2.2 立方根(讲义，1大知识8大题型+刷好题)数学新教材苏科版八年级上册

本讲义聚焦“立方根”核心知识点，系统梳理其定义、符号表示及性质，建立与平方根的性质差异及互逆运算逻辑，形成从概念理解到求值运算再到实际应用的完整学习支架。 通过立方体体积情境抽象概念培养数学眼光，对比平方根性质发展推理意识，设计规律探索（如小数点移动规律）、实际应用（如立方倍积问题）等题型，课中辅助分层教学，课后助力查漏补缺，提升应用意识与创新思维。

第二章 实数 2.2 立方根 课标要点 1.结合立方体体积实际情境抽象立方运算，认识立方根概念，会用符号表示立方根。 2.区分平方根与立方根的性质差异，掌握正数、0、负数立方根的规律，建立立方与开立方互逆逻辑。 3.利用立方根定义求值、逆向求参数，结合实际场景判断根的实际含义。 学习重难点 重点： 1.平方根、算术平方根的定义与符号书写。 2.已知非负数求平方根、算术平方根的基础运算。 3.理解平方与开平方互为逆运算。 难点： 1.区分平方根（两个互为相反数）和算术平方根（仅非负正根）。 2.隐含条件：被开方数(a≥0)，含参数代数式有平方根时求参数取值范围。 3.结合实际问题理解算术平方根的实际意义，舍去无意义负根。 知识点一 立方根 定义：一般地，如果一个数的立方等于a，那么这个数叫做a的立方根或三次方根. 如果，则x叫做a的立方根. 表示方法：一个数a的立方根，用符号“”表示，读作“三次根号a”.其中a叫被开方数，3是根指数，注意中的根指数3不能省略. 性质：正数只有一个正的立方根；0的立方根是0；负数只有一个负的立方根． 开立方定义：求一个数的立方根的运算叫做开立方. 特别提醒 立方根等于本身的有0和±1 教材延伸 1）任意数都只有一个立方根，且与这个数的符号相同(0的立方根是0). 2）互为相反数的两数，它们的立方根也互为相反数.即= - 即学即练 1．（25-26八年级上·江苏宿迁·期末）下列说法中错误的是（   ） A．9的算术平方根是3 B．4的平方根是 C．27的立方根为 D．立方根等于1的数是1 【答案】C 【分析】本题考查了对算术平方根，平方根，立方根的应用，主要考查学生的理解能力和计算能力． 根据算术平方根，平方根，立方根的定义求出每个的值，再判断即可． 【详解】解：A．9的算术平方根是3，正确； B．4的平方根是，正确； C．27的立方根是3，不是，错误； D．立方根等于1的数是1，即若，则，正确． 故选C． 2．（25-26八年级上·河北石家庄·期中）下列各式中，正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查算术平方根和立方根的定义及性质，根据算术平方根的定义、立方根的定义进行判断即可． 【详解】解：A、，本选项错误，不合题意； B、，本选项错误，不合题意； C、，本选项正确，符合题意， D、，本选项错误，不合题意； 故选：C． 3．（25-26八年级上·江苏连云港·阶段检测）计算_______． 【答案】0 【分析】本题主要考查了立方根与算术平方根的运算，熟练掌握立方根和算术平方根的定义是解题的关键．先分别计算立方根和算术平方根，再进行加法运算． 【详解】解： ． 故答案为：． 4．（25-26八年级上·陕西西安·期中）已知和是一个正数的两个平方根，的立方根是3，则的算术平方根是______ 【答案】3 【分析】本题考查了平方根的定义，立方根的定义，求一个数的算术平方根． 利用平方根互为相反数的性质求a，利用立方根的定义求b，再计算，求其算术平方根即可． 【详解】解：和是一个正数的两个平方根， ， 解得， 又的立方根是3， ， 解得， ， 的算术平方根， 故答案为： 题型01 求一个数的立方根 解题贴士 求一个数a的立方根通常用开立方运算，先找出立方等于a的数，写出立方式，再由立方式写出a的立方根的值 典｜例｜精｜析 例1．（25-26八年级上·江苏南京·期末）_____；____ 【答案】 3 【分析】本题考查立方根运算和算术平方根运算，分别根据立方根的定义和算术平方根的定义进行计算即可． 【详解】解：； ． 故答案为：；3． 变｜式｜巩｜固 1．（25-26八年级上·江苏宿迁·阶段检测）已知点与点关于原点对称，则的立方根是_____． 【答案】 【分析】本题考查了关于原点对称的点的坐标特征． 根据关于原点对称的点的坐标特征，横坐标和纵坐标都互为相反数，求出x和y的值，再计算，最后求立方根． 【详解】解：∵点与点关于原点对称， ∴，， 解得，， ∴， ∴的立方根为． 故答案为：． 2．（25-26八年级上·江苏宿迁·期中）小成编写了一个程序：输入正数立方根倒数算术平方根，则正数为_______． 【答案】8 【分析】该题考查了算术平方根，立方根，倒数等知识点．根据程序步骤反向推导，从输出结果开始，逐步逆运算求出输入值． 【详解】解：， ∴， ∵为正数， ∴， 故答案为：8． 3．（25-26八年级上·广东茂名·期中）的立方根与的积是________． 【答案】 【分析】本题考查立方根和平方根，正确计算是解题关键．先求出的立方根和的值，再计算它们的乘积． 【详解】解：的立方根是，， ∴的立方根与的积是， 故答案为：． 题型02 立方根的概念理解 典｜例｜精｜析 例2．（25-26八年级上·江苏南京·期中）下列说法正确的是__________．（填序号） ①负数没有平方根；②负数的立方根是负数；③平方根等于它本身的数是0和1． 【答案】①② 【分析】本题考查平方根定义、立方根定义等知识，熟记平方根及立方根定义是解决问题的关键． 根据平方根和立方根的定义及性质进行判断；负数没有实数平方根；负数的立方根是负数；平方根等于它本身的数只有0；从而确定答案． 【详解】解：①由任何实数的平方均为非负数，即可判断①正确； ②由负数的立方是负数，即可判断②正确； ③的平方根是；的平方根是，即可判断③错误； 综上所述，正确的是①②， 故答案为：①②． 变｜式｜巩｜固 1．（25-26八年级上·江苏盐城·期中）下列说法，其中正确的说法是（   ） ①负数没有立方根；②实数和数轴上的点是一一对应的：③；④正数的两个平方根互为相反数：⑤任意实数都存在平方根；⑥算术平方根等于它本身的数只有0． A．①②③ B．②③⑥ C．②④ D．④⑤ 【答案】C 【分析】本题考查立方根、平方根、算术平方根的定义及实数的性质，根据定义逐一判断即可． 【详解】解：∵负数的立方根是负数，∴①错误； ∵实数与数轴上的点一一对应，∴②正确； ∵，∴③错误； ∵正数的两个平方根互为相反数，∴④正确； ∵负数没有平方根，∴⑤错误； ∵算术平方根等于本身的数有0和1，∴⑥错误； ∴正确的说法是②和④， 故选C． 2．（25-26八年级上·河南新乡·期末）下列说法：①任何数都有平方根；②是的立方根；③；④的立方根是4；⑤算术平方根不可能是负数．其中不正确的有（    ） A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 【答案】C 【分析】本题主要是考查了平方根，算术平方根和立方根的概念，熟练地掌握概念是解题的关键． 根据平方根、算术平方根和立方根的定义进行判断即可． 【详解】解：①非负数有平方根，原说法错误； ②2是的立方根，原说法错误； ③，原说法错误； ④的立方根是，原说法错误； ⑤算术平方根不可能是负数，正确； 所以不正确的有4个． 故选：C 3．（23-24八年级上·吉林长春·期末）关于立方根，下列说法正确的是（　　） A．正数有两个立方根 B．立方根等于它本身的数只有 C．负数的立方根是负数 D．负数没有立方根 【答案】C 【分析】此题考查了立方根，熟练掌握立方根的定义是解本题的关键． 各项利用立方根定义判断即可． 【详解】解：A、正数有一个立方根，错误； B、立方根等于本身的数有，，，错误； C、负数的立方根是负数，正确； D、负数有立方根，错误， 故选：C． 题型03 已知一个数的立方根，求这个数 典｜例｜精｜析 例3．（25-26八年级上·全国·课后作业）若一个数的立方根是，则这个数是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了根据立方根求这个数，解题的关键是掌握立方根的定义． 利用立方根的定义进行求解即可． 【详解】解：∵， ∴的立方根是， 故选：C． 变｜式｜巩｜固 1．（24-25七年级下·湖南永州·阶段检测）已知，则x的值为__________． 【答案】0或1或2 【分析】本题主要考查了根据立方根求原数．根据题意可得的立方根是它本身，则或，据此求出x的值即可． 【详解】解：∵， ∴的立方根是它本身， ∴或， ∴或或， 故答案为：0或1或2． 2．（23-24七年级下·云南昭通·期中）已知；，则的值是（    ） A．9或 B．9或 C．3或 D．3或 【答案】A 【分析】此题考查平方根的定义及立方根的定义，代数式求值，根据平方根的定义及立方根的定义求出a，b，然后分情况代入计算即可． 【详解】解：∵，， ∴，， 当时，，则， 当时，，则， 故选：A． 3．（25-26八年级上·陕西西安·期中）是的立方根，的立方根是，则______． 【答案】512 【分析】本题考查了立方根的定义，根据立方根的定义，分别求出a和b的值，再计算． 【详解】解：是的立方根， ， 解得， 的立方根是， ， 即， 解得， 则， 故答案为512． 题型04 利用立方根的性质求解 典｜例｜精｜析 例4．（25-26八年级上·陕西西安·期中）已知m，n为实数，若，则的算术平方根为______． 【答案】 【分析】本题考查了立方根的性质． 利用立方根的性质，将方程转化为一元一次方程，求解的值，再求其算术平方根． 【详解】解：由， 得， 两边立方，得， 整理得， 即， 所以． 故的算术平方根为． 故答案为：． 变｜式｜巩｜固 1．（24-25七年级下·江苏南通·阶段检测）已知与互为相反数，则的立方根是____________． 【答案】 【分析】此题主要考查了实数的性质，以及立方根的性质和应用，要熟练掌握，解答此题的关键是要明确：一个数的立方根只有一个，正数的立方根是正数，负数的立方根是负数，0的立方根是0．根据与互为相反数，可得：，据此求出的值是多少，进而求出的立方根是多少即可． 【详解】解：∵与互为相反数， ∴， ∴， ∴， ∴的立方根是：2． 故答案为：． 2．（25-26八年级上·全国·课后作业）若与互为相反数，则______． 【答案】3 【分析】此题主要考查了相反数的性质，立方根，正确得出的值是解题关键． 直接利用相反数的性质得出的值，进而代入计算得出答案． 【详解】解：∵与互为相反数， ∴， ∴， 解得：． 则． 故答案为：3． 题型05 与立方根有关的规律探索问题 解题贴士 被开方数a的小数点移动与它的立方根的小数点移动存在如下规律: 被开方数的小数点每向左或右移动三位，那么算术平方根的小数点相应的向左或右移动一位. 典｜例｜精｜析 例4．（24-25七年级下·四川德阳·期中）已知，，，则（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查了求一个数的立方根、立方根的性质等知识点，掌握立方根的性质成为解题的关键． 将21400分解为，再利用立方根的性质求解即可． 【详解】解：∵， ∴． 故选A． 变｜式｜巩｜固 1．（25-26八年级上·上海·期中）已知，，，，则的立方根是________． 【答案】 【分析】本题考查立方根，算术平方根，熟练掌握其性质是解题的关键．根据立方根的性质：被开立方数的小数点向左（或向右）移动三位，那么其立方根的小数点向左（或向右）移动一位即可求得答案． 【详解】解：由，得； ∵，， 故 故答案为：． 2．（24-25七年级下·湖北黄石·阶段检测）已知，且，则______． 【答案】 【分析】本题主要考查立方根中小数点的移动数位与被开方数之间的关系．注意掌握开立方时，被开方数的小数点每移动3位，则开方的结果小数点移动一位．由题意，当被开方数的小数点每移动6位，则开立方的结果小数点向相同方向移动2位，即可求解． 【详解】解：∵，， ∴， ∴． 故答案为：． 3．（25-26八年级上·河南郑州·期中）观察如表，并解答下列问题． a 1 1000 1000000 ______ ______ 100 【规律总结】 （1）①请补全如表； ②根据如表，可以得到被开方数和它的立方根之间小数点的变化规律：若被开方数的小数点向右（或向左）移动三位，则它的立方根的小数点就相应地向右（或向左）移动______位； 【规律应用】 （2）已知，，． ①______； ②用铁皮制作一个封闭的正方体，使它的体积为3000立方米，则需要多大面积的铁皮？（保留整数） 【答案】（1）①见解析；②1；（2）①；②1248平方米． 【分析】本题考查立方根，理解立方根的定义是正确解答的关键． （1）根据立方根的定义求出1，1000的立方根即可，； （2）①根据规律得到即可；②根据规律求出的值，再根据正方体表面积的计算方法求出表面积即可． 【详解】解：（1）①，， 补全表格如下： a 1 1000 1000000 1 10 100 ②根据如表，可以得到被开方数和它的立方根之间小数点的变化规律：若被开方数的小数点向右或向左移动三位，则它的立方根的小数点就相应地向右或向左移动1位， 故答案为：1； （2）①， 故答案为：； ②正方体的体积为3000立方米， 正方体的棱长为：米 需要铁皮的面积为平方米 题型06 立方根的实际应用 典｜例｜精｜析 例5．（25-26八年级上·江苏常州·期末）古希腊著名的三个几何作图难题，其中一个为“立方倍积”问题，即求作一个正方体，使它的体积等于已知正方体的体积的2倍．若已知正方体的棱长是1，则求作的这个正方体的棱长是______． 【答案】 【分析】本题考查立方根的实际应用．根据题意求作的这个正方体的体积为2，根据立方根的定义即可求解． 【详解】解：∵已知正方体的棱长是1， ∴已知正方体的体积是， ∵求作的正方体的体积等于已知正方体的体积的2倍， ∴求作的这个正方体的体积为， ∴求作的这个正方体的棱长为． 故答案为：． 变｜式｜巩｜固 1．（25-26八年级上·江苏无锡·期中）如果一个正方体的体积扩大到原来的64倍，那么它的棱长扩大到原来的（　　） A．4倍 B．8倍 C．32倍 D．64倍 【答案】A 【分析】本题考查立方根的实际应用，理解体积与棱长的关系是关键． 设原棱长为a，新棱长为b，体积扩大到原来的64倍，得到，求出，由此得到答案． 【详解】设原棱长为a，新棱长为b，体积扩大到原来的64倍， ∵原正方体的体积为，新正方体的体积为，   ∴，   ∴，    ∴棱长扩大到原来的4倍． 故选：A． 2．（25-26八年级上·江苏宿迁·阶段检测）一个棱长为的正方体的容器中盛满水，将这些水倒入另一个正方体容器时，还需再加水才满，求另一个正方体容器的棱长． 【答案】 【分析】根据棱长为的正方体的容器的容积+=另一个正方体容器的容积求解即可． 【详解】解∶设另一个正方体容器的棱长为， 根据题意，得， 解得， 答∶ 另一个正方体容器的棱长为． 3．（25-26八年级上·全国·课后作业）某喷水池中央的顶端放置了一个大理石球，已知球的质量公式为．其中，表示球的质量，表示球的半径，为大理石的密度．如果球的质量m为，大理石的密度为，那么这个大理石球的半径r是多少？（取，结果精确到） 【答案】米． 【分析】本题主要考查了立方根的实际应用，设出该小球的半径，再根据球的体积计算公式建立方程求解即可． 【详解】解：∵m为，大理石的密度为，， ∴米， ∴这个大理石球的半径是米． 题型07 利用立方根解方程 解题贴士 在解含立方运算的方程时，一般先把方程化为的形式，再利用立方根的定义开立方，从而求 出未知数的值，开立方只会得到唯一解.当有的形式时，先把看成一个整体再进行开立方，从而求出未知数的值. 典｜例｜精｜析 例7．（25-26八年级上·江苏无锡·阶段检测）求的值： (1)，求； (2)，求． 【答案】(1)或 (2) 【分析】本题主要考查平方根和立方根的应用，熟练掌握平方根和立方根的意义是解答本题的关键． （1）方程移项后，两边同除以2再开方即可； （2）方程直接开立方可求解． 【详解】（1）解：， ， ， 解得或； （2）解：， ， 解得． 变｜式｜巩｜固 1．（25-26八年级上·江苏盐城·阶段检测）求下列式子中的的值： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【详解】（1）解：， ， 直接开平方得或， 解得：； （2）解：， 直接开立方得， 解得：． 2．（25-26八年级上·江苏徐州·期末）求的值： (1)； (2)． 【答案】(1) ， (2) 【分析】本题考查了平方根与立方根的求解，解题的关键是掌握平方根和立方根的定义，通过移项、系数化为1等步骤，将方程转化为可直接开方的形式． （1） 先移项，将常数项移到等号右边，再把二次项系数化为1，最后根据平方根的定义开方求解； （2） 先把方程两边同时除以2，将三次项系数化为1，再根据立方根的定义求出的值，进而解得． 【详解】（1）解： 即 （2）解： 3．（25-26八年级上·江苏泰州·期末）求下列各式中的： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查了解方程，解题的关键是掌握利用平方根和立方根求方程的解． （1）利用开平方求方程的根即可； （2）利用立方根求方程的根即可． 【详解】（1）解： ； （2）解： ． 题型08 平方根与立方根综合 典｜例｜精｜析 例8．（25-26八年级上·江苏南京·阶段检测）一个数的立方根恰好等于这个数的算术平方根的一半，那么这个数是______． 【答案】0 或 64 【分析】此题主要考查了立方根、算术平方根的定义，比较难，要想同时去掉二次根号和三次根号，必须在方程的两边同时6次方，即2和3的最小公倍数．在运算过程中要细心，防止在去根号时把指数弄错． 设这个数为x，根据已知条件即可列出关于x的方程，先在方程的两边同时6次方，去掉根号后，再解方程即可． 【详解】解：设这个数是， 则． 两边同时6次方，得， 即， ∴或， 或． 故答案为：0 或 64． 变｜式｜巩｜固 1．（25-26八年级上·江苏连云港·期中）已知的立方根是3，的算术平方根是4． (1)求、的值； (2)求的平方根． 【答案】(1)， (2) 【分析】本题主要考查了立方根、平方根及算术平方根，熟知立方根、平方根及算术平方根的定义是解题的关键． （1）根据立方根，算术平方根的定义即可解决问题； （2）先求出的值，再结合平方根的定义即可解决问题． 【详解】（1）解：的立方根是3， ， ， 的算术平方根是4， ， ∴； （2）解：当，时，， ∵36的平方根是， 的平方根是． 2．（25-26八年级上·江苏泰州·期中）已知的算术平方根是，的立方根是，求的平方根． 【答案】 【分析】本题主要考查平方根、算术平方根、立方根，解题的关键是熟练掌握算术平方根和立方根的定义．根据算术平方根和立方根的定义知、，据此求解、的值，再代入，再根据平方根的定义求解． 【详解】解：∵的算术平方根是，的立方根是， ∴，， 解得：，； ∴， ∴的平方根为． 3．（24-25七年级下·湖北黄冈·期末）已知是的算术平方根，是的立方根，求的立方根． 【答案】 【分析】本题考查了算术平方根、立方根和平方根的定义，求出，的值是解题关键；先根据算术平方根和立方根的根指数定义列出方程组，求解得到的值，再代入的表达式求出，最后计算的立方根． 【详解】解：由题意知：， 解得：，， ∴ ∴，， ∴ ∴的立方根等于． 基础通关 1．（25-26八年级上·河北邢台·阶段检测）式子表示的意义是（   ） A．的平方根是 B．的立方根是 C．的立方根是 D．的平方根是 【答案】C 【分析】本题考查了立方根的定义，熟练掌握立方根的定义是解题的关键． 根据立方根的定义判断即可． 【详解】∵表示的立方根， ∴表示的立方根是， 故选：C． 2．（25-26八年级上·山西晋中·期中）某种植物细胞可以近似看作是棱长为1的正方体，当它的体积增大到原来的2倍时，这个正方体的棱长是（   ） A．2 B．8 C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查的是立方根的性质，熟练掌握立方根的性质是解题的关键．先求得增大后的正方体的体积，然后依据立方根的性质求解即可． 【详解】解：小正方体的体积． 大正方体的体积． 所以大正方体的棱长． 故选：D． 3．（25-26八年级上·全国·单元测试）数学老师为了解学生对《数的开方》这一章内容的掌握情况，布置了5道作业题，如下是张静同学的作业，则她做对的题目数量是（   ） ①的立方根是； ②的算术平方根是3； ③的平方根是； ④； ⑤算术平方根和立方根都等于它本身的数是0，1． A．2道 B．3道 C．4道 D．5道 【答案】B 【分析】本题考查了平方根、算术平方根和立方根的定义．根据平方根、算术平方根和立方根的定义逐一判断即可． 【详解】解：①的立方根是，正确； ②，9的算术平方根是3，正确； ③的平方根是，错误； ④，错误； ⑤算术平方根和立方根都等于它本身的数是0，1，正确． 综上，她做对的题目数量是3道， 故选：B． 4．（24-25七年级下·全国·暑假作业）下列说法正确的是（   ） A．因为，以是125的立方根 B．因为的立方是，所以的立方根是 C．因为，所以的立方根是2 D．没有立方根 【答案】B 【分析】本题考查了对立方根定义的应用，根据正数的立方根是正数，负数的立方根是负数，的立方根是解答即可． 【详解】解：A. 因为，以是125的立方根，原说法错误； B. 因为的立方是，所以的立方根是，说法正确； C. 因为，所以的立方根是，原说法错误； D. 有立方根，原说法错误； 故选：B． 5．（22-23八年级上·山西临汾·期末）如图的零件是由两个正方体焊接而成，已知大正方体和小正方体的体积分别为和，现要给这个零件的表面刷上油漆，那么所刷油漆的面积是（    ）． A．161 B．186 C．195 D．204 【答案】B 【分析】先求出大正方体和小正方体的棱长，再求出零件的表面积即可求解． 【详解】解：∵大正方体的体积为，小正方体的体积为， ∴大正方体的棱长为，小正方体的棱长为， ∴大正方体的每个表面的面积为，小正方体的每个表面的面积为， ∴这个零件的表面积为：． ∴要给这个零件的表面刷上油漆，则所需刷油漆的面积为． 故选：B． 【点睛】本题考查立方根，表面积．理解题意是解题的关键． 6．（25-26八年级上·全国·课前预习）填空： （1）因为，所以8的立方根是________；因为，所以的立方根是________； （2）的立方根是________，即________； （3）的立方根是________； （4）的立方根是________； （5）________的立方根是0； （6）9的立方根是________． 【答案】 2 3 3 / / 0 【分析】本题考查了立方根，掌握立方根的定义是解决问题的关键．如果一个数的立方是a，则这个数的立方根是， 根据立方根的定义即可得到结论． 【详解】解：（1）∵， ∴8的立方根是2； ， 的立方根是； （2）， 的立方根是3，即； （3）∵，∴的立方根是； （4）∵，∴的立方根是； （5）∵，∴0的立方根是0； （6）∵，∴9的立方根是 ． 故答案为：2，，3，3，，，0，． 7．（24-25七年级下·内蒙古呼和浩特·期末）下表是部分正数x的平方和立方． x 8.1 8.2 8.3 8.4 8.5 65.61 67.24 68.89 70.56 72.25 531.441 551.368 571.787 592.704 614.125 根据上表的数据，可得：________；________；________． 【答案】 8.3 8.2 85.85 【分析】本题主要考查平方根和立方根，根据表格中的数据找出开平方和开立方规律解答即可． 【详解】解：根据表格中的数据可得： ∵， ∴； ∵， ∴； ∵， ∴， ∴； ∵ ∴ ∴ ∴． 故答案为：8.3；8.2；85.85 8．（24-25七年级下·广东湛江·期中）当时，___________． 【答案】3 【分析】本题考查了立方根，熟练掌握立方根的定义是解题的关键； 利用立方根解方程即可． 【详解】解： ； 故答案为：3． 素养提升 1．（20-21七年级下·重庆梁平·期末）对于任意不相等的两个正实数，，定义运算△如下：，如，那么的立方根是______． 【答案】 【分析】先根据新定义求出的值，再根据立方根的定义求解． 【详解】解：∵， ∴=， ∴的立方根是． 故答案为：． 【点睛】本题考查了新定义，以及立方根的定义，根据新定义求出的值是解答本题的关键． 2．（22-23七年级下·河北沧州·阶段检测）第一个等式：；第二个等式：；第三个等式：；……根据所给的式子找出规律，并写出第n个等式（用含n的式子表示，n为正整数）_____________________． 【答案】 【分析】根据前个等式找出分子和分母的规律求解即可． 【详解】∵第一个等式：，即； 第二个等式：，即； 第三个等式：，即； …… ∴第n个等式：． 故答案为：． 【点睛】本题考查数字规律探索，根据所给等式找出规律是解题关键． 3．（23-24七年级下·安徽淮北·阶段检测）如果两个数的立方根互为相反数，那么这两个数也互为相反数，即当时，．由此解决下列问题： （1）若，则______； （2）若和互为相反数，且的平方根是它本身，则的立方根为______． 【答案】 2.65 【分析】本题考查了相反数的定义、立方根、平方根、解一元一次方程，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键． （1）根据题意可知与互为相反数，即可得出答案； （2）根据题意得出，解方程即可得出的值，根据平方根是它本身的数为，求出的值，从而得出的值，再根据立方根的定义计算即可． 【详解】解：（1）根据题意可知与互为相反数， 故， 故答案为：2.65； （2）根据题意，得， 解得． 的平方根是它本身， ， 解得． ， 故的立方根为， 故答案为：． 4．（24-25七年级下·安徽亳州·阶段检测）若a和b是有理数，且满足，则．根据上述材料，解决下列问题： （1）若，则的立方根为________； （2）若，则的平方根为_____． 【答案】 2 【分析】本题考查了平方根、立方根． （1）根据题中所给计算方法求出、的值，代入计算，再根据立方根的定义求解即可； （2）根据题中所给计算方法求出、的值，代入计算，再根据平方根的定义求解即可． 【详解】解：（1）由题意，得， 解得， ∴， ∴的立方根为2， 故答案为：2； （2）由题意，得， ∴， 解得， ∴， ∴的平方根为， 故答案为：． 5．（24-25八年级上·河南平顶山·期中）我们知道的立方根是，可以表示为 反之 16 的平方根是，可以表示为 反之 根据立方根和平方根的含义，完成下面问题： (1)表示的含义是什么？ 表示的含义是什么？ (2)表示的含义是什么？ (3)若 求的值和的平方根． 【答案】(1)表示125的立方根，表示的立方根 (2)表示的算术平方根 (3)；的平方根为 【分析】本题主要考查了立方根、平方根、算术平方根及代数式的求值，熟练掌握相关概念进行求解是解决本题的关键． （1）根据立方根的概念解答即可； （2）根据算术平方根的概念解答即可； （3）先根据立方根，算术平方根的概念求出，然后代入和求解即可． 【详解】（1）表示125的立方根，表示的立方根． （2）表示的算术平方根． （3）因为， 所以， 所以， 所以，， 所以． 迁移创新 1．（24-25八年级上·河北邢台·期中）如何快速求解四位数的算术平方根呢？已知1764的算术平方根是一个整数，下面是嘉嘉同学求解的探究过程： ①由，，可以确定是一个_________位数； ②由1764的个位上的数是4，可以确定的个位上的数是_________或_________； ③如果划去1764后面的两位64得到数17，而，，可以确定的十位上的数是4，因为，而，所以选择较小的个位数字，则_________． (1)补全上述探究过程． (2)已知3249的算术平方根也是一个整数，仿照上述探究方法计算． (3)我国数学家华罗庚在一次出国访问途中，看到飞机上邻座的乘客阅读的杂志上有一道智力题：求59319的立方根．华罗庚脱口说出答案，众人十分惊奇，参照求解算术平方根的过程，计算59319的立方根为_________． 【答案】(1)两；2；8；42 (2) (3)39 【分析】本题考查了算术平方根、立方根，理解题意，能够仿照题意的方法求算术平方根和立方根是解题的关键． （1）根据题意提供的思路和方法，进行推理验证得出答案即可； （2）根据（1）的方法、步骤，类推出相应的结果即可； （3）参照（1）的方法、步骤，计算立方根即可． 【详解】（1）解：①由，，可以确定是一个两位数； ②由1764的个位上的数是4，可以确定的个位上的数是2或8； ③如果划去1764后面的两位64得到数17，而，，可以确定的十位上的数是4，因为，而，所以选择较小的个位数字，则． 故答案为：两；2；8；42． （2）①由，，可以确定是一个两位数； ②由3249的个位上的数是9，可以确定的个位上的数是3或7； ③如果划去3249后面的两位49得到数32，而，，可以确定的十位上的数是5，因为，而，所以选择较大的个位数字，则． 综上所述，． （3）①由，，可以确定是一个两位数； ②由59319的个位上的数是9，可以确定的个位上的数是9； ③如果划去59319后面的三位319得到数59，而，，可以确定的十位上的数是3，则． 故答案为：39． 2．（23-24七年级下·山西吕梁·期末）阅读理解下面内容，并解决问题： 据说，我国著名数学家华罗庚在一次出国访问途中，看到飞机上邻座的乘客阅读的杂志上有一道智力题：一个数是59319，希望求出它的立方根，华罗庚脱口而出地报出答案，邻座的乘客十分惊奇，忙问计算的奥妙． 你知道华罗庚是怎样迅速准确地计算出来的吗？请阅读下面的问题和解答： （1）由，，你能确定是几位数吗？ ∵，∴． ∴是两位数． （2）由59319的个位上的数是9，你能确定的个位上的数是几吗？ ∵只有个位数是9的立方数的个位数依然是9，∴的个位数是9． （3）如果划去59319后面的三位319得到59，而，，由此你能确定的十位上的数是几吗？ ∵，∴．∴的十位数是3． 所以，59319的立方根是39． 问题：已知整数110592是整数的立方，求的值． 【答案】48 【分析】本题主要考查了立方根以及数的立方，理解一个数的立方的个位上的数就是这个数的个位上的数的立方的个位上的数是解题的关键． 根据题意可得，从而得到是两位数．再由只有个位数是8的立方数的个位数是2，可得的个数是8．然后根据，可得的十位数是4，即可求解． 【详解】解：∵， ∴． ∴是两位数． ∵只有个位数是8的立方数的个位数是2， ∴的个数是8． ∵， ∴． ∴的十位数是4． 所以，的值是48． 1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 $ 第二章 实数 2.2 立方根 课标要点 1.结合立方体体积实际情境抽象立方运算，认识立方根概念，会用符号表示立方根。 2.区分平方根与立方根的性质差异，掌握正数、0、负数立方根的规律，建立立方与开立方互逆逻辑。 3.利用立方根定义求值、逆向求参数，结合实际场景判断根的实际含义。 学习重难点 重点： 1.平方根、算术平方根的定义与符号书写。 2.已知非负数求平方根、算术平方根的基础运算。 3.理解平方与开平方互为逆运算。 难点： 1.区分平方根（两个互为相反数）和算术平方根（仅非负正根）。 2.隐含条件：被开方数(a≥0)，含参数代数式有平方根时求参数取值范围。 3.结合实际问题理解算术平方根的实际意义，舍去无意义负根。 知识点一 立方根 定义：一般地，如果一个数的立方等于a，那么这个数叫做a的立方根或三次方根. 如果，则x叫做a的立方根. 表示方法：一个数a的立方根，用符号“”表示，读作“三次根号a”.其中a叫被开方数，3是根指数，注意中的根指数3不能省略. 性质：正数_________立方根；0的立方根是_；负数_________的立方根． 开立方定义：求一个数的立方根的运算叫做开立方. 特别提醒 立方根等于本身的有0和±1 教材延伸 1）任意数都只有一个立方根，且与这个数的符号相同(0的立方根是0). 2）互为相反数的两数，它们的立方根也互为相反数.即= - 即学即练 1．（25-26八年级上·江苏宿迁·期末）下列说法中错误的是（   ） A．9的算术平方根是3 B．4的平方根是 C．27的立方根为 D．立方根等于1的数是1 2．（25-26八年级上·河北石家庄·期中）下列各式中，正确的是（   ） A． B． C． D． 3．（25-26八年级上·江苏连云港·阶段检测）计算_______． 4．（25-26八年级上·陕西西安·期中）已知和是一个正数的两个平方根，的立方根是3，则的算术平方根是______ 题型01 求一个数的立方根 解题贴士 求一个数a的立方根通常用开立方运算，先找出立方等于a的数，写出立方式，再由立方式写出a的立方根的值 典｜例｜精｜析 例1．（25-26八年级上·江苏南京·期末）_____；____ 变｜式｜巩｜固 1．（25-26八年级上·江苏宿迁·阶段检测）已知点与点关于原点对称，则的立方根是_____． 2．（25-26八年级上·江苏宿迁·期中）小成编写了一个程序：输入正数立方根倒数算术平方根，则正数为_______． 3．（25-26八年级上·广东茂名·期中）的立方根与的积是________． 题型02 立方根的概念理解 典｜例｜精｜析 例2．（25-26八年级上·江苏南京·期中）下列说法正确的是__________．（填序号） ①负数没有平方根；②负数的立方根是负数；③平方根等于它本身的数是0和1． 变｜式｜巩｜固 1．（25-26八年级上·江苏盐城·期中）下列说法，其中正确的说法是（   ） ①负数没有立方根；②实数和数轴上的点是一一对应的：③；④正数的两个平方根互为相反数：⑤任意实数都存在平方根；⑥算术平方根等于它本身的数只有0． A．①②③ B．②③⑥ C．②④ D．④⑤ 2．（25-26八年级上·河南新乡·期末）下列说法：①任何数都有平方根；②是的立方根；③；④的立方根是4；⑤算术平方根不可能是负数．其中不正确的有（    ） A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 3．（23-24八年级上·吉林长春·期末）关于立方根，下列说法正确的是（　　） A．正数有两个立方根 B．立方根等于它本身的数只有 C．负数的立方根是负数 D．负数没有立方根 题型03 已知一个数的立方根，求这个数 典｜例｜精｜析 例3．（25-26八年级上·全国·课后作业）若一个数的立方根是，则这个数是（    ） A． B． C． D． 变｜式｜巩｜固 1．（24-25七年级下·湖南永州·阶段检测）已知，则x的值为__________． 2．（23-24七年级下·云南昭通·期中）已知；，则的值是（    ） A．9或 B．9或 C．3或 D．3或 3．（25-26八年级上·陕西西安·期中）是的立方根，的立方根是，则______． 题型04 利用立方根的性质求解 典｜例｜精｜析 例4．（25-26八年级上·陕西西安·期中）已知m，n为实数，若，则的算术平方根为______． 变｜式｜巩｜固 1．（24-25七年级下·江苏南通·阶段检测）已知与互为相反数，则的立方根是____________． 2．（25-26八年级上·全国·课后作业）若与互为相反数，则______． 题型05 与立方根有关的规律探索问题 解题贴士 被开方数a的小数点移动与它的立方根的小数点移动存在如下规律: 被开方数的小数点每向左或右移动三位，那么算术平方根的小数点相应的向左或右移动一位. 典｜例｜精｜析 例4．（24-25七年级下·四川德阳·期中）已知，，，则（   ） A． B． C． D． 变｜式｜巩｜固 1．（25-26八年级上·上海·期中）已知，，，，则的立方根是________． 2．（24-25七年级下·湖北黄石·阶段检测）已知，且，则______． 3．（25-26八年级上·河南郑州·期中）观察如表，并解答下列问题． a 1 1000 1000000 ______ ______ 100 【规律总结】 （1）①请补全如表； ②根据如表，可以得到被开方数和它的立方根之间小数点的变化规律：若被开方数的小数点向右（或向左）移动三位，则它的立方根的小数点就相应地向右（或向左）移动______位； 【规律应用】 （2）已知，，． ①______； ②用铁皮制作一个封闭的正方体，使它的体积为3000立方米，则需要多大面积的铁皮？（保留整数） 题型06 立方根的实际应用 典｜例｜精｜析 例5．（25-26八年级上·江苏常州·期末）古希腊著名的三个几何作图难题，其中一个为“立方倍积”问题，即求作一个正方体，使它的体积等于已知正方体的体积的2倍．若已知正方体的棱长是1，则求作的这个正方体的棱长是______． 变｜式｜巩｜固 1．（25-26八年级上·江苏无锡·期中）如果一个正方体的体积扩大到原来的64倍，那么它的棱长扩大到原来的（　　） A．4倍 B．8倍 C．32倍 D．64倍 2．（25-26八年级上·江苏宿迁·阶段检测）一个棱长为的正方体的容器中盛满水，将这些水倒入另一个正方体容器时，还需再加水才满，求另一个正方体容器的棱长． 3．（25-26八年级上·全国·课后作业）某喷水池中央的顶端放置了一个大理石球，已知球的质量公式为．其中，表示球的质量，表示球的半径，为大理石的密度．如果球的质量m为，大理石的密度为，那么这个大理石球的半径r是多少？（取，结果精确到） 题型07 利用立方根解方程 解题贴士 在解含立方运算的方程时，一般先把方程化为的形式，再利用立方根的定义开立方，从而求 出未知数的值，开立方只会得到唯一解.当有的形式时，先把看成一个整体再进行开立方，从而求出未知数的值. 典｜例｜精｜析 例7．（25-26八年级上·江苏无锡·阶段检测）求的值： (1)，求； (2)，求． 变｜式｜巩｜固 1．（25-26八年级上·江苏盐城·阶段检测）求下列式子中的的值： (1)； (2)． 2．（25-26八年级上·江苏徐州·期末）求的值： (1)； (2)． 3．（25-26八年级上·江苏泰州·期末）求下列各式中的： (1)； (2)． 题型08 平方根与立方根综合 典｜例｜精｜析 例8．（25-26八年级上·江苏南京·阶段检测）一个数的立方根恰好等于这个数的算术平方根的一半，那么这个数是______． 变｜式｜巩｜固 1．（25-26八年级上·江苏连云港·期中）已知的立方根是3，的算术平方根是4． (1)求、的值； (2)求的平方根． 2．（25-26八年级上·江苏泰州·期中）已知的算术平方根是，的立方根是，求的平方根． 3．（24-25七年级下·湖北黄冈·期末）已知是的算术平方根，是的立方根，求的立方根． 基础通关 1．（25-26八年级上·河北邢台·阶段检测）式子表示的意义是（   ） A．的平方根是 B．的立方根是 C．的立方根是 D．的平方根是 2．（25-26八年级上·山西晋中·期中）某种植物细胞可以近似看作是棱长为1的正方体，当它的体积增大到原来的2倍时，这个正方体的棱长是（   ） A．2 B．8 C． D． 3．（25-26八年级上·全国·单元测试）数学老师为了解学生对《数的开方》这一章内容的掌握情况，布置了5道作业题，如下是张静同学的作业，则她做对的题目数量是（   ） ①的立方根是； ②的算术平方根是3； ③的平方根是； ④； ⑤算术平方根和立方根都等于它本身的数是0，1． A．2道 B．3道 C．4道 D．5道 4．（24-25七年级下·全国·暑假作业）下列说法正确的是（   ） A．因为，以是125的立方根 B．因为的立方是，所以的立方根是 C．因为，所以的立方根是2 D．没有立方根 5．（22-23八年级上·山西临汾·期末）如图的零件是由两个正方体焊接而成，已知大正方体和小正方体的体积分别为和，现要给这个零件的表面刷上油漆，那么所刷油漆的面积是（    ）． A．161 B．186 C．195 D．204 6．（25-26八年级上·全国·课前预习）填空： （1）因为，所以8的立方根是________；因为，所以的立方根是________； （2）的立方根是________，即________； （3）的立方根是________； （4）的立方根是________； （5）________的立方根是0； （6）9的立方根是________． 7．（24-25七年级下·内蒙古呼和浩特·期末）下表是部分正数x的平方和立方． x 8.1 8.2 8.3 8.4 8.5 65.61 67.24 68.89 70.56 72.25 531.441 551.368 571.787 592.704 614.125 根据上表的数据，可得：________；________；________． 8．（24-25七年级下·广东湛江·期中）当时，___________． 素养提升 1．（20-21七年级下·重庆梁平·期末）对于任意不相等的两个正实数，，定义运算△如下：，如，那么的立方根是______． 2．（22-23七年级下·河北沧州·阶段检测）第一个等式：；第二个等式：；第三个等式：；……根据所给的式子找出规律，并写出第n个等式（用含n的式子表示，n为正整数）_____________________． 3．（23-24七年级下·安徽淮北·阶段检测）如果两个数的立方根互为相反数，那么这两个数也互为相反数，即当时，．由此解决下列问题： （1）若，则______； （2）若和互为相反数，且的平方根是它本身，则的立方根为______． 4．（24-25七年级下·安徽亳州·阶段检测）若a和b是有理数，且满足，则．根据上述材料，解决下列问题： （1）若，则的立方根为________； （2）若，则的平方根为_____． 5．（24-25八年级上·河南平顶山·期中）我们知道的立方根是，可以表示为 反之 16 的平方根是，可以表示为 反之 根据立方根和平方根的含义，完成下面问题： (1)表示的含义是什么？ 表示的含义是什么？ (2)表示的含义是什么？ (3)若 求的值和的平方根． 迁移创新 1．（24-25八年级上·河北邢台·期中）如何快速求解四位数的算术平方根呢？已知1764的算术平方根是一个整数，下面是嘉嘉同学求解的探究过程： ①由，，可以确定是一个_________位数； ②由1764的个位上的数是4，可以确定的个位上的数是_________或_________； ③如果划去1764后面的两位64得到数17，而，，可以确定的十位上的数是4，因为，而，所以选择较小的个位数字，则_________． (1)补全上述探究过程． (2)已知3249的算术平方根也是一个整数，仿照上述探究方法计算． (3)我国数学家华罗庚在一次出国访问途中，看到飞机上邻座的乘客阅读的杂志上有一道智力题：求59319的立方根．华罗庚脱口说出答案，众人十分惊奇，参照求解算术平方根的过程，计算59319的立方根为_________． 2．（23-24七年级下·山西吕梁·期末）阅读理解下面内容，并解决问题： 据说，我国著名数学家华罗庚在一次出国访问途中，看到飞机上邻座的乘客阅读的杂志上有一道智力题：一个数是59319，希望求出它的立方根，华罗庚脱口而出地报出答案，邻座的乘客十分惊奇，忙问计算的奥妙． 你知道华罗庚是怎样迅速准确地计算出来的吗？请阅读下面的问题和解答： （1）由，，你能确定是几位数吗？ ∵，∴． ∴是两位数． （2）由59319的个位上的数是9，你能确定的个位上的数是几吗？ ∵只有个位数是9的立方数的个位数依然是9，∴的个位数是9． （3）如果划去59319后面的三位319得到59，而，，由此你能确定的十位上的数是几吗？ ∵，∴．∴的十位数是3． 所以，59319的立方根是39． 问题：已知整数110592是整数的立方，求的值． 1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 $