1.5 等腰三角形(讲义，3大知识17大题型+刷好题)数学新教材苏科版八年级上册

本讲义聚焦初中数学等腰三角形核心内容，系统梳理等腰三角形性质（等边对等角、三线合一）与判定，等边三角形性质及判定，直角三角形两锐角互余、斜边中线性质、30°角直角边关系等知识点，构建从定义到基础应用再到综合题型（分类讨论、辅助线构造、动点问题、手拉手模型）的完整学习支架。 该资料以新课标核心素养为导向，通过易错提醒（如腰底分类讨论）培养推理意识，手拉手模型等综合题提升几何直观与创新意识，即学即练和分层习题（基础通关、素养提升）助力课中教学效率提升，课后学生可通过题型归纳与变式巩固查漏补缺，强化数学语言表达与应用能力。

第一章 三角形 1.5 等腰三角形 课标要点 1.掌握等腰、等边三角形的性质与判定，分清等边对等角、等角对等边的因果逻辑，理解等腰三角形三线合一。 2.掌握直角三角形核心性质：两锐角互余、斜边上中线等于斜边一半、30° 直角边等于斜边一半。 3.能利用两类三角形定理计算边长、角度，结合全等完成证明；等腰题型会分类讨论，检验解的合理性。 学习重难点 重点： 1.等腰三角形：等边对等角、等角对等边、三线合一；等边三角形性质与判定。 2.直角三角形三大基础性质，直接套用计算边角。 3.基础边角计算、简单全等证明。 难点： 1.等腰分类讨论：区分腰 / 底、顶角 / 底角，结合三边关系、内角和取舍答案。 2.三线合一、斜边中线辅助线构造，挖掘隐藏相等线段。 3.等腰 + 直角三角形综合题型、动点几何压轴题。 知识点一 等腰三角形的性质与判定 定义：有两条边相等的三角形是等腰三角形，相等的两条边叫做腰，另一条边叫做底边，两腰的夹角叫做顶角，底边与腰的夹角叫做底角. 等腰三角形性质定理： 1）等腰三角形的两个底角相等（简称“等边对等角”）. 2）等腰三角形的顶角平分线、底边上的中线、底边上的高相互重合.（简称“三线合一”）. 等腰三角形的判定定理： 1）定义法：有两边相等的三角形是等腰三角形； 2）判定定理：如果一个三角形有两个角相等，那么这两个三角形是等腰三角形（简称“等角对等边”）. 易错提醒 1）等腰三角形的边有腰、底之分，角有顶角、底角之分，若题目中的边没有明确是底还是腰，角没有明是顶角还是底角，需要分类讨论. 2）在等腰三角形问题中未分类讨论或未考虑三角形三边关系而出错. 3）等腰三角形的“三线合一”指的是底边上的高，底边上的中线和顶角平分线互相重合，但对于腰上的高、腰上的中线、底角平分线却不一定成立.不要盲目运用“三线合一”的性质解题. 即学即练 1．（25-26八年级上·江苏盐城·期末）如图，中，，，点在边上，的周长为13，则下列结论正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了等腰三角形的性质．根据题意可得，从而得到，即可解答． 【详解】解：∵，，点在边上，的周长为13， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴，故C选项正确； 根据题干无法得到的大小关系，故A，B选项错误； 且题干中没有给出的大小，故D选项错误； 故选：C 2．（25-26八年级上·江苏盐城·期末）已知等腰三角形的周长为12，一边长为5，则它的腰长为（   ） A．2或5 B．5 C．3.5 D．5或3.5 【答案】D 【分析】本题考查等腰三角形的性质与三角形三边关系，需分腰长为5和底边长为5两种情况讨论，再验证是否符合三角形三边关系． 【详解】解：①当腰长为5时， ∵等腰三角形周长为12，腰长为5， ∴底边长， ∵，，满足三角形三边关系， ∴此情况成立，腰长为5； ②当底边长为5时， ∵等腰三角形周长为12，底边长为5， ∴腰长， ∵，，满足三角形三边关系， ∴此情况成立，腰长为3.5， 综上，它的腰长为5或3.5， 故选：D． 3．（25-26八年级上·江苏南京·期末）如图，在中，，于点.下列结论不一定正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】此题考查了等腰三角形的性质．注意掌握三线合一性质的应用是解此题的关键．由在△中，，，根据等边对等角与三线合一的性质求解即可求得答案． 【详解】解：，， ，，． 故D错误，A，B，C正确． 故选：D． 知识点二 等边三角形的性质与判定 定义：三条边都相等的三角形叫等边三角形. 等边三角形的性质：等边三角形的三条边相等，三个内角都相等，并且每个内角都是60°. 等边三角形的判定（文字版）： 1）定义法：三条边都相等的三角形是等边三角形； 2）等角法：三个角都相等的三角形是等边三角形. 3）等腰三角形法：有一个角是60°的等腰三角形是等边三角形. 教材延伸 1）等边三角形是特殊的等腰三角形，等边三角形具有等腰三角形的一切性质. 2）等边三角形是轴对称图形，并且有3条对称轴； 3）等边三角形的内心、外心、重心和垂心重合． 4）等边三角形面积的求解方法：S正三角形= 即学即练 1．（25-26八年级上·江苏苏州·阶段检测）如图，是等边三角形，点是边上任意一点，于点，于点．若，则为（   ） A．4 B．5 C．6 D．3 【答案】B 【分析】本题考查了含度角的直角三角形以及等边三角形的性质，解题的关键是掌握直角三角形中，度角所对直角边等于斜边的一半．设，则，利用等边三角形的性质以及含度角的直角三角形的性质即可求解． 【详解】解：是等边三角形，， ，， 设，则， ，， ， ，， ， 故选B． 2．（25-26八年级上·四川泸州·阶段检测）如图，等边三角形与互相平行的直线a，b相交，若，则的大小为（    ）． A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了等边三角形的性质及平行线的判定和性质，准确构造辅助线是解题的关键． 过点C作直线a的平行线，根据平行线的性质及等边三角形的性质即可得答案． 【详解】解：如图，过点C作， 直线， ， ， 等边三角形， ， ， ， ， 故选：B． 3．（25-26八年级上·江苏扬州·期末）如图，是等边三角形，若，，，则_____． 【答案】 【分析】根据等边三角形的性质可得，再根据证明，则可得． 本题主要考查了等边三角形的性质，以及全等三角形的判定和性质，熟练掌握以上知识是解题的关键． 【详解】解：∵是等边三角形， ∴， 在和中， ， ∴， ∴． 故答案为：． 知识点三 直角三角形的性质 性质 直角三角形两个锐角互余. 直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半. 在直角三角形中，30°角所对的直角边等于斜边的一半. 图示 几何描述 在△ABC，∠C=90° ∴∠A+∠B=90° 在△ABC，∠ACB=90°，CD为AB边的中线，∴ 在△ABC，∠C=90°，∠B=30°， ∴ 即学即练 1．（25-26八年级上·陕西榆林·期末）如图，在中，，，的平分线交于点，若，则的长是_________． 【答案】6 【分析】本题考查含角的直角三角形，等角对等边，直角三角形两锐角互余，首先求出，然后结合角平分线得到，根据角所对直角边是斜边的一半和等角对等边得到． 【详解】解：∵，， ∴， ∵平分， ∴， ∴． 故答案为：6． 2．（25-26八年级上·江苏扬州·阶段检测）如图，在中，，，，为边的中点，点，分别在边，上，，则四边形的面积为（    ） A．16 B． C．8 D． 【答案】C 【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质，等腰三角形的性质，直角三角形的性质等知识，根据题意得到，， 证明，根据即可求解，掌握相关知识是解题的关键． 【详解】解：连接，如图： ∵，，为边的中点，， ∴，，， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， 故选：C． 题型01 等腰三角形的定义与分类讨论问题 解题贴士 等腰三角形的边有腰、底之分，角有顶角、底角之分，若题目中的边没有明确是底还是腰，角没有明是顶角还是底角，需要分类讨论. 典｜例｜精｜析 例1．（25-26八年级上·江苏常州·期中）等腰三角形的两边长分别为和，则它的周长是______． 【答案】12 【分析】本题主要考查了等腰三角形的定义、三角形的三边关系等知识点，掌握三角形的三边关系是解题的关键． 等腰三角形的两边长分别为和，需分情况讨论哪条边为腰，并利用三角形的三边关系验证是否能构成三角形，再求周长即可． 【详解】解：当腰为，底边为时，三边分别为、、，，能构成三角形，周长为； 当腰为，底边为时，三边分别为、、，但，不满足三边关系，不能构成三角形． 综上，该三角形的周长为． 故答案为12． 变｜式｜巩｜固 1．（25-26八年级上·江苏连云港·期末）已知等腰三角形一腰的垂直平分线与另一腰所在直线的夹角为，则此等腰三角形的顶角为________． 【答案】或 【分析】本题考查的是等腰三角形，解题的关键是画出图形，注意数形结合，容易忽略该等腰三角形为钝角三角形的情况． 分情况进行讨论：①等腰三角形为锐角三角形；②等腰三角形为钝角三角形，即可得出答案． 【详解】解：①当等腰三角形为锐角三角形时，如图所示：    ∵垂直平分，， ∴， ∴； ②当等腰三角形为钝角三角形时，如图所示：    ∵垂直平分，， ∴， ∴， ∴； 综上分析可知：等腰三角形的顶角的度数为或． 故答案为：或 2．（24-25八年级上·北京·期中）等腰三角形的一个内角是，则它顶角的度数是______． 【答案】或 【分析】本题考查了等腰三角形的顶角，根据等腰三角形的定义分为顶角和底角两种情况计算即可求解，掌握等腰三角形的定义是解题的关键． 【详解】解：当的角为顶角时，顶角的度数为； 当的角为底角时，顶角的度数为； ∴顶角的度数是或， 故答案为：或． 3．（25-26八年级上·新疆乌鲁木齐·期末）等腰三角形的周长为，若一条边长为，则等腰三角形的底边长是_____________ ． 【答案】4 【分析】根据为腰长和为底边长两种情况讨论，结合三角形三边关系判断能否构成三角形，即可得到结果． 【详解】解：分两种情况讨论： ①当边长为的边为腰长时， 底边长为， 此时三角形三边长为， 因为，不满足三角形任意两边之和大于第三边，不能构成三角形，此情况舍去， ②当边长为的边为底边长时， 腰长为， 此时三角形三边长为， 满足三角形任意两边之和大于第三边，可以构成三角形， ∴该等腰三角形的底边长为． 4．（25-26八年级上·浙江绍兴·期中）等腰三角形一腰上的中线将这个等腰三角形的周长分成和两部分，则等腰三角形的底边长为________ 【答案】 【分析】本题考查了等腰三角形的性质及中线的定义，设腰长为，底边长为，根据中线分周长的两种情况进行讨论，并检验三角形三边关系． 【详解】解：设等腰三角形的腰长为，底边长为，则腰上的中线将周长分为和两部分， 当且时，解得，，此时三边长为、、，满足三角形三边关系； 当且时，解得，，此时三边长为、、，但，不满足三角形三边关系，故舍去， 因此，底边长为． 故答案为：． 题型02 等边对等角 典｜例｜精｜析 例2．（25-26八年级上·江苏扬州·期末）如图，中，，点D是BC上一点，BD的垂直平分线交AB于点E，将沿AD折叠，点C恰好与点E重合，则度数为___． 【答案】/44度 【分析】根据垂直平分线得到，由三角形内角和定理得到，根据折叠可得，由三角形外角的性质得到，由此即可求解． 【详解】解：∵的垂直平分线交于点， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵将沿折叠，点恰好与点重合， ∴， ∵， ∴， 解得，， ∴． 变｜式｜巩｜固 1．（25-26八年级上·江苏泰州·期末）在中，，则_________（填“”“”或“”）． 【答案】 【分析】本题主要考查了三角形内角和定理，等角对等边，三角形三边关系，解题的关键是掌握以上性质． 作，交于点，利用三角形内角和定理求出相关角的度数，根据等角对等边得出，然后根据三角形三边关系即可求解． 【详解】解：如图所示，作，交于点， ∴， ， ∴， ∴，， ∴，， ∴， ∵， ∴， 即， 故答案为：． 2．（25-26八年级上·江苏泰州·期末）在中，，，则的度数为______． 【答案】/40度 【分析】本题主要考查了等边对等角和三角形内角和定理．依题意可知该三角形为等腰三角形，利用等腰三角形的性质得另外两角相等，结合三角形内角和易求的值． 【详解】解：如图， ∵， ∴， ∵， ∴． 故答案为：． 3．（25-26八年级上·江苏扬州·期末）如图，点三点在同一直线上，，，．若，，则的度数为_______°． 【答案】80 【分析】本题主要考查了全等三角形的性质与判定，三角形外角的性质，等边对等角．可证明，得到，，再根据三角形外角的性质求得，据此求解即可． 【详解】解：∵，，， ∴， ∴， ∵，， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴， 故答案为：80． 题型03 三线合一 典｜例｜精｜析 例3．（24-25八年级上·河南焦作·期中）如图，为了让电线杆垂直于地面，工程人员的操作方法通常是：从电线杆上一点A往地面拉两条长度相等的固定绳与，当固定点B，C到杆脚E的距离相等，且点B，E，C在同一直线上时，电线杆．工程人员这种操作方法的依据是（   ） A．等角对等边 B．等腰三角形三线合一的性质 C．两点之间线段最短 D．垂线段最短 【答案】B 【分析】本题考查了等腰三角形的性质，熟练掌握等腰三角形的性质是解题的关键．根据等腰三角形的性质即可得到结论． 【详解】解：根据题意，得，， ∴，即， 故工程人员这种操作方法的依据是等腰三角形“三线合一”， 故选：B． 变｜式｜巩｜固 1．（24-25八年级上·江苏南通·期中）如图，在中，，点是边上的任意一点，则的长不可能是（   ） A．5 B．6 C．7 D．8 【答案】A 【分析】本题考查等腰三角形的性质和含的直角三角形的性质，当点是的中点时，最小，根据等腰三角形等边对等角的性质求得，根据等腰三角形三线合一的性质求得，然后根据直角三角形中所对的直角边等于斜边的一半求解． 【详解】解：当点是的中点时，如图所示， ，， ，，此时最小， ， 在中，， 则的长不可能是， 故选：A． 2．（25-26八年级上·江苏淮安·期中）如图，在中，，为中点，，则的度数为（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了等腰三角形的性质、三角形内角和定理，由等腰三角形的性质得出，再由三角形内角和定理计算即可得出答案． 【详解】解：∵在中，，为中点，， ∴， ∴． 故选：D． 3．（25-26八年级上·江苏无锡·期中）如图，是的平分线，于，连接，若的面积为，则的面积为（　　） A． B． C． D．不能确定 【答案】B 【分析】本题考查了等腰三角形的三线合一、三角形的面积，熟练掌握等腰三角形的三线合一是解题关键．延长交于点，先根据等腰三角形的三线合一可得，再利用三角形的面积公式可得，，由此即可得出答案． 【详解】解：如图，延长交于点， 是的平分线，于， （等腰三角形的三线合一）， ，（等底同高）， ， 又的面积为， ，即， ， 故选：B． 题型04 等角对等边 典｜例｜精｜析 例4．（25-26八年级上·江苏常州·期中）如图，在中，，点为上一点，连接，且，若的周长为，则的周长为______． 【答案】 【分析】本题主要考查了等角对等边，，则，由的周长为，可得，即，然后通过周长公式即可求解，熟练掌握知识点的应用是解题的关键． 【详解】解：∵， ∴， ∵的周长为， ∴， ∴，即， ∴的周长为， 故答案为：． 变｜式｜巩｜固 1．（22-23八年级上·北京·期末）如图，在中，，高，交于点H．若，，则_______． 【答案】3 【分析】本题考查了三角形全等的判定与性质、等腰三角形的判定等知识，正确找出两个全等三角形是解题关键．先根据等腰三角形的性质可得，则可得，再证出，根据全等三角形的性质可得，最后根据线段的和差求解即可得． 【详解】解：∵，， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵，， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∴， 故答案为：3． 2．（25-26八年级上·江苏徐州·阶段检测）如图，在等腰中，，与的平分线交于点，过点做，分别交、于点、，则的周长是___________． 【答案】 【分析】本题主要考查了等角对等边，角平分线的定义，平行线的性质，根据平行线的性质和角平分线的定义可证明，得到，再根据三角形周长计算公式列式求解即可． 【详解】解：∵与的平分线交于点， ∴； ∵， ∴， ∴， ∴， ∴的周长 ， 故答案为：． 题型05 找出图中的等腰三角形 典｜例｜精｜析 例5．（25-26八年级上·江苏苏州·阶段检测）如图，平分，点E在上，且；找出图形中的等腰三角形，并加以证明． 【答案】是等腰三角形，证明见解析 【分析】本题考查了平行线的性质，角平分线的定义，等腰三角形的判定等知识点，根据角平分线的定义得出，根据平行线的性质得出，求出，根据等腰三角形的判定得出即可 【详解】解：是等腰三角形， 证明：平分， ， ， ， ， ， 即是等腰三角形 变｜式｜巩｜固 1．（24-25八年级上·江苏南京·期中）如图，已知中，，，，若过的顶点的一条直线将分割成两个三角形，使其中有一个边长为6的等腰三角形，则这样的直线最多可画（   ） A．2条 B．3条 C．4条 D．5条 【答案】C 【分析】此题主要考查了等腰三角形的定义，根据等腰三角形的性质分别利用为底以及为腰得出符合题意的图形即可． 【详解】解：如图所示，当，时，都能得到符合题意的等腰三角形．    综上，这样的直线最多可画4条． 故选：C． 2．（2024八年级下·全国·专题练习）如图，，，则图中的等腰三角形有 ___________个． 【答案】6 【分析】本题考查等腰三角形的判定，三角形的外角定理，三角形的内角和定理． 利用三角形的外角定理和三角形的内角和定理求出图中其他角的度数，根据“等角对等边”即可判定等腰三角形． 【详解】∵， ∴，是等腰三角形． ∵， ∴，是等腰三角形． ∵， ∴， ∴，是等腰三角形． ∵， ∴， ∴，是等腰三角形． ∵， ∴， ∴，是等腰三角形． ∵， ∴， ∴，是等腰三角形． 综上所述：图中等腰三角形有6个． 故答案为：6 3．（2023八年级上·江苏·专题练习）如图，在中，，，点在的垂直平分线上，平分，则图中等腰三角形的个数是(　　) A．3 B．4 C．5 D．6 【答案】D 【分析】根据题意可得，进而可得，得出，根据垂直平分线的性质可得，进而得出，根据角平分线的定义得出，进而可得，，得出，，得出，进而即可求解． 【详解】解：在中，， 是等腰三角形； ， ， ， 点在的垂直平分线上， ， 是等腰三角形； ， ， 平分， ， ， ， 是等腰三角形； ，， ， ， 是等腰三角形； ， ， 是等腰三角形； ， ， 是等腰三角形， 综上所述，等腰三角形有，，，，，共个， 故选：D． 【点睛】本题考查了三角形的内角和定理，角平分线的定义，垂直平分线的性质，等腰三角形的判定，熟练掌握以上知识是解题的关键． 题型06 格点中画等腰三角形 解题贴士 确定等腰三角形的个数问题是等腰三角形中的常见题，通常是“两定一动”类型，则以两定点所连线段进行分类讨论，①当该线段是等腰三角形的底时，作该线段的垂直平分线进行找点；②当该线段是等腰三角形的边时，分别以两定点为圆心，两定点所连线段为半径作圆来进行找点. 典｜例｜精｜析 例6．（25-26八年级上·江苏苏州·期中）如图，在正方形网格中，网格线的交点称为格点．已知是两格点，如果也是图中的格点，且使得为等腰三角形，则点的个数是（   ） A．5 B．6 C．7 D．8 【答案】D 【分析】本题考查由等腰三角形定义构造等腰三角形，熟记等腰三角形定义是解决问题的关键． 由等腰三角形定义，在网格中作出图形即可确定答案． 【详解】解：如图所示： 使得为等腰三角形的情况有：、、、、、、、，共8个， 故选：D． 变｜式｜巩｜固 1．（25-26八年级上·江苏苏州·周测）如图，，为方格纸中格点上的两点，若以为边，在方格中取一点（在格点上），使得为等腰三角形，在图中标出所有符合条件的点． 【答案】见解析 【分析】本题考查了等腰三角形，垂直平分线的性质，圆的定义，掌握相关知识是解决问题的关键．分三种情况：当时，当时，当时，即可解答． 【详解】解：如图： 分三种情况： 当时，以点为圆心，以长为半径作圆，则点，即为所求； 当时，以点为圆心，以长为半径作圆，则点即为所求； 当时，作线段的垂直平分线，则点，即为所求； 综上所述：使得为等腰三角形，则点的个数为5个． 2．（25-26八年级上·湖北恩施·期中）如图是的正方形网格，正方形的顶点为格点，请仅用无刻度直尺按要求完成以下作图． (1)在图1中选择格点C，D，以A，B，C，D为顶点的四边形是轴对称图形（画出一种即可）． (2)在图2中选择格点P，使得为等腰三角形． ①画出一个符合条件的等腰三角形； ②填空：满足为等腰三角形的格点P共有_________个． 【答案】(1)见解析（答案不唯一） (2)①见解析（答案不唯一）；②6 【分析】本题考查了轴对称图形、等腰三角形，熟练掌握等腰三角形的格点问题是解题关键． （1）根据轴对称图形的定义作图即可得； （2）①根据等腰三角形与网格特点作出，由此即可得； ②根据等腰三角形与网格特点画出，，的所有情况，由此即可得． 【详解】（1）解：如图，四边形即为所求（答案不唯一）． （2）解：①如图，等腰三角形即为所求（答案不唯一）． ②满足为等腰三角形的格点如下： 由图可知，满足为等腰三角形的格点共有6个． 故答案为：6． 3．（2023·四川广安·二模）如图是由边长为1的小等边三角形构成的网格，每个小等边三角形的顶点为格点，线段的端点都在格点上．要求以为边画一个等腰三角形，且另外一个顶点在格点上．请在下面的网格图中画出4种不同的设计图形． 【答案】见解析 【分析】本题考查作图-复杂作图，等腰三角形的判定与性质，根据等腰三角形的判定画出图形即可． 【详解】解：如图，即为所求． 题型07 等腰三角形的证明 典｜例｜精｜析 例7．（25-26八年级上·江苏扬州·期末）已知：如图，，、相交于点O，求证：． 【答案】证明见解析 【分析】找到隐含的公共边这一条件，通过先证明，从而得到，最后利用等角对等边即可证明结论． 【详解】证明：在和中， ∴， ∴， ∴． 变｜式｜巩｜固 1．（25-26八年级上·江苏扬州·期末）如图，在中，点D为边上一点，点E为边中点，连接并延长至点F使得，连接． (1)求证：． (2)若平分，，求线段的长度． 【答案】(1)证明见解析 (2)3 【分析】本题考查全等三角形的判定与性质，等角对等边， （1）借助图中隐含条件，对顶角，通过证明，即可得出； （2）利用（1）中的结论，由角平分线的定义易得，根据等角对等边，推出，再计算求解即可． 【详解】（1）证明：∵E为中点， ∴， 又，， ∴， ∴； （2）解：由（1），得，， ∴， ∵平分， ∴， ∴， ∴， ∴． 2．（25-26八年级上·全国·期中）如图，B，E，C，F是直线l上的四点，相交于点G，，，．求证： (1)； (2)是等腰三角形． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【分析】本题考查了三角形全等的判定与性质、等腰三角形的判定，熟练掌握三角形全等的判定与性质是解题关键． （1）根据即可证明； （2）由全等三角形得到，再由等角对等边即可证明． 【详解】（1）证明： ， ， 即 在和中， （2）证明：由（1）可知，≌， ， ， 是等腰三角形． 3．（25-26八年级上·陕西安康·期中）如图，在中，平分，连接，且，过点D作交于点E．求证： (1)为等腰三角形； (2)． 【答案】(1) 证明：平分， ， ∵， ， ， ∴， 是等腰三角形． (2) 证明：， ， ，， ， ， ， 是等腰三角形， ， ． 【分析】本题主要考查等腰三角形的性质与判定、角平分线的定义及平行线的性质，熟练掌握等腰三角形的性质与判定、角平分线的定义及平行线的性质是解题的关键； （1）由题意易得，，则有，然后问题可求证； （2）由题意易得，，然后可得，则有，进而问题可求证． 【详解】（1）略 （2）略 题型08 等腰三角形判定与性质的综合 典｜例｜精｜析 例8．（25-26八年级上·江苏泰州·期末）如图，在中，，点P，Q分别在射线，上，将线段绕点顺时针旋转得到线段． (1)如图1，当点与点重合时，求证：是的中点； (2)如图2，当点与点重合时，请只使用圆规一次，在图2中画出点的对应点的位置（保留作图痕迹，不写作法）； (3)如图3，若点也绕着点顺时针旋转某个角度后刚好落在边上的点，当点落在边时，连接，过作交于点，求证：． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 (3)见解析 【分析】（1）旋转得到，进而求出，等角对等边，得到，同角的余角相等得到，得到，进而得到即可； （2）根据等边对等角，易得，得到点在边上，以为圆心，的长为半径画弧，交于点即可； （3）取的中点，连接，根据旋转的性质，求出，证明，进而得到，进而得到，平行得到，斜边上的中线得到，进而得到，三角形的外角的性质，得到，等角对等边得到，进而得到，等量代换，得到，即可． 【详解】（1）证明：连接， ∵将线段绕点顺时针旋转得到线段，点与点重合， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴，即是的中点； （2）解：如图，点即为所求； （3）解：取的中点，连接，如图： ∵旋转， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵为的中点， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， 又∵， ∴，即． 变｜式｜巩｜固 1．（25-26八年级上·江苏扬州·期末）【概念】直角三角形中，过直角顶点和斜边上一点的线段将直角分成两个锐角，若这两个锐角的度数分别等于此直角三角形中的另外两个内角的度数，则称此线段为直角三角形的“等锐角线”． 【辨析】图1中有_________条“等锐角线”； 图2中若是的“等锐角线”，则_________； 【探究】如图3，中，，，的“等锐角线”交于点，画出示意图，写出线段与的数量关系，并说明理由． 【答案】【辨析】1；70或20；【探究】或，图和理由见解析 【分析】本题考查了直角三角形的性质、等腰三角形的性质、含角的直角三角形的性质． 【辨析】根据“等锐角线”的定义可知的“等锐角线”是的平分线，所以有条“等锐角线”；当时，根据“等锐角线”的定义可知或； 【探究】当时，根据含角的直角三角形的性质，可得；当时，可得是等边三角形，根据等边三角形的性质可知，根据等角对等边可得，所以可得． 【详解】【辨析】解：中，，， ， 的“等锐角线”是的平分线， 有条“等锐角线”； 如下图所示， 是的“等锐角线”， ； 如下图所示， 是的“等锐角线”， ， ； 综上所述，或； 故答案为：，或； 【探究】解：或 理由如下： 在中，，， ， 如下图所示，当时， ， ， ，， ， ； 如下图所示，当时， 可知， ， 是等边三角形， ， ， ； 综上所述，或. 2．（25-26八年级上·江苏宿迁·期末）如图，中，，现有两点、分别从点、点同时出发，沿三角形的边顺时针运动，已知点的速度为，点的速度为．点第一次到达点时，同时停止运动． (1)点运动几秒时，两点重合？ (2)点、运动几秒时，可得到等边？ (3)当点、在边上运动时，能否得到以为底边的等腰？如存在，请求出此时点、点运动的时间． 【答案】(1)10 (2) (3) 【分析】本题考查的是等边三角形的性质、全等三角形的判定和性质，掌握全等三角形的判定定理和性质定理、等边三角形的性质是解题的关键． （1）根据题意设点M、N运动t秒时，M、N两点重合，列方程即可求解； （2）根据题意设点M、N运动t秒后，可得到等边，然后表示出，的长，由于等于，所以只要，就是等边三角形； （3）首先假设是等腰三角形，可证出，可得，设出运动时间，表示出、、的长，列出方程，可解出未知数的值． 【详解】（1）解：设点M、N运动t秒时，M、N两点重合， 得方程， 解得, 答：点M、N运动10秒时，M、N两点重合； （2）解：设点M、N运动t秒时，可得到等边，如图①， ，， 是等边三角形， ， 解得， ∴点M、N运动秒时，可得到等边． （3）解：当点M、N在边上运动时，可以得到以为底边的等腰三角形， 情况一： 设点M、N运动x秒时，M、N两点重合， ， 解得：； 即10秒时M、N两点重合，恰好在C处，，但不是等腰三角形； 情况二： 如图②，假设是等腰三角形， ， ， ， ， 是等边三角形， ， 在和中， ， ， ， 设当点M、N在边上运动时M、N运动的时间y秒时，是等腰三角形， ，，， 即， 解得：． 综上所述，故假设成立． ∴当点M、N在边上运动时，能得到以为底边的等腰三角形， 此时M、N运动的时间为秒． 题型09 根据等边三角形的性质求长度 典｜例｜精｜析 例9．（25-26八年级上·辽宁葫芦岛·期末）如图所示，是等边三角形，D为AB的中点，，垂足为E．若，则的边长为（   ） A．40 B．30 C．20 D．10 【答案】C 【分析】本题考查等边三角形的性质、直角三角形的性质，解决本题的核心是直角三角形中角所对的直角边是斜边的一半． 根据为等边三角形和，可得，利用直角三角形中角所对的直角边是斜边的一半，即可求解． 【详解】解：为等边三角形， ， ， ， ， ， D为AB的中点， ， 等边三角形的边长为． 故选：． 变｜式｜巩｜固 1．（25-26八年级上·江苏宿迁·阶段检测）如图，在等边中，是边上的中线，延长至点，使，若，则 （   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了等边三角形的性质，等腰三角形的性质与判定，三角形外角的性质. 先由等边三角形的性质得到，再由等边对等角和三角形外角的性质得到，则，即可得到． 【详解】解：∵在等边中，是边上的中线， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 故选：C． 2．（25-26八年级上·北京·阶段检测）如图所示，在等边中，E是边的中点，于点D，P是上的动点，若，则的最小值为_____． 【答案】3 【分析】题考查了等边三角形的性质和轴对称的性质，熟练掌握等边三角形和轴对称的性质是解题的关键．通过作辅助线转化，的值，从而找出其最小值求解． 【详解】是等边三角形，， ， 是的垂直平分线， 点E关于的对称点为F， 如图所示，作点E关于的对称点F，连接， 就是的最小值， 是等边三角形，E是边的中点， F是的中点， 是的中线， ， 即的最小值为3， 故答案为：3． 题型10 根据等边三角形的性质求角度 解题贴士 与等边三角形有关的角度计算常常要用到等边三角形的三个角相等，并且每个角都等于60，这一点是解题的关键. 典｜例｜精｜析 例10．（25-26八年级上·甘肃天水·期中）如图，是等边三角形的中线，，则______． 【答案】 【分析】本题主要考查了等腰三角形的三线合一定理、等边对等角、三角形内角和定理，根据等腰三角形的三线合一定理可知，，根据等腰三角形的两个底角相等可以求出，根据角之间的关系可以求出的度数． 【详解】解：是等边三角形， ， 是等边三角形的中线， ，， ， ， ． 故答案为：． 变｜式｜巩｜固 1．（25-26八年级上·江苏连云港·期中）如图，是等边三角形，若，，，则__________． 【答案】110 【分析】本题主要考查了等边三角形的性质，全等三角形的判定和性质，三角形的内角和定理，解题的关键是掌握以上性质． 根据等边三角形的性质得出相等边和角的度数，证明，得出相等的角，再利用三角形的内角和定理进行求解即可． 【详解】解：∵是等边三角形， ∴， 又∵，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 故答案为：110． 2．（25-26八年级上·江苏常州·期中）如图，中，，将绕点逆时针旋转得，点刚好落在上，则的大小为___________． 【答案】 【分析】本题主要考查了三角形的旋转，等边三角形的判定与性质，由绕点逆时针旋转得，得，为等边三角形，得，由三角形内角和定理得，即可得． 【详解】解：∵绕点逆时针旋转得， ∴，， ∴为等边三角形， ∴， ∵， ∴， ∴． 故答案为：． 3（25-26八年级上·江苏南通·期中）如图，是等边三角形，点D在边上，点E在边上，作，射线交的延长线于点F，若，则的度数为______． 【答案】/度 【分析】本题主要考查了等边三角形的性质，三角形内角和定理及外角定理，解题的关键是掌握以上性质． 根据等边三角形的性质求出相关角的度数，然后利用三角形外角定理和角的和差进行求解即可． 【详解】解：∵是等边三角形， ∴， ∴， ∴， ∴， 故答案为：． 题型11等边三角形的证明 典｜例｜精｜析 例11．（25-26八年级上·江苏南京·阶段检测）如图，在中，，点、在边上（点在点的左侧），． (1)证明：≌； (2)求证：是等边三角形． 【答案】(1)证明见解析 (2)证明见解析 【分析】本题考查等腰三角形的判定与性质、全等三角形的判定与性质、等边三角形的判定． （1）利用“等角对等边”得到，结合已知条件用证明全等； （2）由全等得，再证，从而判定为等边三角形． 【详解】（1）证明：∵在中，， ∴． 在和中，， ∴； （2）证明：∵， ∴， ∴是等腰三角形． ∵是的外角，， ∴， ∴是等边三角形． 变｜式｜巩｜固 1．（25-26八年级上·江苏苏州·期中）如图，在锐角中，点是边上一点，于点，与交于点． (1)求证：为等腰三角形； (2)若，请判断的形状，并说明理由． 【答案】(1)见解析 (2)等边三角形，理由见解析 【分析】本题考查了等腰三角形的判定和性质，等边三角形的判定，熟练掌握等腰三角形三线合一的性质是关键． （1）利用等角的余角相等和对顶角相等可得，继而证明为等腰三角形即可； （2）由得是直角三角形，结合，利用直角三角形两锐角互余，求出，依据是等腰三角形，由等腰三角形中若有一个内角为，则该三角形为等边三角形，即可解答． 【详解】（1）证明：∵于点D， ∴和都是直角三角形， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴为等腰三角形； （2）∵于点D， ∴， 在中，， ∴， 由（1）得为等腰三角形； ∴为等边三角形 2．（25-26八年级上·吉林辽源·期中）如图，已知为的中点，，，、为垂足，且，，求证：是等边三角形． 【答案】见解析 【分析】本题考查全等三角形的判定和性质、等边三角形的判定，直角三角形的两个锐角互余，解答本题的关键是明确题意．先利用条件证明出，从而得到，利用等角对等边证出，再利用，证明出，从而得到答案即可． 【详解】证明：∵D是的中点， ， ∵，， ∴和都是直角三角形， 在和中， ∴， ∴， ∴（等角对等边）． ∵，， ∴， ∴是等边三角形． 题型12 等边三角形中的多结论问题 典｜例｜精｜析 例12．（25-26八年级上·江苏宿迁·阶段检测）如图，将含有角的直角三角尺绕顶点A逆时针旋转到的位置，使点B的对应点D落在边上，连接，则下列结论：①；②；③为的垂直平分线；④．其中所有正确结论的序号是（   ） A．①②③④ B．①②④ C．②③④ D．①③④ 【答案】A 【分析】本题考查了旋转的性质，等边三角形的判定与性质，含30度直角三角形的性质，线段垂直平分线的判定. 由旋转的性质可判断①；由旋转的性质得是等边三角形，由等边三角形的性质及等腰三角形的判定可判断②；由旋转的性质得是等边三角形，得，结合②可判断③；由含30度直角三角形的性质及①可判断④． 【详解】解：由旋转的性质知，； 故①正确； ∵，， ∴是等边三角形， ∴， ∴，故②正确； ∴； 由旋转的性质得， ∴是等边三角形， ∴； ∴垂直平分线段； 故③正确； ∵是等边三角形， ∴； ∵垂直平分线段, ∴； ∵， ∴； ∵， ∴； 故④正确； 故选：A 变｜式｜巩｜固 1．（25-26八年级上·江苏南京·阶段检测）如图，和都是等边三角形且点在一条直线上，相交于点，与相交于点，与相交于点，连接，则：①，②；③平分；④平分，正确的是（  ） A．①② B．①②③ C．①②④ D．①②③④ 【答案】C 【分析】此题考查了等边三角形的性质，全等三角形的判定与性质，角平分线的判定等知识，由等边三角形的性质得，，，因为点在一条直线上，所以，则，可根据“”证明，得，，所以，可判断①正确；再根据“”证明，得，可判断②正确；作于点，于点，由推导出，可证明平分，可判断④正确；假设平分成立，则，而，所以，可证明，得，而题中并没有这一条件，可判断③不正确，于是得到问题的答案，掌握等边三角形的性质是解题的关键． 【详解】解：和都是等边三角形且点在一条直线上， ，，， ， ， ， 在和中， ， ， ，，即， ，故①正确； 在和中， ， ， ，故②正确； 作于点，于点， ，，且，， ， ， ∴点在的平分线上， 平分，故④正确； 假设平分成立，则， ， ， ， 在和中， ， ， ，即等边和等边的边长相等，显然题中并没有这一条件， 平分不成立，故③不正确； 综上，正确的是①②④， 故选：． 2．（25-26八年级上·江苏无锡·阶段检测）如图，在中，D是的中点，，与交于点O，且．下列说法：①的垂直平分线一定与相交于点E；②；③当E为中点时，是等边三角形；④当E为中点时，．其中，正确的是（   ） A．①②③ B．①②④ C．③④ D．①②③④ 【答案】A 【分析】本题主要考查了等边三角形的性质与判定，线段垂直平分线的性质与判定，等腰三角形的性质与判定，直角三角形的性质，连接，由直角三角形的性质得到，则可证明，据此可判断①；设，由等边对等角和三角形外角的性质可推出，则可得到，据此可判断②；可证明，是线段的垂直平分线，则可证明，据此可判断③；连接并延长交于F，则点F为的中点，由等边三角形的性质得到，则可证明，进而得到，据此可判断④． 【详解】解：如图1，连接， ∵， ∵D是的中点， ∴， ∵， ， ∴点E在的垂直平分线上， ∴的垂直平分线一定与相交于点E，故①正确，符合题意； 设， ， ， ∵， ， ， ∴，故②正确，符合题意； ∵E为的中点，， ∴，是线段的垂直平分线， ∴， ∵，，， ， ， ∴是等边三角形，故③正确，符合题意； 如图2，连接并延长交于F， ∵E为的中点，D为的中点， ∴点F为的中点， 由③知：当E为中点时，是等边三角形， ∴， ， 在中，， ， ， ∴，， ∵E为的中点， ∴， ∴，故④不正确，不符合题意． 故选：A． 题型13 等边三角形判定与性质综合 解题贴士 题目图形中有两个以上的以图形中的线段为边向图形同侧或异侧作的特殊图形(特殊图形包括等边三角形、等腰三角形、等腰直角三角形等)，在分析条件时，经常先寻找图形中有无全等三角形（手拉手模型），若有，这对全等三角形的性质常常是解题的关键所在. 典｜例｜精｜析 例13．（25-26八年级上·江苏常州·期末）如图，在中，，，是的平分线，E为上一点，以为一边，且在下方作等边，连接． (1)求证：； (2)求的度数． 【答案】(1)证明见详解 (2)的度数为 【分析】本题主要考查等边三角形的性质、角平分线的性质和证明全等三角形，证明全等三角形是解题的关键． （1）利用等边三角形的性质得到对应边相等，再进行等角代换得到相等的角，即可证明； （2）根据角平分线并结合全等三角形得到，即可求得的度数． 【详解】（1）证明：∵是等边三角形， ∴，， ∵是等边三角形， ∴，， ∴， 在和中， ∴； （2）解：∵在等边中，是的平分线，， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴的度数为． 变｜式｜巩｜固 1．（25-26八年级上·江苏连云港·阶段检测）如图，在中，于点D，于点E，F为的中点，连接，． (1)求证：； (2)若，．求的周长． 【答案】(1)见解析 (2)9 【分析】本题考查直角三角形斜边中线的性质，等边三角形的判定和性质，解题的关键是熟练掌握基本知识． （1）利用直角三角形斜边中线的性质即可解决问题． （2）证明是等边三角形即可解决问题． 【详解】（1）证明：∵于点D，于点E， ∴， ∵F为的中点， ∴， ∴， 故． （2）解：由（1）得，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴是等边三角形， ∵， ∴的周长为9． 2．（25-26八年级上·江苏苏州·期中）如图，在中，D为边上一点，，连接，上有一点F，满足． (1)求证：； (2)，点E为的中点，，求的长． 【答案】(1)详见解析 (2) 【分析】（1）由，得到，，求得，根据全等三角形的性质得到； （2）根据，，得到，求得，得到，得到是等边三角形，求得． 本题考查了全等三角形的判定和性质，等边三角形的判定和性质，熟练掌握全等三角形的判定和性质定理是解题的关键． 【详解】（1）证明：， ，， ， 在与中， ， ， ； （2）解：，， ， ， ∵， ∴， ∴， 点E为的中点， ， 是等边三角形， ． 题型14 等腰三角形与动点问题 典｜例｜精｜析 例14．（25-26八年级上·江苏无锡·阶段检测）如图，，点A是延长线上的一点，，动点P从点A出发沿以的速度移动，动点Q从点O出发沿以的速度移动，如果点P、Q同时出发，用t(s)表示移动的时间，当t等于多少时，是等腰三角形？（） A．3 B．3或6 C．6 D．6或12 【答案】B 【分析】本题主要考查了等腰三角形的性质,等边三角形的判定与性质，一元一次方程的应用，解决问题的关键是进行分类讨论，分类时注意不能遗漏，也不能重复． 根据是等腰三角形，分两种情况进行讨论：①点P在上，②点P在上，然后根据等腰三角形的性质列出方程求解即可． 【详解】解：①如图，当点P在上，时，是等腰三角形， ∵，， ∴当时，，解得； ②如图，当P在上时，由，是等腰三角形，得 是等边三角形，则， ∵，， ∴当时，，解得； 综上可得：当或6秒时，是等腰三角形， 故选B． 变｜式｜巩｜固 1．（25-26八年级上·江苏苏州·阶段检测）如图，，内有一定点P，且，在上有一动点上有一动点R．请你思考的周长最小值为_____________． 【答案】5 【分析】本题考查了最短路线问题，轴对称的性质，等边三角形的判定与性质，作辅助线得到与周长相等的线段为解题关键．作点P关于的对称点C，关于的对称点D，连接与分别相交于点Q、R，由两点之间线段最短得，此时周长最小，依据为等边三角形，即可得到最小周长． 【详解】解：如图，作点P关于的对称点C，关于的对称点D，连接与分别相交于点Q、R， ， 的周长， 由两点之间线段最短得，此时周长最小， 连接，则， ， 为等边三角形， ， 即最小周长是5． 故答案为：5． 2．（24-25七年级下·四川成都·期中）如图，在中，，，点从点出发以每秒速度向点运动，点从点同时出发以每秒速度向点运动，其中一个动点到达端点，另一个动点也随之停止，当是以为底的等腰三角形时，运动的时间是___秒． 【答案】 【分析】本题主要考查了等腰三角形的性质，一元一次方程的应用．设运动的时间为，则，，由是以为底的等腰三角形，可知，即，计算求解即可． 【详解】解：设运动的时间为秒，则，， ∵是以为底的等腰三角形， ∴，即， 解得，． 故答案为：． 3．（24-25七年级上·山东泰安·期末）如图，在中，，，若是的中点，动点在上移动，动点在上移动，且． (1)证明：； (2)四边形面积是否发生变化，若发生变化说明理由；若不变，请你求出四边形的面积． 【答案】(1)证明见解析 (2)不变， 【分析】（）连接，证明即可求证； （）由全等三角形的性质得，即得，即可求解； 本题考查了等腰三角形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，熟练掌握知识点是解题的关键． 【详解】（1）解：连接， ∵，，是的中点， ∴， ∴， 又∵， ∴， ∴； （2）解：四边形面积不会发生变化，理由如下： ∵， ∴， ∴， ∴四边形面积不会发生变化，面积为． 题型15 手拉手模型 解题贴士 条件 △OAB，△OCD均是等腰三角形， OA=OB，OC=OD，∠AOB=∠COD=α 结论 △OAC≌△OBD AC=BD ∠AEB=α EO平分∠AED 典｜例｜精｜析 例15．（22-23八年级上·江苏无锡·期中）综合实践：在学习全等三角形的知识时，数学兴趣小组发现这样一个模型：它是由两个共顶点且顶角相等的等腰三角形构成的，在相对位置变化的同时，始终存在一对全等三角形，兴趣小组成员经过研讨给出定义：如果两个等腰三角形的顶角相等，且顶角的顶点互相重合，则称此图形为“手拉手全等模型”，因为顶点相连的四条边，可以形象地看作两双手，所以通常称为“手拉手模型”，如图1，与都是等腰三角形，其中，则． 【初步把握】如图2，与都是等腰三角形，，，且，请直接写出图中的一对全等三角形： ； 【深入研究】如图3，已知，以、为边分别向外作等边和等边，、交于点Q，求的大小． 【拓展延伸】如图4，在两个等腰直角和中，，，，连接，，交于点P，请判断和的关系，并说明理由． 【答案】初步把握：； 深入研究：； 拓展延伸：解：，；理由如下： ∵， ∴，即， 在和中， ， ∴， ∴，， ∵， ∴， ∴． 【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质、等边三角形的性质、等腰三角形的判定与性质、三角形外角的定义及性质，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键． 初步把握：先证明，再利用“”证明即可； 深入研究：由等边三角形的性质可得，，，再证明，进而证明，得出，即可得解； 拓展延伸：证明，得出，，即可得解． 【详解】初步把握： 解：∵， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， 故答案为：； 深入研究： 解：∵和都是等边三角形， ∴，，， ∴．即， 在和中， ， ∴， ∴． ∵， ∴； 拓展延伸： 变｜式｜巩｜固 1．（25-26八年级上·江苏苏州·期末）【手拉手模型】由两个顶角相等且有公共顶角顶点的等腰三角形组成的图形，如果把它们的底角顶点连接起来，则在相对位置变化的过程中，始终存在一对全等三角形，这种模型称为“手拉手模型”． (1)如图1，在△和△中，，，，连接、，当点落在边上，且、、三点共线时，与△全等的三角形是 ，的度数为 ． (2)如图2，已知△和△为等腰直角三角形，其中，连接、，线段和交于点． ①证明：且； ②如图3，连接、，过点作，垂足为，垂线交于点，请你判断和的数量关系 ，并说明理由． 【答案】(1)△， (2)①见解析；②，理由见解析 【分析】本题是三角形的综合题，考查了全等三角形的判定和性质，等腰直角三角形的性质，熟练掌握全等三角形的判定和性质定理是解题的关键． （1）利用证明△△，得出，结合三角形外角的性质即可得出，即可求解； （2）①利用证明△△，得出，，然后利用直角三角形的性质即可得出； ②过点作于点，过点作延长线于点，根据垂直的定义得到，根据余角的性质得到，根据全等三角形的判定定理得到△△，同理：△△，求得，根据全等三角形的性质得到． 【详解】（1）解：如图1中， 在△和△中， ， △△， ， ， ， 故答案为：△，； （2）①证明：△和△均为等腰直角三角形，， ，， ， ， 在△和△中， ， △△， ，， ， ； ②，理由如下： 过点作于点，过点作延长线于点， ，，， ， 在△中， ， ， ， 在△和△中， ， △△， 同理：△△， ，， ， 在△和△中， ， △△， ． 2．（24-25八年级上·江苏扬州·期中）“数学区别于其它学科最主要的特征是抽象与推理”，几何学习尤其需要我们从复杂的问题中进行抽象，形成一些基本几何模型，用类比等方法，进行再探究、推理，以解决新的问题． 【认识模型】如图1，和中，，，，连接、．这里与有一个公共的顶点，其中的一个三角形通过旋转可以和另一个三角形重合，我们将这样的图形称为“手拉手模型”． 【理解模型】如图2，点P是等边外一点，．求证：． 聪明的小明同学，想到可以通过辅助线构造“手拉手模型”来解决这个问题，将绕点A逆时针旋转到，使点B与点C重合，只要证得P、C、D三点在同一直线上，进而就可以证明为等边三角形，请你根据小明的思路，写出完整的推理过程． 【变式迁移】如图3，四边形中，，，连接．请直接写出、、之间的数量关系：________． 【构造模型】如图4，在中，，，是外一点，若线段、、满足关系式，则的度数为________，请说明理由． 【答案】【理解模型】证明见解析；【变式迁移】；【构造模型】，理由见解析 【分析】本题考查了旋转的性质，全等三角形的判定与性质，三角形的内角和，外角定理，平行线的性质，直角三角形的性质，熟练掌握这些知识点，正确添加辅助线是解题的关键； 【理解模型】先证明三点在同一直线上，则是等边三角形，即可得出结论； 【变式迁移】将绕点A逆时顺旋转到，证明三点在同一直线上，证明，再根据勾股定理得出结论； 【构造模型】先证明是等边三角形，将绕点C顺时针旋转到，连接，再证明，根据角的和差关系得出结论； 【详解】解：理解模型：将绕点A逆时针旋转到， ， 是等边三角形，， ， ， ， ， 三点在同一直线上， 是等边三角形， ， ； 变式迁移：将绕点A逆时顺旋转到， ， ， ， ， 三点在同一直线上， ， 是等腰直角三角形， ， ； 构造模型：，， 是等边三角形， 将绕点C顺时针旋转到，连接， ， 是等边三角形， ， ， ． 题型16 含30°角的直角三角形 解题贴士 在直角三角形中，30°角所对的直角边等于斜边的一半.这个性质常常用于计算三角形的边长，也是证明一边(30°角所对的直角边)等于另一边(斜边)的一半的重要依据.当已知的条件或结论倾向于该性质时，我们可运用转化思想，将线段或角转化，构造直角三角形. 典｜例｜精｜析 例16．（25-26八年级上·江苏泰州·阶段检测）如图，平分，，交于点D，，垂足为点C，若，则的长度为（    ） A．6 B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了角平分线的性质，含角的直角三角形的性质，平行线的性质等，熟练掌握这些性质是解题的关键．过点作于点，根据角平分线的性质可得，再根据平行线的性质可得的度数，再根据含角的直角三角形的性质可得的长度，再证明，即可求出的长． 【详解】解：过点作于点，如图所示： 平分， ， 平分， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， 故选： A． 变｜式｜巩｜固 1．（25-26八年级上·江苏无锡·阶段检测）已知在中，下列的长度不能使唯一确定的是（    ） A．12 B．10 C．13 D．6 【答案】B 【分析】本题考查全等三角形的判定和含30度角的直角三角形的性质． 过点A作于点D， 则． 当或时， 唯一确定；当时， 不唯一． 【详解】∵， 过A作于D， ∴在中， ， 延长至E使， 当时， C与D重合， 为直角三角形， 唯一； 当时， C与E重合， 为等腰三角形， 唯一； 当时， 唯一； 当时， 存在两个不同的点C使成立， 故不唯一； 选项中满足， 不能使唯一确定． 故选：B． 2（21-22八年级上·北京朝阳·期末）如图，中，，，于H，若，则__________． 【答案】6 【分析】根据直角三角形的性质可得和的度数，再根据在直角三角形中，角所对的直角边等于斜边的一半可得和的长，进而可得答案． 【详解】解：∵， ∴， ∵，， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∴． 题型17 利用直角三角形中线的性质求解 解题贴士 因为直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，所以我们在图形中至少可以找到三条相等的线段，进而可以运用等腰三角形的性质解决问题.在解决线段倍分关系的问题时，我们要充分利用直角三角形的这一性质求解. 典｜例｜精｜析 例17（25-26八年级上·江苏南京·期末）如图，在中，，，分别是斜边上的高和中线，下列结论中，错误的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查的是直角三角形斜边上的中线的性质，等腰三角形的性质，直角三角形两锐角互余，根据以上知识逐一分析各选项即可. 【详解】解：∵， 是斜边上的中线， ∴， ∴，，A正确，不符合题意， ∵是斜边上的高， ∴， ∴，故B正确，不符合题意， ∵不一定等于， 是斜边上的高， ∴不一定等于， ∴不一定正确，故C符合题意， ∵， ∴，故D正确不符合题意， 故选：C 变｜式｜巩｜固 1．（25-26八年级上·福建福州·期末）某房梁如图所示，立柱，E，F分别是斜梁，的中点．若，则的长为（　　） A．2.5 B．3 C．4 D．5 【答案】B 【分析】本题考查直角三角形斜边的中线，关键是掌握直角三角形斜边的中线等于斜边的一半．由直角三角形斜边的中线等于斜边的一半，即可计算． 【详解】解：∵， ， ∵是的中点， ， 故选：B． 2．（22-23八年级上·河北石家庄·期末）如图，一架梯子斜靠在竖直墙上，点为梯子的中点，当梯子底端向左水平滑动到位置时，滑动过程中的变化规律是（   ） A．变小 B．不变 C．变大 D．先变小再变大 【答案】B 【分析】本题考查了直角三角形斜边上的中线性质，在直角三角形中，斜边上的中线等于斜边的一半． 不变，直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半． 【详解】解：，为的中点， ． 同理． ， 的长度不变． 故选：B． 基础通关 1．（25-26八年级上·江苏·期末）如图，在中，，为中点，，则的度数为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查的是等腰三角形的性质，根据等腰三角形的三线合一性质即可得出结论． 【详解】解：∵，D为中点， ∴是的平分线， ∵， ∴． 故选：C． 2．（25-26八年级上·吉林长春·期末）如图，在中，，以点为圆心、为半径作弧，交的延长线于点，若，，则的周长是（   ） A．7 B．9 C．12 D．15 【答案】C 【分析】本题主要考查了线段的和差计算与圆的半径性质，熟练掌握“同圆的半径相等”是解题的关键．先根据线段和差求出的长度，再利用已知条件得到、的长度，最后计算的周长． 【详解】解：∵，， ∴， ∵， ∴， ∵以点为圆心、为半径作弧交延长线于点， ∴， ∴的周长， 故选：． 3．（25-26八年级上·黑龙江哈尔滨·期末）如图，在中，，交于点．若，则的长为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了直角三角形性质，等腰三角形判定与性质，熟知相关知识并根据题意灵活应用是解题关键．根据等腰三角形性质得，进而得，根据得，则，在中，根据得，由此即可得出的长． 【详解】解：在中，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， 在中，， ∴， ∴， ∴的长为． 故选：C． 4．（25-26八年级上·甘肃天水·期末）如图，四边形是正方形，是等边三角形，则等于（    ）    A． B． C． D． 【答案】B 【分析】此题考查正方形、等腰三角形的性质以及等边三角形的性质．根据题意知是等腰三角形，，根据三角形内角和定理及等腰三角形性质求底角即可． 【详解】解：四边形是正方形，是等边三角形， ；，， ， 同理， ∴， 故选：B． 5．（25-26八年级上·重庆铜梁·期中）如图，等边三角形的边长为是边上的中线，分别是边上的动点．当取得最小值时，则的度数为（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了轴对称最短路线问题、等边三角形的性质，解决本题的关键是准确找到点的位置．根据对称性和等边三角形的性质，过点B作交于点F，连接，此时取得最小值，借助等边三角形的性质得，，即可求解． 【详解】解：过点B作交于点F，连接， ∵等边三角形的边长为是边上的中线， ∴垂直平分， ∴ ∴ ∴当时，取得最小值 ∵等边三角形的边长为4， ∴， ∴， ∴， ∵是边上的中线， ∴， ∴． 故选：C． 6．（2025八年级上·全国·专题练习）下列能判定为等腰三角形的是（　　） A． B． C． D． ，周长为13 【答案】B 【分析】本题考查等腰三角形的判定，根据等腰三角形的判定定理，有两个角相等或两条边相等的三角形是等腰三角形，同时需满足三角形三边关系． 【详解】解：选项A：∵, ∴, 三个角均不相等, ∴不能判定为等腰三角形； 选项B：∵, ∴, ∴, ∴, ∴为等腰三角形； 选项C：∵, ∴, 不满足三角形三边关系, ∴不能构成三角形, 故不能判定； 选项D：∵, 周长为13, ∴, ∴，但, 不满足三角形三边关系, ∴不能构成三角形, 故不能判定． 故选：B． 7．（25-26八年级上·辽宁葫芦岛·期末）如图，在中，，为的角平分线，，于点E，若，则的长为（   ） A．4 B．6 C．8 D．10 【答案】B 【分析】本题考查了等腰三角形的性质，含的直角三角形的性质．根据等腰三角形的性质得出，结合角平分线得出，求出，，从而得出，即可求解． 【详解】解：∵， ∴， ∵ 为的角平分线， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴． 故选： B． 8．（24-25八年级下·广西来宾·期末）如图，正方形中，若是等边三角形，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了正方形、等边三角形的性质以及等腰三角形的性质等知识，先根据正方形、等边三角形的性质得出，，，再根据等腰三角形的性质可得到，的度数，即可求解． 【详解】解：∵四边形是正方形， ∴， ∵是等边三角形， ∴，， ∴，， ∴，， ∴． 故选：C 9．（25-26八年级上·浙江温州·期中）如图，在等腰中，，点D，E分别为边上的中点，连结，若，则的度数为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了等腰三角形的性质，直角三角形斜边上中线等于斜边一半， 根据等腰三角形的性质可得和直角三角形斜边中线等于斜边一半可得，即可得到结论． 【详解】解：∵，点E为边上的中点， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵D为边上的中点， ∴， ∴， ∴， 故选：A． 10．（25-26八年级上·山西吕梁·期中）如图，厂房屋顶钢架外框是等腰三角形，在其示意图中，，点，分别在钢架，上，，是钢筋支架，立柱于点．若，则下列结论正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查了直角三角形的性质，掌握含30度直角三角形的性质是解题的关键． 根据30度角所对的直角边等于斜边一半可得，即选项A正确，选项B错误；由于没有明确E、F的具体位置，可判断C、D错误． 【详解】解：∵，， ∴，即选项A正确，选项B错误； 由于没有明确E、F的具体位置，无法确定，故C、D错误． 故选A． 11．（25-26八年级上·河北石家庄·期末）如图，在中，，和的平分线相交于点D，过点D作的平行线交于点E，交于点F，若的周长为14，则的周长是________． 【答案】 【分析】本题考查角平分线的性质、等腰三角形的性质，熟练掌握相关性质是解题的关键． 根据角平分线的性质得到、，根据平行线的性质得到、，进而得到、，根据的周长为14，得到，进而得到的周长． 【详解】解：和的平分线相交于点D， 、， ， 、， 、， 、， 的周长为14， ， ， ， ， 的周长为， 故答案为：21． 12．（25-26八年级上·江苏连云港·期末）如图，在中，，以为圆心，为半径画弧，交于点．若、分别是的中点，则的长为______． 【答案】 【分析】本题考查了等腰三角形的性质，直角三角形的性质，连接，由等腰三角形的性质得，进而根据直角三角形的性质即可求解，正确作出辅助线是解题的关键． 【详解】解：如图，连接， 则， ∴是等腰三角形， ∵是的中点， ∴， ∵是的中点，， ∴， 故答案为：． 13．（25-26八年级上·江苏南京·期末）如图，以线段为斜边向同侧作和交于点是线段的中点，连接．若，则_____． 【答案】128 【分析】本题考查斜边上的中线，等边对等角，三角形的内角和定理以及三角形的外角，根据斜边上的中线等于斜边上的一半，得到，进而得到，根据平角的定义，求出的度数，再根据三角形的内角和定理，即可得出结果． 【详解】解：∵，是线段的中点， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴； 故答案为：128． 14．（2026八年级上·江苏无锡·专题练习）如图，在中，，为的角平分线，，于点，若，则的长为______． 【答案】 【分析】本题考查了等腰三角形的性质，含的直角三角形的性质．根据等腰三角形的性质得出，结合角平分线得出，求出，，从而得出，即可求解． 【详解】解：∵， ∴， ∵ 为的角平分线， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴． 故答案为：． 素养提升 1．（24-25八年级上·内蒙古鄂尔多斯·期中）如图，等边三角形的边长为12，为边上一动点，为延长线上一动点，交于点，点为中点．若，则（   ） A．15 B．16 C．18 D．20 【答案】B 【分析】过点作，交于，先证是等边三角形，再证，得，设，设，最后根据在直角三角形中，的角所对的边是斜边的一半，计算，即可求解． 【详解】解：如图，过点作，交于， ∵是等边三角形， ， ， ，， ∴是等边三角形， ， ∵点为中点， ， 在和中 ， ， ， ， ， ， ， ， 设，则，， ， 解得：， ， 故选：B． 【点睛】本题考查了全等三角形的判定与性质，等边三角形的性质和判定，平行线的性质，在直角三角形中，的角所对的边是斜边的一半等知识点，解题的关键是掌握以上知识点． 2．（25-26八年级上·江苏扬州·期末）如图所示，在长方形的对称轴上找点，使得均为等腰三角形则满足条件的点的个数（    ）． A．3 B．4 C．5 D．6 【答案】C 【分析】本题考查线段垂直平分线的性质和等腰三角形的判定与性质，注意分类讨论是解题的关键，利用分类讨论的思想，当时分别找到点P即可． 【详解】解：如图，l为长方形的对称轴，即l为的垂直平分线． 当P在l上时满足． 作的垂直平分线线交于P，满足； 作与l交于两点，满足； 作与l交于两点，满足． 满足题意的点P共5个． 故选：C． 3．（25-26八年级上·江苏常州·期中）如图，四边形中，，于点D，，则__________． 【答案】/度 【分析】本题考查斜边上的中线，等边对等角，等边三角形的判定和性质，熟练掌握相关知识点，是解题的关键，取的中点，连接，斜边上的中线得到，进而得到，等边对等角求出，进而得到，得到为等边三角形，进而得到，，等边对等角，求出的度数，再根据角的和差关系进行求解即可． 【详解】解：取的中点，连接， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴为等边三角形， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴； ∴； 故答案为：． 4．（25-26八年级上·江苏南京·期末）如图，在等边三角形中，M和N分别是线段和上的动点，且，，则的最小值是________． 【答案】2 【分析】本题考查等边三角形的性质、全等三角形的判定与性质、含30度角的直角三角形的性质，垂线段最短等知识，作交于点E，连接，由等边三角形的性质得，，可证明，则，而，所以，则，由，求得，当时，的值最小，此时的值最小，，于是得到问题的答案． 【详解】解：作交于点E，连接，则， ∵是等边三角形，， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴点E在射线上运动， ∴当，即时，的值最小，此时的值最小， ∵， ∴， ∴的最小值为2， 故答案为：2． 5．（25-26八年级上·江苏盐城·期末）在中，，，点在直线上，连接，若，则的度数为___________． 【答案】或 【分析】本题主要考查等腰三角形的性质，分两种情况讨论：当点在线段上时，当点在延长线上时． 【详解】在中，，，则． （Ⅰ）当点在线段上时，如图所示． ∵ ， ∴． ∴． ∴ ． （Ⅱ）当点在延长线上时，如图所示． ∵ ， ∴． ∵， ∴． ∴ ． 综上所述，或． 故答案为：或 6．（25-26八年级上·陕西商洛·阶段检测）若实数、满足等式，且m，n恰好是等腰三角形的两条边的边长，则的周长是_____________． 【答案】10 【分析】本题考查绝对值的性质，等腰三角形的性质，三角形的三边关系；根据绝对值的非负性，由等式求出m和n的值，再根据等腰三角形的性质和三角形三边关系确定三角形的边长，最后计算周长. 【详解】解：∵，，且， ∴， 解得：，， ∵是等腰三角形，且m，n是两条边的边长， ∴分两种情况讨论： ①当腰长为2时，三角形三边为2，2，4， ∵，不满足三角形三边关系， ∴这种情况不成立； ②当腰长为4时，三角形三边为2，4，4， 满足三角形三边关系，周长为． 故答案为：10. 迁移创新 1．（25-26八年级上·江苏南京·期末）生活中有各式各样的钟表．如图①、②分别是圆形、长方形钟表的示意图．在长方形钟表中，，整点时刻“3”“6”“9”“12”分别标在，的中点处．若整点时刻“1”“2”分别标在，边上（不包括端点），则的长度的取值范围是____． 【答案】/ 【分析】分两种情况：如图，当在处时，结合题意可得：，，，，进一步求解可得，如图，当在处时，同理可得：，，，，进一步可得，从而可得答案. 【详解】解：如图，当在处时， 结合题意可得：，，，， ∴， ∴， ∴， 如图，当在处时， 同理可得：，，，， ∴， ∴， ∴， ∴， 综上：整点时刻“1”“2”分别标在，边上（不包括端点），则的长度的取值范围是. 故答案为： 【点睛】本题考查的是含30度角的直角三角形的性质，勾股定理的应用，化为最简二次根式，钟面角的含义，作出符合题意的图形是解本题的关键. 2．（25-26八年级上·江苏盐城·期中）已知：，垂直平分． (1)求证：为等边三角形； (2)求的度数； (3)若点在射线上，当是以为腰的等腰三角形时，则的度数________． 【答案】(1)证明见解析 (2)的度数为 (3)或 【分析】本题考查线段垂直平分线性质，等边三角形的判定和性质、等腰三角形的性质、分类讨论，解题的关键是熟练掌握． （1）根据平角的性质得，根据线段垂直平分线性质得，即得是等边三角形； （2）根据垂直平分线的性质可得，即可求解； （3）分当时，当时，两种种情况讨论，解答即可． 【详解】（1）证明：， ， 垂直平分， ， 为等边三角形； （2）解：由（1）知，为等边三角形， ， 垂直平分， ； （3）解：是以为腰的等腰三角形， ∴当时，如下图： ∴， ； 当时，如下图： ∴， 的度数为或． 故答案为：或． 3．（25-26八年级上·江苏南京·阶段检测）（1）如图，在中，，垂足为，，证明根据小明的思考，请继续完成小明的证明； （2）如图，在中，平分，，证明． （3）在中，是的一点，下列说法正确的______．（填写所有正确的选项） A．若且，则； B．若平分且，则； C．若且、，则； D．若平分且、，则． 【答案】（1）见解析；（2）见解析；（3）A、B、C 【分析】本题考查了全等三角形的判定和性质，等腰三角形的性质，直角三角形的性质，等边三角形的判定和性质，角平分线的定义，正确作出辅助线是解题的关键． （）如图②，分别延长至，使得，，连接，可得，进而证明，得到，即可得，得到，即可求证； （）分别在上取点，使得，，同理证明，得到，即得，进而可得，即可得，即可求证； （）仿照（）、（）的方法，分别画出图形分别证明即可求解． 【详解】（）证明：如图，分别延长至，使得，，连接， ∵， ∴， 即， ∵， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴； （）如图，分别在上取点，使得，， ∵， ∴， 即 ， ∵平分， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴； （）、如图，在上取，， ∵， ∴， 即， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， 即， ∵，， ∴， ∴， ∴，故选项正确； 、如图，延长，使，，连接， ∵， ∴， 即， ∵平分， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴，故选项正确； 、如图，取的中点，连接， ∵， ∴， ∴，， ∵、， ∴，， ∴和为等边三角形， ∴， ∴，故选项正确； 、如图，取的中点，连接， ∵平分， ∴， 因条件无法证明， 故无法得到， ∴无法得到，故选项错误； ∴正确的说法是， 故答案为：． 1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 $ 第一章 三角形 1.5 等腰三角形 课标要点 1.掌握等腰、等边三角形的性质与判定，分清等边对等角、等角对等边的因果逻辑，理解等腰三角形三线合一。 2.掌握直角三角形核心性质：两锐角互余、斜边上中线等于斜边一半、30° 直角边等于斜边一半。 3.能利用两类三角形定理计算边长、角度，结合全等完成证明；等腰题型会分类讨论，检验解的合理性。 学习重难点 重点： 1.等腰三角形：等边对等角、等角对等边、三线合一；等边三角形性质与判定。 2.直角三角形三大基础性质，直接套用计算边角。 3.基础边角计算、简单全等证明。 难点： 1.等腰分类讨论：区分腰 / 底、顶角 / 底角，结合三边关系、内角和取舍答案。 2.三线合一、斜边中线辅助线构造，挖掘隐藏相等线段。 3.等腰 + 直角三角形综合题型、动点几何压轴题。 知识点一 等腰三角形的性质与判定 定义：有两条边_______的三角形是等腰三角形，相等的两条边叫做腰，另一条边叫做底边，两腰的夹角叫做顶角，底边与腰的夹角叫做底角. 等腰三角形性质定理： 1）等腰三角形的两个底角_______（简称“等边对等角”）. 2）等腰三角形的______________、______________、______________相互重合.（简称“三线合一”）. 等腰三角形的判定定理： 1）定义法：有两边_______的三角形是等腰三角形； 2）判定定理：如果一个三角形有两个角_______，那么这两个三角形是等腰三角形（简称“等角对等边”）. 易错提醒 1）等腰三角形的边有腰、底之分，角有顶角、底角之分，若题目中的边没有明确是底还是腰，角没有明是顶角还是底角，需要分类讨论. 2）在等腰三角形问题中未分类讨论或未考虑三角形三边关系而出错. 3）等腰三角形的“三线合一”指的是底边上的高，底边上的中线和顶角平分线互相重合，但对于腰上的高、腰上的中线、底角平分线却不一定成立.不要盲目运用“三线合一”的性质解题. 即学即练 1．（25-26八年级上·江苏盐城·期末）如图，中，，，点在边上，的周长为13，则下列结论正确的是（   ） A． B． C． D． 2．（25-26八年级上·江苏盐城·期末）已知等腰三角形的周长为12，一边长为5，则它的腰长为（   ） A．2或5 B．5 C．3.5 D．5或3.5 3．（25-26八年级上·江苏南京·期末）如图，在中，，于点.下列结论不一定正确的是（   ） A． B． C． D． 知识点二 等边三角形的性质与判定 定义：三条边都相等的三角形叫等边三角形. 等边三角形的性质：等边三角形的三条边_______，三个内角都_______，并且每个内角都是_______. 等边三角形的判定（文字版）： 1）定义法：三条边都_______的三角形是等边三角形； 2）等角法：三个角都_______的三角形是等边三角形. 3）等腰三角形法：有一个角是_______的等腰三角形是等边三角形. 教材延伸 1）等边三角形是特殊的等腰三角形，等边三角形具有等腰三角形的一切性质. 2）等边三角形是轴对称图形，并且有3条对称轴； 3）等边三角形的内心、外心、重心和垂心重合． 4）等边三角形面积的求解方法：S正三角形= 即学即练 1．（25-26八年级上·江苏苏州·阶段检测）如图，是等边三角形，点是边上任意一点，于点，于点．若，则为（   ） A．4 B．5 C．6 D．3 2．（25-26八年级上·四川泸州·阶段检测）如图，等边三角形与互相平行的直线a，b相交，若，则的大小为（    ）． A． B． C． D． 3．（25-26八年级上·江苏扬州·期末）如图，是等边三角形，若，，，则_____． 知识点三 直角三角形的性质 性质 直角三角形两个锐角_______. 直角三角形斜边上的中线等于斜边的_______. 在直角三角形中，30°角所对的直角边等于斜边的_______. 图示 几何描述 在△ABC，∠C=90° ∴∠A+∠B=90° 在△ABC，∠ACB=90°，CD为AB边的中线，∴ 在△ABC，∠C=90°，∠B=30°， ∴ 即学即练 1．（25-26八年级上·陕西榆林·期末）如图，在中，，，的平分线交于点，若，则的长是_________． 2．（25-26八年级上·江苏扬州·阶段检测）如图，在中，，，，为边的中点，点，分别在边，上，，则四边形的面积为（    ） A．16 B． C．8 D． 题型01 等腰三角形的定义与分类讨论问题 解题贴士 等腰三角形的边有腰、底之分，角有顶角、底角之分，若题目中的边没有明确是底还是腰，角没有明是顶角还是底角，需要分类讨论. 典｜例｜精｜析 例1．（25-26八年级上·江苏常州·期中）等腰三角形的两边长分别为和，则它的周长是______． 变｜式｜巩｜固 1．（25-26八年级上·江苏连云港·期末）已知等腰三角形一腰的垂直平分线与另一腰所在直线的夹角为，则此等腰三角形的顶角为________． 2．（24-25八年级上·北京·期中）等腰三角形的一个内角是，则它顶角的度数是______． 3．（25-26八年级上·新疆乌鲁木齐·期末）等腰三角形的周长为，若一条边长为，则等腰三角形的底边长是_____________ ． 4．（25-26八年级上·浙江绍兴·期中）等腰三角形一腰上的中线将这个等腰三角形的周长分成和两部分，则等腰三角形的底边长为________ 题型02 等边对等角 典｜例｜精｜析 例2．（25-26八年级上·江苏扬州·期末）如图，中，，点D是BC上一点，BD的垂直平分线交AB于点E，将沿AD折叠，点C恰好与点E重合，则度数为___． 变｜式｜巩｜固 1．（25-26八年级上·江苏泰州·期末）在中，，则_________（填“”“”或“”）． 2．（25-26八年级上·江苏泰州·期末）在中，，，则的度数为______． 3．（25-26八年级上·江苏扬州·期末）如图，点三点在同一直线上，，，．若，，则的度数为_______°． 题型03 三线合一 典｜例｜精｜析 例3．（24-25八年级上·河南焦作·期中）如图，为了让电线杆垂直于地面，工程人员的操作方法通常是：从电线杆上一点A往地面拉两条长度相等的固定绳与，当固定点B，C到杆脚E的距离相等，且点B，E，C在同一直线上时，电线杆．工程人员这种操作方法的依据是（   ） A．等角对等边 B．等腰三角形三线合一的性质 C．两点之间线段最短 D．垂线段最短 变｜式｜巩｜固 1．（24-25八年级上·江苏南通·期中）如图，在中，，点是边上的任意一点，则的长不可能是（   ） A．5 B．6 C．7 D．8 2．（25-26八年级上·江苏淮安·期中）如图，在中，，为中点，，则的度数为（　　） A． B． C． D． 3．（25-26八年级上·江苏无锡·期中）如图，是的平分线，于，连接，若的面积为，则的面积为（　　） A． B． C． D．不能确定 题型04 等角对等边 典｜例｜精｜析 例4．（25-26八年级上·江苏常州·期中）如图，在中，，点为上一点，连接，且，若的周长为，则的周长为______． 变｜式｜巩｜固 1．（22-23八年级上·北京·期末）如图，在中，，高，交于点H．若，，则_______． 2．（25-26八年级上·江苏徐州·阶段检测）如图，在等腰中，，与的平分线交于点，过点做，分别交、于点、，则的周长是___________． 题型05 找出图中的等腰三角形 典｜例｜精｜析 例5．（25-26八年级上·江苏苏州·阶段检测）如图，平分，点E在上，且；找出图形中的等腰三角形，并加以证明． 变｜式｜巩｜固 1．（24-25八年级上·江苏南京·期中）如图，已知中，，，，若过的顶点的一条直线将分割成两个三角形，使其中有一个边长为6的等腰三角形，则这样的直线最多可画（   ） A．2条 B．3条 C．4条 D．5条 2．（2024八年级下·全国·专题练习）如图，，，则图中的等腰三角形有 ___________个． 3．（2023八年级上·江苏·专题练习）如图，在中，，，点在的垂直平分线上，平分，则图中等腰三角形的个数是(　　) A．3 B．4 C．5 D．6 题型06 格点中画等腰三角形 解题贴士 确定等腰三角形的个数问题是等腰三角形中的常见题，通常是“两定一动”类型，则以两定点所连线段进行分类讨论，①当该线段是等腰三角形的底时，作该线段的垂直平分线进行找点；②当该线段是等腰三角形的边时，分别以两定点为圆心，两定点所连线段为半径作圆来进行找点. 典｜例｜精｜析 例6．（25-26八年级上·江苏苏州·期中）如图，在正方形网格中，网格线的交点称为格点．已知是两格点，如果也是图中的格点，且使得为等腰三角形，则点的个数是（   ） A．5 B．6 C．7 D．8 变｜式｜巩｜固 1．（25-26八年级上·江苏苏州·周测）如图，，为方格纸中格点上的两点，若以为边，在方格中取一点（在格点上），使得为等腰三角形，在图中标出所有符合条件的点． 2．（25-26八年级上·湖北恩施·期中）如图是的正方形网格，正方形的顶点为格点，请仅用无刻度直尺按要求完成以下作图． (1)在图1中选择格点C，D，以A，B，C，D为顶点的四边形是轴对称图形（画出一种即可）． (2)在图2中选择格点P，使得为等腰三角形． ①画出一个符合条件的等腰三角形； ②填空：满足为等腰三角形的格点P共有_________个． 3．（2023·四川广安·二模）如图是由边长为1的小等边三角形构成的网格，每个小等边三角形的顶点为格点，线段的端点都在格点上．要求以为边画一个等腰三角形，且另外一个顶点在格点上．请在下面的网格图中画出4种不同的设计图形． 题型07 等腰三角形的证明 典｜例｜精｜析 例7．（25-26八年级上·江苏扬州·期末）已知：如图，，、相交于点O，求证：． 变｜式｜巩｜固 1．（25-26八年级上·江苏扬州·期末）如图，在中，点D为边上一点，点E为边中点，连接并延长至点F使得，连接． (1)求证：． (2)若平分，，求线段的长度． 2．（25-26八年级上·全国·期中）如图，B，E，C，F是直线l上的四点，相交于点G，，，．求证： (1)； (2)是等腰三角形． 3．（25-26八年级上·陕西安康·期中）如图，在中，平分，连接，且，过点D作交于点E．求证： (1)为等腰三角形； (2)． 题型08 等腰三角形判定与性质的综合 典｜例｜精｜析 例8．（25-26八年级上·江苏泰州·期末）如图，在中，，点P，Q分别在射线，上，将线段绕点顺时针旋转得到线段． (1)如图1，当点与点重合时，求证：是的中点； (2)如图2，当点与点重合时，请只使用圆规一次，在图2中画出点的对应点的位置（保留作图痕迹，不写作法）； (3)如图3，若点也绕着点顺时针旋转某个角度后刚好落在边上的点，当点落在边时，连接，过作交于点，求证：． 变｜式｜巩｜固 1．（25-26八年级上·江苏扬州·期末）【概念】直角三角形中，过直角顶点和斜边上一点的线段将直角分成两个锐角，若这两个锐角的度数分别等于此直角三角形中的另外两个内角的度数，则称此线段为直角三角形的“等锐角线”． 【辨析】图1中有_________条“等锐角线”； 图2中若是的“等锐角线”，则_________； 【探究】如图3，中，，，的“等锐角线”交于点，画出示意图，写出线段与的数量关系，并说明理由． 2．（25-26八年级上·江苏宿迁·期末）如图，中，，现有两点、分别从点、点同时出发，沿三角形的边顺时针运动，已知点的速度为，点的速度为．点第一次到达点时，同时停止运动． (1)点运动几秒时，两点重合？ (2)点、运动几秒时，可得到等边？ (3)当点、在边上运动时，能否得到以为底边的等腰？如存在，请求出此时点、点运动的时间． 题型09 根据等边三角形的性质求长度 典｜例｜精｜析 例9．（25-26八年级上·辽宁葫芦岛·期末）如图所示，是等边三角形，D为AB的中点，，垂足为E．若，则的边长为（   ） A．40 B．30 C．20 D．10 变｜式｜巩｜固 1．（25-26八年级上·江苏宿迁·阶段检测）如图，在等边中，是边上的中线，延长至点，使，若，则 （   ） A． B． C． D． 2．（25-26八年级上·北京·阶段检测）如图所示，在等边中，E是边的中点，于点D，P是上的动点，若，则的最小值为_____． 题型10 根据等边三角形的性质求角度 解题贴士 与等边三角形有关的角度计算常常要用到等边三角形的三个角相等，并且每个角都等于60，这一点是解题的关键. 典｜例｜精｜析 例10．（25-26八年级上·甘肃天水·期中）如图，是等边三角形的中线，，则______． 变｜式｜巩｜固 1．（25-26八年级上·江苏连云港·期中）如图，是等边三角形，若，，，则__________． 2．（25-26八年级上·江苏常州·期中）如图，中，，将绕点逆时针旋转得，点刚好落在上，则的大小为___________． 3（25-26八年级上·江苏南通·期中）如图，是等边三角形，点D在边上，点E在边上，作，射线交的延长线于点F，若，则的度数为______． 题型11等边三角形的证明 典｜例｜精｜析 例11．（25-26八年级上·江苏南京·阶段检测）如图，在中，，点、在边上（点在点的左侧），． (1)证明：≌； (2)求证：是等边三角形． 变｜式｜巩｜固 1．（25-26八年级上·江苏苏州·期中）如图，在锐角中，点是边上一点，于点，与交于点． (1)求证：为等腰三角形； (2)若，请判断的形状，并说明理由． 2．（25-26八年级上·吉林辽源·期中）如图，已知为的中点，，，、为垂足，且，，求证：是等边三角形． 题型12 等边三角形中的多结论问题 典｜例｜精｜析 例12．（25-26八年级上·江苏宿迁·阶段检测）如图，将含有角的直角三角尺绕顶点A逆时针旋转到的位置，使点B的对应点D落在边上，连接，则下列结论：①；②；③为的垂直平分线；④．其中所有正确结论的序号是（   ） A．①②③④ B．①②④ C．②③④ D．①③④ 变｜式｜巩｜固 1．（25-26八年级上·江苏南京·阶段检测）如图，和都是等边三角形且点在一条直线上，相交于点，与相交于点，与相交于点，连接，则：①，②；③平分；④平分，正确的是（  ） A．①② B．①②③ C．①②④ D．①②③④ 2．（25-26八年级上·江苏无锡·阶段检测）如图，在中，D是的中点，，与交于点O，且．下列说法：①的垂直平分线一定与相交于点E；②；③当E为中点时，是等边三角形；④当E为中点时，．其中，正确的是（   ） A．①②③ B．①②④ C．③④ D．①②③④ 题型13 等边三角形判定与性质综合 解题贴士 题目图形中有两个以上的以图形中的线段为边向图形同侧或异侧作的特殊图形(特殊图形包括等边三角形、等腰三角形、等腰直角三角形等)，在分析条件时，经常先寻找图形中有无全等三角形（手拉手模型），若有，这对全等三角形的性质常常是解题的关键所在. 典｜例｜精｜析 例13．（25-26八年级上·江苏常州·期末）如图，在中，，，是的平分线，E为上一点，以为一边，且在下方作等边，连接． (1)求证：； (2)求的度数． 变｜式｜巩｜固 1．（25-26八年级上·江苏连云港·阶段检测）如图，在中，于点D，于点E，F为的中点，连接，． (1)求证：； (2)若，．求的周长． 2．（25-26八年级上·江苏苏州·期中）如图，在中，D为边上一点，，连接，上有一点F，满足． (1)求证：； (2)，点E为的中点，，求的长． 题型14 等腰三角形与动点问题 典｜例｜精｜析 例14．（25-26八年级上·江苏无锡·阶段检测）如图，，点A是延长线上的一点，，动点P从点A出发沿以的速度移动，动点Q从点O出发沿以的速度移动，如果点P、Q同时出发，用t(s)表示移动的时间，当t等于多少时，是等腰三角形？（） A．3 B．3或6 C．6 D．6或12 变｜式｜巩｜固 1．（25-26八年级上·江苏苏州·阶段检测）如图，，内有一定点P，且，在上有一动点上有一动点R．请你思考的周长最小值为_____________． 2．（24-25七年级下·四川成都·期中）如图，在中，，，点从点出发以每秒速度向点运动，点从点同时出发以每秒速度向点运动，其中一个动点到达端点，另一个动点也随之停止，当是以为底的等腰三角形时，运动的时间是___秒． 3．（24-25七年级上·山东泰安·期末）如图，在中，，，若是的中点，动点在上移动，动点在上移动，且． (1)证明：； (2)四边形面积是否发生变化，若发生变化说明理由；若不变，请你求出四边形的面积． 题型15 手拉手模型 解题贴士 条件 △OAB，△OCD均是等腰三角形， OA=OB，OC=OD，∠AOB=∠COD=α 结论 △OAC≌△OBD AC=BD ∠AEB=α EO平分∠AED 典｜例｜精｜析 例15．（22-23八年级上·江苏无锡·期中）综合实践：在学习全等三角形的知识时，数学兴趣小组发现这样一个模型：它是由两个共顶点且顶角相等的等腰三角形构成的，在相对位置变化的同时，始终存在一对全等三角形，兴趣小组成员经过研讨给出定义：如果两个等腰三角形的顶角相等，且顶角的顶点互相重合，则称此图形为“手拉手全等模型”，因为顶点相连的四条边，可以形象地看作两双手，所以通常称为“手拉手模型”，如图1，与都是等腰三角形，其中，则． 【初步把握】如图2，与都是等腰三角形，，，且，请直接写出图中的一对全等三角形： ； 【深入研究】如图3，已知，以、为边分别向外作等边和等边，、交于点Q，求的大小． 【拓展延伸】如图4，在两个等腰直角和中，，，，连接，，交于点P，请判断和的关系，并说明理由． 变｜式｜巩｜固 1．（25-26八年级上·江苏苏州·期末）【手拉手模型】由两个顶角相等且有公共顶角顶点的等腰三角形组成的图形，如果把它们的底角顶点连接起来，则在相对位置变化的过程中，始终存在一对全等三角形，这种模型称为“手拉手模型”． (1)如图1，在△和△中，，，，连接、，当点落在边上，且、、三点共线时，与△全等的三角形是 ，的度数为 ． (2)如图2，已知△和△为等腰直角三角形，其中，连接、，线段和交于点． ①证明：且； ②如图3，连接、，过点作，垂足为，垂线交于点，请你判断和的数量关系 ，并说明理由． 2．（24-25八年级上·江苏扬州·期中）“数学区别于其它学科最主要的特征是抽象与推理”，几何学习尤其需要我们从复杂的问题中进行抽象，形成一些基本几何模型，用类比等方法，进行再探究、推理，以解决新的问题． 【认识模型】如图1，和中，，，，连接、．这里与有一个公共的顶点，其中的一个三角形通过旋转可以和另一个三角形重合，我们将这样的图形称为“手拉手模型”． 【理解模型】如图2，点P是等边外一点，．求证：． 聪明的小明同学，想到可以通过辅助线构造“手拉手模型”来解决这个问题，将绕点A逆时针旋转到，使点B与点C重合，只要证得P、C、D三点在同一直线上，进而就可以证明为等边三角形，请你根据小明的思路，写出完整的推理过程． 【变式迁移】如图3，四边形中，，，连接．请直接写出、、之间的数量关系：________． 【构造模型】如图4，在中，，，是外一点，若线段、、满足关系式，则的度数为________，请说明理由． 题型16 含30°角的直角三角形 解题贴士 在直角三角形中，30°角所对的直角边等于斜边的一半.这个性质常常用于计算三角形的边长，也是证明一边(30°角所对的直角边)等于另一边(斜边)的一半的重要依据.当已知的条件或结论倾向于该性质时，我们可运用转化思想，将线段或角转化，构造直角三角形. 典｜例｜精｜析 例16．（25-26八年级上·江苏泰州·阶段检测）如图，平分，，交于点D，，垂足为点C，若，则的长度为（    ） A．6 B． C． D． 变｜式｜巩｜固 1．（25-26八年级上·江苏无锡·阶段检测）已知在中，下列的长度不能使唯一确定的是（    ） A．12 B．10 C．13 D．6 2（21-22八年级上·北京朝阳·期末）如图，中，，，于H，若，则__________． 题型17 利用直角三角形中线的性质求解 解题贴士 因为直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，所以我们在图形中至少可以找到三条相等的线段，进而可以运用等腰三角形的性质解决问题.在解决线段倍分关系的问题时，我们要充分利用直角三角形的这一性质求解. 典｜例｜精｜析 例17（25-26八年级上·江苏南京·期末）如图，在中，，，分别是斜边上的高和中线，下列结论中，错误的是（    ） A． B． C． D． 变｜式｜巩｜固 1．（25-26八年级上·福建福州·期末）某房梁如图所示，立柱，E，F分别是斜梁，的中点．若，则的长为（　　） A．2.5 B．3 C．4 D．5 2．（22-23八年级上·河北石家庄·期末）如图，一架梯子斜靠在竖直墙上，点为梯子的中点，当梯子底端向左水平滑动到位置时，滑动过程中的变化规律是（   ） A．变小 B．不变 C．变大 D．先变小再变大 基础通关 1．（25-26八年级上·江苏·期末）如图，在中，，为中点，，则的度数为（    ） A． B． C． D． 2．（25-26八年级上·吉林长春·期末）如图，在中，，以点为圆心、为半径作弧，交的延长线于点，若，，则的周长是（   ） A．7 B．9 C．12 D．15 3．（25-26八年级上·黑龙江哈尔滨·期末）如图，在中，，交于点．若，则的长为（   ） A． B． C． D． 4．（25-26八年级上·甘肃天水·期末）如图，四边形是正方形，是等边三角形，则等于（    ）    A． B． C． D． 5．（25-26八年级上·重庆铜梁·期中）如图，等边三角形的边长为是边上的中线，分别是边上的动点．当取得最小值时，则的度数为（　　） A． B． C． D． 6．（2025八年级上·全国·专题练习）下列能判定为等腰三角形的是（　　） A． B． C． D． ，周长为13 7．（25-26八年级上·辽宁葫芦岛·期末）如图，在中，，为的角平分线，，于点E，若，则的长为（   ） A．4 B．6 C．8 D．10 8．（24-25八年级下·广西来宾·期末）如图，正方形中，若是等边三角形，则（    ） A． B． C． D． 9．（25-26八年级上·浙江温州·期中）如图，在等腰中，，点D，E分别为边上的中点，连结，若，则的度数为（    ） A． B． C． D． 10．（25-26八年级上·山西吕梁·期中）如图，厂房屋顶钢架外框是等腰三角形，在其示意图中，，点，分别在钢架，上，，是钢筋支架，立柱于点．若，则下列结论正确的是（    ） A． B． C． D． 11．（25-26八年级上·河北石家庄·期末）如图，在中，，和的平分线相交于点D，过点D作的平行线交于点E，交于点F，若的周长为14，则的周长是________． 12．（25-26八年级上·江苏连云港·期末）如图，在中，，以为圆心，为半径画弧，交于点．若、分别是的中点，则的长为______． 13．（25-26八年级上·江苏南京·期末）如图，以线段为斜边向同侧作和交于点是线段的中点，连接．若，则_____． 14．（2026八年级上·江苏无锡·专题练习）如图，在中，，为的角平分线，，于点，若，则的长为______． 素养提升 1．（24-25八年级上·内蒙古鄂尔多斯·期中）如图，等边三角形的边长为12，为边上一动点，为延长线上一动点，交于点，点为中点．若，则（   ） A．15 B．16 C．18 D．20 2．（25-26八年级上·江苏扬州·期末）如图所示，在长方形的对称轴上找点，使得均为等腰三角形则满足条件的点的个数（    ）． A．3 B．4 C．5 D．6 3．（25-26八年级上·江苏常州·期中）如图，四边形中，，于点D，，则__________． 4．（25-26八年级上·江苏南京·期末）如图，在等边三角形中，M和N分别是线段和上的动点，且，，则的最小值是________． 5．（25-26八年级上·江苏盐城·期末）在中，，，点在直线上，连接，若，则的度数为___________． 6．（25-26八年级上·陕西商洛·阶段检测）若实数、满足等式，且m，n恰好是等腰三角形的两条边的边长，则的周长是_____________． 迁移创新 1．（25-26八年级上·江苏南京·期末）生活中有各式各样的钟表．如图①、②分别是圆形、长方形钟表的示意图．在长方形钟表中，，整点时刻“3”“6”“9”“12”分别标在，的中点处．若整点时刻“1”“2”分别标在，边上（不包括端点），则的长度的取值范围是____． 2．（25-26八年级上·江苏盐城·期中）已知：，垂直平分． (1)求证：为等边三角形； (2)求的度数； (3)若点在射线上，当是以为腰的等腰三角形时，则的度数________． 3．（25-26八年级上·江苏南京·阶段检测）（1）如图，在中，，垂足为，，证明根据小明的思考，请继续完成小明的证明； （2）如图，在中，平分，，证明． （3）在中，是的一点，下列说法正确的______．（填写所有正确的选项） A．若且，则； B．若平分且，则； C．若且、，则； D．若平分且、，则． 1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 $