第4讲 1.3全等三角形的判定（第1课时）暑假预习讲义 2026-2027学年苏科版七升八年级数学上册

苏科版数学八年级上册暑假预习讲义 第4讲　1.3　全等三角形的判定（第1课时） 【学习目标】 1. 探索并理解“边角边”判定方法（SAS），知道“两边及其中一边的对角分别相等”不能判定两个三角形全等。 1. 掌握“两边及其夹角分别相等”的两个三角形全等这一基本事实。 1. 能运用“边角边”判定方法证明两个三角形全等。 1. 会用尺规作图：已知两边及其夹角作三角形。 【知识梳理】 一、判定全等的基本思路 回顾：由“全等三角形的定义”可知，能够完全重合的两个三角形全等。但定义本身并不能直接用来判定两个三角形是否全等，因为我们需要找到更简便的条件。 核心问题：能否只使用较少的条件（如三边、两边一角等）来判定两个三角形全等？ 研究路径：从“一个条件”能否判定全等出发，逐步探索“两个条件” “三个条件”能否判定全等，最终找到判定全等的最少条件。 二、探索全等三角形的条件 一个条件能判定全等吗？ 只有一条边相等：两个三角形不一定全等。只有一个角相等：两个三角形不一定全等。 结论：一个条件不能判定两个三角形全等。 两个条件能判定全等吗？ 两条边相等：两个三角形不一定全等。两个角相等：两个三角形不一定全等。一条边和一个角相等：两个三角形不一定全等。 结论：两个条件也不能判定两个三角形全等。 三个条件能判定全等吗？ 三个条件有可能判定全等，但并非所有三个条件都可以。本节课研究：两边及其夹角分别相等（SAS）。 三、“边角边”判定方法（SAS） 基本事实：两边及其夹角分别相等的两个三角形全等（简写成“边角边”或“SAS”）。 符号语言： 如图，在△ABC 和 △A′B′C′ 中， ∵ ∴ △ABC ≌ △A′B′C′（SAS） 关键理解：SAS中的“角”必须是两条边的夹角，即两条边所夹的角。 四、不能判定全等的情况（重要易错点） 两边及其中一边的对角分别相等，不能判定两个三角形全等。 已知 ，，（其中 是 AC 边的对角， 是 AC 边的对角），但△ABC 与 △A′B′C′ 不一定全等。 易错提醒：SSA不能判定全等！ 必须记住：SAS中的角必须是夹角，不是任意角。 五、尺规作图：已知两边及其夹角作三角形 已知：线段 、 和 。 求作：△ABC，使 ，，。 作法： 1. 作 ； 1. 在射线 上截取 ，在射线 上截取 ； 1. 连接 ，△ABC 即为所求。 作图的意义：已知两边及其夹角，只能作出唯一的三角形，说明SAS判定是合理的。 做一做（即时练习）： 1. 如图，已知，用“”证，还需（    ） A． B． C． D． 1. 如图，在和中，，，那么由所给条件判定和全等的依据可以简写为 ． 1. 如图，在和中，，，若要用“”直接证，则还需补充的条件是 ． 1. 用尺规作图：已知两边及其夹角作三角形，体现的是______（填“SAS”或“SSA”）判定方法的合理性。 1. 已知△ABC 中， cm，， cm。若△DEF 中， cm，， cm，则△ABC 与 △DEF 全等吗？依据是______。 【典例精讲】 【例1】（直接应用SAS证明全等） 如图，有一池塘，要测池塘两端、之间的距离，可先在平地上取一点，从点不经过池塘可以直接到达点和，连接并延长到点，使，连接并延长到点，使，连接，那么量出的长就是、之间的距离，为什么请结合解题过程，完成本题的证明． 证明：在和中，           ，                              ，          ，_____________， 所以，    所以          ． 【答案】  【解析】在和中， 所以 所以． 【分析】 题目已经直接给出了两组边相等和一组角相等，且角是两边的夹角，可以直接应用SAS。 【例2】（先证明角相等，再运用SAS） 如图，，，．求证：． 【分析】本题主要考查三角形全等的判定，先证明，在用证明即可，掌握判定三角形全等是解题的关键． 【详解】解：∵， ∴， ∴， 在与中 ∴． 【反思】1. 当题目条件不能直接满足SAS时，需要先根据已知条件推导出所需的边相等或角相等。本题的关键是利用中点性质证明 。 2.判定两个三角形全等时，必须确保角是两边的夹角。SSA不能判定全等，这是一个必须牢记的易错点。 【跟踪练习1】 1. 如图，与相交于点若，则要用“”证明，还需添加的条件是(    ) A. B. C. D. 1. 数学兴趣小组要利用所学知识，自己制作一个工具测量一个锥形瓶的内径．如图，用螺丝钉将两根木棒，的中点固定，利用全等三角形知识，测得的长就是锥形瓶内径的长．其中，判定和全等的方法是（    ）    A．SSS B．ASA C．SAS D．AAS 3.如图，把长度确定的两根木棍，的一端固定在A处，和第三根木棍摆出固定，将木棍绕点A转动，得到，这个实验说明（   ） A．有两边和其中一边的对角分别相等的两个三角形一定不全等 B．有两角分别相等且其中一角的对边相等的两个三角形不一定全等 C．两边和它们的夹角分别相等的两个三角形全等 D．有两边和其中一边的对角分别相等的两个三角形不一定全等 【举一反三】 1. 下列与图1三角形全等的是（    ） A．①② B．②③ C．①③ D．只有① 1. 如图，，，要使≌，则可以添加条件(    ) A. B. C. D. 以上都不对 1. 下列条件中，能判定两个三角形全等的是（　　） · A. 两边及其中一边的对角分别相等　　B. 两边及其夹角分别相等 · C. 两个角分别相等　　D. 两条边分别相等 4.如图，这是折叠凳及其侧面示意图．已知，，则 ． 5.如图，已知点，在上，，，．求证：； 6.如图，已知，，． 求证：≌； ． 【分层训练】 ◆ A组·基础过关 一、填空题。 1. “边角边”判定方法简写为______，其中“角”必须是______的夹角。 1. 下列条件中能判定的是（   ） A．，， B．，， C．，， D．，， 1. 两边及其中一边的对角分别相等，______（填“能”或“不能”）判定两个三角形全等。 1. 下列命题中，是假命题的是（   ） A．对顶角相等 B．三角形任何两边的和大于第三边 C．两边及一角对应相等的两个三角形全等 D．角平分线上的点到角两边的距离相等 1. 已知 ，，，则 △ABC ______ △A′B′C′（填“≌”或“不一定≌”）。 二、判断题。（对的打“√”，错的打“×”） 1. 两边及其夹角分别相等的两个三角形全等。（　　） 1. 两边及其中一边的对角分别相等的两个三角形全等。（　　） 1. 只要有两边和一组角分别相等，就能判定两个三角形全等。（　　） 三、选择题。 1. 如图，已知点，，，在同一条直线上，，，要使≌，还需要添加一个条件是(    ) A. B. C. D. 1. 如图，在中，，点D为边上一点，点E在边上，，，，则的度数为 ． ◆ B组·能力提升 1. 在测量一个小口圆形容器的壁厚厚度均匀时，小明用“型转动钳”按如图方法进行测量，其中，，测得厘米，厘米，圆形容器的壁厚是(    ) A. 厘米 B. 厘米 C. 厘米 D. 厘米 1. 如图，D、E是△ABC外两点，连接，，有，，．连接，交于点F，则的度数为 ． 1. 如图所示，，，． (1)求证：； (2)若，， 则 　　． ◆ C组·思维拓展 14.如图，在△ABC中，，．为延长线上一点，点在上，，连接、和． (1)求证：； (2)若，求的度数． 15. 如图，在△ABC中，、分别是的高，在上取一点，使，在的延长线上取一点，使，连接与．判断与的关系并证明你的结论． 16.如图，已知四边形中，，，，，点是线段的三等分点（靠近处）．如果点在线段上以的速度由点向点运动，同时，点在线段上由点向点运动．若要使得与全等，求点的运动速度． 【本讲总结】 知识框架 分类 核心内容 关键要点 SAS基本事实 两边及其夹角分别相等的两个三角形全等 角必须是两边的夹角 SAS符号语言 三组条件 → 推出全等 书写时要注意对应关系 SAS作图 已知两边及其夹角作三角形 三角形唯一确定 SAS辨析 SAS能判定；SSA不能判定 易错点：必须区分SAS和SSA 常见错误提醒 错误类型 正确理解 误认为SSA能判定全等 SAS中的角必须是夹角，SSA不能判定全等 写全等符号时对应顶点位置不对 对应顶点的字母必须写在对应的位置上 证明时忘记写“在△XXX和△YYY中” 证明格式要规范，先说明在哪两个三角形中 找错对应边和对应角 根据SAS的条件，角必须是两边的夹角 学习建议 1. 判断SAS时，先找两组边相等，再确认其夹角是否相等。 1. 遇到SSA时，立即判断不能判定全等。 1. 证明全等的格式要规范： ① 写出“在△XXX和△YYY中”； ② 列出三组相等条件； ③ 写出判定依据； ④ 得出结论。 1. 记口诀：边角边，要夹角；SSA，不能判。 【参考答案与详细解析】 知识梳理·做一做 1. 答案：B 1. 答案：SAS 1. 答案：AB=DF 1. 答案：SAS 1. 答案：全等；SAS 典例精讲·跟踪练习1 1. 答案：B 1. 答案：C 1. 答案： 举一反三 1. 答案：D 1. 答案：C 1. 答案：B 1. 40 1. 证明：∵， ∴， ∵， ∴， 在和中， ∴ 6.证明：， ， ， ， 即， 在和中， ， ≌； ≌， ， ， ．  A组·基础过关 1. 答案：SAS；两边 1. 答案：D 1. 答案：不能 1. 答案：C 1. 答案：≌ 1. 答案：√ 1. 答案：× 1. 答案：× 1. 答案：A 1. 答案：50° B组·能力提升 1. 答案：D 1. 答案：40° 1. 答案：（1）证明：∵， ∴， 即， 又∵，， ∴； （2）解：∵， ∴， ∴， 故答案为：． C组·思维拓展 1. 答案：（1）证明：在和中， ， ∴， ∴． （2）解：∵，， ∴， ∵， ∴， ∵，， ∴， ∵， ∴， ∴． 1. 答案： 解：，，理由为： ∵， ∴，， ∴， 在和中， ∴； ∴， 又， ∴， 则． 16.解：设运动时间为秒，点的运动速度为， 则，，， 点是线段的三等分点（靠近处）， ， ， 要使与全等，则必须满足，或，， 分两种情况： 当，时， ，， 解得：，， 即点的运动速度为； 当，时， ，， 解得：，， 即点的运动速度为； 综上所述，当点的运动速度为或时，能够使得与全等， 【本讲完成情况】 项目 完成情况（✔） 自我评价 知识梳理阅读 （　） 已理解 / 需再读 做一做（5题） （　） 全对 / 错______题 典例精讲学习 （　） 已掌握 / 需再练 跟踪练习1（3题） （　） 全对 / 错______题 举一反三（8题） （　） 全对 / 错______题 A组·基础过关（10题） （　） 全对 / 错______题 B组·能力提升（3题） （　） 全对 / 错______题 C组·思维拓展（2题） （　） 全对 / 错______题 错题号：________________ 订正笔记： ______________________________________________________________________ ______________________________________________________________________ ______________________________________________________________________ 学科网（北京）股份有限公司 $