专题 3.1 勾股定理的探究（知识梳理 + 题型精析 +同步检测）- 2026-2027学年苏科版八年级数学上册基础知识专项突破讲与练

本初中数学讲义聚焦勾股定理的探究，以方格面积割补法为起点，梳理定理推导过程，涵盖赵爽弦图证明、基础边长计算、数轴表示无理数及综合应用，构建从探究到应用的完整学习支架。 资料亮点在于分层题型设计与素养融合，通过方格割补培养几何直观（数学眼光），无图分类讨论强化推理意识（数学思维），梯子模型等实际问题发展应用意识（数学语言）。课中辅助教师分层教学，课后助力学生查漏补缺，巩固知识。

专题 3.1 勾股定理的探究（知识梳理 + 题型精析 +同步检测） 目录 一.学习目标与重难点 1 （一）学习目标 1 （二）重难点 2 二.知识梳理与解读 2 【知识点一】勾股定理的探究（方格面积割补法） 2 【知识点二】 核心易错点 2 【知识点三】勾股定理经典证明（赵爽弦图·苏科版重点） 2 【知识点四】基础应用 3 三.题型精析（夯实基础） 3 【题型 1】直接利用勾股定理求边长 3 【题型 2】方格面积法应用 5 【题型 3】数轴上表示无理数 9 四.题型精析（综合提升） 11 【题型 4】勾股定理实际应用（梯子模型） 11 【题型 5】无图分类讨论题型 14 【题型 6】赵爽弦图综合计算 17 五.同步检测 21 （一）选择题（本大题共10个小题,每小题3分,共30分） 21 （二）填空题（本大题共8小题，每小题4分，共32分） 27 （三）解答题（本大题共6小题，共58分） 32 一.学习目标与重难点 （一）学习目标 1. 经历方格纸割补、面积探究过程，理解勾股定理的推导由来，掌握数形结合、面积法的数学思想。 2. 熟练掌握勾股定理的文字语言、符号语言，熟记直角三角形三边数量关系。 3. 能够利用勾股定理及其变形公式，已知直角三角形任意两边，准确求解第三边长。 4. 掌握利用勾股定理在数轴上构造、表示无理数的方法。 5. 理解赵爽弦图证法，能规范完成勾股定理基础证明，会用割补法求解方格正方形面积。 （二）重难点 重点：勾股定理的内容理解与基本应用；利用勾股定理求直角三角形边长。 难点：利用割补法探究、证明勾股定理；无图题型的分类讨论思想；数轴上无理数的构造。 二.知识梳理与解读 【知识点一】勾股定理的探究（方格面积割补法） 在方格纸中，以直角三角形的三条边为边长，分别向外作正方形。通过割补法计算三个正方形的面积，可得出核心结论：直角三角形两条直角边上的正方形面积之和，等于斜边上正方形的面积。 设直角三角形的两条直角边长为，斜边长为，对应正方形面积分别为、、。 面积关系： 勾股定理：直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方。 符号语言：在中，，则 。 公式变形：，。 【知识点二】 核心易错点 1. 勾股定理仅适用于直角三角形，锐角、钝角三角形不适用； 2. 公式中必须是斜边（直角所对的边，三角形最长边），不可盲目套公式； 3. 边长为正数，计算出平方后必须开方，舍去负根； 4. 无图题型需分类讨论：已知两边可能为两直角边，也可能一直角边一斜边。 【知识点三】勾股定理经典证明（赵爽弦图·苏科版重点） 将4个全等的直角三角形（直角边，斜边）拼成一个大正方形，中间围成一个小正方形。 ① 大正方形面积（边长为）： ② 大正方形面积拆分：4个直角三角形面积 + 中间小正方形面积 联立可得勾股定理：。 核心思想：等面积法，一图两算。 【知识点四】基础应用 1. 边长计算：已知直角三角形任意两边，求第三边； 2. 数轴构图：构造直角边为正整数的直角三角形，将无理数转化为斜边长，在数轴上表示等无理数。 三.题型精析（夯实基础） 【题型 1】直接利用勾股定理求边长 【例题1】（25-26八年级下·广西钦州·期中）如图，某超市为了吸引顾客，在超市门口离地高的墙上，装有一个由传感器控制的门铃，如图1所示，人只要移至该门口及以内时（图2中），门铃就会自动发出语音“欢迎光临”．如图2，一个身高的学生走到处，门铃恰好自动响起，过点作于点，求该学生头顶到门铃的距离． 【答案】该学生头顶到门铃的距离为 【分析】根据题意构造出直角三角形，利用勾股定理即可解答． 解：如图，由题意，得 ， ， ， 在Rt中， 根据勾股定理，得 ， 故该学生头顶到门铃的距离为． 【变式1】（25-26八年级下·陕西榆林·期末）已知某个直角三角形的斜边长为，一条直角边的长为，则另一条直角边的长为（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据勾股定理计算即可得出结果． 解：另一条直角边长为． 【变式2】（24-25八年级上·全国·期末）在中，两条直角边的长分别为和，则第三边的长为______；斜边上的高为______． 【答案】 【分析】先利用勾股定理求解斜边长，再根据三角形面积的两种表示方法求解斜边上的高. 解：在中，两条直角边长为和， ∴斜边长为. 设斜边上的高为. 根据三角形面积公式，可得：，解得. 【变式3】（25-26八年级下·山东滨州·期中）如图，在中，边上的高． （1）根据图1，求的长； （2）根据图2，求的长． 【答案】（1）21；（2）9 【分析】（1）利用勾股定理求出，再由求解； （2）利用勾股定理求出，再由求解． （1）解：如图1，当在三角形的内部时， 在中,      在中,      ∴； （2）如图2，当在三角形的外部时， 在 中,      在 中,      ∴． 【题型 2】方格面积法应用 【例题2】（24-25八年级下·全国·课后作业）如图，图中所有的三角形都是直角三角形，四边形都是正方形．已知正方形A，B，C，D的边长分别是12，16，9，12，求最大正方形E的面积． 【答案】 【分析】本题主要考查了勾股定理，根据勾股定理可求出正方形F和正方形G的边长，进而可求出正方形E的边长，再根据正方形面积计算公式可得答案． 解：如图所示，∵正方形A，B的边长分别为12，16， ∴， 在中，由勾股定理得， ∴正方形F的边长为20， 同理可得正方形G的边长为， ∴正方形E的边长为， ∴正方形E的面积为． 【变式1】（24-25八年级下·辽宁盘锦·期中）如图，以的三边为边长向外作正方形，三个正方形的面积分别为，，，若，，则的值为（     ） A．4 B．3 C．22 D．不能确定 【答案】A 【分析】先由正方形的面积公式将，，，分别用含、、的式子表示，再根据勾股定理得到、、之间的等式，再转化为，，之间的等式，代入数值，即可求出的值． 解：∵以的三边为边长向外作正方形，三个正方形的面积分别为，，， ∴，，， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴． 【变式2】（25-26八年级下·福建莆田·期中）如图，在四边形中，，分别以四边形的四条边为边向外作四个正方形，面积分别为，，，．若，，则______． 【答案】 解：如图，连接， 由题意可知：，，，． 在直角和中，， 即， ，， ． ∴． 【变式3】（24-25八年级下·广东东莞·阶段检测）（1）如图（1），分别以三边为边向外作三个正方形，其面积分别用，，表示，写出，，之间关系．（不必证明） （2）如图（2），分别以三边为直径向外作三个半圆，其面积分别用，，表示，确定它们的关系证明； （3）如图（3），分别以三边为边向外作正三角形，其面积分别用，，表示，确定它们的关系并证明． 【答案】（1）；（2）；（3） 【分析】（1）运用勾股定理，正方形的面积计算方法即可求解； （2）运用勾股定理，圆面积的计算方法即可求解； （3）运用勾股定理，等边三角形的面积的计算方法即可求解． 解：（1）根据题意，是直角三角形， ∴， ∵，，， ∴； （2）根据题意可得，， ∵，，， ∴； （3）根据题意可得，， ∵以三边为边向外作正三角形， ∴如图所示，过点作于点， ∴，在中，， ∴， ∴， 同理，，， ∴． 【点拨】本题主要考查勾股定理的运用，掌握勾股定理，几何图形面积的计算方法是解题的关键． 【题型 3】数轴上表示无理数 【例题3】（25-26八年级下·全国·课后作业）甲同学用如图①方法作出点，在中，，，，且点，，在同一数轴上，． （1）甲同学所做的点表示的数是_______； （2）仿照甲同学的做法，请你在如图②所示的数轴上作出表示的点． 【答案】（1）；（2）点表示的数是． 【分析】本题主要考查了勾股定理、用数轴上的点表示无理数． （1）根据勾股定理可得，可知，所以点表示的数是； （2）构造，使，，，根据勾股定理可得，所以点表示的数是． （1）解：在中，，，， ， ， 点表示的数是， 故答案为：； （2）解：如下图所示，在中，，，， ， 【变式1】（25-26八年级下·辽宁盘锦·期中）如图，长方形放置在数轴上，已知，，以点为圆心，长为半径画弧，交数轴于点，则点表示的数为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】先由勾股定理得到的长，然后由作图步骤可知，再结合数轴即可得解． 解：，， ， 由作图步骤可知，， 点表示的数为． 【变式2】（24-25八年级下·福建莆田·期中）小明学了利用勾股定理在数轴上找一个无理数的准确位置后，又进一步进行练习：首先画出数轴，设原点为点，在数轴上的个单位长度的位置找一个点，然后过点作，且．以点为圆心，为半径作弧，设与数轴右侧交点为点，则点的位置在数轴上为_______． 【答案】 【分析】利用勾股定理计算出，从而得到，在求出对应的数即可． 解：由题意可知，，， 由勾股定理可得，， ∵， ∴点对应的数为． 【变式3】（23-24七年级上·浙江杭州·期中）如图所示，每个小正方形的边长均为1． （1）图中阴影部分的面积是多少？阴影部分正方形的边长是多少？ （2）把数轴补充完整，并把边长在数轴上表示出来． 【答案】（1）；；（2）如图所示：线段是正方形的边长 【分析】本题考查了算术平方根的实际应用与勾股定理，理解相关数学概念是解题关键． （1）根据阴影部分的面积大正方形面积直角三角形的面积，正方形的面积边长的平方，即可求解； （2）由得阴影部分正方形的边长是直角边分别为的直角三角形的斜边，据此即可完成作图． （1）解：阴影部分的面积为：； ∵阴影部分是正方形， ∴阴影部分正方形的边长为： （2）略 四.题型精析（综合提升） 【题型 4】勾股定理实际应用（梯子模型） 【例题4】（25-26八年级上·江苏·期中）一架云梯长，如图那样斜靠在一面墙上．当这架云梯的顶端位于A处时，它的底端位于B处，底端离墙． （1）这架云梯的顶端到地面的距离是多少？ （2）当这架云梯的顶端从A处下滑到达处时，它的底端从B处滑动到处，云梯底端在水平方向滑动的距离也是吗？ 【答案】（1）这架云梯的顶端到地面的距离是；（2）云梯底端在水平方向滑动的距离为，不是 【分析】本题主要考查了勾股定理的应用，解题的关键是熟练掌握勾股定理，在一个直角三角形中，两条直角边分别为a、b，斜边为c，那么． （1）根据勾股定理进行计算即可； （2）根据勾股定理求出，再求出结果即可． （1）解：由题意，得，，， 由勾股定理，得； 答：这架云梯的顶端到地面的距离是； （2）解：由题意，得，， 由勾股定理，得， ∴， 故云梯底端在水平方向滑动的距离为，不是． 【变式1】（24-25八年级下·云南红河·期末）如图，小宇将米长的梯子搭在自己家的房屋外面的墙面上，此时梯子底端离屋底1米，则梯子顶端与地面的距离是（   ） A．米 B．米 C．2米 D．米 【答案】D 【分析】本题考查了勾股定理的实际应用，熟练掌握勾股定理并学会应用是解题的关键． 根据梯子、墙、地面正好构成直角三角形，再由勾股定理即可顶端距离地面的高度． 解：根据题意得顶端距离地面的高度， 故选：D 【变式2】（25-26八年级下·黑龙江哈尔滨·期中）如图，一架长为的梯子斜靠在竖直的墙上，此时梯子一边的顶端位于墙面的点A处，底端位于地面的点B处，点B到墙面的距离为．如果将梯子底端沿向外移动，那么梯子顶端沿墙下滑__________m． 【答案】 【分析】根据勾股定理，可得，，即可求解． 解：根据题意可得，，，， ∴， ∴，， ∴， ∴梯子顶端沿墙下滑． 【变式3】（25-26八年级上·江苏盐城·期末）在社团活动中，徐老师带着科技小组进行物理实验．同学们将一根不可拉伸的绳子绕过定滑轮A，一端拴在滑块B上，另一端拴在A的正下方物体C上，滑块B放置在水平地面的直轨道上，通过滑块B的左右滑动来调节物体C的升降．实验初始状态如图1所示，物体C静止在直轨道上，物体C到滑块B的水平距离，物体C到定滑轮的垂直距离．（实验过程中，绳子始终保持绷紧状态，定滑轮、滑块和物体的大小忽略不计．） （1）求绳子的总长度； （2）如图2，若物体C升高至处，求滑块B向左滑动至处的距离． 【答案】（1）；（2） 【分析】本题考查了勾股定理的应用，熟练掌握勾股定理是解题的关键． （1）在中利用勾股定理直接计算即可； （2）由（1）得绳子的总长度为，得到，在中利用勾股定理求出，再利用线段和差即可解答． （1）解：由题意得，， 在中，， ， ． 答：绳子的总长度为． （2）解：由题意得，， ， 由（1）得，绳子的总长度为， ， 在中，， ， ， 答：滑块向左滑动的距离为． 【题型 5】无图分类讨论题型 【例题5】（24-25八年级下·辽宁盘锦·期中）计算： （1）在中,，求c； （2）在中,， 求c； （3）一个直角三角形的两边长分别为和，求这个三角形的第三边长． 【答案】（1）17；（2）3；（3）或 【分析】本题考查了勾股定理（直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方）的应用，解题的关键是明确直角三角形中斜边为直角所对的边，当已知两边长未明确斜边时，需分情况讨论哪条边为斜边． （1），故c为斜边，a、b为直角边，直接用勾股定理计算；   （2），故a为斜边，b、c为直角边，用勾股定理计算；   （3）两边长和，分两种情况：均为直角边时，第三边为斜边为斜边、为直角边时，第三边为另一直角边，分别用勾股定理计算． （1）解：∵在中，，   ∴c为斜边，由勾股定理得，   ∵，   ∴． （2）∵在中，，   ∴a为斜边，由勾股定理得，即，   ∵，   ∴． （3）设第三边长为，   ①当和均为直角边时，x为斜边，   则；   ②当为斜边，为直角边时，x为另一直角边，   则．   故第三边长为或 ． 【变式1】（25-26七年级下·山东济南·期末）若直角三角形的两边长分别是5和4，则它的第三边边长是（     ） A． B． C．或 D．或 【答案】D 【分析】分两种情况：长为5的边是斜边和长为5的边是直角边，利用勾股定理求解即可． 解：当长为5的边是斜边时，则第三边长； 当长为5的边是直角边时，则第三边长 ∴该直角三角形的第三边长为或． 【变式2】（2025八年级下·甘肃武威·竞赛）在直角三角形中，两边长分别为、，则第三条边长为________． 【答案】或 【分析】分两种情况，再结合勾股定理计算第三边长即可． 解：分两种情况讨论： 若第三边为斜边，则长度为和长度为的两边都是直角边， ∴第三边长为： ； 若第三边为直角边，则长度为的边为斜边， ∴第三边长为： ； ∴第三边长为或． 【变式3】（24-25八年级下·河南漯河·阶段检测）在中，其中两边长为，，且，满足，求的斜边长． 【答案】或 【分析】本题主要考查非负数的性质，勾股定理，解题的关键是熟练掌握非负数的性质． 根据非负数的性质得到，，解方程即可得到、的值，再分边长为的边为斜边和直角边两种情况结合勾股定理求解即可． 解：∵，，， ∴， ∴，， ∴，； 当边长为的边为直角边，则斜边的长为； 当边长为的边为斜边时，斜边长即为； 综上所述，的斜边长为或． 【题型 6】赵爽弦图综合计算 【例题6】（25-26八年级下·福建南平·期末）手工课上，同学们以“赵爽弦图”为原型制作传统风格装饰画．边长为的大正方形画框由四个全等的直角三角形彩纸和中间的小正方形拼接而成，结构如图所示．设直角三角形的两条直角边长分别为，（），斜边长为． （1）若小正方形的边长为，，求大正方形的边长c； （2）若小正方形的面积为，且，求一个直角三角形的面积． 【答案】（1）；（2） 【分析】（1）先根据小正方形边长得到，结合联立求出、的值，再利用勾股定理计算斜边； （2）由小正方形面积得，展开得到式子①，将展开得到式子②，两式相减求出，最后根据直角三角形面积公式计算面积。 （1）解：因为已知小正方形的边长为， 所以小正方形的边长为， 因为， 得， 因为， 所以， 所以． （2）解：因为小正方形的面积为， 所以，即①， 因为，即②， ，得， 所以． 所以直角三角形的面积为：． 【变式1】（25-26八年级下·重庆·期末）我国汉代赵爽在注解《周髀算经》时给了如图所示的图形：四个全等的直角三角形围成一个大正方形，中间是个小正方形，后世称之为“赵爽弦图”．连接四条线段得到如图所示的新图案．若图中的直角三角形的长直角边为5，短直角边为3，图中阴影部分的面积为，则的值为（     ） A．18 B．22 C．26 D．30 【答案】B 【分析】分别求出三角形的面积，正方形的面积，计算即可． 解：如下图， 由题意得：， ， ， 同理， ． 【变式2】（25-26八年级下·湖南长沙·期末）如图，是4个全等的直角三角形镶嵌而成的正方形图案，已知大正方形的面积是81，小正方形的面积是25，若用表示直角三角形的两条直角边，请观察图案，求______． 【答案】28 【分析】根据“大正方形面积个全等直角三角形面积小正方形面积”结合直角三角形的面积公式即可求解． 解：题中图形是用4个全等的直角三角形与1个小正方形镶嵌而成的正方形图案， ∵大正方形面积为81，小正方形面积为25， ∴， ∴． 【变式3】（25-26八年级下·湖南郴州·开学考试）阅读理解：美丽的弦图中蕴含着四个全等的直角三角形．如图1，弦图中包含了一大一小两个正方形，每个直角三角形较长直角边为，较短直角边为，斜边长，用面积法得到直角三角形三边长之间的一个重要结论：． （1）如图1，已知：．求证． 下面是小颖的证明过程，请把空缺处补充完整： 证明：四个直角三角形全等，且， 正方形的边长为　　　　　， ，且（等面积法）， 　　　　　+　　　　　 ． （2）如图2，四边形是直角梯形，，其中．求证：． （3）将图1中的四个直角三角形中较短的直角边分别向外延长相同的长度，得到图3所示的“数学风车”，若，，外围轮廓（图中实线部分）的总长度为52，求这个风车图案的面积． 【答案】（1）、、；（2） 证明：∵， ∴， ， ∴， 又∵，， ∴； （3）97 【分析】（1）依据题意得，再由图形是由四个全等的直角三角形拼成如图1所示图形，然后用两种方法表示正方形的面积，即可解题； （2）先根据角度关系，证出，随后根据“”证明即可； （3）根据题意，先得出，设，则，根据勾股定理得，代入求出的值，最终可求出风车图案的面积． 解：（1）证明：∵四个直角三角形全等，且，， ∴正方形的边长为， ∵，且（等面积法）， ∴， ∴； （2）略 （3）解：由题意，如下图： ∵外围轮廓的总长度为， ∴， 设，则， 在中，， ∴， 将，代入可得， ， 解得， ∴小正方形的边长为， ∴风车的面积为：． 五.同步检测 （一）选择题（本大题共10个小题,每小题3分,共30分） 1．（25-26八年级下·重庆巫山·期末）已知直角三角形的两直角边长分别为5和12，则斜边长为（     ） A．13 B．15 C．17 D．20 【答案】A 【分析】因为直角三角形中两条直角边的平方和等于斜边的平方，所以代入两条直角边的数值，计算平方和后开平方即可得到斜边长． 解：∵直角三角形的两直角边长分别为5和12， ∴斜边长为. 2．（24-25八年级下·安徽六安·期中）在中，若，则下列式子成立的是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】由于在三角形中，由于，所以，根据勾股定理即可得到正确答案． 解：在中，若， ， 为直角边，为斜边， 根据勾股定理可得， ． 故选：A． 【点拨】本题主要考查勾股定理，分清楚直角边与斜边是解题的关键． 3．（25-26八年级下·云南玉溪·期中）如图，在中，为直角，以为边向外作面积为的正方形，以为边向外作面积为的正方形，则（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】利用勾股定理结合题目条件求解即可． 解：在中，为直角， ， ． 4．（25-26八年级上·广东茂名·期中）如图，一架长的梯子斜靠在竖直的墙上，这时梯子的底部到墙底端的距离为，则梯子的顶端距地面为（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】已知斜边与一条直角边，利用勾股定理求解另一条直角边长度即可． 解：由题意得，，， 在中，， ， 梯子的顶端距地面为． 5．（24-25八年级下·四川德阳·阶段检测）在中，，垂直交于，则的长为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据勾股定理求出，根据等面积法得到，进而根据勾股定理计算即可． 解：在中，，，， ， ， ， ∵， ∴， 即， 解得：， ∴． 6．（25-26八年级下·甘肃平凉·期中）如图是我国汉代数学家赵爽在注解《周髀算经》时给出的“赵爽弦图”，它是由四个全等的直角三角形和中间的小正方形拼成的一个大正方形．若，则正方形的面积为（　　） A．2 B．1 C．8 D．12 【答案】B 【分析】利用勾股定理求解，再进一步求解即可. 解：∵正方形，， ∴， ， 小正方形的面积是． 7．（2026·安徽六安·一模）如图，点是等腰直角斜边上一点（不与点、重合），，则等于（） A．1 B．2 C．4 D．不能确定 【答案】C 【分析】取斜边中点，得，设，则，由勾股定理得代入变形求解即可． 解：取斜边中点， ∵是等腰直角三角形， 则，且， 设，则， 在中，由勾股定理：， 则， 即：， 故． 8．（25-26八年级上·内蒙古包头·阶段检测）勾股定理是人类数学文化的一颗璀璨明珠，是用代数思想解决几何问题最重要的工具，也是数形结合的纽带之一．如图，当秋千静止时，踏板B离地的垂直高度，将它往前推至C处时（即水平距离），踏板离地的垂直高度，它的绳索始终拉直，则绳索的长是（   ）． A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了勾股定理的实际应用，将实际问题转化为勾股定理问题是解题的关键． 设，则，故，在中利用勾股定理求解即可． 解：由题意可知，， ∴， 设，则， ∴， 在中，， ∴，解得：． ∴绳索的长是． 故选：C． 9．（25-26八年级下·云南昭通·期末）如图，若，，则的长度为（     ） A．90 B． C． D． 【答案】D 【分析】先过点作于点，再利用等腰三角形的性质、含角的直角三角形的性质，以及勾股定理，进行解答即可． 解：如图，过点作于点， ． ，，， ，为的中线， ． 在中，， ， ， ． 10．（2026·广东清远·一模）如图是一把休闲座椅，底座的长度为，椅背与底座的夹角为，抽象为平面图形如图，，若，则的长度为（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】利用三角形的外角性质求出 的度数，过点 作 的垂线构造直角三角形，利用勾股定理求解即可． 解：如图，过点 作 于点 ， 椅背与底座的夹角为 ，即 的外角为 ，且 ， ， 在 中，，， ，， 在 中，， 是等腰直角三角形， ， ． （2） 填空题（本大题共8小题，每小题4分，共32分） 11．（25-26八年级下·甘肃陇南·期末）已知等腰三角形的腰长为，底边上的中线长为，则它的底边长为_____． 【答案】16 【分析】根据等腰三角形的三线合一的性质求得底边的一半，从而求得底边长． 解：∵等腰三角形的腰长为17cm，底边上的中线长为15cm， ∴底边的一半为， ∴底边长为． 12．（25-26八年级下·黑龙江哈尔滨·期末）如图，在中，，，，以点为圆心，长为半径作弧，交数轴负半轴于点，则点表示的数是________． 【答案】 【分析】由勾股定理求出的长度，进而得的长度，则可求得点表示的数． 解：由勾股定理得， 由作图知， 则点表示的数为． 13．（25-26八年级下·陕西商洛·期中）如图，在中，，分别以为边向外部作正方形，甲正方形的面积为26，乙正方形的面积为23，则的长为___________． 【答案】7 【分析】由正方形的面积公式得到，据此由勾股定理可得答案． 解：∵甲正方形的面积为26，乙正方形的面积为23， ∴， 在中，， ∴由勾股定理得， ∴或（舍去）． 14．（24-25八年级上·山东青岛·期末）如图，在一次夏令营活动中，小明从营地A出发，沿北偏东53°方向走了400m到达B点，然后再沿北偏西37°方向走了300m到达目的地C.此时A，C两点之间的距离为______m． 【答案】500 【分析】根据BE∥AD，得出∠DAB=∠ABE=53°，再根据平角的定义得出∠FBC+∠CBA+∠ABE=180°，求出∠CBA的度数，判断出△ABC是直角三角形，最后根据勾股定理求出AC的值即可． 解：由题意知BE∥AD， ∴∠DAB=∠ABE=53°， ∵∠FBC+∠CBA+∠ABE=180°且∠FBC=37°， ∴∠CBA=90°， ∴△ABC为直角三角形， ∵BC=300，AB=400， ∴AC=（m）． 答：A、C两点之间的距离为500m． 【点拨】此题考查用勾股定理求两点之间的距离，用方位角的知识得到直角三角形是关键． 15．（24-25九年级上·四川成都·期中）定义：两边平方和等于第三边平方的2倍的三角形叫做“和美三角形”，若既是直角三角形，又是“和美三角形”，其三边长分别为a、b、c，且，则＝_____． 【答案】或 【分析】分两种情况，根据勾股定理、“和美三角形”的定义计算即可． 解：在Rt中，， ∴， 当时， ∴，， ∵Rt是“和美三角形”， ∴， ∴， ∴， ∴（负值已舍去）， 当， ∴，， ∵Rt是“和美三角形”， ∴， ∴， ∴， ∴（负值舍去）， 故或， 故答案为：或． 【点拨】本题考查了勾股定理，“和美三角形”的定义，熟练掌握勾股定理是解题的关键． 16．（24-25八年级上·河南南阳·阶段检测）在一次数学实践活动中，宛宛同学把四个全等的直角三角形和一个小正方形拼成了一个大正方形，如图所示．设直角三角形较长的直角边长为，较短的直角边长为，大正方形边长为．请你写出之间的关系式是______．（化到最简） 【答案】 【分析】本题考查了整式的混合运算与图形面积的计算，掌握整式的混合运算是关键． 根据题意，分别算出大正方形的面积为，4个直角三角形的面积为，小正方形的面积为，由4个直角三角形的面积与小正方形的面积的和为大正方形的面积，列式求解即可． 解：根据题意及图示可得，大正方形的边长为，即直角三角形斜边长， ∴大正方形的面积为， 三角形的直角边长分别为， ∴4个直角三角形的面积为， 小正方形的边长为， ∴小正方形的面积为， ∵4个直角三角形的面积与小正方形的面积的和为大正方形的面积， ∴，即， 故答案为： ． 17．（2024·黑龙江牡丹江·模拟预测）如图，在无盖的长方体纸盒中，分别按图中方式放入同样大小的三角形卡片，已知图①、图②中刚好放下个、个这样的三角形卡片，如果，则图③中纸盒底部剩余部分的长为______． 【答案】/ 【分析】根据前两个图求出三角形卡片的两个直角边的长，通过勾股定理求出斜边的长，再根据第三个图计算即可． 解：设三角形卡片的短直角边的长为a，长直角边的长为b，斜边长为c， ， 由图①可知，，则， 由图②可知，，则， ∴， 图③中纸盒底部剩余部分的长为． 18．（25-26八年级下·宁夏银川·期中）小志同学在玩一副直角三角尺时发现：含角的直角三角尺的斜边可与含角的直角三角尺的较长直角边完全重合（如图①），即的顶点，分别与的顶点，重合．现在，将沿射线的方向平移个单位长度使边经过点，若，则________． 【答案】/ 【分析】过点作，垂足为，求出，利用勾股定理求出，然后利用三线合一得到，同理求出，进而求解即可． 解：如图，过点作，垂足为， ，， ∴， ， ∵是等腰直角三角形，， ， ∴， ， ∴． （三）解答题（本大题共6小题，共58分） 19．（本小题满分8分）（25-26八年级下·广东汕头·阶段检测）如图，在中，于点，，，．求的值． 【答案】 【分析】在中，利用勾股定理求出，再在中，利用勾股定理求解即可． 解：， ， 在中，，， ， 在中，． 20．（本小题满分8分）（24-25八年级下·安徽芜湖·期中）如图，某自动感应门的正上方处装着一个感应器，离地面的高度为2.5米，一名学生站在处时，感应门自动打开了，此时这名学生离感应门的距离为1.2米，头顶离感应器的距离为1.5米，求这名学生的身高为多少米？ 【答案】这名学生的身高为1.6米 【分析】本题考查了勾股定理的应用．过点D作于E，得到，米，由勾股定理得出，进而得到米，即可得出答案． 解：过点D作于E，如图所示： 则四边形是矩形， ∴，米， 在中，米， 由勾股定理得 （米）， ∴（米）， ∴米． 故这名学生的身高为1.6米． 21．（本小题满分10分）（25-26八年级下·全国·课后作业）甲同学用如图①方法作出点，在中，，，，且点，，在同一数轴上，． （1）甲同学所做的点表示的数是_______； （2）仿照甲同学的做法，请你在如图②所示的数轴上作出表示的点． 【答案】（1）；（2）点表示的数是． 【分析】本题主要考查了勾股定理、用数轴上的点表示无理数． （1）根据勾股定理可得，可知，所以点表示的数是； （2）构造，使，，，根据勾股定理可得，所以点表示的数是． （1）解：在中，，，， ， ， 点表示的数是， 故答案为：； （2）解：如下图所示，在中，，，， ， 22．（本小题满分10分）（2025·湖南衡阳·模拟预测）如图，在中，．是边上的高，点E在边上，于点F． （1）求证：． （2）若，求证：． 【答案】（1）证明：， ， ， ， ， ， ； （2）证明：， 在中，， ∴， 在和中， ， ∴． 【分析】（1）首先根据是边上的高，于点F得出，然后根据等量代换得出，即可得到结果； （2）首先根据勾股定理得出，进而得出，再根据第（1）问的结论就可以证明． 解：（1）略 （2）略 23．（本小题满分10分）（24-25八年级上·全国·期末）如图，将长方形纸片沿直线折叠，使点落到点的位置，与交于点． （1）试找出一个与全等的三角形，并加以证明． （2）若，，为线段上的任意一点，于，于，试求的值，并说明理由． 【答案】（1）解：， 证明：∵四边形为长方形， ∴，， ∵， ∴； （2）． 【分析】由四边形是长方形，结合折叠的性质可得，，利用全等三角形的判定定理“”可得出； 延长交于，则，由折叠的性质可知，通过角平分线性质可得，再结合，则，所以，然后通过等角对等边求出，在中利用勾股定理即可求出，从而得出的值． 解：（1）略； （2）解：如图，延长交于， ∴， 由折叠的性质可知，， ∵于， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴在中，， ∴． 24．（本小题满分12分）（25-26八年级下·贵州毕节·期末）如图，在中，，，于点，． （1）求的长； （2）如图，若点是中点，求四边形的面积． 【答案】（1）；（2） 【分析】（1）利用直角三角形两锐角互余求出角度，根据直角三角形边长关系求出、，再用勾股定理算出； （2）先求大三角形面积，算出与面积，依据中点平分三角形面积得面积，用整体减局部求出四边形面积． （1）解：，，， ，，， ， ， ， ； （2）由（1）知，，，， ， ， ， ， 是中点， ， ， ． 2 / 30 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题 3.1 勾股定理的探究（知识梳理 + 题型精析 +同步检测） 目录 一.学习目标与重难点 1 （一）学习目标 1 （二）重难点 2 二.知识梳理与解读 2 【知识点一】勾股定理的探究（方格面积割补法） 2 【知识点二】 核心易错点 2 【知识点三】勾股定理经典证明（赵爽弦图·苏科版重点） 2 【知识点四】基础应用 3 三.题型精析（夯实基础） 3 【题型 1】直接利用勾股定理求边长 3 【题型 2】方格面积法应用 4 【题型 3】数轴上表示无理数 5 四.题型精析（综合提升） 6 【题型 4】勾股定理实际应用（梯子模型） 6 【题型 5】无图分类讨论题型 8 【题型 6】赵爽弦图综合计算 8 五.同步检测 10 （一）选择题（本大题共10个小题,每小题3分,共30分） 10 （二）填空题（本大题共8小题，每小题4分，共32分） 12 （三）解答题（本大题共6小题，共58分） 14 一.学习目标与重难点 （一）学习目标 1. 经历方格纸割补、面积探究过程，理解勾股定理的推导由来，掌握数形结合、面积法的数学思想。 2. 熟练掌握勾股定理的文字语言、符号语言，熟记直角三角形三边数量关系。 3. 能够利用勾股定理及其变形公式，已知直角三角形任意两边，准确求解第三边长。 4. 掌握利用勾股定理在数轴上构造、表示无理数的方法。 5. 理解赵爽弦图证法，能规范完成勾股定理基础证明，会用割补法求解方格正方形面积。 （二）重难点 重点：勾股定理的内容理解与基本应用；利用勾股定理求直角三角形边长。 难点：利用割补法探究、证明勾股定理；无图题型的分类讨论思想；数轴上无理数的构造。 二.知识梳理与解读 【知识点一】勾股定理的探究（方格面积割补法） 在方格纸中，以直角三角形的三条边为边长，分别向外作正方形。通过割补法计算三个正方形的面积，可得出核心结论：直角三角形两条直角边上的正方形面积之和，等于斜边上正方形的面积。 设直角三角形的两条直角边长为，斜边长为，对应正方形面积分别为、、。 面积关系： 勾股定理：直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方。 符号语言：在中，，则 。 公式变形：，。 【知识点二】 核心易错点 1. 勾股定理仅适用于直角三角形，锐角、钝角三角形不适用； 2. 公式中必须是斜边（直角所对的边，三角形最长边），不可盲目套公式； 3. 边长为正数，计算出平方后必须开方，舍去负根； 4. 无图题型需分类讨论：已知两边可能为两直角边，也可能一直角边一斜边。 【知识点三】勾股定理经典证明（赵爽弦图·苏科版重点） 将4个全等的直角三角形（直角边，斜边）拼成一个大正方形，中间围成一个小正方形。 ① 大正方形面积（边长为）： ② 大正方形面积拆分：4个直角三角形面积 + 中间小正方形面积 联立可得勾股定理：。 核心思想：等面积法，一图两算。 【知识点四】基础应用 1. 边长计算：已知直角三角形任意两边，求第三边； 2. 数轴构图：构造直角边为正整数的直角三角形，将无理数转化为斜边长，在数轴上表示等无理数。 三.题型精析（夯实基础） 【题型 1】直接利用勾股定理求边长 【例题1】（25-26八年级下·广西钦州·期中）如图，某超市为了吸引顾客，在超市门口离地高的墙上，装有一个由传感器控制的门铃，如图1所示，人只要移至该门口及以内时（图2中），门铃就会自动发出语音“欢迎光临”．如图2，一个身高的学生走到处，门铃恰好自动响起，过点作于点，求该学生头顶到门铃的距离． 【变式1】（25-26八年级下·陕西榆林·期末）已知某个直角三角形的斜边长为，一条直角边的长为，则另一条直角边的长为（     ） A． B． C． D． 【变式2】（24-25八年级上·全国·期末）在中，两条直角边的长分别为和，则第三边的长为______；斜边上的高为______． 【变式3】（25-26八年级下·山东滨州·期中）如图，在中，边上的高． （1）根据图1，求的长； （2）根据图2，求的长． 【题型 2】方格面积法应用 【例题2】（24-25八年级下·全国·课后作业）如图，图中所有的三角形都是直角三角形，四边形都是正方形．已知正方形A，B，C，D的边长分别是12，16，9，12，求最大正方形E的面积． 【变式1】（24-25八年级下·辽宁盘锦·期中）如图，以的三边为边长向外作正方形，三个正方形的面积分别为，，，若，，则的值为（     ） A．4 B．3 C．22 D．不能确定 【变式2】（25-26八年级下·福建莆田·期中）如图，在四边形中，，分别以四边形的四条边为边向外作四个正方形，面积分别为，，，．若，，则______． 【变式3】（24-25八年级下·广东东莞·阶段检测）（1）如图（1），分别以三边为边向外作三个正方形，其面积分别用，，表示，写出，，之间关系．（不必证明） （2）如图（2），分别以三边为直径向外作三个半圆，其面积分别用，，表示，确定它们的关系证明； （3）如图（3），分别以三边为边向外作正三角形，其面积分别用，，表示，确定它们的关系并证明． 【题型 3】数轴上表示无理数 【例题3】（25-26八年级下·全国·课后作业）甲同学用如图①方法作出点，在中，，，，且点，，在同一数轴上，． （1）甲同学所做的点表示的数是_______； （2）仿照甲同学的做法，请你在如图②所示的数轴上作出表示的点． 【变式1】（25-26八年级下·辽宁盘锦·期中）如图，长方形放置在数轴上，已知，，以点为圆心，长为半径画弧，交数轴于点，则点表示的数为（   ） A． B． C． D． 【变式2】（24-25八年级下·福建莆田·期中）小明学了利用勾股定理在数轴上找一个无理数的准确位置后，又进一步进行练习：首先画出数轴，设原点为点，在数轴上的个单位长度的位置找一个点，然后过点作，且．以点为圆心，为半径作弧，设与数轴右侧交点为点，则点的位置在数轴上为_______． 【变式3】（23-24七年级上·浙江杭州·期中）如图所示，每个小正方形的边长均为1． （1）图中阴影部分的面积是多少？阴影部分正方形的边长是多少？ （2）把数轴补充完整，并把边长在数轴上表示出来． 四.题型精析（综合提升） 【题型 4】勾股定理实际应用（梯子模型） 【例题4】（25-26八年级上·江苏·期中）一架云梯长，如图那样斜靠在一面墙上．当这架云梯的顶端位于A处时，它的底端位于B处，底端离墙． （1）这架云梯的顶端到地面的距离是多少？ （2）当这架云梯的顶端从A处下滑到达处时，它的底端从B处滑动到处，云梯底端在水平方向滑动的距离也是吗？ 【变式1】（24-25八年级下·云南红河·期末）如图，小宇将米长的梯子搭在自己家的房屋外面的墙面上，此时梯子底端离屋底1米，则梯子顶端与地面的距离是（   ） A．米 B．米 C．2米 D．米 【变式2】（25-26八年级下·黑龙江哈尔滨·期中）如图，一架长为的梯子斜靠在竖直的墙上，此时梯子一边的顶端位于墙面的点A处，底端位于地面的点B处，点B到墙面的距离为．如果将梯子底端沿向外移动，那么梯子顶端沿墙下滑__________m． 【变式3】（25-26八年级上·江苏盐城·期末）在社团活动中，徐老师带着科技小组进行物理实验．同学们将一根不可拉伸的绳子绕过定滑轮A，一端拴在滑块B上，另一端拴在A的正下方物体C上，滑块B放置在水平地面的直轨道上，通过滑块B的左右滑动来调节物体C的升降．实验初始状态如图1所示，物体C静止在直轨道上，物体C到滑块B的水平距离，物体C到定滑轮的垂直距离．（实验过程中，绳子始终保持绷紧状态，定滑轮、滑块和物体的大小忽略不计．） （1）求绳子的总长度； （2）如图2，若物体C升高至处，求滑块B向左滑动至处的距离． 【题型 5】无图分类讨论题型 【例题5】（24-25八年级下·辽宁盘锦·期中）计算： （1）在中,，求c； （2）在中,， 求c； （3）一个直角三角形的两边长分别为和，求这个三角形的第三边长． 【变式1】（25-26七年级下·山东济南·期末）若直角三角形的两边长分别是5和4，则它的第三边边长是（     ） A． B． C．或 D．或 【变式2】（2025八年级下·甘肃武威·竞赛）在直角三角形中，两边长分别为、，则第三条边长为________． 【变式3】（24-25八年级下·河南漯河·阶段检测）在中，其中两边长为，，且，满足，求的斜边长． 【题型 6】赵爽弦图综合计算 【例题6】（25-26八年级下·福建南平·期末）手工课上，同学们以“赵爽弦图”为原型制作传统风格装饰画．边长为的大正方形画框由四个全等的直角三角形彩纸和中间的小正方形拼接而成，结构如图所示．设直角三角形的两条直角边长分别为，（），斜边长为． （1）若小正方形的边长为，，求大正方形的边长c； （2）若小正方形的面积为，且，求一个直角三角形的面积． 【变式1】（25-26八年级下·重庆·期末）我国汉代赵爽在注解《周髀算经》时给了如图所示的图形：四个全等的直角三角形围成一个大正方形，中间是个小正方形，后世称之为“赵爽弦图”．连接四条线段得到如图所示的新图案．若图中的直角三角形的长直角边为5，短直角边为3，图中阴影部分的面积为，则的值为（     ） A．18 B．22 C．26 D．30 【变式2】（25-26八年级下·湖南长沙·期末）如图，是4个全等的直角三角形镶嵌而成的正方形图案，已知大正方形的面积是81，小正方形的面积是25，若用表示直角三角形的两条直角边，请观察图案，求______． 【变式3】（25-26八年级下·湖南郴州·开学考试）阅读理解：美丽的弦图中蕴含着四个全等的直角三角形．如图1，弦图中包含了一大一小两个正方形，每个直角三角形较长直角边为，较短直角边为，斜边长，用面积法得到直角三角形三边长之间的一个重要结论：． （1）如图1，已知：．求证． 下面是小颖的证明过程，请把空缺处补充完整： 证明：四个直角三角形全等，且， 正方形的边长为　　　　　， ，且（等面积法）， 　　　　　+　　　　　 ． （2）如图2，四边形是直角梯形，，其中．求证：． （3）将图1中的四个直角三角形中较短的直角边分别向外延长相同的长度，得到图3所示的“数学风车”，若，，外围轮廓（图中实线部分）的总长度为52，求这个风车图案的面积． 五.同步检测 （一）选择题（本大题共10个小题,每小题3分,共30分） 1．（25-26八年级下·重庆巫山·期末）已知直角三角形的两直角边长分别为5和12，则斜边长为（     ） A．13 B．15 C．17 D．20 2．（24-25八年级下·安徽六安·期中）在中，若，则下列式子成立的是（   ） A． B． C． D． 3．（25-26八年级下·云南玉溪·期中）如图，在中，为直角，以为边向外作面积为的正方形，以为边向外作面积为的正方形，则（     ） A． B． C． D． 4．（25-26八年级上·广东茂名·期中）如图，一架长的梯子斜靠在竖直的墙上，这时梯子的底部到墙底端的距离为，则梯子的顶端距地面为（     ） A． B． C． D． 5．（24-25八年级下·四川德阳·阶段检测）在中，，垂直交于，则的长为（    ） A． B． C． D． 6．（25-26八年级下·甘肃平凉·期中）如图是我国汉代数学家赵爽在注解《周髀算经》时给出的“赵爽弦图”，它是由四个全等的直角三角形和中间的小正方形拼成的一个大正方形．若，则正方形的面积为（　　） A．2 B．1 C．8 D．12 7．（2026·安徽六安·一模）如图，点是等腰直角斜边上一点（不与点、重合），，则等于（） A．1 B．2 C．4 D．不能确定 8．（25-26八年级上·内蒙古包头·阶段检测）勾股定理是人类数学文化的一颗璀璨明珠，是用代数思想解决几何问题最重要的工具，也是数形结合的纽带之一．如图，当秋千静止时，踏板B离地的垂直高度，将它往前推至C处时（即水平距离），踏板离地的垂直高度，它的绳索始终拉直，则绳索的长是（   ）． A． B． C． D． 9．（25-26八年级下·云南昭通·期末）如图，若，，则的长度为（     ） A．90 B． C． D． 10．（2026·广东清远·一模）如图是一把休闲座椅，底座的长度为，椅背与底座的夹角为，抽象为平面图形如图，，若，则的长度为（     ） A． B． C． D． （2） 填空题（本大题共8小题，每小题4分，共32分） 11．（25-26八年级下·甘肃陇南·期末）已知等腰三角形的腰长为，底边上的中线长为，则它的底边长为_____． 12．（25-26八年级下·黑龙江哈尔滨·期末）如图，在中，，，，以点为圆心，长为半径作弧，交数轴负半轴于点，则点表示的数是________． 13．（25-26八年级下·陕西商洛·期中）如图，在中，，分别以为边向外部作正方形，甲正方形的面积为26，乙正方形的面积为23，则的长为___________． 14．（24-25八年级上·山东青岛·期末）如图，在一次夏令营活动中，小明从营地A出发，沿北偏东53°方向走了400m到达B点，然后再沿北偏西37°方向走了300m到达目的地C.此时A，C两点之间的距离为______m． 15．（24-25九年级上·四川成都·期中）定义：两边平方和等于第三边平方的2倍的三角形叫做“和美三角形”，若既是直角三角形，又是“和美三角形”，其三边长分别为a、b、c，且，则＝_____． 16．（24-25八年级上·河南南阳·阶段检测）在一次数学实践活动中，宛宛同学把四个全等的直角三角形和一个小正方形拼成了一个大正方形，如图所示．设直角三角形较长的直角边长为，较短的直角边长为，大正方形边长为．请你写出之间的关系式是______．（化到最简） 17．（2024·黑龙江牡丹江·模拟预测）如图，在无盖的长方体纸盒中，分别按图中方式放入同样大小的三角形卡片，已知图①、图②中刚好放下个、个这样的三角形卡片，如果，则图③中纸盒底部剩余部分的长为______． 18．（25-26八年级下·宁夏银川·期中）小志同学在玩一副直角三角尺时发现：含角的直角三角尺的斜边可与含角的直角三角尺的较长直角边完全重合（如图①），即的顶点，分别与的顶点，重合．现在，将沿射线的方向平移个单位长度使边经过点，若，则________． （三）解答题（本大题共6小题，共58分） 19．（本小题满分8分）（25-26八年级下·广东汕头·阶段检测）如图，在中，于点，，，．求的值． 20．（本小题满分8分）（24-25八年级下·安徽芜湖·期中）如图，某自动感应门的正上方处装着一个感应器，离地面的高度为2.5米，一名学生站在处时，感应门自动打开了，此时这名学生离感应门的距离为1.2米，头顶离感应器的距离为1.5米，求这名学生的身高为多少米？ 21．（本小题满分10分）（25-26八年级下·全国·课后作业）甲同学用如图①方法作出点，在中，，，，且点，，在同一数轴上，． （1）甲同学所做的点表示的数是_______； （2）仿照甲同学的做法，请你在如图②所示的数轴上作出表示的点． 22．（本小题满分10分）（2025·湖南衡阳·模拟预测）如图，在中，．是边上的高，点E在边上，于点F． （1）求证：． （2）若，求证：． 23．（本小题满分10分）（24-25八年级上·全国·期末）如图，将长方形纸片沿直线折叠，使点落到点的位置，与交于点． （1）试找出一个与全等的三角形，并加以证明． （2）若，，为线段上的任意一点，于，于，试求的值，并说明理由． 24．（本小题满分12分）（25-26八年级下·贵州毕节·期末）如图，在中，，，于点，． （1）求的长； （2）如图，若点是中点，求四边形的面积． 2 / 30 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $