17.2.2用完全平方公式分解因式（培优课件）2026-2027学年人教版数学八年级上册

该初中数学课件聚焦完全平方公式分解因式，涵盖公式逆用、完全平方式三大判定条件及“先提公因式再配方”的标准解题步骤。通过复习整式乘法与因式分解的逆向变形导入，衔接提取公因式法和平方差公式，搭建前后知识的学习支架。 其亮点在于以“三大判定条件”培养抽象能力，用“标准解题步骤”强化推理意识，通过带系数平方型、整体配方等模型渗透模型观念。如分解2a³-8a²+8a时先提公因式再配方，帮助学生掌握综合方法，教师使用可系统教学，提升学生运算能力与应用意识。

人教版数学八年级上册培优精做课件 授课教师： . 班 级： 8年级（ ）班 . 时 间： . 2026年6月9日 17.2.2用完全平方公式分解因式 第十七章 因式分解 17.2.2 用完全平方公式分解因式 练习题 一、核心知识点（必考） 1. 完全平方公式（因式分解逆用） 完全平方和：$$a^2+2ab+b^2=(a+b)^2$$ 完全平方差：$$a^2-2ab+b^2=(a-b)^2$$ 核心口诀：首平方，尾平方，首尾两倍在中央 2. 完全平方式三大判定条件（重中之重） 多项式必须同时满足： ① 一共三项； ② 首尾两项是平方项且为正； ③ 中间项是首尾底数乘积的2倍，可正可负。 满足三条，才是完全平方式，才能套公式分解！ 3. 快速识别a、b a：首项开平方的底数 b：尾项开平方的底数 中间项符号：决定最终平方里的加减 例：$$x^2-8x+16=x^2-2\cdot x\cdot4+4^2=(x-4)^2$$ 例：$$4x^2+12xy+9y^2=(2x)^2+2\cdot2x\cdot3y+(3y)^2=(2x+3y)^2$$ 二、标准解题步骤 ① 先提公因式（因式分解第一铁律，有公必提、提干净）； ② 判结构：三项式、首尾正平方、中间两倍积； ③ 定a、b：对首尾项开平方； ④ 看中间符号：正用和公式，负用差公式； ⑤ 查彻底：结果为平方形式，无法继续分解。 三、常见考试模型 1. 基础简单型 $$x^2+4x+4=(x+2)^2$$ $$x^2-6x+9=(x-3)^2$$ 2. 带系数平方型（高频） $$9x^2-12x+4=(3x)^2-2\cdot3x\cdot2+2^2=(3x-2)^2$$ 3. 整体完全平方（难点） 将多项式整体视为底数a或b： $$(x+y)^2+4(x+y)+4=(x+y+2)^2$$ 4. 先提后配方（必考综合型） $$2x^2-8x+8=2(x^2-4x+4)=2(x-2)^2$$ 四、高频易错点（扣分重灾区） 1. 首尾项为负不能用：首尾平方项必须是正数； 2. 中间项漏乘2：忘记验证中间项是2倍乘积，盲目套公式； 3. 系数不开方：带系数平方项，整体开方，不是只开字母； 4. 分解不彻底：不提公因式直接配方，结果含有公因式； 5. 混淆平方差与完全平方：两项用平方差，三项用完全平方。 五、选择题（每题4分，共20分） 1. 下列是完全平方式的是（） A. $$x^2+2x-1$$ B. $$x^2-4x+4$$ C.$$x^2+4$$ D. $$x^2+x+1$$ 2. 分解因式$$x^2-10x+25$$正确的是（） A. $$(x-5)^2$$ B. $$(x+5)^2$$ C. $$(x-5)(x+5)$$ D. $$x(x-10)+25$$ 3. $$4x^2+4x+1$$分解结果是（） A. $$(2x+1)^2$$ B. $$(2x-1)^2$$ C. $$4(x+1)^2$$ D. $$(4x+1)^2$$ 4. 若$$x^2+mx+9$$是完全平方式，则m的值为（） A. 6 B. -6 C. ±6 D. 9 5. 下列分解正确的是（） A. $$x^2-2x+1=(x-1)^2$$ B. $$x^2+4x+4=(x+4)^2$$ C.$$4x^2-2x+1=(2x-1)^2$$ D. $$x^2-6x-9=(x-3)^2$$ 六、填空题（每题4分，共20分） 1. 完全平方差公式：$$a^2-2ab+b^2=$$________。 2. $$x^2+12x+36=$$________。 3. $$25x^2-20x+4=$$________。 4. $$a^2-8ab+16b^2=$$________。 5. $$3x^2-12x+12=$$________。 七、解答题（共60分） 1.（15分）分解因式：$$16x^2-24xy+9y^2$$ 2.（15分）分解因式：$$-x^2+6x-9$$ 3.（15分）整体配方：$$(m-n)^2-6(m-n)+9$$ 4.（15分）综合分解：$$2a^3-8a^2+8a$$ 八、参考答案与详细解析 （一）选择题 1. B 解析：满足三项、首尾正平方、中间两倍乘积，是完全平方式。 2. A 解析：$$x^2-2\cdot x\cdot5+5^2=(x-5)^2$$。 3. A 解析：$$(2x)^2+2\cdot2x\cdot1+1^2=(2x+1)^2$$。 4. C 解析：$$x^2\pm6x+9=(x\pm3)^2$$，m可取正负6。 5. A 解析：B应为$$(x+2)^2$$；C中间项不满足2倍积；D尾项为负，不是完全平方式。 （二）填空题 1. $$(a-b)^2$$ 2. $$(x+6)^2$$ 3. $$(5x-2)^2$$ 4. $$(a-4b)^2$$ 5. $$3(x-2)^2$$ （三）解答题 1. 解：原式$$=(4x)^2-2\cdot4x\cdot3y+(3y)^2$$ $$=(4x-3y)^2$$ 2. 解：原式$$=-(x^2-6x+9)$$ $$=-(x-3)^2$$ 解析：首项为负，先提取负号，再用完全平方公式。 3. 解：原式$$=[(m-n)-3]^2$$ $$=(m-n-3)^2$$ 解析：将$$m-n$$整体看作a，套用完全平方差公式。 4. 解：原式$$=2a(a^2-4a+4)$$ $$=2a(a-2)^2$$ 解析：先提公因式，再配方，分解彻底无剩余因式。 九、本节满分总结 1. 完全平方公式只认三项、首尾正平方、中间两倍积； 2. 解题顺序：先提公因式，再判断配方； 3. 首项为负先提负号，保证首尾项为正； 4. 可整体配方、带系数配方，最终必须分解彻底。 十、【重点区分】两大公式分解因式对比 平方差公式：两项、异号、平方形 → 拆成两个整式相乘 完全平方公式：三项、首尾正、中间两倍积 → 拆成整式平方 掌握完全平方式的特点，能识别完全平方式. 能较熟练地运用完全平方公式分解因式． 能综合运用提公因式、完全平方公式分解因式这两种方法进行求值和证明． 我们知道，因式分解与整式乘法是反方向的变形，我们学习了因式分解的两种方法：提取公因式法、运用平方差公式法.现在，大家自然会想，还有哪些乘法公式可以用来分解因式呢？ 导入新知 3 复习导入 在括号里填上适当的式子，使等式成立： (1) (a + b)2 = ________________； (2) (a – b)2 = ________________； (3) a2 + ______ + 1 = (a + 1)2； (4) a2 – ______ + 1 = (a – 1)2 . a2 + 2ab + b2 a2 – 2ab + b2 2a 2a 整式乘法 因式分解 探究新知 思 考 这两个式子有什么特点？ a2 + 2ab + b2 a2 – 2ab + b2 首平方 尾平方 2倍乘积放中央 完全平方式 注意：①平方项符号相同； ②中间项是积的2倍. 练习 下列多项式是不是完全平方式？ （1）a2 – 12a + 36 （2）x2 + 4x + 4y2 （3）4a2 + 2ab + b2 1 4 （4）a2 – ab + b2 （6）a2 + a + 0.25 是 不是 是 不是 不是 是 a2 62 2·a·6 x2 (2y)2 2·x·2 (2a)2 ( b)2 1 2 2·2a· b 1 2 a2 b2 2·a· b 1 2 a2 0.52 2·a·0.5 （5）x2 – 6x – 9 完全平方公式： 即两个数的平方和加上（或减去）这两个数的积的 2 倍，等于这两个数的和（或差）的平方. 等号两边互换： (a + b)2 = a2 + 2ab + b2 (a – b)2 = a2 – 2ab + b2 a2 + 2ab + b2 = (a + b)2 a2 – 2ab + b2 = (a – b)2 利用完全平方公式可以将形如完全平方式的多项式分解因式. 例3　分解因式：　 (1) x2 + 4x + 4； (2) 16x2 – 24x + 9. 解：(1) x2 + 4x + 4 = x2 + 2·x·2 + 22 分析： 是完全平方式 (2) 16x2 – 24x + 9 = (4x)2 – 2·4x·3 + 32 = (4x – 3)2 a2 22 2·x·2 = (x + 2)2 是完全平方式 (4x)2 32 2·4x·3 例4　分解因式：　 (1) (a + b)2 – 12(a + b) + 36； (2) – x2 + 4xy – 4y2. 解：(1) (a + b)2 – 12(a + b) + 36 = (a + b)2 – 2·(a + b)·6 + 62 是完全平方式 (2) – x2 + 4xy – 4y2 = – (x2 – 4xy + 4y2) = – [x2 – 2·x·2y + (2y)2] m2 62 2·m·6 = (a + b – 6)2 整体思想：设 a + b = m 先提负号： 是完全平方式 – (x2 – 4xy + 4y2) = – (x – 2y)2 x2 2·x·2y (2y)2 思考 运用完全平方公式分解因式应注意什么？ （1）先找平方项，再运用公式； （2）平方项可以是单项式，也可以是多项式； （3）若平方项前面是负号，先把负号提到括号前面，再考虑用完全平方公式. 归纳 有关完全平方公式的常见变形： a2 + b2 的变形 ab 的变形 a2+b2 = (a+b)2–2ab a2+b2 = (a–b)2+2ab (a±b)2 的变形 a2+b2 = [(a+b)2+(a–b)2] ab = [(a+b)2–(a2+b2)] ab = [(a2+b2)–(a–b)2] ab = [(a+b)2–(a–b)2] (a+b)2 = (a–b)2+4ab (a–b)2 = (a+b)2–4ab 可以看出，把乘法公式的等号两边互换，就可以得到把某些具有特殊形式的多项式分解因式的公式. 运用公式把多项式分解因式的方法叫作公式法. 1. 因式分解：x2–4xy+4y2= ． 2. 若多项式4x2-mxy+9y2能用完全平方公式因式分解，则m的值是__________． 解析：∵多项式4x2-mxy+9y2能用完全平方公式因式分解， ∴4x2-mxy+9y2=(2x)2-mxy+(3y)2. ∴m=±2×2×3=±12. (x–2y)2 ±12 链接中考 随堂练习 1.下列四个多项式中，能因式分解的是( ) A．a2＋1 B．a2–6a＋9 C．x2＋5y D．x2–5y 2.把多项式4x2y–4xy2–x3分解因式的结果是( ) A．4xy(x–y)–x3 B．–x(x–2y)2 C．x(4xy–4y2–x2) D．–x(–4xy＋4y2＋x2) 3.若m＝2n＋1，则m2–4mn＋4n2的值是________． B B 1 4.若关于x的多项式x2–8x＋m2是完全平方式，则m的值为_________ ． ±4 课堂检测 基础巩固题 随堂练习 5. 把下列多项式因式分解. (1)x2–12x+36; (2)4(2a+b)2–4(2a+b)+1; (3) y2+2y+1–x2; (2)原式=[2(2a+b)]² – 2·2(2a+b)·1+1²=(4a+2b– 1)2; 解：(1)原式=x2–2·x·6+62=(x–6)2; (3)原式=(y+1)² –x²=(y+1+x)(y+1–x). 课堂检测 随堂练习 (2)原式 1.计算：(1) 38.92–2×38.9×48.9＋48.92. 解：(1)原式＝(38.9–48.9)2 ＝100. 能力提升题 课堂检测 随堂练习 16 小聪: 小明: 2. 分解因式:(1)4x2＋4x＋1；(2) 小聪和小明的解答过程如下： 他们做对了吗？若错误，请你帮忙纠正过来. x2–2x＋3. (2)原式＝ (x2–6x＋9)＝ (x–3)2. 解: (1)原式＝(2x)2＋2×2x·1＋1＝(2x+1)2. × × 课堂检测 随堂练习 (1)已知a–b＝3，求a(a–2b)＋b2的值； (2)已知ab＝2，a＋b＝5，求a3b＋2a2b2＋ab3的值． 解：(1)原式＝a2–2ab＋b2＝(a–b)2. 当a–b＝3时，原式＝32＝9. (2)原式＝ab(a2＋2ab＋b2)＝ab(a＋b)2. 原式＝2×52＝50. 　当ab＝2，a＋b＝5时， 拓广探索题 课堂检测 随堂练习 1. 下列各式：； ； ； ，其中不能用完全平方公式因 式分解的式子有( ) B A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 2. 已知，为任意有理数，记，，则 与 的大小关系为( ) B A. B. C. D. 不能确定 返回 考试考法 19 3. ［2025漳州期中］一个大正方形被分割成四部分，面积分 别为,,, ，则大正方形的边长为( ) D A. B. C. D. 4. 若有理数，满足，则 的 值为( ) A A. 2 B. C. 1 D. 返回 考试考法 20 5. 整式 可以写成( ) A. B. C. D. B 返回 考试考法 6. 若多项式 能用完全平 方公式因式分解，则 的值是_____. 【点拨】 多项式 能用完全平方公式因式 分解，， . 7.利用因式分解计算： ____. 16 返回 考试考法 22 8.母题教材P130例3 把下列各式因式分解： （1） ； 【解】原式 . （2） ； 原式 . （3） . 原式 . 返回 考试考法 23 课堂小结 运用公式把多项式分解因式的方法叫作公式法. $