广东省汕头市潮阳区2026-2027学年八年级上学期第一次月考数学模拟练习

**基本信息** 2026-2027学年广东汕头潮阳区八年级上第一次月考数学模拟卷，以三角形与全等为核心，融入抗战胜利80周年阅兵（全等图形）、教学楼测量（实践应用）等情境，梯度覆盖基础识别、推理计算及创新应用。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |选择题|10/30|三角形高、三边关系、全等判定|结合阅兵飞机考全等图形，基础概念与图形辨析结合| |填空题|5/15|三角形稳定性、角平分线、新定义“准直角三角形”|折叠问题求角度，新定义考查推理能力| |解答题|8/85|全等证明、实践测量、手拉手模型|21题测量教学楼高度体现应用意识，23题手拉手模型综合全等与创新探究|

2026-2027学年广东省汕头市潮阳区八年级（上） 第一次月考数学模拟试卷 一．选择题（共10小题，满分30分，每小题3分） 1．（3分）△ABC中AC边的高，表示正确的是（　　） A． B． C． D． 2．（3分）三角形的两边长分别为2和3，则第三边的长可以是（　　） A．3 B．6 C．9 D．12 3．（3分）2025年9月3日是中国人民抗日战争暨世界反法西斯战争胜利80周年纪念日．在阅兵空中梯队中，多种国产先进飞机亮相．下列飞机中，属于全等图形的是（　　） A． B． C． D． 4．（3分）如图，将三角形纸片ABC沿DE折叠，点A落在点F处，∠1+∠2＝100°，则∠A的度数是（　　） A．55° B．50° C．70° D．65° 5．（3分）如图，三角形纸片ABC中，∠A＝65°，∠B＝70°，将∠C沿DE对折，使点C落在△ABC外的点C′处，若∠1＝20°，则∠2的度数为（　　） A．80° B．90° C．100° D．110° 6．（3分）如图，在△ABC和△DCE中，点A、D、C在同一直线上，已知∠ACB＝∠E，BC＝CE，添加以下条件后，仍不能判定△ABC≌△DCE的是（　　） A．AB＝CD B．AB∥DE C．AC＝DE D．∠B＝∠DCE 7．（3分）若a，b为等腰△ABC的两边，且满足（a﹣4）2+|b﹣8|＝0，则△ABC的周长为（　　） A．16 B．18 C．20 D．16或20 8．（3分）如图，D为等腰三角形ABC内一点，AC＝BC＝BP，AD＝BD，∠DBP＝∠DBC，∠C＝62°，则∠BPD的度数为（　　） A．20° B．28° C．30° D．31° 9．（3分）如图，在等腰直角三角形ABC中，AC＝BC，∠ACB＝90°，点A（a，0），B（0，b），C（2，2），其中b＜0＜a，则a，b之间的数量关系是（　　） A．a+b＝2 B．a﹣b＝2 C．a+b＝4 D．a﹣b＝4 10．（3分）如图，在△ABC中，∠B，∠C的平分线相交于点O，BE、CF分别为边AC，AB边上的高，相交于点P，且∠BPC＝110°，则∠BOC的度数为（　　） A．115° B．120° C．125° D．130° 二．填空题（共5小题，满分15分，每小题3分） 11．（3分）如图，墙上置物架的底侧一般会各设计一根斜杆，与水平和竖直方向的支架构成三角形，这是利用三角形的　 　 ． 12．（3分）如图，在△ABC中，BD和CE是△ABC的两条角平分线．若∠1+∠2＝64°，则∠A的度数为　 　 ． 13．（3分）一个等腰三角形，有两边长分别为5cm和2cm，则其周长为　 　 cm． 14．（3分）如果三角形的两个内角α与β满足2α+β＝90°，那么我们称这样的三角形为“准直角三角形”．如图，在△ABC中，∠C＝90°，∠ABC＝50°，P是射线CB上一点，且△ABP是“准直角三角形”，则∠APB的所有可能的度数为　 　 ． 15．（3分）如图，将矩形ABCD沿EF折叠，使点B落在边AD上的点M处，点C落在点N处，已知∠DMN＝30°，连接BM，则∠AMB的度数为　 　 ． 三．解答题（共3小题，满分21分，每小题7分） 16．（7分）如图，点B，C，F，E在同一条直线上，∠A＝∠D，AB∥DE，BF＝EC，试说明：AC＝DF． 17．（7分）如图，已知△ABC．请用尺规作图法，在△ABC内部求作一点P，使得点P到边AB，AC的距离相等，且CP⊥AB．（保留作图痕迹，不写作法） 18．（7分）已知∠ABC与∠ADC的平分线交于点E． ①如图1，试探究∠E，∠A与∠C之间的数量关系，并说明理由； ②如图2，试探究∠E，∠A与∠C之间的数量关系，并说明理由； ③如图3，若∠ABD，∠BAC的平分线交于点E，则∠C，∠D与∠E之间有怎样的数量关系？ 四．解答题（共3小题，满分27分，每小题9分） 19．（9分）如图，点A、D、C、F在一条直线上，且AD＝CF，AB＝DE，∠BAC＝∠EDF． （1）求证：△ABC≌△DEF； （2）若∠A＝40°，AB＝AC，求∠F的度数． 20．（9分）如图，已知△ABC，∠ACB＝90°，D是AB上一点，AD＝BD＝CD，过点B作BE⊥CD，与CD相交于点F． （1）证明：∠A＝∠EBC； （2）当AC＝2BC时，猜测BE与CD的数量关系，并证明． 21．（9分）八年级数学兴趣小组开展了测量教学楼高度的实践活动．如图，为了测量一幢教学楼的高AB，在旗杆CD与楼之间选定一点P，使得PC⊥PA，量得DB＝35m，CD＝PB＝15m，其中CD⊥DB，AB⊥DB，求该教学楼的高AB． 五．解答题（共2小题，满分27分） 22．（13分）如图，在Rt△ABC中，∠ABC＝90°，AB＝8，BC＝6．点D为AC中点，动点P从点A出发，沿边AB以每秒5个单位长度的速度向终点B运动，连结DP，将线段DP绕点D逆时针旋转90°得线段DE，连结PE．设点P运动的时间为t秒． （1）用含t的代数式表示点P到AC的距离为 　 　 ； （2）当点E落在△ABC内部（不包括边界）时，求t的取值范围； （3）当PE与△ABC的一边平行时，求线段PE的长度； （4）当经过点E与△ABC的一个顶点的直线平分△ABC面积时，直接写出t的值． 23．（14分）【手拉手模型】由两个顶角相等且有公共顶角顶点的等腰三角形组成的图形，如果把它们的底角顶点连接起来，则在相对位置变化的过程中，始终存在一对全等三角形，这种模型称为“手拉手模型”． （1）如图1，在△ABC和△ADE中，AB＝AC，AD＝AE，∠BAC＝∠DAE＝30°（AB＞AD），连接BD、CE，当点E落在AB边上，且D、E、C三点共线时，与△ABD全等的三角形是 　 　 ，∠BDC的度数为 　 　 ． （2）如图2，已知△ABC和△ADE为等腰直角三角形，其中∠BAC＝∠DAE＝90°，连接CE、BD，线段CE和BD交于点O． ①证明：BD＝CE且CE⊥BD； ②如图3，连接BE、CD，过点A作MN⊥BE，垂足为M，垂线交CD于点N，请你判断CN和DN的数量关系 　 　 ，并说明理由． 2026-2027学年广东省汕头市潮阳区八年级（上） 第一次月考数学模拟试卷 一．选择题（共10小题，满分30分，每小题3分） 1．（3分）△ABC中AC边的高，表示正确的是（　　） A． B． C． D． 【分析】从点B向边AC作垂线即可求解． 【解答】解：A、AD是BC边上高，不符合题意； B、点D到AC的垂线，不符合题意； C、点D到BC的垂线，不是符合题意； D、点B到AC的高，符合题意； 故选：D． 【点评】本题考查了三角形高线的画法，掌握三角形画高的方法是解题的关键． 2．（3分）三角形的两边长分别为2和3，则第三边的长可以是（　　） A．3 B．6 C．9 D．12 【分析】根据三角形的三边关系可得3﹣2＜第三边长＜3+2，再解可得第三边的范围，然后可得答案． 【解答】解：设第三边长为x， ∵一个三角形的两边长分别为2和3， ∴3﹣2＜x＜3+2， 解得：1＜x＜5． 故选：A． 【点评】此题主要考查了三角形的三边关系，解题的关键是掌握三角形两边之和大于第三边，三角形的两边差小于第三边． 3．（3分）2025年9月3日是中国人民抗日战争暨世界反法西斯战争胜利80周年纪念日．在阅兵空中梯队中，多种国产先进飞机亮相．下列飞机中，属于全等图形的是（　　） A． B． C． D． 【分析】根据全等图形的定义：大小一样，形状相同的两个图形称为全等图形，求解即可． 【解答】解：D中大小一样，形状相同，符合题意；A、B、C中形状相同，但大小不同，不符合题意； 故选：D． 【点评】本题考查了全等图形的定义，解题的关键是掌握全等图形的定义． 4．（3分）如图，将三角形纸片ABC沿DE折叠，点A落在点F处，∠1+∠2＝100°，则∠A的度数是（　　） A．55° B．50° C．70° D．65° 【分析】由折叠的性质及平角等于180°，可求出∠ADE+∠AED的度数，再在△ADE中，利用三角形内角和定理，即可求出∠A的度数． 【解答】解：根据折叠的性质，可知：∠ADE＝∠FDE，∠AED＝∠FED， ∵∠1+∠FDE+∠ADE＝180°，∠2+∠FED+∠AED＝180°， ∴∠ADE+∠AED（180°﹣∠1+180°﹣∠2）[360°﹣（∠1+∠2）]（360°﹣100°）＝130°， ∴∠A＝180°﹣（∠ADE+∠AED）＝180°﹣130°＝50°． 故选：B． 【点评】本题考查了三角形内角和定理以及翻折变换（折叠问题），熟练掌握三角形内角和定理和折叠的性质是解题的关键． 5．（3分）如图，三角形纸片ABC中，∠A＝65°，∠B＝70°，将∠C沿DE对折，使点C落在△ABC外的点C′处，若∠1＝20°，则∠2的度数为（　　） A．80° B．90° C．100° D．110° 【分析】根据三角形内角和定理，易得∠C＝180°﹣65°﹣70°＝45°；设C'D与BC交于点O，易得∠2＝∠C+∠DOC，∠DOC＝∠1+∠C'，则∠2的度数可求． 【解答】解：三角形纸片ABC中，∠A＝65°，∠B＝70°， 根据三角形内角和定理可得： ∠C＝∠C'＝180°﹣65°﹣70°＝45°； 如图，设C'D与BC交于点O， 则∠2＝∠C+∠DOC，∠DOC＝∠1+∠C'， 则∠2＝∠C+∠1+∠C'＝45°+20°+45°＝110°． 故选：D． 【点评】本题考查的是三角形内角和定理，关键在于熟记定理并灵活运用． 6．（3分）如图，在△ABC和△DCE中，点A、D、C在同一直线上，已知∠ACB＝∠E，BC＝CE，添加以下条件后，仍不能判定△ABC≌△DCE的是（　　） A．AB＝CD B．AB∥DE C．AC＝DE D．∠B＝∠DCE 【分析】由全等三角形的判定方法，即可判断． 【解答】解：A、∠ACB和∠E分别是AB和CD的对边，不能判定△ABC≌△DCE，故A符合题意； B、由AB∥DE推出∠A＝∠CDE，而∠ACB＝∠E，BC＝CE，由AAS判定△ABC≌△DCE，故B不符合题意； C、AC＝DE，而∠ACB＝∠E，BC＝CE，由SAS判定△ABC≌△DCE，故C不符合题意； D、∠B＝∠DCE，而∠ACB＝∠E，BC＝CE，由ASA判定△ABC≌△DCE，故D不符合题意． 故选：A． 【点评】本题考查全等三角形的判定，关键是掌握全等三角形的判定方法：SAS、ASA、AAS、SSS、HL． 7．（3分）若a，b为等腰△ABC的两边，且满足（a﹣4）2+|b﹣8|＝0，则△ABC的周长为（　　） A．16 B．18 C．20 D．16或20 【分析】由非负数的性质求出a＝4，b＝8，由三角形三边关系定理，判定等腰三角形的腰长是8，底边是4，即可得到等腰三角形的周长＝8×2+4＝20． 【解答】解：∵（a﹣4）2+|b﹣8|＝0， ∴a﹣4＝0，b﹣8＝0， ∴a＝4，b＝8， 如果等腰三角形的腰长是4， ∵4+4＝8，不满足三角形三边关系定理， ∴等腰三角形的腰长不能是4，4只能是底边长， 如果等腰三角形的腰长是8， ∵8+4＞8，满足三角形三边关系定理， ∴等腰三角形的腰长是8，底边是4， ∴等腰三角形的周长＝8×2+4＝20． 故选：C． 【点评】本题考查等腰三角形的性质，三角形三边关系，非负数的性质，关键是由非负数的性质求出a、b的值，由三角形三边关系定理判定等腰三角形的腰长和底边的长． 8．（3分）如图，D为等腰三角形ABC内一点，AC＝BC＝BP，AD＝BD，∠DBP＝∠DBC，∠C＝62°，则∠BPD的度数为（　　） A．20° B．28° C．30° D．31° 【分析】先根据SSS证明△BCD≌△ACD，得出∠BCD＝∠ACD＝31°，然后根据SAS证明△BCD≌△BPD，即可得出结论． 【解答】解：连接CD， 在△BCD和△ACD中， ∵， ∴△BCD≌△ACD（SSS）， ∴， 又∵∠ACB＝62°， ∴∠BCD＝31°． 在△BCD和△BPD中， ∵， ∴△BCD≌△BPD（SAS）， ∴∠BCD＝∠BPD＝31°， 故选：D． 【点评】本题考查了全等三角形的判定与性质，全等三角形的判定是结合全等三角形的性质证明线段和角相等的重要工具．在判定三角形全等时，关键是选择恰当的判定条件． 9．（3分）如图，在等腰直角三角形ABC中，AC＝BC，∠ACB＝90°，点A（a，0），B（0，b），C（2，2），其中b＜0＜a，则a，b之间的数量关系是（　　） A．a+b＝2 B．a﹣b＝2 C．a+b＝4 D．a﹣b＝4 【分析】过点C作CD⊥y轴，CE⊥x轴，证明△CDB≌△CEA，得到AE＝BD，即可得出结论，判断即可． 【解答】解：过点C作CD⊥y轴，CE⊥x轴，则：∠CEA＝∠CDB＝90°， ∵A（a，0），B（0，b），C（2，2）， ∴OA＝a，OB＝﹣b，OD＝2，CE＝CD＝2， ∴AE＝a﹣2，BD＝2﹣b， 在Rt△CDB与Rt△CEA中， ， ∴Rt△CDB≌Rt△CEA（HL）， ∴BD＝AE， ∴a﹣2＝2﹣b， ∴a+b＝4； 故选：C． 【点评】本题考查全等三角形的判定和性质，关键是根据HL证明Rt△CDB≌Rt△CEA解答． 10．（3分）如图，在△ABC中，∠B，∠C的平分线相交于点O，BE、CF分别为边AC，AB边上的高，相交于点P，且∠BPC＝110°，则∠BOC的度数为（　　） A．115° B．120° C．125° D．130° 【分析】根据三角形高的定义，三角形外角的性质求出∠ABE＝20°，再根据三角形高的定义，三角形内角和定理求出∠A＝70°，∠ABC+∠ACB＝110°，根据三角形角平分线的定义可求出∠OBC+∠OCB＝55°，最后根据三角形内角和定理求解即可． 【解答】解：∵∠BPC＝110°，CF⊥AB于点F， ∴∠BFP＝90°， ∴∠PBF＝∠BPC﹣∠BFP＝110°﹣90°＝20°，即∠ABE＝20°， 又∵BE⊥AC于点E， ∴∠AEB＝90°， ∴∠A＝180°﹣∠ABE﹣∠AEB＝180°﹣20°﹣90°＝70°， ∴∠ABC+∠ACB＝180°﹣∠A＝110°， ∵∠B，∠C的平分线相交于点O， ∴，， ∴ ＝55°， ∴∠BOC＝180°﹣（∠OBC+∠OCB）＝125°， 故选：C． 【点评】本题考查了三角形的角平分线、中线和高，三角形内角和定理，三角形外角的性质，熟知以上知识是解题的关键． 二．填空题（共5小题，满分15分，每小题3分） 11．（3分）如图，墙上置物架的底侧一般会各设计一根斜杆，与水平和竖直方向的支架构成三角形，这是利用三角形的　稳定性　 ． 【分析】根据三角形具有稳定性解答． 【解答】解：这是利用三角形的稳定性， 故答案为：稳定性． 【点评】本题考查三角形的性质，熟记三角形具有稳定性是解题的关键． 12．（3分）如图，在△ABC中，BD和CE是△ABC的两条角平分线．若∠1+∠2＝64°，则∠A的度数为　52°　 ． 【分析】由角平分线的定义得出∠1∠ABC，∠2∠ACB，求出∠ABC+∠ACB＝128°，再由三角形内角和定理即可得出结果． 【解答】解：∵BD和CE是△ABC的两条角平分线， ∴∠1∠ABC，∠2∠ACB， ∴∠1+∠2（∠ABC+∠ACB）＝64°， ∴∠ABC+∠ACB＝2×64°＝128°， ∴∠A＝180°﹣（∠ABC+∠ACB）＝180°﹣128°＝52°， 故答案为：52°． 【点评】本题考查了三角形内角和定理、角平分线的定义等知识，熟练掌握三角形内角和定理是解题的关键． 13．（3分）一个等腰三角形，有两边长分别为5cm和2cm，则其周长为　12　 cm． 【分析】根据等腰三角形的定义，分两种情况：①当腰长为5cm时，②当腰长为2cm时，分别进行求解即可． 【解答】解：①当腰长为5cm时，三角形的三边分别为5cm，5cm，2cm，符合三角形的三边关系，则三角形的周长＝5+5+2＝12（cm）； ②当腰长为2cm时，三角形的三边分别为5cm，2cm，2cm，不符合三角形的三关系，舍去； 故答案为：12． 【点评】本题注意考查等腰三角形的性质及三角形的三边关系，已知没有明确腰和底边的题目一定要想到两种情况：分类进行讨论，还应验证各自情况是否能构成三角形． 14．（3分）如果三角形的两个内角α与β满足2α+β＝90°，那么我们称这样的三角形为“准直角三角形”．如图，在△ABC中，∠C＝90°，∠ABC＝50°，P是射线CB上一点，且△ABP是“准直角三角形”，则∠APB的所有可能的度数为　110°或40°或10°　 ． 【分析】根据“准直角三角形”的定义，分类讨论即可解决问题． 【解答】解：∵在△ABC中，∠C＝90°，∠ABC＝50°， ∴∠BAC＝90°﹣∠ABC＝40°， 分两种情况讨论， 如图1，当∠APB＝α时，则∠BAP＝β， 此时∠APB+∠BAP+∠BAC＝90°，即α+β+40°＝90°， ∴α+β＝50°①， ∵2α+β＝90°②， 由②﹣①，可得α＝40°， ∴∠ABP＝α＝40°； 如图2，当∠APB＝β时，则∠BAP＝α， 此时∠APB+∠BAP+∠BAC＝90°，即β+α+40°＝90°， ∴α+β＝50°③， ∵2α+β＝90°④， 由③×2﹣④，可得β＝10°， ∴∠APB＝α＝10°； 如图3，当点P在线段CB上时，∠BAP＝α，∠ABP＝β＝50°， ∴， ∴此时∠APB＝180°﹣50°﹣20°＝110°； 综上所述，∠APB 的所有可能的度数为110°或40°或10°， 故答案为：110°或40°或10°． 【点评】本题主要考查了三角形内角和定理，直角三角形的性质，理解新定义“准直角三角形”是解题关键． 15．（3分）如图，将矩形ABCD沿EF折叠，使点B落在边AD上的点M处，点C落在点N处，已知∠DMN＝30°，连接BM，则∠AMB的度数为　75°　 ． 【分析】由四边形ABCD是矩形，得∠A＝∠ABC＝90°，根据矩形ABCD沿EF折叠，使点B落在边AD上的点M处，点C落在点N处，得∠NME＝∠ABC＝90°，ME＝BE，而∠DMN＝30°，即知∠AME＝60°，∠AEM＝30°，即∠EMB+∠EBM＝30°，可得∠EMB＝∠EBM＝15°，故∠AMB＝∠AME+∠EMB＝75°． 【解答】解：∵四边形ABCD是矩形， ∴∠A＝∠ABC＝90°， ∵矩形ABCD沿EF折叠，使点B落在边AD上的点M处，点C落在点N处， ∴∠NME＝∠ABC＝90°，ME＝BE， ∵∠DMN＝30°， ∴∠AME＝180°﹣∠NME﹣∠DMN＝60°， ∴∠AEM＝90°﹣∠AME＝30°， ∴∠EMB+∠EBM＝30°， ∵ME＝BE， ∴∠EMB＝∠EBM＝15°， ∴∠AMB＝∠AME+∠EMB＝75°， 故答案为：75°． 【点评】本题考查矩形中的折叠问题，解题的关键是掌握折叠的性质：折叠前后能够重合的线段相等、能够重合的角相等． 三．解答题（共3小题，满分21分，每小题7分） 16．（7分）如图，点B，C，F，E在同一条直线上，∠A＝∠D，AB∥DE，BF＝EC，试说明：AC＝DF． 【分析】根据题意得出∠B＝∠E，BC＝EF，再由全等三角形的判定和性质即可证明． 【解答】解：∵AB∥DE， ∴∠B＝∠E， 又∵BF＝EC， ∴BF﹣CF＝EC﹣CF， ∴BC＝EF， ∵在△ABC和△DEF中， ， ∴△ABC≌△DEF（AAS）， ∴AC＝DF． 【点评】本题主要考查平行线的性质及全等三角形的判定和性质，熟练掌握全等三角形的判定是解题关键． 17．（7分）如图，已知△ABC．请用尺规作图法，在△ABC内部求作一点P，使得点P到边AB，AC的距离相等，且CP⊥AB．（保留作图痕迹，不写作法） 【分析】作∠BAC的角平分线AD，再过点C作CE⊥AB交AD于点P，由角平分线的性质可得点P到边AB，AC的距离相等，且有CP⊥AB，故点P即为所求． 【解答】解：作∠BAC的角平分线AD，再过点C作CE⊥AB交AD于点P，如图所示，点P即为所求． 【点评】本题考查作图—复杂作图，角平分线的性质，解题的关键是掌握相关知识的灵活运用． 18．（7分）已知∠ABC与∠ADC的平分线交于点E． ①如图1，试探究∠E，∠A与∠C之间的数量关系，并说明理由； ②如图2，试探究∠E，∠A与∠C之间的数量关系，并说明理由； ③如图3，若∠ABD，∠BAC的平分线交于点E，则∠C，∠D与∠E之间有怎样的数量关系？ 【分析】①延长CD交AB于F，设BE与AD交于H，由三角形的外角定理得∠ADC＝∠A+∠AFD，∠AFD＝∠ABC+∠C，进而得∠ADC＝∠A+∠ABC+∠C，再根据角平分线的定义得∠ADE（∠A+∠ABC+∠C），∠ABE∠ABC，再证∠A+∠ABE＝∠E+∠ADE，据此可得出结论； ②根据BE，DE为∠ABC与∠ADC的平分线，可设∠ABE＝∠CBE＝α，∠ADE＝∠CDE＝β，由①可知∠E＝∠CBE+∠CDE+∠C，则α+β＝∠E﹣∠C，根据四边形的内角和等于360°得∠A+∠ABE+∠E+∠ADE＝360°，即∠A+α+∠E+β＝360°，将α+β＝∠E﹣∠C代入整理即可得出结论； ③延长BD交AC于H，根据BE，AE是∠ABD，∠BAC的平分线，可设∠ABE＝∠DBE＝α，∠BAE＝∠CAE＝β，在△ABE中利用三角形的内角和定理得α+β+∠E＝180°，即α+β＝180°﹣∠E，再由①可知∠E＝∠DBE+∠CAE+∠AHB，即∠E＝α+β+∠AHB，然后根据∠AHB＝∠C+∠HDC＝∠C+180°﹣∠BDC得∠E＝α+β+∠C+180°﹣∠BDC，然后将α+β＝180°﹣∠E代入整理即可得出结论． 【解答】解：①∠E，∠A与∠C之间的数量关系是：2∠E＝∠A﹣∠C，理由如下： 延长CD交AB于F，设BE与AD交于点H，如图1所示： ∵∠ADC是△AFD的外角， ∴∠ADC＝∠A+∠AFD， ∵∠AFD是△BFC的外角， ∴∠AFD＝∠ABC+∠C， ∠ADC＝∠A+∠ABC+∠C， ∵DE是∠ADC的平分线， ∴∠ADE∠ADC（∠A+∠ABC+∠C）， ∵BE是∠ABC的平分线， ∴∠ABE∠ABC， ∵∠A+∠ABE+∠AHB＝180°，∠E+∠ADE+∠DHE＝180°， 又∠AHB＝∠DHE， ∴∠A+∠ABE＝∠E+∠ADE， 即：∠A∠ABC＝∠E（∠A+∠ABC+∠C）， 整理得：2∠E＝∠A﹣∠C， 故∠E，∠A与∠C之间的数量关系是：2∠E＝∠A﹣∠C． ②∠E，∠A与∠C之间的数量关系是：2∠E+∠A﹣∠C＝360°，理由如下： ∵BE，DE为∠ABC与∠ADC的平分线， ∴可设∠ABE＝∠CBE＝α，∠ADE＝∠CDE＝β， 由①可知：∠E＝∠CBE+∠CDE+∠C， 即：∠E＝α+β+∠C， ∴α+β＝∠E﹣∠C， 根据四边形的内角和等于360°，得：∠A+∠ABE+∠E+∠ADE＝360°， 即：∠A+α+∠E+β＝360°， 将α+β＝∠E﹣∠C代入上式得：∠A+∠E+∠E﹣∠C＝360°， ∴2∠E+∠A﹣∠C＝360°． 故∠E，∠A与∠C之间的数量关系是：2∠E+∠A﹣∠C＝360°． ③∠C，∠D与∠E之间的数量关系是：2∠E+∠BDC﹣∠C＝360°，理由如下： 延长BD交AC于T，如图所示： ∵BE，AE是∠ABD，∠BAC的平分线， ∴可设∠ABE＝∠DBE＝α，∠BAE＝∠CAE＝β， 在△ABE中，∠ABE+∠BAE+∠E＝180°， 即：α+β+∠E＝180°， ∴α+β＝180°﹣∠E， 由①可知：∠E＝∠DBE+∠CAE+∠ATB， 即：∠E＝α+β+∠ATB， 由平角的定义得：∠TDC＝180°﹣∠BDC， ∵∠ATB是△DHC的一个外角， ∴∠ATB＝∠C+∠TDC＝∠C+180°﹣∠BDC， ∴∠E＝α+β+∠C+180°﹣∠BDC， 将α+β＝180°﹣∠E代入上式得：∠E＝180°﹣∠E+∠C+180°﹣∠BDC， 即：2∠E+∠BDC﹣∠C＝360°． 故∠C，∠D与∠E之间的数量关系是：2∠E+∠BDC﹣∠C＝360°． 【点评】此题主要考查了角平分线的定义，三角形的内角和定理，三角形的外角定理，解答此题的关键是准确识图，理解角平分线的定义，灵活运用三角形的内角和定理，三角形的外角定理进行计算． 四．解答题（共3小题，满分27分，每小题9分） 19．（9分）如图，点A、D、C、F在一条直线上，且AD＝CF，AB＝DE，∠BAC＝∠EDF． （1）求证：△ABC≌△DEF； （2）若∠A＝40°，AB＝AC，求∠F的度数． 【分析】（1）先证明AC＝DF，再利用SAS即可证明△ABC≌△DEF； （2）由等边对等角和三角形内角和定理可得∠ACB的度数，再由全等三角形的性质即可得到答案． 【解答】（1）证明：∵AD＝CF， ∴AD+CD＝CF+CD， ∴AC＝DF， 在△ABC和△DEF中， ， ∴△ABC≌△DEF（SAS）； （2）解：∵∠A＝40°，AB＝AC， ∴， ∵△ABC≌△DEF， ∴∠F＝∠ACB＝70°（全等三角形对应角相等）． 【点评】本题主要考查了全等三角形的性质与判定，三角形内角和定理，熟知全等三角形的性质与判定定理是解题的关键． 20．（9分）如图，已知△ABC，∠ACB＝90°，D是AB上一点，AD＝BD＝CD，过点B作BE⊥CD，与CD相交于点F． （1）证明：∠A＝∠EBC； （2）当AC＝2BC时，猜测BE与CD的数量关系，并证明． 【分析】（1）根据BE⊥CD，∠ACB＝90°得∠EBC+∠BCF＝90°，∠BCF+∠DCA＝90°进而得∠EBC＝∠DCA，再根据AD＝CD得∠A＝∠DCA，据此可得出结论； （2）过点D作DG⊥AC于点G，根据DA＝DC得AC＝2CG，再根据AC＝2BC得CG＝BC，进而依据“SAS”判定△DGC和△ECB全等，再由全等三角形的性质可得BE与CD的数量关系． 【解答】（1）证明：∵BE⊥CD， ∴在△BCF中，∠EBC+∠BCF＝90° 又∵∠BCF+∠DCA＝∠ACB＝90°， ∴∠EBC＝∠DCA， ∵AD＝CD， ∴∠A＝∠DCA， ∴∠A＝∠EBC； （2）解：BE与CD的数量关系是：CD＝BE，证明如下： 过点D作DG⊥AC于点G，如图所示： ∵DA＝DC，DG⊥AC， ∴AG＝CGAC， ∴AC＝2CG， ∵AC＝2BC， ∴CG＝BC， ∵DG⊥AC，∠ACB＝90°， ∵∠DGC＝∠ECB＝90°， 由（1）可知：∠EBC＝∠DCA， ∴∠DGC＝∠ECB， 在△DGC和△ECB中， ， ∴△DGC≌△ECB（ASA）， ∴CD＝BE． 【点评】此题主要考查了全等三角形的判定和性质，等腰三角形的性质，熟练掌握全等三角形的判定和性质，等腰三角形的性质，直角三角形的性质是解决问题的关键． 21．（9分）八年级数学兴趣小组开展了测量教学楼高度的实践活动．如图，为了测量一幢教学楼的高AB，在旗杆CD与楼之间选定一点P，使得PC⊥PA，量得DB＝35m，CD＝PB＝15m，其中CD⊥DB，AB⊥DB，求该教学楼的高AB． 【分析】根据题意可得：CD⊥BD，AB⊥BD，从而可得∠CDB＝∠ABP＝90°，进而可得∠DCP+∠CPD＝90°，从而可得：∠DCP＝∠APB，然后利用ASA证明△CDP≌△PBA，从而可得PD＝AB，即可解答． 【解答】解：由题意得：CD⊥BD，AB⊥BD， ∴∠CDB＝∠ABP＝90°， ∴∠DCP+∠CPD＝90°， ∵∠APC＝90°， ∴∠CPD+∠APB＝180°﹣∠APC＝90°， ∴∠DCP＝∠APB， 在△CDP和△PBA中， ， ∴△CDP≌△PBA（ASA）， ∴PD＝AB， ∵BD＝35m， ∴AB＝PD＝BD﹣PB＝35﹣15＝20（m）， 答：教学楼高度AB为20m． 【点评】本题考查了全等三角形的应用，熟练掌握全等三角形的判定与性质是解题的关键． 五．解答题（共2小题，满分27分） 22．（13分）如图，在Rt△ABC中，∠ABC＝90°，AB＝8，BC＝6．点D为AC中点，动点P从点A出发，沿边AB以每秒5个单位长度的速度向终点B运动，连结DP，将线段DP绕点D逆时针旋转90°得线段DE，连结PE．设点P运动的时间为t秒． （1）用含t的代数式表示点P到AC的距离为 　3t ； （2）当点E落在△ABC内部（不包括边界）时，求t的取值范围； （3）当PE与△ABC的一边平行时，求线段PE的长度； （4）当经过点E与△ABC的一个顶点的直线平分△ABC面积时，直接写出t的值． 【分析】（1）先作辅助线，根据两个三角形相似可得到结果； （2）当点E在边界上时，求出结果，即可得到取值范围； （3）可分为两种情况，PE∥AC，PE∥BC，根据题意画出图形，根据相似三角形的性质即可求解． （4）分为三种情况，分别是经过三条中线，分别画出图形，结合图形，根据相似三角形的性质，即可求解． 【解答】解：（1）过点P作PF⊥AC于点F，如图所示， ∵在Rt△ABC中，∠ABC＝90°，AB＝8，BC＝6， ∴， ∵点D为AC中点， ∴AD＝DC＝5，∠ABC＝90°，PF⊥AC， ∴∠AFP＝∠ABC＝90°， ∵∠FAP＝∠BAC， ∴△APF∽△ACB， ∴， ∵点P从点A出发，沿边AB以每秒5个单位长度的速度向终点B运动， ∴AP＝5t， 即， 故答案为：3t； （2）当点E在AB上时，过点D作DG⊥AB于点G，如图所示， 此时△DPE，△DGP，△DEG均为等腰直角三角形， 即，， ∴PG＝3， ∴AP＝AG﹣PG＝4﹣3＝1， 即5t＝1， ∴； 当点E在AC上时，如图所示， 此时PD⊥AC，即∠ADP＝90°， ∵∠DAP＝∠BAC， ∴△ADP∽△ABC， ∴， 即， ∴， ∴； 故当点E落在△ABC内部（不包括边界）时，t的取值范围； （3）可分为两种情况：当PE∥AC时，过点P，E分别作垂线PF⊥AC，EH⊥AC，如图所示， 此时四边形PFHE是矩形， ∵△DEP为等腰直角三角形，PE∥AC， ∴∠ADP＝∠DPE＝45°， ∴DF＝PF＝3t， ∵AP＝5t， ∴AF＝4t， ∴AD＝AF+DF＝7t＝5， ∴， ∴； 当PE∥BC时，过点D作DM⊥AB，DN⊥PE，如图所示， ∴∠APD＝∠DPE＝45°， ∵点D是AC中点，点M也是AB的中点， ∴PE＝2DM＝6； 故当PE与△ABC的一边平行时，线段PE的长度为或6； （4）当经过点E与△ABC的一个顶点的直线平分△ABC面积时，此时点E在△ABC的中线上，可分为三种情况：当点在BD上时，如图所示， 此时DA＝DB＝5， ∴∠DAB＝∠DBA， ∵∠BDP＝∠ABC＝90°， ∴△BDP∽△ABC， ∴， ∴， 设DP＝3x，即BD＝4x， ∴， ∴4x＝5， 解得， ∴， ∴， 则； 当点E在中线AN上时，如图所示，连接DN，则，过点D作DG⊥AB于点G，过点E作HF⊥AB于点F，交DN于点H， 在Rt△DPG和Rt△DEH中， ， ∴Rt△DPG≌Rt△DEH（AAS）， ∴，PG＝HE， ∴HN＝FB＝1， ∵EF∥NB， ∴△AEF∽△ANB， ∴， ∴， 解得， ∴， ∴， ∴； 如图所示，当E经过中线CG时， 同理可得EF∥BC， ∴△GEF∽△GCB， ∴， 即， 解得， ∴PG＝EH＝EF﹣HF， ∴， ∴； 综上所述，t的值为或或． 【点评】本题考查了几何变换的综合应用，主要考查相似三角形的性质与判定，全等三角形的性质与判定，三角形中线的性质，添加辅助线是解题的关键． 23．（14分）【手拉手模型】由两个顶角相等且有公共顶角顶点的等腰三角形组成的图形，如果把它们的底角顶点连接起来，则在相对位置变化的过程中，始终存在一对全等三角形，这种模型称为“手拉手模型”． （1）如图1，在△ABC和△ADE中，AB＝AC，AD＝AE，∠BAC＝∠DAE＝30°（AB＞AD），连接BD、CE，当点E落在AB边上，且D、E、C三点共线时，与△ABD全等的三角形是 　△ACE ，∠BDC的度数为 　30°　 ． （2）如图2，已知△ABC和△ADE为等腰直角三角形，其中∠BAC＝∠DAE＝90°，连接CE、BD，线段CE和BD交于点O． ①证明：BD＝CE且CE⊥BD； ②如图3，连接BE、CD，过点A作MN⊥BE，垂足为M，垂线交CD于点N，请你判断CN和DN的数量关系 DN＝CN ，并说明理由． 【分析】（1）利用SAS证明△DAB≌△EAC，得出∠ABD＝∠ACE，结合三角形外角的性质即可得出∠BDC＝∠BAC，即可求解； （2）①利用SAS证明△CAE≌△DAB，得出CE＝BD，∠ACE＝∠ADB，然后利用三角形外角的性质即可得出CE⊥BD； ②过点D作DP⊥MN于点P，过点C作CQ⊥MN延长线于点Q，根据垂直的定义得到∠AME＝∠AMB＝∠APD＝∠AQC＝90°，根据余角的性质得到∠AEM＝∠DAP，根据全等三角形的判定定理得到△AEM≌△DAP（AAS），同理：△ABM≌△CAQ，求得DP＝CQ，根据全等三角形的性质得到DN＝CN． 【解答】（1）解：如图1中， 在△ABD和△ACE中， ， ∴△ABD≌△ACE（SAS）， ∴∠ABD＝∠ACE， ∵∠DEB＝AEC， ∴∠BDC＝∠BAC＝30°， 故答案为：△ACE，30°； （2）①证明：∵△ABE和△ACD均为等腰直角三角形，∠BAE＝∠CAD＝90°， ∴AB＝AE，AC＝AD， ∵∠BAE+∠BAC＝∠CAD+∠BAC， ∴∠CAE＝∠BAD， 在△CAE和△DAB中， ， ∴△CAE≌△DAB（SAS）， ∴CE＝BD，∠ACE＝∠ADB， ∴∠DOE＝∠DCE+∠BDC ＝∠CDB+∠ACE+∠ACD ＝∠CDB+∠ADB+∠ACD ＝∠ADC+∠ACD＝90°， ∴CE⊥BD； ②CN＝DN，理由如下： 过点D作DP⊥MN于点P，过点C作CQ⊥MN延长线于点Q， ∵AM⊥BE，DP⊥MN，CQ⊥MN， ∴∠AME＝∠AMB＝∠APD＝∠AQC＝90°， ∴在Rt△AME中，∠AEM+∠MAE＝90°8 ∵∠MAE+∠DAP+∠DAE＝180°， ∴∠MAE+∠DAP＝90°， ∴∠AEM＝∠DAP， 在△AEM和△DAP中， ， ∴△AEM≌△DAP（AAS）， 同理：△ABM≌△CAQ， ∴AM＝DP，AM＝CQ， ∴DP＝CQ， 在△DPN和△CQN中， ， ∴△DPN≌△CQN（AAS）， ∴DN＝CN． 【点评】本题是三角形的综合题，考查了全等三角形的判定和性质，等腰直角三角形的性质，熟练掌握全等三角形的判定和性质定理是解题的关键． 声明：试题解析著作权属所有，未经书面同意，不得复制发布日期：2026/9/1 20:24:38；用户：夏老师；邮箱：15361225968；学号：65446526 第1页（共1页） 学科网（北京）股份有限公司 $