专题 4.5 平面直角坐标系（全章复习讲义 ）- 2025-2026学年苏科版八年级数学上册基础知识专项突破讲练

该初中数学平面直角坐标系复习讲义通过知识体系图谱构建全章框架，以“基础筑牢-方法突破-综合提能”为脉络，用表格归纳象限符号、距离公式等核心知识，思维导图呈现坐标变换（平移、对称）规律，清晰呈现重难点及内在联系。 讲义亮点在于分层设计与方法攻坚，基础题型覆盖点坐标与参数求解等同步必练题，高频模型如面积计算的“割补法”培养几何直观，易错专项突破平移规律符号错误等问题。分层作业适配不同学生，错题归因手册助力自主反思，教师可据此实施精准教学，提升学生空间观念与运算能力。

专题 4.5 平面直角坐标系（全章复习讲义 ） 目录 一、专题核心定位 2 【核心目标】 2 【学情适配】 2 【中考对接】 2 二、 知识体系图谱 2 三、 专题核心内容 3 第一部分：基础筑牢篇 —— 核心知识通关 3 【模块1】知识精讲 3 2. 方法梳理 4 【模块2】基础题型通关（▲核心题型） 5 题型 1：有序数对与点的坐标（基础必练） 5 题型 2：点的位置与符号判断（同步必练） 6 题型 3：点坐标与参数求解（同步必练） 8 题型 4：点坐标与坐标轴距离（同步必练） 9 题型 5：点的平移与对称变换（同步必练） 11 第二部分：方法突破篇 —— 核心技巧攻坚 13 模块 3：高频模型与方法精讲 13 模块 4：易错题型专项突破（△重点警示） 14 易错类型 1：混淆象限与坐标轴的定义（忽略 “坐标轴上的点不属于任何象限”） 14 易错类型 2：混淆 “坐标的读写顺序”（横、纵坐标颠倒） 15 易错类型 3：平移规律符号错误（“左减右加、上加下减” 记反） 17 第三部分：综合提能篇 —— 中考对接与压轴突破 19 模块 5：中考高频题型分类突破 19 题型 1：已知象限求参数（★中考必考题） 19 题型 2：利用距离公式求坐标（★中考常考题） 21 题型 3：平移与对称问题 （★中考应用性考点） 24 题型 4：面积问题（★中考提升题） 27 题型 5：几何问题（★中考冲刺题） 30 题型 6：规律问题（★中考冲刺题） 36 四、专题配套资源 39 分层作业设计： 39 基本夯实题【选择题6题、填空题6题、解答题4题】 39 能力提升题【选择题6题、填空题6题、解答题4题】 50 反思：错题归因手册： 67 一、专题核心定位 【核心目标】 夯实因式分解的概念本质，掌握提公因式法、公式法（平方差公式、完全平方公式）两大核心方法，能熟练运用因式分解解决代数式化简、求值、解方程等问题，建立 “整式乘法逆运算” 的逻辑思维，为后续分式运算、二次函数学习奠定基础。 【适用场景】 人教版八上同步培优、期中、期末复习、中考一轮基础巩固； 【学情适配】 基础薄弱生：掌握核心概念与基础题型，实现 “能分解、分解对”； 中等生：熟练运用两种核心方法，突破复杂多项式分解、易错题型； 优等生：掌握综合分解技巧，解决跨知识点融合问题、压轴创新题型； 【中考对接】 标注高频考点（★）、核心题型（▲）、易错点（△），明确因式分解在中考中 “工具性作用”（如分式化简、二次函数因式分解求交点、一元二次方程求解），对接近年中考命题趋势。 2、 知识体系图谱 3、 专题核心内容 第一部分：基础筑牢篇 —— 核心知识通关 【模块1】知识精讲 1. 概念辨析（△重点突破） （1）有序数对：用含有两个数的有序数对 表示位置，其中两个数的顺序不同，所表示的位置也不同。 （2）平面直角坐标系：在平面内，由两条互相垂直且有公共原点的数轴组成的图形叫作平面直角坐标系，其中水平数轴：轴（横轴）正方向向右；竖直数轴：轴（纵轴）正方向向上；两轴交点为坐标原点，其坐标为（0，0）。 （3）象限与坐标轴：坐标平面被轴、轴分成四个象限（逆时针依次为第一至第四象限），坐标轴上的点不属于任何象限： 象限符号 第一象限 第二象限 第三象限 第四象限 轴正半轴 轴 负半轴 轴正半轴 轴负半轴 【要点提示】象限与坐标轴坐标平面被轴、轴分成四个象限（逆时针依次为第一至第四象限），坐标轴上的点不属于任何象限： 2. 方法梳理 （1）坐标的书写与象限的判定（★中考基础考点）： ①点的坐标：过平面内一点作轴、轴的垂线，垂足在两轴上对应的数分别为该点的横坐标（先写）和纵坐标（后写），记作，是点与数的对应关系核心。 ②由点的坐标求参数：已知点的坐标，由点的坐标符号求参数，或已知点在坐标轴上点的坐标特征求参数。 （2）两点间的距离公式与中点坐标（★中考基础考点）： 水平距离（纵坐标相同）：若，，则 ； 垂直距离（横坐标相同）：若，，则 ； 平面上任意两点，，则 平面上任意两点，，则线段中点坐标为： （2）坐标平移规律（★中考基础考点）： ①已知点的坐标和平移方向，求平移后点的坐标； ②已知平移前后点的坐标，求平移规律； ③解决图形平移后的顶点坐标、面积等问题。 解题步骤： 牢记平移规律：上加下减，左减右加 ①若点 向右平移个单位：得；向左平移个单位：； ②若点 向上平移个单位：得；向下平移个单位：. 图形平移本质：所有顶点坐标遵循相同平移规律，图形的形状、大小不变，仅位置改变。 （3） 坐标轴对称（★中考基础考点）： ①求点关于轴、轴、原点对称点的坐标； ②利用对称性质解决对称问题； ③利用结合距离公式解决对称相关的最值问题（如 "将军饮马" 模型）。 牢记轴对称规律： 如果点的坐标为，那么点关于轴对称的点的坐标为，关于轴对称的点的坐标为，关于轴对称的点的坐标为 【模块2】基础题型通关（▲核心题型） 题型 1：有序数对与点的坐标（基础必练） 【例题1】（25-26八年级上·陕西西安·期中）象棋起源于中国，中国象棋文化历史悠久．如图是中国象棋棋盘一部分的示意图，建立平面直角坐标系，使棋子“帅”位于点，“马”位于点，则棋子“兵”的位置应记为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了平面直角坐标系．根据“帅”位于点，“马”位于点，建立平面直角坐标系，然后判断棋子“兵”的位置即可． 解：由题意知，建立平面直角坐标系如下； ∴棋子“兵”的位置应记为， 故选B 【变式1】（25-26八年级上·河北张家口·期中）妙妙在教室的座位是第3列第6行，记作，东东的座位是第7列第4行，记作（   ）． A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了数对与位置的关系，熟练掌握数对中列与行的表示规则是解题的关键．根据妙妙座位的记法，明确数对中列数在前、行数在后的规则，据此确定东东座位的数对表示． 解：∵ 妙妙座位第3列第6行，记作，即数对中第一个数表示列，第二个数表示行， 东东座位是第7列第4行， ∴ 记作， 故选：． 【变式2】（25-26八年级上·江西萍乡·期中）甲、乙、丙、丁四名同学的家所在位置如图所示，若丙同学家的坐标为，乙同学家的坐标为，则丁同学家的坐标为 【答案】 【分析】本题主要考查了平面直角坐标系，点的坐标，解题的关键是根据坐标建立平面直角坐标系． 根据两位同学的坐标，建立平面直角坐标系，即可得出丁同学家的坐标． 解：如图所示，根据两位同学的坐标，可建立如下坐标系， ∴丁同学家的坐标为， 故答案为：． 题型 2：点的位置与符号判断（同步必练） 【例题2】（25-26八年级上·安徽淮北·期中）老师在黑板上画出平面直角坐标系，并将书本放在如图所示的位置．下列各点中，一定没有被书本遮住的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查各象限内点的坐标特征，属于基础知识；由图知，书本遮住了坐标系中的第一、三、四象限的部分，只有第二象限内的点一定不被书本遮住，由此即可求解． 解：由图知，第二象限内的点一定不被书本遮盖，而在第二象限， 所以此点一定不被书本遮住， 而在第四象限，在第一象限，在第三象限，都有可能被书本遮住； 故选：B． 【变式1】（2025·贵州·中考真题）如图，在平面直角坐标系中有A，B，C，D四点，根据图中各点位置判断，哪一个点在第四象限（  ） A．点 B．点 C．点 D．点 【答案】D 【分析】本题考查判断点所在的象限，根据象限的划分方法，轴下方，轴右侧的区域为第四象限，进行判断即可． 解：由图可知，点在第四象限； 故选D． 【变式2】（24-25九年级下·广东梅州·阶段练习）下列叙述错误的是（  ） A．坐标平面被两条坐标轴分成了四个部分，每个部分称为象限 B．坐标轴上的点不属于任何象限 C．平面直角坐标系的两条数轴是互相垂直的 D．第二、四象限内点的横、纵坐标符号相同，第一、三象限内点的横、纵坐标符号不同 【答案】D 【分析】此题主要考查了平面直角坐标系，掌握平面直角坐标系的构成是解决本题的关键．根据平面直角坐标系中相关知识点判断即可． 解：A、坐标平面被两条坐标轴分成了四个部分，每个部分称为象限，说法正确，不符合题意； B、坐标轴上的点不属于任何象限，说法正确，不符合题意； C、平面直角坐标系的两条数轴是互相垂直的，说法正确，不符合题意； D、第二、四象限内点的横、纵坐标符号不同，第一、三象限内点的横、纵坐标符号相同，原说法错误，符合题意； 故选：D． 【变式2】（2025·四川广安·中考真题）在平面直角坐标系中，已知点A的坐标为，且a，b满足，则点A在第 象限． 【答案】四 【分析】本题考查非负性，判断点所在的象限，根据非负性求出的值，根据的符号，判断出点A所在的象限即可． 解：∵， ∴， ∴， ∴点A的坐标为，在第四象限； 故答案为：四． 题型 3：点坐标与参数求解（同步必练） 【例题3】（25-26八年级上·广东深圳·期中）在平面直角坐标系中，点在轴上，则点的坐标是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查平面直角坐标系中坐标轴上的点的特点，注意在轴上的点，纵坐标为0，在y轴上的点，横坐标为0． 点Q在轴上，则点Q的纵坐标为0，据此求出的值并求得点Q的坐标． 解：∵点在轴上 ∴ 解得： ∴ 故选：A 【变式1】（25-26七年级上·山东济南·期中）若点在轴上，则点坐标为 ． 【答案】 【分析】此题考查了x轴上点的坐标特征，解题的关键是正确求得的值． 根据轴上点的坐标特征，纵坐标为，由此求出的值，再代入横坐标表达式计算即可． 解：∵点在轴上， ∴纵坐标， 解得， ∴横坐标， ∴点的坐标为． 【变式2】（25-26七年级上·全国·课后作业）若点的横坐标与纵坐标相同，则的值为 ． 【答案】2 【分析】本题考查了点的坐标的知识，掌握以上知识是解答本题的关键； 根据点的横坐标与纵坐标相同，列出方程求解； 解：∵点的横坐标与纵坐标相同， ∴， 解得：，即， 故答案为：2； 题型 4：点坐标与坐标轴距离（同步必练） 【例题4】（25-26八年级上·安徽淮北·阶段练习）在平面直角坐标系中，已知点 （1）若点P的横坐标比纵坐标大7，求点P的坐标． （2）若点P在坐标轴上，求m的值． （3）若点P到x轴与到y轴的距离相等，求m的值． 【答案】（1）；（2）或；（3）或 【分析】本题主要考查了平面直角坐标系及点的坐标特征，熟练掌握相关知识是解题的关键． （1）直接根据题意建立方程求解即可； （2）根据坐标轴上点的特征：x轴上的点纵坐标为0，y轴上的点，横坐标为0，据此求解即可； （3）分类讨论，根据横纵坐标相同或者相反，建立方程求解即可． 解：（1）解：由题意可知：， 解得， ； （2）解：当点P在x轴上时，则， 解得， ； 当点P在y轴上时，则， 解得， ； （3）解：当点P在第一象限或者第三象限时，则， 解得， 此时； 当点P在第二象限或者第四象限时，则， 解得， 此时； 综上，m的值为或3． 【变式1】（25-26八年级上·陕西西安·期中）在平面直角坐标系中，点A的坐标是，若点A到x轴的距离与到y轴的距离相等，则a的值为 ． 【答案】或1 【分析】本题考查了点到坐标轴的距离．根据点到坐标轴的距离公式，点A到x轴的距离等于纵坐标的绝对值，到y轴的距离等于横坐标的绝对值，由条件建立方程进行求解，即可作答． 解：∵点A的坐标是，若点A到x轴的距离与到y轴的距离相等， ∴， 当时，则，解得， 当时，则，解得， 故答案为：或1 【变式2】（25-26八年级上·安徽蚌埠·期中）在平面直角坐标系中，点P在x轴的上方，y轴的左侧，且点P到x轴的距离为3，到y轴的距离为5，则点P的坐标是 ． 【答案】 【分析】本题考查了点到坐标轴的距离，根据点P在x轴的上方和y轴的左侧的位置特征，结合点到坐标轴的距离，即可确定点P的坐标． 解：∵点P在x轴的上方，且到x轴的距离为3， ∴点P的纵坐标为3， ∵点P在y轴的左侧，且到y轴的距离为5， ∴点P的横坐标为， ∴点P的坐标是， 故答案为：． 题型 5：点的平移与对称变换（同步必练） 【例题5】（2025·四川眉山·中考真题）在平面直角坐标系中，将点向右平移2个单位到点B，则点B的坐标为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了坐标与图形变化﹣平移．掌握平移的规律“左右横，上下纵，正加负减”是解答本题的关键． 根据平移规律，向右平移2个单位时，点的横坐标增加2，纵坐标不变，即可解答． 解：点向右平移2个单位，横坐标变为，纵坐标保持3不变． 所以，点的坐标为，、 故选：C． 【变式1】（2025·山东青岛·中考真题）如图，在平面直角坐标系中，点A，B，C都在格点上，将关于y轴的对称图形绕原点O旋转，得到，则点A的对应点的坐标是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了平面直角坐标系中点的变换，熟练掌握点的对称与旋转是解决本题的关键． 先根据图中的位置求出点A的坐标，再根据关于y轴的对称可求解点，再根据绕原点O旋转即可求解点的坐标． 解：在平面直角坐标系中，点， ∴点A关于y轴对称的点， 将点绕原点O旋转， ∴如图，点． 故选：A． 【变式2】（2025·辽宁·中考真题）在平面直角坐标系中，点的坐标为，点的坐标为，将线段平移得到线段，点的对应点的坐标为，则点的对应点的坐标为（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查坐标与图形变换—平移，根据平移的性质，由点A平移后的对应点C的坐标确定平移规则，再应用于点B即可得到点D的坐标． 解：由题意，点向上平移5个单位得到点， ∴点向上平移5个单位得到点， ∴点的坐标为，即； 故选B． 【变式3】（25-26八年级上·山西阳泉·期中）在平面直角坐标系中，直线经过点，且垂直于轴，则点关于直线对称的点的坐标是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查关于轴对称的点的坐标特征． 由已知可得直线为，根据关于轴对称的点的坐标特征，即可求解． 解：∵直线垂直于轴，且经过点， ∴直线为， ∴点关于轴对称的点的坐标是， ∴点关于直线对称的点的坐标是． 故选：D． 第二部分：方法突破篇 —— 核心技巧攻坚 【模块3】高频模型与方法精讲 模型 适用场景 解题方法 已知象限求参数 点的位置与坐标符号 利用点的位置得出坐标符号，建立不等式组求参数取值范围 利用距离公式求坐标 能过平行于坐标轴两点距离和任意两点距离公式求点的坐标 通过点到坐标轴距离及两点之间距离公式直接求点的坐标或通过距离建立方程求出参数或点的坐标 平移+对称问题 通过点的平移、对称后的坐标求解； 已知变换前后坐标求变换规律、图形变换后的顶点坐标。 多次变换：按顺序分步操作（如先平移再对称），每步仅关注当前变换规则； 图形变换：所有顶点遵循同一规则，面积、形状不变，仅位置改变。 面积计算 网格中不规则图形面积；已知顶点坐标的三角形、四边形面积。 通过“割补法”将不规则图形转化为“水平”或“垂直”的规则图形（长方形、直角三角形），通过坐标差求边长，避免复杂高的计算。 【模块4】易错题型专项突破（△重点警示） 易错类型 1：混淆象限与坐标轴的定义（忽略 “坐标轴上的点不属于任何象限”） 【例题6】（24-25八年级上·安徽亳州·阶段练习）已知点P不在第一象限，则点在（    ） A．x轴正半轴上 B．y轴负半轴或原点上 C．x轴负半轴上 D．y轴正半轴或原点上 【答案】D 【分析】本题考查了平面直角坐标系中各象限及坐标轴上点的坐标特征，解题的关键是根据点 P"不在第一象限”的条件推导 a 的取值范围，进而判断点 Q的位置． 解：∵点P纵坐标为1（正数）， ∴点P在第一或第二象限或y轴正半轴上， ∵点P不在第一象限， ∴横坐标需满足（否则横、纵坐标均正，会在第一象限）， 解得． 因点横坐标为0，故在y轴上； 又因，则点Q在y轴正半轴（）或原点（）上． 故选：D． 【变式1】点的位置在（   ） A．第二象限 B．第三象限 C．x轴上 D．y轴上 【答案】C 【分析】本题考查点的坐标，根据平面直角坐标系中，点的坐标特征判断位置即可． 解：∵点的横坐标为，纵坐标为0， ∴该点位于x轴上； 故选：C． 【变式2】（24-25七年级下·青海玉树·期末）在平面直角坐标系中，点所在的位置是（   ） A．原点 B．第二象限 C．在x轴上 D．在y轴上 【答案】C 【分析】本题考查了判断点所在的象限，点的坐标特点．牢记点在x轴、y轴上的点的特征是正确解答此类题目的关键．根据x轴上的点的纵坐标为0，进行解答即可． 解：依题意，点的纵坐标为0，横坐标为负数， 点的位置在x轴负半轴上． 故选：C． 易错类型 2：混淆 “坐标的读写顺序”（横、纵坐标颠倒） 【例题7】（25-26八年级上·陕西西安·期中）点在轴上，则点的坐标为 （    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查了平面直角坐标系内坐标轴上的点的特征， 点P在x轴上，则其纵坐标为0，由此求出m的值，再代入横坐标即可得到点P的坐标． 解：∵点P在x轴上， ∴纵坐标， 解得． ∴横坐标， ∴点P的坐标为． 故选：D． 【变式1】（25-26八年级上·辽宁朝阳·期中）如图，建立适当的直角坐标系后，正方形网格上B、C的坐标分别为．那么点的坐标为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查平面直角坐标系．根据B、C的坐标确定坐标系，从而可确定A的坐标． 解：∵B、C的坐标分别为， 故坐标系如图所示： ， 故点的坐标为， 故选：A． 【变式2】（25-26八年级上·全国·阶段练习）如图，在平面直角坐标系中，，则点D的坐标是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了全等三角形的性质：全等三角形的对应边相等．也考查了坐标与图形性质． 先利用点坐标得到，再根据全等三角形的性质得到，然后根据轴的负半轴上点的坐标特征写出点坐标，从而可对各选项进行判断． 解：，， ，， ， ， 点坐标为． 故选：C． 易错类型 3：平移规律符号错误（“左减右加、上加下减” 记反） 【例题8】（25-26八年级上·安徽滁州·期中）在平面直角坐标系中，将点先向左平移个单位长度，再向上平移个单位长度后，得到的点的坐标为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查坐标平移的规则：横坐标左减右加，纵坐标上加下减． 解：∵点向左平移个单位， ∴横坐标变为； ∵再向上平移个单位， ∴纵坐标变为； ∴平移后的点的坐标为． 故选：D． 【变式1】在平面直角坐标系中，对于坐标，下列说法错误的是（    ） A．点P向左平移三个单位后落在y轴上 B．点P的纵坐标是4 C．点P到x轴的距离是4 D．它与点表示同一个坐标 【答案】D 【分析】求出点P向左平移三个单位后的坐标即可判断A；根据横纵坐标的定义即可判断B；根据点到x轴的距离为纵坐标的绝对值即可判断C；根据坐标的意义即可判断D． 解：A、点向左平移三个单位后的坐标为，在y轴上，说法正确，不符合题意； B、点的纵坐标为4，说法正确，不符合题意； C、点P到x轴的距离是4，说法正确，不符合题意； D、点与点表示的不是同一个坐标，说法错误，符合题意； 故选D． 【点拨】本题主要考查了点坐标的平移，坐标的意义，点到坐标轴的距离等等，熟知相关知识是解题的关键． 【变式2】（24-25七年级下·北京西城·期中）如图，每个小方格都是边长为1个单位长度，在建立平面直角坐标系后，线段的两个端点坐标分别为，．现将线段平移，使平移后线段的两个端点均在坐标轴上，则以下平移正确的是（   ） ①先向左平移1个单位长度，再向下平移1个单位长度； ②先向左平移2个单位长度，再向下平移2个单位长度； ③先向左平移2个单位长度，再向下平移3个单位长度． A．①② B．①③ C．③ D．② 【答案】B 【分析】本题考查了坐标系，点的平移，根据题意将线段平移，使平移后线段的两个端点均在坐标轴上，即平移后得到线段或，进而确定平移方式，即可求解． 解：如图所示， 将线段平移，使平移后线段的两个端点均在坐标轴上，即平移后得到线段或， 由图可得， ∵点A的坐标是，， ∴线段先向左平移1个单位长度，再向下平移1个单位长度后得到， 由图可得， 同理得：线段先向左平移2个单位长度，再向下平移3个单位长度后得到， 故选：B． 第三部分：综合提能篇 —— 中考对接与压轴突破 【模块5】中考高频题型分类突破 题型 1：已知象限求参数（★中考必考题） 【例题10】（2025·四川广元·模拟预测）在平面直角坐标系中，点在第二象限，则a的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了解一元一次不等式组，各象限内点的坐标的符号特征，根据平面直角坐标系中第二象限内的点的横坐标小于0，纵坐标大于0，可得，解不等式组求出a的取值范围即可． 解：∵平面直角坐标系中的点在第二象限， ∴， 解得：． 故选：A． 【变式1】（2025·青海·中考真题）在平面直角坐标系中，点在第三象限，则的取值范围是 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了平面直角坐标系中第三象限的点的坐标的符号特点，根据平面直角坐标系中第三象限内的点的横坐标小于0，纵坐标小于0，列出关于a的不等式组，求解即可． 解：点在第三象限， ， 解得， 即的取值范围是， 故答案为：． 【变式2】（25-26八年级上·陕西延安·开学考试）在平面直角坐标系中，已知点在第三象限，则的取值范围为 ． 【答案】 【分析】根据第三象限内点的坐标特征（横、纵坐标均为负）列出不等式组，求解不等式组得到的取值范围．本题主要考查了平面直角坐标系中第三象限点的坐标特征以及一元一次不等式组的求解，熟练掌握第三象限点横、纵坐标都为负并据此列出不等式组是解题的关键． 解：∵点在第三象限， ∴． 解得； 解得． ∴． 故答案为： ． 【变式3】（24-25八年级上·江苏连云港·阶段练习）已知点，分别根据下列条件求出点的坐标． （1）点在轴上； （2）若点在第二象限内且为正整数． 【答案】（1）；（2） 【分析】本题考查的是平面直角坐标系内x轴上的点以及象限内的点的坐标特点，解不等式组，求不等式组的整数解，熟练掌握其特点并代入计算是解题的关键． （1）根据轴上纵坐标为0求解； （2）根据第二象限的点横坐标为负，纵坐标为正得到不等式组，求解并取正整数解，即可求解坐标． 解：（1）解：由题意得：， ∴， ∴， ∴； （2）解：由题意得：， 解得：， ∵为正整数， ∴， ∴， ∴． 题型 2：利用距离公式求坐标（★中考常考题） 【例题11】（25-26八年级上·全国·课后作业）已知点，解答下列各题． （1）点在轴上，求出点的坐标； （2）点的坐标为，直线轴，求出点的坐标； （3）若点在第二象限，且它到轴、轴的距离相等，求的值． 【答案】（1）；（2）；（3） 【分析】本题考查了平面直角坐标系坐标系中点的坐标的特点等知识． （1）根据点在轴上得到，解得，即可求出点P的坐标； （2）根据点的坐标为，直线轴，得到，解得，即可求出点P的坐标； （3）根据点在第二象限，且它到轴、轴的距离相等，得到，解得，即可求出的值． 解：（1）解：点在轴上， ， 解得， ， 点的坐标； （2）解：点的坐标为，直线轴， ， 解得， ， 点的坐标为； （3）解：点到轴、轴的距离相等， ∴， ∵点在第二象限， ， 解得， ． 【变式1】（24-25八年级上·陕西咸阳·期中）在平面直角坐标系中，第四象限内的点到轴的距离是3，到轴的距离是2，轴，若，则点的坐标是（    ） A．或 B．或 C．或 D．或 【答案】A 【分析】本题考查的是坐标与图形性质，熟知平行于x轴的直线上各点的纵坐标相等是解题的关键．先根据题意得出P点坐标，根据轴设出Q点的坐标，进而可得出结论． 解：∵第四象限内的点到轴的距离是3，到轴的距离是2， ∴， ∵轴， ∴设 若， 则， 解得：或， ∴点Q的坐标为或， 故选：A． 【变式2】（25-26八年级上·辽宁沈阳·阶段练习）第四象限的点到y轴的距离是4，则点P的坐标为 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了点到坐标轴的距离、在各象限点的坐标特征等知识点，点到y轴的距离是横坐标的绝对值是解题的关键．先根据题意可得，然后求得a的值，进而确定点P的坐标． 解：∵第四象限的点到y轴的距离是4，则， ∴， 解得：， ∴， ∴点P的坐标为． 故答案为：． 【变式3】（23-24七年级下·广西玉林·期中）先阅读一段文字，再回答下列问题：已知在平面内两点坐标，，其两点间距离公式为，同时，当两点所在的直线在坐标轴上或平行于轴或垂直于轴时，两点距离公式可简化成或． （1）已知，，试求，两点的距离； （2）已知，在平行于轴的直线上，点的纵坐标为6，点的纵坐标为，试求，两点的距离； （3）已知一个三角形各顶点坐标为，，，找出三角形中相等的边？说明理由． 【答案】（1）；（2）；（3），理由见分析 【分析】本题考查了两点间距离公式，准确理解题意是解题的关键． （1）直接根据两点间距离公式计算即可； （2）直接根据两点间距离公式计算即可； （3）先根据两点间距离公式分别计算三角形三边的长度，再进行比较即可． 解：（1），， ； （2）在平行于轴的直线上，点的纵坐标为6，点的纵坐标为， ； （3），理由如下： ，，， ， ， ， ． 题型 3：平移与对称问题 （★中考应用性考点） 【例题12】（25-26八年级上·云南曲靖·期中）如图，在平面直角坐标系中，网格上的每个小正方形的边长均为1，的顶点坐标分别为，，． （1）在图中画出关于轴对称的（点、、的对应点分别为点、、），并写出点的坐标； （2）在轴上求作一点，使得的值最小．（保留作图痕迹，不写作法）． 【答案】（1）见分析，点的坐标为；（2）见分析 【分析】本题主要考查了轴对称变换、最短路径问题等知识，理解并掌握关于坐标轴对称的图形特征是解题关键． （1）首先确定点A，B，C的关于x轴对称的点D，E，F，然后顺次连接即可； （2）连接，交x轴于点P，连接，点P即为所求． 解：（1）解：如图，即为所作，点的坐标为； （2）解：如图，点即为所作． 【变式1】（25-26八年级上·福建莆田·期中）如图，在平面直角坐标系中，已知的三个顶点的坐标分别为，，． （1）①画出关于x轴的对称图形； ②画出沿x轴向右平移4个单位长度的图形 （2）如果上有一点经过上述两次变换，那么对应上的点的坐标是 ． 【答案】（1）图见分析；（2） 【分析】此题主要考查了轴对称变换以及平移变换，正确得出对应点位置是解题关键． （1）①直接利用关于x轴对称点的性质得出对应点位置进而得出答案；②直接利用平移的性质得出对应点位置进而得出答案； （2）直接利用平移变换的性质得出点的坐标． 解：（1）解：①如图1所示，，，关于x轴对称的点为，顺次首尾连接， 即为所求； ②如图1所示，沿x轴向右平移4个单位长度得到，顺次首尾连接， 即为所求； （2）点M经过第一次变换后坐标为，经过第二次变换后的坐标为， 故答案为：； 【变式2】（25-26八年级上·辽宁葫芦岛·期中）在平面直角坐标系中，的顶点坐标分别为，，． （1）写出点关于轴对称的点的坐标； （2）画出关于轴对称的； （3）在平面直角坐标系中，是否存在点，使得与全等，若存在，请直接写出点的坐标，若不存在，说明理由． 【答案】（1）；（2）见分析；（3）存在，或或 【分析】本题考查作图轴对称变换，熟练掌握轴对称的性质是解答本题的关键． （1）根据轴对称的性质求解即可； （2）根据轴对称的性质作图即可； （3）根据全等三角形的判定定理画图即可解答． 解：（1）解：根据对称性得； （2）解：如图，即为所作； （3）解：如图，与全等，此时点的坐标为或或 题型 4：面积问题（★中考提升题） 【例题13】（24-25七年级下·内蒙古巴彦淖尔·期中）如图，在平面直角坐标系中，已知，，其中a，b满足．点M的坐标，在y轴的正半轴上有一点P，使得的面积与的面积相等，则点P的坐标为（  ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了坐标与图形，非负数的性质，先根据绝对值和平方的非负性求出的值，分别过点作轴的平行线，过点作轴的平行线，相交于点，则，设，求出，根据题意得到，建立方程求解即可． 解：∵a，b满足， ∴， ∴， ∴，， 如图，分别过点作轴的平行线，过点作轴的平行线，相交于点， 则， 设， ∵， ∴， ∵的面积与的面积相等， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， 故选：C． 【变式1】（24-25七年级下·湖北黄石·月考）在平面直角坐标系中，已知点，，，，已知三角形的面积是三角形面积的倍，则的值为 ． 【答案】或 【分析】本题考查了三角形的面积，坐标与图形的性质，准确得出三角形的底边、高的长度是解题的关键 先根据点、的横坐标相等得出轴以及的长，再根据三角形面积之间的关系得出关于的方程求解即可． 解：点，， 轴，， 由题意得，， 即， 解得或， 【变式2】（25-26八年级上·福建漳州·期中）如图，在平面直角坐标系中，点，， （1）求的面积； （2）点P是y轴上一动点，当面积为面积的两倍时，求点P的坐标． 【答案】（1）10；（2）或 【分析】本题主要考查了直角坐标系中点的坐标、三角形的面积等知识点，灵活运用数形结合思想是解题的关键． （1）先求出，再根据点C的坐标知点C到的距离为4，然后根据三角形的面积公式求解即可； （2）设点P坐标为，根据三角形面积公式得，再根据面积为面积的两倍时，然后解方程求得m的值，即可确定点P的坐标． 解：（1）解：∵，，， ∴，点C到的距离为4， ∴． （2）解：设点P坐标为，即，， ∵面积为面积的两倍 ∴，即，解得：， ∴点P坐标为或． 题型 5：几何问题（★中考冲刺题） 【例题14】（25-26八年级上·安徽淮南·期中）如图，点的坐标为，作轴，轴，垂足分别为，，点为线段的中点，点从点出发，在线段上沿运动，当时，点的坐标为（　　） A． B． C．或 D．或 【答案】C 【分析】本题考查了坐标与图形，全等三角形的判定和性质，解题的关键是判断出全等． 分两种情况：①当点在边上时，根据判断出，得出，得出点的坐标；②当点在边上时，同①的方法即可． 解：∵点的坐标为，轴，轴， ∴， ∵点为线段的中点， ∴， ①当点在边上时， 在和中， ， ， ， ， ②当点在边上时， 同①的方法，得出， ， 或． 故选：C． 【变式1】（25-26九年级上·山东济宁·阶段练习）如图，在平面直角坐标系中，已知，点P到x轴的距离为6，将点P绕原点O逆时针旋转得到点，则的坐标为 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了旋转的性质，勾股定理，全等三角形的判定和性质，解题的关键是掌握旋转前后对应边相等，对应边的夹角等于旋转角． 过点和点作轴的垂线，垂足分别为点和点，则，根据旋转的性质得出，通过证明，得出，即可求出的坐标． 解：过点和点作轴的垂线，垂足分别为点和点， 在中，， 由题意知道：，，所以， 所以， ∵将点绕坐标原点逆时针旋转得到点， ， ， 轴，轴， ，， ， ， ， ， ∴的坐标是， 故答案为：． 【变式2】（25-26八年级上·江苏盐城·月考）如图，在平面直角坐标系中，为坐标原点．的边在轴上，、、三点的坐标分别为、、，点从出发，以每秒2个单位的速度沿射线匀速运动，设点运动时间为秒． （1）当时，_____．（用含的代数式表示）； （2）连接，设的面积为，当时，求值； （3）当在线段上运动时，是否存在一点，使是等腰三角形？若存在，请求出满足条件的所有点的坐标以及此时对应的值；若不存在，请说明理由． 【答案】（1）；（2）1或4；（3）存在，或或． 【分析】本题考查等腰三角形的判定，勾股定理，坐标与图形性质，分类讨论思想．解题的关键是根据点的不同位置进行分类讨论． （1）由题意得时，，再由，可得结论； （2）分点在原点左侧和原点右侧两种情况讨论求解； （3）分三种情况，分别求得的长以及的长，即可得出所有点的坐标和的值． 解：（1）解：由题意，，， ∴当时，， ∴， 故答案为：； （2）解：由题意，， 当点P在原点左侧时，，， ∴的面积， 由得， 当点P在原点右侧时，，， ∴的面积， 由得， 综上，t的值为1或4； （3）解：存在，题意，分三种情况： ①当时，是等腰三角形， ∵， ∴， ∴，； ②当时，是等腰三角形， ∵， ∴， ∴，， ∴，； ③当时，是等腰三角形， 设，则， ∴，解得， ∴， ∴，． 综上，或或． 【变式3】（25-26九年级上·全国·期中）在直角坐标系中，O为坐标原点，点，点，是中点，连接，将绕点顺时针旋转，得到，记旋转角为，点，的对应点分别是，．连接，是中点，连接，． （1）如图，当时，求点 M 的坐标 ．（直接写出答案） （2）如图，当时，求证∶，且； 【答案】（1）；（2）见分析 【分析】本题属于几何变换综合题，考查了等腰直角三角形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，直角三角形斜边中线定理等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造直角三角形解决问题，学会用分类讨论的思想思考问题． （1）如图①中，过点M作于D．解直角三角形求出，即可解决问题． （2）如图②，当时，点B，A，N共线，O，A，M共线，利用直角三角形斜边中线定理即可解决问题． 解：（1）解：如图①中，过点作于． ∵点，点， ∴， ∵是的中点， ∴，且， ∴是等腰直角三角形， ∴当时，点在上， 由旋转可知：， ．， ∴， ∴． （2）如图②，当时，点，，共线，，，共线， ∵，且为等腰直角三角形，是的中点， ∴， ∴，， ∵，， ∴ ∴， ∵， ∴， ∴， ∴． 题型 6：规律问题（★中考冲刺题） 【例题14】（25-26八年级上·浙江宁波·期中）如图，在平面直角坐标系中，点A的坐标是，以为斜边在y轴右侧作等腰直角，过点作x轴的垂线，垂足为，以为斜边在右侧以作等腰直角，再过点作x轴的垂线，垂足为，以为斜边在右侧作等腰直角……按此规律继续作下去，则点的纵坐标为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了平面直角坐标系中点坐标的规律，等腰直角三角形的性质，，找出点坐标的规律变化是解题的关键． 根据点的纵坐标，等腰直角三角形的性质，得到点的纵坐标为，点的纵坐标为，由此得到点的纵坐标的变化规律，由此即可求解． 解：已知点的坐标是， ∴， ∵是等腰直角三角形， ∴， ∴， ∵轴， ∴， ∴点的纵坐标为， 则， 同理，， ∴点的纵坐标为， 根据此规律即可得到点的纵坐标为． 故选：A． 【变式1】（25-26八年级上·甘肃白银·期中）如图所示点，，，，，，…，根据这个规律，探究可得点坐标是 ． 【答案】 【分析】本题考查了规律型：点的坐标，学生的观察图形的能力和理解能力，解此题的关键是根据图形得出规律．由图形得出点的横坐标依次是0、1、2、3、4、…、n，纵坐标依次是0、2、0、、0、2、0、、…，四个一循环，继而求得答案． 解：观察图形可知， 点的横坐标依次是0、1、2、3、4、…、n，纵坐标依次是0、2、0、、0、2、0、、…，四个一循环， 故点坐标是． 故答案是：． 【变式2】如图，在平面直角坐标系中，第一次将变换成，第二次将变换成，第三次将变换成． （1）观察每次变换前后的三角形的变化规律，若将变换成，则的坐标是＿＿＿＿，的坐标是＿＿＿． （2）若按第（1）题找到的规律将进行n次变换，得到，比较每次变换中三角形顶点坐标有何变化，找出规律，推测An的坐标是＿＿＿＿＿，Bn的坐标是＿＿＿＿＿． 【答案】（1）；；（2）； 【分析】本题考查了坐标与图形性质、坐标点的规律变化，根据给定点的坐标的变化找出变化规律是解题的关键． （1）根据点的变化，可找出点的坐标；同理可得出点的坐标； （2）结合（1）中点的坐标的变化，可找出点的坐标； 解：（1）解：， ； ， ． 故答案为：；． （2）， ； …， ． 故答案为：；． 四、专题配套资源 分层作业设计： 基本夯实题【选择题6题、填空题6题、解答题4题】 一、单选题 1．（25-26八年级上·陕西西安·期中）根据下列信息能精准确定陕西历史博物馆位置的是（    ） A．西安南郊 B．大雁塔的北偏西方向 C．北纬，东经 D．距赛格购物中心800米 【答案】C 【分析】本题考查位置的确定方式．选项A、B、D均只能表示一个区域或一条路径，无法唯一确定一个点；而选项C使用经纬度坐标，能精确对应地球上一个点． 解：A、西安南郊表示一个大致区域，范围模糊，无法确定具体点，不符合题意； B、大雁塔的北偏西方向只给出方向，无距离，表示一条射线，无法确定具体点，不符合题意； C、北纬，东经是经纬度坐标，能唯一对应地球上一个点，符合题意； D、距赛格购物中心800米只给出距离，无方向，表示一个圆，无法确定具体点，不符合题意； 故选：C． 2．（25-26八年级上·山西运城·期中）已知点，若点为，且直线轴，则点的坐标为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查了坐标与图形，根据平行于y轴的直线上的点横坐标相同得到，据此求出即可得到答案． 解：∵点，若点为，且直线轴， ∴， 解得， ∴ ∴点的坐标为， 故选：A． 3．（25-26八年级上·江苏连云港·期中）在平面直角坐标系中，如果点在第二象限，那么的取值可能是（   ） A．2 B．1 C．0 D． 【答案】A 【分析】本题考查了象限点的坐标特征：第二象限的点横坐标是负数，纵坐标是正数．据此即可求解． 解：由题意得：，解得； 观察四个选项，只有选项A符合题意， 故选：A． 4．（25-26八年级上·内蒙古包头·期中）秋天，小红在劳动公园采集了一片树叶，将其放在平面直角坐标系中，表示叶片尖端A，B两点的坐标分别为，，则叶柄底部点C的坐标为（  ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查了直角坐标系．根据已知点A、B的坐标建立平面直角坐标系，进而确定点C的坐标． 解：∵叶片尖端两点的坐标分别为，， ∴建立坐标系如图所示∶ ∴叶柄底部点C的坐标为． 故选：A． 5．（25-26八年级上·浙江宁波·期中）如图，在平面直角坐标系中有8个边长为1的正方形，线段将这8个正方形分成面积相等的两部分，则点A的横坐标为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】此题考查了坐标与图形，三角形的面积．根据题意得到直角三角形的面积，利用三角形的面积公式求出的长是解题的关键． 设直线l和八个正方形的最上面交点为A，过A作轴于B，作轴于C，易知，利用三角形的面积公式和已知条件求出即可． 解：设直线l和八个正方形的最上面交点为A，过A作轴于B，作轴于C， ∵正方形的边长为1， ∴， ∵经过原点的一条直线l将这八个正方形分成面积相等的两部分， ∴两边面积分别是， ∴面积是， ∴， ∴， 则点A的横坐标为． 故选：B． 6．（25-26八年级上·全国·课后作业）如图，在平面直角坐标系中，点A与点B关于y轴对称，将点A向右平移4个单位长度后，点A的坐标为，则点B的坐标是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了平面直角坐标系内的点，关于y轴对称的点的坐标， 先根据平移求出点A的坐标，再根据对称可得答案. 解：点向右平移4个单位长度的坐标为， ∴点，即. ∵点A与点B关于y轴对称， ∴点. 故选：B. 二、填空题 7．（25-26八年级上·河北保定·期中）点一定在第 象限． 【答案】二 【分析】本题主要考查点的坐标所在象限，熟练掌握点的坐标所在象限特征是解题的关键；通过分析点P的横坐标和纵坐标的符号，根据各象限内点的坐标特征进行判断即可． 解：点P的横坐标为，小于0；纵坐标为，由于，因此所以点P的横坐标为负，纵坐标为正，根据象限的定义，点P一定在第二象限； 故答案为二． 8．（24-25七年级下·湖北武汉·期中）在平面直角坐标系中，四边形各顶点的坐标分别为，则四边形的面积为 ． 【答案】 【分析】本题考查坐标与图形，作，垂足分别为，利用分割法求出四边形的面积即可． 解：作，垂足分别为，如图， ∵， ∴， ∴四边形的面积为； 故答案为：． 9．（23-24七年级下·甘肃武威·期中）已知线段轴，若点的坐标为，线段的长为3，则点的坐标是 ． 【答案】或 【分析】本题考查了坐标与图形的性质．线段轴，把点向左或右平移3个单位即可得到点的坐标． 解：线段轴， 点的纵坐标与点的纵坐标相同， ，点的坐标为， 点的坐标是或． 故答案为：或． 10．（25-26八年级上·安徽亳州·阶段练习）如图，平面直角坐标系内有一条线段，，，若将线段平移至，则的值为 ． 【答案】3 【分析】本题考查平面直角坐标系中平移规律，解题的关键是熟练掌握在平面直角坐标系中，图形的平移与图形上某点的平移相同．平移中点的变化规律是：横坐标右移加，左移减；纵坐标上移加，下移减． 根据点的坐标的变化分析出的平移方法，再利用平移中点的变化规律算出a、b的值即可解答． 解：∵点平移后得到，点平移后得到， ∴点A横坐标从变为4，右平移了个单位， 点B纵坐标从变为，向上平移了个单位， ∵线段整体平移， ∴平移规律相同， ∴A点向上平移个单位，， 点向右平移个单位，， ∴， 故答案为：3． 11．（25-26八年级上·四川绵阳·期中）如图，在平面直角坐标系中，点是原点，已知点，，，如果与关于轴对称，则点的坐标为 ． 【答案】 【分析】本题考查了轴对称，由题意可知点和点关于轴对称，再根据关于轴对称的点纵坐标相同，横坐标互为相反数即可求解，掌握关于坐标轴对称的点的坐标特征是解题的关键． 解：由题意可知，点和点关于轴对称， ∵， ∴点的坐标为， 故答案为：． 12．（25-26九年级上·辽宁·期中）如图，在平面直角坐标系中，，，，均为格点，将线段绕着某点旋转一个角度可以得到线段（与，与是对应点），则旋转中心的坐标为 ． 【答案】 【分析】本题考查坐标与图形变化旋转，写出直角坐标系中点的坐标，解题的关键是根据旋转的性质找出旋转中心． 根据对应点连线段的垂直平分线的交点即为旋转中心找出旋转中心，再利用数形结合写出旋转中心的坐标即可． 解：如图，旋转中心的坐标为． 故答案为：． 三、解答题 13．（25-26八年级上·陕西西安·期中）在平面直角坐标系中，点的坐标为． （1）若点在x轴上，求点的坐标； （2）若点的坐标为、直线轴，求的值． 【答案】（1）；（2） 【分析】本题考查了点的坐标，坐标轴上的点的特征，正确掌握相关性质内容是解题的关键． （1）根据点在x轴上纵坐标为0求解即可； （2）根据直线轴，得出，即，即可作答． 解：（1）解：由题意可得，， 解得， ， ； （2）解：直线轴，， ，B两点的纵坐标相等，即， 解得． 14．（25-26八年级上·广东江门·期中）如图所示，在平面直角坐标系中，已知、、． （1）在平面直角坐标系中画出，并求的面积； （2）画出关于y轴对称的，并写出， ，的坐标； （3）在x轴找一点P，使最小．（保留作图痕迹，在图中标出点P） 【答案】（1）图见分析；面积为4；（2）图见分析；、、；（3）图见分析 【分析】本题考查了平面直角坐标中点的特征，画轴对称图形，最短路径问题，解决本题的关键是在坐标系下将点正确表示出来． （1）根据点的坐标画出即可，再由割补求解三角形面积即可； （2）根据轴对称图形的性质画出即可，再由图示写出坐标即可； （3）先找到点A关于x轴的对称点，再连接交x轴于点P，连接，点P即为所求． 解：（1）解：如图所示， ； （2）解：如图所示， 、、； （3）解：找到点A关于x轴的对称点， ∴， 连接交x轴于点P，连接，点P即为所求． 15．（25-26八年级上·甘肃兰州·期中）如图，在长方形中，为平面直角坐标系的原点，点的坐标为．点的坐标为，且满足，点在第一象限内，点从原点出发，以每秒个单位长度的速度沿着的线路移动． （1）___________，___________，点的坐标为___________． （2）当点移动秒时，求出点的坐标； 【答案】（1）, ；（2） 【分析】本题考查非负数的性质、长方形的坐标特征与点的运动问题； （1）利用非负数的性质求，结合长方形坐标特征得点坐标； （2）通过路程计算与分段分析确定点位置进而确定坐标，关键是掌握非负数的性质和点的运动路径分析，易错点是点运动分段时的路程计算错误． 解：（1）解：因为，所以； 在长方形中，，所以点的坐标为； 故答案为； ； （2）点的移动速度是每秒个单位长度，移动秒时路程为个单位长度；先沿移动，因为，则剩余路程；再沿移动个单位长度后，横坐标为，纵坐标为，所以点的坐标． 故答案为． 16．（25-26八年级上·广东深圳·期中）如图，在平面直角坐标系中，点的坐标为，点的坐标为． （1）画线段关于轴对称的线段（点的对称点分别为），并写出点的坐标； （2）若点关于轴的对称点的坐标为，则___________，___________； （3）在（2）的条件下，的面积为___________． 【答案】（1）图见分析，；（2），；（3）14 【分析】本题考查了轴对称的性质、平面直角坐标系中点的坐标特征以及三角形面积的计算，解题的关键是掌握关于坐标轴对称的点的坐标规律． （1）根据关于轴对称的点的坐标特征，求出、的坐标，再画出线段； （2）根据关于轴对称的点的坐标特征求解和； （3）利用割补法计算三角形的面积． 解：（1）解：如图： 关于轴对称的点，纵坐标不变，横坐标互为相反数． 已知点，则其关于轴对称的点的坐标为； 已知点，则其关于轴对称的点的坐标为． 然后在平面直角坐标系中描出，连接即可得到线段； （2）解：关于轴对称的点，横坐标不变，纵坐标互为相反数． 点关于轴的对称点的坐标为， ． 故答案为：，； （3）解：． 能力提升题【选择题6题、填空题6题、解答题4题】 一、单选题 1．（23-24八年级上·四川达州·期末）在如图所示的象棋盘上，建立适当的平面直角坐标系，使“炮”位于点上，“相”位于点上，则“帅”位于点（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了坐标确定位置，先根据“炮”和“相”的坐标建立平面直角坐标系，从而得出答案，掌握相关知识是解题的关键． 解：由题意可建立如图所示的平面直角坐标系： ∴“帅”位于点， 故选：A． 2．（20-21七年级下·江西南昌·期末）在平面直角坐标系中，点不可能在（    ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 【答案】D 【分析】本题考查了各象限内点的坐标的符号特征，记住各象限内点的坐标的符号是解决的关键． 确定出点的纵坐标比横坐标大，再根据各象限内点的坐标特征解答． 解：， ， ， ∴点的纵坐标比横坐标大， ∵第四象限的点的横坐标是正数，纵坐标是负数， ∴第四象限内点的横坐标一定比纵坐标大， ∴点不可能在第四象限． 故选：D． 3．（25-26八年级上·山东滨州·期中）已知点与关于轴对称，则的值为（    ） A．1 B． C．2026 D． 【答案】A 【分析】考查关于x轴对称的点的坐标性质、有理数的乘方运算．解题关键是掌握“关于x轴对称的点，横坐标相等、纵坐标互为相反数”的规律；易错点是混淆x轴y轴对称的坐标变化规律，或误算的幂次（偶数次幂为1，奇数次幂为）． 首先根据“关于x轴对称的点，横坐标相等、纵坐标互为相反数”，列等式：（横坐标相等）、（纵坐标互为相反数）；其次分别求解得、；最后计算，再根据“的偶数次幂为1”，求出． 解：∵点与点关于x轴对称， ∴，且． 由，得； 由，得． ∴， ∴； 故选A． 4．（25-26八年级上·河北唐山·阶段练习）如图，平分，于点，且，已知点到轴的距离是4，那么点的坐标为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了角平分线的性质定理，写出平面直角坐标系中点的坐标，作轴于，由角平分线的性质定理可得，再结合点到轴的距离是4，写出坐标即可，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键． 解：如图，作轴于， ， ∵平分，于点，轴于， ∴， ∵点到轴的距离是4， ∴点的坐标为， 故选：A． 5．（20-21七年级下·黑龙江·期中）如图，在的方格纸中，每个小正方形边长为1，点，，在方格纸的交点（格点）上，在第四象限内的格点上找点，使的面积为3，则这样的点共有（   ） A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 【答案】B 【分析】本题考查平面直角坐标系，三角形面积问题．根据轴，，可求出的高，再根据点C在第四象限，即可求解． 解：由图可知，轴，且， 设点到的距离为， 则的面积， 解得， 点在第四象限， 点的位置如图所示，共有3个． 故选：B． 6．（25-26九年级上·湖北武汉·阶段练习）如图，在平面直角坐标系中，为等腰三角形，，点B到x轴的距离为4，若将绕点O逆时针旋转，得到，则点的坐标为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了旋转的性质以及构造全等三角形求线段的长度，准确构造全等三角形求得线段长度是解题的关键． 过B作于，过作轴于，构建，由勾股定理求出，进而可得出答案． 解：过B作于，过作轴于， ∴， ∴， 由旋转可知，， ∴， ∴， ∵，，， ∴， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴． 故选：A． 二、填空题 7．（12-13七年级下·北京·期中）已知点在第一象限，点在第四象限，若，都为整数，则 ． 【答案】7或8 【分析】本题考查了已知点所在的象限求参数，解不等式组，根据题意得到，，求出，，然后根据，都为整数，得到，或2，然后分情况代入求解即可． 解：∵点在第一象限，点在第四象限， ∴，， ∴，， ∵，都为整数， ∴，或2 ∴当，时，； 当，时，． 综上所述，或8． 故答案为：7或8． 8．（25-26八年级上·江苏南通·期中）在平面直角坐标系中，点，点是轴上一点，点满足，． （1）若且点B在第一象限，则点B的坐标为 ； （2）若点B在y轴右侧，则线段的最小值为 ． 【答案】 5 【分析】本题考查了全等三角形的判定和性质，坐标与图形的性质． （1）作轴于点，作于点，证明，据此求解即可； （2）判断点B在直线上运动，当垂直于直线时，线段有最小值为5． 解：（1）作轴于点，作于点， ∵，， ∴，，， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴，， ∴， ∴点B的坐标为； 故答案为：； （2）同（1）点B的横坐标为5， ∴点B在直线上运动， 当垂直于直线时，线段有最小值，最小值为5， 故答案为：5． 9．（25-26八年级上·山东枣庄·期中）在平面直角坐标系中，给出如下定义：点到轴、轴的距离的较大值称为点的“长距”，点到轴、轴的距离相等时，称点为“完美点”．若点的长距为5，且点在第三象限内，点的坐标为，则点 “完美点”（填是或不是）． 【答案】是 【分析】本题主要考查了平面直角坐标系内点到坐标轴的距离，解一元一次方程，弄清题意是解题的关键． 根据点C在第三象限且长距为5，可求出b的值，再代入点D的坐标，计算点到x轴和y轴的距离，即可判断是否相等． 解：∵点在第三象限，长距为5， ∴，， ∴ 解得， ∴点D坐标为． ∵点D到x轴距离为8，到y轴距离为8，距离相等， ∴点D是完美点． 故答案为：是． 10．（25-26八年级上·四川成都·期中）如图，在平面直角坐标系中，的顶点A在x轴的正半轴上．顶点B的坐标为，点C的坐标为，点P为斜边OB上的一个动点，则的最小值为 ． 【答案】 【分析】本题考查对称求最值，等腰直角三角形的性质，勾股定理，掌握相关知识是解决问题的关键．作关于的对称点，连接交于，连接，则此时的值最小，根据勾股定理求出，即可得出答案． 解：作关于的对称点， ， 是等腰直角三角形， ，， ， 则为等腰直角三角形， ∵关于的对称点为， ∴也为等腰直角三角形， ∴，， 点在轴上， 且， 连接交于，连接，则此时的值最小， ， ， ，， 在中，由勾股定理得：， 即的最小值是． 故答案为：． 11．（25-26八年级上·江苏宿迁·期中）如图，在中，，，，点在上，将沿着所在直线翻折，使点落在边上的点处，则的长为 ． 【答案】 【分析】本题主要考查折叠的性质，勾股定理，平面直角坐标系以及中点坐标公式等知识，建立平面直角坐标系，由勾股定理求出，由折叠得，，得垂直平分，求得，运用待定系数法求出的解析式，联立方程组并求解得出，从而可求出的长． 解：以所在直线为轴，所在直线为轴，点为坐标原点建立平面直角坐标系，设交于点，如图， 在中，，，， ∴， ∴，， 由折叠得，，， ∴，垂直平分， ∴， 设所在直线解析式为， 把代入得：， ∴， ∴所在直线解析式为； 设所在直线解析式为， 把，代入得：， ∴， ∴所在直线解析式为； 联立方程组， 解得， ∴点的坐标为， ∴． 故答案为：． 12．（25-26八年级上·甘肃酒泉·期中）在平面直角坐标系中，有若干个横坐标、纵坐标都是整数的点，我们称它们为“整点”．把这些点按图中箭头标注的顺序排列，第1个点是，第2个点是，第3个点是，第4个点是…根据这个规律，第2024个点的坐标是 【答案】 【分析】此题考查的是点的坐标规律题，根据点的坐标变化规律归纳公式是解决此题的关键． 根据图形推导出第个点的坐标为：，则当时，第个点的坐标为． 解：由图可知：第4个点的坐标为：， 第8个点的坐标为：， 第12个点的坐标为：， ∴第个点的坐标为：， ∴当时，第个点的坐标为， 故答案为：． 三、解答题 13．（25-26八年级上·广东深圳·期中）如图所示，学校计划在教学楼点、图书馆点、实验楼点之间铺设一块三角形草坪△，已知实验楼点的坐标为． （1）为了美观，在关于轴对称的位置铺设另一块三角形草坪△，画出三角形，则的坐标是_______，点的坐标是_______，点的坐标是_______； （2）请计算两块草坪的面积一共是多少？ 【答案】（1）作图见分析；；；；（2） 【分析】本题考查作图——轴对称变换，关于坐标轴对称的点的坐标，熟练掌握轴对称的性质是解答本题的关键． （1）分别作点、、关于轴的对称点、、，连接点、、，得到三角形即为所求，根据平面直角坐标系即可得到各点坐标； （2）借助网格分别求出两个三角形的面积，相加即可． 解：（1）解：如下图所示，分别作点、、关于轴的对称点、、， 连接点、、，得到，即为所求； 由图可得，，，． 故答案为：；；． （2）解：如下图所示，把分成两个三角形， 由对称可知， 两块草坪的面积一共是． 14．（25-26八年级上·浙江宁波·期中）在平面直角坐标系中，对于点、点满足，其中m为常数，则称点P与点Q互为“m阶和谐点”，例如：点与互为“2阶和谐点”． （1）下列选项中，是点的“8阶和谐点”的有______（填序号）． ①            ②            ③            ④ （2）若点与点互为“a阶和谐点”，点P到坐标轴的距离相等，求a的值； （3）点和点互为“0阶和谐点”，点C是y轴上的动点，若的面积为9，求点C的坐标． 【答案】（1）①③；（2）a的值为33或；（3）点C的坐标为或 【分析】本题主要考查直角坐标系中点的坐标，熟练掌握直角坐标系中点的坐标特征是解题的关键； （1）根据“8阶和谐点”可依次进行排除； （2）根据题意易得，然后得出m的值，进而根据“a阶和谐点”可进行求解； （3）由题意易得，则有，设点，则有，然后可得，进而求解即可． 解：（1）解：①∵，， ∴，故符合题意； ②∵，， ∴，故不符合题意； ③∵，， ∴，故符合题意； ④∵，， ∴，故不符合题意； 故答案为①③； （2）解：∵，且点P到坐标轴的距离相等， ∴， 解得：或， ∴或， 当，时，则有； 当，时，则有； ∴综上所述：a的值为33或； （3）解：∵点和点互为“0阶和谐点”， ∴，即， ∴， 设点，则有， ∵的面积为9， ∴， 解得：或10， ∴点C的坐标为或． 15．（25-26八年级上·山东青岛·期中）在平面直角坐标系中，对于任意两点与的“识别距离”，给出如下定义： 若，则点与点的“识别距离”为； 若，则点与点的“识别距离”为． 例如：对于点与点，因为，所以点与点的“识别距离”为4． 【初步理解】 （1）已知点，，则点A与点B的“识别距离”为______． 【深入应用】 （2）已知点，点B为y轴上的一个动点， ①若点A与点B的“识别距离”为3，求出满足条件的点B的坐标； ②点A与点B的“识别距离”的最小值为______． 【答案】（1）6（2）①或②2 【分析】本题考查了坐标与图形性质，正确理解新定义“识别距离”是解题的关键． （1）根据“识别距离”的定义直接计算判断即可； （2）①根据“识别距离”的定义列方程，再解出即可； ②根据“识别距离”的定义分情况讨论求解即可． 解：（1）解：∵点，， ∴， ∴， 根据“识别距离”的定义，可知点A与点B的“识别距离”为6， 故答案为：6； （2）①解：∵点B为y轴上的一个动点， ∴可设B点坐标为， ∵点与点B的“识别距离”为3，， 因为识别距离为3，大于，所以根据定义，识别距离为， ∴， ∴或． ∴点B的坐标为或； ②解：∵，根据“识别距离”的定义可知， 当时，点A与点B的“识别距离”大于2， 当时，点A与点B的“识别距离”等于2， ∴点A与点B的“识别距离”的最小值为2， 故答案为：2． 16．（25-26八年级上·贵州黔西·期中）（1）“构造全等”是解决数学几何问题常用的方法之一．如图，直线经过等腰直角三角形的直角顶点，分别过点、向直线作垂线，构造了一对全等三角形，这对全等的三角形是__________； （2）如图2，在平面直角坐标系中，是以点为直角顶点的等腰直角三角形，根据（1）中的方法，求点的坐标； （3）如图，点为轴负半轴上一动点．当点沿轴负半轴向下运动时，以为顶点，为腰作等腰直角三角形，过点作轴于点，求的长．（用含的式子表示） 【答案】（1）和；（2）；（3） 【分析】本题主要考查了坐标与图形及三角形全等的判定与性质，正确添加辅助线构造全等三角形是解答此题的关键． （1）根据证明； （2）作轴于，证明，得，进而可得； （3）作轴于，证明，得，结合线段的和差关系即可求解． 解：（1）和． 在和中， （2）过点作轴于点，如答图1所示． 在和中， （3）过点作轴于点，如答图2所示． 在和中， 轴，轴， 轴， 点为轴负半轴上一动点， ． 反思：错题归因手册： ． 2 / 30 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题 4.5 平面直角坐标系（全章复习讲义 ） 目录 一、专题核心定位 1 【核心目标】 1 【学情适配】 2 【中考对接】 2 二、 知识体系图谱 2 三、 专题核心内容 2 第一部分：基础筑牢篇 —— 核心知识通关 3 【模块1】知识精讲 3 2. 方法梳理 3 【模块2】基础题型通关（▲核心题型） 4 题型 1：有序数对与点的坐标（基础必练） 5 题型 2：点的位置与符号判断（同步必练） 5 题型 3：点坐标与参数求解（同步必练） 6 题型 4：点坐标与坐标轴距离（同步必练） 6 题型 5：点的平移与对称变换（同步必练） 7 第二部分：方法突破篇 —— 核心技巧攻坚 7 模块 3：高频模型与方法精讲 7 模块 4：易错题型专项突破（△重点警示） 8 易错类型 1：混淆象限与坐标轴的定义（忽略 “坐标轴上的点不属于任何象限”） 8 易错类型 2：混淆 “坐标的读写顺序”（横、纵坐标颠倒） 8 易错类型 3：平移规律符号错误（“左减右加、上加下减” 记反） 9 第三部分：综合提能篇 —— 中考对接与压轴突破 10 模块 5：中考高频题型分类突破 10 题型 1：已知象限求参数（★中考必考题） 10 题型 2：利用距离公式求坐标（★中考常考题） 10 题型 3：平移与对称问题 （★中考应用性考点） 11 题型 4：面积问题（★中考提升题） 13 题型 5：几何问题（★中考冲刺题） 13 题型 6：规律问题（★中考冲刺题） 15 四、专题配套资源 16 分层作业设计： 16 基本夯实题【选择题6题、填空题6题、解答题4题】 16 能力提升题【选择题6题、填空题6题、解答题4题】 20 反思：错题归因手册： 24 一、专题核心定位 【核心目标】 夯实平面直角坐标系的概念本质，掌握平面内点的坐标表示、点与坐标的对应关系、坐标平面内点的性质（象限及坐标轴上点的特征）、图形平移与坐标变化的规律等核心知识，能熟练运用平面直角坐标系解决图形位置确定、平移问题、最值问题等实际与代数问题，建立“数形结合”的逻辑思维，为后续一次函数、反比例函数、几何图形的坐标分析等学习奠定基础。 【适用场景】 苏科版八上同步培优、期中、期末复习、中考一轮基础巩固； 【学情适配】 基础薄弱生：掌握核心概念与基础题型，实现“能定位、会表示”； 中等生：熟练运用坐标性质与平移规律，突破图形与坐标的综合关联、易错题型； 优等生：掌握坐标变换的综合技巧，解决跨知识点融合问题（如与几何图形性质、函数初步结合）、压轴创新题型； 【中考对接】 标注高频考点（★）、核心题型（▲）、易错点（△），明确平面直角坐标系在中考中“基础性工具作用”（如一次函数图像绘制与性质分析、几何图形的坐标证明、图形平移旋转对称的坐标表示、实际问题中的位置确定），对接近年中考命题趋势。 2、 知识体系图谱 3、 专题核心内容 第一部分：基础筑牢篇 —— 核心知识通关 【模块1】知识精讲 1. 概念辨析（△重点突破） （1）有序数对：用含有两个数的有序数对 表示位置，其中两个数的顺序不同，所表示的位置也不同。 （2）平面直角坐标系：在平面内，由两条互相垂直且有公共原点的数轴组成的图形叫作平面直角坐标系，其中水平数轴：轴（横轴）正方向向右；竖直数轴：轴（纵轴）正方向向上；两轴交点为坐标原点，其坐标为（0，0）。 （3）象限与坐标轴：坐标平面被轴、轴分成四个象限（逆时针依次为第一至第四象限），坐标轴上的点不属于任何象限： 象限符号 第一象限 第二象限 第三象限 第四象限 轴正半轴 轴 负半轴 轴正半轴 轴负半轴 【要点提示】象限与坐标轴坐标平面被轴、轴分成四个象限（逆时针依次为第一至第四象限），坐标轴上的点不属于任何象限： 2. 方法梳理 （1）坐标的书写与象限的判定（★中考基础考点）： ①点的坐标：过平面内一点作轴、轴的垂线，垂足在两轴上对应的数分别为该点的横坐标（先写）和纵坐标（后写），记作，是点与数的对应关系核心。 ②由点的坐标求参数：已知点的坐标，由点的坐标符号求参数，或已知点在坐标轴上点的坐标特征求参数。 （2）两点间的距离公式与中点坐标（★中考基础考点）： 水平距离（纵坐标相同）：若，，则 ； 垂直距离（横坐标相同）：若，，则 ； 平面上任意两点，，则 平面上任意两点，，则线段中点坐标为： （2）坐标平移规律（★中考基础考点）： ①已知点的坐标和平移方向，求平移后点的坐标； ②已知平移前后点的坐标，求平移规律； ③解决图形平移后的顶点坐标、面积等问题。 解题步骤： 牢记平移规律：上加下减，左减右加 ①若点 向右平移个单位：得；向左平移个单位：； ②若点 向上平移个单位：得；向下平移个单位：. 图形平移本质：所有顶点坐标遵循相同平移规律，图形的形状、大小不变，仅位置改变。 （3） 坐标轴对称（★中考基础考点）： ①求点关于轴、轴、原点对称点的坐标； ②利用对称性质解决对称问题； ③利用结合距离公式解决对称相关的最值问题（如 "将军饮马" 模型）。 牢记轴对称规律： 如果点的坐标为，那么点关于轴对称的点的坐标为，关于轴对称的点的坐标为，关于轴对称的点的坐标为 【模块2】基础题型通关（▲核心题型） 题型 1：有序数对与点的坐标（基础必练） 【例题1】（25-26八年级上·陕西西安·期中）象棋起源于中国，中国象棋文化历史悠久．如图是中国象棋棋盘一部分的示意图，建立平面直角坐标系，使棋子“帅”位于点，“马”位于点，则棋子“兵”的位置应记为（   ） A． B． C． D． 【变式1】（25-26八年级上·河北张家口·期中）妙妙在教室的座位是第3列第6行，记作，东东的座位是第7列第4行，记作（   ）． A． B． C． D． 【变式2】（25-26八年级上·江西萍乡·期中）甲、乙、丙、丁四名同学的家所在位置如图所示，若丙同学家的坐标为，乙同学家的坐标为，则丁同学家的坐标为 题型 2：点的位置与符号判断（同步必练） 【例题2】（25-26八年级上·安徽淮北·期中）老师在黑板上画出平面直角坐标系，并将书本放在如图所示的位置．下列各点中，一定没有被书本遮住的是（   ） A． B． C． D． 【变式1】（2025·贵州·中考真题）如图，在平面直角坐标系中有A，B，C，D四点，根据图中各点位置判断，哪一个点在第四象限（  ） A．点 B．点 C．点 D．点 【变式2】（24-25九年级下·广东梅州·阶段练习）下列叙述错误的是（  ） A．坐标平面被两条坐标轴分成了四个部分，每个部分称为象限 B．坐标轴上的点不属于任何象限 C．平面直角坐标系的两条数轴是互相垂直的 D．第二、四象限内点的横、纵坐标符号相同，第一、三象限内点的横、纵坐标符号不同 【变式2】（2025·四川广安·中考真题）在平面直角坐标系中，已知点A的坐标为，且a，b满足，则点A在第 象限． 题型 3：点坐标与参数求解（同步必练） 【例题3】（25-26八年级上·广东深圳·期中）在平面直角坐标系中，点在轴上，则点的坐标是（    ） A． B． C． D． 【变式1】（25-26七年级上·山东济南·期中）若点在轴上，则点坐标为 ． 【变式2】（25-26七年级上·全国·课后作业）若点的横坐标与纵坐标相同，则的值为 ． 题型 4：点坐标与坐标轴距离（同步必练） 【例题4】（25-26八年级上·安徽淮北·阶段练习）在平面直角坐标系中，已知点 （1）若点P的横坐标比纵坐标大7，求点P的坐标． （2）若点P在坐标轴上，求m的值． （3）若点P到x轴与到y轴的距离相等，求m的值． 【变式1】（25-26八年级上·陕西西安·期中）在平面直角坐标系中，点A的坐标是，若点A到x轴的距离与到y轴的距离相等，则a的值为 ． 【变式2】（25-26八年级上·安徽蚌埠·期中）在平面直角坐标系中，点P在x轴的上方，y轴的左侧，且点P到x轴的距离为3，到y轴的距离为5，则点P的坐标是 ． 题型 5：点的平移与对称变换（同步必练） 【例题5】（2025·四川眉山·中考真题）在平面直角坐标系中，将点向右平移2个单位到点B，则点B的坐标为（   ） A． B． C． D． 【变式1】（2025·山东青岛·中考真题）如图，在平面直角坐标系中，点A，B，C都在格点上，将关于y轴的对称图形绕原点O旋转，得到，则点A的对应点的坐标是（   ） A． B． C． D． 【变式2】（2025·辽宁·中考真题）在平面直角坐标系中，点的坐标为，点的坐标为，将线段平移得到线段，点的对应点的坐标为，则点的对应点的坐标为（　　） A． B． C． D． 【变式3】（25-26八年级上·山西阳泉·期中）在平面直角坐标系中，直线经过点，且垂直于轴，则点关于直线对称的点的坐标是（    ） A． B． C． D． 第二部分：方法突破篇 —— 核心技巧攻坚 模块 3：高频模型与方法精讲 模型 适用场景 解题方法 已知象限求参数 点的位置与坐标符号 利用点的位置得出坐标符号，建立不等式组求参数取值范围 利用距离公式求坐标 能过平行于坐标轴两点距离和任意两点距离公式求点的坐标 通过点到坐标轴距离及两点之间距离公式直接求点的坐标或通过距离建立方程求出参数或点的坐标 平移+对称问题 通过点的平移、对称后的坐标求解； 已知变换前后坐标求变换规律、图形变换后的顶点坐标。 多次变换：按顺序分步操作（如先平移再对称），每步仅关注当前变换规则； 图形变换：所有顶点遵循同一规则，面积、形状不变，仅位置改变。 面积计算 网格中不规则图形面积；已知顶点坐标的三角形、四边形面积。 通过“割补法”将不规则图形转化为“水平”或“垂直”的规则图形（长方形、直角三角形），通过坐标差求边长，避免复杂高的计算。 模块 4：易错题型专项突破（△重点警示） 易错类型 1：混淆象限与坐标轴的定义（忽略 “坐标轴上的点不属于任何象限”） 【例题6】（24-25八年级上·安徽亳州·阶段练习）已知点P不在第一象限，则点在（    ） A．x轴正半轴上 B．y轴负半轴或原点上 C．x轴负半轴上 D．y轴正半轴或原点上 【变式1】点的位置在（   ） A．第二象限 B．第三象限 C．x轴上 D．y轴上 【变式2】（24-25七年级下·青海玉树·期末）在平面直角坐标系中，点所在的位置是（   ） A．原点 B．第二象限 C．在x轴上 D．在y轴上 易错类型 2：混淆 “坐标的读写顺序”（横、纵坐标颠倒） 【例题7】（25-26八年级上·陕西西安·期中）点在轴上，则点的坐标为 （    ） A． B． C． D． 【变式1】（25-26八年级上·辽宁朝阳·期中）如图，建立适当的直角坐标系后，正方形网格上B、C的坐标分别为．那么点的坐标为（    ） A． B． C． D． 【变式2】（25-26八年级上·全国·阶段练习）如图，在平面直角坐标系中，，则点D的坐标是（   ） A． B． C． D． 易错类型 3：平移规律符号错误（“左减右加、上加下减” 记反） 【例题8】（25-26八年级上·安徽滁州·期中）在平面直角坐标系中，将点先向左平移个单位长度，再向上平移个单位长度后，得到的点的坐标为（    ） A． B． C． D． 【变式1】在平面直角坐标系中，对于坐标，下列说法错误的是（    ） A．点P向左平移三个单位后落在y轴上 B．点P的纵坐标是4 C．点P到x轴的距离是4 D．它与点表示同一个坐标 【变式2】（24-25七年级下·北京西城·期中）如图，每个小方格都是边长为1个单位长度，在建立平面直角坐标系后，线段的两个端点坐标分别为，．现将线段平移，使平移后线段的两个端点均在坐标轴上，则以下平移正确的是（   ） ①先向左平移1个单位长度，再向下平移1个单位长度； ②先向左平移2个单位长度，再向下平移2个单位长度； ③先向左平移2个单位长度，再向下平移3个单位长度． A．①② B．①③ C．③ D．② 第三部分：综合提能篇 —— 中考对接与压轴突破 模块 5：中考高频题型分类突破 题型 1：已知象限求参数（★中考必考题） 【例题10】（2025·四川广元·模拟预测）在平面直角坐标系中，点在第二象限，则a的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【变式1】（2025·青海·中考真题）在平面直角坐标系中，点在第三象限，则的取值范围是 ． 【变式2】（25-26八年级上·陕西延安·开学考试）在平面直角坐标系中，已知点在第三象限，则的取值范围为 ． 【变式3】（24-25八年级上·江苏连云港·阶段练习）已知点，分别根据下列条件求出点的坐标． （1）点在轴上； （2）若点在第二象限内且为正整数． 题型 2：利用距离公式求坐标（★中考常考题） 【例题11】（25-26八年级上·全国·课后作业）已知点，解答下列各题． （1）点在轴上，求出点的坐标； （2）点的坐标为，直线轴，求出点的坐标； （3）若点在第二象限，且它到轴、轴的距离相等，求的值． 【变式1】（24-25八年级上·陕西咸阳·期中）在平面直角坐标系中，第四象限内的点到轴的距离是3，到轴的距离是2，轴，若，则点的坐标是（    ） A．或 B．或 C．或 D．或 【变式2】（25-26八年级上·辽宁沈阳·阶段练习）第四象限的点到y轴的距离是4，则点P的坐标为 ． 【变式3】（23-24七年级下·广西玉林·期中）先阅读一段文字，再回答下列问题：已知在平面内两点坐标，，其两点间距离公式为，同时，当两点所在的直线在坐标轴上或平行于轴或垂直于轴时，两点距离公式可简化成或． （1）已知，，试求，两点的距离； （2）已知，在平行于轴的直线上，点的纵坐标为6，点的纵坐标为，试求，两点的距离； （3）已知一个三角形各顶点坐标为，，，找出三角形中相等的边？说明理由． 题型 3：平移与对称问题 （★中考应用性考点） 【例题12】（25-26八年级上·云南曲靖·期中）如图，在平面直角坐标系中，网格上的每个小正方形的边长均为1，的顶点坐标分别为，，． （1）在图中画出关于轴对称的（点、、的对应点分别为点、、），并写出点的坐标； （2）在轴上求作一点，使得的值最小．（保留作图痕迹，不写作法）． 【变式1】（25-26八年级上·福建莆田·期中）如图，在平面直角坐标系中，已知的三个顶点的坐标分别为，，． （1）①画出关于x轴的对称图形； ②画出沿x轴向右平移4个单位长度的图形 （2）如果上有一点经过上述两次变换，那么对应上的点的坐标是 ． 【变式2】（25-26八年级上·辽宁葫芦岛·期中）在平面直角坐标系中，的顶点坐标分别为，，． （1）写出点关于轴对称的点的坐标； （2）画出关于轴对称的； （3）在平面直角坐标系中，是否存在点，使得与全等，若存在，请直接写出点的坐标，若不存在，说明理由． 题型 4：面积问题（★中考提升题） 【例题13】（24-25七年级下·内蒙古巴彦淖尔·期中）如图，在平面直角坐标系中，已知，，其中a，b满足．点M的坐标，在y轴的正半轴上有一点P，使得的面积与的面积相等，则点P的坐标为（  ） A． B． C． D． 【变式1】（24-25七年级下·湖北黄石·月考）在平面直角坐标系中，已知点，，，，已知三角形的面积是三角形面积的倍，则的值为 ． 【变式2】（25-26八年级上·福建漳州·期中）如图，在平面直角坐标系中，点，， （1）求的面积； （2）点P是y轴上一动点，当面积为面积的两倍时，求点P的坐标． 题型 5：几何问题（★中考冲刺题） 【例题14】（25-26八年级上·安徽淮南·期中）如图，点的坐标为，作轴，轴，垂足分别为，，点为线段的中点，点从点出发，在线段上沿运动，当时，点的坐标为（　　） A． B． C．或 D．或 【变式1】（25-26九年级上·山东济宁·阶段练习）如图，在平面直角坐标系中，已知，点P到x轴的距离为6，将点P绕原点O逆时针旋转得到点，则的坐标为 ． 【变式2】（25-26八年级上·江苏盐城·月考）如图，在平面直角坐标系中，为坐标原点．的边在轴上，、、三点的坐标分别为、、，点从出发，以每秒2个单位的速度沿射线匀速运动，设点运动时间为秒． （1）当时，_____．（用含的代数式表示）； （2）连接，设的面积为，当时，求值； （3）当在线段上运动时，是否存在一点，使是等腰三角形？若存在，请求出满足条件的所有点的坐标以及此时对应的值；若不存在，请说明理由． 【变式3】（25-26九年级上·全国·期中）在直角坐标系中，O为坐标原点，点，点，是中点，连接，将绕点顺时针旋转，得到，记旋转角为，点，的对应点分别是，．连接，是中点，连接，． （1）如图，当时，求点 M 的坐标 ．（直接写出答案） （2）如图，当时，求证∶，且； 题型 6：规律问题（★中考冲刺题） 【例题14】（25-26八年级上·浙江宁波·期中）如图，在平面直角坐标系中，点A的坐标是，以为斜边在y轴右侧作等腰直角，过点作x轴的垂线，垂足为，以为斜边在右侧以作等腰直角，再过点作x轴的垂线，垂足为，以为斜边在右侧作等腰直角……按此规律继续作下去，则点的纵坐标为（    ） A． B． C． D． 【变式1】（25-26八年级上·甘肃白银·期中）如图所示点，，，，，，…，根据这个规律，探究可得点坐标是 ． 【变式2】如图，在平面直角坐标系中，第一次将变换成，第二次将变换成，第三次将变换成． （1）观察每次变换前后的三角形的变化规律，若将变换成，则的坐标是＿＿＿＿，的坐标是＿＿＿． （2）若按第（1）题找到的规律将进行n次变换，得到，比较每次变换中三角形顶点坐标有何变化，找出规律，推测An的坐标是＿＿＿＿＿，Bn的坐标是＿＿＿＿＿． 四、专题配套资源 分层作业设计： 基本夯实题【选择题6题、填空题6题、解答题4题】 一、单选题 1．（25-26八年级上·陕西西安·期中）根据下列信息能精准确定陕西历史博物馆位置的是（    ） A．西安南郊 B．大雁塔的北偏西方向 C．北纬，东经 D．距赛格购物中心800米 2．（25-26八年级上·山西运城·期中）已知点，若点为，且直线轴，则点的坐标为（    ） A． B． C． D． 3．（25-26八年级上·江苏连云港·期中）在平面直角坐标系中，如果点在第二象限，那么的取值可能是（   ） A．2 B．1 C．0 D． 4．（25-26八年级上·内蒙古包头·期中）秋天，小红在劳动公园采集了一片树叶，将其放在平面直角坐标系中，表示叶片尖端A，B两点的坐标分别为，，则叶柄底部点C的坐标为（  ） A． B． C． D． 5．（25-26八年级上·浙江宁波·期中）如图，在平面直角坐标系中有8个边长为1的正方形，线段将这8个正方形分成面积相等的两部分，则点A的横坐标为（    ） A． B． C． D． 6．（25-26八年级上·全国·课后作业）如图，在平面直角坐标系中，点A与点B关于y轴对称，将点A向右平移4个单位长度后，点A的坐标为，则点B的坐标是（   ） A． B． C． D． 二、填空题 7．（25-26八年级上·河北保定·期中）点一定在第 象限． 8．（24-25七年级下·湖北武汉·期中）在平面直角坐标系中，四边形各顶点的坐标分别为，则四边形的面积为 ． 9．（23-24七年级下·甘肃武威·期中）已知线段轴，若点的坐标为，线段的长为3，则点的坐标是 ． 10．（25-26八年级上·安徽亳州·阶段练习）如图，平面直角坐标系内有一条线段，，，若将线段平移至，则的值为 ． 11．（25-26八年级上·四川绵阳·期中）如图，在平面直角坐标系中，点是原点，已知点，，，如果与关于轴对称，则点的坐标为 ． 12．（25-26九年级上·辽宁·期中）如图，在平面直角坐标系中，，，，均为格点，将线段绕着某点旋转一个角度可以得到线段（与，与是对应点），则旋转中心的坐标为 ． 三、解答题 13．（25-26八年级上·陕西西安·期中）在平面直角坐标系中，点的坐标为． （1）若点在x轴上，求点的坐标； （2）若点的坐标为、直线轴，求的值． 14．（25-26八年级上·广东江门·期中）如图所示，在平面直角坐标系中，已知、、． （1）在平面直角坐标系中画出，并求的面积； （2）画出关于y轴对称的，并写出， ，的坐标； （3）在x轴找一点P，使最小．（保留作图痕迹，在图中标出点P） 15．（25-26八年级上·甘肃兰州·期中）如图，在长方形中，为平面直角坐标系的原点，点的坐标为．点的坐标为，且满足，点在第一象限内，点从原点出发，以每秒个单位长度的速度沿着的线路移动． （1）___________，___________，点的坐标为___________． （2）当点移动秒时，求出点的坐标； 16．（25-26八年级上·广东深圳·期中）如图，在平面直角坐标系中，点的坐标为，点的坐标为． （1）画线段关于轴对称的线段（点的对称点分别为），并写出点的坐标； （2）若点关于轴的对称点的坐标为，则___________，___________； （3）在（2）的条件下，的面积为___________． 能力提升题【选择题6题、填空题6题、解答题4题】 一、单选题 1．（23-24八年级上·四川达州·期末）在如图所示的象棋盘上，建立适当的平面直角坐标系，使“炮”位于点上，“相”位于点上，则“帅”位于点（   ） A． B． C． D． 2．（20-21七年级下·江西南昌·期末）在平面直角坐标系中，点不可能在（    ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 3．（25-26八年级上·山东滨州·期中）已知点与关于轴对称，则的值为（    ） A．1 B． C．2026 D． 4．（25-26八年级上·河北唐山·阶段练习）如图，平分，于点，且，已知点到轴的距离是4，那么点的坐标为（    ） A． B． C． D． 5．（20-21七年级下·黑龙江·期中）如图，在的方格纸中，每个小正方形边长为1，点，，在方格纸的交点（格点）上，在第四象限内的格点上找点，使的面积为3，则这样的点共有（   ） A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 6．（25-26九年级上·湖北武汉·阶段练习）如图，在平面直角坐标系中，为等腰三角形，，点B到x轴的距离为4，若将绕点O逆时针旋转，得到，则点的坐标为（   ） A． B． C． D． 二、填空题 7．（12-13七年级下·北京·期中）已知点在第一象限，点在第四象限，若，都为整数，则 ． 8．（25-26八年级上·江苏南通·期中）在平面直角坐标系中，点，点是轴上一点，点满足，． （1）若且点B在第一象限，则点B的坐标为 ； （2）若点B在y轴右侧，则线段的最小值为 ． 9．（25-26八年级上·山东枣庄·期中）在平面直角坐标系中，给出如下定义：点到轴、轴的距离的较大值称为点的“长距”，点到轴、轴的距离相等时，称点为“完美点”．若点的长距为5，且点在第三象限内，点的坐标为，则点 “完美点”（填是或不是）． 10．（25-26八年级上·四川成都·期中）如图，在平面直角坐标系中，的顶点A在x轴的正半轴上．顶点B的坐标为，点C的坐标为，点P为斜边OB上的一个动点，则的最小值为 ． 11．（25-26八年级上·江苏宿迁·期中）如图，在中，，，，点在上，将沿着所在直线翻折，使点落在边上的点处，则的长为 ． 12．（25-26八年级上·甘肃酒泉·期中）在平面直角坐标系中，有若干个横坐标、纵坐标都是整数的点，我们称它们为“整点”．把这些点按图中箭头标注的顺序排列，第1个点是，第2个点是，第3个点是，第4个点是…根据这个规律，第2024个点的坐标是 三、解答题 13．（25-26八年级上·广东深圳·期中）如图所示，学校计划在教学楼点、图书馆点、实验楼点之间铺设一块三角形草坪△，已知实验楼点的坐标为． （1）为了美观，在关于轴对称的位置铺设另一块三角形草坪△，画出三角形，则的坐标是_______，点的坐标是_______，点的坐标是_______； （2）请计算两块草坪的面积一共是多少？ 14．（25-26八年级上·浙江宁波·期中）在平面直角坐标系中，对于点、点满足，其中m为常数，则称点P与点Q互为“m阶和谐点”，例如：点与互为“2阶和谐点”． （1）下列选项中，是点的“8阶和谐点”的有______（填序号）． ①            ②            ③            ④ （2）若点与点互为“a阶和谐点”，点P到坐标轴的距离相等，求a的值； （3）点和点互为“0阶和谐点”，点C是y轴上的动点，若的面积为9，求点C的坐标． 15．（25-26八年级上·山东青岛·期中）在平面直角坐标系中，对于任意两点与的“识别距离”，给出如下定义： 若，则点与点的“识别距离”为； 若，则点与点的“识别距离”为． 例如：对于点与点，因为，所以点与点的“识别距离”为4． 【初步理解】 （1）已知点，，则点A与点B的“识别距离”为______． 【深入应用】 （2）已知点，点B为y轴上的一个动点， ①若点A与点B的“识别距离”为3，求出满足条件的点B的坐标； ②点A与点B的“识别距离”的最小值为______． 16．（25-26八年级上·贵州黔西·期中）（1）“构造全等”是解决数学几何问题常用的方法之一．如图，直线经过等腰直角三角形的直角顶点，分别过点、向直线作垂线，构造了一对全等三角形，这对全等的三角形是__________； （2）如图2，在平面直角坐标系中，是以点为直角顶点的等腰直角三角形，根据（1）中的方法，求点的坐标； （3）如图，点为轴负半轴上一动点．当点沿轴负半轴向下运动时，以为顶点，为腰作等腰直角三角形，过点作轴于点，求的长．（用含的式子表示） 反思：错题归因手册： ． 2 / 30 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $