专题2.3 实数（11题型+高效培优讲义）数学新教材苏科版八年级上册

本讲义聚焦初中数学“实数”核心知识点，系统梳理从有理数到无理数的扩展过程，涵盖无理数概念、实数分类、与数轴一一对应关系及基本运算，通过具体实例构建数系认知支架。 资料采用“知识点+即学即练+典例变式”分层设计，含11类题型。以圆环滚动理解π（几何直观）、程序设计题（模型意识）等实例，培养抽象能力与运算能力。课中助教师分层教学，课后供学生查漏补缺，强化知识应用。

的学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 专题2.3实数 内容总览 1教学目标、教学重难点 知识点01无理数 知识点02实数概念及分类 2.知识清单 知识点03实数与数轴 题型01无理数的概念 题型02无理数的大小估算 题型03实数概念理解 题型04实数的分类 实数 题型05实数的性质 题型06 实数与数轴 3.题型精讲 题型07实数的大小比较 题型08实数的混合运算 题型09程序设计与实数运算 题型I0新定义下的实数运算 题型I1与实数运算相关的规律题 基础自测 4.强化训练 能力提升 教学目标 教学重难点 1.理解无理数与实数的概念，知道实数分为有理数和无理数，并能准确区分。 教学目标 2.理解实数与数轴上的点一一对应的关系，能用数轴上的点表示实数。 3.能进行实数的简单运算，理解实数范围内相反数、绝对值的意义。 重点： 教学重难点 1.无理数与实数的概念，能判断一个数是有理数还是无理数。 1/13 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 2.实数与数轴上的点一一对应的关系。 教学难点： 1. 理解无理数的存在性（如V2、兀等），以及无限不循环小数的概念。 2. 理解实数与数轴上的点的一一对应关系，突破有理数对应的局限。 知识清单 知识点01无理数 无理数：无限不循环小数统称为无理数. 【即学即练1】 1.下列各数中： ,0-04,2,5,03,0303003…(3和3之间的0的个数依次增加1个)，2，无理 数有() A.0个 B.1个 C.2个 D.3个 知识点02实数概念及分类 实数：有理数和无理数统称为实数 正整数 整数0 有理数 负整数 有限小数或无限循环小数 实数 「正分数 分数 负分数 [正无理数 无理数 无限不循环小数 负无理数 1)开不尽的方根；(2)特定结构的无限不循环小数：(3)含有π的绝大部分 无理数常见的三种类型：( 数 【即学即练2】 2/13 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 22 1把下列各数分别填在相应的集合中：气，3.14159265，V8,3,-03,0,V56,-2'0i3, 0.1010010001.(每两个1之间依次多1个0). 有理数集合：{ …} 无理数集合：{ …} 知识点03实数与数轴 每一个实数都可以用数轴上的一个点来表示；反过来，数轴上的每一个点都表示一个实数.即实数和 数轴上的点一一对应. 【即学即练3】 1如图，小明将一个直径为1个单位长度的圆环（厚度忽略不计）从原点沿数轴向右滚动一周，圆上的一 点由原点到达O'点，则下列实数与点O'表示的数最接近的是() 30'4 A.√2 B.2V2 C.10 D.15 2如图，在数轴上，点B与点C关于点A对称，A、B两点对应的实数分别是V5和-3，那么点C所对应的 实数是() B -3 0 A.V5+3 B.V5-3 C.2W5-3 D.25+3 题型精讲 题型01无理数的概念 【典例1】下列各数是无理数的是() 11 A. B.2元 C.0.7 D.9 3/13 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 【变式1】下列四个实数中，是无理数的是() 1 A.4 B.0.3 C.2 D. 【变式2】在实数：3 4,-33,27,元-20101010001.（相邻每个1之间依次多一个0），0.6中， 无理数的个数是() A.3 B.4 C.5 D.6 题型02 无理数的大小估算 【典例2】下列各数，比3大的是() A.-3 B.0 C.3 D.2 【变式1】估计V18-2的值应在() A.1和2之间 B.2和3之间 C.3和4之间 D.4和5之间 【变式2】如图，数轴上点A表示的数可能是() A -101·23 A.√2 B.5 C.V万 D.10 题型03 实数概念理解 【典例3】下列说法正确的是() A.正实数和负实数统称实数 B.正数、0和负数统称有理数 C.带根号的数和负数统称实数 D.无理数和有理数统称实数 【变式1】已知下列结论，其中正确的结论是() ①在数轴上只能表示无理数√2：②任何一个无理数都能用数轴上的点表示：③实数与数轴上的点一一对 应；④有理数有无限个，无理数有有限个. A.①② B.②③ C.③④ D.②③④ 【变式2】下列说法中，正确的个数是() ①实数包括有理数、无理数和0：②有理数和数轴上的点一一对应：③无理数都是无限小数；④ (a-3)2=a2-9,⑤平方根与立方根都等于它本身的数为0和1. 4/13 西学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 A.1个 B.2个 C.3个 D.4个 题型04实数的分类 【典例4】把下列各数填入相应的大括号内： 75V72的-元0i415252s525352- 有理数集合：一；无理数集合：一 正实数集合： 负实数集合： 【变式1】把下列各数分别填入相应的集合内： 1 ,0,5,0，-4,-2,元 整数集合{ …} 无理数集合{ …}； 负实数集合{ …} 【变式2】把下列各数填在相应的大括号内. 8 22V3 0’-2’V5’-V27’0.12?27’4’7,2’1.21212121…’0.1010010001.（每相邻两个1之 间依次多1个0)，4 有理数：{： 无理数：{： 正数：{… 整数：{…}； 非负数：{： 分数：{…}. 题型05 实数的性质 【典例5】(1)-√7的绝对值为一；-√7的相反数为一： (2)3-π的绝对值为一；3-π的相反数为一。 5/13 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 【变式1】-√3的相反数是一；-√2的绝对值是一；V5-2的相反数是一. 【变式2】-V3的绝对值是 5-√26的相反数是 题型06 实数与数轴 【典例6】如图，直径为1个单位长度的圆从点A沿数轴向右滚动（无滑动）一周到达点B,则AB的长度 为 一；若点A对应的数是-1，则点B对应的数是 A B 【变式1】如图，已知OA=OB,4C1OB于点C,点C对应的数是-2，AC=L,那么数轴上点B所表示的数 是 0 【变式2】如图，实数-√5，V5,m在数轴上所对应的点分别为A,B,C,点B关于原点O的对称点为 D.若m为整数，则m的值为 DCA B 题型07 实数的大小比较 【典例7】比较大小（用“>，<，=”表示）：-π -3.14 【变式1】下列各数：-√5、-V5、-V2、-1,其中小于-2的数是 【变式2】下列四个数：-3、-5、-元、-1，其中，最小的实数是 题型08 实数的混合运算 【典例8】计算：512-√⑧1+1 度式】计算：4-返+ 6/13 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 【变式2】计算： (1)-8+V-8)2. (2)125+-8-4 题型09程序设计与实数运算 【典例9】有一个数值转换机，原理如下：当输入的x=16时，输出的y= 输入x 取算术平方根 无理数 输出y 否 【变式1】下面是一个简单的数值运算程序： 输入x ÷2 +1 输出 当输入x的值是-125时，输出的结果是 【变式2】在信息技术课上，好学的小明制作了一个关于实数(x水20)的运算程序如图所示，若输出的y 值为V2时，则输入的实数x可取的负整数值是 输入x 计算|x-2 取算数平方根 是否为 是 无理数 输出y 否 题型10 新定义下的实数运算 【奥例10)】对于两个不相等的实数。、6”定义一种新的运算如下，a*b=力 a-b (a+b>0)如： 3*2=5+2=5,那么13*5*4)= 3-2 【变式1】定义运算：x⑧y=Vy+4,则(2⑧6)⑧8= 【变式2】对于任意不相等的两个实数，6新定义一种运算*如下：0h=口6 √b-a-1 那么3*6= 题型11与实数运算相关的规律题 7/13 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 21√6√2√0 【典例11】已知数列： 2’2’6410, …那么第6个数是 【变式1】将，2,5，√4，…，按如图的方式排列.规定(x,y)表示第x排从左向右第y个数，若 (x,y)表示的数为√2024时，2x-y= T 第1排 √4√3√2 第2排 567√⑧阿 第3排 √1615√14√3√12√1T√10第4排 【变式2】设S=1++1 F22,52=1 11 2+325=1+ 1.1 242,…. (1)S4= 6 求S,= 3)求VS,+S,++VS,的值.（佣含n的代数式表示，其中n为正整数） 强化训练 基础自测 一、 单选题 1.(25-26七年级下山东临沂·期末)下列实数中，属于无理数的是() A.√25 B.3.14 c.9 D.3 2.(25-26七年级下·广西桂林期末)如图，数轴上点M表示的数可能是() 8/13 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 LM 2=1012345 A.√2 B.5 c.5 D.7 3.(25-26八年级下重庆荣昌期末)若n为正整数，且满足n<3<n+1,则n的值为() A.2 B.3 C.4 D.5 4.(25-26七年级下·山东德州期末)如图，面积为6的正方形ABCD的顶点A在数轴上，且表示的数为1， 若点E在数轴上（点E在点A的右侧）且AB=AE,则E点所表示的数为() B D -5-4-3-2-1012345 A.√6 B.V6+1 C.6-1 D.1-6 二、填空题 5.(25-26七年级下·安徽准南期末)实数3-√6的相反数是 6.(25-26七年级下黑龙江哈尔滨期末)比较下列实数的大小（填“>”“<”或“=”）：√万 4. 7.(25-26七年级下安徽芜湖期末)在0，√6,7，N4,元’8中，无理数有 个. 8.(25-26七年级下陕西榆林·期末)小明编写了一个程序，如图.若输入x=8,则输出的数为 输入xx2取立方根 取算术 取倒数 平方根 输出 三、解答题 9.(25-26七年级下福建福州期末)计算：2(-27-v6)+26-何」 10.(25-26七年级下·内蒙古呼伦贝尔：阶段检测)实数a,b,C在数轴上对应的点的位置如图所示.化简 Vc+la+bl+/(c-a) c 0 a 11.(25-26七年级下山东德州期中)将下列各数填在相应的集合里. 9/13 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 64,π，3.1415926，-0.456：3.03003003.（每相邻两个3之间依次多1个0），0，元，-5 -7列，0 有理数集合：{ …} 无理数集合：{ …} 正实数集合：{ …； 整数集合：{ }. 12.(25-26七年级下河北沧州期中)己知实数ab满足：√a+2+b-1=0 (1)求a,b的值： (2)求2-2b的平方根，并在图所示的数轴上标出平方根的大概位置.（标出后在对应位置旁写出你求的平 方根) 3-2-10123→ 能力提升 一、单选题 1.(25-26八年级下·重庆渝中期末)估计√23-3的值介于() A.0到1之间 B.1到2之间 C.2到3之间 D.3到4之间 22元 2.(25-26七年级下黑龙江大庆期末)下列实数0,4,38，√8,7,3,0.23,3.14159256' 0.101001000100001…(每2个1之间的0依次增加1个)，其中无理数的个数是() A.2个 B.3个 C.4个 D.5个 3.(25-26七年级下山东临沂期末)实数a在数轴上的对应点位置如图所示，若-a<b<a,且b是无理 数，则b的值可以是() -3-2-10123 A.-√5 B.7 C.-5 D.3 10113 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 4.(25-26七年级下广东广州期末)在如图所示的运算程序中，若输入x的值是64，则输出'的值是 () 是有理数 是有理数 是无理数 输入x 取算术 取立方根 输出y 平方根 是无理数 A.√2 B.迈 C.5 D.3 5.(25-26七年级下福建福州期末)将图1中的5个边长为1的小正方形剪拼成图2中的大正方形ABC0 将正方形ABCO的顶点O与数轴的原点重合，以O为圆心，OF和OA的长为半径画弧分别与数轴的正半轴 交于点D,E,则DE的长为() B 图1 图2 A.2 B.1 C.5 D.V5-1 二、填空题 6.(25-26七年级下重庆九龙坡期末)已知n-1<V1<n(n为整数)，则n的值是 7.(25-26七年级下陕西期末)比较大小： √2-1 2 ·填写“”或“”) 8.(2026陕西渭南模拟预测)若将V3,√7，√0这三个数表示在数轴上，其中能被如图所示的墨迹 (阴影)覆盖的数是 -2-1012345→ 9.(25-26七年级下·福建龙岩·期中)如图，半径为1的圆从表示-1的点开始沿着数轴向右滚动一周，圆 上的点A与表示-1的点重合，滚动1周后到达点B,点B表示的数是 B -2-101234567 10.(25-26七年级下·天津西青期末)按照如下程序操作，规定：从“输入一个值x”到“结果是否大于 17”为一次程序操作.如果结果得到的数小于或等于17，则用得到的这个数进行下一次操作. 11/13 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 输入x 14 是 >17 停止 否 (1)若x=3时，程序进行了 次操作就停止了： (2)若x=4√2时，则输出的数为. (3)若程序操作进行了两次才停止，则输入的x的取值范围是 三、解答题 11.(25-26七年级下广西梧州期中)计算： (1)16-64+27 (2)2-6+(-2}2-V6 12.(25-26七年级下·青海西宁·期中)把下列各数填入相应的大括号内： 3V2,2,8,0.5,2m:3.14159265,-2,1.3030030003.(两个3之间依次增加一个0). 有理数：{ }; 无理数：{ }: 整数：{ }: 负实数：{ } 13.(25-26七年级下·重庆巫山期中)已知5a-1的平方根是±3,3a+b-1的立方根是2，c是V11的整数 部分. (I)求ab、c的值： (2)求a+b-c+2的算术平方根， 14.(25-26七年级下·河南商丘·期中)一个数值转换器如图所示： 输入x☑取算术平方根 是 <是无理数 输出y 否 (1)当输入x的值为256时，输出'的值是 (2)若输入有效的x值后，始终无法输出'的值，请你写出所有满足要求的x的值，并说明你的理由： (3)若输出y的值是V5,请写出两个满足要求的x的值： 15.(25-26七年级下·山东德州期中)如图，一只蚂蚁从点A沿数轴向右爬了2个单位长度到达点B,点 A表示-√2，设点B所表示的数为m 12113 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 201→ -2-1012 (1)实数m的值是一 (②)求m+1+m-l的值： 3)在数轴上还有C、D两点分别表示实数c和d,且有2c+4与Vd-4互为相反数，求2c+3d的平方根. 13/13 专题2.3 实数 教学目标 1. 理解无理数与实数的概念，知道实数分为有理数和无理数，并能准确区分。 2. 理解实数与数轴上的点一一对应的关系，能用数轴上的点表示实数。 3. 能进行实数的简单运算，理解实数范围内相反数、绝对值的意义。 教学重难点 重点： 1. 无理数与实数的概念，能判断一个数是有理数还是无理数。 2. 实数与数轴上的点一一对应的关系。 教学难点： 1. 理解无理数的存在性（如、π等），以及无限不循环小数的概念。 2. 理解实数与数轴上的点的一一对应关系，突破有理数对应的局限。 知识点01 无理数 无理数：无限不循环小数统称为无理数． 【即学即练1】 1．下列各数中：（3和3之间的0的个数依次增加1个），，无理数有（    ） A．0个 B．1个 C．2个 D．3个 【答案】D 【分析】此题主要考查了无理数的定义，无限不循环小数叫做无理数，据此进行判断即可． 【详解】解：，，， ∴、、是整数，是分数，是小数，它们不是无理数； ，（3和3之间的0的个数依次增加1个），是无限不循环小数，它们是无理数，一共3个； 故选：D． 知识点02 实数概念及分类 实数：有理数和无理数统称为实数． 无理数常见的三种类型：（1）开不尽的方根；（2）特定结构的无限不循环小数；（3）含有π的绝大部分数. 【即学即练2】 1.把下列各数分别填在相应的集合中：，，，，，，，，，(每两个1之间依次多1个0)． 有理数集合：｛                                                   …｝ 无理数集合：｛                                                   …｝ 【答案】，，，，，…；，， ，(每两个1之间依次多1个0) 【分析】根据实数的分类完成填空即可求解． 【详解】解： 有理数集合：｛，，，，，…｝ 无理数集合：｛，， ，(每两个1之间依次多1个0)｝ 故答案为：，，，，，…；，， ，(每两个1之间依次多1个0)． 知识点03 实数与数轴 每一个实数都可以用数轴上的一个点来表示；反过来，数轴上的每一个点都表示一个实数．即实数和数轴上的点一一对应． 【即学即练3】 1.如图，小明将一个直径为1个单位长度的圆环（厚度忽略不计）从原点沿数轴向右滚动一周，圆上的一点由原点到达点，则下列实数与点表示的数最接近的是（    ）    A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据题意，滚动一周，在数轴上的长度为圆的周长，由圆周长公式计算得到，从而，估计，即可得到答案． 【详解】解：由题意可知，， ，， ， 结合题中四个选项可知，与点表示的数最接近， 故选：C． 2.如图，在数轴上，点与点关于点A对称，A、B两点对应的实数分别是和，那么点所对应的实数是（     ）    A． B． C． D． 【答案】D 【分析】设点C所对应的实数是x，根据中心对称的性质，即对称点到对称中心的距离相等，即可列方程求解． 【详解】解：设点C所对应的实数是x． 则有， 解得，故D正确． 故选：D． 题型01 无理数的概念 【典例1】下列各数是无理数的是（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查无理数的识别，涉及无理数定义：无限不循环小数或无法表示为分数的数，熟记无理数定义是解决问题的关键．根据无理数的定义，判断各选项是否为无限不循环小数或无法表示为分数的数即可得到答案． 【详解】解：A、是分数，属于有理数，不符合题意； B、中，是无理数，有理数与无理数相乘仍为无理数，符合题意； C、是无限循环小数，可化为分数，属于有理数，不符合题意； D、，是整数，属于有理数，不符合题意； 故选：B． 【变式1】下列四个实数中，是无理数的是（   ） A． B．0.3 C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查了无理数的定义，根据无理数的定义，即无限不循环小数，逐一判断各选项是否为有理数或无理数． 【详解】A、，是整数，属于有理数，不符合题意； B、是有限小数，可表示为分数，属于有理数，不符合题意； C、是分数，属于有理数，不符合题意； D、是无限不循环小数，属于无理数，符合题意； 故选：D． 【变式2】在实数：，，3，，，（相邻每个1之间依次多一个0），中，无理数的个数是（　　） A．3 B．4 C．5 D．6 【答案】A 【分析】本题主要考查了无理数的定义，解题的关键是掌握无理数的定义． 根据无理数的定义（无限不循环小数）逐一判断各数是否为无理数． 【详解】解：（即）：有限小数，属于有理数； ：整数，属于有理数； 3：整数，属于有理数； ：化简为，是无理数，故为无理数； ：是无理数，减去有理数2仍为无理数； （无限不循环）：符合无理数定义； ：有限小数，可化为分数，属于有理数； 综上，无理数共3个， 故选：A． 题型02 无理数的大小估算 【典例2】下列各数，比大的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了实数的大小比较，先估算和的大小，再比较即可求解，掌握实数的大小比较方法是解题的关键． 【详解】解：∵，， ∴比大的是， 故选：． 【变式1】估计的值应在（   ） A．1和2之间 B．2和3之间 C．3和4之间 D．4和5之间 【答案】B 【分析】本题主要考查无理数的估算，熟练掌握无理数的估算是解题的关键；通过估算的值，再减去2，确定结果所在区间． 【详解】解：∵， ∴， ∴的值应在2和3之间； 故选B． 【变式2】如图，数轴上点A表示的数可能是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查实数与数轴，无理数的估算，熟练掌握无理数的估算是解决本题的关键． 设点表示的数为，根据点在数轴上的位置，判断出的范围，夹逼法求出无理数的范围进行判断即可． 【详解】解：设点表示的数为，由图可知：， ∵，即：，故选项A符合题意； ∵，即：，故选项B不符合题意； ∵，即：，故选项C不符合题意； ∵，即：，故选项D不符合题意； 故选：A． 题型03 实数概念理解 【典例3】下列说法正确的是（   ） A．正实数和负实数统称实数 B．正数、和负数统称有理数 C．带根号的数和负数统称实数 D．无理数和有理数统称实数 【答案】D 【分析】此题主要考查实数的定义和分类，解题的关键是熟知实数的定义．根据实数的定义判断即可． 【详解】解：A、正实数和负实数统称实数，错误，0也是实数，故不符合题意； B、正数、0和负数统称有理数，错误，正数、0和负数统称实数，故不符合题意； C、带根号的数和分数统称实数，错误，故不符合题意； D、无理数和有理数统称实数，正确，故符合题意； 故选：D． 【变式1】已知下列结论，其中正确的结论是（    ） ①在数轴上只能表示无理数；②任何一个无理数都能用数轴上的点表示；③实数与数轴上的点一一对应；④有理数有无限个，无理数有有限个． A．①② B．②③ C．③④ D．②③④ 【答案】B 【分析】本题主要考查实数．熟练掌握实数的概念，有理数的概念和性质，无理数的概念和性质，数轴的概念和性质。是解决问题的关键． 根据实数与数轴的关系，实数的概念，有理数的概念和性质，无理数的概念和性质，数轴的概念和性质，逐一判断，即得． 【详解】解：数轴上除了还能表示有理数与其它无理数，故①项错误； 任何一个无理数都能用数轴上的点表示，故②项正确； 实数与数轴上的点一一对应，故③项正确； 整数和分数统称有理数，无限不循环小数为无理数， ∴无理数也有无限个，故④项错误． ∴正确的是②③． 故选：B． 【变式2】下列说法中，正确的个数是（    ） ①实数包括有理数、无理数和0；②有理数和数轴上的点一一对应；③无理数都是无限小数；④；⑤平方根与立方根都等于它本身的数为0和1． A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】A 【分析】根据实数的概念和分类，实数与数轴关系，完全平方公式，平方根和立方根的性质分别判断即可． 【详解】解：①实数包括有理数、无理数，0属于有理数，故错误； ②实数和数轴上的点一一对应，故错误； ③无理数都是无限小数，故正确； ④，故错误； ⑤平方根等于它本身的数有：0，立方根等于它本身的数有：0、1、，则平方根、立方根都等于它本身的数为0，故错误； 正确结论的个数是1． 故选：A． 题型04 实数的分类 【典例4】把下列各数填入相应的大括号内： 有理数集合： ；无理数集合： ； 正实数集合： ；负实数集合： ． 【答案】 ，，， ，，， ，，，， ，， 【分析】本题考查的是实数的分类，实数分为有理数与无理数，无限不循环的小数是无理数，熟记定义是解本题的关键．根据实数的分类逐一填写即可． 【详解】， ，，，，，，，中， 有理数集合为：，，，； 无理数集合为：，，，； 正实数集合为：，，，，； 负实数集合为：，，； 故答案为：①，，，； ②，，，； ③，，，，； ④，，． 【变式1】把下列各数分别填入相应的集合内： ，0 ， ， ， ， ， 整数集合{                            }； 无理数集合{                          }； 负实数集合{                          }． 【答案】整数集合0，，；无理数集合，，；负实数集合， 【分析】本题主要考查了实数的分类，算术平方根，立方根，掌握整数、无理数、负实数的定义是解答本题的关键． 根据整数、无理数、负实数的定义分类即可． 【详解】， 整数集合{ 0，，}； 无理数集合{ ，，}； 负实数集合{ ，}． 故答案为：0，，；，，；，． 【变式2】把下列各数填在相应的大括号内． ，，，，，，，，，，（每相邻两个之间依次多个），． 有理数： ； 无理数： ； 正数： 整数： ； 非负数： ； 分数： ． 【答案】见解析 【分析】本题考查的是实数的概念和分类，掌握实数的分类方法是解题的关键．根据实数的概念和分类解答． 【详解】解：，， 有理数：，，，，，，，； 无理数：，，，（每相邻两个之间依次多个），； 正数： ，，，，，，（每相邻两个之间依次多个），； 整数：，，，； 非负数：，，，，，，，（每相邻两个之间依次多个），； 分数：，，，， ． 题型05 实数的性质 【典例5】（1）的绝对值为 ；的相反数为 ； （2）的绝对值为 ；的相反数为 ． 【答案】 / / 【分析】本题主要考查了求一个数的相反数和绝对值，只有符号不同的两个数互为相反数，正数和0的绝对值是它本身，负数的绝对值是它的相反数，据此求解即可． 【详解】解：（1）的绝对值为；的相反数为； （2）的绝对值为；的相反数为． 故答案为：（1）；；（2）； 【变式1】的相反数是 ；的绝对值是 ；的相反数是 ． 【答案】 / 【分析】本题主要考查了求一个数的相反数和绝对值，只有符号不同的两个数互为相反数，正数和0的绝对值是它本身，负数的绝对值是它的相反数，据此求解即可． 【详解】解：的相反数是；的绝对值是；的相反数是； 故答案为：；；． 【变式2】的绝对值是 ，的相反数是 ． 【答案】 【分析】本题是对绝对值和相反数知识的考查，熟练掌握实数知识是解决本题的关键．根据绝对值和相反数知识求解即可． 【详解】解：绝对值是， 的相反数是：． 故答案为：； 题型06 实数与数轴 【典例6】如图，直径为1个单位长度的圆从点A沿数轴向右滚动（无滑动）一周到达点B，则的长度为 ；若点A对应的数是，则点B对应的数是 ． 【答案】 / 【分析】本题主要考查了圆的周长及实数与数轴， 解题的关键是求了出．运用圆的周长公式求出周长即可 ． 【详解】解：的长度为：， 点对应的数是， 故答案为：，． 【变式1】如图，已知于点C，点C对应的数是，那么数轴上点B所表示的数是 ．    【答案】 【分析】本题考查实数与数轴，勾股定理与无理数，勾股定理求出的长，进而得到的长，即可得出结果． 【详解】解：由题意，得：， ∴点B所表示的数是； 故答案为：． 【变式2】如图，实数，，m在数轴上所对应的点分别为A，B，C，点B关于原点O的对称点为D．若m为整数，则m的值为 ． 【答案】-3 【分析】本题考查了数轴上点的特征，涉及到相反数的性质、对无理数进行估值、确定不等式组的整数解等问题．先求出D点表示的数，再得到m的取值范围，最后在范围内找整数解即可． 【详解】解：∵点B关于原点O的对称点为D，点B表示的数为， ∴点D表示的数为， ∵A点表示，C点位于A、D两点之间， ∴， ∵m为整数， ∴； 故答案为：． 题型07 实数的大小比较 【典例7】比较大小（用“，，”表示）： ． 【答案】 【分析】本题考查了有理数大小的比较，熟练掌握有理数大小的比较方法是解题的关键．根据两个负数，绝对值大的反而小，进行求解即可． 【详解】解： ，，， ， 故答案为：． 【变式1】下列各数：，其中小于的数是 ． 【答案】 【分析】本题考查了实数大小的比较、无理数的估算，先估算出，再根据两个负数进行比较，绝对值大的反而小即可得出答案． 【详解】解：∵， ∴，即， ∴， 故答案为：． 【变式2】下列四个数：、、、，其中，最小的实数是 ． 【答案】 【分析】本题考查实数的大小比较，记住任意两个实数都可以比较大小，正实数都大于0，负实数都小于0，正实数大于一切负实数，两个负实数绝对值大的反而小． 根据负实数绝对值大的反而小即可比较． 【详解】解：∵， ∴最小， 故答案为：． 题型08 实数的混合运算 【典例8】计算：． 【答案】 【分析】本题主要考查了实数的运算，先计算算术平方根和立方根，再计算加减法即可． 【详解】解： ． 【变式1】计算：． 【答案】 【分析】本题考查了实数的运算，掌握运算法则是解本题的关键．原式利用平方根及立方根定义计算即可得到结果． 【详解】解：原式 ． 【变式2】计算： (1)． (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了实数的运算； （1）利用平方根以及立方根的性质化简，再利用实数的加减运算法则计算得出答案； （2）利用平方和立方根的性质化简，结合实数的加减运算法则计算得出答案． 【详解】（1）解： ； （2）解： ． 题型09 程序设计与实数运算 【典例9】有一个数值转换机，原理如下：当输入的时，输出的 ． 【答案】 【分析】本题考查算术平方根，理解算术平方根、有理数、无理数的意义是正确解答的关键．根据数值转换器，输入，进行计算，一直到是无理数则输出即可． 【详解】解：第1次计算得，，而4是有理数， 因此第2次计算得，，而2是有理数， 因此第3次计算得，是无理数，则输出． 故答案为：． 【变式1】下面是一个简单的数值运算程序： 当输入x的值是时，输出的结果是 【答案】 【分析】本题主要考查了与流程图有关的实数计算，根据题意可得算式，据此计算即可得到答案． 【详解】解：由题意得，， 故答案为：． 【变式2】在信息技术课上，好学的小明制作了一个关于实数的运算程序如图所示，若输出的y值为时，则输入的实数x可取的负整数值是 ． 【答案】或 【分析】本题考查了实数的运算，理解程序的运算步骤是解题的关键． 按照程序的运算步骤进行计算，即可解答． 【详解】解：若1次运算输出的值是时， ， ， 解得：或； 若2次运算输出的值是时， ， ， 解答：或； 若3次运算输出的值是时， ， ， 解答：或； ，且取负整数， 或， 故答案为：或． 题型10 新定义下的实数运算 【典例10】对于两个不相等的实数，定义一种新的运算如下，如:，那么 ． 【答案】/0.4 【分析】本题考查了新定义实数的运算，根据题意列式计算即可得出答案，理解题意是解此题的关键． 【详解】解：∵， ∴， 故答案为：． 【变式1】定义运算：，则 ． 【答案】6 【分析】本题考查的是算术平方根的计算，把，代入中计算即可． 【详解】解：， ∴． 故答案为：6． 【变式2】对于任意不相等的两个实数，，新定义一种运算*如下：那么 ． 【答案】3 【分析】本题主要考查了二次根式的混合运算，理解新定义运算并掌握二次根式乘除法计算法则是解题的关键． 根据规定的运算方法转化为二次根式的混合运算，再进行计算即可． 【详解】解： 故答案为：3． 题型11 与实数运算相关的规律题 【典例11】已知数列：，，，，，……那么第6个数是 ． 【答案】 【分析】本题考查规律探索问题，结合已知数据总结出规律是解题的关键． 根据已知数据总结规律后即可求得． 【详解】解：第1个数：； 第2个数：； 第3个数：； 第4个数：； 故第6个数：； 故答案为：． 【变式1】将，，，，…，按如图的方式排列．规定表示第排从左向右第个数，若表示的数为时， ． 【答案】 【分析】本题考查数字类规律的探究问题，解题的关键是根据题意，找到规律，进行解答，涉及有理数的乘方等知识． 【详解】第一排的个数为：，前一排的总数为：； 第二排的个数为：，前两排的总数为：，从右往左依次增大排列； 第三排的个数为：，前三排的总数为：，从左往右依次增大排列； 第四排的个数为：，前四排的总数为：，从右往左依次增大排列； ……， ∴第排的个数为：个，前排的总数为：个；奇数排从左往右依次增大排列；偶数排从右往左依次增大排列， ∵，， ∴在第排，即；第排为奇数排，从左往右依次增大排列； ∴， ∴， ∴． 故答案为：． 【变式2】设． (1)　　　　　　　　　； (2)， 求　　　　　　　　　； (3)求的值．(用含n的代数式表示，其中n为正整数) 【答案】(1) (2) (3) 【分析】本题考查了数字算式的变化规律．关键是观察几个结果的结果，由特殊到一般，得出规律． （1）观察题中的几个计算结果，得出一般规律． （2）观察第一步的几个计算结果，得出一般规律． （3）根据（2）中的规律解答即可； 【详解】（1）解：∵， ∴． （2）∵ ∴． （3）结合（2）可得： ． 一、单选题 1．（25-26七年级下·山东临沂·期末）下列实数中，属于无理数的是（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】解：，是整数，属于有理数，选项A错误； 是有限小数，属于有理数，选项B错误； 是分数，属于有理数，选项C错误； 是无限不循环小数，属于无理数，选项D正确． 2．（25-26七年级下·广西桂林·期末）如图，数轴上点M表示的数可能是（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】解：设表示的数为，由图可知，点 在 和 之间，且靠近 ， ， ， ，故排除 C， D ； ， ， 点 表示的数可能是 ． 3．（25-26八年级下·重庆荣昌·期末）若为正整数，且满足，则的值为（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】找到与相邻的完全平方数，估算的取值范围，结合已知不等式确定的值． 【详解】解：∵，，且， ∴，即， ∵为正整数且， ∴． 4．（25-26七年级下·山东德州·期末）如图，面积为的正方形的顶点在数轴上，且表示的数为；若点在数轴上（点在点的右侧）且，则点所表示的数为（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据正方形的边长是面积的算术平方根得，结合点A所表示的数及两点间距离可得点E所表示的数． 【详解】解：∵正方形的面积为， ∴边长， ∵， ∴， ∵顶点在数轴上，且表示的数为， ∴点所表示的数为． 二、填空题 5．（25-26七年级下·安徽淮南·期末）实数的相反数是________． 【答案】 【详解】解：的相反数为：． 6．（25-26七年级下·黑龙江哈尔滨·期末）比较下列实数的大小（填“”“”或“”）：__________4． 【答案】 【分析】统一形式后进行比较大小． 【详解】解：∵，且， ． 7．（25-26七年级下·安徽芜湖·期末）在，，，，，中，无理数有________个． 【答案】2 【分析】先将题目中可化简的数进行化简，再根据无理数的定义逐一判断各数即可． 【详解】解：∵是整数，属于有理数， 是开方开不尽的数，是无限不循环小数，属于无理数， 是分数，属于有理数， 是整数，属于有理数， 是无限不循环小数，属于无理数， 是整数，属于有理数， ∴无理数共有个． 8．（25-26七年级下·陕西榆林·期末）小明编写了一个程序，如图．若输入，则输出的数为___________． 【答案】 【分析】根据流程图和实数运算法则即可求解． 【详解】解：输入， 则， 然后， 4的倒数为， 然后得到， ∴输出的数为． 三、解答题 9．（25-26七年级下·福建福州·期末）计算：． 【答案】 【分析】先计算立方根、算术平方根和绝对值，再进行实数运算即可求解． 【详解】解： ． 10．（25-26七年级下·内蒙古呼伦贝尔·阶段检测）实数在数轴上对应的点的位置如图所示．化简 【答案】 【分析】本题主要考查了二次根式的性质以及绝对值与数轴，正确化简各式是解题关键，直接利用数轴得出各式的符号，进而化简得出答案． 【详解】解：由数轴可知：，且， ，， ． 11．（25-26七年级下·山东德州·期中）将下列各数填在相应的集合里． ，，3.1415926，，3.030030003…（每相邻两个3之间依次多1个0），0，，，， 有理数集合：{         …}； 无理数集合：{         …}； 正实数集合：{         …}； 整数集合：{           …}． 【答案】，3.1415926，，0，，； ，3.030030003…（每相邻两个3之间依次多1个0），，； ，，3.1415926，3.030030003…（每相邻两个3之间依次多1个0），，，； ，0， 【分析】实数可以分为有理数和无理数，无限不循环小数称之为无理数，除了无限不循环小数以外的数统称有理数；正整数、0、负整数统称为整数；正实数是大于0的所有实数，由此即可求解． 【详解】解：，， 根据定义知：有理数有：，3.1415926，，0，，； 无理数有：，3.030030003…（每相邻两个3之间依次多1个0），，； 正实数有：，，3.1415926，3.030030003…（每相邻两个3之间依次多1个0），，，； 整数有：，0，． 12．（25-26七年级下·河北沧州·期中）已知实数a，b满足：． (1)求a，b的值； (2)求的平方根，并在图所示的数轴上标出平方根的大概位置．（标出后在对应位置旁写出你求的平方根） 【答案】(1)， (2)，图见解析 【分析】（1）根据算术平方根，绝对值的非负性求解即可； （2）先求解的平方根为，再估算，进一步画图即可. 【详解】（1）解：∵， ∴，， ∴，； （2）解：∵，， ∴， ∴的平方根为， ∵，， ∴数轴表示如下图所示 . 一、单选题 1．（25-26八年级下·重庆渝中·期末）估计的值介于（     ） A．0到1之间 B．1到2之间 C．2到3之间 D．3到4之间 【答案】B 【分析】先确定的取值范围，再通过不等式变形得到的范围即可． 【详解】解： ，即 不等式三边同时减3，得 即 因此的值介于1到2之间． 2．（25-26七年级下·黑龙江大庆·期末）下列实数0，，，，，，，，（每2个1之间的0依次增加1个），其中无理数的个数是（     ） A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 【答案】B 【分析】无限不循环小数是无理数，再逐个化简判断每个数，统计无理数的个数即可． 【详解】解：是整数，是整数，是整数，是分数，是循环小数，是有限小数，属于有理数； 无理数是，，（每2个1之间的0依次增加1个），共个． 3．（25-26七年级下·山东临沂·期末）实数在数轴上的对应点位置如图所示，若，且是无理数，则的值可以是（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据数轴确定的取值范围，再结合以及是无理数这两个条件来确定的值即可． 【详解】解：由数轴可知， 所以， 因为，即， 选项A：，则，满足题意，且是无理数， 选项B：，不满足； 选项C：，则，不满足； 选项D：是分数，属于有理数，不满足是无理数这一条件． 4．（25-26七年级下·广东广州·期末）在如图所示的运算程序中，若输入的值是，则输出的值是（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据流程图，列出算式进行计算即可． 【详解】解：当输入的值是时，取算术平方根得， 8是有理数，再取立方根得， 2是有理数，再取算术平方根得， 由于是无理数， 所以输出的值是． 5．（25-26七年级下·福建福州·期末）将图1中的5个边长为1的小正方形剪拼成图2中的大正方形，将正方形的顶点与数轴的原点重合，以为圆心，和的长为半径画弧分别与数轴的正半轴交于点，，则的长为（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据剪拼前后图形面积不变，求出大正方形的面积及边长，由图可知为小正方形边长，利用圆的半径相等得出、的长，进而求出的长． 【详解】解：大正方形是由个边长为的小正方形剪拼而成， 大正方形的面积为， 大正方形的边长， 由图可知，为小正方形的边长， ， 以为圆心，和的长为半径画弧分别与数轴的正半轴交于点，，， ． 二、填空题 6．（25-26七年级下·重庆九龙坡·期末）已知（为整数），则的值是__________． 【答案】 【分析】先估算的大小，确定介于哪两个连续整数之间，再结合已知不等式即可求出整数的值． 【详解】解：，，且， ，即， 又，为整数， ． 7．（25-26七年级下·陕西·期末）比较大小：________．（填写“”或“”） 【答案】 【分析】利用作差法进行大小比较即可． 【详解】， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∴． 8．（2026·陕西渭南·模拟预测）若将，，这三个数表示在数轴上，其中能被如图所示的墨迹（阴影）覆盖的数是________． 【答案】 【分析】首先利用算术平方根的性质估算出分别在哪两个连续整数之间，然后观察数轴确定墨迹覆盖的数值范围，最后找出位于该范围内的数． 【详解】解：， ， ， ， ， ， 由图可知，墨迹覆盖的范围是2到3之间， 能被墨迹覆盖的数是． 9．（25-26七年级下·福建龙岩·期中）如图，半径为1的圆从表示的点开始沿着数轴向右滚动一周，圆上的点A与表示的点重合，滚动1周后到达点B，点B表示的数是________． 【答案】/ 【详解】解：∵圆的周长为， ∴点B表示的数为． 10．（25-26七年级下·天津西青·期末）按照如下程序操作，规定：从“输入一个值x”到“结果是否大于17”为一次程序操作．如果结果得到的数小于或等于17，则用得到的这个数进行下一次操作． （1）若时，程序进行了_________次操作就停止了； （2）若时，则输出的数为_________； （3）若程序操作进行了两次才停止，则输入的x的取值范围是_________． 【答案】 2 【分析】（1）根据流程图计算即可得解； （2）根据流程图计算即可得解； （3）由题意得出一元一次不等式组，解不等式组即可得解． 【详解】解：（1）第一次操作：， ∵， ∴需要进行下一次操作， 第二次操作：， ∵， ∴输出的数为，即程序进行次操作就停止了； （2）∵， ∴第一次操作：， ∵， ∴输出的数为； （3）由题意可得：， 解得：， 故若程序操作进行了两次才停止，则输入的x的取值范围是． 三、解答题 11．（25-26七年级下·广西梧州·期中）计算： (1) (2) 【答案】(1)11 (2)2 【详解】（1）解：原式 ； （2）解：原式． 12．（25-26七年级下·青海西宁·期中）把下列各数填入相应的大括号内： ，，，0.5，，3.14159265，，1.3030030003…（两个3之间依次增加一个0）． 有理数：｛                                ｝； 无理数：｛                                ｝； 整数：｛                                  ｝； 负实数：｛                                ｝． 【答案】有理数：； 无理数：； 整数： 负实数：． 【分析】根据有理数包括整数和分数，有理数和无理数统称为实数，整数包括正整数，负整数和0，负实数包括负有理数和负无理数解答． 【详解】解：有理数：； 无理数：； 整数： 负实数：． 13．（25-26七年级下·重庆巫山·期中）已知的平方根是，的立方根是2，c是的整数部分． (1)求a、b、c的值； (2)求的算术平方根． 【答案】(1)，， (2)2 【分析】（1）根据平方根、立方根的定义列出等式求出a和b的值，再估算的范围得到的值； （2）将代入代数式，计算后求出对应算术平方根即可． 【详解】（1）解：∵的平方根是，的立方根是， ∴ ， ， 解得，， ∵， ∴， ∵是的整数部分， ∴， 即，，； （2）解：由(1)知，，， ∴ ， 的算术平方根是，即 的算术平方根是． 14．（25-26七年级下·河南商丘·期中）一个数值转换器如图所示： (1)当输入的值为256时，输出的值是______； (2)若输入有效的值后，始终无法输出的值，请你写出所有满足要求的的值，并说明你的理由； (3)若输出的值是，请写出两个满足要求的的值：______． 【答案】(1) (2)所有满足要求的的值为0，1．理由见解析 (3)3，9（答案不唯一） 【分析】（1）根据流程图进行求解即可； （2）根据题意，得到的算术平方根等于其本身，即可得出结果； （3）根据一次计算的结果为和二次计算的结果为，两种情况进行讨论求解即可. 【详解】（1）解：为无理数，输出， 故输出的值为； （2）解：由题意，的算术平方根等于其本身， 即或1； （3）解：当输入3时，输出结果为； 当输入9时，是无理数，输出； 故的值可以为3或9. 15．（25-26七年级下·山东德州·期中）如图，一只蚂蚁从点A沿数轴向右爬了2个单位长度到达点B，点A表示，设点B所表示的数为m． (1)实数m的值是_____． (2)求的值； (3)在数轴上还有C、D两点分别表示实数c和d，且有与互为相反数，求的平方根． 【答案】(1)； (2)的值为2； (3)的平方根为． 【分析】（1）根据点沿数轴向右爬了2个单位长度到达点，即可得到的值； （2）根据数轴得到的取值范围，去绝对值化简即可得出答案； （3）根据非负数的性质得到的值，代入求值，再求平方根得出答案． 【详解】（1）解：∵点A表示，蚂蚁从点A沿数轴向右爬了2个单位长度到达点B， ∴点表示的数为：； （2）解：由数轴可知，， ∴，， ． （3）解：与互为相反数， ， ，， 解得：，， ， 的平方根为． 2 / 37 学科网（北京）股份有限公司 $