1.4 线段垂直平分线与角平分线讲义2026-2027学年苏科版数学八年级上册

本初中数学讲义聚焦线段垂直平分线与角平分线核心知识点，系统梳理垂直平分线的定义、性质（垂直平分线段、点到两端距离相等、外心性质）和角平分线性质（点到两边距离相等），通过解题知识、典例及变式题构建从概念理解到实际应用的学习支架。 该资料以商场选址、村庄建集贸市场等生活情境为例，培养学生用数学眼光观察现实世界，典例与变式题层层递进发展推理能力，过关验收题涵盖选择、填空、解答，助力学生用数学语言表达，课中辅助教学高效，课后帮助学生查漏补缺。

1.4 线段垂直平分线与角平分线 内 容 导 航 题型1 线段垂直平分线的性质 题型2 角平分线的性质 考 点 演 练 题型1 线段垂直平分线的性质 解｜题｜知｜识 （1）定义：经过某一条线段的中点，并且垂直于这条线段的直线，叫做这条线段的垂直平分线（中垂线）垂直平分线，简称“中垂线”． （2）性质：①垂直平分线垂直且平分其所在线段．　　 　　②垂直平分线上任意一点，到线段两端点的距离相等．　　 　　③三角形三条边的垂直平分线相交于一点，该点叫外心，并且这一点到三个顶点的距离相等． 【典例1】如图，三座商场分别坐落在A、B、C所在位置，现要规划一个地铁站，使得该地铁站到三座商场的距离相等，该地铁站应建在（　　） A．三角形三条中线的交点 B．三角形三条高所在直线的交点 C．三角形三个内角的角平分线的交点 D．三角形三条边的垂直平分线的交点 【变式1】如图，在△ABC中，DE是BC的垂直平分线．若AB＝5，AC＝8，则△ABD的周长是（　　） A．13 B．5 C．8 D．26 【变式2】如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，DE垂直平分AB交BC于点D，若△ACD的周长为60cm，则AC+BC＝（　　） A．30cm B．50cm C．55cm D．60cm 【变式3】如图，在△ABC中，AB＝5，BC＝10，AC＝9，MN为边BC的垂直平分线，点D为直线MN上一动点，则△ABD的周长的最小值为（　　） A．10 B．12 C．14 D．15 题型2 角平分线的性质 解｜题｜知｜识 角平分线的性质：角的平分线上的点到角的两边的距离相等． 注意：①这里的距离是指点到角的两边垂线段的长；②该性质可以独立作为证明两条线段相等的依据，有时不必证明全等；③使用该结论的前提条件是图中有角平分线，有垂直角平分线的性质语言：如图，∵C在∠AOB的平分线上，CD⊥OA，CE⊥OB∴CD＝CE 【典例1】三条公路将A、B、C三个村庄连成一个如图的三角形区域，如果在这个区域内修建一个集贸市场，要使集贸市场到三条公路的距离相等，那么这个集贸市场应建的位置是（　　） A．三条高线的交点 B．三条中线的交点 C．三条角平分线的交点 D．三边垂直平分线的交点 【变式1】如图，AD是△ABC的角平分线，DE⊥AB于点E，S△ABC＝9，DE＝2，AB＝5，则AC的长是（　　） A．2 B．3 C．4 D．5 【变式2】如图，△ABC中，AD⊥BC交BC于D，AE平分∠BAC交BC于E，F为BC的延长线上一点，FG⊥AE交AD的延长线于G，AC的延长线交FG于H，连接BG，下列结论： ①∠DAE＝∠F； ②2∠DAE＝∠ABD﹣∠ACE； ③S△AEB：S△AEC＝AB：AC； ④∠AGH＝∠BAE+∠ACB．其中正确的结论有（　　）个． A．1 B．2 C．3 D．4 【变式3】如图，AD是△ABC的角平分线，DE⊥AB，垂足为E，S△ABC＝9，DE＝2，AB＝5，则AC长为（　　） A．5 B．4 C．3 D．2 过 关 验 收 1．近年来，高速铁路的规划与建设成为各地政府争取的重要项目，如图，A，B，C三地都想将高铁站的修建项目落户在当地，但是，国资委为了使A，B，C三地的民众都能享受高铁带来的便利，决定将高铁站修建在到A，B，C三地距离都相等的地方，则高铁站应建在（　　） A．AB，BC两边垂直平分线的交点处 B．AB，BC两边高线的交点处 C．AB，BC两边中线的交点处 D．∠B，∠C两内角的平分线的交点处 2．校园内有一块三角形的花坛，现要在花坛内建一景观喷泉，要使喷泉到花坛三个顶点的距离相等，喷泉的位置应选在（　　） A．花坛三条中线的交点 B．花坛三条角平分线的交点 C．花坛三条高所在直线的交点 D．花坛三边的垂直平分线的交点 3．如图，在△ABC中，以点A为圆心，AC的长为半径作圆弧交BC于点D，再分别以点B和点D为圆心，大于的长为半径作圆弧，两弧分别交于点M和点N，连接MN交AB于点E．若AB＝9，AC＝7，则△ADE的周长为（　　） A．22 B．20 C．18 D．16 4．已知：如图，在△ABC中，AB的垂直平分线交BC于点D，AC的垂直平分线交BC于点E．若∠BAC＝104°，则∠DAE的度数为（　　） A．22° B．24° C．26° D．28° 5．如图，三个村庄A、B、C构成△ABC，供奶站须到三个村庄的距离都相等，则供奶站应建在（　　） A．三条边的垂直平分线的交点 B．三个角的角平分线的交点 C．三角形三条高的交点 D．三角形三条中线的交点 6．如图，在△ABC中，作AB边的垂直平分线交BC于点D．若AD＝5，CD＝6，则BC的长为　 　 ． 7．如图，在△ABC中，DE是AC的垂直平分线，AE＝3cm，的△ABD周长为13cm，则△ABC的周长为 　 　 cm． 8．如图，△ABC中，∠BAC＝135°，AB，AC的垂直平分线分别交BC于点D，E，若BD＝3cm，DE＝4cm，则EC＝ 　 　 cm． 9．如图，∠BAC＝110°，若MP和NQ分别垂直平分AB和AC，则∠PAQ的度数是　　 　 ． 10．如图，在△ABC中，AB＝AC＝10cm，DE垂直平分AB，垂足为E，交AC于D，若△DBC的周长为18cm，则BC的长为 　 　 cm． 11．如图所示，AD是△ABC的角平分线，EF是AD的垂直平分线，分别交AB、AC的于点E、F，连结DE． （1）求证：DE∥AC； （2）若∠BED＝60°，试判断△AEF的形状，并说明理由． 12．如图，在△ABC中，∠BAC＞90°，AB的垂直平分线分别交AB，BC于点E，F，AC的垂直平分线分别交AC，BC于点M，N，直线EF，MN交于点P． （1）求证：点P在线段BC的垂直平分线上． （2）若△AFN的周长为8cm，若△PBC的周长为18cm，求PA的长． 13．如图，在△ABC中，DM、EN分别垂直平分AC和BC，交AB于M、N两点，DM与EN相交于点F． （1）若△CMN的周长为15cm，求AB的长； （2）若∠ACB＝120°，求∠MCN的度数． 14．如图，在△ABC中，边AB的垂直平分线分别交AB，BC于点M，D，边AC的垂直平分线分别交AC，BC于点N，E，MD，NE的延长线交于点O． （1）若BC＝12，求△ADE的周长； （2）试判断点O是否在BC的垂直平分线上，并说明理由． 15．如图，△ABC中，EF垂直平分AC，交AC于点F，交BC于点E，AD⊥BC，垂足为D，且BD＝DE，连接AE． （1）求证：AB＝CE； （2）若△ABC的周长为14cm，AC＝6cm，则DC的长为 　　 cm． 16．如图，AB＝CD，AC、BD的垂直平分线EM、EN相交于点E，求证：∠ABE＝∠CDE． 17．如图，△ABC中，∠ABC、∠EAC的角平分线BP、AP交于点P，延长BA、BC，PM⊥BE，PN⊥BF，则下列结论中正确的个数（　　） ①CP平分∠ACF；②∠ABC+2∠APC＝180°；③∠ACB＝2∠APB；④S△PAC＝S△MAP+S△NCP． A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 18．如图，OP平分∠AOB，点E为OA上一点，OE＝4，点P到OB的距离是2，则△POE的面积为（　　） A．4 B．5 C．6 D．7 19．下列说法错误的是（　　） A．角平分线上的点到角两边的距离相等 B．到角两边的距离相等的点不一定在角的平分线上 C．到线段两端点的距离相等的点一定在线段的垂直平分线上 D．线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等 20．如图，OP平分∠AOB，PC⊥OA于点C，点D在OB上，若PC＝3，OD＝6，则△POD的面积为（　　） A．3 B．6 C．9 D．18 21．如图是一块三角形的草坪，现要在草坪上建一凉亭供大家休息，要使凉亭到草坪三条边的距离相等，凉亭的位置应选在（　　） A．△ABC三条中线的交点 B．△ABC内任意一点 C．△ABC三条高所在直线的交点 D．△ABC三条角平分线的交点 22．如图，点O是△ABC内一点，BO平分∠ABC，OD⊥BC于点D，连接OA，若OD＝4，AB＝20，则△AOB的面积是（　　） A．20 B．30 C．40 D．50 23．如图，已知△ABC的周长是21，OB，OC分别平分∠ABC和∠ACB，OD⊥BC于D，且OD＝4，△ABC的面积是 　 　 ． 24．如图，BD平分∠ABC，DE⊥BC于点E，AB＝8，DE＝4，则△ABD的面积为 　 　　 ． 25．如图，BD是∠ABC的角平分线，DE⊥AB于E，△ABC的面积是30cm2，AB＝18cm，BC＝12cm，则DE＝　　 　 cm． 26．如图，AB∥CD，BP和CP分别平分∠ABC和∠DCB，AD过点P，且与AB垂直．若AD＝8，则点P到BC的距离是 　 　 ． 27．如图，OC平分∠AOB，点P在OC上，PD⊥OA于D，PD＝5cm，点E是射线OB上的动点，则PE的最小值为 　 　 cm． 28．如图，△ABC中，∠C＝90°，角平分线AD、BE相交于I，AI＝3ID，AE＝m，BD＝n，则AB＝　　 　．（用含m、n的式子表示） 29．如图，∠AOC＝∠BOC，点P在OC上，PD⊥OA于点D，PE⊥OB于点E．若PD＝7cm，则PE的长为　 　 cm． 30．如图，△ABC的面积为42，AD平分∠BAC，M为AD的中点，点N在CM上，CN：MN＝2：1，若阴影部分的面积为4，则的值为　 　 ． 31．如图，在△ABC中，AD为边BC上的高，AE为边BC上的中线，BF平分∠ABC，交AD于点F． （1）若AD＝4，△ABC的面积为20，求BE的长； （2）若∠C＝25°，∠BFD＝60°，求∠BAC的度数． 32．如图，点D是△ABC外一点，连接AD，CD，过点C作CE⊥AB，垂足为E．AD＝7，CE＝4，AB＝13，△ADC的面积为14． （1）求证：AC是∠BAD的平分线． （2）若AB﹣AD＝2BE，求证：CD＝BC． 33．如图，在△ABC中，D是BC的中点，DE⊥AB于E，DF⊥AC于点F，且∠BDE＝∠CDF．求证：AD平分∠BAC． 学科网（北京）股份有限公司 $ 1.4 线段垂直平分线与角平分线 内 容 导 航 题型1 线段垂直平分线的性质 题型2 角平分线的性质 考 点 演 练 题型1 线段垂直平分线的性质 解｜题｜知｜识 （1）定义：经过某一条线段的中点，并且垂直于这条线段的直线，叫做这条线段的垂直平分线（中垂线）垂直平分线，简称“中垂线”． （2）性质：①垂直平分线垂直且平分其所在线段．　　 　　②垂直平分线上任意一点，到线段两端点的距离相等．　　 　　③三角形三条边的垂直平分线相交于一点，该点叫外心，并且这一点到三个顶点的距离相等． 【典例1】如图，三座商场分别坐落在A、B、C所在位置，现要规划一个地铁站，使得该地铁站到三座商场的距离相等，该地铁站应建在（　　） A．三角形三条中线的交点 B．三角形三条高所在直线的交点 C．三角形三个内角的角平分线的交点 D．三角形三条边的垂直平分线的交点 【答案】D 【解答】解：∵该地铁站到三座商场的距离相等， ∴该地铁站应建在三角形三条边的垂直平分线的交点处． 故选：D． 【变式1】如图，在△ABC中，DE是BC的垂直平分线．若AB＝5，AC＝8，则△ABD的周长是（　　） A．13 B．5 C．8 D．26 【答案】A 【解答】解：∵DE是BC的垂直平分线， ∴BD＝CD， ∴△ABD的周长是AB+BD+AD＝AB+CD+AD＝AB+AC＝13． 故选：A． 【变式2】如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，DE垂直平分AB交BC于点D，若△ACD的周长为60cm，则AC+BC＝（　　） A．30cm B．50cm C．55cm D．60cm 【答案】D 【解答】解：∵△ACD的周长为60cm， ∴△ACD的周长＝AC+CD+AD＝60cm， ∵DE垂直平分AB交BC于点D， ∴AD＝BD， ∴AC+CD+AD＝AC+CD+BD＝AC+BC＝60cm， 即AC+BC＝60cm． 故选：D． 【变式3】如图，在△ABC中，AB＝5，BC＝10，AC＝9，MN为边BC的垂直平分线，点D为直线MN上一动点，则△ABD的周长的最小值为（　　） A．10 B．12 C．14 D．15 【答案】C 【解答】解：连接DC，如图， ∵AD，CD，AC是△ACD的三条边， ∴AD+DC≥AC， ∵MN为边BC的垂直平分线，AB＝5，BC＝10，AC＝9， ∴DC＝BD， ∴△ABD的周长＝AB+AD+DB＝AB+AD+DC≥AB+AC＝5+9＝14， 故选：C． 题型2 角平分线的性质 解｜题｜知｜识 角平分线的性质：角的平分线上的点到角的两边的距离相等． 注意：①这里的距离是指点到角的两边垂线段的长；②该性质可以独立作为证明两条线段相等的依据，有时不必证明全等；③使用该结论的前提条件是图中有角平分线，有垂直角平分线的性质语言：如图，∵C在∠AOB的平分线上，CD⊥OA，CE⊥OB∴CD＝CE 【典例1】三条公路将A、B、C三个村庄连成一个如图的三角形区域，如果在这个区域内修建一个集贸市场，要使集贸市场到三条公路的距离相等，那么这个集贸市场应建的位置是（　　） A．三条高线的交点 B．三条中线的交点 C．三条角平分线的交点 D．三边垂直平分线的交点 【答案】C 【解答】解：在这个区域内修建一个集贸市场，要使集贸市场到三条公路的距离相等， 根据角平分线的性质，集贸市场应建在∠A、∠B、∠C的角平分线的交点处． 故选：C． 【变式1】如图，AD是△ABC的角平分线，DE⊥AB于点E，S△ABC＝9，DE＝2，AB＝5，则AC的长是（　　） A．2 B．3 C．4 D．5 【答案】C 【解答】解：过D作DF⊥AC于F， ∵AD是△ABC的角平分线，DE⊥AB， ∴DE＝DF＝2， ∵S△ADBAB×DE5×2＝5， ∵△ABC的面积为9， ∴△ADC的面积为9﹣5＝4， ∴AC×DF＝4， ∴AC×2＝4， ∴AC＝4， 故选：C． 【变式2】如图，△ABC中，AD⊥BC交BC于D，AE平分∠BAC交BC于E，F为BC的延长线上一点，FG⊥AE交AD的延长线于G，AC的延长线交FG于H，连接BG，下列结论： ①∠DAE＝∠F； ②2∠DAE＝∠ABD﹣∠ACE； ③S△AEB：S△AEC＝AB：AC； ④∠AGH＝∠BAE+∠ACB．其中正确的结论有（　　）个． A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】D 【解答】解：如图，AE交GF于M， ①∵AD⊥BC，FG⊥AE， ∴∠ADE＝∠AMF＝90°， ∵∠AED＝∠MEF， ∴∠DAE＝∠F；故①正确； ②∵AE平分∠BAC交BC于E， ∴∠EAC∠BAC， ∠DAE＝90°﹣∠AED ＝90°﹣（∠ACE+∠EAC）， ＝90°﹣（∠ACE∠BAC）， （180°﹣2∠ACE﹣∠BAC）， （∠ABD﹣∠ACE）， 即2∠DAE＝∠ABD﹣∠ACE， 故②正确； ③∵AE平分∠BAC交BC于E， ∴点E到AB和AC的距离相等， ∴S△AEB：S△AEC＝AB：CA；故③正确， ④∵∠DAE＝∠F，∠FDG＝∠FME＝90°， ∴∠AGH＝∠MEF， ∵∠MEF＝∠CAE+∠ACB， ∴∠AGH＝∠CAE+∠ACB， ∴∠AGH＝∠BAE+∠ACB；故④正确； 故选：D． 【变式3】如图，AD是△ABC的角平分线，DE⊥AB，垂足为E，S△ABC＝9，DE＝2，AB＝5，则AC长为（　　） A．5 B．4 C．3 D．2 【答案】B 【解答】解：如图，过点D作DF⊥AC于F， ∵AD是△ABC的角平分线，DF⊥AC，DE⊥AB， ∴DE＝DF＝2， ∵S△ABC＝S△ABD+S△ADC＝9， ∴， ∵AB＝5， ∴， ∴AC＝4， 故选：B． 过 关 验 收 1．近年来，高速铁路的规划与建设成为各地政府争取的重要项目，如图，A，B，C三地都想将高铁站的修建项目落户在当地，但是，国资委为了使A，B，C三地的民众都能享受高铁带来的便利，决定将高铁站修建在到A，B，C三地距离都相等的地方，则高铁站应建在（　　） A．AB，BC两边垂直平分线的交点处 B．AB，BC两边高线的交点处 C．AB，BC两边中线的交点处 D．∠B，∠C两内角的平分线的交点处 【答案】A 【解答】解：根据线段垂直平分线的性质定理的逆定理可得：将高铁站修建在到A，B，C三地距离都相等的地方，则高铁站应建在AB，BC两边垂直平分线的交点处， 故选：A． 2．校园内有一块三角形的花坛，现要在花坛内建一景观喷泉，要使喷泉到花坛三个顶点的距离相等，喷泉的位置应选在（　　） A．花坛三条中线的交点 B．花坛三条角平分线的交点 C．花坛三条高所在直线的交点 D．花坛三边的垂直平分线的交点 【答案】D 【解答】解：∵喷泉到花坛三个顶点的距离相等， ∴喷泉为三角形的花坛三边的垂直平分线的交点． 故选：D． 3．如图，在△ABC中，以点A为圆心，AC的长为半径作圆弧交BC于点D，再分别以点B和点D为圆心，大于的长为半径作圆弧，两弧分别交于点M和点N，连接MN交AB于点E．若AB＝9，AC＝7，则△ADE的周长为（　　） A．22 B．20 C．18 D．16 【答案】D 【解答】解：由作图可知AD＝AC， ∵分别以点B和点D为圆心，大于的长为半径作圆弧，两弧分别交于点M和点N，连接MN交AB于点E． ∴MN垂直平分BD， ∴BE＝DE， ∴△ADE的周长为AD+AE+DE＝AC+AE+BE＝AC+AB， ∵AB＝9，AC＝7， ∴△ADE的周长为9+7＝16， 故选：D． 4．已知：如图，在△ABC中，AB的垂直平分线交BC于点D，AC的垂直平分线交BC于点E．若∠BAC＝104°，则∠DAE的度数为（　　） A．22° B．24° C．26° D．28° 【答案】D 【解答】解：∵∠BAC＝104°， ∴∠B+∠C＝180°﹣∠BAC＝76°， ∵AB的垂直平分线交BC于点D，AC的垂直平分线交BC于点E， ∴DA＝DB，EA＝EC， ∴∠DAB＝∠B，∠EAC＝∠C， ∴∠DAB+∠EAC＝∠B+∠C＝76°， ∴∠DAE＝∠BAC﹣（∠DAB+∠EAC）＝104°﹣76°＝28°， 故选：D． 5．如图，三个村庄A、B、C构成△ABC，供奶站须到三个村庄的距离都相等，则供奶站应建在（　　） A．三条边的垂直平分线的交点 B．三个角的角平分线的交点 C．三角形三条高的交点 D．三角形三条中线的交点 【答案】A 【解答】解：∵在三角形中，只有三边垂直平分线的交点到各顶点距离相等， ∴广场应建在三条边的垂直平分线的交点处． 故选：A． 6．如图，在△ABC中，作AB边的垂直平分线交BC于点D．若AD＝5，CD＝6，则BC的长为　 　 ． 【答案】11． 【解答】解：∵AB边的垂直平分线交BC于点D，AD＝5， ∴BD＝AD＝5， ∵CD＝6， ∴BC＝BD+CD＝11． 7．如图，在△ABC中，DE是AC的垂直平分线，AE＝3cm，的△ABD周长为13cm，则△ABC的周长为 　 　 cm． 【答案】19． 【解答】解：∵DE是AC的垂直平分线， ∴AD＝CD，AC＝2AE＝6cm， 又∵△ABD的周长＝AB+BD+AD＝13cm， ∴AB+BD+CD＝13cm， 即AB+BC＝13cm， ∴△ABC的周长＝AB+BC+AC＝13+6＝19cm． 故答案为：19． 8．如图，△ABC中，∠BAC＝135°，AB，AC的垂直平分线分别交BC于点D，E，若BD＝3cm，DE＝4cm，则EC＝ 　 　 cm． 【答案】． 【解答】解：∵∠BAC＝135°， ∴∠B+∠C＝45°， ∵边AB、AC的垂直平分线分别交BC于点D、E， ∴DA＝DB＝3cm，EA＝EC， ∴∠DAB＝∠B，∠EAC＝∠C， ∴∠DAE＝∠BAC﹣（∠DAB+∠EAC）＝90°， 由勾股定理得，AEcm， ∴ECcm， 故答案为：． 9．如图，∠BAC＝110°，若MP和NQ分别垂直平分AB和AC，则∠PAQ的度数是　　 　 ． 【答案】40° 【解答】解：∵∠BAC＝110°， ∴∠B+∠C＝70°， ∵MP和NQ分别垂直平分AB和AC， ∴PA＝PB，QA＝QC， ∴∠PAB＝∠B，∠QAC＝∠C， ∴∠PAB+∠QAC＝∠B+∠C＝70°， ∴∠PAQ＝∠BAC﹣（∠PAB+∠QAC）＝40°， 故答案为：40°． 10．如图，在△ABC中，AB＝AC＝10cm，DE垂直平分AB，垂足为E，交AC于D，若△DBC的周长为18cm，则BC的长为 　 　 cm． 【答案】8． 【解答】解：∵DE垂直平分AB， ∴BD＝AD， ∵△DBC的周长＝BD+CD+BC＝18cm， ∴CD+BC+AD＝18cm， ∵AB＝AC＝AD+DC＝10cm， ∴BC＝18﹣10＝8（cm）， 故答案为：8． 11．如图所示，AD是△ABC的角平分线，EF是AD的垂直平分线，分别交AB、AC的于点E、F，连结DE． （1）求证：DE∥AC； （2）若∠BED＝60°，试判断△AEF的形状，并说明理由． 【答案】（1）证明见解析； （2）△AEF是等边三角形，理由见解析． 【解答】（1）证明：∵AD是△ABC的角平分线， ∴∠EAD＝∠DAF， ∵EF是AD的垂直平分线， ∴AE＝DE， ∴∠EDA＝∠EAD， ∴∠DAF＝∠EDA， ∴DE∥AC； （2）△AEF是等边三角形，理由如下： ∵EF⊥AD， ∴∠AOE＝∠AOF＝90°， 由（1）知：∠OAE＝∠OAF， ∴∠AEO＝∠AFO， ∴AE＝AF， ∴△AEF是等腰三角形， ∵DE∥AC， ∴∠EAF＝∠BED＝60°， ∴△AEF是等边三角形． 12．如图，在△ABC中，∠BAC＞90°，AB的垂直平分线分别交AB，BC于点E，F，AC的垂直平分线分别交AC，BC于点M，N，直线EF，MN交于点P． （1）求证：点P在线段BC的垂直平分线上． （2）若△AFN的周长为8cm，若△PBC的周长为18cm，求PA的长． 【答案】（1）证明：连接PA，PB，PC， ∵PE垂直平分AB，PM垂直平分AC， ∴PB＝PA，PC＝PA， ∴PB＝PC， ∴点P在线段BC的垂直平分线上； （2）PA＝5cm． 【解答】（1）证明：连接PA，PB，PC， ∵PE垂直平分AB，PM垂直平分AC， ∴PB＝PA，PC＝PA， ∴PB＝PC， ∴点P在线段BC的垂直平分线上； （2）解：∵PE垂直平分AB，PM垂直平分AC， ∴AF＝BF，AN＝CN， ∵△AFN的周长为8cm， ∴AF+FN+AN＝BF+FN+CN＝BC＝8cm，即BC＝8cm， ∵PB＝PC，△PBC的周长为18cm， ∴BC+PB+PC＝18cm， ∴PB+PC＝18cm﹣8cm＝10cm， ∵PE垂直平分AB，PM垂直平分AC， ∴PB＝PA，PC＝PA， ∴PA＝5cm． 13．如图，在△ABC中，DM、EN分别垂直平分AC和BC，交AB于M、N两点，DM与EN相交于点F． （1）若△CMN的周长为15cm，求AB的长； （2）若∠ACB＝120°，求∠MCN的度数． 【答案】（1）15cm； （2）60°． 【解答】解：（1）∵DM、EN分别垂直平分AC和BC， ∴AM＝CM，BN＝CN， ∴AB＝AM+MN+BN＝CM+MN+CN， ∵△CMN的周长为15cm， ∴CM+MN+CN＝15cm， ∴AB＝15cm， 即AB的长为15cm； （2）在△ABC中，∠ACB＝120°， ∴∠A+∠B＝180°﹣∠ACB＝180°﹣120°＝60°， ∵AM＝CM，BN＝CN， ∴∠MCA＝∠A，∠NCB＝∠B， ∴∠MCA+∠NCB＝∠A+∠B＝60°， ∴∠MCN＝∠ACB﹣（∠MCA+∠NCB）＝120°﹣60°＝60°， 即∠MCN的度数为60°． 14．如图，在△ABC中，边AB的垂直平分线分别交AB，BC于点M，D，边AC的垂直平分线分别交AC，BC于点N，E，MD，NE的延长线交于点O． （1）若BC＝12，求△ADE的周长； （2）试判断点O是否在BC的垂直平分线上，并说明理由． 【答案】（1）12； （2）点O在BC的垂直平分线上，理由见解析． 【解答】解：（1）∵AB，AC的垂直平分线分别交BC于点D，E， ∴AD＝BD，AE＝CE， ∴AD+DE+AE＝BD+DE+CE＝BC＝12 ∴△ADE的周长为12； （2）点O在BC的垂直平分线上，理由如下： 如图，连接AO，BO，CO， ∵OM，ON分别是AB，AC的垂直平分线， ∴OA＝OB，OA＝OC， ∴OB＝OC， ∴点O在BC的垂直平分线上． 15．如图，△ABC中，EF垂直平分AC，交AC于点F，交BC于点E，AD⊥BC，垂足为D，且BD＝DE，连接AE． （1）求证：AB＝CE； （2）若△ABC的周长为14cm，AC＝6cm，则DC的长为 　　 cm． 【答案】（1）见解析过程； （2）4． 【解答】（1）证明：∵EF垂直平分AC， ∴AE＝EC， ∵AD⊥BC，BD＝DE， ∴AB＝AE， ∴AB＝EC； （2）解：∵△ABC的周长为14cm， ∴AB+BC+AC＝14（cm）， ∵AC＝6cm， ∴AB+BC＝8（cm）， ∵AB＝EC，BD＝DE， ∴DC＝DE+EC（AB+BC）＝4（cm）． 故答案为：4． 16．如图，AB＝CD，AC、BD的垂直平分线EM、EN相交于点E，求证：∠ABE＝∠CDE． 【答案】见试题解答内容 【解答】证明：连接EA、EC， ∵EM垂直平分AC，EN垂直平分BD， ∴AE＝CE，BE＝DE． 在△ABE和△CDE中， ， ∴△ABE≌△CDE（SSS）． ∴∠ABE＝∠CDE． 17．如图，△ABC中，∠ABC、∠EAC的角平分线BP、AP交于点P，延长BA、BC，PM⊥BE，PN⊥BF，则下列结论中正确的个数（　　） ①CP平分∠ACF；②∠ABC+2∠APC＝180°；③∠ACB＝2∠APB；④S△PAC＝S△MAP+S△NCP． A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】D 【解答】解：①过点P作PD⊥AC于D， ∵PB平分∠ABC，PA平分∠EAC，PM⊥BE，PN⊥BF，PD⊥AC， ∴PM＝PN，PM＝PD， ∴PN＝PD， ∵PN⊥BF，PD⊥AC， ∴点P在∠ACF的角平分线上，故①正确； ②∵PM⊥AB，PN⊥BC， ∴∠ABC+90°+∠MPN+90°＝360°， ∴∠ABC+∠MPN＝180°， 在Rt△PAM和Rt△PAD中， ， ∴Rt△PAM≌Rt△PAD（HL）， ∴∠APM＝∠APD， 同理：Rt△PCD≌Rt△PCN（HL）， ∴∠CPD＝∠CPN， ∴∠MPN＝2∠APC， ∴∠ABC+2∠APC＝180°，②正确； ③∵PA平分∠CAE，BP平分∠ABC， ∴∠CAE＝∠ABC+∠ACB＝2∠PAM，∠PAM∠ABC+∠APB， ∴∠ACB＝2∠APB，③正确； ④由②可知Rt△PAM≌Rt△PAD（HL），Rt△PCD≌Rt△PCN（HL） ∴S△APD＝S△APM，S△CPD＝S△CPN， ∴S△APM+S△CPN＝S△APC，故④正确， 故选：D． 18．如图，OP平分∠AOB，点E为OA上一点，OE＝4，点P到OB的距离是2，则△POE的面积为（　　） A．4 B．5 C．6 D．7 【答案】A 【解答】解：如图，过P作PD⊥OB于D，作PC⊥OA于点C， ∵OP是∠AOB的平分线，P到OB的距离是2， ∴PC＝PD＝2， ∵OE＝4， ∴S△OPEOE•PC4×2＝4． 故选：A． 19．下列说法错误的是（　　） A．角平分线上的点到角两边的距离相等 B．到角两边的距离相等的点不一定在角的平分线上 C．到线段两端点的距离相等的点一定在线段的垂直平分线上 D．线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等 【答案】B 【解答】解：A、C、D中的说法正确，故A、C、D不符合题意； B．到角两边距离相等的点一定在角的平分线上，故B不符合题意． 故选：B． 20．如图，OP平分∠AOB，PC⊥OA于点C，点D在OB上，若PC＝3，OD＝6，则△POD的面积为（　　） A．3 B．6 C．9 D．18 【答案】C 【解答】解：过P点作PE⊥OB于E点，如图， ∵OP平分∠AOB，PC⊥OA，PE⊥OB， ∴PE＝PC＝3， ∴S△POD6×3＝9． 故选：C． 21．如图是一块三角形的草坪，现要在草坪上建一凉亭供大家休息，要使凉亭到草坪三条边的距离相等，凉亭的位置应选在（　　） A．△ABC三条中线的交点 B．△ABC内任意一点 C．△ABC三条高所在直线的交点 D．△ABC三条角平分线的交点 【答案】D 【解答】解：∵凉亭到草坪三条边的距离相等， 根据角平分线的性质得：凉亭的位置应该选择△ABC三条角平分线的交点， 故选：D． 22．如图，点O是△ABC内一点，BO平分∠ABC，OD⊥BC于点D，连接OA，若OD＝4，AB＝20，则△AOB的面积是（　　） A．20 B．30 C．40 D．50 【答案】C 【解答】解：过O作OE⊥AB于点E，如图所示： ∵BO平分∠ABC，OD⊥BC， 由角平分线的性质可知，OE＝OD＝4， ∴S△AOB， 故选：C． 23．如图，已知△ABC的周长是21，OB，OC分别平分∠ABC和∠ACB，OD⊥BC于D，且OD＝4，△ABC的面积是 　 　 ． 【答案】42 【解答】解： 过O作OE⊥AB于E，OF⊥AC于F，连接OA， ∵OB，OC分别平分∠ABC和∠ACB，OD⊥BC， ∴OE＝OD，OD＝OF， 即OE＝OF＝OD＝4， ∴△ABC的面积是：S△AOB+S△AOC+S△OBC AB×OEAC×OFBC×OD 4×（AB+AC+BC） 4×21＝42， 故答案为：42． 24．如图，BD平分∠ABC，DE⊥BC于点E，AB＝8，DE＝4，则△ABD的面积为 　 　　 ． 【答案】16 【解答】解：过D作DH⊥AB于H， ∵BD平分∠ABC，DE⊥BC于点E， ∴DH＝DE＝4， ∴△ABD的面积AB•DH8×4＝16． 故答案为：16． 25．如图，BD是∠ABC的角平分线，DE⊥AB于E，△ABC的面积是30cm2，AB＝18cm，BC＝12cm，则DE＝　　 　 cm． 【答案】2 【解答】解：如图，过点D，作DF⊥BC，垂足为点F ∵BD是∠ABC的角平分线，DE⊥AB， ∴DE＝DF ∵△ABC的面积是30cm2，AB＝18cm，BC＝12cm， ∴S△ABC•DE•AB•DF•BC，即18×DE12×DE＝30， ∴DE＝2（cm）． 故填2． 26．如图，AB∥CD，BP和CP分别平分∠ABC和∠DCB，AD过点P，且与AB垂直．若AD＝8，则点P到BC的距离是 　 　 ． 【答案】4 【解答】解：如图所示，过点P作PE⊥BC于E， ∵AB∥CD，PA⊥AB， ∴PD⊥CD， ∵BP和CP分别平分∠ABC和∠DCB， ∴PA＝PE，PD＝PE， ∴PE＝PA＝PD， ∵PA+PD＝AD＝8， ∴PA＝PD＝4， ∴PE＝4，即点P到BC的距离是4． 故答案为：4． 27．如图，OC平分∠AOB，点P在OC上，PD⊥OA于D，PD＝5cm，点E是射线OB上的动点，则PE的最小值为 　 　 cm． 【答案】5 【解答】解：过P点作PH⊥OB于H，如图， ∵OC平分∠AOB，PD⊥OA，PH⊥OB， ∴PH＝PD＝5cm， ∵点E是射线OB上的动点， ∴PE的最小值为PH的值，即5cm． 故答案为：5． 28．如图，△ABC中，∠C＝90°，角平分线AD、BE相交于I，AI＝3ID，AE＝m，BD＝n，则AB＝　　 　．（用含m、n的式子表示） 【答案】m+n 【解答】解：在线段AB上截取AM＝AE，BN＝BD，连接IM，IN，作MH⊥AI于H，MJ⊥IN于J． ∵EA＝MA，∠IAE＝∠IAM，AI＝AI， ∴△AEI≌△AMI（SAS）， ∴∠AIE＝∠AIM，IE＝IM， 同法可证∠DIB＝∠BIN，ID＝IN， ∵∠IAB+∠IBA（∠CAB+∠CBA）＝45°， ∴∠DIB＝∠IAB+∠IBA＝45°， ∴∠AIM＝∠MIN＝∠DIB＝∠BIN＝45°， ∵MH⊥IA，MJ⊥IN， ∴MH＝MJ， ∴3， ∴MNAMm， ∴AB＝AM+MN+BN＝mm+nm+n． 故答案为m+n． 29．如图，∠AOC＝∠BOC，点P在OC上，PD⊥OA于点D，PE⊥OB于点E．若PD＝7cm，则PE的长为　 　 cm． 【答案】7． 【解答】解：∵∠AOC＝∠BOC，点P在OC上， ∴OP平分∠AOB， ∵PD⊥OA，PE⊥OB，PD＝7cm， ∴PE＝PD＝7cm． 故答案为：7． 30．如图，△ABC的面积为42，AD平分∠BAC，M为AD的中点，点N在CM上，CN：MN＝2：1，若阴影部分的面积为4，则的值为　 　 ． 【答案】． 【解答】解：∵CN：MN＝2：1， ∴S△MND：S△NCD＝1：2， 又∵S△MND＝4， ∴SNCD＝8， ∴S△MCD＝12， ∵M为AD的中点， ∴S△AMC＝S△DMC＝12， ∴S△ADC＝12+12＝24， ∴S△ABD＝S△ABC﹣S△ADC＝42﹣24＝18， 如图，过点D作DE⊥AB，DF⊥AC， ∴， 又∵AD平分∠BAC， ∴DE＝DF（角平分线的性质）， ∴， 即， 故答案为：． 31．如图，在△ABC中，AD为边BC上的高，AE为边BC上的中线，BF平分∠ABC，交AD于点F． （1）若AD＝4，△ABC的面积为20，求BE的长； （2）若∠C＝25°，∠BFD＝60°，求∠BAC的度数． 【答案】（1）5； （2）95°． 【解答】解：（1）∵AD为边BC上的高， ∴S△ABC20， ∵AD＝4， ∴BC＝10， ∵AE为边BC上的中线， ∴BE5； （2）∵AD为边BC上的高，∠BFD＝60°， ∴∠FBD＝90°﹣60°＝30°， ∵BF平分∠ABC， ∴∠ABC＝2∠FBD＝60°， ∴∠BAC＝180°﹣∠ABC﹣∠C＝180°﹣60°﹣25°＝95°． 32．如图，点D是△ABC外一点，连接AD，CD，过点C作CE⊥AB，垂足为E．AD＝7，CE＝4，AB＝13，△ADC的面积为14． （1）求证：AC是∠BAD的平分线． （2）若AB﹣AD＝2BE，求证：CD＝BC． 【答案】（1）过点C作CF⊥AD交AD的延长线于点F，如图1所示： ∵△ADC的面积为14，AD＝7， ∴AD•CF＝14， ∴CF4， ∵CE＝4， ∴CF＝CE＝4， 又∵CE⊥AB，垂足为E，CF⊥AD交AD的延长线于点F，点C在∠BAD的内部， ∴点C在∠BAD的平分线上， ∴AC是∠BAD的平分线； （2）在AB上截取AH＝AD＝7，连接CH，如图所示： ∵AB＝13， ∴BH＝AB﹣AH＝AB﹣AD＝13﹣7＝6， ∵AB﹣AD＝2BE， ∴2BE＝6， ∴BE＝3， ∴EH＝BH﹣BE＝6﹣3＝3， ∴EH＝BH＝3， ∵CE⊥AB，垂足为E， ∴CE是线段BH的垂直平分线， ∴HC＝BC， 由（1）可知：AC是∠BAD的平分线， ∴∠HAC＝∠DAC， 在△HAC和△DAC中， ， ∴△HAC≌△DAC（SAS）， ∴HC＝CD， ∴CD＝BC． 【解答】证明：（1）过点C作CF⊥AD交AD的延长线于点F，如图1所示： ∵△ADC的面积为14，AD＝7， ∴AD•CF＝14， ∴CF4， ∵CE＝4， ∴CF＝CE＝4， 又∵CE⊥AB，垂足为E，CF⊥AD交AD的延长线于点F，点C在∠BAD的内部， ∴点C在∠BAD的平分线上， ∴AC是∠BAD的平分线； （2）在AB上截取AH＝AD＝7，连接CH，如图所示： ∵AB＝13， ∴BH＝AB﹣AH＝AB﹣AD＝13﹣7＝6， ∵AB﹣AD＝2BE， ∴2BE＝6， ∴BE＝3， ∴EH＝BH﹣BE＝6﹣3＝3， ∴EH＝BH＝3， ∵CE⊥AB，垂足为E， ∴CE是线段BH的垂直平分线， ∴HC＝BC， 由（1）可知：AC是∠BAD的平分线， ∴∠HAC＝∠DAC， 在△HAC和△DAC中， ， ∴△HAC≌△DAC（SAS）， ∴HC＝CD， ∴CD＝BC． 33．如图，在△ABC中，D是BC的中点，DE⊥AB于E，DF⊥AC于点F，且∠BDE＝∠CDF．求证：AD平分∠BAC． 【答案】见试题解答内容 【解答】证明：∵DE⊥AB，DF⊥AC， ∴∠DEB＝∠DFC＝90°， ∵D是BC的中点， ∴BD＝CD， 在△BED和△CFD中， ， ∴△BED≌△CFD（AAS）， ∴DE＝DF， ∵DE⊥AB于E，DF⊥AC于点F， ∴点D在∠BAC的角平分线上， ∴AD平分∠BAC． 学科网（北京）股份有限公司 $