专题06 勾股定理的探究及逆定理 讲义(核心重点+高频易错+题型精讲+拔高练习)2026-2027学年苏科版八年级数学上册

本讲义聚焦勾股定理及逆定理核心知识点，通过方格面积法、割补法探究定理，掌握直角三角形三边平方关系，理解逆定理判定逻辑，为几何求值、折叠、最短路径等后续学习搭建支架。 资料以探究为核心，用“赵爽弦图”等面积法培养几何直观与推理意识，12类题型覆盖基础到拔高，结合机器人路径、秋千测距等实例渗透应用意识，课中辅助教师教学，课后助力学生规范步骤、查漏补缺。

专题06勾股定理的探究及逆定理精讲学案 课堂核心立意 通过方格面积法、割补法探究勾股定理，掌握直角三角形三边核心数量关系；理解并掌握勾股定理逆定理，能精准区分“直角三角形性质”与“直角三角形判定”；建立由形得数、由数判形的几何思维，规范勾股定理计算、证明、判定步骤，为几何求值、折叠、最短路径、几何证明打下核心基础。 勾股定理（直角三角形性质定理）： 在Rt△中，两直角边的平方和等于斜边的平方；若直角边为a、b，斜边为c，则满足核心公式a2+b2=c2；只适用于直角三角形，斜边一定是最长边。 勾股定理推导思想： 利用割补法、等面积法，通过大正方形面积等于四个直角三角形加小正方形面积，数形结合证明定理，是初中几何经典面积证法。 勾股定理核心用途： 已知直角三角形任意两边，求第三边；用于边长计算、周长面积求解、几何线段求值、折叠模型、距离计算。 常见勾股数： 基础固定数组（3,4,5）（6,8,10）（5,12,13）（9,12,15）（7,24,25）；勾股数正整数倍仍为勾股数，可直接快速解题。 勾股定理逆定理（直角三角形判定定理）： 在△ABC中，若三边满足a2+b2=c2，则这个三角形为直角三角形，且最长边c所对的角为直角。 逆定理判定核心逻辑： 先找最长边，再验证平方关系；只有最长边的平方等于另外两边平方和，才可判定直角三角形。 勾股定理与逆定理区别： 勾股定理是已知直角→推边长关系（性质）；逆定理是已知边长关系→证直角（判定），考试必须区分使用场景。 拓展判定： 若a2+b2c2，为锐角三角形；若a2+b2c2，为钝角三角形（c为最长边）。 几何应用体系： 可解决网格求线段长、不规则图形求边长、判断三角形形状、证明垂直、生活实际测距问题。 （老师最常抓、学生最常错） ①乱用勾股定理：非直角三角形不能用，做题不先判断直角直接代公式必错； ②分不清斜边与直角边：公式永远是两短边平方和=最长边平方； ③逆定理不找最长边，随便代入公式导致判定错误； ④勾股数倍数可以用，但小数、分数不是标准勾股数； ⑤题型无图时，不分类讨论斜边、直角边情况，漏解丢分。 题型 考察方向 难度 题型一 用勾股定理解三角形 ★★ 题型二 以直角三角形三边为边长的图形面积 ★★★ 题型三 利用勾股定理求两条线段的平方和（差） ★★★ 题型四 利用勾股定理证明线段平方关系 ★★★★ 题型五 勾股定理的证明方法 ★★★ 题型六 以弦图为背景的计算题 ★★★ 题型七 用勾股定理构造图形解决问题 ★★★★ 题型八 勾股定理与无理数 ★★★ 题型九 勾股数（树）问题 ★★★ 题型十 判断三边能否构成直角三角形 ★★ 题型十一 在网格中判断直角三角形 ★★★ 题型十二 利用勾股定理的逆定理求解 ★★★ 拔高题 8题 星级说明：★★基础；★★★中档提升；★★★★拔高拓展 题型一： 用勾股定理解三角形 解题思路：①确认直角三角形，分清直角边与斜边；②灵活变形a2+b2=c2求第三边；③无图题型要分类讨论谁是斜边。 1．在中，，a，b，c分别是，，的对边，若，则的值为（     ） A．4 B．8 C．16 D．32 2．已知某个直角三角形的斜边长为，一条直角边的长为，则另一条直角边的长为（     ） A． B． C． D． 3．某次机器人创意大赛，如图是一参赛队员设计的机器人比赛时行走的路径，机器人从点处先往西走，又往北走，遇到障碍后又往东走，再转向北走后往西拐．走了就到达点，则、两点之间的距离为_____． 4．如图是小红在试鞋镜前的光路图，入射光线经平面镜反射后沿恰好入眼（为法线，即），已知小红的眼睛D到鞋底A处的距离，，若，且，，则小红的鞋底A处到镜子底端O的距离为（   ）m． A． B．2 C． D．4 题型二：以直角三角形三边为边长的图形面积 解题思路：①找到图形面积和边长平方的对应关系；②利用直角边上图形面积之和等于斜边上图形面积；③整体代入计算，不用单独求边长。 5．如图，以的三边为边长向外作正方形，三个正方形的面积分别为，，，若，，则的值为（     ） A．4 B．3 C．22 D．不能确定 6．如图，在水平桌面上依次摆着三个正方形，已知位于中间的正方形的面积为，两边的正方形面积分别是，，则_______． 7．如图，已知正方形的面积为4，正方形的面积为3，则正方形的面积为（    ） A．1 B．5 C．7 D．25 题型三：利用勾股定理求两条线段的平方和（差） 解题思路：①把线段放到直角三角形中；②写出线段平方的表达式；③整体代入平方和、平方差，不必算出线段实际长度。 8．如图，在中，，，，以为边作正方形，则正方形的面积是（    ） A． B． C． D． 9．如图，在中，，，于点D，E为上任意一点，则______． 10．如图，点是等腰直角斜边上一点（不与点、重合），，则等于（） A．1 B．2 C．4 D．不能确定 题型四：利用勾股定理证明线段平方关系 解题思路：①作垂线构造直角三角形；②多次写出勾股定理平方等式；③通过等量代换、等式加减变形；④规范书写证明步骤。 11．在中，，，，的对应边分别是，，，则下列式子成立的是（   ） A． B． C． D． 12．如图，在四边形中，对角线分别为，，且于点，若，，则 _______． 13．如图，在四边形中，，分别以四边形的四条边向外作四个正方形，它们的面积分别是，，，，在，，则的值是______．    14．设为等腰直角斜边上或其延长线上一点，，那么（    ） A． B． C． D．不确定 题型五：勾股定理的证明方法 解题思路：①核心是割补法、等面积法；②用两种不同思路表示同一个图形面积；③化简等式推导得到a2+b2=c2。 15．勾股定理是数学领域中绽放出的一朵思维之花，其证明方法多种多样．我国古代数学家赵爽在注解《周髀算经》时给出一个图形以证明勾股定理，人们称它为“赵爽弦图”．这个图形是（     ） A．B． C． D． 16．图1所示的图形在数学中占有重要地位，1955年希腊曾经发行了一枚纪念邮票（如图2），也用到了这个图形，这个图形之所以被如此重视，是因为它蕴含了一个重要的数学定理，这个定理是    （       ） A．勾股定理 B．平行线的判定定理 C．平行线的性质定理 D．三角形内角和定理 17．你认为以下四种图形能用来证明勾股定理的图形有______．（填序号） 18．下列选项中（图中三角形都是直角三角形），不能用来验证勾股定理的是（   ） A． B． C． D． 题型六：以弦图为背景的计算题 解题思路：①识别大正方形、小正方形、四个全等直角三角形；②找准直角三角形三边与内外正方形边长关系；③结合面积公式、勾股定理联立求解。 19．如图是我国汉代数学家赵爽在注解《周髀算经》时给出的“赵爽弦图”，它是由四个全等的直角三角形和中间的小正方形拼成的一个大正方形．若，则正方形的面积为（　　） A．2 B．1 C．8 D．12 20．“赵爽弦图”巧妙地利用面积关系证明了勾股定理，是我国古代数学的骄傲．如图所示的“赵爽弦图”是由四个全等的直角三角形和一个小正方形拼成的一个大正方形．设直角三角形较短直角边长为，较长直角边长为，若，小正方形的面积为1，则大正方形的面积为__________． 21．如图所示的“赵爽弦图”是由四个全等的直角三角形和一个小正方形密铺构成的大正方形，其中大正方形的边长为，，连接，则的长度为（     ）． A． B．6 C．5 D． 题型七：用勾股定理构造图形解决问题 解题思路：①根据题意作辅助线，构造直角三角形；②把已知条件转化为直角三角形边长；③利用勾股定理列式求解，检验结果是否符合实际。 22．如图，一架长的梯子斜靠在竖直的墙上，这时梯子的底部到墙底端的距离为，则梯子的顶端距地面为（     ） A． B． C． D． 23．明代数学家程大位在他的著作《算法统宗》中记载了一道“荡秋千”问题：“平地秋千未起，踏板一尺离地；送行二步与人齐，五尺板高离地．．．算出索长有几？”译文为：“秋千静止的时候，踏板离地尺，将它往前推送两步（两步尺）后，此时踏板升高到离地尺，秋千的绳索始终拉得很直，试问秋千绳索有多长？”如图，若设秋千绳索长为尺，则可列方程为（    ） A． B． C． D． 24．如图，在中，，将的一部分折叠，点落在边上的点处，折痕交于点，测得的周长为12，，则边__________． 25．如图，某超市为了吸引顾客，在超市门口离地高m的墙上，装有一个由传感器控制的门铃，如图①所示，人只要移至该门铃m及m以内时，即m，门铃就会自动发出语音“欢迎光临”如图②所示，一个身高m的学生走到处，即m，门铃恰好自动响起，则的长为（     ） A．米 B．米 C．米 D．米 题型八：勾股定理与无理数 解题思路：①利用勾股定理求出线段长为无理数；②在数轴或网格中画出对应长度线段；③估算无理数大小，确定整数、小数部分。 26．如图，在中，，，，以点为圆心，长为半径作弧，交数轴负半轴于点，则点表示的数是________． 27．如图，长方形放置在数轴上，已知，，以点为圆心，长为半径画弧，交数轴于点，则点表示的数为（   ） A． B． C． D． 28．如图，在中，，，以点O为圆心，以的长为半径画弧交数轴于点A，则点A表示的数为__________． 29．如图，数轴上点所表示的数为1，点，，是的正方形网格上的格点，以点为圆心，长为半径画圆交数轴于，两点，则点所表示的数为（     ） A． B． C． D． 题型九：勾股数（树）问题 解题思路：①勾股数必须是一组正整数，满足a2+b2=c2；②熟记常用基础勾股数，正整数倍仍是勾股数；③按定义判断，小数、分数不属于勾股数。 30．若7，24，x是一组勾股数，则x的值为________． 31．下面四组数，其中是勾股数组的是（     ） A．，， B．，， C．，， D．，， 32．《周髀算经》中记录了一组“勾为三，股为四，弦为五”的勾股数．观察下列勾股数：、、；、、；、、；…，这类勾股数的特点是：勾为奇数，弦与股相差为，若某个此类勾股数的勾为，则其弦是________． 33．如图，这是一株美丽的勾股树，所有的四边形都是正方形，所有的三角形都是直角三角形，若正方形、、、的边长是、、、，则最大正方形的边长是___________ 题型十：判断三边能否构成直角三角形 解题思路：①先找出三边中的最长边；②计算最长边平方与另外两边平方和；③对比等式是否成立，成立即为直角三角形。 34．下列各组线段中，能作为直角三角形三边的是（     ） A．3，4，6 B．6，8，10 C．5，12，15 D．7，23，24 35．的三边长分别为，，，由下列条件能判断为直角三角形的是（     ） A．，， B．，， C．，， D．，， 36．以下列所给数据为三角形的各边长，组成的三角形是直角三角形的有（     ） ①7，24，25；        ②，，； ③，，；    ④1，，． A．1组 B．2组 C．3组 D．4组 题型十一：在网格中判断直角三角形 解题思路：①利用网格，勾股定理算出三角形三边长度的平方；②找出最大平方值；③验证是否满足逆定理的平方关系，判断直角。 37．在如图的网格中，以为一边画，则满足条件的格点C共有（    ） A．6个 B．5个 C．4个 D．3个 38．如图，在每个小正方形的边长均为1的正方形网格中，有三条线段（线段端点都在格点上），以这三条线段为边能否组成一个直角三角形？答：________（填“能”或“不能”）． 39．如图，的顶点都在正方形网格的格点上，则的形状是（     ） A．锐角三角形 B．直角三角形 C．钝角三角形 D．无法确定 题型十二：利用勾股定理的逆定理求解 解题思路：①计算三边平方，确定最长边；②运用逆定理判定是否为直角三角形；③若为直角三角形，再结合直角条件求边长、面积。 40．如图，点E在边长为13的正方形内，，，求出图中阴影部分的面积是______． 41．已知，，，，，连接，则的度数为______． 42．如图，在四边形中，，，，，，那么四边形的面积是（    ） A． B．8 C． D． 43．如图，，，，．则_____°． A． B． C． D． 解答题 1．著名数学家希尔伯特曾说：“算式是算出来的图形，图形是画出来的公式”，构造图形是为了运用几何图形的直观性、数形结合来简化解决一些复杂数学问题．如图公路上两点（看作直线上的两点）相距分别是公路北边的两个村庄（看作两个点）．点是公路上的一个中转站．已知，垂足分别为． (1)求村庄到中转站的距离； (2)求村庄到公路上点的距离． 2．如图，在四边形中，，以边向外作正方形，若，，，求正方形的面积． 3．问题提出 （1）如图1，在中，．若，，，则______． 问题探究 （2）如图2，在四边形中，对角线，交于点，且． 求证：． 问题解决 （3）如图3，是某小区的局部示意图，其中，米，，是两条小道，为的中点，于点．该小区物业计划在的下方修一条骑行小道，且满足，．请根据上述条件，求骑行小道的长． 4．（1）【阅读材料】 如图1，在边长为a的正方形边上挖去一个边长为b的正方形，再将剩余部分中长方形①剪下，与其它部分拼成图2所示的长方形．由面积的不同算法可得乘法公式：________； （2）【类比探究】 如图3，的三条边长分别记为a，b，c，，点C，A，E在同一条直线上，连接．请推导出a，b，c之间的等量关系． （3）【应用结论】 如图4，的两条直角边及斜边上的高分别记为a，b，h．应用上面结论求证． 5．如图1，四个全等的直角三角形拼成一个大正方形，中间空白部分也是正方形．已知直角三角形的两直角边长分别为a，b，斜边长为c．课堂上，老师结合图形，用不同的方式表示大正方形的面积，证明了勾股定理． (1)请用图1推导勾股定理，并写出推导过程． (2)现将图1中的两个直角三角形向内翻折，得到图2．若，，求空白部分的面积． (3)琪琪有一个和老师形状类似大小不同的图形，她把4个直角三角形剪下来紧密拼接成风车状，如图3．已知外围轮廓（实线）的周长为，，求该风车状图案的面积． 6．在数轴上表示出无理数和． 7．古希腊的哲学家柏拉图曾指出，如果表示大于的整数，，，， 那么为勾股数．你认为正确吗？如果正确，请说明理由，并利用这个结论直接写出一组勾股数． 8．如图，是王奶奶家的一块菜地，中间用小路隔开，分别种植不同的蔬菜，经测量，，，，．求区域的面积．（小路的宽度忽略不计） 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题06勾股定理的探究及逆定理精讲学案 课堂核心立意 通过方格面积法、割补法探究勾股定理，掌握直角三角形三边核心数量关系；理解并掌握勾股定理逆定理，能精准区分“直角三角形性质”与“直角三角形判定”；建立由形得数、由数判形的几何思维，规范勾股定理计算、证明、判定步骤，为几何求值、折叠、最短路径、几何证明打下核心基础。 勾股定理（直角三角形性质定理）： 在Rt△中，两直角边的平方和等于斜边的平方；若直角边为a、b，斜边为c，则满足核心公式a2+b2=c2；只适用于直角三角形，斜边一定是最长边。 勾股定理推导思想： 利用割补法、等面积法，通过大正方形面积等于四个直角三角形加小正方形面积，数形结合证明定理，是初中几何经典面积证法。 勾股定理核心用途： 已知直角三角形任意两边，求第三边；用于边长计算、周长面积求解、几何线段求值、折叠模型、距离计算。 常见勾股数： 基础固定数组（3,4,5）（6,8,10）（5,12,13）（9,12,15）（7,24,25）；勾股数正整数倍仍为勾股数，可直接快速解题。 勾股定理逆定理（直角三角形判定定理）： 在△ABC中，若三边满足a2+b2=c2，则这个三角形为直角三角形，且最长边c所对的角为直角。 逆定理判定核心逻辑： 先找最长边，再验证平方关系；只有最长边的平方等于另外两边平方和，才可判定直角三角形。 勾股定理与逆定理区别： 勾股定理是已知直角→推边长关系（性质）；逆定理是已知边长关系→证直角（判定），考试必须区分使用场景。 拓展判定： 若a2+b2c2，为锐角三角形；若a2+b2c2，为钝角三角形（c为最长边）。 几何应用体系： 可解决网格求线段长、不规则图形求边长、判断三角形形状、证明垂直、生活实际测距问题。 （老师最常抓、学生最常错） ①乱用勾股定理：非直角三角形不能用，做题不先判断直角直接代公式必错； ②分不清斜边与直角边：公式永远是两短边平方和=最长边平方； ③逆定理不找最长边，随便代入公式导致判定错误； ④勾股数倍数可以用，但小数、分数不是标准勾股数； ⑤题型无图时，不分类讨论斜边、直角边情况，漏解丢分。 题型 考察方向 难度 题型一 用勾股定理解三角形 ★★ 题型二 以直角三角形三边为边长的图形面积 ★★★ 题型三 利用勾股定理求两条线段的平方和（差） ★★★ 题型四 利用勾股定理证明线段平方关系 ★★★★ 题型五 勾股定理的证明方法 ★★★ 题型六 以弦图为背景的计算题 ★★★ 题型七 用勾股定理构造图形解决问题 ★★★★ 题型八 勾股定理与无理数 ★★★ 题型九 勾股数（树）问题 ★★★ 题型十 判断三边能否构成直角三角形 ★★ 题型十一 在网格中判断直角三角形 ★★★ 题型十二 利用勾股定理的逆定理求解 ★★★ 拔高题 8题 星级说明：★★基础；★★★中档提升；★★★★拔高拓展 题型一： 用勾股定理解三角形 解题思路：①确认直角三角形，分清直角边与斜边；②灵活变形a2+b2=c2求第三边；③无图题型要分类讨论谁是斜边。 1．在中，，a，b，c分别是，，的对边，若，则的值为（     ） A．4 B．8 C．16 D．32 【答案】C 【详解】解：∵如图，在中，，，，分别是，，的对边，且， ∴． 2．已知某个直角三角形的斜边长为，一条直角边的长为，则另一条直角边的长为（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据勾股定理计算即可得出结果． 【详解】解：另一条直角边长为． 3．某次机器人创意大赛，如图是一参赛队员设计的机器人比赛时行走的路径，机器人从点处先往西走，又往北走，遇到障碍后又往东走，再转向北走后往西拐．走了就到达点，则、两点之间的距离为_____． 【答案】15 【分析】作于点，再结合勾股定理计算即可得出结果． 【详解】解：如图，作于点， 则，， 在中，由勾股定理可得． 4．如图是小红在试鞋镜前的光路图，入射光线经平面镜反射后沿恰好入眼（为法线，即），已知小红的眼睛D到鞋底A处的距离，，若，且，，则小红的鞋底A处到镜子底端O的距离为（   ）m． A． B．2 C． D．4 【答案】B 【分析】根据平行线的性质求出的度数，结合法线的定义求出，利用光的反射定律得出，进而求出，最后在中利用含角的直角三角形性质及勾股定理求解． 【详解】解：∵，， ∴， ∵， ∴， 根据镜面的反射性质，反射角等于入射角，即， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵，， ∴， 小红的鞋底A处到镜子底端O的距离为． 题型二：以直角三角形三边为边长的图形面积 解题思路：①找到图形面积和边长平方的对应关系；②利用直角边上图形面积之和等于斜边上图形面积；③整体代入计算，不用单独求边长。 5．如图，以的三边为边长向外作正方形，三个正方形的面积分别为，，，若，，则的值为（     ） A．4 B．3 C．22 D．不能确定 【答案】A 【分析】先由正方形的面积公式将，，，分别用含、、的式子表示，再根据勾股定理得到、、之间的等式，再转化为，，之间的等式，代入数值，即可求出的值． 【详解】解：∵以的三边为边长向外作正方形，三个正方形的面积分别为，，， ∴，，， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴． 6．如图，在水平桌面上依次摆着三个正方形，已知位于中间的正方形的面积为，两边的正方形面积分别是，，则_______． 【答案】1 【分析】根据正方形的性质得，，再根据等角的余角相等得，则可根据“”判定，得到，；由勾股定理得，即．进而可以解决问题． 【详解】解：如图，    ∵在水平桌面上依次摆着三个正方形， ，， ，， ， 在和中， ， ， ，； 在中，由勾股定理得：， 即． 7．如图，已知正方形的面积为4，正方形的面积为3，则正方形的面积为（    ） A．1 B．5 C．7 D．25 【答案】C 【分析】根据正方形的面积公式以及勾股定理即可得出结论． 【详解】解：如图，正方形的面积为，正方形的面积为，正方形的面积为， 在中，， ∴，即正方形的面积为7． 题型三：利用勾股定理求两条线段的平方和（差） 解题思路：①把线段放到直角三角形中；②写出线段平方的表达式；③整体代入平方和、平方差，不必算出线段实际长度。 8．如图，在中，，，，以为边作正方形，则正方形的面积是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查勾股定理，如果直角三角形的两条直角边长分别是，，斜边长为，那么．根据勾股定理可求出，进而求出正方形的面积． 【详解】解：在中，， 由勾股定理得：， ． 故选：B． 9．如图，在中，，，于点D，E为上任意一点，则______． 【答案】231 【分析】该题考查了勾股定理，在 、、、中，由勾股定理得出，再代入求解即可． 【详解】证明：在 中，由勾股定理，得①， 在 中，由勾股定理，得②， 得． 在 中，由勾股定理，得③， 在 中，由勾股定理，得④， 得， 所以， ∵，， ∴． 故答案为：231． 10．如图，点是等腰直角斜边上一点（不与点、重合），，则等于（） A．1 B．2 C．4 D．不能确定 【答案】C 【分析】取斜边中点，得，设，则，由勾股定理得代入变形求解即可． 【详解】解：取斜边中点， ∵是等腰直角三角形， 则，且， 设，则， 在中，由勾股定理：， 则， 即：， 故． 题型四：利用勾股定理证明线段平方关系 解题思路：①作垂线构造直角三角形；②多次写出勾股定理平方等式；③通过等量代换、等式加减变形；④规范书写证明步骤。 11．在中，，，，的对应边分别是，，，则下列式子成立的是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】掌握直角三角形中两条直角边长的平方和等于斜边长的平方，根据直角确定斜边后，结合勾股定理即可判断． 【详解】解：∵，，，的对应边分别是，，， ∴ 斜边为的对边，，为两条直角边， 根据勾股定理得 ． 12．如图，在四边形中，对角线分别为，，且于点，若，，则 _______． 【答案】 【分析】、分别是两个直角三角形的斜边。 在中，， 在中，， 进而求解． 【详解】在中和中，，， 故答案为：40． 【点睛】本题考查了勾股定理的应用，掌握勾股定理是解题的关键． 13．如图，在四边形中，，分别以四边形的四条边向外作四个正方形，它们的面积分别是，，，，在，，则的值是______．    【答案】64 【分析】由勾股定理，得，于是，代入求解即可. 【详解】解：连接， 由题意得：，，，， ∵， ∴. ∴. ∴.    故答案为：64． 【点睛】本题考查正方形面积计算，勾股定理；由勾股定理得到线段之间的关系是解题的关键． 14．设为等腰直角斜边上或其延长线上一点，，那么（    ） A． B． C． D．不确定 【答案】B 【分析】本题主要考查的是勾股定理的应用，解法并不复杂，难点在于将问题考虑全面． 此题分两种情况讨论：①当在线段上，②当在的延长线上，利用勾股定理来探讨找到符合要求的点． 【详解】 解：为线段上时， ①当为中点时，如图 则有， 即； ②当点不为中点时，如图 过点作的垂线，设， 则 同理， 两式相加得 即； 点在的延长线上时，如图， 过点作垂直于的延长线于点， 过点作垂直于的延长线于点， 为等腰直角三角形， 为等腰直角三角形， 在中， 在中， 两式相加得 即； 综上可知：． 故选：B． 题型五：勾股定理的证明方法 解题思路：①核心是割补法、等面积法；②用两种不同思路表示同一个图形面积；③化简等式推导得到a2+b2=c2。 15．勾股定理是数学领域中绽放出的一朵思维之花，其证明方法多种多样．我国古代数学家赵爽在注解《周髀算经》时给出一个图形以证明勾股定理，人们称它为“赵爽弦图”．这个图形是（     ） A．B． C． D． 【答案】B 【详解】解：“赵爽弦图”是： 16．图1所示的图形在数学中占有重要地位，1955年希腊曾经发行了一枚纪念邮票（如图2），也用到了这个图形，这个图形之所以被如此重视，是因为它蕴含了一个重要的数学定理，这个定理是    （       ） A．勾股定理 B．平行线的判定定理 C．平行线的性质定理 D．三角形内角和定理 【答案】A 【分析】利用大正方形的面积等于另外两个小正方形的面积的和，以及大正方形的面积等于边长的平方可推导出勾股定理． 【详解】解：由图形可知，利用大正方形的面积等于另外两个小正方形的面积的和，以及大正方形的面积等于边长的平方可推导出勾股定理， ∴利用这个图形证明的重要数学定理是勾股定理． 17．你认为以下四种图形能用来证明勾股定理的图形有______．（填序号） 【答案】 【分析】本题考查勾股定理的证明，解答本题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答．根据图①可以得到，然后化简即可；根据图②，无法确定、、的关系．由图可得，，然后化简即可；由图可得，，然后化简即可． 【详解】解：由图①可得， ， 化简，得：， 故图①可以证明勾股定理； 根据图②中的条件，无法证明勾股定理； 由图可得，， 化简，得：， 故图可以证明勾股定理； 由图可得，， 化简，得：， 故图可以证明勾股定理； 故答案为：． 18．下列选项中（图中三角形都是直角三角形），不能用来验证勾股定理的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】利用图形的面积关系，通过等面积法推导出，据此判断各选项是否能通过面积相等得到勾股定理的结论． 【详解】解：A、大正方形的面积可表示为，也可表示为， ∴，整理得，故A选项可以验证勾股定理； B、梯形的面积可表示为，也可表示为， ∴，整理得，故B选项可以验证勾股定理； C、图形的面积关系无法直接通过等面积法推导出，故C选项不能用来验证勾股定理； D、大正方形的面积可表示为，也可表示为， ∴，整理得，故D选项可以验证勾股定理． 题型六：以弦图为背景的计算题 解题思路：①识别大正方形、小正方形、四个全等直角三角形；②找准直角三角形三边与内外正方形边长关系；③结合面积公式、勾股定理联立求解。 19．如图是我国汉代数学家赵爽在注解《周髀算经》时给出的“赵爽弦图”，它是由四个全等的直角三角形和中间的小正方形拼成的一个大正方形．若，则正方形的面积为（　　） A．2 B．1 C．8 D．12 【答案】B 【分析】利用勾股定理求解，再进一步求解即可. 【详解】解：∵正方形，， ∴， ， 小正方形的面积是． 20．“赵爽弦图”巧妙地利用面积关系证明了勾股定理，是我国古代数学的骄傲．如图所示的“赵爽弦图”是由四个全等的直角三角形和一个小正方形拼成的一个大正方形．设直角三角形较短直角边长为，较长直角边长为，若，小正方形的面积为1，则大正方形的面积为__________． 【答案】13 【分析】由题意可得，求出，结合勾股定理即可得出结果． 【详解】解：由题意可得：，， ∴， ∵， ∴两式相加可得， ∴， ∴结合勾股定理可得，大正方形的面积为． 21．如图所示的“赵爽弦图”是由四个全等的直角三角形和一个小正方形密铺构成的大正方形，其中大正方形的边长为，，连接，则的长度为（     ）． A． B．6 C．5 D． 【答案】D 【分析】首先利用大正方形的边长，结合勾股定理求出直角三角形的另一条直角边，从而确定小正方形的边长，最后运用勾股定理计算直角三角形中的长度． 【详解】解： 大正方形的边长为，， 直角三角形另一条直角边． ， ， ， ∴在正方形中，， 在直角三角形中，． 题型七：用勾股定理构造图形解决问题 解题思路：①根据题意作辅助线，构造直角三角形；②把已知条件转化为直角三角形边长；③利用勾股定理列式求解，检验结果是否符合实际。 22．如图，一架长的梯子斜靠在竖直的墙上，这时梯子的底部到墙底端的距离为，则梯子的顶端距地面为（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】已知斜边与一条直角边，利用勾股定理求解另一条直角边长度即可． 【详解】解：由题意得，，， 在中，， ， 梯子的顶端距地面为． 23．明代数学家程大位在他的著作《算法统宗》中记载了一道“荡秋千”问题：“平地秋千未起，踏板一尺离地；送行二步与人齐，五尺板高离地．．．算出索长有几？”译文为：“秋千静止的时候，踏板离地尺，将它往前推送两步（两步尺）后，此时踏板升高到离地尺，秋千的绳索始终拉得很直，试问秋千绳索有多长？”如图，若设秋千绳索长为尺，则可列方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】设秋千的绳索长为尺，根据题意可得尺，利用勾股定理即可得出方程． 【详解】解：设秋千的绳索长为尺，则尺， ∵秋千静止的时候，踏板离地尺，将它往前推送两步后，踏板升高到离地尺， ∴尺， ∵， ∴可列方程为． 24．如图，在中，，将的一部分折叠，点落在边上的点处，折痕交于点，测得的周长为12，，则边__________． 【答案】6 【分析】根据折叠的性质可得，，由的周长及的长可求出的长，设，则，在中利用勾股定理构建方程求解即可． 【详解】解：∵将的一部分折叠，点落在边上的点处，折痕交于点， ， ， 的周长为12， ， ， ， ，即， 设，则，， 在中，， 由勾股定理得 ∴，解得：， ． 25．如图，某超市为了吸引顾客，在超市门口离地高m的墙上，装有一个由传感器控制的门铃，如图①所示，人只要移至该门铃m及m以内时，即m，门铃就会自动发出语音“欢迎光临”如图②所示，一个身高m的学生走到处，即m，门铃恰好自动响起，则的长为（     ） A．米 B．米 C．米 D．米 【答案】B 【分析】本题主要考查了勾股定理的应用，确定直角三角形进行求解是解题的关键． 根据已知条件得到，在中利用勾股定理计算即可； 【详解】解：由题意可知，，，，则， 在中，由勾股定理得：， ， 即门铃恰好自动响起，则的长为米； 故选：． 题型八：勾股定理与无理数 解题思路：①利用勾股定理求出线段长为无理数；②在数轴或网格中画出对应长度线段；③估算无理数大小，确定整数、小数部分。 26．如图，在中，，，，以点为圆心，长为半径作弧，交数轴负半轴于点，则点表示的数是________． 【答案】 【分析】由勾股定理求出的长度，进而得的长度，则可求得点表示的数． 【详解】解：由勾股定理得， 由作图知， 则点表示的数为． 27．如图，长方形放置在数轴上，已知，，以点为圆心，长为半径画弧，交数轴于点，则点表示的数为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】先由勾股定理得到的长，然后由作图步骤可知，再结合数轴即可得解． 【详解】解：，， ， 由作图步骤可知，， 点表示的数为． 28．如图，在中，，，以点O为圆心，以的长为半径画弧交数轴于点A，则点A表示的数为__________． 【答案】 【分析】利用勾股定理求出线段长度，然后结合数轴进行求解． 【详解】解：由勾股定理得， ∴点A表示的数为． 29．如图，数轴上点所表示的数为1，点，，是的正方形网格上的格点，以点为圆心，长为半径画圆交数轴于，两点，则点所表示的数为（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】利用勾股定理求出的长，再根据数轴上点的位置关系求解． 【详解】解：由图可知，点表示的数为1， 在网格中构造以为斜边的直角三角形，两直角边长分别为1和3， ∴， ∵以点为圆心，长为半径画圆交数轴于，两点， ∴， ∵点在点的右侧， ∴点表示的数为． 题型九：勾股数（树）问题 解题思路：①勾股数必须是一组正整数，满足a2+b2=c2；②熟记常用基础勾股数，正整数倍仍是勾股数；③按定义判断，小数、分数不属于勾股数。 30．若7，24，x是一组勾股数，则x的值为________． 【答案】25 【分析】分两种情况讨论，为最长边和为最长边，结合勾股定理计算后筛选符合条件的的值． 【详解】解：勾股数是满足勾股定理的三个正整数，分两种情况讨论： 当为最长边时，根据勾股定理得： 由，得 ，是正整数，符合要求； 当为最长边时，根据勾股定理得： 因为不是完全平方数，不是正整数，不符合勾股数定义，舍去． 31．下面四组数，其中是勾股数组的是（     ） A．，， B．，， C．，， D．，， 【答案】A 【分析】根据勾股数的定义：满足的三个正整数称为勾股数，逐一验证选项即可． 【详解】解：对选项A：，且3，4，5都是正整数，∴A符合题意； 对选项B：0.3，0.4，0.5都不是整数，∴B不符合勾股数定义，不符合题意； 对选项C：，，，∴C不符合题意； 对选项D：，，，∴D不符合题意． 32．《周髀算经》中记录了一组“勾为三，股为四，弦为五”的勾股数．观察下列勾股数：、、；、、；、、；…，这类勾股数的特点是：勾为奇数，弦与股相差为，若某个此类勾股数的勾为，则其弦是________． 【答案】 【分析】已知勾为，弦与股相差，根据勾股定理列方程即可求解． 【详解】解：设该勾股数的股为，则弦为， 根据勾股定理可得， 展开等式右边得， 消去后整理得， 解得， 因此弦为． 33．如图，这是一株美丽的勾股树，所有的四边形都是正方形，所有的三角形都是直角三角形，若正方形、、、的边长是、、、，则最大正方形的边长是___________ 【答案】 【分析】分别设中间两个正方形和最大正方形的边长为 ，由勾股定理得出，即可求得最大正方形的边长． 【详解】设中间左，右两个正方形的边长分别为 ，最大正方形的边长为 ， 则由勾股定理得：， ， ， 即最大正方形的边长是． 题型十：判断三边能否构成直角三角形 解题思路：①先找出三边中的最长边；②计算最长边平方与另外两边平方和；③对比等式是否成立，成立即为直角三角形。 34．下列各组线段中，能作为直角三角形三边的是（     ） A．3，4，6 B．6，8，10 C．5，12，15 D．7，23，24 【答案】B 【分析】运用勾股定理逆定理计算，满足两短边的平方和等于最长边的平方即可． 【详解】解：A、，故3，4，6不能作为直角三角形三边，该选项不符合题意； B、，故6，8，10能作为直角三角形三边，该选项符合题意； C、，故5，12，15不能作为直角三角形三边，该选项不符合题意； D、，故7，23，24不能作为直角三角形三边，该选项不符合题意． 35．的三边长分别为，，，由下列条件能判断为直角三角形的是（     ） A．，， B．，， C．，， D．，， 【答案】D 【分析】先确定各选项中三角形的最长边，再利用勾股定理逆定理验证两短边平方和是否等于最长边平方． 【详解】解：A选项，，，，不是直角三角形； B选项，，，，∴不是直角三角形； C选项，，，，∴不是直角三角形； D选项，，，，∴是直角三角形． 36．以下列所给数据为三角形的各边长，组成的三角形是直角三角形的有（     ） ①7，24，25；        ②，，； ③，，；    ④1，，． A．1组 B．2组 C．3组 D．4组 【答案】C 【分析】对四组边长分别判断，找出最长边，验证两条较短边的平方和是否等于最长边的平方，即可求解 【详解】解：① 对边长，最长边为， 计算得，满足勾股定理逆定理，是直角三角形； ② 对边长，比较可得是最长边． 计算得，满足勾股定理逆定理，是直角三角形； ③ 对边长，最长边为． 展开计算得， ，两者不相等，不满足条件，不是直角三角形； ④ 对边长，最长边为， 计算得，满足勾股定理逆定理，是直角三角形． 综上，共有①②④3组符合条件． 题型十一：在网格中判断直角三角形 解题思路：①利用网格，勾股定理算出三角形三边长度的平方；②找出最大平方值；③验证是否满足逆定理的平方关系，判断直角。 37．在如图的网格中，以为一边画，则满足条件的格点C共有（    ） A．6个 B．5个 C．4个 D．3个 【答案】A 【分析】本题考查了直角三角形的性质与判定，根据网格的特点，分为斜边，以及分别为直角顶点，分类讨论，即可求解． 【详解】解：当是斜边时，则第三个顶点所在的位置有：C、D、E、H四个； 当是直角边，A是直角顶点时，第三个顶点是F点； 当是直角边，B是直角顶点时，第三个顶点是G． 因而共有6个满足条件的顶点． 故选：A． 38．如图，在每个小正方形的边长均为1的正方形网格中，有三条线段（线段端点都在格点上），以这三条线段为边能否组成一个直角三角形？答：________（填“能”或“不能”）． 【答案】不能 【分析】本题考查勾股定理的逆定理，掌握知识点是解题的关键． 根据勾股定理的逆定理进行判断即可． 【详解】解：由图，得 ，，， ∵， 即， ∴三条线段不能组成直角三角形． 故答案为：不能． 39．如图，的顶点都在正方形网格的格点上，则的形状是（     ） A．锐角三角形 B．直角三角形 C．钝角三角形 D．无法确定 【答案】B 【分析】利用勾股定理求出，再根据勾股定理的逆定理即可判断求解． 【详解】解：由网格得，，，， ∵， ∴是直角三角形． 题型十二：利用勾股定理的逆定理求解 解题思路：①计算三边平方，确定最长边；②运用逆定理判定是否为直角三角形；③若为直角三角形，再结合直角条件求边长、面积。 40．如图，点E在边长为13的正方形内，，，求出图中阴影部分的面积是______． 【答案】 【分析】根据题意证明，得到，据此根据进行求解即可． 【详解】解：∵，，， ∴ ∴ ∴． 41．已知，，，，，连接，则的度数为______． 【答案】 【分析】先使用勾股定理计算出，再根据勾股定理的逆定理判断出． 【详解】解：在中，， ∵， ∴． 42．如图，在四边形中，，，，，，那么四边形的面积是（    ） A． B．8 C． D． 【答案】A 【分析】根据勾股定理求出的长，再利用勾股定理的逆定理证明是直角三角形，然后利用进行计算即可解答． 【详解】解：如图，连接, ∵，，， ∴， ∵，， ∴，， ∴， ∴是直角三角形， ∴， ∴ ． 43．如图，，，，．则_____°． A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了勾股定理及逆定理、全等三角形的判定与性质，通过作辅助线构造直角三角形，结合全等三角形转化角的关系是解题的关键． 过点作，垂足为，，在和中，以为桥利用勾股定理列方程得，即可得，由得，由，可证，可得，由即可得． 【详解】解：如图，过点作，垂足为， ∴，，， ∴， 设，则， ∴， 解得，即， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∵，，即， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∵， ∴ 故选：C． 解答题 1．著名数学家希尔伯特曾说：“算式是算出来的图形，图形是画出来的公式”，构造图形是为了运用几何图形的直观性、数形结合来简化解决一些复杂数学问题．如图公路上两点（看作直线上的两点）相距分别是公路北边的两个村庄（看作两个点）．点是公路上的一个中转站．已知，垂足分别为． (1)求村庄到中转站的距离； (2)求村庄到公路上点的距离． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据勾股定理计算即可； （2）根据已知条件求出，再根据勾股定理求解即可； 【详解】（1）解：， ， ，， ， ． （2）解：，， ， ， ， ，， ， ． 2．如图，在四边形中，，以边向外作正方形，若，，，求正方形的面积． 【答案】 【分析】本题考查的是勾股定理的应用，熟练掌握公式是解题的关键． 先利用勾股定理计算，再求解即可得答案． 【详解】解：，，， ， ，， ， 正方形的面积为． 3．问题提出 （1）如图1，在中，．若，，，则______． 问题探究 （2）如图2，在四边形中，对角线，交于点，且． 求证：． 问题解决 （3）如图3，是某小区的局部示意图，其中，米，，是两条小道，为的中点，于点．该小区物业计划在的下方修一条骑行小道，且满足，．请根据上述条件，求骑行小道的长． 【答案】（1）； （2）证明：于点， 在中，，在中，， 在中，，在中，， ， ； （3）骑行小道的长为米 【分析】本题考查的是勾股定理的应用，正确灵活运用勾股定理是解题的关键． （1）利用勾股定理求得的长，再求即可； （2）由勾股定理可知，，，，B，进而可证明结论； （3）利用勾股定理求得，通过，点为的中点，进行等量代换计算求得，据此即可求解． 【详解】（1）解：， ， ，， ， ， ， 故答案为：； （2）略 （3）解：，，， ， ， ，， ， 点为的中点， ， ， 米， 骑行小道的长为米． 4．（1）【阅读材料】 如图1，在边长为a的正方形边上挖去一个边长为b的正方形，再将剩余部分中长方形①剪下，与其它部分拼成图2所示的长方形．由面积的不同算法可得乘法公式：________； （2）【类比探究】 如图3，的三条边长分别记为a，b，c，，点C，A，E在同一条直线上，连接．请推导出a，b，c之间的等量关系． （3）【应用结论】 如图4，的两条直角边及斜边上的高分别记为a，b，h．应用上面结论求证． 【答案】（1）； （2）； （3）由（2）得：， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴． 【分析】本题主要考查了勾股定理的证明，全等三角形的性质： （1）根据面积的不同算法即可得乘法公式； （2）结合全等三角形的性质可得到，再由，即可解答； （3）由（2）得：，根据，可得，从而得到，即可求证． 【详解】解：（1）图1中阴影部分的面积为， 图2中阴影部分的面积为， 由面积的不同算法可得乘法公式：； 故答案为： （2）∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， 即， ∴； （3）略 5．如图1，四个全等的直角三角形拼成一个大正方形，中间空白部分也是正方形．已知直角三角形的两直角边长分别为a，b，斜边长为c．课堂上，老师结合图形，用不同的方式表示大正方形的面积，证明了勾股定理． (1)请用图1推导勾股定理，并写出推导过程． (2)现将图1中的两个直角三角形向内翻折，得到图2．若，，求空白部分的面积． (3)琪琪有一个和老师形状类似大小不同的图形，她把4个直角三角形剪下来紧密拼接成风车状，如图3．已知外围轮廓（实线）的周长为，，求该风车状图案的面积． 【答案】(1)证明：∵大的正方形的面积可以表示为，大的正方形的面积又可以表示为， ∴， ∴， ∴． (2) (3) 【分析】（1）根据大的正方形的面积可以表示为，大的正方形的面积又可以表示为，联立等式即可求解； （2）根据空白部分的面积=边长为c的正方形的面积个直角三角形的面积，即可求解； （3）根据风车状图案的周长求出的长，在直角三角形中，利用勾股定理求出的长，进而确定出的长，求出三角形面积，即可确定出所求． 【详解】（1）略 （2）解：空白部分的面积边长为c的正方形的面积个直角三角形的面积， ∵，， ∴空白部分的面积； （3）解：根据题意得：，，即， 在中，根据勾股定理得：，即， 解得：， ∴， ∴， ∴该风车状图案的面积． 6．在数轴上表示出无理数和． 【答案】如图所示，点表示： ； 如图所示，点表示： 【分析】利用勾股定理构造直角三角形使得斜边长分别为和，再通过画弧的方式将长度在数轴上标出即可． 【详解】解：设数轴上表示1的点为，原点为， 过点作数轴的垂线，以点为圆心，以1个单位长度为半径画弧与垂线交于点； 连接，以点为圆心，以为半径画弧，交数轴于点； 过点作数轴的垂线，以点为圆心，以1个单位长度为半径画弧与垂线交于点； 连接，以点为圆心，以为半径画弧，交数轴于点； 点表示，作图 ； ∵，， ∴， ∵，， ∴， ∴． 设数轴上表示3的点为， 过点作数轴的垂线，以点为圆心，以1个单位长度为半径画弧与垂线交于点； 连接，以点为圆心，以为半径画弧，交数轴于点； 点表示，作图 ； ∵，，， ∴， ∴． 7．古希腊的哲学家柏拉图曾指出，如果表示大于的整数，，，， 那么为勾股数．你认为正确吗？如果正确，请说明理由，并利用这个结论直接写出一组勾股数． 【答案】正确．理由： ∵表示大于的整数， ∴都是正整数，且是最大边， ∵， ∴即为勾股数， 当时，可得一组勾股数． 【分析】根据勾股定理计算其中较小两边的平方和，判断是否等于第三边的平方，继而证明结论，写出当时，组成的一组勾股数即可. 【详解】略. 8．如图，是王奶奶家的一块菜地，中间用小路隔开，分别种植不同的蔬菜，经测量，，，，．求区域的面积．（小路的宽度忽略不计） 【答案】区域的面积为． 【分析】先判定是直角三角形，根据勾股定理求出的长，再根据三角形面积公式即可求解． 【详解】解：在中，，，， ∴，， ∴， ∴是直角三角形，且， ∴， 在中，， ∴． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $