5.3 一次函数的图形与性质 同步讲义 2026--2027学年苏科版八年级数学上册

本讲义聚焦一次函数的图形与性质核心知识点，从正比例函数的图象（过原点的直线）、性质（单调性与对称性），到一般一次函数的图象（两点法作图、平移规律）、性质（k值与增减性、b值与截距），再到图象与系数的关系（k、b符号决定象限），形成从特殊到一般、从直观到抽象的学习支架。 该资料以题型分层设计为特色，典例与变式题结合“解题知识”模块，通过图象分析比较k值大小培养几何直观，借助k值判断增减性训练推理能力，用一次函数模型解决面积问题强化模型意识。课中助力教师分层教学，课后通过过关验收帮助学生查漏补缺，提升知识应用能力。

5.3 一次函数的图形与性质 内 容 导 航 题型1 正比例函数的图象 题型2 正比例函数的性质 题型3 一次函数的图象 题型4 一次函数的性质 题型5 一次函数图象与系数的关系 考 点 演 练 题型1 正比例函数的图象 解｜题｜知｜识 正比例函数的图像是经过坐标原点（0，0）和定点（1，k）两点的一条直线，它的斜率是k（k表示正比例函数与x轴的夹角大小），横、纵截距都为0，正比例函数的图像是一条过原点的直线． 【典例1】如图：三个正比例函数的图象分别对应的解析式是①y＝ax，②y＝bx，③y＝cx，则a、b、c的大小关系是（　　） A．a＞b＞c B．c＞b＞a C．b＞a＞c D．b＞c＞a 【答案】C 【解答】解：首先根据图象经过的象限，得a＞0，b＞0，c＜0， 再根据直线越陡，|k|越大，则b＞a＞c． 故选：C． 【变式1】如图，三个正比例函数的图象分别对应表达式：①y＝ax，②y＝bx，③y＝cx，将a，b，c从小到大排列为（　　） A．a＜b＜c B．a＜c＜b C．b＜a＜c D．c＜b＜a 【答案】B 【解答】解：根据三个函数图象所在象限可得a＜0，b＞0，c＞0， 再根据直线越陡，|k|越大，则b＞c． 则a＜c＜b， 故选：B． 【变式2】下列各点中，在正比例函数的图象上的是（　　） A． B．（﹣3，﹣1） C．（0，﹣1） D．（6，3） 【答案】B 【解答】解：当时，y，不在正比例函数的图象上，故A不符合要求； 当x＝﹣3时，y＝﹣1，（﹣3，﹣1）在正比例函数的图象上，故B符合要求； 当x＝0时，y＝0，（0，﹣1）不在正比例函数的图象上，故C不符合要求； 当x＝6时，y＝2，（6，3）不在正比例函数的图象上，故D不符合要求； 故选：B． 题型2 正比例函数的性质 解｜题｜知｜识 单调性 当k＞0时，图像经过第一、三象限，从左往右上升，y随x的增大而增大（单调递增），为增函数；[1] 当k＜0时，图像经过第二、四象限，从左往右下降，y随x的增大而减小（单调递减），为减函数． 对称性 对称点：关于原点成中心对称．[1] 对称轴：自身所在直线；自身所在直线的平分线． 【典例1】若正比例函数y＝（1﹣2m）x的图象经过点A（x1，y1）和点B（x2，y2），当x1＜x2时，y1＞y2，则m的取值范围是（　　） A．m＜0 B．m＞0 C．m D．m 【答案】D 【解答】解：根据题意，知：y随x的增大而减小， 则k＜0，即1﹣2m＜0，m． 故选：D． 【变式1】P1（x1，y1），P2（x2，y2）是正比例函数y＝﹣x图象上的两点，则下列判断正确的是（　　） A．y1＞y2 B．y1＜y2 C．当x1＜x2时，y1＞y2 D．当x1＜x2时，y1＜y2 【答案】C 【解答】解：根据k＜0，得y随x的增大而减小． ①当x1＜x2时，y1＞y2， ②当x1＞x2时，y1＜y2． 故选：C． 【变式2】如果一个正比例函数的图象经过不同象限的两点A（2，m），B（n，3），那么一定有（　　） A．m＞0，n＞0 B．m＞0，n＜0 C．m＜0，n＞0 D．m＜0，n＜0 【答案】D 【解答】解：A、m＞0，n＞0，则A、B两点在同一象限，故A错误； B、m＞0，n＜0，则A、B两点不在同一个正比例函数，故B错误； C、m＜0，n＞0，则A、B两点不在同一个正比例函数，故C错误； D、m＜0，n＜0，则A、B两点在同一个正比例函数的不同象限，故D正确． 故选：D． 【变式3】在平面直角坐标系中，正比例函数y＝kx．且y的值随x值的增大而减小的图象是（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【解答】解：∵正比例函数y＝kx，y随x的增大而减小， ∴k＜0， ∴直线y＝kx经过原点和第二、四象限． 故选：C． 题型3 一次函数的图象 解｜题｜知｜识 （1）一次函数的图象的画法：经过两点（0，b）、（，0）或（1，k+b）作直线y＝kx+b． 注意：①使用两点法画一次函数的图象，不一定就选择上面的两点，而要根据具体情况，所选取的点的横、纵坐标尽量取整数，以便于描点准确．②一次函数的图象是与坐标轴不平行的一条直线（正比例函数是过原点的直线），但直线不一定是一次函数的图象．如x＝a，y＝b分别是与y轴，x轴平行的直线，就不是一次函数的图象． （2）一次函数图象之间的位置关系：直线y＝kx+b，可以看做由直线y＝kx平移|b|个单位而得到． 当b＞0时，向上平移；b＜0时，向下平移． 注意：①如果两条直线平行，则其比例系数相等；反之亦然； ②将直线平移，其规律是：上加下减，左加右减； ③两条直线相交，其交点都适合这两条直线． 【典例1】对于三个数a、b、c，用min{a，b，c}表示这三个数中最小的数，例如，min{﹣1，2，3}＝﹣1，．那么观察图象，可得到min{x+1，2﹣x，2x﹣1}的最大值为　 　 ． 【答案】1． 【解答】解：当x＞2时， 2x﹣1＞x+1＞2﹣x， ∴min{x+1，2﹣x，2x﹣1}＝2﹣x＜0， 当1＜x＜2时， x+1＞2x﹣1＞2﹣x， ∴min{x+1，2﹣x，2x﹣1}＝2﹣x＜1， 当1＝x时， 2x﹣1＝2﹣x＜x+1， ∴min{x+1，2﹣x，2x﹣1}＝1， 当1＞x时， x+1＞2﹣x＞2x﹣1， ∴min{x+1，2﹣x，2x﹣1}＝2x﹣1＜0， 当x时， 2﹣x＝x+1＞2x﹣1， ∴min{x+1，2﹣x，2x﹣1}＝2x﹣1＝0， 当x时， 2﹣x＞x+1＞2x﹣1， ∴min{x+1，2﹣x，2x﹣1}＝2x﹣1＜0， 综上所述：当1＝x时， min{x+1，2﹣x，2x﹣1}＝1，最大为1． 故答案为：1． 【变式1】在平面直角坐标系中，已知A、B、C、D四点的坐标依次为（0，0）、（6，0）、（8，6）、（2，6），若一次函数y＝m（x﹣6）的图象将四边形ABCD的面积分成1：3两部分，则m的值为 　 　 ． 【答案】或﹣6 【解答】解：如图：由A、B、C、D四点的坐标依次为（0，0）、（6，0）、（8，6）、（2，6），可知：CD∥AB，CD＝AB＝6， ∴四边形ABCD为平行四边形， ∴， ∵y＝m（x﹣6），当x＝6时，y＝0， ∴直线过定点（6，0），即直线一定过点B， ∵一次函数y＝m（x﹣6）的图象将四边形ABCD的面积分成1：3两部分， ∴直线y＝m（x﹣6）经过AD的中点M（1，3）或经过CD的中点N（5，6）， ∴m﹣6m＝3或5m﹣6m＝6， ∴或﹣6， 故答案为：或﹣6． 【变式2】一次函数y＝n+mx的图象如图所示：则n　　 0，m　　 0（填＞或＜或＝号）． 【答案】＜，＞． 【解答】解：由题意得：m＞0，n＜0． 故答案为：＜，＞． 【变式3】如图，A（m，0），B（n，0），且m，n满足（m+2）2+|n﹣2|＝0，直线AC恰好是一次函数的图象，CB⊥x轴于B． （1）求点C的坐标，并求△ABC的周长； （2）在y轴上是否存在点P，使得S△ABC＝S△ACP？若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】见试题解答内容 【解答】解：（1）∵（m+2）2+|n﹣2|＝0， ∴m+2＝0，n﹣2＝0， ∴m＝﹣2，n＝2， ∴A（﹣2，0），C（2，2）， ∵CB⊥x轴， ∴AB＝4，BC＝2， ∴AC2． ∴△ABC的周长为：4+2+26+2； （2）∵AC的解析式为：yx+1， 设AC交y轴于E， 则E（0，1）， 设点P（0，p）， ∴PE＝|p﹣1|， ∴S△APC＝S△APE+S△CPEPE（xC﹣xA）|p﹣1|×4＝2|p﹣1|， 由（1）知：S△ABCAB•BC4×2＝4， ∵S△ABC＝S△ACP， ∴4＝2|p﹣1|， ∴p＝3或p＝﹣1， ∴P（0，3）或P（0，﹣1）． 题型4 一次函数的性质 解｜题｜知｜识 一次函数的性质： k＞0，y随x的增大而增大，函数从左到右上升；k＜0，y随x的增大而减小，函数从左到右下降． 由于y＝kx+b与y轴交于（0，b），当b＞0时，（0，b）在y轴的正半轴上，直线与y轴交于正半轴；当b＜0时，（0，b）在y轴的负半轴，直线与y轴交于负半轴． 【典例1】一次函数y＝2x+1的图象经过（　　） A．第二、三、四象限 B．第一、三、四象限 C．第一、二、四象限 D．第一、二、三象限 【答案】D 【解答】解：∵一次函数y＝2x+1中k＝2＞0，b＝1＞0， ∴函数y＝kx+b的图象经过第一、二、三象限． 故选：D． 【变式1】如图，在平面直角坐标系中，直线yx与矩形ABCO的边OC、BC分别交于点E、F，已知OA＝3，OC＝4，则△CEF的面积是（　　） A．6 B．3 C．12 D． 【答案】B 【解答】解：当y＝0时，x0， 解得x＝1， ∴点E的坐标是（1，0），即OE＝1， ∵OC＝4， ∴EC＝OC﹣OE＝4﹣1＝3， ∴点F的横坐标是4， ∴y42，即CF＝2， ∴△CEF的面积CE×CF3×2＝3． 故选：B． 【变式2】已知点A（﹣2，m）和点B（3，n）都在直线的图象上，则m与n的大小关系为（　　） A．m＞n B．m＜n C．m≤n D．无法判断 【答案】A 【解答】解：∵k0， ∴y随x的增大而减小， 又∵﹣2＜3， ∴m＞n． 故选：A． 【变式3】若一次函数y＝kx+b的图象经过第一、二、四象限，则一次函数y＝bx+k的图象大致是（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【解答】解：一次函数y＝kx+b过一、二、四象限， 则函数值y随x的增大而减小，因而k＜0； 图象与y轴的正半轴相交则b＞0， 因而一次函数y＝bx﹣k的一次项系数b＞0， y随x的增大而增大，经过一三象限， 常数项k＜0，则函数与y轴负半轴相交， 因而一定经过一三四象限， 故选：D． 题型5 一次函数图象与系数的关系 解｜题｜知｜识 由于y＝kx+b与y轴交于（0，b），当b＞0时，（0，b）在y轴的正半轴上，直线与y轴交于正半轴；当b＜0时，（0，b）在y轴的负半轴，直线与y轴交于负半轴． ①k＞0，b＞0⇔y＝kx+b的图象在一、二、三象限； ②k＞0，b＜0⇔y＝kx+b的图象在一、三、四象限； ③k＜0，b＞0⇔y＝kx+b的图象在一、二、四象限； ④k＜0，b＜0⇔y＝kx+b的图象在二、三、四象限． 【典例1】一次函数y＝（k﹣2）x+3的函数值y随x的增大而增大，则k的取值范围是（　　） A．k＞0 B．k＜0 C．k＞2 D．k＜2 【答案】C 【解答】解：∵一次函数y＝（k﹣2）x+3的函数值y随x的增大而增大， ∴k﹣2＞0， 解得k＞2， 故选：C． 【变式1】在一次函数y＝（k﹣2）x+1图象中，y随x的增大而增大，则k的取值范围为 　 ． 【答案】k＞2． 【解答】解：∵一次函数y＝（k﹣2）x+1图象中，y随x的增大而增大， ∴k﹣2＞0， 解得k＞2， 故答案为：k＞2． 【变式2】如图，在平面直角坐标系xOy中，我们把横、纵坐标都是整数的点称为“整点”．已知点A的坐标为（﹣2，1），点B的坐标为（3，1），P是y轴上一点，连接AP，BP，OA，OB．现设直线AP的函数解析式为y＝kx+b（k≠0），记线段AP，BP，OA，OB所围成的封闭区域（不含边界）为W，若区域W内的整点个数为6，则k的取值范围是 　 　 ． 【答案】k≤1或﹣2≤k． 【解答】解：如图， 当点P在x轴上方时，直线PB经过点E（1，2），此时直线PB的解析式为yx， 此时P（0，）， ∴直线AP的解析式为yx， 当直线AP经过点F（﹣1，2）时，直线AP的解析式为y＝x+3， 观察图形可知，满足条件的k的取值范围为：k≤1， 当点P′在x轴的下方，经过（0，﹣3）时，满足条件，此时直线AP的解析式为y＝﹣2x﹣3， 当直线AP经过（0，﹣2）时，解析式为yx﹣2， 观察图形可知，满足条件的k的取值范围为：﹣2≤k， 综上所述，满足条件的k的范围为：k≤1或﹣2≤k 故答案为：k≤1或﹣2≤k． 【变式3】已知一次函数y＝（4+2m）x+m﹣4，求： （1）m为何值时，y随着x的增大而减小？ （2）m为何值时，函数图象与y轴的交点在x轴下方？ （3）m为何值时，图象经过第一、三、四象限？ 【答案】见试题解答内容 【解答】解：（1）依题意得：4+2m＜0， 解得m＜﹣2； （2）依题意得：m﹣4＜0，4+2m≠0， 解得m＜4且m≠﹣2； （3）依题意得：， 解得﹣2＜m＜4． 过 关 验 收 1．对于函数，下列说法不正确的是（　　） A．其图象经过点（0，0） B．其图象经过点（﹣1，） C．其图象经过第二、四象限 D．y随x的增大而增大 【答案】D 【解答】解：A、正比例函数的图象必过原点，故A正确； B、当x＝1时，y，故B正确； C、k＜0，函数的图象过二四象限，故C正确； D、k＜0时，y随x的增大而减小，故D错误； 故选：D． 2．已知正比例函数y＝﹣2x，则它经过的象限是（　　） A．第二、四象限 B．第一、三象限 C．第三、四象限 D．第一、四象限 【答案】A 【解答】解：正比例函数y＝﹣2x的图象经过第二、四象限， 故选：A． 3．下列3个函数：①y＝x；②y＝﹣x﹣3；③，随着x的增大，y的变化情况相同的是（　　） A．①② B．①③ C．②③ D．①②③ 【答案】B 【解答】解：①在y＝x中， ∵k＝1＞0， ∴随着x的增大，y增大， ②在y＝﹣x﹣3中， ∵k＝﹣1＜0， ∴随着x的增大，y减小， ③在中， ∵k0， ∴随着x的增大，y增大， ∴随着x的增大，y的变化情况相同的是①③， 故选：B． 4．若函数y＝（m﹣2）x+m2﹣4是正比例函数，则下列叙述正确的是（　　） A．m＝±2 B．m＝2 C．m＝﹣2 D．y随x的增大而增大 【答案】C 【解答】解：当m2﹣4＝0且m﹣2≠0时，y是x的正比例函数， 解得m＝﹣2， 所以y＝﹣4x， ∵﹣4＜0， ∴y随x的增大而减小， 故选项C符合题意． 故选：C． 5．若正比例函数y＝（m﹣2）x的图象经过点A（x1，y1）和点B（x2，y2），当x1＜x2时y1＞y2，则m的取值范围是 　 ． 【答案】m＜2． 【解答】解：∵当x1＜x2时y1＞y2， ∴y随x的增大而减小， ∴m﹣2＜0， ∴m＜2． 故答案为：m＜2． 6．已知正比例函数y＝（k﹣1）x，函数值y随自变量x的值增大而减小，那么k的取值范围是　 ．在函数中，自变量x的取值范围是　 ． 【答案】k＜1；x≤2 【解答】解：∵正比例函数y＝（k﹣1）x的函数值y随自变量x的增大而增大， ∴k﹣1＜0， ∴k＜1，且k﹣1≠0，k≠1 ∴k的取值范围是k＜1． 2﹣x≥0， 则x≤2． 所以已知正比例函数y＝（k﹣1）x，函数值y随自变量x的值增大而增大，那么k的取值范围是k＜1．在函数中，自变量x的取值范围是x≤2． 故答案为：k＜1，x≤2． 7．已知正比例函数y＝（k+3）x，若y随x的增大而减小，则k的取值范围是 　 ． 【答案】k＜﹣3 【解答】解：∵正比例函数 y＝（k+3）x中，y的值随自变量x的值增大而减小， ∴k+3＜0， 解得，k＜﹣3； 故答案为：k＜﹣3． 8．在正比例函数y＝（2m﹣1）x中，y随x增大而减小，则m的取值范围是 　 　 ． 【答案】． 【解答】解：∵函数y＝（2m﹣1）x是正比例函数，且y随x的增大而减小， ∴2m﹣1＜0， 解得 故答案为：． 9．已知函数是正比例函数，且图象在第二、四象限内，则m的值是 　 　 ． 【答案】﹣3． 【解答】解：∵是正比例函数，且图象在第二、四象限内， ∴m+1＜0且m2﹣8＝1， ∴m＝﹣3． 故答案为：﹣3． 10．已知（x1，y1）（x2，y2）在函数y＝﹣6x的图象上，如果x1＜x2，那么y1　　 y2（填“＞”或“＝”或“＜”）． 【答案】＞． 【解答】解：函数y＝﹣6x，k＝﹣6＜0，y随x的增大而减小， ∵x1＜x2， ∴y1＞y2． 故答案为：＞． 11．函数y＝（m﹣2）x是正比例函数，则m的取值范围是　 ． 【答案】m≠2． 【解答】解：∵函数y＝（m﹣2）x是正比例函数， ∴m﹣2≠0， 解得：m≠2， ∴m的取值范围是：m≠2， 故答案为：m≠2． 12．函数y＝（m﹣1）x|m|﹣2，当m＝　 时，正比例函数y随x的增大而增大． 【答案】3． 【解答】解：由题意得，|m|﹣2＝1且m﹣1＞0， 解得m＝3， 故答案为：3． 13．一次函数y＝kx+b与y＝kbx，它们在同一坐标系内的图象可能为（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【解答】解：根据一次函数的图象分析可得： A、由一次函数y＝kx+b图象可知k＜0，b＞0；一次函数y＝kbx的图象可知kb＜0，两函数解析式均成立； B、由一次函数y＝kx+b图象可知k＜0，b＞0；即kb＜0，与次函数y＝kbx的图象可知kb＞0矛盾； C、由一次函数y＝kx+b图象可知k＞0，b＜0；即kb＜0，与次函数y＝kbx的图象可知kb＞0矛盾； D、由一次函数y＝kx+b图象可知k＞0，b＞0；即kb＞0，与次函数y＝kbx的图象可知kb＜0矛盾． 故选：A． 14．两个一次函数y1＝ax+b与y2＝bx+a（a，b为常数，且ab≠0），它们在同一个坐标系中的图象可能是（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【解答】解：A、可知：a＞0，b＞0． ∴直线经过一、二、三象限，故A错误； B、可知：a＞0，b＜0． ∴直线经过一、二、四象限，故B正确； C、∵ab≠0，故直线不经过原点，故C错误； D、可知：a＜0，b＞0， ∴直线经过一、三、四象限，故D错误． 故选：B． 15．在同一平面直角坐标系中，关于下列函数：①y＝x+1；②y＝2x+1；③y＝2x﹣1；④y＝﹣2x+1的图象，说法不正确的是（　　） A．②和③的图象相互平行 B．②的图象可由③的图象平移得到 C．①和④的图象关于y轴对称 D．③和④的图象关于x轴对称 【答案】C 【解答】解：由题意得：y＝2x+1与y＝2x﹣1比例系数相等；y＝2x﹣1与y＝﹣2x+1的比例系数互为相反数， 所以②和③的图象相互平行，③和④的图象关于x轴对称， 故A、B、D正确，C错误， 故选：C． 16．已知正比例函数y＝kx（k≠0）的函数值y随x的增大而减小，则函数y＝kx﹣k的图象大致是（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【解答】解：∵正比例函数y＝kx的函数值y随x的增大而减小， ∴k＜0， ∴﹣k＞0， ∴一次函数y＝kx﹣k的图象经过一、二、四象限， 故选：D． 17．在平面直角坐标系中，一次函数y＝kx﹣6（k＜0）的图象大致是（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【解答】解：∵一次函数y＝kx﹣6中，k＜0 ∴直线从左往右下降 又∵常数项﹣6＜0 ∴直线与y轴交于负半轴 ∴直线经过第二、三、四象限 故选：B． 18．一次函数y＝3x+b（b≥0）的图象一定不经过（　　） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 【答案】D 【解答】解：∵函数y＝3x+b（b≥0）中，k＝3＞0，b≥0， ∴当b＝0时，此函数的图象经过一、三象限，不经过第四象限； 当b＞0时，此函数的图象经过一、二、三象限，不经过第四象限． 则一定不经过第四象限． 故选：D． 19．对于某个一次函数y＝kx+b（k≠0），根据两位同学的对话得出的结论，错误的是（　　） A．k＞0 B．kb＜0 C．k+b＞0 D．kb 【答案】C 【解答】解：∵一次函数y＝kx+b（k≠0）的图象不经过第二象限， ∴b≤0， 又∵函数图象经过点（2，0）， ∴图象经过第一、三、四象限， ∴k＞0，kb， ∴kb＜0， ∴k+bb＜0， ∴错误的是k+b＞0． 故选：C． 20．一次函数y＝﹣2x﹣3的图象不经过（　　） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 【答案】A 【解答】解：∵y＝﹣2x﹣3 ∴k＜0，b＜0 ∴y＝﹣2x﹣3的图象经过第二、三、四象限，不经过第一象限 故选：A． 21．已知一次函数y＝kx﹣m﹣2x的图象与y轴的负半轴相交，且函数值y随自变量x的增大而减小，则下列结论正确的是（　　） A．k＜2，m＞0 B．k＜2，m＜0 C．k＞2，m＞0 D．k＜0，m＜0 【答案】A 【解答】解：∵一次函数y＝kx﹣m﹣2x的图象与y轴的负半轴相交，且函数值y随自变量x的增大而减小， ∴k﹣2＜0，﹣m＜0， ∴k＜2，m＞0． 故选：A． 22．请写出一个图象经过第一、二、四象限且与y轴交于点（0，2）的一次函数的解析式 　 　 ． 【答案】y＝﹣x+2（答案不唯一） 【解答】解：∵一次函数y＝kx+b的图象经过第一、二、四象限， ∴k＜0，b＞0， 又∵一次函数y＝kx+b的图象与y轴交于点（0，2）， ∴b＝2， ∴符合条件的一个函数解析式是y＝﹣x+2， 故答案为：y＝﹣x+2（答案不唯一）． 23．已知一次函数y＝kx﹣k，若函数值y随着自变量x值的增大而增大，则该函数的图象经过（　　） A．第一、二、三象限 B．第一、二、四象限 C．第二、三、四象限 D．第一、三、四象限 【答案】D 【解答】解：∵一次函数y＝kx﹣k，若函数值y随着自变量x值的增大而增大， ∴k＞0， ∴﹣k＜0， ∴此函数的图象经过一、三、四象限． 故选：D． 24．一次函数y＝﹣2x+6的图象不过（　　） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 【答案】C 【解答】解：∵k＝﹣2＜0，b＝6＞0， ∴一次函数y＝﹣2x+6的图象经过第一、二、四象限，不经过第三象限． 故选：C． 25．若一次函数y＝（2m+1）x+m﹣3的图象不经过第二象限，则m的取值范围是（　　） A．m B．m＜3 C．m＜3 D．m≤3 【答案】D 【解答】解：根据题意得， 解得m≤3． 故选：D． 26．已知一次函数y＝kx+b的图象如图所示，则k，b的取值范围是（　　） A．k＞0，b＞0 B．k＞0，b＜0 C．k＜0，b＞0 D．k＜0，b＜0 【答案】B 【解答】解：由图可知该一次函数图象经过第一、三、四象限， 则k＞0，b＜0． 故答案为B． 27．若一次函数y＝kx+b的图象经过第一、二、四象限，则（　　） A．k＞0，b＞0 B．k＞0，b＜0 C．k＜0，b＜0 D．k＜0，b＞0 【答案】D 【解答】解：∵一次函数y＝kx+b的图象经过第一、二、四象限， ∴k＜0，b＞0， 故选：D． 学科网（北京）股份有限公司 $ 5.3 一次函数的图形与性质 内 容 导 航 题型1 正比例函数的图象 题型2 正比例函数的性质 题型3 一次函数的图象 题型4 一次函数的性质 题型5 一次函数图象与系数的关系 考 点 演 练 题型1 正比例函数的图象 解｜题｜知｜识 正比例函数的图像是经过坐标原点（0，0）和定点（1，k）两点的一条直线，它的斜率是k（k表示正比例函数与x轴的夹角大小），横、纵截距都为0，正比例函数的图像是一条过原点的直线． 【典例1】如图：三个正比例函数的图象分别对应的解析式是①y＝ax，②y＝bx，③y＝cx，则a、b、c的大小关系是（　　） A．a＞b＞c B．c＞b＞a C．b＞a＞c D．b＞c＞a 【变式1】如图，三个正比例函数的图象分别对应表达式：①y＝ax，②y＝bx，③y＝cx，将a，b，c从小到大排列为（　　） A．a＜b＜c B．a＜c＜b C．b＜a＜c D．c＜b＜a 【变式2】下列各点中，在正比例函数的图象上的是（　　） A． B．（﹣3，﹣1） C．（0，﹣1） D．（6，3） 题型2 正比例函数的性质 解｜题｜知｜识 单调性 当k＞0时，图像经过第一、三象限，从左往右上升，y随x的增大而增大（单调递增），为增函数；[1] 当k＜0时，图像经过第二、四象限，从左往右下降，y随x的增大而减小（单调递减），为减函数． 对称性 对称点：关于原点成中心对称．[1] 对称轴：自身所在直线；自身所在直线的平分线． 【典例1】若正比例函数y＝（1﹣2m）x的图象经过点A（x1，y1）和点B（x2，y2），当x1＜x2时，y1＞y2，则m的取值范围是（　　） A．m＜0 B．m＞0 C．m D．m 【变式1】P1（x1，y1），P2（x2，y2）是正比例函数y＝﹣x图象上的两点，则下列判断正确的是（　　） A．y1＞y2 B．y1＜y2 C．当x1＜x2时，y1＞y2 D．当x1＜x2时，y1＜y2 【变式2】如果一个正比例函数的图象经过不同象限的两点A（2，m），B（n，3），那么一定有（　　） A．m＞0，n＞0 B．m＞0，n＜0 C．m＜0，n＞0 D．m＜0，n＜0 【变式3】在平面直角坐标系中，正比例函数y＝kx．且y的值随x值的增大而减小的图象是（　　） A． B． C． D． 题型3 一次函数的图象 解｜题｜知｜识 （1）一次函数的图象的画法：经过两点（0，b）、（，0）或（1，k+b）作直线y＝kx+b． 注意：①使用两点法画一次函数的图象，不一定就选择上面的两点，而要根据具体情况，所选取的点的横、纵坐标尽量取整数，以便于描点准确．②一次函数的图象是与坐标轴不平行的一条直线（正比例函数是过原点的直线），但直线不一定是一次函数的图象．如x＝a，y＝b分别是与y轴，x轴平行的直线，就不是一次函数的图象． （2）一次函数图象之间的位置关系：直线y＝kx+b，可以看做由直线y＝kx平移|b|个单位而得到． 当b＞0时，向上平移；b＜0时，向下平移． 注意：①如果两条直线平行，则其比例系数相等；反之亦然； ②将直线平移，其规律是：上加下减，左加右减； ③两条直线相交，其交点都适合这两条直线． 【典例1】对于三个数a、b、c，用min{a，b，c}表示这三个数中最小的数，例如，min{﹣1，2，3}＝﹣1，．那么观察图象，可得到min{x+1，2﹣x，2x﹣1}的最大值为　 　 ． 【变式1】在平面直角坐标系中，已知A、B、C、D四点的坐标依次为（0，0）、（6，0）、（8，6）、（2，6），若一次函数y＝m（x﹣6）的图象将四边形ABCD的面积分成1：3两部分，则m的值为 　 　 ． 【变式2】一次函数y＝n+mx的图象如图所示：则n　　 0，m　　 0（填＞或＜或＝号）． 【变式3】如图，A（m，0），B（n，0），且m，n满足（m+2）2+|n﹣2|＝0，直线AC恰好是一次函数的图象，CB⊥x轴于B． （1）求点C的坐标，并求△ABC的周长； （2）在y轴上是否存在点P，使得S△ABC＝S△ACP？若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由． 题型4 一次函数的性质 解｜题｜知｜识 一次函数的性质： k＞0，y随x的增大而增大，函数从左到右上升；k＜0，y随x的增大而减小，函数从左到右下降． 由于y＝kx+b与y轴交于（0，b），当b＞0时，（0，b）在y轴的正半轴上，直线与y轴交于正半轴；当b＜0时，（0，b）在y轴的负半轴，直线与y轴交于负半轴． 【典例1】一次函数y＝2x+1的图象经过（　　） A．第二、三、四象限 B．第一、三、四象限 C．第一、二、四象限 D．第一、二、三象限 【变式1】如图，在平面直角坐标系中，直线yx与矩形ABCO的边OC、BC分别交于点E、F，已知OA＝3，OC＝4，则△CEF的面积是（　　） A．6 B．3 C．12 D． 【变式2】已知点A（﹣2，m）和点B（3，n）都在直线的图象上，则m与n的大小关系为（　　） A．m＞n B．m＜n C．m≤n D．无法判断 【变式3】若一次函数y＝kx+b的图象经过第一、二、四象限，则一次函数y＝bx+k的图象大致是（　　） A． B． C． D． 题型5 一次函数图象与系数的关系 解｜题｜知｜识 由于y＝kx+b与y轴交于（0，b），当b＞0时，（0，b）在y轴的正半轴上，直线与y轴交于正半轴；当b＜0时，（0，b）在y轴的负半轴，直线与y轴交于负半轴． ①k＞0，b＞0⇔y＝kx+b的图象在一、二、三象限； ②k＞0，b＜0⇔y＝kx+b的图象在一、三、四象限； ③k＜0，b＞0⇔y＝kx+b的图象在一、二、四象限； ④k＜0，b＜0⇔y＝kx+b的图象在二、三、四象限． 【典例1】一次函数y＝（k﹣2）x+3的函数值y随x的增大而增大，则k的取值范围是（　　） A．k＞0 B．k＜0 C．k＞2 D．k＜2 【变式1】在一次函数y＝（k﹣2）x+1图象中，y随x的增大而增大，则k的取值范围为 　 ． 【变式2】如图，在平面直角坐标系xOy中，我们把横、纵坐标都是整数的点称为“整点”．已知点A的坐标为（﹣2，1），点B的坐标为（3，1），P是y轴上一点，连接AP，BP，OA，OB．现设直线AP的函数解析式为y＝kx+b（k≠0），记线段AP，BP，OA，OB所围成的封闭区域（不含边界）为W，若区域W内的整点个数为6，则k的取值范围是 　 　 ． 【变式3】已知一次函数y＝（4+2m）x+m﹣4，求： （1）m为何值时，y随着x的增大而减小？ （2）m为何值时，函数图象与y轴的交点在x轴下方？ （3）m为何值时，图象经过第一、三、四象限？ 过 关 验 收 1．对于函数，下列说法不正确的是（　　） A．其图象经过点（0，0） B．其图象经过点（﹣1，） C．其图象经过第二、四象限 D．y随x的增大而增大 2．已知正比例函数y＝﹣2x，则它经过的象限是（　　） A．第二、四象限 B．第一、三象限 C．第三、四象限 D．第一、四象限 3．下列3个函数：①y＝x；②y＝﹣x﹣3；③，随着x的增大，y的变化情况相同的是（　　） A．①② B．①③ C．②③ D．①②③ 4．若函数y＝（m﹣2）x+m2﹣4是正比例函数，则下列叙述正确的是（　　） A．m＝±2 B．m＝2 C．m＝﹣2 D．y随x的增大而增大 5．若正比例函数y＝（m﹣2）x的图象经过点A（x1，y1）和点B（x2，y2），当x1＜x2时y1＞y2，则m的取值范围是 　 ． 6．已知正比例函数y＝（k﹣1）x，函数值y随自变量x的值增大而减小，那么k的取值范围是　 ．在函数中，自变量x的取值范围是　 ． 7．已知正比例函数y＝（k+3）x，若y随x的增大而减小，则k的取值范围是 　 ． 8．在正比例函数y＝（2m﹣1）x中，y随x增大而减小，则m的取值范围是 　 　 ． 9．已知函数是正比例函数，且图象在第二、四象限内，则m的值是 　 　 ． 10．已知（x1，y1）（x2，y2）在函数y＝﹣6x的图象上，如果x1＜x2，那么y1　　 y2（填“＞”或“＝”或“＜”）． 11．函数y＝（m﹣2）x是正比例函数，则m的取值范围是　 ． 12．函数y＝（m﹣1）x|m|﹣2，当m＝　 时，正比例函数y随x的增大而增大． 13．一次函数y＝kx+b与y＝kbx，它们在同一坐标系内的图象可能为（　　） A． B． C． D． 14．两个一次函数y1＝ax+b与y2＝bx+a（a，b为常数，且ab≠0），它们在同一个坐标系中的图象可能是（　　） A． B． C． D． 15．在同一平面直角坐标系中，关于下列函数：①y＝x+1；②y＝2x+1；③y＝2x﹣1；④y＝﹣2x+1的图象，说法不正确的是（　　） A．②和③的图象相互平行 B．②的图象可由③的图象平移得到 C．①和④的图象关于y轴对称 D．③和④的图象关于x轴对称 16．已知正比例函数y＝kx（k≠0）的函数值y随x的增大而减小，则函数y＝kx﹣k的图象大致是（　　） A． B． C． D． 17．在平面直角坐标系中，一次函数y＝kx﹣6（k＜0）的图象大致是（　　） A． B． C． D． 18．一次函数y＝3x+b（b≥0）的图象一定不经过（　　） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 19．对于某个一次函数y＝kx+b（k≠0），根据两位同学的对话得出的结论，错误的是（　　） A．k＞0 B．kb＜0 C．k+b＞0 D．kb 20．一次函数y＝﹣2x﹣3的图象不经过（　　） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 21．已知一次函数y＝kx﹣m﹣2x的图象与y轴的负半轴相交，且函数值y随自变量x的增大而减小，则下列结论正确的是（　　） A．k＜2，m＞0 B．k＜2，m＜0 C．k＞2，m＞0 D．k＜0，m＜0 22．请写出一个图象经过第一、二、四象限且与y轴交于点（0，2）的一次函数的解析式 　 　 ． 23．已知一次函数y＝kx﹣k，若函数值y随着自变量x值的增大而增大，则该函数的图象经过（　　） A．第一、二、三象限 B．第一、二、四象限 C．第二、三、四象限 D．第一、三、四象限 24．一次函数y＝﹣2x+6的图象不过（　　） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 25．若一次函数y＝（2m+1）x+m﹣3的图象不经过第二象限，则m的取值范围是（　　） A．m B．m＜3 C．m＜3 D．m≤3 26．已知一次函数y＝kx+b的图象如图所示，则k，b的取值范围是（　　） A．k＞0，b＞0 B．k＞0，b＜0 C．k＜0，b＞0 D．k＜0，b＜0 27．若一次函数y＝kx+b的图象经过第一、二、四象限，则（　　） A．k＞0，b＞0 B．k＞0，b＜0 C．k＜0，b＜0 D．k＜0，b＞0 学科网（北京）股份有限公司 $