1.5等腰三角形(2)—等腰三角形的判定教学设计 2026-2027学年苏科版数学八年级上册

该初中数学教学设计聚焦等腰三角形的判定定理，通过回顾等腰三角形性质“等边对等角”，提出其逆命题“等角对等边”引发思考，搭建性质与判定的知识支架，引导学生逐步探索判定定理。 资料以探究活动为核心，让学生画图比较、推理论证判定定理，培养几何直观与推理能力，“二推一模型”变式练习发展应用意识，尺规作图例题提升空间观念，助力学生深化理解，为教师提供分层教学案例，提升课堂效率。

1.5 等腰三角形(2)—等腰三角形的判定 【教学目标】 1. 探索并掌握等腰三角形的判定定理，发展推理能力， 2. 会利用基本作图作三角形:已知底边及底边上的高作等腰三角形，发展几何直观 【教学重点】等腰三角形的判定定理 【教学难点】掌握利用等腰三角形的判定定理进行尺规作图 【教学过程】 一、情境创设 1.等腰三角形有什么性质？（等腰三角形的两底角相等） 2.“等腰三角形的两底角相等”的逆命题是什么？它是真命题吗？ 二、探索活动 1.画线段AB，在AB的同侧画两个相等的锐角，即∠BAM和∠ABN，设AM和BN相交于点C,比 较AC和BC，你有什么发现? 2.你能证明“有两个角相等的三角形是等腰三角形”这个结论吗? 已知，如右图，在△ABC中，∠B＝∠ C．求证：AB＝AC． 证明：作△ABC的角平分线AD. ∴∠BAD＝∠CAD 在△ABD和△ACD中， ， ∴△BAD≌△CAD（AAS）， ∴AB＝AC 3. 思考：你还有不同的证明方法吗？ 4. 于是，我们得到等腰三角形的判定定理： 有两个角相等的三角形是等腰三角形.(简称“等角对等边”) 符号语言：在△ABC中，∵∠B＝∠ C ∴AB＝AC 5. 讨论：等腰三角形的性质定理与判定定理有什么区别和联系？ 尝试练习：(书本第45页练习1)如图，AB=AC，∠B=72°，AD平分∠BAC， 请写出图中的等腰三角形. 三、例题讲解 例1、(书本第45页例2)如图，∠EAC是△ABC的外角，AD平分∠EAC，AD∥BC. 求证：AB=AC 变式：（2025秋•甘德县期中）阅读与思考 下面是森森同学写的一篇数学日记，请仔细阅读，并完成相应的任务． x年x月x日 星期四 数学推理真有趣 今天数学课上教学了一个“二推一模型”，意思就是平行线、角平分线和等腰三角形，这三个条件只要已知其中的任意两个，就能推导出第三个． 第一种情况：已知：如图，AB∥CD，CE是∠ACD的平分线． 求证：△ACE是等腰三角形． 证明：∵AB∥CD，∴∠AEC＝∠ECD． ∵CE是∠ACD的平分线，∴∠ACE＝∠ECD， ∴∠AEC＝∠ACE，∴AC＝AE（依据），∴△ACE是等腰三角形． 第二种情况：… 第三种情况：… （1）上述证明过程中，依据是 　 　 ； （2）请你参照日记中的第一种情况，写出第二种情况或第三种情况的已知和求证，并进行证明． 例2.(书本第46页例3)如图，已知线段a，h,用直尺和圆规作等腰三角形ABC，使底边BC=a，高AD=h. 拓展延伸 利用“等角对等边”证明“大角对大边”.要求写出已知、求证，画出图形，写出证明过程 四、小结思考 “等边对等角”与“等角对等边”有何关系?你有哪些方法构造一个等腰三角形? 第 1 页 共 1 页 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 五、当堂练习 1．（2024秋•扎兰屯市期末）在△ABC中，已知∠BAC＝90°，AB≠AC，若用无刻度的直尺和圆规在BC上找一点D，使△ACD是等腰三角形，则下列作法中，正确的有（　　） A．②③ B．①② C．①③ D．①②③ 第3题 第2题 第1题 2．（2025•新城区校级二模）如图所示，在△ABC中，AB＝AC，∠A＝36°，BD平分∠ABC，点E在边AB上，且BE＝BD，则图中等腰三角形的个数有（　　） A．3 B．4 C．5 D．6 3．（2025秋•丰县期中）如图，A，B为4×4方格纸（每个小正方形边长为1）中格点上的两点，若以AB为边，在方格中取一点C（C在格点上），使得△ABC为等腰三角形，图中不符合要求的点是（　　） A．C1 B．C2 C．C3 D．C4 4．（2025秋•谷城县期中）如图，在△ABC中，AB＝6，AC＝5，BO、CO分别是∠ABC、∠ACB的平分线，MN经过点O，且MN∥BC，MN分别交AB、AC于点M、N，则△AMN的周长是 　 　 ． 5．（2025春•秦都区校级期中）如图，已知在△ABC中，∠C＝90°，AD是角平分线，过点B作BA的垂线与AD的延长线相交于点E，求证：△BDE是等腰三角形． 6．（2025秋•嘉荫县月考）如图1，点A，B分别在射线OM，ON上运动（不与点O重合），AC，BC分别是∠BAO和∠ABO的平分线，延长BC交OM于点G． （1）若∠O＝60°，求∠ACG的度数； （2）如图2，若∠O＝72°，过点C作CF∥OA交AB于点F，求∠BGO与∠ACF的数量关系． 1.5 等腰三角形(2)---等腰三角形的判定答案 【教学目标】 1. 探索并掌握等腰三角形的判定定理，发展推理能力， 2. 会利用基本作图作三角形:已知底边及底边上的高作等腰三角形，发展几何直观 【教学重点】等腰三角形的判定定理 【教学难点】掌握利用等腰三角形的判定定理进行尺规作图 【教学过程】 一、情境创设 1.等腰三角形有什么性质？（等腰三角形的两底角相等） 2.“等腰三角形的两底角相等”的逆命题是什么？它是真命题吗？ 二、探索活动 1.画线段AB，在AB的同侧画两个相等的锐角，即∠BAM和∠ABN，设AM和BN相交于点C,比 较AC和BC，你有什么发现? 2.你能证明“有两个角相等的三角形是等腰三角形”这个结论吗? 已知，如右图，在△ABC中，∠B＝∠ C．求证：AB＝AC． 证明：作△ABC的角平分线AD. ∴∠BAD＝∠CAD 在△ABD和△ACD中， ， ∴△BAD≌△CAD（AAS）， ∴AB＝AC 3. 思考：你还有不同的证明方法吗？ 4. 于是，我们得到等腰三角形的判定定理： 有两个角相等的三角形是等腰三角形.(简称“等角对等边”) 符号语言：在△ABC中，∵∠B＝∠ C ∴AB＝AC 5. 讨论：等腰三角形的性质定理与判定定理有什么区别和联系？ 尝试练习：(书本第45页练习1)如图，AB=AC，∠B=72°，AD平分∠BAC， 请写出图中的等腰三角形. 答：△ABC、△ABD、△ADC是等腰三角形 三、例题讲解 例1、(书本第45页例2)如图，∠EAC是△ABC的外角，AD平分∠EAC，AD∥BC. 求证：AB=AC 证明：（1）∵AD∥BC， ∴∠DAC=∠ACB，∠EAD=∠B， ∵AD平分∠EAC， ∴∠EAD=∠DAC， ∴∠B=∠ACB， ∴AB=AC． 变式（2025秋•甘德县期中）阅读与思考 下面是森森同学写的一篇数学日记，请仔细阅读，并完成相应的任务． x年x月x日 星期四 数学推理真有趣 今天数学课上教学了一个“二推一模型”，意思就是平行线、角平分线和等腰三角形，这三个条件只要已知其中的任意两个，就能推导出第三个． 第一种情况：已知：如图，AB∥CD，CE是∠ACD的平分线． 求证：△ACE是等腰三角形． 证明：∵AB∥CD，∴∠AEC＝∠ECD． ∵CE是∠ACD的平分线，∴∠ACE＝∠ECD， ∴∠AEC＝∠ACE，∴AC＝AE（依据），∴△ACE是等腰三角形． 第二种情况：… 第三种情况：… （1）上述证明过程中，依据是 　 等角对等边 　 ； （2）请你参照日记中的第一种情况，写出第二种情况或第三种情况的已知和求证，并进行证明． 解：第二种情况：已知：AB∥CD，△ACE是CE为底边的等腰三角形．求证：CE是∠ACD的平分线． 证明：∵AB∥CD， ∴∠AEC＝∠ECD， ∵△ACE是CE为底边的等腰三角形， ∴AC＝AE， ∴∠AEC＝∠ACE， ∴∠ECD＝∠ACE， ∴CE是∠ACD的平分线． 第三种情况：CE是∠ACD的平分线，△ACE是CE为底边的等腰三角形．求证：AB∥CD， 证明：∵CE是∠ACD的平分线， ∴∠ACE＝∠ECD， ∵△ACE是CE为底边的等腰三角形， ∴AC＝AE， ∴∠AEC＝∠ACE， ∴∠ECD＝∠AEC， ∴AB∥CD． 例2.(书本第46页例3)如图，已知线段a，h,用直尺和圆规作等腰三角形ABC，使底边BC=a，高AD=h. 作法： 1作线段BC=a. 2作线段BC的垂直平分线MN，MN与BC交于点D. 3在MN上截取DA，使DA=h，连接AB，AC. 所以△ABC即为所求. 拓展延伸 利用“等角对等边”证明“大角对大边”.要求写出已知、求证，画出图形，写出证明过程 已知：如图，在△ABC中，∠C＞∠B， 求证：AB＞AC， 证明：如图，在∠ACB内部，以C为顶点，以CB为一边作∠DCB=∠B，另一边与AB交于点D， ∵∠DCB=∠B， ∴BD=CD， ∵AB=AD+BD， ∴AB=AD+CD， 在△ADC中，AD+CD＞AC， ∴AB＞AC． 四、小结思考 “等边对等角”与“等角对等边”有何关系?你有哪些方法构造一个等腰三角形? 五、当堂练习 1．（2024秋•扎兰屯市期末）在△ABC中，已知∠BAC＝90°，AB≠AC，若用无刻度的直尺和圆规在BC上找一点D，使△ACD是等腰三角形，则下列作法中，正确的有（　A　） A．②③ B．①② C．①③ D．①②③ 第3题 第2题 第1题 2．（2025•新城区校级二模）如图所示，在△ABC中，AB＝AC，∠A＝36°，BD平分∠ABC，点E在边AB上，且BE＝BD，则图中等腰三角形的个数有（　B　） A．3 B．4 C．5 D．6 3．（2025秋•丰县期中）如图，A，B为4×4方格纸（每个小正方形边长为1）中格点上的两点，若以AB为边，在方格中取一点C（C在格点上），使得△ABC为等腰三角形，图中不符合要求的点是（　D　） A．C1 B．C2 C．C3 D．C4 4．（2025秋•谷城县期中）如图，在△ABC中，AB＝6，AC＝5，BO、CO分别是∠ABC、∠ACB的平分线，MN经过点O，且MN∥BC，MN分别交AB、AC于点M、N，则△AMN的周长是 　 11 　 ． 5．（2025春•秦都区校级期中）如图，已知在△ABC中，∠C＝90°，AD是角平分线，过点B作BA的垂线与AD的延长线相交于点E，求证：△BDE是等腰三角形． 证明：∵在直角△ACD中，∠ADC+∠DAC＝90°， 又∵∠BDE＝∠ADC， ∴∠BDE+∠DAC＝90°， ∵直角△ABE中，∠E+∠BAE＝90°， 又∵AD是∠BAC的平分线，即∠BAE＝∠DAC， ∴∠E＝∠BDE， ∴BE＝BD，即△BDE是等腰三角形． 6．（2025秋•嘉荫县月考）如图1，点A，B分别在射线OM，ON上运动（不与点O重合），AC，BC分别是∠BAO和∠ABO的平分线，延长BC交OM于点G． （1）若∠O＝60°，求∠ACG的度数； （2）如图2，若∠O＝72°，过点C作CF∥OA交AB于点F，求∠BGO与∠ACF的数量关系． 解：（1）∵∠O＝60°， ∴∠ABO+∠BAO＝120°， AC，BC分别是∠BAO和∠ABO的平分线， ∴，（角平分线的性质）， ∴， ∴∠ACG＝∠ABC+∠BAC＝60°； （2）∵∠O＝72°， ∴∠ABO+∠BAO＝180°﹣72°＝108°， AC，BC分别是∠BAO和∠ABO的平分线， ∴，， ∴， ∴∠ACG＝∠ABC+∠BAC＝54°， ∵CF∥OA， ∴∠ACF＝∠CAG（两直线平行，内错角相等）， ∴∠BGO﹣∠ACF＝∠BGO﹣∠CAG＝∠ACG＝54°， 京）股份有限公司第 1 页 共 1 页 学科网（北京）股份有限公司 $