解析：原式为首尾平方、中间负两倍项，适配完全平方差公式，$$a^2-10a+25=(a-5)^2$$。3. $$(x+4)^2$$、$$(m-3n)^2$$ 解析：严格对应完全平方和、差公式，找准首尾底数与中间项符号。4. $$(2x-3)^2$$ 解析：首项、尾项整体平方，中间项$$-2\times2x\times3$$，符合完全平方式结构。5. $$\pm6$$ 解析：原式可化为$$x^2\pm6x+3^2$$，完全平方式中间项可正可负，故k为正负6。 提升练习解析：1.（1）原式$$=(a+6)^2$$；（2）原式$$=(x-5)^2$$；（3）原式$$=(3x+4y)^2$$，精准识别单项式平方结构，匹配对应公式。2.（1）原式$$=3(x^2-4x+4)=3(x-2)^2$$；（2）原式$$=2a(a^2-4a+4)=2a(a-2)^2$$，遵循“先提公因式，再套公式”的固定解题顺序，保证分解彻底。3.（1）原式$$=[(m+n)-2]^2=(m+n-2)^2$$；（2）原式$$=[(x-2y)+4]^2=(x-2y+4)^2$$，将多项式整体视为单一字母，套用完全平方公式分解。4. 原式因式分解为$$(x-3)^2$$，代入$$x=4$$得$$(4-3)^2=1$$，先分解再代入，简化运算过程。 易错总结：一是混淆完全平方公式与平方差公式，看错多项式项数乱用公式；二是误判完全平方式结构，首尾项符号、中间两倍项判断出错；三是系数平方遗漏，忽略首项、尾项系数整体平方；四是完全平方式参数求值漏解，只取正值忽略负值；五是未先提取公因式直接套公式，导致分解不彻底；六是整体结构分解后未化简括号内式子，结果不最简。本套练习覆盖基础公式应用、提公因式与公式综合运算、整体换元分解、化简求值等高频题型，精准对标课本考点，攻克完全平方公式分解因式的易错难点，完善因式分解知识体系。 学子如同向日葵向往暖阳，满心热爱渴求知识。在书页间汲取力量，于思索中追逐光亮，不惧学习路上的磨砺，心怀憧憬奋力向上，向着理想不断成长。 情境导入 掌握完全平方式的特点，能识别完全平方式. 能较熟练地运用完全平方公式分解因式． 能综合运用提公因式、完全平方公式分解因式这两种方法进行求值和证明． 我们知道，因式分解与整式乘法是反方向的变形，我们学习了因式分解的两种方法：提取公因式法、运用平方差公式法.现在，大家自然会想，还有哪些乘法公式可以用来分解因式呢？ 情境导入 3 复习导入 在括号里填上适当的式子，使等式成立： (1) (a + b)2 = ________________； (2) (a – b)2 = ________________； (3) a2 + ______ + 1 = (a + 1)2； (4) a2 – ______ + 1 = (a – 1)2 . a2 + 2ab + b2 a2 – 2ab + b2 2a 2a 整式乘法 因式分解 情境导入 依据：完全平方公式： 解：(1) (m－4n)2＝m2－8mn＋16n2； (2) (m＋4n)2＝m2＋8mn＋16n2. 思考：这样计算的依据是什么？ (a±b)2＝a2±2ab＋b2. 问题1：计算：(1)(m－4n)2； (2)(m＋4n)2. 探究点一： 完全平方式 探究新知 问题2：根据上面两道题，请大家试着分解因式： 观察有什么规律？ 把等号两边互换位置就可以得到因式分解的结果. (2) m2＋8mn＋16n2 ＝(m＋4n)2. 解：(1) m2－8mn＋16n2 ＝(m－4n)2； (1) m2－8mn＋16n2； (2) m2＋8mn＋16n2. 探究点一： 完全平方式 探究新知 问题3：我们把这些式子推广到一般式： 两式的共同特点是：它们都是两个数的平方和加上或减去这两个数的积的 2 倍． 观察一下这两个多项式有什么特点？ a2＋2ab＋b2 与 a2－2ab＋b2， 我们把 a2＋2ab＋b2 与 a2－2ab＋b2 这样的式子叫作完全平方式． 探究点一： 完全平方式 探究新知 完全平方式的特点： 1. 必须是三项式(或可以看成三项的)； 2. 有两个数或式的平方和； 3. 有这两个数或式之积的 ±2 倍. 探究点一： 完全平方式 探究新知 例1 若 x2 - 6x + N 是一个完全平方式，则 N = ( ) A . 11 B. 9 C. - 11 D. - 9 B 【变式训练】如果 x2 - mx + 16 是一个完全平方式，那么常数 m 的值为_______. ±8 解析：根据完全平方式的特征，中间项 -6x = -2×x×3，故可知 N = 32 = 9. 探究点一： 完全平方式 探究新知 1.下列式子是完全平方式的是( ) B A. B. C. D. 返回 举一反三 10 2.（1）若是完全平方式，则 ___; （2）若是完全平方式，则 _____; （3）若是完全平方式，则 ____. 9 返回 举一反三 11 探究点二：利用完全平方公式分解因式 问题4：你能将多项式 a2＋2ab＋b2 与 a2－2ab＋b2分解因式吗？ a2＋2ab＋b2＝(a＋b)2， a2－2ab＋b2＝(a－b)2. 的等号两边互换位置，就得到： (a＋b)2＝a2＋2ab＋b2， (a－b)2＝a2－2ab＋b2 把整式乘法的完全平方公式： 探究新知 例2 分解因式： (1) x2＋4x＋4；      　　 分析：在(1)中，由于 4＝22，4x＝2·x·2， 所以 x2＋4x＋4 是一个完全平方式，即： x2＋4x＋4＝x2 ＋ 2·x·2 ＋ 22 a2 ＋ 2·a·b ＋ b2 探究点二：利用完全平方公式分解因式 解： x2＋4x＋4＝x2＋2·x·2＋22＝(x＋2)2； 探究新知 解： 16x2＋24x＋9 ＝(4x)2＋2·4x·3＋32 ＝(4x＋3)2. (2) 16x2＋24x＋9.　　 分析：在(2)中，由于16x2＝(4x)2，9＝32， 24x＝2·4x·3，所以16x2＋24x＋9是一个完全平方式. 探究点二：利用完全平方公式分解因式 探究新知 例3 分解因式： (1) (a＋b)2－12(a＋b)＋36； (2) －x2＋4xy－4y2. (2) 原式＝－( x2－4xy＋4y2 ) 解：(1) 原式＝(a＋b)2－2(a＋b)·6＋62 ＝(a＋b－6)2. 分析：在 (1) 中，将 a＋b 看作一个整体，设 a＋b＝m，则原式化为完全平方式 m²－12m＋36； 对于 (2) ，可通过添括号将原式写成－(x²－4xy＋4y²)，括号内的式子为完全平方式. ＝－( x－2y )2. ＝－[x2－2·x·2y＋(2y)2] 探究点二：利用完全平方公式分解因式 探究新知 【练一练】1. 分解因式： (1) x2 - 12x + 36； (2) 4(2a + b)2 - 4(2a + b) + 1； 解：(1) 原式 = x2 - 2 · x · 6 + 62 = (x - 6)2. (2) 原式 = [2(2a + b)]² - 2×2(2a + b) · 1 + 1² = (4a + 2b - 1)2. 探究新知 返回 3.［沧州期末］下列各式能用完全平方公式分解因式的是( ) D A. B. C. D. 举一反三 17 返回 4.多项式 分解因式的结果是( ) D A. B. C. D. 举一反三 18 探究点三：提公因式法和公式法的综合运用 例4 分解因式： (1) x4－y4； (2) a3b－ab. (2) a3b－ab ＝ab (a2－1) ＝ab (a＋1)( a－1 ). 解：(1) x4－y4 ＝( x2＋y2 )( x2－y2 ) ＝( x2＋y2 )( x＋y )( x－y )； 分析：在 (1) 中，x4－y4 可以写成 (x²)²－(y²)² 的形式，可用公式法分解因式； 对于(2)，a3b－ab 的两项有公因式 ab，可以先提出公因式，再进一步分解因式. 探究新知 例5 分解因式： (1) 3ax2＋6axy＋3ay2； (2) －ax2＋2a2x－a3. 解：(1)3ax2＋6axy＋3ay2 ＝3a(x2＋2xy＋y2) ＝3a(x＋y)2. 分析：先提出公因式，再用公式法进一步分解因式. (2) －ax2＋2a2x－a3 ＝－a ( x2－2ax＋a2 ) ＝－a (x－a )2. 探究点三：提公因式法和公式法的综合运用 探究新知 【归纳总结】 分解因式前应先分析多项式的特点，一般先提公因式，再套用公式．注意分解因式必须进行到每一个多项式因式都不能再分解为止． 探究新知 【练一练】2. 分解因式： (1) －3a2x2＋24a2x－48a2； (2) 4x2y－4xy2－x3 ； (3) y2＋2y＋1－x2. 解：(1) 原式＝ －3a2(x2－8x＋16) ＝ －3a2(x－4)2. (2) 原式＝－x(－4xy＋4y2＋x2) ＝－x(x－2y)2. 探究点二：利用完全平方公式分解因式 (3) 原式＝(y＋1)²－x² ＝(y＋1＋x)( y＋1－x). 探究新知 5.把 分解因式，结果正确的是( ) C A. B. C. D. 返回 举一反三 23 6.利用1个的正方形，1个的正方形和2个 的长方形可拼 成一个大正方形（如图所示），从而可得到一个表示多项式因式分解的 等式：________________________. 返回 举一反三 24 7.若，则与 的关系是________. 返回 举一反三 25 8. 成都中考多项式4x2＋1加上一个单项式后，能成为一个多项式的平方， 那么加上的单项式可以是_______________(填一个即可)． 返回 4x(答案不唯一) 举一反三 26 9.［教材P 练习T 变式］分解因式： （1） ； 解：原式 . （2） ； 解：原式 . （3） ； 解：原式 . （4） ； 解：原式 . 举一反三 27 返回 (6)(x－y)2＋14(x－y)＋49. 解：原式＝ (x－y＋7)2. (5)－6mn－9m2－n2； 解：原式 . 举一反三 28 返回 10．利用因式分解计算： (1)22＋2×196＋982；      (2)2.352－4.7×1.35＋1.352. 解：原式＝22＋2×2×98＋982＝(2＋98)2＝1002＝10 000. 解：原式＝2.352－2×2.35×1.35＋1.352＝(2.35－1.35)2＝12＝1. 举一反三 29 返回 11.将分解因式得到，其中， 是常数，则 ( ) A A. B. C.3 D.4 举一反三 30 返回 12.无论,取何值，代数式 的值一定是( ) B A.非正数 B.负数 C.正数 D.非负数 举一反三 31 返回 13．若a，b是等腰三角形ABC的两边长，且满足关系式(a－1)2＋b2＝ 6b－9，则△ABC的周长是(　　) A．5 B．7 C．5或7 D．无法确定 举一反三 32 整式的乘法 相反 变形 因式分解 a2 + 2ab + b2 =_______. a2 - 2ab + b2 =_______. (a + b)2 (a + b)2 = a2 + 2ab + b2 (a - b)2 = a2 - 2ab + b2 完全平方公式 (a - b)2 两个数的平方和，加上(或减去)这两个数的积的 2 倍，等于这两个数的___(或___)的平方. 和 差 课堂小结 谢谢观看 THANKS $