5.1 变量与函数讲义2026-2027学年苏科版数学八年级上册

本讲义聚焦“变量与函数”核心知识点，系统梳理常量与变量的概念，函数的定义、值、关系式、图象、表示方法及自变量取值范围，构建从基础概念到应用的学习支架，为后续函数学习奠定基础。 资料以生活实例（如加油金额与油量、苹果下落速度与时间）培养数学眼光，通过函数辨析题发展推理意识，题型分类清晰且典例变式结合，课中辅助教师高效授课，课后助力学生查漏补缺，提升用数学语言表达现实问题的能力。

5.1 变量与函数 内 容 导 航 题型1 常量与变量 题型2 函数的概念 题型3 函数值 题型4 函数关系式 题型5 函数的图象 题型6 函数的表示方法 题型7 函数自变量的取值范围 考 点 演 练 题型1 常量与变量 解｜题｜知｜识 （1）变量和常量的定义： 在一个变化的过程中，数值发生变化的量称为变量；数值始终不变的量称为常量． （2）方法： ①常量与变量必须存在于同一个变化过程中，判断一个量是常量还是变量，需要看两个方面：一是它是否在一个变化过程中；二是看它在这个变化过程中的取值情况是否发生变化； ②常量和变量是相对于变化过程而言的．可以互相转化； ③不要认为字母就是变量，例如π是常量． 【典例1】“冰冻三尺，非一日之寒．”这句谚语体现了冰的厚度随时间的变化而变化．在这个变化过程中，下列说法正确的是（　　） A．时间为常量 B．冰的厚度为常量 C．冰的质量为常量 D．时间和冰的厚度都为变量 【答案】D 【解答】解：根据题意可知，冰的厚度随时间的变化而变化， 因此时间，冰的厚度是变量． 故选：D． 【变式1】已知食用油的沸点一般都在200℃上，如表所示的是小明的妈妈在加热食用油的过程中，几次测量食用油温度的情况： 时间t/s 0 10 20 30 40 油温y/℃ 10 35 60 85 110 则下列说法不正确的是（　　） A．没有加热时，油的温度是10℃ B．继续加热到50s，预计油的温度是135℃ C．在这个问题中，自变量为时间t D．每加热10s，油的温度升高35℃ 【答案】D 【解答】解：A、没有加热时，油的温度是10℃，故A不符合题意； B、继续加热到50s，预计油的温度是135℃，故B不符合题意； C、在这个问题中，自变量为时间t，故C不符合题意； D、每加热10s，油的温度升高25℃，故D符合题意； 故选：D． 【变式2】如图是某加油站加油机上的数据显示牌，在此次加油过程中的变量是（　　） A．金额 B．油量 C．单价 D．金额和油量 【答案】D 【解答】解：常量是固定不变的量，变量是变化的量，单价是不变的量，而金额是随着油量的变化而变化，所以其中的变量是金额和油量． 故选：D． 【变式3】汽车以每小时100千米的速度匀速行驶，行驶的路程随时间的变化而变化，在这个变化过程中，自变量是（　　） A．汽车 B．路程 C．速度 D．时间 【答案】D 【解答】解：匀速行驶，速度不变，速度是常量， 时间是自变量，路程是因变量， 故选：D． 题型2 函数的概念 解｜题｜知｜识 函数的定义：设在一个变化过程中有两个变量x与y，对于x的每一个确定的值，y都有唯一的值与其对应，那么就说y是x的函数，x是自变量． 说明：对于函数概念的理解：①有两个变量；②一个变量的数值随着另一个变量的数值的变化而发生变化；③对于自变量的每一个确定的值，函数值有且只有一个值与之对应，即单对应． 【典例1】下列能表示y是x的函数的是（　　） A．y＝3x﹣1 B． C． x 1 2 3 4 5 y 3 6 9 12 15 D．以上都是 【答案】D 【解答】解：A、对于自变量x的每一个值，因变量y都有唯一的值与它对应，所以y是x的函数，故符合题意； B、对于自变量x的每一个值，因变量y都有唯一的值与它对应，所以y是x的函数，故符合题意； C、对于自变量x的每一个值，因变量y都有唯一的值与它对应，所以y是x的函数，故符合题意； D、以上都是，故符合题意； 故选：D． 【变式1】下列四个选项中，y不是x的函数的是（　　） A．y＝2x﹣7 B． C．y＝x2 D．y＝±2x 【答案】D 【解答】A．y＝2x﹣7是一次函数，故A选项错误； B.是反比例函数，故B选项错误； C．y＝x2是二次函数，故C选项错误； D．y＝±2x，x取一个值，y有两个值对应，y不是x的函数，故D选项正确； 故选：D． 【变式2】有下列5个等式：①y＝3x+1；②y2＝x2﹣1；③y＝±x；④|y|＝3x2+1；⑤（x≥0）．其中表示y是x的函数有（　　） A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 【答案】A 【解答】解：①在y＝3x+1中，对于每一个x，都有唯一y值，选项式子是函数，符合题意； ②在y2＝x2﹣1中，对于某些x（如x＝2），y有两个值（），选项式子不是函数，不符合题意； ③y＝±x中，对于每一个x，y有两个可能值（x或﹣x），选项式子不是函数，不符合题意； ④在|y|＝3x2+1中，对于每一个x，|y|唯一，但y有两个值（正负），选项式子不是函数，不符合题意； ⑤在中，对于x≥0，y有唯一值（算术平方根），选项式子是函数，符合题意． 故选：A． 【变式3】下列各曲线中哪些不是表示y是x的函数（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【解答】解：由函数的定义可得， 选项A，B，D中的曲线是表示y是x的函数， 选项C中的曲线中不是表示y是x的函数， 故选：C． 题型3 函数值 解｜题｜知｜识 函数值是指自变量在取值范围内取某个值时，函数与之对应唯一确定的值． 注意：①当已知函数解析式时，求函数值就是求代数式的值；当已知函数解析式，给出函数值时，求相应的自变量的值就是解方程； ②当自变量确定时，函数值是唯一确定的．但当函数值唯一确定时，对应的自变量可以是多个． 【典例1】根据如图所示的程序计算函数值，若输入x的值为，则输出结果为（　　） A． B． C． D．3个不同的值 【答案】C 【解答】解：∵， ∴运算程序适用y＝﹣x+2， 把x代入y＝﹣x+22， 故选：C． 【变式1】已知函数y＝﹣4x﹣3，当x＝　 　 时，函数值为0． 【答案】 【解答】解：∵函数值为0， ∴﹣4x﹣3＝0， ∴x． 故答案为：． 【变式2】如图，根据程序框图计算函数y的值，若输入x的值为7，则输出y的值为﹣2，若输入x的值为﹣8，则输出y的值为　 　 ． 【答案】19． 【解答】解：当x＝7时，可得， 可得：b＝3， 当x＝﹣8时，可得：y＝﹣2×（﹣8）+3＝19， 故答案为：19． 【变式3】根据如图所示的程序计算函数y的值，若输入的x值是﹣3和2时，输出的y值相等，则b＝ 　 　 ． 【答案】5 【解答】解：当x＝﹣3时，y＝（﹣3）2＝9， 当x＝2时，y＝2×2+b＝4+b， 根据题意，得4+b＝9， 解得b＝5． 故答案为：5． 题型4 函数关系式 解｜题｜知｜识 用来表示函数关系的等式叫做函数解析式，也称为函数关系式． 注意： ①函数解析式是等式． ②函数解析式中，通常等式的右边的式子中的变量是自变量，等式左边的那个字母表示自变量的函数． ③函数的解析式在书写时有顺序性，例如，y＝x+9时表示y是x的函数，若写成x＝﹣y+9就表示x是y的函数． 【典例1】用一根绳子围成一个长方形，其中一边长为xm，且长方形的周长为10m．若长方形的另一边长为ym．用式子表示y与x的关系为 ． 【答案】y＝5﹣x． 【解答】解：由题意得，2（x+y）＝10， 即y＝5﹣x， 故答案为：y＝5﹣x． 【变式1】面对全球淡水资源日益减少的现状，倡导全民节约用水．若拧不紧的水龙头每秒钟滴两滴水，每滴水约0.05毫升，则浪费的水y（毫升）与时间x（秒）之间的关系式是 ． 【答案】y＝0.1x． 【解答】解：由题意可得：y＝2×0.05x＝0.1x． 故答案为：y＝0.1x． 【变式2】要围一个长方形菜园．菜园的一边利用足够长的墙，用24米长的篱笆围成的另外三边，如图所示的矩形ABCD，为了方便进出，在BC边上留了一个1米宽的小门．设BC边的长为x米，AB边的长为y米，则y与x之间的关系式是 　 ． 【答案】y12.5． 【解答】解：由题意可得， yx+12.5， 故答案为：y12.5． 【变式3】某书店对外租图书，收费方法是：每本书需要收取2元的基础费用，再按每天0.5元/本的价格租出图书（不足一天按一天计算），则该书店租出一本书收到的费用y（元）和租出的天数x（x为正数）之间的关系式为 　 ． 【答案】y＝0.5x+2． 【解答】解：租金y（元）和租赁天数x之间的关系式为y＝0.5x+2． 故答案为：y＝0.5x+2． 题型5 函数的图象 解｜题｜知｜识 函数的图象定义 对于一个函数，如果把自变量与函数的每一对对应值分别作为点的横、纵坐标，那么坐标平面内由这些点组成的图形就是这个函数的图象． 注意：①函数图形上的任意点（x，y）都满足其函数的解析式；②满足解析式的任意一对x、y的值，所对应的点一定在函数图象上；③判断点P（x，y）是否在函数图象上的方法是：将点P（x，y）的x、y的值代入函数的解析式，若能满足函数的解析式，这个点就在函数的图象上；如果不满足函数的解析式，这个点就不在函数的图象上． 【典例1】如图，张叔叔从A地出发去C地，然后返回，去时经过B地加油，而返回时不停，返回时的速度是90千米/时，那么去时的速度是（　　）千米/时． A．90 B．80 C．72 D．100 【答案】B 【解答】解：张叔叔从A地出发去C地，然后返回，去时经过B地加油，而返回时不停，返回时的速度是90千米/时，根据题意可得： 张叔叔返回时的速度是90千米/时，返回时间为20﹣12＝8（分）， ∴返回的路程为：（千米）， ∵去时的时间为：10﹣（5﹣4）＝9（分）， ∴去时的速度为：（千米/时）． 故选：B． 【变式1】如图，折线为y关于x的函数图象，下列关于该函数说法正确的是（　　） A．点（﹣2，1）在该函数图象上 B．当x＜0时，y随x的增大而增大 C．该函数有最大值3 D．当x＞﹣3时，函数值总大于0 【答案】A 【解答】解：由图象可知： A．设x≤﹣1时，y＝kx+b，则， 解得， ∴y＝x+3， 当x＝﹣2时，y＝﹣2+3＝1， ∴点（﹣2，1）在该函数图象上， 故选项A说法正确，符合题意； B．当x≤﹣1时，y随x的增大而增大；当x≥﹣1时，y随x的增大而减小，原说法错误，故本选项不合题意； C．该函数有最大值是2，原说法错误，故本选项不合题意； D．当﹣3＜x＜1时，函数值总大于0，原说法错误，故本选项不合题意． 故选：A． 【变式2】某同学步行到超市，在超市购买一些生活用品，然后打车回家，设家到超市为直线，车的速度比步行快，该同学出发的时间为t（h），与家的距离为s（km），则s与t的函数关系用图象表示大致是（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【解答】解：由题意可知，分三个阶段：①从家到超市，步行，距离缓慢增大；②在超市购物，距离不变；③从超市到家，打车，距离迅速减小， ∴s与t的函数关系用图象表示大致是 故选：C． 【变式3】你有没有这样的疑问：为什么苹果往下掉，而不是“飞上天”呢？当年，牛顿带着这样的疑问，经过长期的观察、思考与研究，最终发现了“万有引力”定律．如图1是苹果掉落过程中某一瞬间的照片，已知苹果下落过程中速度v随时间t变化的函数图象如图2所示，苹果下落的距离h随时间t变化的函数图象如图3所示，则下列结论错误的是（　　） A．当t＝2s时，v＝20m/s B．当t＝2s时，h＝20m C．v和h均随t的增大而增大 D．t每增加1s，h的增加量相同 【答案】D 【解答】解：A．由题图②可知，当t＝2s时，v＝20m/s，不符合题意； B．由题图③可知，当t＝2s时，h＝20m，不符合题意： C．由题图②、图③可知，v和h均随t的增大而增大，不符合题意： D．由题图②、图③可知，苹果下落的距离h随时间t变化的函数图象不是直线，t每增加1s，h的增加量不同．符合题意． 故选：D． 题型6 函数的表示方法 解｜题｜知｜识 函数的三种表示方法：列表法、解析式法、图象法． 其特点分别是：列表法能具体地反映自变量与函数的数值对应关系，在实际生活中应用非常广泛；解析式法准确地反映了函数与自变量之间的对应规律，根据它可以由自变量的取值求出相应的函数值，反之亦然；图象法直观地反映函数值随自变量的变化而变化的规律． 注意：①它们分别从数和形的角度反映了函数的本质；②它们之间可以互相转化． 【典例1】水钟在我国又称漏刻、漏壶，是一种利用水流等时性原理计时的古老装置．小明依据水钟的原理，制作了一个简易的计时工具，通过观察，他发现容器中水的高度和时间有如下关系： 时间/min 1 2 3 4 5 6 水的高度/cm 1.5 3 4.5 6 7.5 9 下列说法中，不正确的是（　　） A．上表反映了容器中水的高度和时间两个变量之间的关系 B．当经过的时间为3min时，容器中水的高度是6cm C．当容器中水的高度为6cm时，对应的时间为4min D．时间每增加1min，容器中水的高度增加1.5cm 【答案】B 【解答】解：∵上表反映了容器中水的高度和时间两个变量之间的关系，时间t＝3min时，水的高度h＝4.5cm； 当t＝4min，h＝6cm时， 且时间每增加1min，h增加1.5cm， ∴ACD正确，B错误． 故选：B． 【变式1】背景资料： “低碳生活”是指人们生活中尽量减少所耗能量，从而降低（特别是二氧化碳的）排放量的一种生活方式，低碳生活的理念也已逐步被人们所接受，相关资料统计了一系列排碳计算公式，根据图中信息解决问题： 排碳计算公式 家居用电的二氧化碳排放量（kg）＝耗电量（kW•h）×0.78 开私家车的二氧化碳排放量（kg）＝耗油量（L）×2.7 家用天然气二氧化碳排放量（kg）＝天然气使用量（m3）×0.19 家用自来水二氧化碳排放量（kg）＝自来水使用量（t）×0.9 （1）若x表示耗油量，开私家车的二氧化碳排放量为y，请你写出开私家车的二氧化碳排放量与耗油量的关系式； （2）在上述关系中，耗油量每增加1L，二氧化碳排放量就增加多少kg；当耗油量从3L增加到8L时，请写出二氧化碳排放量变化范围； （3）小明家本月家居用电约100km•h，天然气10m3，自来水6t，开私家车耗油100L，请你计算一下小明家这几项二氧化碳排放量的总和． 【答案】见试题解答内容 【解答】解：（1）根据“开私家车的二氧化碳排放量（kg）＝耗油量（L）×2.7”，得y＝2.7x， ∴开私家车的二氧化碳排放量与耗油量的关系式为y＝2.7x． （2）∵y＝2.7x， ∴耗油量每增加1L，二氧化碳排放量就增加2.7kg． 当x＝3时，y＝2.7×3＝8.1； 当x＝8时，y＝2.7×8＝21.6， ∴当耗油量从3L增加到8L时，二氧化碳排放量变化范围是从8.1kg增加到21.6kg． （3）根据题意，得100×0.78+10×0.19+6×0.9+100×2.7＝355.3（kg）， ∴小明家这几项二氧化碳排放量的总和是355.3kg． 题型7 函数自变量的取值范围 解｜题｜知｜识 自变量的取值范围必须使含有自变量的表达式都有意义． ①当表达式的分母不含有自变量时，自变量取全体实数．例如y＝2x+13中的x． ②当表达式的分母中含有自变量时，自变量取值要使分母不为零．例如y＝x+2x﹣1． ③当函数的表达式是偶次根式时，自变量的取值范围必须使被开方数不小于零． ④对于实际问题中的函数关系式，自变量的取值除必须使表达式有意义外，还要保证实际问题有意义． 【典例1】函数y的自变量取值范围是（　　） A．x＞﹣2 B．x＜﹣2 C．x≥﹣2 D．x≠﹣2 【答案】C 【解答】解：根据题意得：x+2≥0，解得：x≥﹣2． 故选：C． 【变式1】在函数中，自变量x的取值范围是 　 ． 【答案】x≤3． 【解答】解：由题意得：3﹣x≥0， 解得：x≤3， 故答案为：x≤3． 【变式2】函数中自变量x的取值范围是 　 ． 【答案】x≥1 【解答】解：由题意得：x﹣1≥0， 解得：x≥1， 故答案为：x≥1． 【变式3】函数的自变量x的取值范围是 　 ． 【答案】x≥﹣2且x≠1． 【解答】解：由题意可得：2x+4≥0且x﹣1≠0， 解得x≥﹣2且x≠1． ∴自变量x的取值范围是x≥﹣2且x≠1． 故答案为：x≥﹣2且x≠1． 过 关 验 收 1．水中涟漪（圆形水波）不断扩大，记它的半径为r，则圆周长C与r的关系式为C＝2πr．下列判断正确的是（　　） A．2是变量 B．π是变量 C．r是变量 D．C是常量 【答案】C 【解答】解：根据题意可得， 在C＝2πr中．2，π为常量，r是自变量，C是因变量． 故选：C． 2．高师傅到单位附近的加油站加油，如图是所用的加油机上的数据显示牌，金额随着数量的变化而变化，则下列判断正确的是（　　） A．金额是自变量 B．单价是自变量 C．6.48和18是常量 D．金额是数量的函数 【答案】D 【解答】解：单价是常量，金额和数量是变量，金额是数量的函数，只有D正确， 故选：D． 3．下列曲线中，表示y是x的函数的是（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【解答】解：A、不能表示y是x的函数，故此选项不合题意； B、不能表示y是x的函数，故此选项不合题意； C、不能表示y是x的函数，故此选项不合题意； D、能表示y是x的函数，故此选项符合题意； 故选：D． 4．下列图象中，表示y是x的函数的有（　　） A．①②③④ B．①④ C．①②③ D．②③ 【答案】B 【解答】解：图象①④，对于自变量x的每一个值，因变量y都有唯一的值与它对应，所以能表示y是x的函数； 图象②③，对于自变量x的每一个值，因变量y不是都有唯一的值与它对应，所以不能表示y是x的函数； 故选：B． 5．下列四个图象中，y不是x的函数的是（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【解答】解：由函数的定义：设在一个变化过程中有两个变量x与y，对于x的每一个确定的值，y都有唯一的值与其对应，那么就说y是x的函数， 选项A、B、C中的图象，y是x的函数，故A、B、C不符合题意； 选项D中的图象，y不是x的函数，故D符合题意． 故选：D． 6．下列各图表示的函数是y不是x的函数的（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【解答】解：对于每一个x值，y都有唯一的值与之对应，则： B图象中，对于每一个x值，y有两个值与之对应，不符合函数的定义， 故选：B． 7．根据下面的运算程序： 若输入一个正数x时，输出y的值是12，则输入的x的值是 　 　 ． 【答案】3或． 【解答】解：当0≤x＜2时，则3x+7＝12， 解得：， 当x≥2，则x3﹣15＝12， 解得：x＝3， 综上所述，x的值可能是3或， 故答案为：3或． 8．若一个函数的自变量x每增加1，函数值y就减少2，则其表达式可以是（　　） A．y＝﹣2x+10 B．y＝2x C．y＝﹣x+2 D．y＝﹣2x2 【答案】A 【解答】解：A、将x+1代入函数y＝﹣2x+10得：y＝﹣2（x+1）+10＝﹣2x+8，即函数值减少2，符合题意； B、将x+1代入函数y＝2x得：y＝2（x+1）＝2x+2，即函数值增加2，不符合题意； C、将x+1代入函数y＝﹣x+2得：y＝﹣（x+1）+2＝﹣x+1，即函数值减少1，不符合题意； D、将x+1代入函数y＝﹣2x2得：y＝﹣2（x+1）2＝﹣2x2﹣4x﹣2，即函数值的变化量为﹣4x﹣2，不符合题意． 故选：A． 9．在弹性限度内，某弹簧的长度y（单位：cm）与所挂物体的质量x（单位：kg）的一次函数关系如表所示： x/kg 0 1 2 3 4 5 … y/cm 3.0 3.5 4.0 4.5 5.0 5.5 … 则y与x之间的关系式为（　　） A．y＝﹣0.5x+3 B．y＝﹣0.5x+3.5 C．y＝0.5x+3 D．y＝0.5x+3.5 【答案】C 【解答】解：根据表格可得：y＝3+（3.5﹣3）x＝3+0.5x． 故选：C． 10．一支签字笔的单价为2.5元，小涵同学拿了50元钱去购买了x（x≤20）支该型号的签字笔，写出所剩余的钱y与x间的关系式是（　　） A．y＝2.5x B．y＝50﹣2.5x C．y＝2.5x﹣50 D．y＝50+2.5x 【答案】B 【解答】解：y与x间的关系式是y＝50﹣2.5x． 故选：B． 11．如图（单位cm），规格相同的某种盘子整齐地摞在一起，若这摞盘子的个数为x个，盘子摞在一起的厚度为ycm，则y与x满足的关系式是（　　） A．y＝2x+1 B．y＝x+4 C．y＝x+2 D．y＝x+3 【答案】C 【解答】解：设解析式为y＝kx+b， 由题意得：， 解得：， 故选：C． 12．如图所示，△ABC中，已知BC＝16，高AD＝10，动点Q由C点沿CB向B移动（不与点B重合）．设CQ长为x，△ACQ的面积为S，则S与x之间的函数关系式为（　　） A．S＝80﹣5x B．S＝5x C．S＝10x D．S＝5x+80 【答案】B 【解答】解：由题意，得 SCQ•AD＝5x， 故选：B． 13．晓蕾家与学校相距1000米，她从家出发匀速行走，20分钟后到达食品店，买零食用了10分钟，接着她加快步伐匀速行走，用10分钟便到了学校．下列图象中表示晓蕾行走的路程（米）与时间（分钟）之间的关系的是（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【解答】解：随着时间的变化，她离家的距离将接近1000米，排除D； 由于她到食品店买零食用了10分钟，在这段时间内，离家的路程将不会增加，排除C； 接着她加快步伐，说明以后的函数图象将比以前匀速前进的时候的图象要陡，排除B． 故选：A． 14．将一圆柱形小水杯固定在大圆柱形容器底面中央，小水杯中有部分水，现用一个注水管沿大容器内壁匀速注水，如图所示，则小水杯水面的高度h（cm）与注水时间t（min）的函数图象大致是（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【解答】解：由题意可得：小玻璃杯内的水原来的高度一定大于0，则可以判断A、D一定错误， 用一注水管沿大容器内壁匀速注水，水开始时不会流入小玻璃杯，因而这段时间h不变，当大杯中的水面与小杯水平时，开始向小杯中流水，h随t的增大而增大，当水注满小杯后，小杯内水面的高度h不再变化． 故选：B． 15．甲、乙两人一起从同一地点沿同一条路同向跑步，甲的速度为每分钟100米，乙的速度为每分钟150米，甲先跑3分钟后乙再开始，且两人同时到达终点，则两人之间的距离y（米）与甲跑步的时间x（分钟）的函数关系的图象大致是（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【解答】解：A、因为甲、乙两人一起从同一地点沿同一条路同向跑步，所以开始跑步时两人之间的距离为0，故选项不符合题意； B、因为甲、乙两人一起从同一地点沿同一条路同向跑步，所以开始跑步时两人之间的距离为0，故选项不符合题意； C、因为两人同时到达终点，所以到达终点时两人的距离为0，故选项不符合题意； D、两人同一地点出发，开始距离为0，甲先跑3分钟，两人距离增加，甲的速度小于乙的速度，两人距离变小直至为0，故选项符合题意． 故选：D． 16．甲、乙两人在一次100米赛跑比赛中，路程s（米）与时间t（秒）的函数关系如图所示，填 　 　 （“甲”或“乙”先到终点）． 【答案】甲． 【解答】解：由图象可知，甲用了12秒，乙用了14秒，所以甲先到终点． 故答案为：甲． 17．如图①，将一个小圆柱体容器（无盖）放入一个大长方体无盖容器中．已知大长方体的高是9分米，现在以4分米3/分的注水速度为向大长方体中注水，大长方体中水面高度与注水时间的关系如图②．（容器厚度忽略不计） （1）求小圆柱体容器的体积． （2）需要多少分钟才能将大长方体完全注满水？ （3）当注水时间为7分钟时，大长方体中水面的高度是多少分米？ 【答案】（1）20分米3； （2）27分钟； （3）3.5分米． 【解答】解：（1）根据题意可知，从第10分钟到第15分钟，水正在满小圆柱容器，注水时间为15﹣10＝5（分钟）， 小圆柱体容器的体积为5×4＝20（分米3）． （2）有图象可知，前10分钟注入的水填充了大长方体和小圆柱之间的空隙，高度为5分米， 注入水的体积为10×4＝40（分米3）． 大长方体和小圆柱体的底面积之差为：40÷5＝8（分米2）， 小圆柱的底面积为：20÷5＝4（分米2）， 大长方体的底面积为：8+4＝12（分米2）， 大长方体的总体积为12×9＝108（分米3）． 大长方体完全注满水的时间为：108÷4＝27（分钟）； （3）当注水时间为7分钟时，水处于填充大长方体和小圆柱之间的空隙的阶段， 4×7＝28（分米3）． 28÷8＝3.5（分米）． 答：当注水时间为7分钟时，大长方体中水面的高度是3.5分米． 18．函数y（x﹣5）﹣2中自变量x的取值范围是 　 ． 【答案】x＞3且x≠5． 【解答】解：由题意得： x﹣3＞0且x﹣5≠0， ∴x＞3且x≠5， 故答案为：x＞3且x≠5． 19．函数中，自变量x的取值范围是　 ． 【答案】x≠2． 【解答】解：函数中， x﹣2≠0， 解得：x≠2， 即自变量x的取值范围是x≠2． 20．函数中，自变量x的取值范围是 　 ． 【答案】x≥1 【解答】解：根据二次根式有意义的条件可得x﹣1≥0， 解得x≥1， 故答案为：x≥1． 21．函数y中，自变量x的取值范围是　 ． 【答案】x≤1． 【解答】解：由题意得：1﹣x≥0， 解得：x≤1． 故答案为：x≤1． 学科网（北京）股份有限公司 $ 5.1 变量与函数 内 容 导 航 题型1 常量与变量 题型2 函数的概念 题型3 函数值 题型4 函数关系式 题型5 函数的图象 题型6 函数的表示方法 题型7 函数自变量的取值范围 考 点 演 练 题型1 常量与变量 解｜题｜知｜识 （1）变量和常量的定义： 在一个变化的过程中，数值发生变化的量称为变量；数值始终不变的量称为常量． （2）方法： ①常量与变量必须存在于同一个变化过程中，判断一个量是常量还是变量，需要看两个方面：一是它是否在一个变化过程中；二是看它在这个变化过程中的取值情况是否发生变化； ②常量和变量是相对于变化过程而言的．可以互相转化； ③不要认为字母就是变量，例如π是常量． 【典例1】“冰冻三尺，非一日之寒．”这句谚语体现了冰的厚度随时间的变化而变化．在这个变化过程中，下列说法正确的是（　　） A．时间为常量 B．冰的厚度为常量 C．冰的质量为常量 D．时间和冰的厚度都为变量 【变式1】已知食用油的沸点一般都在200℃上，如表所示的是小明的妈妈在加热食用油的过程中，几次测量食用油温度的情况： 时间t/s 0 10 20 30 40 油温y/℃ 10 35 60 85 110 则下列说法不正确的是（　　） A．没有加热时，油的温度是10℃ B．继续加热到50s，预计油的温度是135℃ C．在这个问题中，自变量为时间t D．每加热10s，油的温度升高35℃ 【变式2】如图是某加油站加油机上的数据显示牌，在此次加油过程中的变量是（　　） A．金额 B．油量 C．单价 D．金额和油量 【变式3】汽车以每小时100千米的速度匀速行驶，行驶的路程随时间的变化而变化，在这个变化过程中，自变量是（　　） A．汽车 B．路程 C．速度 D．时间 题型2 函数的概念 解｜题｜知｜识 函数的定义：设在一个变化过程中有两个变量x与y，对于x的每一个确定的值，y都有唯一的值与其对应，那么就说y是x的函数，x是自变量． 说明：对于函数概念的理解：①有两个变量；②一个变量的数值随着另一个变量的数值的变化而发生变化；③对于自变量的每一个确定的值，函数值有且只有一个值与之对应，即单对应． 【典例1】下列能表示y是x的函数的是（　　） A．y＝3x﹣1 B． C． x 1 2 3 4 5 y 3 6 9 12 15 D．以上都是 【变式1】下列四个选项中，y不是x的函数的是（　　） A．y＝2x﹣7 B． C．y＝x2 D．y＝±2x 【变式2】有下列5个等式：①y＝3x+1；②y2＝x2﹣1；③y＝±x；④|y|＝3x2+1；⑤（x≥0）．其中表示y是x的函数有（　　） A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 【变式3】下列各曲线中哪些不是表示y是x的函数（　　） A． B． C． D． 题型3 函数值 解｜题｜知｜识 函数值是指自变量在取值范围内取某个值时，函数与之对应唯一确定的值． 注意：①当已知函数解析式时，求函数值就是求代数式的值；当已知函数解析式，给出函数值时，求相应的自变量的值就是解方程； ②当自变量确定时，函数值是唯一确定的．但当函数值唯一确定时，对应的自变量可以是多个． 【典例1】根据如图所示的程序计算函数值，若输入x的值为，则输出结果为（　　） A． B． C． D．3个不同的值 【变式1】已知函数y＝﹣4x﹣3，当x＝　 　 时，函数值为0． 【变式2】如图，根据程序框图计算函数y的值，若输入x的值为7，则输出y的值为﹣2，若输入x的值为﹣8，则输出y的值为　 　 ． 【变式3】根据如图所示的程序计算函数y的值，若输入的x值是﹣3和2时，输出的y值相等，则b＝ 　 　 ． 题型4 函数关系式 解｜题｜知｜识 用来表示函数关系的等式叫做函数解析式，也称为函数关系式． 注意： ①函数解析式是等式． ②函数解析式中，通常等式的右边的式子中的变量是自变量，等式左边的那个字母表示自变量的函数． ③函数的解析式在书写时有顺序性，例如，y＝x+9时表示y是x的函数，若写成x＝﹣y+9就表示x是y的函数． 【典例1】用一根绳子围成一个长方形，其中一边长为xm，且长方形的周长为10m．若长方形的另一边长为ym．用式子表示y与x的关系为 ． 【变式1】面对全球淡水资源日益减少的现状，倡导全民节约用水．若拧不紧的水龙头每秒钟滴两滴水，每滴水约0.05毫升，则浪费的水y（毫升）与时间x（秒）之间的关系式是 ． 【变式2】要围一个长方形菜园．菜园的一边利用足够长的墙，用24米长的篱笆围成的另外三边，如图所示的矩形ABCD，为了方便进出，在BC边上留了一个1米宽的小门．设BC边的长为x米，AB边的长为y米，则y与x之间的关系式是 　 ． 【变式3】某书店对外租图书，收费方法是：每本书需要收取2元的基础费用，再按每天0.5元/本的价格租出图书（不足一天按一天计算），则该书店租出一本书收到的费用y（元）和租出的天数x（x为正数）之间的关系式为 　 ． 题型5 函数的图象 解｜题｜知｜识 函数的图象定义 对于一个函数，如果把自变量与函数的每一对对应值分别作为点的横、纵坐标，那么坐标平面内由这些点组成的图形就是这个函数的图象． 注意：①函数图形上的任意点（x，y）都满足其函数的解析式；②满足解析式的任意一对x、y的值，所对应的点一定在函数图象上；③判断点P（x，y）是否在函数图象上的方法是：将点P（x，y）的x、y的值代入函数的解析式，若能满足函数的解析式，这个点就在函数的图象上；如果不满足函数的解析式，这个点就不在函数的图象上． 【典例1】如图，张叔叔从A地出发去C地，然后返回，去时经过B地加油，而返回时不停，返回时的速度是90千米/时，那么去时的速度是（　　）千米/时． A．90 B．80 C．72 D．100 【变式1】如图，折线为y关于x的函数图象，下列关于该函数说法正确的是（　　） A．点（﹣2，1）在该函数图象上 B．当x＜0时，y随x的增大而增大 C．该函数有最大值3 D．当x＞﹣3时，函数值总大于0 【变式2】某同学步行到超市，在超市购买一些生活用品，然后打车回家，设家到超市为直线，车的速度比步行快，该同学出发的时间为t（h），与家的距离为s（km），则s与t的函数关系用图象表示大致是（　　） A． B． C． D． 【变式3】你有没有这样的疑问：为什么苹果往下掉，而不是“飞上天”呢？当年，牛顿带着这样的疑问，经过长期的观察、思考与研究，最终发现了“万有引力”定律．如图1是苹果掉落过程中某一瞬间的照片，已知苹果下落过程中速度v随时间t变化的函数图象如图2所示，苹果下落的距离h随时间t变化的函数图象如图3所示，则下列结论错误的是（　　） A．当t＝2s时，v＝20m/s B．当t＝2s时，h＝20m C．v和h均随t的增大而增大 D．t每增加1s，h的增加量相同 题型6 函数的表示方法 解｜题｜知｜识 函数的三种表示方法：列表法、解析式法、图象法． 其特点分别是：列表法能具体地反映自变量与函数的数值对应关系，在实际生活中应用非常广泛；解析式法准确地反映了函数与自变量之间的对应规律，根据它可以由自变量的取值求出相应的函数值，反之亦然；图象法直观地反映函数值随自变量的变化而变化的规律． 注意：①它们分别从数和形的角度反映了函数的本质；②它们之间可以互相转化． 【典例1】水钟在我国又称漏刻、漏壶，是一种利用水流等时性原理计时的古老装置．小明依据水钟的原理，制作了一个简易的计时工具，通过观察，他发现容器中水的高度和时间有如下关系： 时间/min 1 2 3 4 5 6 水的高度/cm 1.5 3 4.5 6 7.5 9 下列说法中，不正确的是（　　） A．上表反映了容器中水的高度和时间两个变量之间的关系 B．当经过的时间为3min时，容器中水的高度是6cm C．当容器中水的高度为6cm时，对应的时间为4min D．时间每增加1min，容器中水的高度增加1.5cm 【变式1】背景资料： “低碳生活”是指人们生活中尽量减少所耗能量，从而降低（特别是二氧化碳的）排放量的一种生活方式，低碳生活的理念也已逐步被人们所接受，相关资料统计了一系列排碳计算公式，根据图中信息解决问题： 排碳计算公式 家居用电的二氧化碳排放量（kg）＝耗电量（kW•h）×0.78 开私家车的二氧化碳排放量（kg）＝耗油量（L）×2.7 家用天然气二氧化碳排放量（kg）＝天然气使用量（m3）×0.19 家用自来水二氧化碳排放量（kg）＝自来水使用量（t）×0.9 （1）若x表示耗油量，开私家车的二氧化碳排放量为y，请你写出开私家车的二氧化碳排放量与耗油量的关系式； （2）在上述关系中，耗油量每增加1L，二氧化碳排放量就增加多少kg；当耗油量从3L增加到8L时，请写出二氧化碳排放量变化范围； （3）小明家本月家居用电约100km•h，天然气10m3，自来水6t，开私家车耗油100L，请你计算一下小明家这几项二氧化碳排放量的总和． 题型7 函数自变量的取值范围 解｜题｜知｜识 自变量的取值范围必须使含有自变量的表达式都有意义． ①当表达式的分母不含有自变量时，自变量取全体实数．例如y＝2x+13中的x． ②当表达式的分母中含有自变量时，自变量取值要使分母不为零．例如y＝x+2x﹣1． ③当函数的表达式是偶次根式时，自变量的取值范围必须使被开方数不小于零． ④对于实际问题中的函数关系式，自变量的取值除必须使表达式有意义外，还要保证实际问题有意义． 【典例1】函数y的自变量取值范围是（　　） A．x＞﹣2 B．x＜﹣2 C．x≥﹣2 D．x≠﹣2 【变式1】在函数中，自变量x的取值范围是 　 ． 【变式2】函数中自变量x的取值范围是 　 ． 【变式3】函数的自变量x的取值范围是 　 ． 过 关 验 收 1．水中涟漪（圆形水波）不断扩大，记它的半径为r，则圆周长C与r的关系式为C＝2πr．下列判断正确的是（　　） A．2是变量 B．π是变量 C．r是变量 D．C是常量 2．高师傅到单位附近的加油站加油，如图是所用的加油机上的数据显示牌，金额随着数量的变化而变化，则下列判断正确的是（　　） A．金额是自变量 B．单价是自变量 C．6.48和18是常量 D．金额是数量的函数 3．下列曲线中，表示y是x的函数的是（　　） A． B． C． D． 4．下列图象中，表示y是x的函数的有（　　） A．①②③④ B．①④ C．①②③ D．②③ 5．下列四个图象中，y不是x的函数的是（　　） A． B． C． D． 6．下列各图表示的函数是y不是x的函数的（　　） A． B． C． D． 7．根据下面的运算程序： 若输入一个正数x时，输出y的值是12，则输入的x的值是 　 　 ． 8．若一个函数的自变量x每增加1，函数值y就减少2，则其表达式可以是（　　） A．y＝﹣2x+10 B．y＝2x C．y＝﹣x+2 D．y＝﹣2x2 9．在弹性限度内，某弹簧的长度y（单位：cm）与所挂物体的质量x（单位：kg）的一次函数关系如表所示： x/kg 0 1 2 3 4 5 … y/cm 3.0 3.5 4.0 4.5 5.0 5.5 … 则y与x之间的关系式为（　　） A．y＝﹣0.5x+3 B．y＝﹣0.5x+3.5 C．y＝0.5x+3 D．y＝0.5x+3.5 10．一支签字笔的单价为2.5元，小涵同学拿了50元钱去购买了x（x≤20）支该型号的签字笔，写出所剩余的钱y与x间的关系式是（　　） A．y＝2.5x B．y＝50﹣2.5x C．y＝2.5x﹣50 D．y＝50+2.5x 11．如图（单位cm），规格相同的某种盘子整齐地摞在一起，若这摞盘子的个数为x个，盘子摞在一起的厚度为ycm，则y与x满足的关系式是（　　） A．y＝2x+1 B．y＝x+4 C．y＝x+2 D．y＝x+3 12．如图所示，△ABC中，已知BC＝16，高AD＝10，动点Q由C点沿CB向B移动（不与点B重合）．设CQ长为x，△ACQ的面积为S，则S与x之间的函数关系式为（　　） A．S＝80﹣5x B．S＝5x C．S＝10x D．S＝5x+80 13．晓蕾家与学校相距1000米，她从家出发匀速行走，20分钟后到达食品店，买零食用了10分钟，接着她加快步伐匀速行走，用10分钟便到了学校．下列图象中表示晓蕾行走的路程（米）与时间（分钟）之间的关系的是（　　） A． B． C． D． 14．将一圆柱形小水杯固定在大圆柱形容器底面中央，小水杯中有部分水，现用一个注水管沿大容器内壁匀速注水，如图所示，则小水杯水面的高度h（cm）与注水时间t（min）的函数图象大致是（　　） A． B． C． D． 15．甲、乙两人一起从同一地点沿同一条路同向跑步，甲的速度为每分钟100米，乙的速度为每分钟150米，甲先跑3分钟后乙再开始，且两人同时到达终点，则两人之间的距离y（米）与甲跑步的时间x（分钟）的函数关系的图象大致是（　　） A． B． C． D． 16．甲、乙两人在一次100米赛跑比赛中，路程s（米）与时间t（秒）的函数关系如图所示，填 　 　 （“甲”或“乙”先到终点）． 17．如图①，将一个小圆柱体容器（无盖）放入一个大长方体无盖容器中．已知大长方体的高是9分米，现在以4分米3/分的注水速度为向大长方体中注水，大长方体中水面高度与注水时间的关系如图②．（容器厚度忽略不计） （1）求小圆柱体容器的体积． （2）需要多少分钟才能将大长方体完全注满水？ （3）当注水时间为7分钟时，大长方体中水面的高度是多少分米？ 18．函数y（x﹣5）﹣2中自变量x的取值范围是 　 ． 19．函数中，自变量x的取值范围是　 ． 20．函数中，自变量x的取值范围是 　 ． 21．函数y中，自变量x的取值范围是　 ． 学科网（北京）股份有限公司 $