4.5.1 函数的零点与方程的解 课时练-2026-2027学年高一上学期数学人教A版必修第一册

**基本信息** 高一数学“函数的零点与方程的解”同步练，以“基础概念→综合应用→拓展探究”分层，覆盖零点定义、存在性定理及综合应用，适配新授课知识巩固与能力提升，培养抽象能力、推理意识与应用意识。 **分层设计** |层次|知识覆盖|设计特色| |----|----------|----------| |基础|零点定义、基本存在性定理|直接考查概念辨析（如第1题求二次函数零点）| |中档|分段函数零点、函数图象与零点关系|结合分类讨论与图象分析（如第4题含绝对值函数交点问题）| |提升|参数范围、证明推理|融入期中真题与探究性问题（如第15题二次函数证明）|

4.5.1 函数的零点与方程的解【课时步步练】 2026-2027学年高一数学同步备课系列【提升题】——解析版 一、选择题（共8小题） 1.函数f(x)＝x2－8x＋16的零点是 （      ）  A.(0，4) B.(4，0) C.4 D.8 【答案】C 【解析】由f(x)＝x2－8x＋16＝0，得x＝4，所以函数f(x)＝x2－8x＋16的零点是4，故选C. 2.若函数f(x)在区间[a，b]上的图象连续不断，且f(a)f(b)>0，则函数f(x)在区间(a，b)内(　　) A.必有唯一零点 B.一定没有零点 C.必有无数个零点 D.可能有两个零点 【答案】D 【解析】f(x)在区间(a，b)内的零点情况不确定，可以无零点，也可能有零点，有零点的话，零点个数不定. 3.已知函数f(x)＝则函数f(x)的零点为 （      ）  A.，0 B.－2，0 C. D.0 【答案】D 【解析】当x≤1时，由f(x)＝0，得2x－1＝0，所以x＝0； 当x>1时，由f(x)＝0，得1＋log2x＝0，所以x＝，不成立． 综上，函数f(x)的零点为0. 故选D. 4.已知函数f(x)＝x|x－4|，若直线y＝a与函数f(x)的图象有三个交点A，B，C，它们的横坐标分别为x1，x2，x3，则x1＋x2＋x3的取值范围是(　　) A.(6,6＋2) B.[8,6＋2) C.[6,6＋2) D.(8,6＋2) 【答案】D 【解析】f(x)＝x|x－4|＝ 其图象如图所示， 设函数y＝f(x)的图象与直线y＝a的交点的对应横坐标分别为x1，x2，x3，则x1＋x2＝4,4<x3<2＋2，所以8<x1＋x2＋x3<6＋2. 5.（2025-2026·湖南长沙高一上期中）函数的零点所在区间为（） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】由与在上均为单调增函数, 得在上单调递增. , . 因为单调递增且, 故的零点所在区间为. 答案为C. 6.已知函数，则函数的零点的个数是( ) A.3 B.4 C.5 D.6 【答案】D 【解析】令． ①当时，，则函数在上单调递增， 由于，由零点存在定理可知，存在，使得； ②当时，，由，解得，． 作出函数，直线，，的图象如下图所示： 由图象可知，直线与函数的图象有三个交点； 直线与函数的图象有两个交点； 直线与函数的图象有且只有一个交点． 综上所述，函数的零点个数为． 故选：D． 7.（2024-2025·湖南邵阳高一上期中）已知函数，则的零点所在区间为（） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】因为函数在上单调递增， 由， 得， 所以的零点所在区间为. 8.函数f(x)＝(x2－1)·的零点个数是(　　) A.1 B.2 C.3 D.4 【答案】B 【解析】要使函数有意义，则x2－4≥0，解得x≥2或x≤－2.由f(x)＝0得x2－4＝0或x2－1＝0(不成立舍去)，即x＝2或x＝－2.所以函数的零点个数为2. 二、多选题（共3小题） 9.（2025-2026·湖南湘潭高二上期中）已知函数，若，则（） A. B. C. D. 【答案】AC 【解析】由,得或, 由且,得, 故； 由且,得； 故方程的解为或, 答案为AC. 10.若函数f(x)的图象在R上连续不断，且满足f(0)<0，f(1)>0，f(2)>0，则下列说法正确的有(　　) A.f(x)在区间(0，1)上一定有零点 B.f(x)在区间(0，1)上一定没有零点 C.f(x)在区间(1，2)上可能有零点 D.f(x)在区间(1，2)上一定有零点 【答案】AC 【解析】由题知f(0)·f(1)<0， 所以根据函数零点存在定理可得f(x)在区间(0，1)上一定有零点， 又f(1)·f(2)>0， 因此无法判断f(x)在区间(1，2)上是否有零点. 11.函数f(x)=x-2-log4|x|的零点所在的区间可能为 （      ）  A.(-1，0) B.(0，1) C.(2，3) D.(3，4) 【答案】ABC 【解析】令f(x)=x-2-log4|x|=0，可得x-2=log4|x|，所以函数f(x)=x-2-log4|x|的零点所在区间等价于函数y=x-2与y=log4|x|图象的交点横坐标所在的区间，作出y=x-2与y=log4|x|的图象如图所示.由图可知函数y=x-2与y=log4x图象的三个交点的横坐标分别位于区间(-1，0)，(0，1)，(2，3)内，所以函数f(x)=x-2-log4|x|的零点所在的区间可能为(-1，0)，(0，1)，(2，3).故选ABC. 三、填空题（共3小题） 12.已知f(x)＝则f(f(―2))＝                  ，函数f(x)的零点的个数为                  ． 【答案】14　1 【解析】根据题意得f(－2)＝(－2)2＝4，则f(f(－2))＝f(4)＝24－2＝16－2＝14. 令f(x)＝0，得2x－2＝0，解得x＝1，则函数f(x)的零点个数为1. 13.若函数f(x)＝｜2x－2｜－b有两个零点，则实数b的取值范围为                   . 【答案】(0，2) 【解析】由f(x)＝｜2x－2｜－b＝0，得｜2x－2｜＝b.在同一平面直角坐标系中分别画出y＝｜2x－2｜与y＝b的图象，如图所示.则当0＜b＜2时，两函数图象有两个交点，从而函数f(x)＝｜2x－2｜－b有两个零点. 14.函数y＝f(x)的定义域为R，在区间[0，＋∞)上大致图象如图所示，若函数是偶函数，则函数的零点个数为                  . 【答案】7 【解析】因为y＝f(x)的图象关于y轴对称， 所以y＝f(x)的图象为：故函数y＝f(x)有7个零点. 四、解答题（共2小题） 15.（2025-2026·湖南长沙高一上期中）设二次函数，方程的两个根满足． (1)当时，证明：； (2)设函数的图象关于直线对称，证明：． 【答案】(1)解：令, 由方程的两根为且, 得． 当时,因为, 故, 又, 所以, 即． , 因为, 所以, 由且,得, 故, 因此,即． 综上,． (2)证明：由的图象关于直线对称,得． 由为方程的根, 即为方程的根, 由韦达定理得, 故． 将代入的表达式, 得． 由且,得, 故, 因此. 16.已知函数f(x)＝log2(1－x)－log2(1＋x). (1)判断函数f(x)的奇偶性，并说明理由； (2)判断函数g(x)＝f(x)－x－1是否存在零点，若g(x)存在零点x0，请写出一个区间(a，b)，满足x0∈(a，b)，且b－a≤；若g(x)不存在零点，请说明理由． 【答案】解：(1)函数f(x)为奇函数．理由：由 得－1<x<1， 所以f(x)的定义域为(－1，1)， 又f(－x)＝log2(1＋x)－log2(1－x)＝－f(x)， 所以f(x)为奇函数． (2)g(x)＝f(x)－x－1＝log2－(x＋1)，x∈(－1，1)， 又g(0)＝log21－1＝－1<0， g(－)＝log22－＝>0， 故由函数零点存在定理可知，函数g(x)在(－，0)上存在零点x0， 此时，区间(－，0)满足题意．(答案不唯一，写出满足题意的区间(a，b)均可) 学科网（北京）股份有限公司 $ 4.5.1 函数的零点与方程的解【课时步步练】 2026-2027学年高一数学同步备课系列【提升题】——原卷版 一、选择题（共8小题） 1.函数f(x)＝x2－8x＋16的零点是 （      ）  A.(0，4) B.(4，0) C.4 D.8 2.若函数f(x)在区间[a，b]上的图象连续不断，且f(a)f(b)>0，则函数f(x)在区间(a，b)内(　　) A.必有唯一零点 B.一定没有零点 C.必有无数个零点 D.可能有两个零点 3.已知函数f(x)＝则函数f(x)的零点为 （      ）  A.，0 B.－2，0 C. D.0 4.已知函数f(x)＝x|x－4|，若直线y＝a与函数f(x)的图象有三个交点A，B，C，它们的横坐标分别为x1，x2，x3，则x1＋x2＋x3的取值范围是(　　) A.(6,6＋2) B.[8,6＋2) C.[6,6＋2) D.(8,6＋2) 5.（2025-2026·湖南长沙高一上期中）函数的零点所在区间为（） A. B. C. D. 6.已知函数，则函数的零点的个数是( ) A.3 B.4 C.5 D.6 7.（2024-2025·湖南邵阳高一上期中）已知函数，则的零点所在区间为（） A. B. C. D. 8.函数f(x)＝(x2－1)·的零点个数是(　　) A.1 B.2 C.3 D.4 二、多选题（共3小题） 9.（2025-2026·湖南湘潭高二上期中）已知函数，若，则（） A. B. C. D. 10.若函数f(x)的图象在R上连续不断，且满足f(0)<0，f(1)>0，f(2)>0，则下列说法正确的有(　　) A.f(x)在区间(0，1)上一定有零点 B.f(x)在区间(0，1)上一定没有零点 C.f(x)在区间(1，2)上可能有零点 D.f(x)在区间(1，2)上一定有零点 11.函数f(x)=x-2-log4|x|的零点所在的区间可能为 （      ）  A.(-1，0) B.(0，1) C.(2，3) D.(3，4) 三、填空题（共3小题） 12.已知f(x)＝则f(f(―2))＝                  ，函数f(x)的零点的个数为                  ． 13.若函数f(x)＝｜2x－2｜－b有两个零点，则实数b的取值范围为                   . 14.函数y＝f(x)的定义域为R，在区间[0，＋∞)上大致图象如图所示，若函数是偶函数，则函数的零点个数为                  . 四、解答题（共2小题） 15.（2025-2026·湖南长沙高一上期中）设二次函数，方程的两个根满足． (1)当时，证明：； (2)设函数的图象关于直线对称，证明：． 16.已知函数f(x)＝log2(1－x)－log2(1＋x). (1)判断函数f(x)的奇偶性，并说明理由； (2)判断函数g(x)＝f(x)－x－1是否存在零点，若g(x)存在零点x0，请写出一个区间(a，b)，满足x0∈(a，b)，且b－a≤；若g(x)不存在零点，请说明理由． 学科网（北京）股份有限公司 $