1.3 全等三角形的判定 同步讲义 2026--2027学年苏科版八年级数学上册

本讲义聚焦全等三角形的判定核心知识点，系统梳理SSS、SAS、ASA、AAS四个一般三角形判定定理及直角三角形特有的HL定理，通过“解题知识”中的方法指引构建学习支架，帮助学生根据已知条件（如两边、两角、一边一角）选择合适判定方法，形成完整知识脉络。 该资料亮点在于题型分类清晰，分设一般与直角三角形判定模块，典例与变式结合且融入油纸伞、沙燕风筝等生活实例，培养学生数学眼光（抽象模型）与数学思维（推理能力）。课中辅助教师分层教学，课后通过过关验收练习帮助学生查漏补缺，强化知识应用。

1.3 全等三角形的判定 内 容 导 航 题型1 全等三角形的判定 题型2 直角三角形全等的判定 考 点 演 练 题型1 全等三角形的判定 解｜题｜知｜识 （1）判定定理1：SSS﹣﹣三条边分别对应相等的两个三角形全等． （2）判定定理2：SAS﹣﹣两边及其夹角分别对应相等的两个三角形全等． （3）判定定理3：ASA﹣﹣两角及其夹边分别对应相等的两个三角形全等． （4）判定定理4：AAS﹣﹣两角及其中一个角的对边对应相等的两个三角形全等． （5）判定定理5：HL﹣﹣斜边与直角边对应相等的两个直角三角形全等． 方法指引：全等三角形的5种判定方法中，选用哪一种方法，取决于题目中的已知条件，若已知两边对应相等，则找它们的夹角或第三边；若已知两角对应相等，则必须再找一组对边对应相等，且要是两角的夹边，若已知一边一角，则找另一组角，或找这个角的另一组对应邻边． 【典例1】如图所示，亮亮书上的三角形被墨迹污染了一部分，很快他就根据所学知识画出一个与书上完全一样的三角形，那么这两个三角形完全一样的依据是（　　） A．ASA B．SAS C．AAS D．SSS 【答案】A 【解答】解：画一个三角形A′B′C′，使∠A′＝∠A，A′B′＝AB，∠B′＝∠B， 符合全等三角形的判定定理ASA， 故选：A． 【变式1】如图，∠DAC＝∠BCA，添加下列条件后仍不能判定△ABC≌△CDA的是（　　） A．BC＝DA B．AB＝CD C．∠B＝∠D D．∠BAC＝∠DCA 【答案】B 【解答】解：∵∠DAC＝∠BCA，AC＝AC， 添加BC＝DA，利用SAS判定△ABC≌△CDA，故A正确； 添加∠B＝∠D，利用AAS判定△ABC≌△CDA，故C正确； 添加∠BAC＝∠DCA，利用ASA判定△ABC≌△CDA，故D正确； 但添加AB＝CD，不能判定△ABC≌△CDA，故B错误； 故选：B． 【变式2】我国传统工艺中，油纸伞制作非常巧妙，其中蕴含着数学知识．如图是油纸伞的张开示意图，AE＝AF，GE＝GF，则△AEG≌△AFG的依据是（　　） A．SAS B．ASA C．AAS D．SSS 【答案】D 【解答】解：在△AEG和△AFG中， ， ∴△AEG≌△AFG（SSS）， 故选：D． 【变式3】如图，AC与BD相交于点O，OA＝OD，OB＝OC，不添加辅助线，判定△ABO≌△DCO的依据是（　　） A．SSS B．SAS C．AAS D．HL 【答案】B 【解答】解：在△ABO和△DCO中， ， ∴△ABO≌△DCO（SAS）， 故选：B． 题型2 直角三角形全等的判定 解｜题｜知｜识 1、斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形全等（可以简写成“斜边、直角边”或“HL”）． 2、直角三角形首先是三角形，所以一般三角形全等的判定方法都适合它，同时，直角三角形又是特殊的三角形，有它的特殊性，作为“HL”公理就是直角三角形独有的判定方法．所以直角三角形的判定方法最多，使用时应该抓住“直角”这个隐含的已知条件． 【典例1】如图，∠B＝∠D＝90°，BC＝CD，∠1＝40°，则∠2＝（　　） A．40° B．50° C．60° D．75° 【答案】B 【解答】解：∵∠B＝∠D＝90° 在Rt△ABC和Rt△ADC中 ∴Rt△ABC≌Rt△ADC（HL） ∴∠2＝∠ACB＝90°﹣∠1＝50°． 故选：B． 【变式1】如图，∠C＝∠D＝90°，要用“HL”证明Rt△ABC≌Rt△ABD，则需要添加的一个条件是（　　） A．AB平分∠CAD B．AC＝BD C．BC＝BD D．AD＝BC 【答案】C 【解答】解：∵AB＝AB，∠C＝∠D＝90°， ∴要用“HL”证明Rt△ABC≌Rt△ABD，需要添加的 条件是AC＝AD或BC＝BD， 故选：C． 【变式2】下列说法正确的是（　　） A．面积相等的两个直角三角形全等 B．周长相等的两个直角三角形全等 C．斜边相等的两个直角三角形全等 D．有一个锐角和斜边上的高对应相等的两个直角三角形全等 【答案】D 【解答】解：A、面积相等的两个直角三角形全等，错误，本选项不符合题意； B、周长相等的两个直角三角形全等，错误，本选项不符合题意； C、斜边相等的两个直角三角形全等，错误，本选项不符合题意； D、有一个锐角和斜边上的高对应相等的两个直角三角形全等，正确，本选项符合题意． 故选：D． 【变式3】在课堂上，李老师发给每人一张印有Rt△ABC的卡片，然后要求同学们画一个Rt△A′B′C′，使得Rt△ABC≌Rt△A′B′C′．小宏同学先画出了∠MB′N＝90°之后，后续画图的主要过程如图所示．这种画图方法的依据是（　　） A．SAS B．AAS C．ASA D．HL 【答案】D 【解答】解：在Rt△ABC和Rt△A′B′C′中， ， ∴Rt△ABC≌Rt△A′B′C′（HL）， 故选：D． 过 关 验 收 1．如图，在△ABC和△DCB中，AC、BD相交于点E，AB＝DC，若利用“SSS”来判定△ABC≌△DCB，则需添加的条件是（　　） A．AE＝DE B．CE＝CD C．BE＝CE D．AC＝DB 【答案】D 【解答】解：∵AB＝DC，BC＝CB， ∴当AC＝DB时， 根据SSS可判定△ABC≌△DCB； 故选：D． 2．根据下列条件能画出唯一确定的△ABC的是（　　） A．AB＝3，BC＝4，AC＝8 B．AB＝4，BC＝3，∠A＝30° C．∠A＝60°，∠B＝45°，AB＝4 D．∠C＝90°，∠A＝∠B＝45° 【答案】C 【解答】解：A、∵3+4＜8， ∴不构成三角形，不能画出唯一确定的△ABC，所以此选项错误，不符合题意； B、∵∠A不是AB，BC边的夹角，得不到三角形全等， ∴不能画出唯一确定的△ABC，所以此选项错误，不符合题意； C、∵“ASA”能得到三角形全等， ∴能画出唯一确定的△ABC，所以此选项正确，符合题意； D、∵“AAA”得不到三角形全等， ∴不能画出唯一确定的△ABC，所以此选项错误，不符合题意； 故选：C． 3．下列三角形中，一定全等的是（　　） A．甲和乙 B．甲和丙 C．乙和丙 D．都不全等 【答案】B 【解答】解：由图可知，在△ABC和△DEF中，∠B＝∠D＝40°，∠C＝∠F＝60°， 但BC≠DF，AB≠DE， ∴无法利用SAS或AAS证明△ABC和△DEF全等； 同理可得，无法利用SAS或AAS证明△DEF和△HIG全等； 在△ABC和△HIG中， ， ∴△ABC≌△IGH（ASA）， ∴一定全等的是甲和丙． 综上所述，只有选项B正确，符合题意， 故选：B． 4．沙燕风筝是中国传统风筝的典型样式，被列入国家级非遗名录．在如图所示的“风筝”骨架图中，若AB＝AD，AC＝AE，则添加如下条件仍不能证明△ABC≌△ADE的是（　　） A．∠BAC＝∠DAE B．∠BAE＝∠DAC C．∠B＝∠D D．BC＝DE 【答案】C 【解答】解：A、添加∠BAC＝∠DAE，可利用SAS证明△ABC≌△ADE，故此选项不符合题意； B、添加∠BAE＝∠DAC可得∠BAC＝∠DAE，可利用SAS证明△ABC≌△ADE，故此选项不符合题意； C、添加∠B＝∠D，它们不是对应边的夹角相等，不能证明△ABC≌△ADE，故此选项符合题意； D、添加BC＝DE，由SSS可得△ABC≌△ADE，故此选项不符合题意； 故选：C． 5．如图，AB＝AD，∠BAD＝140°，AB⊥CB于点B，AD⊥CD于点D，E、F分别是CB、CD上的点，且∠EAF＝70°，下列结论中①DF＝BE，②△ADF≌△ABE，③FA平分∠DFE，④EF平分∠AEC，⑤BE+DF＝EF．其中正确的结论是（　　） A．④⑤ B．①② C．③⑤ D．①②③ 【答案】C 【解答】解：∵E、F分别是CB、CD上的任意点， ∴DF与BE不一定相等，故①错误； ∵AB⊥CB于点B，AD⊥CD于点D， ∴∠D＝∠ABE＝90°， ∵AB＝AD， ∴△ADF≌△ABE的另一个条件是DF＝BE， ∵DF与BE不一定相等， ∴△ADF与△ABE不一定全等，故②错误； 延长CB到点G，使BG＝DF，连接AG，则∠ABG＝180°﹣∠ABE＝90°， ∴∠ABG＝∠D， 在△ABG和△ADF中， ， ∴△ABG≌△ADF（SAS）， ∴AG＝AF，∠BAG＝∠DAF，∠G＝∠AFD， ∵∠BAD＝140°，∠EAF＝70°， ∴∠EAG＝∠BAE+∠BAG＝∠BAE+∠DAF＝∠BAD﹣∠EAF＝70°， ∴∠EAG＝∠EAF， 在△EAG和△EAF中， ， ∴△EAG≌△EAF（SAS）， ∴∠G＝∠AFE，∠AEB＝∠AEF，EG＝EF， ∴∠AFD＝∠AFE，BE+DF＝BE+BG＝EG＝EF， ∴FA平分∠DFE，故③⑤正确； 若EF平分∠AEC，而∠AEF＝∠AEG， ∴∠CEF＝∠AEF＝∠AEG＝60°，与题干信息矛盾，故④错误； 故选：C． 6．如图，用纸板挡住了三角形的一部分，小明根据所学知识很快就重新画出了一个与原来完全一样的三角形，他的依据是（　　） A．SSS B．SAS C．AAS D．ASA 【答案】D 【解答】解：如图， 只要量出AB的长和∠A和∠B的度数，再画出一个三角形DEF，使EF＝AB，∠E＝∠A，∠F＝∠B即可， 故选：D． 7．如图是一个平分角的简单仪器，其中AD＝AB，DC＝BC，将点A放在角的顶点，AB和AD沿着角的两边放下，沿AC画一条射线AE，则AE就是∠DAB的平分线．在这个过程中△ADC与△ABC全等，全等的理由是（　　） A．边角边 B．角角边 C．角边角 D．边边边 【答案】D 【解答】解：由条件可知△ADC≌△ABC（SSS）， ∴∠CAD＝∠CAB， ∴AE就是∠DAB的平分线， 故选：D． 8．根据下列条件，不能画出唯一确定的△ABC的是（　　） A．AB＝3，BC＝4，AC＝6 B．AB＝4，∠B＝45°，∠A＝60° C．AB＝4，BC＝3，∠A＝30° D．∠C＝90°，AB＝8，AC＝4 【答案】C 【解答】解：A：三边确定，符合全等三角形判定定理SSS，能画出唯一的△ABC，故不符合题意， B：已知两个角及其公共边，符合全等三角形判定定理ASA，能画出唯一的△ABC，故不符合题意， C：已知两边及其中一边的对角，属于“SSA”的情况，不符合全等三角形判定定理，故不能画出唯一的三角形，故本选项符合题意， D：已知一个直角和一条直角边以及斜边长，符合全等三角形判定定理HL，能画出唯一的△ABC，故不符合题意． 故选：C． 9．在△ABC中，∠B＝∠C＝50°，将△ABC沿图中虚线剪开，剪下的两个三角形不一定全等的是（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【解答】解：A、根据SAS可以推出剪下的两个三角形全等，故A选项不符合题意； B、根据SAS可以推出剪下的两个三角形全等，故B选项不符合题意； C、如图： ∵∠DFC＝∠DFE+∠EFC且∠DFC＝∠B+∠BDF， ∴∠DFE+∠EFC＝∠B+∠BDF， ∵∠B＝∠DFE＝50°， ∴∠EFC＝∠BDF， ∵BD＝FC，∠B＝∠C， ∴△DBF≌△FCE（ASA）． 根据ASA可以推出剪下的两个三角形全等，故C选项不符合题意； D、如图： 由C选项可得：∠EFC＝∠BDF，∠B＝∠C，但FC不是两个角的夹边，所以两个三角形不一定全等，故D选项符合题意； 故选：D． 10．如图，点C在线段BD上，AB⊥BD于点B，ED⊥BD于点D，∠ACE＝90°，且AC＝7cm，CE＝8cm，点P从点A开始以2cm/s速度沿AC向终点C运动，同时点Q以3cm/s的速度从点E开始，在线段EC上往返运动（即沿E→C→E运动），当点P到达终点时，P、Q同时停止运动．过P、Q分别作BD的垂线，垂足分别为M、N．设运动的时间为ts，当以P、C、M三点为顶点的三角形与△QCN全等时，t的值为（　　）s． A．1 B．1或3 C．2或4 D．1或4 【答案】B 【解答】解：当点P在AC上，点Q在CE上时， ∵以P，C，M为顶点的三角形与△QCN全等， ∴PC＝CQ， ∴7﹣2t＝8﹣3t， ∴t＝1， 当点P在AC上，点Q第一次从点C返回时， ∵以P，C，M为顶点的三角形与△QCN全等， ∴PC＝CQ， ∴7﹣2t＝3t﹣8， ∴t＝3， 综上所述：t的值为1或3． 故选：B． 11．如图，在边长为8cm的正方形ABCD中，E为边AB上一点，且AE＝2cm，点F在边BC上以2cm/s的速度由点B向点C运动；同时，点G在边CD上以xcm/s的速度由点C向点D运动，它们运动的时间为t秒，连接EF，FG．当△EBF与△FCG全等时，t的值为（　　） A．1 B．2 C．2或3 D．1或2 【答案】D 【解答】解：∵四边形ABCD是边长为8cm的正方形， ∴AB＝BC＝8cm，∠B＝∠C＝90°， ∴BE＝AB﹣AE＝8﹣2＝6（cm）， 由题意得，BF＝2tcm， ∴CF＝（8﹣2t）cm， 当BE＝CF，BF＝CG时，△EBF≌△FCG（SAS）， ∴8﹣2t＝6， ∴t＝1； 当BE＝CG，BF＝CF时，△EBF≌△GCF（SAS）， ∴2t＝8﹣2t， ∴t＝2； 综上所述，t的值为1或2， 故选：D． 12．下列所给的四组条件，能作出唯一三角形的是（　　） A．AB＝4cm，BC＝3cm，AC＝5cm B．AB＝2cm，BC＝6cm，AC＝4cm C．∠A＝∠B＝∠C＝60° D．AB＝3cm，BC＝5cm，∠C＝30° 【答案】A 【解答】解：A、AB＝4cm，BC＝3cm，AC＝5cm，且3+4＞5，能构成三角形，此选项正确，且SSS条件可唯一确定三角形，符合题意； B、AB＝2cm，BC＝6cm，AC＝4cm，且2+4＝6，不能构成三角形，此选项错误，不符合题意； C、∠A＝∠B＝∠C＝60°，AAA条件不能唯一确定三角形，此选项错误，不符合题意； D、AB＝3cm，BC＝5cm，∠C＝30°，SSA条件不能唯一确定三角形，此选项错误，不符合题意； 故选：A． 13．有一张三角形纸片ABC，已知∠B＝∠C＝α，按下列方案用剪刀沿着箭头方向剪开，所剪下的三角形纸片不一定是全等图形的是（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【解答】解：A、由全等三角形的判定定理SAS证得图中两个小三角形全等， 故本选项不符合题意； B、由全等三角形的判定定理SAS证得图中两个小三角形全等， 故本选项不符合题意； C、如图1， ∵∠DEC＝∠B+∠BDE＝α+∠FEC，∠B＝∠C＝α， ∴∠FEC＝∠BDE， ∵BD＝CE＝3是对应边， 由AAS判定两个小三角形全等 故本选项不符合题意； D、如图2， ∵∠DEC＝∠B+∠BDE＝α+∠FEC，∠B＝∠C＝α， ∴∠FEC＝∠BDE， 所以其对应边应该是BE和CF，而已知给的是BD＝FC＝3， 所以不能判定两个小三角形全等，故本选项符合题意； 故选：D． 14．如图，已知AB＝AD，添加下列一个条件后，仍无法判定△ABC≌△ADC的是（　　） A．CB＝CD B．∠BAC＝∠DAC C．∠B＝∠D＝90° D．∠BCA＝∠DCA 【答案】D 【解答】解：A、由BC＝DC，AC＝AC，AB＝AD，根据SSS证明△ABC≌△ADC，说法正确，故不符合题意； B、由AB＝AD，AC＝AC，∠BAC＝∠DAC，根据SAS证明△ABC≌△ADC，说法正确，故不符合题意； C、由AB＝AD，AC＝AC，∠B＝∠D＝90°，根据HL证明Rt△ABC≌Rt△ADC，说法正确，故不符合题意； D、∵AB＝AD，AC＝AC，∠BCA＝∠DCA，∴不能判定△ABC≌△ADC，故选项D符合题意； 故选：D． 15．如图，在△ABC和△DCE中，点A、D、C在同一直线上，已知∠ACB＝∠E，BC＝CE，添加以下条件后，仍不能判定△ABC≌△DCE的是（　　） A．AB＝CD B．AB∥DE C．AC＝DE D．∠B＝∠DCE 【答案】A 【解答】解：A、∠ACB和∠E分别是AB和CD的对边，不能判定△ABC≌△DCE，故A符合题意； B、由AB∥DE推出∠A＝∠CDE，而∠ACB＝∠E，BC＝CE，由AAS判定△ABC≌△DCE，故B不符合题意； C、AC＝DE，而∠ACB＝∠E，BC＝CE，由SAS判定△ABC≌△DCE，故C不符合题意； D、∠B＝∠DCE，而∠ACB＝∠E，BC＝CE，由ASA判定△ABC≌△DCE，故D不符合题意． 故选：A． 16．如图，有两个三角锥ABCD、EFGH，其中甲、乙、丙、丁分别表示△ABC，△ACD，△EFG，△EGH．若∠ACB＝∠CAD＝∠EFG＝∠EGH＝70°，∠BAC＝∠ACD＝∠EGF＝∠EHG＝50°，则下列叙述何者正确（　　） A．甲、乙全等，丙、丁全等 B．甲、乙全等，丙、丁不全等 C．甲、乙不全等，丙、丁全等 D．甲、乙不全等，丙、丁不全等 【答案】B 【解答】解：∵∠ACB＝CAD＝70°，∠BAC＝∠ACD＝50°，AC为公共边， ∴△ABC≌△ACD，即甲、乙全等； △EHG中，∠EGH＝70°≠∠EHG＝50°，即EH≠EG， 虽∠EFG＝∠EGH＝70°，∠EGF＝∠EHG＝50°， ∴△EFG不全等于△EGH，即丙、丁不全等． 综上所述甲、乙全等，丙、丁不全等，B正确， 故选：B． 17．下列命题：①有两个角和第三个角的平分线对应相等的两个三角形全等；②有两条边和第三条边上的中线对应相等的两个三角形全等；③有两条边和第三条边上的高对应相等的两个三角形全等．其中正确的是（　　） A．①② B．②③ C．①③ D．①②③ 【答案】A 【解答】解：①正确．可以用AAS或者ASA判定两个三角形全等； ②正确．可以用“倍长中线法”，用SAS定理，判断两个三角形全等； 如图，分别延长AD，A′D′到E，E′，使得AD＝DE，A′D′＝D′E′， ∴△ADC≌△EDB（SAS）， ∴BE＝AC， 同理：B′E′＝A′C′， ∴BE＝B′E′，AE＝A′E′， ∴△ABE≌△A′B′E′（SSS）， ∴∠BAE＝∠B′A′E′，∠E＝∠E′， ∴∠CAD＝∠C′A′D′， ∴∠BAC＝∠B′A′C′， ∴△BAC≌△B′A′C′（SAS）． ③不正确．因为这个高可能在三角形的内部，也有可能在三角形的外部，也就是说，这两个三角形可能一个是锐角三角形，一个是钝角三角形，所以就不全等了． 故选：A． 18．如图△ABC中和△DBC中，∠A＝∠D，添加一个条件，使△ABC≌△DBC，可以添加的条件是 　 ． 【答案】∠ABC＝∠DBC或∠ACB＝∠DCB． 【解答】解：∵∠A＝∠D，BC＝BC， ∴由全等三角形的判定定理得， 添加∠ABC＝∠DBC，根据AAS得到△ABC≌△DBC； 添加∠ACB＝∠DCB，根据AAS得到△ABC≌△DBC， 综上所述，可以添加的条件是∠ABC＝∠DBC或∠ACB＝∠DCB． 故答案为：∠ABC＝∠DBC或∠ACB＝∠DCB． 19．用直尺和圆规作一个角等于已知角的示意图如下，则要说明∠D′O′C′＝∠DOC，需要证明△D′O′C′≌△DOC，则这两个三角形全等的依据是　 （写出全等的简写）． 【答案】SSS 【解答】解：OC＝O′C′，OD＝O′D′，CD＝C′D′，从而可以利用SSS判定其全等． 故填SSS． 20．如图，有一个直角三角形ABC，∠C＝90°，AC＝10，BC＝5，一条线段PO＝AB，P、O两点分别在AC和过点A且垂直于AC的射线AX上运动，问P点运动到　 位置时，才能使△ABC≌△POA． 【答案】C点 【解答】证明：当△ABC≌△POA时， 根据全等三角形角和边的对应关系可知，AC＝PA， ∴此时P点和C点重合， ∴当P点运动到C点时△ABC≌△POA． 故答案为：C点． 21．如图所示，AB＝AD，∠1＝∠2，添加一个适当的条件，使△ABC≌△ADE，则需要添加的条件是　 ． 【答案】AC＝AE 【解答】解：添加AC＝AE ∵AB＝AD，∠1＝∠2 ∴∠BAC＝∠DAE ∵AC＝AE ∴△ABC≌△ADE ∴需要添加的条件是AC＝AE． 22．如图，AE∥BC，AE＝AB，∠EFA＝∠ACB．求证：△ABC≌△EAF． 【答案】见解答． 【解答】证明：∵AE∥BC， ∴∠EAF＝∠B， 在△ABC和△EAF中， ， ∴△ABC≌△EAF（AAS）． 23．如图，点E，F在BC上，BE＝CF，AB＝DC，∠B＝∠C，AF与DE交于点G．求证：△ABF≌△DCE． 【答案】见解答． 【解答】证明：∵BE＝CF， ∴BE+EF＝CF+EF， 即BF＝CE， 在△ABF和△DCE中， ， ∴△ABF≌△DCE（SAS）． 24．已知：如图，点B，F，C，E在一条直线上，AB＝DE，AB∥DE，BF＝EC．求证：△ABC≌△DEF． 【答案】见试题解答内容 【解答】证明：∵BF＝EC， ∴BF+FC＝EC+FC， ∴BC＝EF， ∵AB∥DE， ∴∠B＝∠E， 在△ABC和△DEF中， ， ∴△ABC≌△DEF（SAS）． 25．如图，在△ABC中，点D是边BC上一点，点E是边BC延长线上一点，BD＝EC，点F为△ABC外一点，连接DF，EF，∠A＝∠F，AC∥DF，求证：△ABC≌△FED． 【答案】证明见解答过程． 【解答】证明：∵BD＝EC， ∴BD+DC＝EC+DC， 即BC＝ED， ∵AC∥DF， ∴∠ACB＝∠FDE， 在△ABC与△FED中， ， ∴△ABC≌△FED（AAS）． 26．如图，已知AB⊥BC于点B，DC⊥BC于点C，若AC＝DB，则可判定Rt△ABC≌Rt△DCB，其依据是（　　） A．ASA B．AAS C．HL D．SAS 【答案】C 【解答】解：∵AB⊥BC于点B，DC⊥BC于点C， ∴∠ABC＝∠DCB＝90°， 在Rt△ABC和Rt△DCB中， ， ∴Rt△ABC≌Rt△DCB（HL）， 故选：C． 27．如图，已知AB⊥AC，CD⊥AC，若用“HL”判定Rt△ABC和Rt△CDA全等，则需要添加的条件是（　　） A．∠B＝∠D B．∠ACB＝∠CAD C．AB＝CD D．AD＝CB 【答案】D 【解答】解：∵AB⊥AC，CD⊥AC， ∴∠BAC＝∠DCA＝90°， 在Rt△ABC和Rt△CDA中， ， ∴Rt△ABC≌Rt△CDA（HL）， ∴用“HL”判定Rt△ABC和Rt△CDA全等，需要添加的条件是AD＝CB． 故选：D． 28．如图，CD⊥AB于点D，BE⊥AC于点E．添加下列一个条件，不能证明Rt△ACD≌Rt△ABE的是（　　） A．∠C＝∠B B．CD＝BE C．AB＝AC D．AD＝AE 【答案】A 【解答】解：∵CD⊥AB于点D，BE⊥AC于点E． ∴∠ADC＝∠AEB＝90°， ∵∠A＝∠A， A、∵∠C＝∠B，“AAA”不能证明Rt△ACD≌Rt△ABE，符合题意； B、∵CD＝BE，“AAS”能证明Rt△ACD≌Rt△ABE，不符合题意； C、∵AB＝AC，“AAS”能证明Rt△ACD≌Rt△ABE，不符合题意； D、∵AD＝AE，“ASA”能证明Rt△ACD≌Rt△ABE，不符合题意； 故选：A． 29．下列说法中，正确的是（　　） A．周长相等的两个直角三角形全等 B．周长相等的两个钝角三角形全等 C．周长相等的两个等腰三角形全等 D．周长相等的两个等边三角形全等 【答案】D 【解答】解：周长相等的两个直角三角形不一定全等， 故A选项不符合题意； 周长相等的两个钝角三角形不一定全等， 故B选项不符合题意； 周长相等的两个等腰三角形不一定全等， 故C选项不符合题意； 周长相等的两个等边三角形，三边对应相等， 根据SSS可证这两个等边三角形全等， 故D选项符合题意， 故选：D． 30．如图所示，∠C＝∠D＝90°，添加一个条件，可使用“HL”判定Rt△ABC与Rt△ABD全等．以下给出的条件适合的是（　　） A．AC＝AD B．AB＝AB C．∠ABC＝∠ABD D．∠BAC＝∠BAD 【答案】A 【解答】解：需要添加的条件为BC＝BD或AC＝AD，理由为： 若添加的条件为BC＝BD， 在Rt△ABC与Rt△ABD中， ∵， ∴Rt△ABC≌Rt△ABD（HL）； 若添加的条件为AC＝AD， 在Rt△ABC与Rt△ABD中， ∵， ∴Rt△ABC≌Rt△ABD（HL）． 故选：A． 31．如图，在△ABC和△DFE中，∠A＝∠D＝90°，AC＝DE，若要用“斜边、直角边（HL）”直接证明Rt△ABC≌Rt△DFE，则还需补充条件：　 ． 【答案】BC＝FE． 【解答】证明：在Rt△ABC和Rt△DFE中， ， ∴Rt△ABC≌Rt△DFE（HL）． 故答案为：BC＝FE． 32．如图，△ABC中，AD⊥BC于D，要使△ABD≌△ACD，若根据“HL”判定，还需要加条件　 ． 【答案】AB＝AC 【解答】解：还需添加条件AB＝AC， ∵AD⊥BC于D， ∴∠ADB＝∠ADC＝90°， 在Rt△ABD和Rt△ACD中， ， ∴Rt△ABD≌Rt△ACD（HL）， 故答案为：AB＝AC． 33．如图，在Rt△ABC和Rt△DEF中，∠C＝∠F＝90°，AC＝DF，只需补充条件 　 ，就可以根据“HL”得到Rt△ABC≌Rt△DEF． 【答案】AB＝DE． 【解答】解：补充条件：AB＝DE． 在Rt△ABC和Rt△DEF中， ， ∴Rt△ABC≌Rt△DEF（HL）． 故答案为：AB＝DE． 34．如图所示，在△ABC中，CB⊥AB，∠BAC＝45°，F是AB延长线上一点，点E在BC上，且AE＝CF．求证：Rt△ABE≌Rt△CBF． 【答案】见试题解答内容 【解答】证明：∵CB⊥AB， ∴∠ABC＝∠FBC＝90°， ∵∠BAC＝45°， ∴△ABC为等腰直角三角形， ∴AB＝CB， 在Rt△ABE和Rt△CBF中， ， ∴Rt△ABE≌Rt△CBF（HL）． 35．如图，在四边形ABCD中，∠A＝∠B＝90°，E是AB上的一点，且AE＝BC，连接DE、EC，DE＝EC．求证：Rt△ADE≌Rt△BEC． 【答案】见试题解答内容 【解答】证明：∵∠A＝∠B＝90°， ∴△ADE和△BEC均为直角三角形， 在Rt△ADE和Rt△BEC中， ∵， ∴Rt△ADE≌Rt△BEC（HL）． 36．如图，CD⊥AB于D点，BE⊥AC于E点，BE，CD交于O点，且AO平分∠BAC． 求证：OB＝OC． 【答案】见试题解答内容 【解答】证明：∵BE⊥AC，CD⊥AB， ∴∠ADC＝∠BDC＝∠AEB＝∠CEB＝90°． ∵AO平分∠BAC， ∴∠1＝∠2． 在△AOD和△AOE中，， ∴△AOD≌△AOE（AAS）． ∴OD＝OE． 在△BOD和△COE中，， ∴△BOD≌△COE（ASA）． ∴OB＝OC． 37．证明命题：“一条直角边相等且另一条直角边上的中线相等的两个直角三角形全等”，要根据题意，画出图形，并用符号表示已知和求证，写出证明过程．下面是小颖根据题意画出的图形，并写出了不完整的已知和求证． 已知：在 Rt△ABC和 Rt△A'B'C'中，∠C＝∠C'＝90°，AC＝A'C'，AD与A'D'分别为BC，B'C'边上的中线且 　 ． 求证：　　 　 ． 请补全已知和求证部分，并写出证明过程． 【答案】AD＝A'D'；Rt△ABC≌Rt△A'B'C'；证明过程见解答． 【解答】解：AD＝A'D'；Rt△ABC≌Rt△A'B'C'（写成△ABC≌△A'B'C'也对）； 证明：∵∠C＝∠C'＝90°，AD＝A'D'，AC＝A'C'， ∴Rt△ADC≌Rt△A'D'C'（HL）， ∴CD＝C'D'． ∵AD与A'D'分别为BC与B'C'边上的中线， ∴点D和点D'分别是BC与B'C'的中点， ∴BC＝2CD，B'C'＝2C'D'， ∴BC＝B'C'， 在△ABC和△A'B'C'中， ， ∴Rt△ABC≌Rt△A'B'C'（SAS）． 38．已知：如图，点E、F在线段BD上，AF⊥BD，CE⊥BD，AD＝CB，DE＝BF，求证：AF＝CE． 【答案】见试题解答内容 【解答】证明：∵DE＝BF， ∴DE+EF＝BF+EF； ∴DF＝BE； 在Rt△ADF和Rt△CBE中 ， ∴Rt△ADF≌Rt△CBE（HL）， ∴AF＝CE． 学科网（北京）股份有限公司 $ 1.3 全等三角形的判定 内 容 导 航 题型1 全等三角形的判定 题型2 直角三角形全等的判定 考 点 演 练 题型1 全等三角形的判定 解｜题｜知｜识 （1）判定定理1：SSS﹣﹣三条边分别对应相等的两个三角形全等． （2）判定定理2：SAS﹣﹣两边及其夹角分别对应相等的两个三角形全等． （3）判定定理3：ASA﹣﹣两角及其夹边分别对应相等的两个三角形全等． （4）判定定理4：AAS﹣﹣两角及其中一个角的对边对应相等的两个三角形全等． （5）判定定理5：HL﹣﹣斜边与直角边对应相等的两个直角三角形全等． 方法指引：全等三角形的5种判定方法中，选用哪一种方法，取决于题目中的已知条件，若已知两边对应相等，则找它们的夹角或第三边；若已知两角对应相等，则必须再找一组对边对应相等，且要是两角的夹边，若已知一边一角，则找另一组角，或找这个角的另一组对应邻边． 【典例1】如图所示，亮亮书上的三角形被墨迹污染了一部分，很快他就根据所学知识画出一个与书上完全一样的三角形，那么这两个三角形完全一样的依据是（　　） A．ASA B．SAS C．AAS D．SSS 【变式1】如图，∠DAC＝∠BCA，添加下列条件后仍不能判定△ABC≌△CDA的是（　　） A．BC＝DA B．AB＝CD C．∠B＝∠D D．∠BAC＝∠DCA 【变式2】我国传统工艺中，油纸伞制作非常巧妙，其中蕴含着数学知识．如图是油纸伞的张开示意图，AE＝AF，GE＝GF，则△AEG≌△AFG的依据是（　　） A．SAS B．ASA C．AAS D．SSS 【变式3】如图，AC与BD相交于点O，OA＝OD，OB＝OC，不添加辅助线，判定△ABO≌△DCO的依据是（　　） A．SSS B．SAS C．AAS D．HL 题型2 直角三角形全等的判定 解｜题｜知｜识 1、斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形全等（可以简写成“斜边、直角边”或“HL”）． 2、直角三角形首先是三角形，所以一般三角形全等的判定方法都适合它，同时，直角三角形又是特殊的三角形，有它的特殊性，作为“HL”公理就是直角三角形独有的判定方法．所以直角三角形的判定方法最多，使用时应该抓住“直角”这个隐含的已知条件． 【典例1】如图，∠B＝∠D＝90°，BC＝CD，∠1＝40°，则∠2＝（　　） A．40° B．50° C．60° D．75° 【变式1】如图，∠C＝∠D＝90°，要用“HL”证明Rt△ABC≌Rt△ABD，则需要添加的一个条件是（　　） A．AB平分∠CAD B．AC＝BD C．BC＝BD D．AD＝BC 【变式2】下列说法正确的是（　　） A．面积相等的两个直角三角形全等 B．周长相等的两个直角三角形全等 C．斜边相等的两个直角三角形全等 D．有一个锐角和斜边上的高对应相等的两个直角三角形全等 【变式3】在课堂上，李老师发给每人一张印有Rt△ABC的卡片，然后要求同学们画一个Rt△A′B′C′，使得Rt△ABC≌Rt△A′B′C′．小宏同学先画出了∠MB′N＝90°之后，后续画图的主要过程如图所示．这种画图方法的依据是（　　） A．SAS B．AAS C．ASA D．HL 过 关 验 收 1．如图，在△ABC和△DCB中，AC、BD相交于点E，AB＝DC，若利用“SSS”来判定△ABC≌△DCB，则需添加的条件是（　　） A．AE＝DE B．CE＝CD C．BE＝CE D．AC＝DB 2．根据下列条件能画出唯一确定的△ABC的是（　　） A．AB＝3，BC＝4，AC＝8 B．AB＝4，BC＝3，∠A＝30° C．∠A＝60°，∠B＝45°，AB＝4 D．∠C＝90°，∠A＝∠B＝45° 3．下列三角形中，一定全等的是（　　） A．甲和乙 B．甲和丙 C．乙和丙 D．都不全等 4．沙燕风筝是中国传统风筝的典型样式，被列入国家级非遗名录．在如图所示的“风筝”骨架图中，若AB＝AD，AC＝AE，则添加如下条件仍不能证明△ABC≌△ADE的是（　　） A．∠BAC＝∠DAE B．∠BAE＝∠DAC C．∠B＝∠D D．BC＝DE 5．如图，AB＝AD，∠BAD＝140°，AB⊥CB于点B，AD⊥CD于点D，E、F分别是CB、CD上的点，且∠EAF＝70°，下列结论中①DF＝BE，②△ADF≌△ABE，③FA平分∠DFE，④EF平分∠AEC，⑤BE+DF＝EF．其中正确的结论是（　　） A．④⑤ B．①② C．③⑤ D．①②③ 6．如图，用纸板挡住了三角形的一部分，小明根据所学知识很快就重新画出了一个与原来完全一样的三角形，他的依据是（　　） A．SSS B．SAS C．AAS D．ASA 7．如图是一个平分角的简单仪器，其中AD＝AB，DC＝BC，将点A放在角的顶点，AB和AD沿着角的两边放下，沿AC画一条射线AE，则AE就是∠DAB的平分线．在这个过程中△ADC与△ABC全等，全等的理由是（　　） A．边角边 B．角角边 C．角边角 D．边边边 8．根据下列条件，不能画出唯一确定的△ABC的是（　　） A．AB＝3，BC＝4，AC＝6 B．AB＝4，∠B＝45°，∠A＝60° C．AB＝4，BC＝3，∠A＝30° D．∠C＝90°，AB＝8，AC＝4 9．在△ABC中，∠B＝∠C＝50°，将△ABC沿图中虚线剪开，剪下的两个三角形不一定全等的是（　　） A． B． C． D． 10．如图，点C在线段BD上，AB⊥BD于点B，ED⊥BD于点D，∠ACE＝90°，且AC＝7cm，CE＝8cm，点P从点A开始以2cm/s速度沿AC向终点C运动，同时点Q以3cm/s的速度从点E开始，在线段EC上往返运动（即沿E→C→E运动），当点P到达终点时，P、Q同时停止运动．过P、Q分别作BD的垂线，垂足分别为M、N．设运动的时间为ts，当以P、C、M三点为顶点的三角形与△QCN全等时，t的值为（　　）s． A．1 B．1或3 C．2或4 D．1或4 11．如图，在边长为8cm的正方形ABCD中，E为边AB上一点，且AE＝2cm，点F在边BC上以2cm/s的速度由点B向点C运动；同时，点G在边CD上以xcm/s的速度由点C向点D运动，它们运动的时间为t秒，连接EF，FG．当△EBF与△FCG全等时，t的值为（　　） A．1 B．2 C．2或3 D．1或2 12．下列所给的四组条件，能作出唯一三角形的是（　　） A．AB＝4cm，BC＝3cm，AC＝5cm B．AB＝2cm，BC＝6cm，AC＝4cm C．∠A＝∠B＝∠C＝60° D．AB＝3cm，BC＝5cm，∠C＝30° 13．有一张三角形纸片ABC，已知∠B＝∠C＝α，按下列方案用剪刀沿着箭头方向剪开，所剪下的三角形纸片不一定是全等图形的是（　　） A． B． C． D． 14．如图，已知AB＝AD，添加下列一个条件后，仍无法判定△ABC≌△ADC的是（　　） A．CB＝CD B．∠BAC＝∠DAC C．∠B＝∠D＝90° D．∠BCA＝∠DCA 15．如图，在△ABC和△DCE中，点A、D、C在同一直线上，已知∠ACB＝∠E，BC＝CE，添加以下条件后，仍不能判定△ABC≌△DCE的是（　　） A．AB＝CD B．AB∥DE C．AC＝DE D．∠B＝∠DCE 16．如图，有两个三角锥ABCD、EFGH，其中甲、乙、丙、丁分别表示△ABC，△ACD，△EFG，△EGH．若∠ACB＝∠CAD＝∠EFG＝∠EGH＝70°，∠BAC＝∠ACD＝∠EGF＝∠EHG＝50°，则下列叙述何者正确（　　） A．甲、乙全等，丙、丁全等 B．甲、乙全等，丙、丁不全等 C．甲、乙不全等，丙、丁全等 D．甲、乙不全等，丙、丁不全等 17．下列命题：①有两个角和第三个角的平分线对应相等的两个三角形全等；②有两条边和第三条边上的中线对应相等的两个三角形全等；③有两条边和第三条边上的高对应相等的两个三角形全等．其中正确的是（　　） A．①② B．②③ C．①③ D．①②③ 18．如图△ABC中和△DBC中，∠A＝∠D，添加一个条件，使△ABC≌△DBC，可以添加的条件是 　 ． 19．用直尺和圆规作一个角等于已知角的示意图如下，则要说明∠D′O′C′＝∠DOC，需要证明△D′O′C′≌△DOC，则这两个三角形全等的依据是　 （写出全等的简写）． 20．如图，有一个直角三角形ABC，∠C＝90°，AC＝10，BC＝5，一条线段PO＝AB，P、O两点分别在AC和过点A且垂直于AC的射线AX上运动，问P点运动到　 位置时，才能使△ABC≌△POA． 21．如图所示，AB＝AD，∠1＝∠2，添加一个适当的条件，使△ABC≌△ADE，则需要添加的条件是　 ． 22．如图，AE∥BC，AE＝AB，∠EFA＝∠ACB．求证：△ABC≌△EAF． 23．如图，点E，F在BC上，BE＝CF，AB＝DC，∠B＝∠C，AF与DE交于点G．求证：△ABF≌△DCE． 24．已知：如图，点B，F，C，E在一条直线上，AB＝DE，AB∥DE，BF＝EC．求证：△ABC≌△DEF． 25．如图，在△ABC中，点D是边BC上一点，点E是边BC延长线上一点，BD＝EC，点F为△ABC外一点，连接DF，EF，∠A＝∠F，AC∥DF，求证：△ABC≌△FED． 26．如图，已知AB⊥BC于点B，DC⊥BC于点C，若AC＝DB，则可判定Rt△ABC≌Rt△DCB，其依据是（　　） A．ASA B．AAS C．HL D．SAS 27．如图，已知AB⊥AC，CD⊥AC，若用“HL”判定Rt△ABC和Rt△CDA全等，则需要添加的条件是（　　） A．∠B＝∠D B．∠ACB＝∠CAD C．AB＝CD D．AD＝CB 28．如图，CD⊥AB于点D，BE⊥AC于点E．添加下列一个条件，不能证明Rt△ACD≌Rt△ABE的是（　　） A．∠C＝∠B B．CD＝BE C．AB＝AC D．AD＝AE 29．下列说法中，正确的是（　　） A．周长相等的两个直角三角形全等 B．周长相等的两个钝角三角形全等 C．周长相等的两个等腰三角形全等 D．周长相等的两个等边三角形全等 30．如图所示，∠C＝∠D＝90°，添加一个条件，可使用“HL”判定Rt△ABC与Rt△ABD全等．以下给出的条件适合的是（　　） A．AC＝AD B．AB＝AB C．∠ABC＝∠ABD D．∠BAC＝∠BAD 31．如图，在△ABC和△DFE中，∠A＝∠D＝90°，AC＝DE，若要用“斜边、直角边（HL）”直接证明Rt△ABC≌Rt△DFE，则还需补充条件：　 ． 32．如图，△ABC中，AD⊥BC于D，要使△ABD≌△ACD，若根据“HL”判定，还需要加条件　 ． 33．如图，在Rt△ABC和Rt△DEF中，∠C＝∠F＝90°，AC＝DF，只需补充条件 　 ，就可以根据“HL”得到Rt△ABC≌Rt△DEF． 34．如图所示，在△ABC中，CB⊥AB，∠BAC＝45°，F是AB延长线上一点，点E在BC上，且AE＝CF．求证：Rt△ABE≌Rt△CBF． 35．如图，在四边形ABCD中，∠A＝∠B＝90°，E是AB上的一点，且AE＝BC，连接DE、EC，DE＝EC．求证：Rt△ADE≌Rt△BEC． 36．如图，CD⊥AB于D点，BE⊥AC于E点，BE，CD交于O点，且AO平分∠BAC． 求证：OB＝OC． 37．证明命题：“一条直角边相等且另一条直角边上的中线相等的两个直角三角形全等”，要根据题意，画出图形，并用符号表示已知和求证，写出证明过程．下面是小颖根据题意画出的图形，并写出了不完整的已知和求证． 已知：在 Rt△ABC和 Rt△A'B'C'中，∠C＝∠C'＝90°，AC＝A'C'，AD与A'D'分别为BC，B'C'边上的中线且 　 ． 求证：　　 　 ． 请补全已知和求证部分，并写出证明过程． 38．已知：如图，点E、F在线段BD上，AF⊥BD，CE⊥BD，AD＝CB，DE＝BF，求证：AF＝CE． 学科网（北京）股份有限公司 $