4.5.1 函数的零点与方程的解限时训练02-2026-2027学年高一上学期数学人教A版必修第一册

**基本信息** 分层覆盖函数零点与方程解的基础应用到综合探究，梯度从单一判断到参数综合，适配新授课知识巩固与能力提升，培养抽象能力、推理意识与模型观念。 **分层设计** |层次|知识覆盖|设计特色| |----|----------|----------| |基础层|零点存在性判断|高一课后作业单考点，直接应用零点定义| |中档层|零点个数与方程实根问题|选择填空多情境，结合函数图像分析| |拔高层|参数范围与综合应用|解答题分层设问，需构建数学模型推理|

4.5.1 函数的零点与方程的解限时训练02 1．（26-27高三上·江西吉安·开学考试）已知函数则下列区间中存在零点的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】分段讨论，通过零点存在定理和解方程的方法，求出函数零点所在区间. 【详解】当时，， 令，解得， 所以函数在上没有零点，故排除A，B； 当时，，易知是单调递减函数， 对于C，只需考虑区间， ，， 所以函数在区间上没有零点，即在区间上没有零点，排除C； 对于D，，，， 所以函数的零点在区间内. 2．（2026高三·全国·专题练习）关于的方程的实根的个数不可能是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】令，原方程变为，通过分类讨论方程根的个数即可. 【详解】原方程即为，令，， 当关于的方程没有根时，则原方程没有根，即原方程有零个根； 当关于的方程有一根时，，解得，，即，，则原方程有两个根； 当关于的方程有两个根时，若是方程的一个根，另一个根为，由可得，则原方程三个根， 若不是方程的根，设是方程的两根，由和可得和，则原方程有四个根， 综上所述，原方程的实根的个数可能为，故D正确． 3．（25-26高二下·山东青岛·期末）设，则函数的零点个数为（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】令可得 ，把零点个数问题转化为求解函数的图象与直线的交点个数问题. 【详解】令可得 当时，，联立方程可得，解得， 此时仅一个交点； 当时，，联立方程解得， 此时仅一个交点； 当时，，由图象可知仅有一个交点， 综上所述，函数的图象与直线有3个交点. 4．（2026·山东泰安·三模）对于正整数n，函数定义如下：，存在实数t，使得方程有四个不同实数解的所有正整数n的和为（   ） A．26 B．27 C．28 D．29 【答案】B 【分析】对和时的函数根据的范围分析单调性，进而判断出方程的实数解的个数. 【详解】当时，， 所以当时，先减后增， 则存在实数，方程有两个不同的实数解； 当时，单调递减， 方程至多有一个实数解； 当时，， 所以当时，先减后增， 则存在实数，方程有两个不同的实数解； 当时，单调递增， 方程至多有一个实数解； 综上，当时，存在实数，方程有四个不同的实数解， 又为正整数，所以可取，和为. 5．（25-26高二下·黑龙江绥化·期末）设函数，若关于的方程有四个不同的解，且，则的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】画出函数的图象，根据对称性和对数函数的图象和性质求出及，则有，然后利用函数单调性求解范围即可． 【详解】作出函数的图象如下图所示：    若关于的方程有四个不同的实数解、、、，且， 由可得或，解得或， 所以，， 由得，即，所以， 由图可知，点、关于直线对称，则， 所以，其中， 令函数，其中，则函数在上单调递增， 所以，即，即. 故选：D. 6．（25-26高一上·全国·课后作业）若函数与函数的零点分别为，，则所在区间为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】作出函数，，的图象，数形结合，得到，，再结合对数的运算法则，求的取值范围. 【详解】在同一平面直角坐标系中作出函数，，的图象， 如图所示：    可以发现，，. 又，， 则，所以. 故选：A 7．（25-26高一下·湖南衡阳·阶段检测）已知函数，若函数恰有5个不同的零点，则实数的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】设，令，可得或. 作出函数的大致图象，结合图象和题意求解的取值范围. 【详解】设，令，得， 即，解得或. 作出函数的大致图象如图所示： 由图可知，直线与函数的图象有3个交点，又因为原方程恰有5个不同的实数根， 所以直线与函数的图象有2个交点，由图可得，所以实数的取值范围是. 8．（25-26高一下·湖北鄂州·期中）（多选）如图，已知函数的图象由曲线与线段构成，则下列结论正确的是（    ） A．函数有2个零点 B．函数有2个零点 C．函数有2个零点 D．若，且，则的取值范围为 【答案】ABD 【分析】由的图象与直线，函数的图象和函数的图象的交点个数可判断ABC；结合的图象解不等式可判断D. 【详解】对于A，的图象与直线有2个公共点，所以函数有2个零点，A正确. 对于B，的图象与函数的图象有2个公共点， 所以函数有2个零点，B正确. 对于C，如下图，的图象与函数的图象有1个公共点， 所以函数仅有1个零点，C错误. 对于D，函数，且的图象经过定点， 当时，，不合题意； 当时，是增函数， 所以，得，所以的取值范围为，D正确. 9．（25-26高一上·河北承德·期末）（多选）已知函数若，且，则下列结论正确的是（    ） A． B． C．的取值范围是 D．的取值范围是 【答案】BC 【分析】作出函数的图象，结合函数的图象，对数的运算性质、二次函数的对称性、对勾函数的单调性进行求解即可. 【详解】如图，作出函数的大致图象． 设．因为， 所以由图象可知，当时，直线与函数的图象有4个交点． 已知4个交点的横坐标分别为，且， 所以． 由关于直线对称，得，故A错误． 由，得，即，即， 所以，解得，故B正确． 由图象知，，则 ，故C正确． 由图象知，，即，得， 则， 因为函数在时，单调递减， 所以， 因此，故D错误． 故选：BC． 10．（25-26高一上·广东汕头·期末）（多选）已知函数，，则下列结论正确的是（    ） A．函数的零点为 B．若有四个零点，则的取值范围为 C．不等式的解集为 D．若方程的所有实根之和为4，则实数的取值范围是. 【答案】BCD 【分析】根据零点定义计算判断A，根据分段函数图象数形结合判断B，分，两种情况计算不等式判断C，分类讨论函数零点判断D. 【详解】A．因为，所以，所以函数的零点为，所以A错误； B．函数，， 若有四个零点，则与有四个交点，由的图象知，B正确； C.，当，所以， 当，，即得，所以，所以C正确； D．令，的对称轴为， 则实根的个数即为函数与函数图象交点个数， 当时，函数与函数的图象有1个交点，且交点横坐标大于1， 即，函数与函数有2个交点，且2个交点关于对称， 则方程有两根，且两根和为2，不符合题意； 当时，函数与函数的图象有2个交点，， 时，可得或， 时，，可得，，， 即函数与函数的图象有5个交点， 则方程有5个根，且5个根的和为5，不符合题意； 当时，函数与函数的图象有2个交点， 即函数与函数的图象有2个交点，分别为， 即，或，， 当时，函数与函数无交点，不符合题意； 当时，函数与函数有4个交点，且关于对称，所以4个交点横坐标之和为4， 则方程有4个根，且4个根之和为4，符合题意， 综上，实数的取值范围是，D正确  . 11．（2026·北京·三模）设函数，若，则的零点为________；若的值域为，则a的取值范围是________． 【答案】 【分析】第一空，根据分段函数的解析式，分段求解，即可得答案；第二空，确定每段函数的函数值域情况，结合题意，即的值域为，即可确定参数的取值范围. 【详解】时，， 当时，，令， 解得，符合题意； 当时，，此时函数无零点， 故的零点为； 当时，，在上单调递减， 则，即， 要使整个函数值域为，则时的函数值域必须覆盖， 当时，， 若，此时，函数值域无法覆盖，不合题意； 若，此时，函数值域无法覆盖，不合题意； 当时，，要使函数值域覆盖，只需， 综合上述可知a的取值范围是. 12．（25-26高三上·山东潍坊·阶段检测）已知，则函数有个不同的零点，则的取值范围是_____ . 【答案】 【分析】令，则，由题意可得必有不同两个根，且，转化为二次函数的两根分布在和内，列出不等式组求解即可. 【详解】作出函数的图象，如图所示： 令，则， 令，则有， 由图象可知可使有5个解， 则有必有不同两个根， 不妨设，则， 即二次函数的两根分布在和内， 所以，解得. 所以实数的取值范围为. 13．（2026高三下·全国·专题练习）函数，若存在实数满足，，则的取值范围是______. 【答案】 【分析】先作出的草图，可直观看出的大致范围，其中可由直接求出，而显然是一元二次方程的两个相异的实数根，解法一运用韦达定理将表示为关于的二次函数即可求出目标式的取值范围；解法二结合韦达定理和求根公式可将表示为一个关于的函数，再用“根式换元法”求该函数的值域即可解决本题. 【详解】 如图，，， 设，则 ，且， 由 ， 解法一： 由题意可知，是方程的两个相异的实数根， 因为，其中， 所以 ， 所以， 设方程的“大根”为，则， 令，由二次函数的性质可知， ，即， 所以，的取值范围是. 解法二： 由题意可知，是方程的两个相异的实数根， 因为，其中， 所以 ，且 ， 所以， 令，则，其中， 于是， ， 令，因为，由二次函数的性质可知， ，即， 所以，的取值范围是. 【点睛】解法一的关键在于将转化为关于的二次函数，其中巧妙的运用了韦达定理中的“和条件”消去了变量； 解法二的关键在于不但要用韦达定理中的“积条件”表示这个整体，还要用求根公式求出一元二次方程的“小根”. 14．（25-26高一上·广东深圳·期末）已知函数. (1)根据定义证明在上单调递增，并写出的单调区间及每一单调区间上的单调性； (2)求函数的值域； (3)若方程在有且仅有两个不相等的实数根，求实数的取值范围. 【答案】(1) 证明：任取且， ， 因为，所以 ，，故， 因此，即 在上单调递增. 在上单调递减，在上单调递减，上单调递增. (2) (3) 【分析】（1）利用定义，设变量，作差，变形，定号，证明即可； （2）根据单调性可求最值，从而可得值域； （3）换元，转化为二次型方程根的分布问题，分情况讨论可求答案. 【详解】（1）同理可得在上单调递减，因为，所以为奇函数， 所以在在上单调递减，上单调递增. （2）由（1）知，当时，；当时，； 所以函数的值域为. （3）令，因为 ，所以， 当时，仅有唯一解； 当时，有两个不相等的正实数根， 又 ， 代入方程得：， 题中要求原方程有且仅有两个不相等的实数根， 则关于的方程有且仅有一个根在区间上， 设， 当时，，不合题意； 当时，为二次方程，则必有； 当时，，得或； 时，，符合题意；时，，不合题意； 当时，得或， 若，此时开口向上，且，只有一个大于2的根， 只需，，可得. 若，此时开口向下，且，， 方程没有大于2的根，不合题意. 若，此时开口向上，，对称轴， ，方程没有大于2的根，不合题意. 综上可得，实数的取值范围是. 15．（25-26高一下·四川泸州·期中）已知函数是偶函数． (1)求实数的值； (2)若函数存在零点，求实数的取值范围； (3)设函数，若函数与的图象有且只有一个公共点，求实数的取值范围． 【答案】(1) (2) (3)． 【分析】(1)由偶函数定义可直接求解m； (2)已知函数存在零点，转化成方程有解，通过计算的值域得出的范围； (3)函数与的图象有且只有一个公共点，令，则方程可化为，转化成一元二次方程有且只有一个正根讨论. 【详解】（1）因为是偶函数，所以对任意恒成立，                     即，                                               因为， 即，                                           所以对任意恒成立，                                                   解得； （2）由（1）得：， 所以，                                                     因为函数存在零点，所以， 即方程有解，                                                 令，                             因为，所以的取值范围为， 则的值域为，故实数a的取值范围是； （3）函数与的图象有且只有一个公共点， 即方程有且只有一个解， 化简得：， 即；                                                           令，则方程可化为，且方程有且只有一个正根，     ①当，即时，方程可化为， 解得，不合题意，舍去；                                               ②当时，则方程为关于的一元二次方程. （i）若方程有两个相等的正根， 则由，解得， 此时方程为,方程的根为,不合题意，舍去，                              （ii）若方程有一个正根和一个负根， 则由且，解得，                 综上所述，实数b的取值范围是． 2 / 15 1 / 15 学科网（北京）股份有限公司 $ 4.5.1 函数的零点与方程的解限时训练02 1．（26-27高三上·江西吉安·开学考试）已知函数则下列区间中存在零点的是（    ） A． B． C． D． 2．（2026高三·全国·专题练习）关于的方程的实根的个数不可能是（   ） A． B． C． D． 3．（25-26高二下·山东青岛·期末）设，则函数的零点个数为（     ） A． B． C． D． 4．（2026·山东泰安·三模）对于正整数n，函数定义如下：，存在实数t，使得方程有四个不同实数解的所有正整数n的和为（   ） A．26 B．27 C．28 D．29 5．（25-26高二下·黑龙江绥化·期末）设函数，若关于的方程有四个不同的解，且，则的取值范围是（   ） A． B． C． D． 6．（25-26高一上·全国·课后作业）若函数与函数的零点分别为，，则所在区间为（    ） A． B． C． D． 7．（25-26高一下·湖南衡阳·阶段检测）已知函数，若函数恰有5个不同的零点，则实数的取值范围为（    ） A． B． C． D． 8．（25-26高一下·湖北鄂州·期中）（多选）如图，已知函数的图象由曲线与线段构成，则下列结论正确的是（    ） A．函数有2个零点 B．函数有2个零点 C．函数有2个零点 D．若，且，则的取值范围为 9．（25-26高一上·河北承德·期末）（多选）已知函数若，且，则下列结论正确的是（    ） A． B． C．的取值范围是 D．的取值范围是 10．（25-26高一上·广东汕头·期末）（多选）已知函数，，则下列结论正确的是（    ） A．函数的零点为 B．若有四个零点，则的取值范围为 C．不等式的解集为 D．若方程的所有实根之和为4，则实数的取值范围是. 11．（2026·北京·三模）设函数，若，则的零点为________；若的值域为，则a的取值范围是________． 12．（25-26高三上·山东潍坊·阶段检测）已知，则函数有个不同的零点，则的取值范围是_____ . 13．（2026高三下·全国·专题练习）函数，若存在实数满足，，则的取值范围是______. 14．（25-26高一上·广东深圳·期末）已知函数. (1)根据定义证明在上单调递增，并写出的单调区间及每一单调区间上的单调性； (2)求函数的值域； (3)若方程在有且仅有两个不相等的实数根，求实数的取值范围. 15．（25-26高一下·四川泸州·期中）已知函数是偶函数． (1)求实数的值； (2)若函数存在零点，求实数的取值范围； (3)设函数，若函数与的图象有且只有一个公共点，求实数的取值范围． 2 / 15 1 / 15 学科网（北京）股份有限公司 $