三角函数 专项训练-2027届高三数学一轮复习

**基本信息** 聚焦三角函数核心考点，通过分层题型构建从概念应用到综合探究的知识逻辑链，培养数学思维与推理能力。 **专项设计** |模块|题量/典例|题型特征|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |单选题|8题|考查三角函数定义、诱导公式、周期性、单调性等基础概念|从三角函数定义出发，逐步延伸至性质应用，形成概念-性质-简单应用的逻辑链| |多选题|3题|综合图像分析、实际应用（如过山车轨道）、性质判断|结合图像直观与代数推理，体现数学眼光观察现实世界的能力| |填空题|3题|涉及周期计算、三角恒等变换、零点存在性问题|深化公式应用与参数讨论，强化数学思维的严谨性| |解答题|5题|涵盖化简求值、单调区间、图像变换、解析式求解、值域问题|从基础运算到综合探究，构建“运算-推理-建模”的完整解题逻辑，培养数学语言表达能力|

高中数学人教A版必修一三角函数 一、单选题 1．已知，，则 A． B． C． D． 2．（   ） A． B． C． D．1 3．下列四个函数中，以为最小正周期，且在区间上单调递减的是（    ） A． B． C． D． 4．已知函数，则其图象离直线最近的一条对称轴的方程是（    ） A． B． C． D． 5．若，，，则（    ） A． B． C． D． 6．在中，，则为（   ） A．等腰三角形 B．直角三角形 C．等腰直角三角形 D．等腰三角形或直角三角形 7．已知，则“”是“”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件 8．若函数的图像关于y轴对称，，则（    ）. A． B． C． D． 二、多选题 9．（多选）已知函数，则下列等式成立的是（    ） A． B． C． D． 10．如图（1）是一段依据正弦曲线设计安装的过山车轨道，建立平面直角坐标系如图（2），（单位：）表示在时间（单位：）时，过山车（看作质点）离地面的高度，轨道最高点距离地面，最低点距离地面．入口处距离地面．当时，过山车到达最高点，时，过山车到达最低点．设，下列结论正确的是（     ） A．函数的最小正周期为 B． C．时，过山车距离地面 D．一个周期内过山车距离地平面不低于的时间是 11．已知函数的图象如图所示，点在的图象上，若，则下列说法正确的是（   ） A． B．在上单调递减 C．图象关于对称 D．若将图象上每个点的横坐标变为原来的倍得函数在上恰有一个最大值，一个最小值，则 三、填空题 12．若函数（其中常数）的最小正周期为3，则的值为__________． 13．已知，则________． 14．若函数在区间上存在唯一的使得，则实数的取值范围是__________. 四、解答题 15．已知. (1)化简求值：； (2)若是第一象限角，，且，求的值. 16． 求函数的单调递减区间． 17．已知函数. (1)求的对称轴方程； (2)将函数的图象向左平移个单位，再将所得图象上所有点的纵坐标不变，横坐标变为原来的2倍后所得到的图象对应的函数是，求在上的零点个数． 18．已知函数，其中 (1)已知函数的最小正周期为，求函数在上的单调递增区间； (2)当时，函数的正零点由小到大的顺序依次为，…，若，求的值． 19．已知函数的部分图象如图所示. (1)求的解析式； (2)将的图象向右平移个单位长度，得到函数的图象，求在上的值域. 学科网（北京）股份有限公司 $ 高中数学人教A版必修一三角函数 参考答案 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案 D B D D D D D B BC AD 题号 11 答案 ACD 1．D 【分析】由与的关系进行转化，进而求出的值. 【详解】由题，所以， 又因为，所以或（舍去），故， 所以； 又因为. 故选：D. 2．B 【分析】由正余弦二倍角公式及两角差的正弦公式转化为特殊角进行化简，进而求解. 【详解】 . 故选：B. 3．D 【分析】根据正余弦周期公式及图像变换排除，再通过对应区间内的单调性排除、. 【详解】对于A，，根据图象性质区间上单调递增，错误； 对于B，，错误； 对于C，，图像在单调递增，错误； 对于D，的图象是由的图象轴下方的图象上翻，周期减半， 故周期为，又在区间上，所以在区间上单调递减. 故选：D. 4．D 【分析】利用余弦（型）函数对称性分析求解即可. 【详解】根据题意，令，，解得函数的对称轴为：， 令，得，令，得，令，得，令，得， 所以函数的图象离直线最近的对称轴方程为． 5．D 【分析】先根据，由，，求出和，再由两角和的余弦公式得出结果 【详解】由题意知，，因为，所以， 因为，所以，则 故选：D 6．D 【分析】利用诱导公式将整理成，结合正弦函数的图像得到或，计算得解. 【详解】，， 或， 或， 或， 等腰三角形或直角三角形. 故选：D. 7．D 【分析】将中的角变形，再利用两角和差公式得到，得到或，分别讨论求解，得到充分性不成立；由得到，分别讨论和两种情况进行求解，从而得到必要性不成立. 【详解】充分性分析： ，，， ， ， 或， 当时，，即，， 当时，，即， 综上可得，当时，或， 不能得到，充分性不成立； 必要性分析： ，， 当时，，不一定有成立， 当时，，则有成立， 综上，由不一定得到，故必要性不成立， 故选：D. 8．B 【分析】将利用辅助角公式化为，利用函数的图像关于y轴对称，得到，计算求解. 【详解】，， 的图像关于y轴对称， ，， 当时，. 故选：B. 9．BC 【分析】将各选项代入后，利用诱导公式求解. 【详解】对于A，，A错误； 对于B，，B正确； 对于C，，C正确； 对于D，，D错误. 10．AD 【分析】根据三角函数的图象以及三角函数性质先求出函数解析式，然后结合已知条件逐项分析即可. 【详解】对于A，由题意可知，最小正周期满足，所以，故A正确； 对于B，由，又，解得：， 所以，又，即， 因为，所以，故B错误， 选项C，由A，B可得， 所以，故C错误； 对于D，由题意得：， 则有，解得：， 令时，，则一个周期内过山车距离地平面不低于的时间是，故D正确. 11．ACD 【分析】选项A，将点代入求出，由求出，由和，结合图像得到，结合，求出；选项B，由求出的范围，从而得到在范围内是减函数，在范围内是增函数，故选项B不正确；选项C，由对称轴为，计算得解； 选项D，将图象上每个点的横坐标变为原来的倍求出函数，由得到的范围，求出时，，又的最大值为4，最小值为，结合图像得到，计算得解. 【详解】选项A，，在的图象上， ，，，，， ，，， 在轴左侧，，，， 的最大值为4，最小值为，又，， ，，，，，故选项A正确； 选项B，，，，， 在范围内是减函数，在范围内是增函数， 在范围内是减函数，在范围内是增函数， 故选项B不正确； 选项C，，对称轴为，，当时，对称轴为，故选项C正确； 选项D，， 将图象上每个点的横坐标变为原来的倍得函数， ， ，， 当时，即时，， 的最大值为4，最小值为， ，，故选项D正确. 故选：ACD. 12． 【分析】根据正切型函数的最小正周期公式求解即可. 【详解】由题意可知：，解得：. 13． 【分析】先将的分子分母都除以，求得，再利用两角和差的正切公式求解. 【详解】，，， . 故答案为：. 14． 【分析】函数在区间上存在唯一的使得，由求出，利用正弦函数的图形得到，从而得到的取值范围. 【详解】函数在区间上存在唯一的使得， 由于，故， 所以，解得. 故实数的取值范围为. 故答案为：. 15．(1) (2) 【分析】（1）先用诱导公式化简，再弦化切求值； （2）先求出、的正弦、余弦，再利用两角和与差的三角函数求值. 【详解】（1）原式. （2）由为第一象限角，且，故：，； 又，且，故. 所以：. 16．． 【分析】先利用诱导公式对函数解析式进行变形，再利用余弦函数图像性质求出单调递减区间. 【详解】解：． 由， 解得， ∴函数的单调递减区间为． 17．(1) (2)11 【分析】（1）设即可求出的对称轴方程； （2）根据图象变换求出，换元画出图象即可求解. 【详解】（1），设， 的对称轴方程为； （2）由题意得：，， 令，，求出在的零点个数即可， 令，解得，， 求在与和的交点个数， 由图像易知有11个交点， 即在上的零点个数有11个. 18．(1)答案见解析； (2)答案见解析. 【分析】（1）先将函数化简，再利用周期公式和正弦函数的单调增函数求解； （2）先将函数化简，设，解出的值，根据题意可知，且的正零点由小到大的顺序依次为，…，可以求出，，再代入，求出. 【详解】（1），，的周期为，，，解得，， ，，，或或，在上的单调递增区间为，，. （2），，，，设，， ， 或， 的正零点由小到大的顺序依次为，…， ，，解得， ，，. 19．(1) (2). 【分析】（1）通过图像可以得到和之间的距离为周期的一半，利用周期公式得到的值，又图像过点，代入求解即可； （2）根据平移求出，由，求出的范围，再结合余弦函数的图像得到最大值和最小值，从而得到的值域. 【详解】（1）由图可知的最小正周期，则. 因为的图象经过点，所以，所以. 因为，所以，所以，解得. 故. （2）由（1）可得，则. 因为，所以. 当，即时，取得最小值，， 当，即时，取得最大值，， 则，即在上的值域是. 答案第1页，共2页 答案第1页，共2页 学科网（北京）股份有限公司 $