4.2 认识一次函数 新课预习 2026-2027学年北师大版八年级数学上册

**基本信息** 聚焦一次函数概念建构，通过定义辨析-参数求解-实际应用的递进训练，系统培养抽象能力与模型意识。 **综合设计** |模块|题量/典例|方法提炼|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |概念辨析|单选1-5、填空10（7题）|定义判断法（紧扣y=kx+b(k≠0)特征）|从正比例函数（特殊）到一次函数（一般）的概念生成| |参数求解|单选3、填空9（2题）|系数限定法（k≠0及常数项条件）|概念内涵的深化理解| |实际应用|单选5-6、填空12、解答15-16（5题）|实际问题建模法（抽象数量关系）|概念到现实情境的应用拓展| |图像与性质|单选7-8、解答17-18（4题）|待定系数法（求解析式）|性质与图像的逻辑推导|

4.2 认识一次函数 新课预习2026-2027学年北师大版 八年级数学上册 一、单选题 1．下列关于的函数中，是正比例函数的是（ ） A． B． C． D． 2．在下列函数中，y是x的一次函数的是（   ） A．（k、b是常数） B． C． D． 3．函数是一次函数，则k的取值范围是（　　） A． B． C． D． 4．点在函数的图象上，则代数式的值等于（     ） A． B． C．3 D．5 5．下列各题中的与之间关系式中，是的正比例函数的是(   ) A．在时速为的匀速(速度不变)运动中，路程与时间之间的关系 B．圆柱的体积与它的底面半径之间的关系 C．正方形的面积与它的边长之间的关系 D．某车站规定旅客可以免费携带不超过的行李，超过部分每千克收取元的行李费用，则旅客需交的行李费(元)与携带行李质量()之间的关系 6．我们都知道“乌鸦喝水”的故事．杯中有一定量的水，假设乌鸦向杯中投放完全相同的石子，在水面高度到达杯口边缘之前，每枚石子都浸没水中，从投放第一枚石子开始记数，水面高度与投入的石子个数之间满足的函数关系是（    ） A．正比例函数关系 B．一次函数关系 C．反比例函数关系 D．其他函数关系 7．已知一次函数（，是常数，），若，点在该函数图象上，则下列说法正确的是（   ） A．且 B．且 C．且 D．且 8．一次函数中，函数y与自变量x的部分对应值如表，则n的值为（   ） x … m … y … 4 2 n … A． B．1 C．2 D． 二、填空题 9．若关于x的函数是正比例函数，则该函数的表达式为________． 10．若两个变量x，y间的对应关系可以表示成__________的形式，则称y是x的一次函数．特别地，当b＝0时，称y是x的__________函数，即y＝kx（k≠0）． 11．八（1）班数学兴趣小组在学习了《神奇的加密术》后，设计了一款“明文-数字”加密术，如图．约定在一次函数中，x是明文对应的数字，y是密文．现收到密文．请写出明文_________． 明文 A B C D E F G H I J K L M 数字 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 明文 N O P Q R S T U V W X Y Z 数字 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 12．体育节学校购买跳绳和钢笔共100个奖品，跳绳每个4元，钢笔每支5元，若跳绳购买x个，总费用y（元）与x（个）之间的函数关系式为________．（不用写出自变量x的取值范围） 13．点在直线上，则代数式的值是______． 三、解答题 14．已知y是的正比例函数，并且当时，． (1)求出y与x之间的函数关系式； (2)求时x的值． 15．写出下列各题中y与x之间的关系式，并判断：y是否为x的一次函数？是否为正比例函数？ (1)正方形的面积与它的边长x（）之间的关系； (2)某地居民用电收费标准是0.53元/（），应缴电费y（元）与用电量x（）之间的关系； (3)汽车从离A站的B地出发，以的速度沿射线方向匀速行驶，汽车到A站的距离y（）与匀速行驶的时间x（h）之间的关系． 16．已知矩形ABCD的周长为20cm．若设AB=xcm，BC=ycm．请写出y与x的函数关系式并写出自变量x的取值范围． 17．下表中，是的一次函数，写出该函数表达式，并补全下表． －3 －2 －1 0 1 6 4 18．如图所示的是一个“函数求值机”的示意图，其中是的函数，当输入不同的值时，将输出对应的值，其中函数为一次函数． (1)当时，求函数的表达式． (2)当时，的值记为，当时，的值记为，则____．（填“”、“”或“”） (3)要使输出结果为2，求应输入的值． 试卷第1页，共2页 试卷第1页，共2页 学科网（北京）股份有限公司 参考答案 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 答案 B B D D A B A D 1．【答案】B 【知识点】正比例函数的定义 【分析】本题考查了正比例函数的定义，根据正比例函数的定义，形如（为常数，）的函数是正比例函数，逐一判断各选项即可． 【详解】解：A、该函数不是正比例函数，故本选项错误； B、该函数是正比例函数，故本选项正确； C、该函数不是正比例函数，故本选项错误； D、该函数不是正比例函数，故本选项错误； 故选：B． 2．【答案】B 【知识点】识别一次函数 【分析】本题考查了一次函数的概念，熟知形如（k、b是常数，且）叫一次函数是解题的关键．根据一次函数的定义逐项判断即得答案． 【详解】解：A、当时，不是一次函数； B、化为，是一次函数； C、分母中含有自变量，不是一次函数； D、自变量次数不是一次，不是一次函数； 故选：B． 3．【答案】D 【知识点】根据一次函数的定义求参数 【分析】根据一次函数定义可得，再解不等式即可． 【详解】解：由题意得：， 解得：， 故选：D． 【点睛】此题主要考查了一次函数的定义，一次函数的定义条件是：k、b为常数，，自变量次数为1． 4．【答案】D 【知识点】已知式子的值，求代数式的值、求一次函数自变量或函数值 【分析】本题主要考查了一次函数的图像性质，结合代数式求值是解题的关键． 把点P的坐标代入一次函数解析式，得出，代入即可． 【详解】解：∵点在函数的图象上， ∴，即， 则， 故选：D． 5．【答案】A 【知识点】正比例函数的定义 【分析】本题考查了正比例函数的识别，根据正比例函数的定义，为常数逐一判断各选项． 【详解】正比例函数需满足为常数)， 选项A：匀速运动中，路程y与时间x关系为，符合形式； 选项B：圆柱体积与半径关系为 为常数不符合； 选项C：正方形面积与边长关系为，不符合； 选项D：行李费与质量关系为，不符合． ∴只有A选项是正比例函数． 故选：A． 6．【答案】B 【知识点】列一次函数解析式并求值 【分析】本题考查函数关系的识别，根据题意设水面原来高度为b，每枚石子可以使水面上升高度为k，可以得到，即可得出结论． 【详解】解：设水面原来高度为b，每枚石子可以使水面上升高度为k，投放x枚石子后水面高度为y，则，符合一次函数解析式， 故选B． 7．【答案】A 【知识点】根据一次函数的定义求参数 【分析】本题考查了求一次函数解析式，一次函数的性质，理解一次函数的增减性是解决本题的关键．根据一次函数表达式及已知条件，结合点坐标代入得到，结合即可推导参数关系，进而判断选项． 【详解】解：点在函数图象上，代入得： ∵， ∴，即， ∵，即， ∴ ∴，． 故选：A ． 8．【答案】D 【知识点】求一次函数自变量或函数值 【分析】本题主要考查了一次函数的性质，把点代入，得出，求出即可． 【详解】解：把点代入得： ， 整理得：， 把②代入①得：， 解得：， 把，代入③得：， 解得：． 故选：D． 9．【答案】 【知识点】正比例函数的定义 【分析】本题考查了正比例函数的定义，由定义得函数形式应为（），因此常数项必须为0，且一次项系数不为0，据此即可求解． 【详解】解：由题意得 ，且， 解得， ． 故答案为：． 10．【答案】 y＝kx＋b(k，b是常数，k≠0) 正比例 【知识点】正比例函数的定义、识别一次函数 【解析】略 11．【答案】MATH 【知识点】求一次函数自变量或函数值 【分析】将每个密文代入给定的一次函数解析式，解一元一次方程得到明文对应的数字，再结合表格中数字与明文的对应关系，确定明文字母． 【详解】解：已知一次函数，其中为密文，为明文对应的数字， 当时，代入得，移项得，合并同类项得，系数化为1得，由表格可知数字13对应明文M； 当时，代入得，移项得，合并同类项得，系数化为1得，由表格可知数字1对应明文A； 当时，代入得，移项得，合并同类项得，系数化为1得，由表格可知数字20对应明文T； 当时，代入得，移项得，合并同类项得，系数化为1，得，由表格可知数字8对应明文H， 综上，明文为MATH． 12．【答案】 【知识点】列一次函数解析式并求值 【分析】本题考查了一次函数的应用，找准等量关系是解题关键．先求出钢笔为支，再根据总费用跳绳的单价跳绳的个数钢笔的单价钢笔的个数，由此即可得． 【详解】解：由题意得：购买钢笔的支数为支， 则， 故答案为：． 13．【答案】5 【知识点】已知式子的值，求代数式的值、根据一次函数的定义求参数 【分析】本题考查代数式求值，一次函数上的点与其解析式的关系，根据题意，将点代入直线得到，恒等变形得到，整体代入代数式即可得到答案，熟练掌握整体代入求代数式值的方法是解决问题的关键． 【详解】解：点在直线上， 将点代入直线得到， ， 故答案为：． 14．【答案】(1) (2) 【知识点】求自变量的值或函数值、正比例函数的定义、用关系式表示变量间的关系 【分析】本题主要考查了待定系数法求函数解析式，正比例函数的定义，求自变量的值： （1）设，再根据当时，进行求解即可 （2）把代入（1）所求中进行求解即可． 【详解】（1）解：设， 把时，代入得，解得， ∴y与x之间的函数关系式为 （2）解：当时，， 解得． 15．【答案】(1)不是的一次函数，也不是的正比例函数 (2)，是的一次函数，也是的正比例函数 (3)，是的一次函数，但不是的正比例函数 【知识点】正比例函数的定义、识别一次函数、用关系式表示变量间的关系 【分析】此题考查了一次函数和正比例函数的定义，根据题意正确列出函数解析式是关键． （1）根据正方形的面积是边长 x（）的平方列出函数解析式，再判断即可； （2）根据应缴电费y（元）是收费标准是0.53元/（）与用电量x（）的乘积，列出函数解析式，再判断即可； （3）根据汽车到A站的距离y（）是原来的距离加上汽车行驶距离列出函数解析式，再判断即可． 【详解】（1）解：根据题意可得， 不是的一次函数，也不是的正比例函数； （2）解：根据题意可得， ，是的一次函数，也是的正比例函数； （3）解：根据题意可得， ，是的一次函数，但不是的正比例函数 16．【答案】y=10-x； 【知识点】列一次函数解析式并求值 【分析】根据长方形周长公式列式即可，由长宽均大于0可得x的取值范围． 【详解】解：根据题意得，y==10﹣x，即y=10﹣x， ∵x＞0且10﹣x＞0， ∴0＜x＜10． 【点睛】本题主要考查根据实际问题列一次函数解析式的能力，熟知长方形周长公式是解题根本，由长宽为正可得自变量取值范围． 17．【答案】，3个空依次填写2，0，－2． 【知识点】列一次函数解析式并求值 【分析】因为y是x的一次函数，可设y=kx+b，由图表可知，x=-3时y=6，x=-2时y=4，然后可得到关于k、b的方程组，进而可求出解析式；把x=-1，0，1代入求出相应的y值． 【详解】解：∵y是x的一次函数， ∴设y=kx+b， 又∵由图表可知，x=-3时y=6，x=-2时y=4 ∴ 解得： ∴所求的一次函数的解析式为y=-2x； ∴当x=-1时，y=-2×（-1）=2； 当x=0时，y=-2×0=0； 当x=1时，y=-2×1=-2； ∴一次函数的解析式为y=-2x，三个空依次填写2，0，－2． 【点睛】本题考查了待定系数法求一次函数的解析式，熟练掌握待定系数法是解题的关键． 18．【答案】(1)当时，函数的表达式为 (2) (3)应输入的x值为或7 【知识点】根据一次函数的定义求参数、求一次函数自变量或函数值 【分析】本题考查的是一次函数的定义，求解一次函数的自变量或函数值； （1）由为一次函数，可得，，进一步求解即可； （2）当时， ，当时， ，再比较大小即可； （3）当时，则，当时，则，再解方程即可. 【详解】（1）解：∵为一次函数， ∴，， 解得：， ∴当时，函数的表达式为； （2）解：当时，的值记为， ∴， 当时，的值记为， ∴， ∴； （3）解：当时，则， 解得：， 当时，则， 解得：. 答案第1页，共2页 答案第1页，共2页 学科网（北京）股份有限公司 $