5.4 一次函数解决问题(讲义，1大知识10大题型+刷好题)数学新教材苏科版八年级上册

本讲义聚焦一次函数解决实际问题核心知识点，衔接一次函数概念与图像性质，构建从提取等量关系建立模型、确定自变量取值范围，到利用图像分析变化趋势、求解行程利润等问题的完整学习支架，涵盖十大典型题型及解题方法。 资料以生活实际情境（如行程、调运、利润问题）为载体，通过典例精析与变式巩固，培养学生用数学眼光观察问题、用数学思维推理分析（如分段函数讨论）、用数学语言表达模型的核心素养，课中辅助教师系统教学，课后助力学生查漏补缺。

第五章 一次函数 5.4 一次函数解决问题 课标要点 1.从实际情境提取等量关系，建立一次函数模型，规范写出函数解析式并标注自变量取值范围。 2.借助一次函数图像读取数据、分析变化趋势，用数形结合求解行程、利润、方案选择类实际问题。 3.利用函数解析式、图像对比方案优劣，结合实际意义检验结果合理性。 学习重难点 重点： 1.根据实际问题列一次函数关系式，确定自变量取值范围。 2.利用函数图像获取信息，求解简单实际计算问题。 3.基础利润、行程类一次函数应用题列式与求值。 难点： 1.复杂情境挖掘隐藏等量关系，准确构建一次函数模型。 2.多方案对比类问题，借助函数增减性选出最优方案。 3.结合图像分段分析变量变化，解决分段一次函数实际问题。 知识点一 一次函数解决问题 应用一次函数解决实际问题时，首先，要判断问题中的两个变量之间是否是一次函数关系；其次，当确定是一次函数关系时，可先求出一次函数解析式，再应用一次函数的相关知识去解决与其相关的实际问题. 1.建立一次函数解析式的常用方法 1）根据基本的量之间存在的关系列函数解析式； 2）若题目中已明确给出两个变量的函数关系，则可用待定系数法求出函数解析式； 用一次函数解决问题的关键是建立数学模型，数学建模的关键是将实际问题数学化，从而得到解决问题的最佳方案、最佳策略.在建模的过程中，为了既合乎实际问题又能求解，这就要求在诸多因素中抓住主要因素进行抽象化简，而这一过程恰是我们的分析、抽象、综合、表达能力的体现.函数建模最困难的环节是将实际情景通过数学转化为什么样的函数模型. 2.一次函数应用问题的求解思路： 1）建立一次函数模型→求出一次函数解析式→结合函数解析式、函数性质求解； 2）在实际生活问题中，如何应用函数知识解题，关键是建立函数模型，即列出符合题意的函数解析式，然后根据函数的性质综合方程（组）、不等式（组）及图像求解.要注意结合实际，确定自变量的取值范围，这是应用中的难点，也是中考的热门考点； 3）分析问题的实际背景中包含的变量及对应关系，结合一次函数的解析式及图像，通过比较函数值的大小等，寻求解决问题的最佳方案，体会函数作为一种数学模型在分析解决实际问题中的重要作用. 3.求最值的本质为求最优方案，解法有两种： 1）可将所有求得的方案的值计算出来，再进行比较； 2）直接利用所求值与其变量之间满足的一次函数关系式求解，由一次函数的增减性可直接确定最优方案及最值；若为分段函数，则应分类讨论，先计算出每个分段函数的取值，再进行比较． 【提示】一次函数本身并没有最值，但在实际问题中，自变量的取值往往有一定的限制，其图像为射线或线段.涉及最值问题的一般思路：确定函数解析式→确定函数增减性→根据自变量的取值范围确定最值． 即学即练 1．（25-26八年级上·江苏泰州·阶段检测）某小汽车的油箱最多可装汽油升，原有号汽油升，现再加升同型号的号汽油，其价格是每升元，求油箱内所有汽油的总价（元）与（升）之间的函数关系是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了根据实际问题列一次函数关系式，根据总价等于汽油总升数乘以单价，结合油箱容量限制确定的取值范围即可，根据题意找到所求量的等量关系是解题的关键． 【详解】解：∵原有汽油升，再加升，总升数为升，单价为元升， ∴， ∵油箱最多装升， ∴，即， ∴， ∴函数关系为， 故选：． 2．（25-26八年级上·江苏泰州·期末）甲、乙、丙、丁四位同学参加“欢乐跑”活动，图中的四个点分别描述了他们跑的路程（m）与时间（h）的情况，则四人中速度最快的是（    ） A．甲 B．乙 C．丙 D．丁 【答案】A 【分析】本题考查一次函数的实际应用，画出函数图象，进行判断即可． 【详解】解：由题意，画图如下： 由图象可知：相同时间内，甲跑的路程最远， 故四人中速度最快的是甲； 故选A． 3．（25-26八年级上·江苏南京·阶段检测）在锅中倒入了一些油，用煤气灶均匀加热，每隔20秒测一次油温，得到下表： 时间（秒） … 20 40 60 … 油温 … 50 90 130 … 加热110秒时，油刚好沸腾了，估计这种油沸点的温度为_________． 【答案】230 【分析】本题考查一次函数的应用，解答本题的关键是明确题意，利用一次函数的性质解答． 根据表格数据，油温随时间均匀变化，建立一次函数关系式，代入时间求温度． 【详解】解：由表格数据可知，时间每增加20秒，油温升高，故每秒油温升高， ∴y与x成一次函数关系， 设y与x的函数关系式为，代入点和，得 ， 解得， ∴． 当时，， 故答案为：230． 4．（2025八年级上·江苏泰州·专题练习）八年级实践小组观察记录了一段时间娃娃菜幼苗的成长，将娃娃菜幼苗的高度与观察时间（天）的函数关系用如图表示，那么娃娃菜幼苗的高度最高是_________． 【答案】 【分析】本题考查了一次函数应用，一次函数解析式．熟练掌握待定系数法求一次函数解析式是解题的关键．由题意知，，待定系数法求线段的解析式为，将代入，计算求解即可． 【详解】解：由题意知，， 设线段的解析式为， 将代入得，， 解得，， ∴线段的解析式为， 将代入， ∴， ∴娃娃菜幼苗的高度最高为， 故答案为：． 题型01 行程问题 典｜例｜精｜析 例1．（24-25八年级上·江苏南京·期末）甲车从A地匀速驶往相距的B地，当甲车行驶小时经过途中的C地时，乙车恰好从C地出发以另一速度匀速驶往B地，当乙车到达B地后立即掉头以原来的速度匀速驶往A地（甲车到达B地，乙车到达A地后分别停止运动）．行驶过程中两车的距离y（）与甲车从出发所用的时间x（）之间的函数关系如图所示，则甲车到达B地时，乙车距A地 ___________． 【答案】180 【分析】根据函数图象中的数据，可以先计算出甲车的速度，然后再根据图象可知，4.5小时两车相遇，则可以计算出乙车的速度，再计算出甲车从A地到B地用的时间，然后即可计算出甲车到达B地时，乙车距A地的路程． 本题考查一次函数的应用，利用数形结合的思想解答是解答本题的关键． 【详解】解：由图象可得， 甲车的速度为：（）， 乙车的速度为：（）， 甲车从A地到B地用的时间为：（小时）， 则甲车到达B地时，乙车距A地的路程是：（）， 故答案为：180． 变｜式｜巩｜固 1．（25-26八年级上·安徽宿州·期中）已知甲、乙两车分别从，两地同时出发，沿同一条公路相向而行，相遇时甲、乙所走路程的比为，甲、乙两车离，两地中点的路程（千米）与甲车出发时间（时）的关系图象如图所示.解答下列问题： （1），两地之间的距离为_____千米； （2）的值为_____． 【答案】 180 3.75 【分析】本题考查了一次函数的实际应用，正确理解函数图象是解题的关键． （1）设相遇时甲车走了千米，则乙车走了千米，根据交点的意义可得，求解，即可求解，两地之间的距离； （2）先求出甲车3时走的路程，则即可求解甲车的速度，继而求解甲车到达中点时的时间． 【详解】（1）设相遇时甲车走了千米，则乙车走了千米， 因为交点的坐标为， 所以出发3时，两车相遇，此时乙车超过中点18千米，甲车还未到中点，距离中点18千米， 所以， 解得， 所以， 所以，两地之间的距离为180千米， 故答案为：； （2）因为甲车3小时走了72（千米）， 所以甲车的速度为（千米/时）， 所以甲车到达中点时的时间：（时），即的值为3.75． 故答案为：． 2．（25-26八年级上·江苏无锡·阶段检测）如图1，公路上有、、三个车站，一辆汽车从站以速度匀速驶向站，到达站后不停留，以速度匀速驶向站，汽车行驶路程（千米）与行驶时间（小时）之间的函数图象如图2所示．若汽车在某一段路程内刚好用50分钟行驶了60千米，则这段路程开始时的值为______． 【答案】 【分析】本题考查一次函数的实际应用，看懂函数图象，正确求出函数解析式是解题的关键． 先求出两段的函数解析式，根据题意可得汽车在段和段上各行驶一段时间，才能用50分钟行驶60千米，设汽车在段行驶了分钟，则在段上行驶了分钟，根据题意，列出方程求出的值，再根据汽车第3小时，到达地，进行求解即可． 【详解】解：当汽车从A站以速度匀速驶向B站时，设， 由图象可知：时，， ∴， ∴， 当时，， ∴； 当汽车以速度匀速驶向C站时，设， 把，代入，得： ，解得：， ∴； ∴； ∴汽车在段上的速度为千米/小时，在段上的速度为千米/小时， ∴当汽车从到时，50分钟行驶的路程为：， 当汽车从到时，50分钟行驶的路程为：， ∵汽车在某一段路程内刚好用50分钟行驶了60千米， ∴汽车一段时间在上，一段时间在上， ∴设汽车在段行驶了分钟，则在段上行驶了分钟， 则：， 解得：， ∴． 故答案为：． 3．（25-26八年级上·江苏泰州·期末）某科技公司为测试甲、乙两款机器人的性能，在的直线跑道上进行测试．甲、乙两款机器人匀速从起点出发到处的终点，甲出发后，乙以的速度沿同一路线行走．甲、乙两款机器人与起点的距离，与甲出发时间（）的函数图象（如图2），甲、乙两款机器人相距（）与甲行走的时间（）的函数图象（如图3）．根据图象回答下列问题： (1)甲行走的速度为______米/秒；图3中______，_______； (2)求乙到起点的距离与甲出发的时间t之间的函数表达式； (3)当甲出发多少秒时，甲、乙相距． 【答案】(1)，， (2) (3)秒或秒或秒 【分析】本题考查了一次函数的实际应用（行程问题），涉及函数表达式、距离计算等知识点，熟练结合行程问题的数量关系（路程速度时间）分析函数图像是解题的关键． （1）利用 “速度路程时间” 结合图像中甲的行程数据，求出甲的速度；结合 “相遇时路程相等” 列方程求出相遇时间；根据甲到达终点的时间，计算对应时刻的路程差得到； （2）根据乙的出发时间、速度，求得函数表达式； （3）分三种情况，结合距离关系列方程求解甲出发的时间 【详解】（1）解：由图可得甲行走的速度为：（米/秒） 由题意得：； 由得：， 当，， ∴ 故答案为：，，． （2）解：依题意， （3）解：①：由， 得， ②：由， 得， ③当乙到达终点后， 解得： 甲出发秒或秒或秒，甲、乙相距米． 题型02 调运问题 典｜例｜精｜析 例2．（23-24八年级上·江苏扬州·期末）为了救援地震灾区，某市、两厂共同承接了生产吨救灾物资任务，厂生产量是厂生产量的倍少吨，这批救灾物资将运往甲、乙两地，其中甲地需要物资吨，乙地需要物资吨，运费如下表：（单位：吨/元） 目的地生产厂家 甲 乙 A 20 25 B 15 24 (1)厂生产了______吨救灾物资、厂生产了______吨救灾物资； (2)设这批物资从厂运往甲地吨，全部运往甲、乙两地的总运费为元，求与之间的函数关系式，并设计使总运费最少的调运方案； (3)当每吨运费降低元，（，且为整数），若按照（）中设计的调运方案运输，且总运费不超过元，求的最小值． 【答案】(1)300 , 200 (2)，A厂运往甲地40吨，运往乙地260吨，B厂200吨全部运往甲地时费用最少． (3)a的最小值为10 【分析】（1）设这批防疫物资厂生产了吨，厂生产了吨，根据题意列方程组解答即可； （2）根据题意得出与之间的函数关系式以及的取值范围，再根据一次函数的性质解答即可； （3）根据题意以及（2）的结论可得，再根据一次函数的性质以及列不等式解答即可． 【详解】（1）解：设这批防疫物资厂生产了吨，厂生产了吨； 则 解得： 答：这批防疫物资厂生产了吨，厂生产了吨； （2）如图，两厂调往甲、乙两地的数量如下： 目的地生产厂家 甲 乙 A B ∴ 当时运费最小 所以总运费的方案是：厂运往甲地吨，运往乙地吨，厂吨全部运往甲地时费用最少． （3）由（2）知： 当时， ， 所以的最小值为． 【点睛】本题考查了一次函数的应用，二元一次方程组的应用、一元一次不等式的应用，一次函数的最值问题，解答本题的关键在于读懂题意，设出未知数，找出合适的等量关系，列出方程和不等式求解． 变｜式｜巩｜固 1．（25-26八年级上·江苏徐州·阶段检测）某地A，B两村盛产柑橘，A村有柑橘村有柑橘，现将这些柑橘全部运到C，D两个仓库，已知仓库可储存仓库放满后再考虑运往D仓库．运输费用如下表： 村庄 运费 C仓库 D仓库 A村 20元/ 25元/ B村 15元/ 18元/ 设从A村运往C仓库的柑橘质量为两村运往两仓库的柑橘运输总费用分别为元和元． (1)判断和是否为的函数．若是，分别写出函数表达式． (2)若B村的柑橘运费不得超过4830元，在这种情况下，怎样调运才能使两村运费之和最小？求出这个最小值． 【答案】(1)是x的函数，；是x的函数， (2)当A村运往C仓库，运往D仓库；B村运往C仓库，运往D仓库时，两村运费之和最小，最小值为9580元 【分析】本题考查了函数，列一次函数解析式，解一元一次不等式，一次函数的性质，正确列出函数式是解题关键． （1）根据运输费用=每吨费用×总量，即可求出求出、与x之间的函数关系式； （2）根据B村的柑桔运费不得超过4830元，求得，再根据两村运费之和为，根据一次函数的性质，即可求出最小值． 【详解】（1）解：根据题意，得， 当给定x的值，、分别有唯一值与x对应，则是x的函数，是x的函数； （2）解：∵B村的柑橘运费不得超过4830元， ∴， 解得， 两村运费之和为， ∵， ∴随x的增大而减小， ∴当时，最小，最小值为， ∴当A村运往C仓库，运往D仓库；B村运往C仓库，运往D仓库时，两村运费之和最小，最小值为9580元． 2．（22-23八年级下·辽宁抚顺·期末）现从，两个蔬菜村向甲，乙两地运送蔬菜，，两个蔬菜村各有蔬菜吨，吨，其中甲地需要蔬菜吨，乙地需要蔬菜吨，从村运往甲地运费为元吨，运往乙地运费为元吨；从村运往甲地运费为元吨，运往乙地运费为元吨． 怎样调运蔬菜才能使总运费最少？最少运费为多少？ 【答案】从A蔬菜村向甲地运送蔬菜吨，向乙地运送蔬菜吨，从蔬菜村向甲地运送蔬菜吨时，总运费最少，最少运费是元 【分析】设从蔬菜村向甲地运送蔬菜吨，总运费为元．根据题意，列不等式组，求得，然后根据一次函数的性质，即可求解． 【详解】解：设从蔬菜村向甲地运送蔬菜吨，总运费为元． 则 解得： ， 随的增大而增大 当时，有最小值 答：从蔬菜村向甲地运送蔬菜吨，向乙地运送蔬菜吨，从蔬菜村向甲地运送蔬菜吨时，总运费最少，最少运费是元． 【点睛】本题考查了一次函数的性质，一元一次不等式组的应用，根据题意列出不等式组，掌握一次函数的性质是解题的关键． 3．（23-24八年级上·江苏盐城·期中）某种农机A城有30台，B城有40台．某运输公司现要将这些农机全部运往C，D两乡．已知C乡需要34台，D乡需要36台；从A，B两城运往C，D两乡的运费如表： 两乡 两城 C（元/台） D（元/台） A 250 200 B 150 240 设A城运往C乡x台农机，从A城运往两乡的总运费为元，从B城运往两乡的总运费为元． (1)分别写出与x之间的函数关系式（直接写出自变量的取值范围）； (2)求将农机从B城运往两乡的总运费最多比从A城运往两乡的总运费多多少元？ (3)该运输公司现要求从B城运往两乡的总运费不低于8160元，怎样调运，使运送全部农机的总费用的和最少？并求出最小值． 【答案】(1)； (2)1740元 (3)从A城调性C城18台，调往D城12台，从B城调往C城16台，调往D城24台，总费用的和最少，为15060元． 【分析】本题考查了列函数解析式，一次函数的应用，掌握一次函数的性质是解题的关键． （1）A城运往C乡的农机为x台，则可得A城运往D多的农机为台，B城运往C乡的农机为台，B城运住D乡的农机为台，从而可得，与x之间的函数关系式； （2）由（1）知，与x之间的函数关系式，根据列出关系式，利用一次函数的性质即可解答； （3）设A城运往C乡该农机x台，运送全部农机的总费用为w元，可得w的表达式，再结合从B城运往两乡的总运费不低于8160元求出x的取值范围，最后根据一次函数的性质得到当时，w最小． 【详解】（1）解：由题意可得， ； （2）解：由（1）可得： ， ∵， ∴当时，， ∴将农机从B城运往两乡的总运费最多比从A城运往两乡的总运费多1740元； （3）解：设A城运往C乡该农机x台，运送全部农机的总费用为w元， 则， ∵要求从B城运往两乡的总运费不低于8160元， 则， 解得：， ∵， ∴当时，w最小，最小值为：元 ∴从A城调性C城18台，调往D城12台，从B城调往C城16台，调往D城24台， 总费用的和最少，为15060元． 题型03 工程问题 典｜例｜精｜析 例3．（24-25八年级上·浙江湖州·期末）近日，如通苏湖城际铁路湖州段顺利掘进开工．现有一条长为720米的隧道，需甲、乙两个工程队合作完成．首先由甲工程队单独挖掘隧道米，再由甲乙两队共同施工，剩余任务由乙工程队单独完成．已挖掘的隧道长度米与施工天数天的关系如图所示． (1)甲、乙合作时，共施工__________天，每天挖掘隧道__________米； (2)当时，求第20天时整个工程已完成多少米； (3)已知乙工程队的施工效率不超过甲工程队，求完成这次任务的工期（天）范围． 【答案】(1)9；40 (2)第20天时整个工程已完成580米 (3)完成这次任务的工期范围是27天至35天 【分析】（1）根据图象信息得出甲、乙合作时，共施工的天数，再运用工作量除以时间，即可作答． （2）先求出直线的解析式，再令，则即可作答． （3）根据图象信息得甲施工队施工的效率为（米/天），乙队施工的效率为（米/天），因为乙工程队的施工效率不超过甲工程队，得出解得，然后分类讨论，即当时或当时，再求出直线的解析式，当时，则，解得，即，进行作答即可． 本题考查了一次函数的行程问题，求一次函数的解析式，一元一次不等式的应用，正确掌握相关性质内容是解题的关键． 【详解】（1）解：由题意，根据图象可得，甲、乙合作时，共施工的天数为：（天） 每天挖隧道：（米）， 故答案为:9，40． （2）解：由题意，当时 ∴点的坐标A的坐标为，B的坐标为 ∴（米/天），（米/天）， 又设直线的解析式为 把点B坐标代入解析式得 解得 ∴直线的解析式为 令，则 ∴第20天时整个工程已完成580米； （3）解：由题意得，甲施工队施工的效率为（米/天），乙队施工的效率为（米/天）， ∵乙工程队的施工效率不超过甲工程队， ∴， 解得， ∵， ∴， 当时， 由（2）得直线的解析式为 ∴当时，则， 解得； 当时， 依题意，则， ∴（米/天），（米/天）， 设直线的解析式为 把代入得 解得， ∴直线的解析式为 ∴当时， 由（2）得直线的解析式为 ∴当时，则， 解得， 即 ∴完成这次任务的工期范围是27天至35天． 变｜式｜巩｜固 1．（22-23八年级下·吉林·期末）为了推进乡村振兴发展，某地决定对A，B两村之间的公路进行改造，并由甲工程队从A村向B村方向修筑，乙工程队从B村向A村方向修筑．已知甲工程队先施工2天，乙工程队再开始施工．乙工程队施工几天后，因另有任务提前离开，余下的任务由甲工程队单独完成，直到公路修通．甲、乙两个工程队修筑公路的长度y（米）与甲工程队施工时间x（天）之间的函数关系如图所示，请根据图象提供的信息，解答下列问题：    (1)乙工程队每天修路___米，甲工程队每天修路___米，a的值为___，b的值为___； (2)直接写出：甲工程队修公路的长度y（米）与甲施工队施工时间x（天）之间的函数关系式； (3)求乙工程队修公路的长度y（米）与甲工程队施工时间x（天）之间的函数关系式； (4)若该项工程由甲、乙两工程队从开始就合作施工，直到任务完成，直接写出：完成任务所需的时间． 【答案】(1)180，90，360，900 (2) (3) (4)6（天） 【分析】（1）根据函数图象即可求解； （2）根据函数图象中的数据运用待定系数法即可求解； （3）根据函数图象中的数据运用待定系数法即可求解； （4）根据前三问求出公路总长即可解答． 【详解】（1）解：根据函数图象可得乙工程队每天修路（米）， ∵当修了a（米）时，乙工程队用了2天，甲工程队用了4天， ∴甲工程队每天修路（米）， ∴，， 故答案为：180，90，360，900； （2）解：设甲工程队修公路的长度y（米）与甲施工队施工时间x（天）之间的函数关系式为，将点代入得， ∴甲工程队修公路的长度y（米）与甲施工队施工时间x（天）之间的函数关系式为； （3）解：设乙工程队修公路的长度y（米）与甲施工队施工时间x（天）之间的函数关系式为， 将点，代入得： ， 解得：， ∴乙工程队修公路的长度y（米）与甲施工队施工时间x（天）之间的函数关系式为； （4）解：公路总长为（米）， 甲、乙两工程队从开始就合作施工，每天修路（米）， ∴需要（天）． 【点睛】本题考查了待定系数法求一次函数解析式，一次函数的应用等知识点，解题的关键是熟练掌握以上知识点并灵活运用． 2．（2024七年级下·四川成都·专题练习）有一项工程，若请甲工程队单独做需4个月完成，每月要耗资9万元；若请乙工程队单独做需6个月完成，每月耗资5万元． (1)请问甲、乙两工程队合作需几个月完成？耗资多少万元？ (2)现要求最迟5个月完成此项工程即可，请你设计一种方案，既保证按时完成任务，又最大限度节省资金． 【答案】(1)个月万元 (2)甲乙工程队合作个月，乙单独做个月 【分析】（1）设甲、乙两队合作需要x个月完成此项工作，根据题意得，解答即可． （2）设甲、乙两队合作x个月，剩下的乙队单独完成，总费用为w万元，根据题意，得，且，解不等式，利用一次函数的性质解答即可． 本题考查了一元一次方程的应用，不等式的应用，一次函数的性质，熟练掌握性质是解题的关键． 【详解】（1）设甲、乙两队合作需要x个月完成此项工作，根据题意得， 解得， 答：甲、乙两队合作需要个月完成此项工作． 费用为万元 （2）解：设甲、乙两队合作x个月，剩下的乙队单独完成，总费用为w万元，根据题意，得，且， 解不等式，得， 得w随x的增大而增大，为确保费用最低， 故x去最小值，此时， 答：甲、乙两队合作个月，剩下的乙队单独个月完成，费用最低且合题意． 3．（24-25八年级上·陕西西安·期末）某项工程由甲、乙两个工程队合作完成，先由甲队单独做3天，剩下的工作由甲、乙两工程队合作完成，工程进度满足如图所示的函数关系（x为天数，y为工作量）： (1)求合作部分工作量y与工作时间x之间的函数关系式； (2)该工程共支付8万元，若按完成的工作量所占比例支付工资，甲工程队应得多少元？ 【答案】(1) (2)6万元 【分析】本题主要考查了一次函数的应用，待定系数法求函数解析式，数学公式（工作效率=工作总量÷工作时间）的灵活运用，能根据图象提供的数据进行计算是解此题的关键，题型较好． （1）由待定系数法求解即可； （2）根据甲的工作效率是，于是得到甲9天完成的工作量是，即可得到结论． 【详解】（1）解：设一次函数的解析式（合作部分）是（是常数）． ∵在图象上． 代入得， 解得：， ∴一次函数的表达式为； （2）解：当时，， 解得：， ∴完成此项工程共需天， 由图象知，甲的工作效率是， ∴甲9天完成的工作量是：， ∴（万元）， 所以甲工程队应得6万元． 题型04 计时问题 典｜例｜精｜析 例4．（25-26八年级上·江苏南京·阶段检测）项目式学习． 【项目主题】重视水龙头滴水的浪费现象． 【项目背景】日常生活中，经常存在由于水龙头阀门损坏，从而出现水龙头不断向外滴水的情况，造成水资源浪费．某校学习小组以“重视水龙头滴水的浪费现象”为主题展开项目学习． 【驱动任务】探究水龙头滴水量与时间的关系． 【研究步骤】①准备好量筒和计时器； ②确定因损坏而滴水的水龙头； ③在控制影响水龙头滴水量的其他变量（如刮风等）的情况下，将量筒放在所选水龙头正下方接水，每隔一分钟记录量筒中的总水量．但由于操作延误，开始计时的时候量筒中已经接了少量的水，因而得到如下表所示的一组数据； 时间 总水量 ④分析数据，形成结论． 【问题解决】请根据此项目实施的相关材料完成下列任务： (1)①根据上表中的数据，判断量筒中的总水量与时间是 （填“正比例”或“一次”）函数关系；②求与之间的函数关系式； (2)已知所用量筒的量程是，求当计时多少分钟时，量筒内的水刚好到达量程的最大刻度处； (3)若一个人一天大约饮用的水，求这个水龙头天的滴水量可供一个人饮用多少天． 【答案】(1)①一次；② (2)19.6分钟 (3)48天 【分析】本题考查了一次函数的应用，正确求出一次函数的解析式是解此题的关键． （1）①观察表格数据即可得解，②设V与t的函数关系式为，利用待定系数法求解即可； （2）令，可得，求解即可； （3）由（1）可知，这个水龙头每分钟滴水，求出10天滴水量，除以一个人一天大约饮用的水，即可得解． 【详解】（1）解：①根据上表中的数据，发现总水量随时间的变化是均匀的，故量筒中的总水量与时间是一次函数关系； ②设V与t的函数关系式为， 把和代入得， 解得， 则． （2）解：令，可得， 解得， 则当计时19.6分钟时，量筒内的水刚好到达量程的最大刻度处． （3）解：由（1）可知，这个水龙头每分钟滴水， ∴10天滴水， ∵（天）， ∴这个水龙头10天的滴水量可供一个人饮用48天． 变｜式｜巩｜固 1．（22-23八年级上·江苏·期末）高度为120厘米的圆柱形容器注满了水（即容器的水位高度为120厘米），上端有一关闭状态的注水口，底端有一关闭状态的放水口，如图1所示．现先打开放水口，放水速度为12厘米/分钟（即：仅打开放水口时，每分钟能使圆柱形容器内的水位高度下降12厘米），放水口打开一段时间后，再打开注水口，同时保持放水口开放状态，继续经过一段时间后关闭放水口，同时注水口仍保持开放状态，直至容器注满水时立即关闭注水口．圆柱形容器的水位高度记为（厘米），从打开放水口时开始计时，至容器注满水时停止计时，时间记为（分钟），已知关于的函数图象如图2所示．根据图中所给信息，解决下列问题： (1)的值为______； (2)求注水速度（注水速度即：仅打开注水口时，每分钟能使圆柱形容器内的水位高度上升的高度）； (3)求图2中线段所在直线的解析式； (4)在圆柱形容器的水位高度变化过程中，当满足：（厘米）时，时间（分钟）的取值范围是______． 【答案】(1) (2)注水速度为16厘米/分钟 (3) (4) 【分析】（1）根据关于的函数图象给出的信息结合放水速度求解即可； （2）根据关于的函数图象信息结合值，先求出段的进水速度（段的进水速度注水速度放水速度），再求段的注水速度，列方程求解即可； （3）设所在直线的解析式为，将点和点的坐标代入求解即可； （4）计算出时对应的两个时间，取两者之间即可． 【详解】（1）（厘米），（分钟）， ∴的值为， 故答案为：； （2）段的进水速度为：（厘米/分钟）， 段的注水速度为：（厘米/分钟）， ∴， 解得， ∴，， ∴注水速度为16厘米/分钟； （3）设所在直线的解析式为， 由（2）可知， ∴，， 将点，代入， 得，解得， 所在直线的解析式为； （4）∵， ∴结合图象可知，在线段和线段上， 当在线段上时，（分钟）， 在线段上时，（分钟）， ∴当满足：（厘米）时，时间（分钟）的取值范围是， 故答案为：． 【点睛】本题考查了一次函数的应用，解题的关键是明确题意，利用数形结合来解决问题． 2．（24-25八年级上·江苏淮安·期末）漏刻是中国古代的一种计时工具，漏刻的工作原理是利用均匀水流导致的水位变化来显示时间．水从上面漏壶源源不断地补充给下面的漏壶，再均匀地流入最下方的箭壶，使得壶中有刻度的小棍匀速升高，从而取得比较精确的时刻．某学习小组复制了一个漏刻模型，研究中发现小棍露出的部分（厘米）是时间（分钟）的一次函数，且当时间分钟时，厘米．表中是小明记录的部分数据，其中有一个的值记录错误． （分钟） …… 10 20 30 40 （厘米） …… 2.6 3.2 3.6 4.4 (1)你认为的值记录错误的数据是______，请利用正确的数据确定函数表达式； (2)当小棍露出部分为14厘米时，对应的时间为多少？ 【答案】(1)， (2)200 【分析】本题主要考查了求一次函数解析式、一次函数的应用等知识点，求出函数解析式是关键． （1）分析表格中数据即可得到结论；利用正确的数据，由待定系数法求函数解析式即可； （2）把代入（1）中解析式，求出x的值即可． 【详解】（1）解：∵，，， ∴y的值记录错误的数据是； 设， ∵， ∴， 解得：， ∴y与x的解析式为； （2）解：将代入函数解析式得：， 解得． 答：对应的时间是200分钟． 题型05 分配问题 典｜例｜精｜析 例5．（24-25八年级上·江苏无锡·阶段检测）某公司有A型产品80件，B型产品120件，分配给下属甲、乙两个商店销售，其中140件给甲店，60件给乙店，且都能卖完．甲店销售A型产品利润每件400元，销售B型产品利润每件340元；乙店销售A型产品利润每件320元，销售B型产品利润每件300元． (1)若公司要求总利润不低于70280元，求出公司能采用几种不同的分配方案？ (2)为了促销，公司决定仅对甲店A型产品让利销售，每件让利m元，但让利后A型产品的每件利润仍高于甲店B型产品的每件利润．甲店的B型产品以及乙店的型产品的每件利润不变，问该公司又如何设计分配方案，使总利润达到最大？ 【答案】(1)有四种不同的分配方案 (2)见解析 【分析】此题主要考查了一次函数的应用，不等式组的应用，得到总利润的关系式是解决本题的关键． （1）根据所有产品数量及所给产品数量分别得到甲店B型商品，乙店A型商品，乙店B型商品的数量，那么总利润等于每件相应商品的利润相应件数之和，再根据根据各个店面的商品的数量为非负数可得自变量的取值范围； （2）根据让利后A型产品的每件利润仍高于甲店B型产品的每件利润可得m的取值，结合（1）得到相应的总利润，根据m的取值结合函数的性质可得最大值的方案即可． 【详解】（1）解：设公司给甲店A型产品x件，则甲店B型产品有件；乙店A型有件，B型有件．公司总利润为W元，根据题意得： ． 由， ， 由，解得 ， 为整数， ， ∴有四种不同的分配方案； （2）解：依题意：， ， ， 当时，越大，W越大，得出即甲店A型80件，B型60件；乙店A型0件，B型60件，能使总利润最大， 当时，为定值，符合题意的各种方案使总利润最大， 当时，越小，W越大，得出即甲店A型20件，B型120件；乙店A型60件，B型0件，使总利润最大． 变｜式｜巩｜固 1．（23-24八年级下·江苏南通·期中）为增强学生体质，让学生享受阳光体育大课间活动，某学校准备采购甲、乙两种跳绳供学生使用．经询价，现有一家商场对甲种跳绳的出售价格根据购买量给予优惠，对乙种跳绳按25元/根的价格出售，设该学校购买甲种跳绳x根，付款y元，y与x之间的函数关系如图所示． (1)求出y与x之间的函数关系式； (2)若该学校计划一次性购买甲，乙两种跳绳共100根，且甲种跳绳不少于40根，但又不超过60根，如何分配甲，乙两种跳绳的购买量，才能使该校付款总金额w最少？ 【答案】(1) (2)甲种跳绳40根、乙种跳绳60根 【分析】本题考查一函数的应用，掌握待定系数法求函数表达式的方法及一次函数的增减性是解题的关键． （1）利用待定系数法求解，并写成分段函数的形式即可； （2）设购买甲种跳绳m根，则购买乙种跳绳根，根据题意，得，根据m的取值范围分别将（1）中得到的函数关系式代入，根据一次函数的增减性和m的取值范围，分别确定当m取何值时w的值最小，求出最小值及对应的的值，比较两个w的最小值，取w最小值中较小的那个对应的m及值即可． 【详解】（1）当时，设y与x之间的函数关系式为（为常数，且）． 将坐标代入， 得， 解得， ； 当时，设y与x之间的函数关系式为（为常数，且）． 将坐标和代入， 得， 解得， ． 综上，y与x之间的函数关系式为． （2）设购买甲种跳绳m根，则购买乙种跳绳根， 根据题意，得． 当时，， ， 随m的减小而减小， ， 当时，w取最小值，，此时购买乙种跳绳（根）； 当时，， ， 随m的增大而减小， ， 当时，w取最小值，，此时购买乙种跳绳（根）． ， 购买甲种跳绳40根、乙种跳绳60根才能使该校付款总金额w最少． 2．（24-25八年级下·内蒙古通辽·期末）王叔叔准备将一块面积为亩的土地全部种植甲，乙两种农作物，甲种农作物的种子成本元与其种植面积亩的函数关系如图所示，其中，乙种农作物的种子成本为每亩元． (1)求与的函数解析式； (2)若甲种农作物的种植面积不超过乙种农作物种植面积的倍，王叔叔应该如何分配两种农作物的种植面积才能使两种农作物种子的总成本最少？并求出该费用． 【答案】(1) (2)当甲种农作物的种植亩，乙种农作物的种植亩时才能使两种农作物种子的总成本最少，该费用为元 【分析】本题考查一次函数的应用，解答本题的关键是明确题意，求出相应的函数解析式，利用一次函数的性质求最值． （1）根据函数图象中的数据，可以计算出与的函数解析式； （2）根据题意，可以写出总的成本与甲种农作物种植面积的函数关系式，再根据甲种农作物的种植面积不超过乙种农作物种植面积的倍，可以求得甲种农作物种植面积的取值范围，最后根据一次函数的性质，可以求得最低费用及此时如何分配两种农作物的种植面积． 【详解】（1）解：设与的函数解析式为， 点，在该函数图象上， ， 解得， 即与的函数解析式为； （2）解：设甲种农作物的种植面积为亩，则乙种农作物的种植面积为亩，总的成本为元， 由题意可得，， 随的增大而减小， 甲种农作物的种植面积不超过乙种农作物种植面积的倍， ， 解得， 当时，取得最小值，此时，， 答：当甲种农作物的种植亩，乙种农作物的种植亩时才能使两种农作物种子的总成本最少，该费用为元． 3．（2025·辽宁·一模）某蔬菜种植基地计划将其中的土地全部种植甲、乙两种有机蔬菜．经调查发现，甲种蔬菜的种植成本（元/）与其种植面积的函数关系如图所示，其中甲种蔬菜种植面积为，乙种蔬菜的种植成本为元． (1)当甲种蔬菜的种植成本为元，求它的种植面积； (2)如何分配两种蔬菜的种植面积，使甲、乙两种蔬菜的总种植成本为元． 【答案】(1)它的种植面积； (2)当甲种蔬菜种植，乙种蔬菜种植或甲种蔬菜种植，乙种蔬菜种植总种植成本为元． 【分析】本题考查了一次函数，一元二次方程，一元一次方程的应用等知识，掌握知识点的应用是解题的关键 （）当时，求出与之间的关系式为，当元时，，求出即可； （）由题意得甲种蔬菜的种植面积为，乙种蔬菜的种植面积为，然后分当 时和当时，然后解方程即可． 【详解】（1）解：当时，设与之间的关系式为， 把，代入得， ，解得：， ∴与之间的关系式为， 当元时，，解得：， ∴它的种植面积； （2）解：∵甲种蔬菜的种植面积为， ∴乙种蔬菜的种植面积为， 当时， 根据题意，得， 解得，， 当时，；当时，； 当， 根据题意，得， 解得，不符合题意，舍去， 答：当甲种蔬菜种植，乙种蔬菜种植或甲种蔬菜种植，乙种蔬菜种植总种植成本为元． 题型06 体积问题 典｜例｜精｜析 例6．（23-24八年级上·广东佛山·期中）受《乌鸦喝水》故事的启发，利用水桶和体积相同的小球进行了如图操作： (1)已知放入小球后量筒中水面的高度是放入小球个数(个)的一次函数，从图中可以看出函数经过点与点，试确定该函数表达式； (2)当水桶中至少放入_______个小球时，有水溢出． 【答案】(1) (2)10 【分析】本题主要考查一次函数实际应用问题，综合考查同学们识图能力、处理信息能力、待定系数法以及函数所反映的对应与变化思想的应用． （1）利用待定系数法即可得到y与x的一次函数关系式； （2）根据（1）可以得出，再进行求解即可得出答案． 【详解】（1）设， 把，，代入得：， 解得， 即； （2）由， 得， 即至少放入个小球时有水溢出． 变｜式｜巩｜固 1．（23-24八年级上·江苏连云港·期末）如图1是甲、乙两个圆柱形水槽的横截面示意图，乙槽中有一圆柱形铁块立放其中（圆柱形铁块的下底面完全落在水槽底面上），现将甲槽中的水匀速注入乙槽，甲、乙两个水槽中水的深度（厘米）与注水时间（分钟）之间的关系如图2所示，根据图象提供的信息，解答下列问题： (1)图2中折线表示 槽中水的深度与注水时间之间的关系，线段表示 槽中水的深度与注水时间之间的关系；（以上两空选填“甲”或“乙”） (2)点的纵坐标表示的实际意义是 ； (3)注水多长时间时，甲、乙两个水槽中的水的深度相同？ (4)若乙槽底面积为36平方厘米（壁厚不计），求乙槽中铁块的体积． 【答案】(1)乙，甲； (2)乙槽中铁块的高度为14厘米； (3)注水2分钟； (4)84立方厘米． 【分析】本题考查的是用一次函数解决实际问题．解题时注意应用一次函数的性质，理解图象的实际意义． （1）根据题目中甲槽向乙槽注水可以得到折线是乙槽中水的深度与注水时间之间的关系，相应的线段表示表示的意义可求； （2）点B表示的实际意义是乙槽内液面恰好与圆柱形铁块顶端相平； （3）分别求出两个水槽中y与x的函数关系式，令y相等即可得到水位相等的时间； （4）用水槽的体积减去水槽中水的体积即可得到铁块的体积． 【详解】（1）图2中折线表示乙槽中水的深度与注水时间之间的关系，线段表示甲槽中水的深度与注水时间之间的关系． 故答案为：乙，甲； （2）由图象可知，水面上升到与铁块上面重合后，水面上升的速度发生变化，故到点B的纵坐标表示的实际意义是乙槽中铁块的高度为14厘米． 故答案为：乙槽中铁块的高度为14厘米； （3）设线段、的解析式分别为：， ， ∵经过点和，DE经过和 ，解得， ，解得， ∴解析式为，解析式为， 令， 解得， ∴注水2分钟时，甲、乙两个水槽中水的深度相同； （4）若乙槽中没有铁块，则乙槽水位上升高度为厘米， ∴乙槽中铁块体积为立方厘米． 2．（22-23八年级上·江苏盐城·阶段检测）聪明的你一定知道乌鸦喝水的故事吧！如图一个紧口瓶中盛有一些水，乌鸦想喝，但是嘴够不到瓶中的水．于是乌鸦衔来一些小石子放入瓶中，瓶中水面的高度随着石子的增多而上升，乌鸦喝到了水．但是还没解渴，瓶中的水面就下降到乌鸦够不着的高度．乌鸦只好再去衔些石子放入瓶中，水面又上升，乌鸦终于喝足了水，呱呱地飞走了． (1)如果设衔入瓶中的石子的体积为x，瓶中的水面的高度为y，下面能大致表示上面故事情节的图象是（）； A．B．C．D． (2)小明受到这个故事的启发，利用量筒和若干个体积相同的小球进行了如下操作．请根据图中所给出的信息，解答下列问题： a.放入一个小球后，量筒中的水面升高多少cm； b.求放入小球后，量筒中水面高度y与小球的个数之间的一次函数关系式. c.量筒中至少放入几个小球时有水溢出？ 【答案】(1)C (2)2，，15 【分析】（1）根据瓶子的形状，瓶中水位上升速度应该是：快-慢-快-直线上升； （2）根据中间量筒可知，放入一个小球后，量筒中的水面升高，由此可列出量筒中水面高度y与小球的个数之间的一次函数关系式；列不等式可求有水溢出量筒中小球的最少个数． 【详解】（1）由容器的形状可知，水位上升速度应该是：快-慢-快-直线上升， 故选C； （2）a.2； b.无小球时，水位每增加一个小球，水位上升，故函数关系式为：， c.解不等式：，得，故至少放入11个小球时会溢出． 【点睛】本题考查了一次函数的应用，读懂题意图意，找到相应的变化规律，是解决本题的关键． 3．（22-23八年级上·江苏苏州·阶段检测）如图①，、两个圆柱形容器放置在同一水平桌面上，开始时容器中盛满水，容器中盛有高度为的水，容器下方装有一只水龙头，容器向容器匀速注水．设时间为，容器、中的水位高度、与时间之间的部分函数图像如图②所示．根据图中数据解答下列问题： (1)容器向容器注水的速度为__________（结果保留）； 容器的底面直径___________；（提示：圆柱体积=圆柱的底面积×圆柱的高） (2)当容器注满水后，容器停止向容器注水，同时开启容器的水龙头进行放水，放水速度为．请在图②中画出容器中水位高度与时间的函数图像，并说明理由； (3)当容器注满水后，容器继续向容器注水，同时开启容器的水龙头进行放水，放水速度为，直至容器、水位高度相同时，立即停止放水和注水，求容器向容器全程注水时间． 【答案】(1)； (2)作图见解析；理由见解析 (3)秒 【分析】（1）根据题意可知，注水速度注水体积注水时间，圆柱体积圆柱的底面积圆柱的高，代入公式求解即可； （2）根据题意，放水时间放水体积放水速度，求出时间补全图像； （3）根据题意，圆柱的高圆柱体积圆柱的底面积，代入公式求解． 【详解】（1）解：由图像可知，4秒内容器内水的高度下降了，由，则注水速度， 由图像可知，4秒内容器内水的高度上升了，从而得到容器增加的水的体积等于容器减少的水的体积，则， ，解得； （2）解：由（1）知，前4秒内容器注入水的体积为，得到注满后容器中水的总体积为， 放水速度为， 放空所需要的时间为：（秒， 作出图像如下： （3）解：由图知，将容器注满水用时，设直至容器、水位高度相同时，从容器开始放水的时间为， 根据题意，容器开始装水体积为，注满容器用了水的体积为， 由（1）知，容器向容器注水速度为， 容器在放水过程中，剩余的水量， 由（1）知，容器住满水的总体积为，放水速度为， 容器在放水过程中，剩余的水量， 当容器、水位高度相同时，即，解得， 当容器、水位高度相同时，容器向容器全程注水时间为秒． 【点睛】本题考查了一次函数与注水的相关问题，熟记注水速度注水体积注水时间、圆柱体积圆柱的底面积圆柱的高，读懂题意，灵活运用公式是解题的关键． 题型07 最大利润问题 典｜例｜精｜析 例7．（25-26八年级上·江苏扬州·期末）随着中小学“每天一节体育课”活动的开展，充分激发了同学们的运动热情．某商家抓住了体育用品需求量激增的商机，采购了一批篮球和足球共100个，两种球的进价与售价如下表所示．设采购个篮球，获得的总利润为元． 品名 厂家批发价元/个 商场零售价元/个 篮球 120 145 足球 100 120 (1)求总利润与的函数关系式； (2)若该商家采购的篮球个数不超过足球个数，则该商家应如何进货才能获得最大利润？最大利润是多少元？ 【答案】(1) (2)采购篮球50个，足球50个，该商家能获得最大利润，最大利润是2250元 【分析】本题考查了一次函数的应用，不等式的应用，正确掌握相关性质内容是解题的关键． （1）理解题意，采购个篮球，则采购个足球，结合两种球的进价与售价表进行列式计算，即可作答． （2）先根据该商家采购的篮球个数不超过足球个数，得出，再结合，则随的增大而增大，故把代入，得，即可作答． 【详解】（1）解：依题意，采购个篮球，则采购个足球， ∴． （2）解：∵该商家采购的篮球个数不超过足球个数， ∴， 解得， 由（1）得， ∵， ∴随的增大而增大， 故把代入，得． ∴采购篮球50个，足球50个，该商家能获得最大利润，最大利润是2250元． 变｜式｜巩｜固 1．（25-26八年级上·江苏盐城·期末）根据以下素材，探索完成任务. 如何设计采购方案？ 素材1 宋曹是明末清初时期的大书法家，字彬臣，又字臣，号射陵，盐城郊区北宋庄人，工书能文，对书法造诣很深．宋曹故居纪念馆位于江苏省盐城市儒学街4号，为了能更好地宣传优秀传统文化以及宋曹的书法，文创商店近期推出了许多新的文创产品，有宋曹书法手袋、宋曹书签、宋曹书法贴纸等． 素材2 小明在本店购买了3套书签和4套贴纸，一共花费了110元； 小丽在本店购买了5套书签和2套贴纸，一共花费了90元． 问题解决 任务1 确定单价 求购买1套书签和1套贴纸分别需要多少元？ 任务2 探究函数关系 临近期末考试，数学王老师打算提前给学生准备奖品，他准备同时购买书签和贴纸两种商品共20套．设数学王老师准备购买书签x套，总费用为y元，请你求出y与x的函数关系式． 任务3 拟定购买方案 现要求贴纸的数量不少于13套，应该怎样选择购买方案，才能使总费用最低？总费用最低是多少元？ 【答案】（1）购买1套书签10元，1套贴纸20元 （2） （3）购买书签7套，贴纸套，总费用最低，总费用最低是330元 【分析】本题主要考查了列二元一次方程组解决实际问题，求函数关系式，求函数最值，解题的关键是理解题意，列出方程组及函数关系式． （1）设购买1套书签元，1套贴纸元，根据购买方式列出方程组进行求解即可； （2）设数学王老师准备购买书签x套，则购买贴纸为套，根据题意列出函数关系式即可； （3）根据题意列出不等式求解，然后根据函数关系式求出最值即可． 【详解】解：（1）设购买1套书签元，1套贴纸元，根据题意得， 解得 ∴购买1套书签10元，1套贴纸20元； （2）设数学王老师准备购买书签x套，则购买贴纸为套， ∴总费用为元； （3）根据题意得，， 解得， ∵， ∴随的增大而减小， ∴当时，的值最小，最小值为（元）， ∴购买书签7套，贴纸套，总费用最低，总费用最低是330元． 2．（25-26八年级上·江苏连云港·期末）某公司销售A型和B型两种电脑，其中A型电脑每台利润为400元，B型电脑每台利润为500元．该公司计划一次性购进这两种型号的电脑共100台，其中B型电脑的进货量不超过A型电脑的3倍，设购进A型电脑x台，这100台电脑的销售总利润为y元． (1)求y关于x的函数关系式； (2)该商店购进A型、B型电脑各多少台，才能使销售总利润最大，最大利润是多少？ (3)实际进货时，厂家对A型电脑出厂价下调元，若该公司保持这两种型号电脑的售价不变，并且无论该公司如何进货这100台电脑的销售利润均为定值，则a的值为_______． 【答案】(1) (2)该公司购进A型25台、B型电脑75台，才能使销售总利润最大，最大利润是47500元 (3)100 【分析】本题主要考查一次函数的运用． （1）设购进A型电脑x台，则购进B型电脑台，根据题目数量关系列式即可； （2）根据一次函数图象的性质求解即可； （3）根据题意得到，根据这100台电脑的销售利润不变，得到，由此即可求解． 【详解】（1）解：该公司计划一次性购进这两种型号的电脑共100台，设购进A型电脑x台，则购进B型电脑台， ∴； （2）解：∵， ∴， ∵中， ∴y随x的增大而减小， ∵x为整数， ∴时，y取得最大值，最大值为47500， 答：该公司购进A型25台、B型电脑75台，才能使销售总利润最大，最大利润是47500元； （3）解：据题意得，，即， 当时，无论该公司如何进货这100台电脑的销售利润不变． 故答案为：100． 3．（25-26八年级上·江苏无锡·阶段检测）某商店计划购进甲、乙两种商品．若购进20个甲种商品和10个乙种商品，共需要资金2800元；若购进15个甲种商品和20个乙种商品，共需要资金3600元． (1)求甲、乙两种商品的进货单价分别为多少元？ (2)某单位计划到该商店购进甲、乙两种商品共200个，且购进甲种商品的数量不少于乙种商品数量的2倍．商店给予该单位一定的价格优惠，优惠措施如下表所示： 标价 优惠措施 甲种商品 100 9折出售 乙种商品 150 每个优惠元 设该单位购进甲种商品个，商店共获利元． ①若，请求出此时与之间的函数表达式，并求出商店能获得的最大利润； ②商店业务员小王发现，在这笔交易中，无论单位采取何种购买方案，商店获得的利润始终保持不变，求的值． 【答案】(1)甲种商品的进货单价为元，乙种商品的进货单价为元； (2)①（且为正整数），商店能获得的最大利润为元；②时，商店获得的利润始终保持不变． 【分析】本题考查二元一次方程组的实际应用，一元一次不等式的应用，一次函数的实际应用，正确理解题意是解题的关键． （1）设甲种商品的进货单价为元，乙种商品的进货单价为元，根据购进20个甲种商品和10个乙种商品，共需要资金2800元；购进15个甲种商品和20个乙种商品，共需要资金3600元，建立二元一次方程组，求解即可； （2）①设该单位购进甲种商品个，商店共获利元，则该单位购进乙种商品个，根据购进甲种商品的数量不少于乙种商品数量的2倍，建立关于x的一元一次不等式，求出x的范围，再根据总的利润甲商品的利润乙商品的利润即可得到与之间的函数表达式，最后利用一次函数的性质结合即可求解；②根据①中与之间的函数表达式，令即可解答． 【详解】（1）解：设甲种商品的进货单价为元，乙种商品的进货单价为元， 根据题意得， 解得， 答：甲种商品的进货单价为元，乙种商品的进货单价为元； （2）解：①设该单位购进甲种商品个，商店共获利元，则该单位购进乙种商品个， 根据题意，得， 解得， ∵为正整数， ∴（为正整数）， ∵，且， ∴（且为正整数）， ∵，随的增大而减小， ∴当时，有最大值，则商店能获得的最大利润为元； ②由①知， 当时，即时，为定值， 答：时，商店获得的利润始终保持不变． 题型08 阶梯计费问题 典｜例｜精｜析 例8．（25-26八年级上·江苏泰州·期末）小明使用出行软件打车回家的行程详情如图（1）所示，爱动脑筋的小明查看了计价规则，如图（2）所示．他发现，在不考虑其他因素的情况下，在其打车的时间段（），3公里以内（含3公里）的起步价为元；超过3公里的部分，按元/公里的标准收取里程费． (1)当行程超过3公里时，判断实际打车费用y元是否是里程x公里的函数，并用含x的代数式表示y； (2)如图（1）所示，小明此次行程的实际路线为公里，那么打车费用是多少元？ 【答案】(1)y是x的函数， (2)元 【分析】本题考查一次函数的实际应用，正确列出函数关系式是解题的关键． （1）根据题意，得，化简为即可求解； （2）根据题意，当时，代入计算即可求解． 【详解】（1）解：由题可得，当里程x超过3公里时，其中3公里以内（含3公里）的起步价为元；超过3公里的部分里程为公里，费用为元， 则实际打车费用，即， 对于每一个超过3公里的x值，都有唯一的y值与之对应， y是x的函数，； （2）当时，， 则打车费用是元． 变｜式｜巩｜固 1．（25-26八年级上·江苏南京·期末）某地出租车计费标准如下：当里程不超过时，均按起步价元收费；当里程超过时，超过部分按元收费．某乘客乘坐出租车时，观察到一些时刻的车费与行驶里程之间的关系如下表： 行驶里程 3 5 7 车费（元） 11 17 23 设行驶里程为，出租车的车费为元，是的一次函数． (1)________，________； (2)求与之间的函数表达式； (3)若某乘客一次乘坐出租车的行驶里程为，求这位乘客需付的车费． 【答案】(1)11，3 (2) (3)乘客需付车费50元 【分析】本题考查一次函数的实际应用，正确的列出函数关系式是解题的关键： （1）根据题意结合表格信息，得到，，即可得出结果； （2）根据收费方式得到，把（1）中的数值代入即可； （3）求出时的函数值即可． 【详解】（1）解：由题意，时，； 当时，，解得； 故答案为：11，3； （2）解：由（1）可知：； （3）解：∵， ∴当时，． 答：当行驶里程为时，该乘客需付车费50元． 2．（25-26八年级上·四川成都·期中）为了保护资源节约用水，我校八年级数学小组设计居民用水实行“阶梯水价”计费方法，如下表： 每户每月用水量 水价 不超过 2.5元/ 超过但不超过的部分 5元/ 超过的部分 8元/ (1)A户居民本月用水量为，求户居民本月的水费为多少元． (2)设每户每月用水量为，水费为元，求关于的函数关系式． (3)若户居民本月的水费为元．求户居民本月用水量． 【答案】(1)元； (2)当时，；当时，；当时，； (3)． 【分析】本题主要考查了分段函数的实际应用，熟练掌握分段计费的计算逻辑、分情况列函数关系式是解题的关键． （1）将拆分为和超过的，分别按对应水价计算后求和． （2）分三段讨论的范围（不超过、到之间、超过），分别列出对应的函数关系式． （3）先判断元所在的计费段，再代入对应函数关系式求解． 【详解】（1）解：， 答：户居民本月的水费为元； （2）解：当时，； 当时， ； 当时， ； （3）解：先计算各段最大水费： 时，元； 时，元． 因，代入，得， 解得． 答：户居民本月用水量为． 3．（25-26八年级上·江西吉安·期中）某公司招聘外卖送餐员为居家办公的人员进行送餐服务，送餐员的月工资由底薪1500元加上外卖送单补贴（送一次外卖为一单）构成，外卖送单补贴的具体方案如下： 外卖送单数量 补贴（元/单） 每月不超过500单 3.5 超过500单但不超过900单的部分 5 超过900单的部分 8 (1)若某外卖小哥9月份送餐400单，则他这个月的工资总额为多少元？ (2)设某外卖小哥10月份送餐单，所得工资元，请写出与的函数关系式． (3)若某外卖小哥11月份的工资总额为5650元，那么他11月份外卖送餐多少单？ 【答案】(1)他这个月的工资总额为2900元 (2)当时，；当时， (3)他11月份外卖送餐950单 【分析】本题主要考查了一次函数的应用，解题的关键是理解题意，函数关系式． （1）根据题意，列出算式求解即可； （2）分两种情况进行列出函数关系式即可； （3）先确定他11月份送餐单数超过900单，再利用（2）中函数解析式求解． 【详解】（1）解：（元）. 答：他这个月的工资总额为2900元； （2）解：当时， ； 当时， ； （3）解：（元），（元）； 元元 他11月份送餐单数超过900单，即； ，解得 他11月份外卖送餐950单． 题型09 方案选择问题 典｜例｜精｜析 例9．（24-25八年级上·江苏盐城·期末）某化妆品公司每月付给销售人员的薪酬有两种方案． 方案一：没有底薪，只拿销售提成； 方案二：底薪加销售提成． 设（件）是销售商品的数量，（元）是销售人员的月薪酬．如图所示，为方案一的函数图象，为方案二的函数图象．根据图中信息解答如下问题： (1)方案二中每月付给销售人员的底薪是______元； (2)求，图象的函数解析式； (3)小丽应选择哪种薪酬方案，才能使月工资更多？ 【答案】(1)600 (2)的解析式为，的解析式为 (3)当销售数量件时选方案一，时两种方案均可，件时选方案二 【分析】本题主要考查了一次函数的应用，熟练掌握待定系数法求一次函数的解析式，一次函数的图象和性质，一次函数与方程的关系，一次函数与不等式的关系，是解题的关键． （1）依据题意，结合函数的图象可得，当销售数量时，薪酬y即为底薪，结合函数的图象可以判断得解； （2）依据题意，结合函数的图象通过待定系数法计算可以得解； （3）依据题意，结合（2）得，的解析式为：，的解析式为，从而分三种情况分析可以判断得解． 【详解】（1）解：由题意，结合函数的图象可得，当销售数量时，薪酬y即为底薪， 又由的图象可知，时， 方案二的底薪是600元． 故答案为：600； （2）解：由题意，设的解析式为， 图象过点， 的解析式为： 又设的解析式为， 图象过点，， ，且 的解析式为 （3）解：由题意，结合（2）得，的解析式为：，的解析式为 当，即时，方案一工资更多； 当，即时，两种方案工资相同； 当，即时，方案二工资更多． 变｜式｜巩｜固 1．（25-26八年级上·全国·课后作业）时光旅行社以沉浸式体验中华传统服饰文化为目标，让游客拥有更好的游玩体验．该旅行社现计划租用一批汉服供游客使用，长安汉服体验馆推出两种租用方案，具体如下： 方案一：不办理年卡，每件按原价收取租金； 方案二：若办理年卡（从购买日起，可持年卡使用一年），则每件汉服租金在原价的基础上打八折优惠，年卡每张480元． 方案一的租金（元），方案二的租金（元）与租用件数x（件）之间的函数关系如图所示． (1)长安汉服体验馆每件汉服租金的原价是多少元？ (2)若该旅行社今年的租金预算是4800元，则选择哪种优惠方式更合算？ 【答案】(1)长安汉服体验馆每件汉服租金的原价是120元 (2)若该旅行社今年的租金预算是4800元，则选择方案二更合算 【分析】本题考查了求一次函数的解析式，一次函数的运用，解答时求出一次函数的解析式是关键． （1）根据方案一、方案二两店的租用方式即可用x式表示和的函数解析式，再根据当时，求出即可解答； （2）根据（1）中关系式将分别代入即可求解． 【详解】（1）解：设长安汉服体验馆每件汉服租金的原价是元， 由题意，得， 因为当时，， 所以，解得， 所以长安汉服体验馆每件汉服租金的原价是120元． （2）解：由（1）可得，方案一所需的总费用与之间的函数关系式为； 方案二所需的总费用与之间的函数关系式为， 将代入，解得； 将代入，解得． 因为， 所以若该旅行社今年的租金预算是4800元，则选择方案二更合算． 2．（2024·陕西咸阳·模拟预测）周末，张洋去某杨梅园摘杨梅，已知该杨梅园内的杨梅单价是每千克40元．为满足客户需求，该杨梅园现推出两种不同的销售方案： 甲方案：游客进园需购买30元的门票，采摘的杨梅按原价的七折收费； 乙方案：游客进园不需购买门票，采摘的杨梅在10千克以内按原价收费、超过10千克后，10千克部分按原价收费，超过部分按原价的五折收费． 设张洋的采摘量为千克，按甲方案所需总费用为元，按乙方案所需总费用为元． (1)当采摘量超过10千克时，分别求出、关于x的函数表达式； (2)若张洋的采摘量为30千克，选择哪种方案更划算?请说明理由． 【答案】(1)， (2) 解：选择乙方案更划算 理由：当时， ， ． ∵， ∴选择乙方案更划算． 【分析】本题考查了一次函数在实际问题中的应用，正确求出一次函数的解析式是解题关键． （1）根据甲、乙收费方案即可求解； （2）令，分别求出，，即可进行判断． 【详解】（1）解：由题意得：， ； （2）略 3．（24-25八年级上·全国·期末）某校为落实西宁市教育局“教育信息化行动计划”，搭建数字化校园平台，需要购买一批电子白板和平板电脑，若购买台电子白板和台平板电脑共需万元；购买3台电子白板和4 台平板电脑共需万元． (1)求电子白板和平板电脑的单价各是多少万元？ (2)结合学校实际，该校准备购买电子白板和平板电脑共台，其中电子白板不超过台，某商家给出了两种优惠方案，方案一：电子白板和平板电脑均打九折；方案二：买台电子白板，送台平板电脑．若购买电子白板台和平板电脑所需的费用为（万元），请根据两种优惠方案分别写出关于的函数表达式，并分析该校应选用哪种优惠方案购买更省钱． 【答案】(1)电子白板的单价是万元，平板电脑的单价是万元； (2)当时，方案一更省钱；当时，两种方案花费一样；当时，方案二更省钱． 【分析】本题考查了二元一次方程组的应用、一次函数的应用，解答的关键是根据题意找出等量关系列出方程组或一次函数表达式，用分类讨论的方法确定优惠方案． （1）根据题意，列出相应的二元一次方程组，从而可以求得电子白板和平板电脑的单价各是多少万元； （2）根据题意，分别写出两种方案下，关于的函数关系式，再利用分类讨论的方法可以得到该校应选用哪种优惠方案购买更省钱． 【详解】（1）解：设购买电子白板的单价为x万元，平板电脑的单价是y万元， ， 解得： ， 答：电子白板的单价是万元，平板电脑的单价是万元； （2）由题意可得，方案一∶关于的函数表达式为∶， 方案二∶关于a的函数表达式为∶， 当时，得，即当时，选择方案一； 当时，得，即当时，方案一和方案二花费一样多； 当，得，即当时，选择方案二； 综上所述，当时，方案一更省钱，当时，两种方案花费一样，当时，方案二更省钱． 题型10 新考法问题 典｜例｜精｜析 例10．（辽宁省锦州市2025--2026学年上学期八年级1月期末数学试卷）为了加强劳动教育，落实五育并举，某中学在校园内建成了如图所示的一块三角形的劳动实践基地，并邀请数学兴趣小组的同学们将其全部种植甲、乙两种蔬菜．同学们经过测量与调查，得到如下信息： 信息1：； 信息2：甲种蔬菜的种植成本为每平方米30元； 信息3：乙种蔬菜的种植成本（单位：元）与种植面积（单位：平方米）的关系如下表所示，其中； /平方米 10 20 30 40 50 /元 420 660 900 1140 1380 根据以上信息，请帮助该小组的同学们完成下列任务： (1)求该校劳动实践基地的面积； (2)求乙种蔬菜的种植成本与种植面积之间的函数关系式； (3)设甲、乙两种蔬菜的总种植成本为元，如何分配两种蔬菜的种植面积，才能使最小？并求出的最小值． 【答案】(1) (2) (3)当甲种蔬菜的种植面积为，乙种蔬菜的种植面积为时，才能使最小，的最小值为1680元 【分析】本题考查了勾股定理的逆定理、一次函数的应用，熟练掌握一次函数的性质是解题关键． （1）先根据勾股定理的逆定理可得是直角三角形，且，再根据三角形的面积公式计算即可得； （2）先根据表格可得与之间满足一次函数关系，再利用待定系数法求解即可得； （3）设乙种蔬菜的种植面积为，则甲种蔬菜的种植面积为，先结合（2）的结论，建立与之间的函数关系式，再利用一次函数的性质求解即可得． 【详解】（1）解：∵在中，，，， ∴， ∴是直角三角形，且， ∴的面积为， 答：该校劳动实践基地的面积为． （2）解：由表格可知，自变量每增加10，函数值就增加240，函数值的变化是均匀的， ∴与之间满足一次函数关系， 设， 将点，代入得：，解得， ∴． （3）解：设乙种蔬菜的种植面积为，则甲种蔬菜的种植面积为， 由题意得：， 由一次函数的性质可知，在内，随的增大而减小， ∴当时，的值最小，最小值为， 此时， 答：当甲种蔬菜的种植面积为，乙种蔬菜的种植面积为时，才能使最小，的最小值为1680元． 变｜式｜巩｜固 1．（2025-2026学年八年级（上）期末数学样卷）【现实背景】无人机以技术、生态与安全优势推动低空经济产业化． 【实验操作】为了解无人机的电池需要多久能充满，以及充满电量状态下无人机使用的最大时长，某校综合实践小组以一款无人机的某个系列为研究对象，设计了两组实验：实验一：通过实验数据观察，发现电池充电量占电池满电量的百分比与时间（分钟）存在正比例函数关系，图象如图所示： 时间（分钟） 剩余电量占电池满电量的百分比 实验二：探究充满电的状态下，无人机的剩余电量占电池满电量的百分比与使用时间（分钟）的关系，记录相关数据如上表． 【建立模型】 结合实验一和实验二，关于的函数表达式为________，关于的函数表达式为________； 【解决问题】 （）无人机在充满电后连续使用了分钟，求此时剩余电量占电池满电量的百分比； （）在（）的条件下，将该无人机充电，需要充电多长时间才能充满? 【答案】【建立模型】，，【解决问题】（）；（）分钟 【分析】建立模型：设，利用待定系数法可求出正比例函数关系，又根据表格可知，时间每增加分钟，剩余电量占电池满电量的百分比减小，进而可求出关于的函数表达式； 解决问题：（）把代入关于的函数表达式求出的值即可求解； （）把代入关于的函数表达式求出的值即可求解； 本题考查了一次函数的应用，理解题意是解题的关键． 【详解】解：建立模型：设，把代入得，， 解得， ∴， 由表格可知，时间每增加分钟，剩余电量占电池满电量的百分比减小， ∴， 故答案为：，； 解决问题：（）当时，， ∴此时剩余电量占电池满电量的百分比为； （）把代入，得， 解得， 答：需要充电分钟才能充满． 2．（江苏省泰州市泰兴市2025—2026秋学期八年级上册数学期末试卷）综合与实践：杆秤中的数学 背景 杆秤，是中国人发明的人类最早的衡器，它凝聚了古代劳动人民的智慧，你知道杆秤中隐含的数学原理吗？ 素材1 杆秤称物符合杠杆原理：如图1，要使杆秤平衡，杆秤左端物体的质量M、左端物体到秤纽O（即杆秤的支点）的水平距离与右端秤砣的质量m、秤砣到秤纽的水平距离满足等式：．    素材2 如图2，利用杆秤称重时，当秤盘所托重物为（不包括秤盘的质量）时，秤砣到秤纽的水平距离为，根据杠杆平衡原理可得y是关于x的一次函数．    素材3 为了便捷的利用杆秤称重，需在杆秤上标记分布均匀的刻线来刻画刻度与重物质量的对应关系，其制作过程如下： （1）标记零刻线：当秤盘不放重物时，移动秤砣，直至杆秤平衡，标出零刻线； （2）标记末刻线：当秤盘放入杆秤允许的最大质量（即杆秤的最大量程）重物时，移动秤砣，直至杆秤平衡，标出末刻线； （3）标记计量刻线：量出零刻线与末刻线之间的距离，将零刻线与末刻线之间的距离等间距分割成10大格，每大格再等间距分割成10小格． 小明根据素材3制作了最大量程为的杆秤，若干次称重时所记录的一些数据如下表所示： 25 50 75 100 3 4 (1)若称一重物时的读数为5大格3小格，则此时称得的重物的质量为_________； (2)求y关于x的函数表达式； (3)求此杆秤的每小格的长度． 【答案】(1)530 (2) (3) 【分析】（1）根据题意，每个大格表示的质量为，每一小格表示的质量为，根据重物时的读数为5大格3小格，计算解答即可； （2）利用待定系数法解答即可； （3）根据题意，得． 【详解】（1）解：根据题意，每个大格表示的质量为，每一小格表示的质量为， 由称重物时的读数为5大格3小格，故其质量为； （2）解：设y关于x的函数表达式为（） 将和分别代入得：解得 y关于x的函数表达式为； （3）解：令，，令， 每小格的长度为：． 3．（江苏盐城市亭湖区2025-2026学年第一学期期末考试八年级数学试题）绿波带交通控制方案问题 绿波带是这样一段路：车辆以特定范围匀速行驶时，能连续通过多个绿灯． 如图1，在某段道路上依次有A、B、C、D 四个路口，路口B、C、D和路口A的距离分别为1200米、2100米、3600米． 各路口的交通灯设置及启动时间如下：各路口的绿灯持续30秒，红灯持续30秒，黄灯时长忽略不计，红灯和绿灯依次交替亮起，循环往复．在路口A绿灯亮起10秒后， C、D路口的绿灯同时亮起；A路口的绿灯亮起30秒后路口B的绿灯亮起． 如图2，若汽车在第0秒出发，以“时间”为横轴，“距离”为纵轴，绘制各路口红绿灯时序带（实线段为绿灯时段，虚线段为红灯时段）． (1)CD路口距离 米；在平面直角坐标系中，写出坐标 ； (2)作射线， ①求该射线表示的汽车行驶距离S与行驶时间t的函数关系式； ②通过读图，直接判断该车到达D路口时，路口亮着 （填“红灯”或“绿灯”）； (3)汽车在城市道路安全行驶速度．在（2）的基础上，为了让汽车能绿灯通过D路口，需要在C路口处调整车速，求调整后汽车速度V的取值范围． 【答案】(1)1500； (2)①；②红灯 (3)或 【分析】本题主要考查了线段的和差、平面直角坐标系、一次函数的应用、一元一次不等式的应用等知识点，灵活运用相关知识是解题的关键． （1）直接根据线段的和差以及平面直角坐标系即可解答； （2）①先根据题意画图，再运用待定系数法即可求得函数解析式；②由（1）的结论易得该汽车的行驶速度为，可得当该车到达D路口时，用时，再结合函数图像即可解答； （3）D路口绿灯时段为秒、秒，然后分两种情况并结合安全速度即可解答． 【详解】（1）解：∵路口B、C、D和路口A的距离分别为1200米、2100米、3600米． ∴米，米， ∴米． 由图2可知：的横坐标为，纵坐标为2100，即． 故答案为：1500；． （2）解：①如图： 该射线表示的汽车行驶距离S与行驶时间t的函数关系式，即，解得：， 所以； ②∵， ∴该汽车的行驶速度为， ∴当该车到达D路口时，用时， ∵， ∴直线与的交点位于上，即此时为红灯． （3）解：汽车在第70秒到达C路口，行驶距离米． 为了绿灯通过D路口，需在C路口调整车速，使到达D路口时处于绿灯时段． D路口绿灯时段为秒、秒， 汽车在秒到达C路口，从C到D距离为米． 若要赶上秒的绿灯： 最晚到达时间秒，从C到D用时秒， ∴速度， ∵安全行驶速度：， ∴． 若要赶上秒的绿灯： 最早到达时间秒，从C到D用时秒， ∴速度， ∵安全行驶速度：， ∴． 综上，调整后汽车速度V的取值范围为或． 基础通关 1．（25-26八年级上·贵州贵阳·期末）小张和爷爷去爬山，爷爷先出发一段时间后小张再出发，途中小张追上了爷爷并最终先爬到山顶，两人所爬的高度（米）与小张出发后的时间（分钟）的函数关系如图所示，下列结论错误的是（   ） A．山的高度是720米 B．小张爬山的速度是爷爷爬山的速度的2倍 C．在小张出发30分钟和50分钟时与爷爷相距60米 D．爷爷比小张先出发20分钟 【答案】D 【分析】本题考查了一次函数的实际应用，熟练掌握知识点，准确理解题意是解题的关键．如图可直接判断A；求出小张和爷爷的速度，即可判断B；分两种情况讨论求解即可判断C；求出爷爷全程需要的时间，再减去小张出发后爷爷所用时间，即可判断D． 【详解】解：由题意得，山的高度是720米，故A选项正确； 小张爬山的速度是（米/分）， 爷爷爬山的速度是（米/分）， ∵， ∴小张爬山的速度是爷爷爬山的速度的2倍，故B选项正确； 设在小张出发x分钟时与爷爷相距60米， 小张追上爷爷前， ， 解得； 小张追上爷爷后， ， 解得； ∴在小张出发30分钟和50分钟时与爷爷相距60米，故C选项正确； 爷爷爬山需要的时间为（分）， （分），则爷爷比小张先出发40分钟，故D选项错误； 故选：D． 2．（25-26八年级上·江苏无锡·阶段检测）如图表示的是某公司一种产品天的销售情况，其中图①是该产品日销售量y（件）与日期t（日）的函数图象，图②是该产品单件的销售利润w（元）与日期：t（日）的函数图象．下列结论错误的是（　　） A．第天的销售量为件 B．第天销售一件产品的利润是元 C．第天和第天的日销售利润相等 D．第天的日销售利润高于第天的日销售利润 【答案】C 【分析】本题考查一次函数的应用，掌握相关知识是解决问题的关键．Ａ选项观察第一个函数图像即可判断；判断选项时，求出日销售量y（件）与日期t（日）的函数关系式，再求出该产品单件的销售利润w（元）与日期t（日）的函数关系式，根据题意代入计算进行判断即可． 【详解】解：A、根据图①可得第天的销售量为件， 故此选项正确，不符合题意； B、设当，一件产品的销售利润（单位：元）与时间（单位：天）的函数关系为， 把，代入得：， 解得：， ， 当时，， 故此选项正确，不符合题意； C、当时，设产品日销售量（单位：件）与时间（单位；天）的函数关系为， 把，代入得：， 解得：， ， 当时，日销售利润（元； 当时，日销售利润（元， 第天和第天销售利润不相等， 故此选项错误，符合题意； D、当时，日销售利润（元， 当时，日销售利润（元． 第天的日销售利润高于第天的日销售利润， 故此选项正确，不符合题意． 故选：C． 3．（24-25八年级上·江苏苏州·阶段检测）人工智能的发展使得智能机器人送餐成为时尚．如图，某餐厅的机器人小数和小文从厨房门口出发，准备给相距的客人送餐，小数比小文先出发，且速度保持不变，小文出发一段时间后将速度提高到原来的2倍．设小数行走的时间为，小数和小文行走的路程分别为，，与之间的函数图象如图所示，则下列说法正确的是（    ）． 小数比小文先出发15秒； 小文提速后的速度为； ； 从小数出发至送餐结束，小文和小数最远相距． A． B． C． D． 【答案】C 【分析】从函数图象获取信息．根据图象信息以及路程、速度和时间的关系即可求解． 本题考查了一次函数的应用，看懂图象是解题关键． 【详解】结合图像，小数比小文早出发15秒，故正确； 当时，，当时，， 则小文提速前的速度是， ∵小文出发一段时间后速度提高为原来的2倍， ∴小文提速后速度为，故正确； 故提速后小文行走所用时间为：， ， ， ∴小数的速度为， ，故错误； 当时，小文和小数的距离逐渐增大， 当时达到最大为：， 当时，小文和小数的距离先减小后增大， 当时达到最大为：， 当时，小文和小数的距离逐渐减小到0， ，故正确 则正确， 故选：． 4．（25-26八年级上·江苏扬州·期末）如图是一家公司绘制的销售收入随广告支出增加的变化趋势图，根据趋势图可预测当广告支出为2.5万元时，销售收入是____万元． 【答案】22.5 【分析】本题考查了一次函数的应用，解题的关键是正确根据函数图象求出函数解析式． 设销售收入为万元，广告支出为万元，然后根据函数图象，用待定系数法求解函数解析式即可． 【详解】解：设销售收入为万元，广告支出为万元，由函数图象可设 代入，得， 解得， ∴， 当时，， 故答案为：． 5．（25-26八年级上·江苏无锡·期末）已知从山脚起每升高，气温就下降．若测得山脚处的气温为，当从山脚起上升的高度为，所在位置的气温是，则关于的函数表达式为___________． 【答案】 【分析】本题主要考查了一次函数的实际应用，熟练掌握根据实际问题建立一次函数模型的方法是解题的关键．先根据题意求出每升高的气温下降值，再结合初始气温，推导出气温与高度的函数关系式． 【详解】解：每升高，气温下降， 每升高，气温下降， 升高，气温下降， ， ， ， 故答案为：． 6．（24-25八年级上·山西晋中·期末）如图，在平面直角坐标系中，线段，分别表示1号、2号无人机在队形变换中飞行高度，与飞行时间的函数关系，其中，线段与相交于点，轴于点，点的横坐标为25，则在第_________秒时1号和2号无人机在同一高度． 【答案】 【分析】本题考查一次函数的应用，当时，，求出点的坐标，进而求出的解析式，联立与，求出点的坐标即可得到答案．解题的关键是读懂题意，正确求出函数关系式． 【详解】解：当时，， ∴点的坐标为， 由题意知点的坐标为， 设， 将代入得， ∴， ∴， ∴线段对应的函数表达式为：， 由题意可知，则， 解得：， ∴， ∴点的坐标为， ∴则在第15秒时1号和2号无人机在同一高度，为， 故答案为：15． 7．（25-26八年级上·山东枣庄·阶段检测）如图，杆秤是利用杠杆原理来称物品质量的简易衡器，其秤砣到提钮的水平距离y与所挂物重x之间满足一次函数关系，下表为记录几次数据之后所列表格：若秤砣到提钮的水平距离是，此时挂重物为______． 0 1 2 8 【答案】7 【分析】本题考查了一次函数的应用，正确理解题意是关键．由秤砣到提钮的水平距离y与所挂物重x之间满足一次函数关系，可设函数关系式为，把，代入可求得，即得一次函数的解析式，再令，列方程求解即可． 【详解】解：秤砣到提钮的水平距离y与所挂物重x之间满足一次函数关系， 设一次函数的解析式为， 当时，， ， 解得， 一次函数的解析式为， 当时，， 解得， 所挂物重． 故答案为：7． 8．（24-25八年级下·湖南长沙·期末）某文具商店销售某种文具时，顾客一次购买10件以内的（含10件）按原价付款，超过10件的，超出部分按原价的8折付款．若付款总数（元）与顾客一次购买数量（件）之间的函数关系如图所示，则这件商品每件的原价为______元． 【答案】4 【分析】设这件商品每件的原价为a元，当购买的件数x超过10件时，所付的款数，再根据点在一次函数的图象上得，由此解出a即可得出答案． 此题主要考查了一次函数的应用，理解题意，正确的列出，当购买的件数x超过10件时，所付的款数元与件之间的函数关系，读懂函数的图象，并从函数的图象中获取准确的解题信息是解决问题的关键． 【详解】解：设这件商品每件的原价为a元， 当购买的件数x超过10件时，所付的款数， 整理得：， 根据元与件之间的函数关系可知：点在一次函数的图象上， ， 解得： 答：这件商品每件的原价为4元． 故答案为4． 9．（24-25八年级上·江苏苏州·期末）如图1，底面积为的空长方体容器内水平放置着由两个实心圆柱体组成的“几何体”，现向容器内均匀注水，注满为止，在注水过程中，水面高度与注水时间t之间的关系如图2所示，若“几何体”下方圆柱体的底面积为，则“几何体”上方圆柱体的底面积为__________． 【答案】24 【分析】本题考查了一次函数的应用：把分段函数图象中自变量与对应的函数值转化为实际问题中的数量关系，然后运用方程的思想解决实际问题．根据图象，分三个部分：满过“几何体”下方圆柱需，满过“几何体”上方圆柱需，注满“几何体”上面的空圆柱形容器需，再设匀速注水的水流速度为，根据圆柱的体积公式列方程可得匀速注水的水流速度；根据圆柱的体积公式得，解得，于是得到“几何体”上方圆柱的高为，设“几何体”上方圆柱的底面积为，根据圆柱的体积公式得，再解方程即可． 【详解】解：根据函数图象得到圆柱形容器的高为，两个实心圆柱组成的“几何体”的高度为， 水从刚满过由两个实心圆柱组成的“几何体”到注满用了：， 这段高度为：， 设匀速注水的水流速度为，则， 解得， 即匀速注水的水流速度为； “几何体”下方圆柱的高为，则， 解得， 所以“几何体”上方圆柱的高为， 设“几何体”上方圆柱的底面积为，根据题意得， 解得， 即“几何体”上方圆柱的底面积为． 故答案为：24． 10．（23-24八年级上·江苏南京·期末）电力公司想要估计某种风力发电塔的建造成本和所带来的利润，调查小组提出用如图的公式估计财务营收，其中F（元）为财务营收，x（年）为时间．根据公式，至少需要______年才能收回成本． 【答案】8 【分析】本题考查一次函数的应用．当年发电累计利润与建造风力发电塔的成本正好相等时刚好收回成本，据此作答即可． 【详解】解：根据题意，刚好收回成本时，， 解得， 至少需要8年才能收回成本， 故答案为：8． 素养提升 1．（25-26八年级下·江苏盐城·阶段检测）某商场经营某种品牌的童装，进价为每件70元，根据市场调研，在一段时间内，当童装的销售定价为每件110元时，可售出20件，而每件定价每降低1元，销售量就增加2件． (1)当童装销售定价为每件100元时，销售量为________件； (2)直接写出销售量y（件）与售价x（元/件）的函数关系式为________； (3)为了尽可能地让利于顾客，该童装销售定价为每件多少元时，商场销售该品牌童装可盈利1200元？ 【答案】(1)40 (2) (3)每件元 【分析】（1）根据当童装的销售定价为每件元时，可售出件，而每件定价每降低元，销售量就增加件，列出算式，即可求解； （2）根据题意列出函数关系式，即可求解； （3）根据利润等于单件利润乘以销售数量，列出一元二次方程，解方程，即可求解． 【详解】（1）解：（件） 故答案为：． （2）解：依题意， 故答案为：． （3）解：设童装的销售定价为每件元时，商场销售该品牌童装可盈利元，则， 解得：， 由于要尽可能让利于顾客，故取童装的销售定价为每件元． 答：童装的销售定价为每件元时，商场销售该品牌童装可盈利元． 【点睛】本题考查了一元二次方程的应用，一次函数的应用，根据题意列出函数关系式与方程是解题的关键． 2．（25-26八年级上·江苏镇江·期末）向一个底部长、宽、水深的长方体游泳池注水，水位每小时上升． (1)写出游泳池水深关于注水时间的函数表达式； (2)如果共注水，求y关于x的函数表达式； (3)如果水深时游泳池即可开放使用，那么需往游泳池注水几小时？注水多少？ 【答案】(1) (2) (3)需注水4小时，注水 【分析】此题考查了一次函数的应用，解题的关键是求出表达式． （1）根据题意列出表达式即可； （2）根据注入的水的体积公式列出表达式即可； （3）将代入求出；然后代入求解即可． 【详解】（1）解：∵水深，水位每小时上升 ∴； （2）解：根据题意得，； （3）解：∵ 当时，， 解得； 将代入，得 答：需注水4小时，注水． 3．（25-26八年级上·江苏镇江·期末）A，B两地相距200，甲列车从A地出发，以240的平均速度驶向B地；乙列车在甲列车出发后，从B地出发以320的平均速度驶向A地．如图所示是两列车与A地的距离关于时间的函数图象．请根据图象回答问题： (1)甲列车出发多久后与乙列车相遇？此时距A地多远？ (2)甲列车出发多长时间，两车相距140？ 【答案】(1)甲列车出发后与乙列车相遇，此时距A地 (2)甲列车出发或，两车相距 【分析】本题考查了一次函数与一元一次方程的应用； （1）分别求出甲列车、乙列车出发后，两列车与A地的距离关于时间的关系式，再根据相遇时与A地的距离相等列方程，求出时间，进而可得答案； （2）分类讨论：①相遇前两车相距，②相遇后两车相距，分别列方程求解即可． 【详解】（1）解：由题意得：， ， 令 解得， 此时， 答：甲列车出发后与乙列车相遇，此时距A地； （2）解：①相遇前两车相距， 则， 解得（符合题意）， ②相遇后两车相距， 则， 解得（符合题意）， 答：甲列车出发或，两车相距． 4．（25-26八年级上·江苏宿迁·期末）沐阳快速路全长31公里，在铺设过程中，需将其中某路段，交由工程队承建.有甲、乙两家工程队参与投标，其报价方案如下： 甲工程队：基础费用1000万元（含设备、人员调配等成本)，每公里施工费180万元； 乙工程队：基础费用600万元，每公里施工费220万元． 设施工路段长度公里，甲工程队承建费用为万元，乙工程队承建费用为万元． (1)分别求出，与之间的关系式； (2)当施工路段为多少公里时，甲、乙两个工程队的承建费用相同？ (3)若预算上限为3000万元，则应选哪个工程队，可使施工路段长度更长？请说明理由． 【答案】(1)，； (2)当施工路段为公里时，甲、乙两个工程队的承建费用相同； (3)应选甲工程队，可使施工路段长度更长，理由见解析． 【分析】本题考查一次函数的实际应用，涉及一次函数关系式的建立、一元一次方程的求解和一元一次不等式的应用． （1）根据“总承建费用=基础费用+每公里施工费用×施工路段长度”的数量关系，分别建立甲、乙工程队的费用与路段长度的一次函数关系式； （2）当两队承建费用相同时，令两个函数表达式相等，通过解一元一次方程求出对应路段长度； （3）分别以预算上限为限制条件，列一元一次不等式求出甲、乙两队可施工的最大路段长度，再比较大小确定最优选择． 【详解】（1）解：根据题意，； ； （2）解：当甲、乙两个工程队的承建费用相同时，令，即， 解得； 答：当施工路段为公里时，甲、乙两个工程队的承建费用相同； （3）解：令，则，解得； 令，则，解得； ，，，即， 甲工程队能施工的路段长度更长，应选甲工程队； 答：应选甲工程队，可使施工路段长度更长． 5．（25-26八年级上·江苏盐城·期末）甲、乙两家汽车出租公司收取的租车费y甲（元）、y乙（元）都是行车里程x（千米）的函数，它们的图象如图所示． (1)根据图象回答：当 时，甲、乙两家公司的租车费相等； (2)求y乙与x之间的函数表达式； (3)若丙汽车出租公司收取的租车费为每千米0.5元，另收取一次性管理费2400元．在这三家公司中，你认为在哪家公司租车较好． 【答案】(1)2000 (2)与x之间的函数表达式为 (3)当时，选择甲公司租车较好；当时，选择甲公司或丙公司租车均可；当时，选择丙公司租车较好 【分析】本题考查一次函数的应用，掌握待定系数法求一次函数的关系式及其图像的作法是解题的关键． （1）观察图象直接填空即可； （2）利用待定系数法解答即可； （3）利用待定系数法求出与x之间的函数表达式，根据题意写出丙汽车出租公司收取的租车费与行车里程之间的函数表达式并作出其图象，根据各函数图象即可得出结论． 【详解】（1）解：根据图象可知，当时，甲、乙两家公司的租车费相等； 故答案为：2000； （2）解：将坐标代入中， 得， 解得， ∴与x之间的函数表达式为． （3）解：由题意得，丙汽车出租公司收取的租车费（元）与行车里程x（千米）之间的函数表达式为，其图象如图所示： 将坐标代入，得，解得， ∴与x之间的函数表达式为， 设甲、丙两函数图象得交点坐标为， 则， 解得． ∴甲、丙两函数图象得交点坐标为． 由图象可知，当时，选择甲公司租车较好；当时，选择甲公司或丙公司租车均可；当时，选择丙公司租车较好． 迁移创新 1．（25-26八年级上·江苏盐城·期末）问题背景 新能源汽车多数采用电能作为动力来源，不需要燃烧汽油，这样就减少了二氧化碳等气体的排放，从而达到保护环境的目的． 实验操作 为了解汽车电池需要多久能充满电，以及充满电量状态下电动汽车的最大行驶里程，某综合实践小组设计两组实验． 表1 电池充电状态 时间t（分钟） 0 10 15 40 增加的电量y（%） 0 20 30 80 实验一：探究电池充电状态下电动汽车仪表盘增加的电量y（%）与时间t（分钟）的关系数据记录如表1： 实验二：探究充满电量状态下电动汽车行驶过程中仪表盘显示电量e（%）与行驶里程s（千米）的关系，数据记录如表2： 表2 汽车行驶过程 已行驶里程s（千米） 0 150 200 350 显示电量 e（%） 100 70 60 30 建立模型 （1）观察表1、表2，发现都是一次函数模型，请结合表1、表2的数据，求出y关于t的函数表达式及e关于s的函数表达式．（不需要写出自变量的取值范围） 解决问题 （2）某电动汽车在充满电量的状态下出发，前往距离出发点650千米处的目的地，若电动汽车行驶300千米后，在途中的服务区充电，一次性充电若干时间后继续行驶，且到达目的地后电动汽车仪表盘显示电量为，则电动汽车在服务区充电多长时间？ 【答案】（1），；（2）电动汽车在服务区充电22.5分钟 【分析】本题考查了待定系数法求函数解析式，包括正比例函数和一次函数，一次函数的实际应用及方程思想． （1）观察表1数据，发现函数是正比例函数，设函数表达式为，代入一组数据解出，即可得函数表达式；观察表2数据，发现函数是一次函数，设函数表达式为，代入两组数据列方程组解出，即可得函数表达式； （2）先计算行驶300千米后的剩余电量，建立充电后电量的表达式，紧接着计算剩余路程的耗电量，最后列方程求解即可． 【详解】解：（1）设y关于t的函数表达式为（为常数，且）， 将，代入， 得， 解得：， ∴y关于t的函数表达式为， 设e关于s的函数表达式为（、b为常数，且）， 将，和，分别代入， 得， 解得：， ∴e关于s的函数表达式为； （2）当时，， ∴行驶300千米后，电动汽车仪表盘显示电量为， 充电t分钟后，增加的电量为 ∴充电t分钟后，电动汽车仪表盘显示电量为， 若在充满电的情况下，行驶完剩余的路程，电动汽车仪表盘显示电量为， ∴行驶完剩余的路程消耗的电量为， ∴， ∴， 即电动汽车在服务区充电22.5分钟． 2．（25-26八年级上·江苏南京·期末）如图，某滤水壶有净水区和蓄水区．现给空壶的净水区加满水，净水区中水匀速流向蓄水区，一段时间后再将净水区补满（ 不计补水时间）．已知净水区水面与蓄水区水面的距离与水流时间的函数图象如图①所示． (1)点B的坐标的实际意义是 ； (2)求线段的函数表达式； (3)设滤水壶净水区水面、蓄水区水面距滤水壶底的高度分别为、，请在图②中分别画出、与水流时间的函数图象，并标注出关键点的坐标． 【答案】(1)3分钟时净水区水面与蓄水区水面的距离为9厘米 (2) (3)见解析 【分析】本题考查了分段函数的实际应用，解题的关键是结合水流过程分析距离的分段变化规律． （1）结合题意分析时间节点的水流状态，明确点对应的实际情景，即3分钟时净水区停止向蓄水区流水，此时两区水面距离为9厘米． （2）先利用、两点求出段的函数解析式；再根据水匀速流动得出，代入点求出的函数表达式． （3）根据水流的分段过程，可得由一刹那，高度查从变为，说明净水区高度上升了，也说明这它下降了，故时它的高度为，而蓄水区的高度为，这是它接受净水区的水导致的升高。这可推出：净水区、蓄水区的底面积之比为,升降高度比.故的关键转折点坐标如下，再据此画图即可． 【详解】（1）解：点B坐标的实际意义是：经过3分钟又将净水区补满水，此时净水区水面与蓄水区水面的距离为9厘米， 故答案为：3分钟时净水区水面与蓄水区水面的距离为9厘米； （2）解：设为， 则：， 解得：， ∴； 又∵，且， ∴可设为， ∴， 解得：， ∴为； （3）解：由题意可得，作图如下： 其中实线是，虚线是． 3．（25-26八年级上·江苏盐城·期末）综合与实践 知识背景 古代人们利用杠杆原理制作出了杆秤（如图1），杆秤是中国独立发明的度量物体质量的衡器，它是我国古代劳动人民的智慧结晶． 素材1 图2为杆秤称量物体质量的示意图，使用时将物体放在秤盘上，用手提起B处的秤纽，在秤杆上移动秤砣的位置，当秤杆水平平衡时，可根据秤砣在秤杆上的位置读出物体的质量．其中秤盘质量克，物体质量m克，秤砣质量M克，秤纽与秤盘的水平距离为l厘米，秤纽与零刻线的水平距离为a厘米，秤砣与零刻线的水平距离为y厘米，当满足时，杆秤处于平衡状态． 素材2 李师傅制作了一个杆秤，他设定克，克，最大可称物体质量为5000克，零刻线与末刻线的距离定为50厘米．如图3，当秤盘不放物体，秤砣在零刻线时，杆秤平衡；如图4，当秤盘放入质量为5000克的物体，秤砣从零刻线移至末刻线时，杆秤平衡． 素材3 李师傅的徒弟小周在学习了师傅的制作方法后，小周自己也另外做了一把杆秤，他称量质量为80克的物体时，秤砣在H处杆秤平衡（如图5）；称量质量为120克的物体时，秤砣在G处杆秤平衡（如图6）． 根据以上的素材，解决下面问题 (1)根据素材1和素材2，得出李师傅制作的杆秤中_________；_________． (2)根据素材1和素材2，求李师傅制作的杆秤中y关于m的函数表达式； (3)根据素材1和素材3，求小周制作的杆秤可称物体的最大质量是多少克？ 【答案】(1)， (2) (3)小周制作的杆秤可称物体的最大质量是200克． 【分析】本题考查了二元一次方程组的应用，正确读懂题意是解题关键． （1）根据素材1和素材2，由题意得：，，当时，；当时，；进而列二元一次方程组求解即可； （2）将（1）所得结果代入，求得，即可求解； （3）根据素材1和素材3，列二元一次方程组，求出，即可解答． 【详解】（1）解：由题意得， 解得， 故答案为：；； （2）解：由（1）知：，， 又，， ， ． 李师傅制作的杆秤中y关于m的函数表达式为：． （3）解：由图可知：， 解得：， ， 解得：， 答：小周制作的杆秤可称物体的最大质量是200克． 1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 $ 第五章 一次函数 5.4 一次函数解决问题 课标要点 1.从实际情境提取等量关系，建立一次函数模型，规范写出函数解析式并标注自变量取值范围。 2.借助一次函数图像读取数据、分析变化趋势，用数形结合求解行程、利润、方案选择类实际问题。 3.利用函数解析式、图像对比方案优劣，结合实际意义检验结果合理性。 学习重难点 重点： 1.根据实际问题列一次函数关系式，确定自变量取值范围。 2.利用函数图像获取信息，求解简单实际计算问题。 3.基础利润、行程类一次函数应用题列式与求值。 难点： 1.复杂情境挖掘隐藏等量关系，准确构建一次函数模型。 2.多方案对比类问题，借助函数增减性选出最优方案。 3.结合图像分段分析变量变化，解决分段一次函数实际问题。 知识点一 一次函数解决问题 应用一次函数解决实际问题时，首先，要判断问题中的两个变量之间是否是一次函数关系；其次，当确定是一次函数关系时，可先求出一次函数解析式，再应用一次函数的相关知识去解决与其相关的实际问题. 1.建立一次函数解析式的常用方法 1）根据基本的量之间存在的关系列函数解析式； 2）若题目中已明确给出两个变量的函数关系，则可用待定系数法求出函数解析式； 用一次函数解决问题的关键是建立数学模型，数学建模的关键是将实际问题数学化，从而得到解决问题的最佳方案、最佳策略.在建模的过程中，为了既合乎实际问题又能求解，这就要求在诸多因素中抓住主要因素进行抽象化简，而这一过程恰是我们的分析、抽象、综合、表达能力的体现.函数建模最困难的环节是将实际情景通过数学转化为什么样的函数模型. 2.一次函数应用问题的求解思路： 1）建立一次函数模型→求出一次函数解析式→结合函数解析式、函数性质求解； 2）在实际生活问题中，如何应用函数知识解题，关键是建立函数模型，即列出符合题意的函数解析式，然后根据函数的性质综合方程（组）、不等式（组）及图像求解.要注意结合实际，确定自变量的取值范围，这是应用中的难点，也是中考的热门考点； 3）分析问题的实际背景中包含的变量及对应关系，结合一次函数的解析式及图像，通过比较函数值的大小等，寻求解决问题的最佳方案，体会函数作为一种数学模型在分析解决实际问题中的重要作用. 3.求最值的本质为求最优方案，解法有两种： 1）可将所有求得的方案的值计算出来，再进行比较； 2）直接利用所求值与其变量之间满足的一次函数关系式求解，由一次函数的增减性可直接确定最优方案及最值；若为分段函数，则应分类讨论，先计算出每个分段函数的取值，再进行比较． 【提示】一次函数本身并没有最值，但在实际问题中，自变量的取值往往有一定的限制，其图像为射线或线段.涉及最值问题的一般思路：确定函数解析式→确定函数增减性→根据自变量的取值范围确定最值． 即学即练 1．（25-26八年级上·江苏泰州·阶段检测）某小汽车的油箱最多可装汽油升，原有号汽油升，现再加升同型号的号汽油，其价格是每升元，求油箱内所有汽油的总价（元）与（升）之间的函数关系是（   ） A． B． C． D． 2．（25-26八年级上·江苏泰州·期末）甲、乙、丙、丁四位同学参加“欢乐跑”活动，图中的四个点分别描述了他们跑的路程（m）与时间（h）的情况，则四人中速度最快的是（    ） A．甲 B．乙 C．丙 D．丁 3．（25-26八年级上·江苏南京·阶段检测）在锅中倒入了一些油，用煤气灶均匀加热，每隔20秒测一次油温，得到下表： 时间（秒） … 20 40 60 … 油温 … 50 90 130 … 加热110秒时，油刚好沸腾了，估计这种油沸点的温度为_________． 4．（2025八年级上·江苏泰州·专题练习）八年级实践小组观察记录了一段时间娃娃菜幼苗的成长，将娃娃菜幼苗的高度与观察时间（天）的函数关系用如图表示，那么娃娃菜幼苗的高度最高是_________． 题型01 行程问题 典｜例｜精｜析 例1．（24-25八年级上·江苏南京·期末）甲车从A地匀速驶往相距的B地，当甲车行驶小时经过途中的C地时，乙车恰好从C地出发以另一速度匀速驶往B地，当乙车到达B地后立即掉头以原来的速度匀速驶往A地（甲车到达B地，乙车到达A地后分别停止运动）．行驶过程中两车的距离y（）与甲车从出发所用的时间x（）之间的函数关系如图所示，则甲车到达B地时，乙车距A地 ___________． 变｜式｜巩｜固 1．（25-26八年级上·安徽宿州·期中）已知甲、乙两车分别从，两地同时出发，沿同一条公路相向而行，相遇时甲、乙所走路程的比为，甲、乙两车离，两地中点的路程（千米）与甲车出发时间（时）的关系图象如图所示.解答下列问题： （1），两地之间的距离为_____千米； （2）的值为_____． 2．（25-26八年级上·江苏无锡·阶段检测）如图1，公路上有、、三个车站，一辆汽车从站以速度匀速驶向站，到达站后不停留，以速度匀速驶向站，汽车行驶路程（千米）与行驶时间（小时）之间的函数图象如图2所示．若汽车在某一段路程内刚好用50分钟行驶了60千米，则这段路程开始时的值为______． 3．（25-26八年级上·江苏泰州·期末）某科技公司为测试甲、乙两款机器人的性能，在的直线跑道上进行测试．甲、乙两款机器人匀速从起点出发到处的终点，甲出发后，乙以的速度沿同一路线行走．甲、乙两款机器人与起点的距离，与甲出发时间（）的函数图象（如图2），甲、乙两款机器人相距（）与甲行走的时间（）的函数图象（如图3）．根据图象回答下列问题： (1)甲行走的速度为______米/秒；图3中______，_______； (2)求乙到起点的距离与甲出发的时间t之间的函数表达式； (3)当甲出发多少秒时，甲、乙相距． 题型02 调运问题 典｜例｜精｜析 例2．（23-24八年级上·江苏扬州·期末）为了救援地震灾区，某市、两厂共同承接了生产吨救灾物资任务，厂生产量是厂生产量的倍少吨，这批救灾物资将运往甲、乙两地，其中甲地需要物资吨，乙地需要物资吨，运费如下表：（单位：吨/元） 目的地生产厂家 甲 乙 A 20 25 B 15 24 (1)厂生产了______吨救灾物资、厂生产了______吨救灾物资； (2)设这批物资从厂运往甲地吨，全部运往甲、乙两地的总运费为元，求与之间的函数关系式，并设计使总运费最少的调运方案； (3)当每吨运费降低元，（，且为整数），若按照（）中设计的调运方案运输，且总运费不超过元，求的最小值． 变｜式｜巩｜固 1．（25-26八年级上·江苏徐州·阶段检测）某地A，B两村盛产柑橘，A村有柑橘村有柑橘，现将这些柑橘全部运到C，D两个仓库，已知仓库可储存仓库放满后再考虑运往D仓库．运输费用如下表： 村庄 运费 C仓库 D仓库 A村 20元/ 25元/ B村 15元/ 18元/ 设从A村运往C仓库的柑橘质量为两村运往两仓库的柑橘运输总费用分别为元和元． (1)判断和是否为的函数．若是，分别写出函数表达式． (2)若B村的柑橘运费不得超过4830元，在这种情况下，怎样调运才能使两村运费之和最小？求出这个最小值． 2．（22-23八年级下·辽宁抚顺·期末）现从，两个蔬菜村向甲，乙两地运送蔬菜，，两个蔬菜村各有蔬菜吨，吨，其中甲地需要蔬菜吨，乙地需要蔬菜吨，从村运往甲地运费为元吨，运往乙地运费为元吨；从村运往甲地运费为元吨，运往乙地运费为元吨． 怎样调运蔬菜才能使总运费最少？最少运费为多少？ 3．（23-24八年级上·江苏盐城·期中）某种农机A城有30台，B城有40台．某运输公司现要将这些农机全部运往C，D两乡．已知C乡需要34台，D乡需要36台；从A，B两城运往C，D两乡的运费如表： 两乡 两城 C（元/台） D（元/台） A 250 200 B 150 240 设A城运往C乡x台农机，从A城运往两乡的总运费为元，从B城运往两乡的总运费为元． (1)分别写出与x之间的函数关系式（直接写出自变量的取值范围）； (2)求将农机从B城运往两乡的总运费最多比从A城运往两乡的总运费多多少元？ (3)该运输公司现要求从B城运往两乡的总运费不低于8160元，怎样调运，使运送全部农机的总费用的和最少？并求出最小值． 题型03 工程问题 典｜例｜精｜析 例3．（24-25八年级上·浙江湖州·期末）近日，如通苏湖城际铁路湖州段顺利掘进开工．现有一条长为720米的隧道，需甲、乙两个工程队合作完成．首先由甲工程队单独挖掘隧道米，再由甲乙两队共同施工，剩余任务由乙工程队单独完成．已挖掘的隧道长度米与施工天数天的关系如图所示． (1)甲、乙合作时，共施工__________天，每天挖掘隧道__________米； (2)当时，求第20天时整个工程已完成多少米； (3)已知乙工程队的施工效率不超过甲工程队，求完成这次任务的工期（天）范围． 变｜式｜巩｜固 1．（22-23八年级下·吉林·期末）为了推进乡村振兴发展，某地决定对A，B两村之间的公路进行改造，并由甲工程队从A村向B村方向修筑，乙工程队从B村向A村方向修筑．已知甲工程队先施工2天，乙工程队再开始施工．乙工程队施工几天后，因另有任务提前离开，余下的任务由甲工程队单独完成，直到公路修通．甲、乙两个工程队修筑公路的长度y（米）与甲工程队施工时间x（天）之间的函数关系如图所示，请根据图象提供的信息，解答下列问题：    (1)乙工程队每天修路___米，甲工程队每天修路___米，a的值为___，b的值为___； (2)直接写出：甲工程队修公路的长度y（米）与甲施工队施工时间x（天）之间的函数关系式； (3)求乙工程队修公路的长度y（米）与甲工程队施工时间x（天）之间的函数关系式； (4)若该项工程由甲、乙两工程队从开始就合作施工，直到任务完成，直接写出：完成任务所需的时间． 2．（2024七年级下·四川成都·专题练习）有一项工程，若请甲工程队单独做需4个月完成，每月要耗资9万元；若请乙工程队单独做需6个月完成，每月耗资5万元． (1)请问甲、乙两工程队合作需几个月完成？耗资多少万元？ (2)现要求最迟5个月完成此项工程即可，请你设计一种方案，既保证按时完成任务，又最大限度节省资金． 3．（24-25八年级上·陕西西安·期末）某项工程由甲、乙两个工程队合作完成，先由甲队单独做3天，剩下的工作由甲、乙两工程队合作完成，工程进度满足如图所示的函数关系（x为天数，y为工作量）： (1)求合作部分工作量y与工作时间x之间的函数关系式； (2)该工程共支付8万元，若按完成的工作量所占比例支付工资，甲工程队应得多少元？ 题型04 计时问题 典｜例｜精｜析 例4．（25-26八年级上·江苏南京·阶段检测）项目式学习． 【项目主题】重视水龙头滴水的浪费现象． 【项目背景】日常生活中，经常存在由于水龙头阀门损坏，从而出现水龙头不断向外滴水的情况，造成水资源浪费．某校学习小组以“重视水龙头滴水的浪费现象”为主题展开项目学习． 【驱动任务】探究水龙头滴水量与时间的关系． 【研究步骤】①准备好量筒和计时器； ②确定因损坏而滴水的水龙头； ③在控制影响水龙头滴水量的其他变量（如刮风等）的情况下，将量筒放在所选水龙头正下方接水，每隔一分钟记录量筒中的总水量．但由于操作延误，开始计时的时候量筒中已经接了少量的水，因而得到如下表所示的一组数据； 时间 总水量 ④分析数据，形成结论． 【问题解决】请根据此项目实施的相关材料完成下列任务： (1)①根据上表中的数据，判断量筒中的总水量与时间是 （填“正比例”或“一次”）函数关系；②求与之间的函数关系式； (2)已知所用量筒的量程是，求当计时多少分钟时，量筒内的水刚好到达量程的最大刻度处； (3)若一个人一天大约饮用的水，求这个水龙头天的滴水量可供一个人饮用多少天． 变｜式｜巩｜固 1．（22-23八年级上·江苏·期末）高度为120厘米的圆柱形容器注满了水（即容器的水位高度为120厘米），上端有一关闭状态的注水口，底端有一关闭状态的放水口，如图1所示．现先打开放水口，放水速度为12厘米/分钟（即：仅打开放水口时，每分钟能使圆柱形容器内的水位高度下降12厘米），放水口打开一段时间后，再打开注水口，同时保持放水口开放状态，继续经过一段时间后关闭放水口，同时注水口仍保持开放状态，直至容器注满水时立即关闭注水口．圆柱形容器的水位高度记为（厘米），从打开放水口时开始计时，至容器注满水时停止计时，时间记为（分钟），已知关于的函数图象如图2所示．根据图中所给信息，解决下列问题： (1)的值为______； (2)求注水速度（注水速度即：仅打开注水口时，每分钟能使圆柱形容器内的水位高度上升的高度）； (3)求图2中线段所在直线的解析式； (4)在圆柱形容器的水位高度变化过程中，当满足：（厘米）时，时间（分钟）的取值范围是______． 2．（24-25八年级上·江苏淮安·期末）漏刻是中国古代的一种计时工具，漏刻的工作原理是利用均匀水流导致的水位变化来显示时间．水从上面漏壶源源不断地补充给下面的漏壶，再均匀地流入最下方的箭壶，使得壶中有刻度的小棍匀速升高，从而取得比较精确的时刻．某学习小组复制了一个漏刻模型，研究中发现小棍露出的部分（厘米）是时间（分钟）的一次函数，且当时间分钟时，厘米．表中是小明记录的部分数据，其中有一个的值记录错误． （分钟） …… 10 20 30 40 （厘米） …… 2.6 3.2 3.6 4.4 (1)你认为的值记录错误的数据是______，请利用正确的数据确定函数表达式； (2)当小棍露出部分为14厘米时，对应的时间为多少？ 题型05 分配问题 典｜例｜精｜析 例5．（24-25八年级上·江苏无锡·阶段检测）某公司有A型产品80件，B型产品120件，分配给下属甲、乙两个商店销售，其中140件给甲店，60件给乙店，且都能卖完．甲店销售A型产品利润每件400元，销售B型产品利润每件340元；乙店销售A型产品利润每件320元，销售B型产品利润每件300元． (1)若公司要求总利润不低于70280元，求出公司能采用几种不同的分配方案？ (2)为了促销，公司决定仅对甲店A型产品让利销售，每件让利m元，但让利后A型产品的每件利润仍高于甲店B型产品的每件利润．甲店的B型产品以及乙店的型产品的每件利润不变，问该公司又如何设计分配方案，使总利润达到最大？ 变｜式｜巩｜固 1．（23-24八年级下·江苏南通·期中）为增强学生体质，让学生享受阳光体育大课间活动，某学校准备采购甲、乙两种跳绳供学生使用．经询价，现有一家商场对甲种跳绳的出售价格根据购买量给予优惠，对乙种跳绳按25元/根的价格出售，设该学校购买甲种跳绳x根，付款y元，y与x之间的函数关系如图所示． (1)求出y与x之间的函数关系式； (2)若该学校计划一次性购买甲，乙两种跳绳共100根，且甲种跳绳不少于40根，但又不超过60根，如何分配甲，乙两种跳绳的购买量，才能使该校付款总金额w最少？ 2．（24-25八年级下·内蒙古通辽·期末）王叔叔准备将一块面积为亩的土地全部种植甲，乙两种农作物，甲种农作物的种子成本元与其种植面积亩的函数关系如图所示，其中，乙种农作物的种子成本为每亩元． (1)求与的函数解析式； (2)若甲种农作物的种植面积不超过乙种农作物种植面积的倍，王叔叔应该如何分配两种农作物的种植面积才能使两种农作物种子的总成本最少？并求出该费用． 3．（2025·辽宁·一模）某蔬菜种植基地计划将其中的土地全部种植甲、乙两种有机蔬菜．经调查发现，甲种蔬菜的种植成本（元/）与其种植面积的函数关系如图所示，其中甲种蔬菜种植面积为，乙种蔬菜的种植成本为元． (1)当甲种蔬菜的种植成本为元，求它的种植面积； (2)如何分配两种蔬菜的种植面积，使甲、乙两种蔬菜的总种植成本为元． 题型06 体积问题 典｜例｜精｜析 例6．（23-24八年级上·广东佛山·期中）受《乌鸦喝水》故事的启发，利用水桶和体积相同的小球进行了如图操作： (1)已知放入小球后量筒中水面的高度是放入小球个数(个)的一次函数，从图中可以看出函数经过点与点，试确定该函数表达式； (2)当水桶中至少放入_______个小球时，有水溢出． 变｜式｜巩｜固 1．（23-24八年级上·江苏连云港·期末）如图1是甲、乙两个圆柱形水槽的横截面示意图，乙槽中有一圆柱形铁块立放其中（圆柱形铁块的下底面完全落在水槽底面上），现将甲槽中的水匀速注入乙槽，甲、乙两个水槽中水的深度（厘米）与注水时间（分钟）之间的关系如图2所示，根据图象提供的信息，解答下列问题： (1)图2中折线表示 槽中水的深度与注水时间之间的关系，线段表示 槽中水的深度与注水时间之间的关系；（以上两空选填“甲”或“乙”） (2)点的纵坐标表示的实际意义是 ； (3)注水多长时间时，甲、乙两个水槽中的水的深度相同？ (4)若乙槽底面积为36平方厘米（壁厚不计），求乙槽中铁块的体积． 2．（22-23八年级上·江苏盐城·阶段检测）聪明的你一定知道乌鸦喝水的故事吧！如图一个紧口瓶中盛有一些水，乌鸦想喝，但是嘴够不到瓶中的水．于是乌鸦衔来一些小石子放入瓶中，瓶中水面的高度随着石子的增多而上升，乌鸦喝到了水．但是还没解渴，瓶中的水面就下降到乌鸦够不着的高度．乌鸦只好再去衔些石子放入瓶中，水面又上升，乌鸦终于喝足了水，呱呱地飞走了． (1)如果设衔入瓶中的石子的体积为x，瓶中的水面的高度为y，下面能大致表示上面故事情节的图象是（）； A．B．C．D． (2)小明受到这个故事的启发，利用量筒和若干个体积相同的小球进行了如下操作．请根据图中所给出的信息，解答下列问题： a.放入一个小球后，量筒中的水面升高多少cm； b.求放入小球后，量筒中水面高度y与小球的个数之间的一次函数关系式. c.量筒中至少放入几个小球时有水溢出？ 3．（22-23八年级上·江苏苏州·阶段检测）如图①，、两个圆柱形容器放置在同一水平桌面上，开始时容器中盛满水，容器中盛有高度为的水，容器下方装有一只水龙头，容器向容器匀速注水．设时间为，容器、中的水位高度、与时间之间的部分函数图像如图②所示．根据图中数据解答下列问题： (1)容器向容器注水的速度为__________（结果保留）； 容器的底面直径___________；（提示：圆柱体积=圆柱的底面积×圆柱的高） (2)当容器注满水后，容器停止向容器注水，同时开启容器的水龙头进行放水，放水速度为．请在图②中画出容器中水位高度与时间的函数图像，并说明理由； (3)当容器注满水后，容器继续向容器注水，同时开启容器的水龙头进行放水，放水速度为，直至容器、水位高度相同时，立即停止放水和注水，求容器向容器全程注水时间． 题型07 最大利润问题 典｜例｜精｜析 例7．（25-26八年级上·江苏扬州·期末）随着中小学“每天一节体育课”活动的开展，充分激发了同学们的运动热情．某商家抓住了体育用品需求量激增的商机，采购了一批篮球和足球共100个，两种球的进价与售价如下表所示．设采购个篮球，获得的总利润为元． 品名 厂家批发价元/个 商场零售价元/个 篮球 120 145 足球 100 120 (1)求总利润与的函数关系式； (2)若该商家采购的篮球个数不超过足球个数，则该商家应如何进货才能获得最大利润？最大利润是多少元？ 变｜式｜巩｜固 1．（25-26八年级上·江苏盐城·期末）根据以下素材，探索完成任务. 如何设计采购方案？ 素材1 宋曹是明末清初时期的大书法家，字彬臣，又字臣，号射陵，盐城郊区北宋庄人，工书能文，对书法造诣很深．宋曹故居纪念馆位于江苏省盐城市儒学街4号，为了能更好地宣传优秀传统文化以及宋曹的书法，文创商店近期推出了许多新的文创产品，有宋曹书法手袋、宋曹书签、宋曹书法贴纸等． 素材2 小明在本店购买了3套书签和4套贴纸，一共花费了110元； 小丽在本店购买了5套书签和2套贴纸，一共花费了90元． 问题解决 任务1 确定单价 求购买1套书签和1套贴纸分别需要多少元？ 任务2 探究函数关系 临近期末考试，数学王老师打算提前给学生准备奖品，他准备同时购买书签和贴纸两种商品共20套．设数学王老师准备购买书签x套，总费用为y元，请你求出y与x的函数关系式． 任务3 拟定购买方案 现要求贴纸的数量不少于13套，应该怎样选择购买方案，才能使总费用最低？总费用最低是多少元？ 2．（25-26八年级上·江苏连云港·期末）某公司销售A型和B型两种电脑，其中A型电脑每台利润为400元，B型电脑每台利润为500元．该公司计划一次性购进这两种型号的电脑共100台，其中B型电脑的进货量不超过A型电脑的3倍，设购进A型电脑x台，这100台电脑的销售总利润为y元． (1)求y关于x的函数关系式； (2)该商店购进A型、B型电脑各多少台，才能使销售总利润最大，最大利润是多少？ (3)实际进货时，厂家对A型电脑出厂价下调元，若该公司保持这两种型号电脑的售价不变，并且无论该公司如何进货这100台电脑的销售利润均为定值，则a的值为_______． 3．（25-26八年级上·江苏无锡·阶段检测）某商店计划购进甲、乙两种商品．若购进20个甲种商品和10个乙种商品，共需要资金2800元；若购进15个甲种商品和20个乙种商品，共需要资金3600元． (1)求甲、乙两种商品的进货单价分别为多少元？ (2)某单位计划到该商店购进甲、乙两种商品共200个，且购进甲种商品的数量不少于乙种商品数量的2倍．商店给予该单位一定的价格优惠，优惠措施如下表所示： 标价 优惠措施 甲种商品 100 9折出售 乙种商品 150 每个优惠元 设该单位购进甲种商品个，商店共获利元． ①若，请求出此时与之间的函数表达式，并求出商店能获得的最大利润； ②商店业务员小王发现，在这笔交易中，无论单位采取何种购买方案，商店获得的利润始终保持不变，求的值． 题型08 阶梯计费问题 典｜例｜精｜析 例8．（25-26八年级上·江苏泰州·期末）小明使用出行软件打车回家的行程详情如图（1）所示，爱动脑筋的小明查看了计价规则，如图（2）所示．他发现，在不考虑其他因素的情况下，在其打车的时间段（），3公里以内（含3公里）的起步价为元；超过3公里的部分，按元/公里的标准收取里程费． (1)当行程超过3公里时，判断实际打车费用y元是否是里程x公里的函数，并用含x的代数式表示y； (2)如图（1）所示，小明此次行程的实际路线为公里，那么打车费用是多少元？ 变｜式｜巩｜固 1．（25-26八年级上·江苏南京·期末）某地出租车计费标准如下：当里程不超过时，均按起步价元收费；当里程超过时，超过部分按元收费．某乘客乘坐出租车时，观察到一些时刻的车费与行驶里程之间的关系如下表： 行驶里程 3 5 7 车费（元） 11 17 23 设行驶里程为，出租车的车费为元，是的一次函数． (1)________，________； (2)求与之间的函数表达式； (3)若某乘客一次乘坐出租车的行驶里程为，求这位乘客需付的车费． 2．（25-26八年级上·四川成都·期中）为了保护资源节约用水，我校八年级数学小组设计居民用水实行“阶梯水价”计费方法，如下表： 每户每月用水量 水价 不超过 2.5元/ 超过但不超过的部分 5元/ 超过的部分 8元/ (1)A户居民本月用水量为，求户居民本月的水费为多少元． (2)设每户每月用水量为，水费为元，求关于的函数关系式． (3)若户居民本月的水费为元．求户居民本月用水量． 3．（25-26八年级上·江西吉安·期中）某公司招聘外卖送餐员为居家办公的人员进行送餐服务，送餐员的月工资由底薪1500元加上外卖送单补贴（送一次外卖为一单）构成，外卖送单补贴的具体方案如下： 外卖送单数量 补贴（元/单） 每月不超过500单 3.5 超过500单但不超过900单的部分 5 超过900单的部分 8 (1)若某外卖小哥9月份送餐400单，则他这个月的工资总额为多少元？ (2)设某外卖小哥10月份送餐单，所得工资元，请写出与的函数关系式． (3)若某外卖小哥11月份的工资总额为5650元，那么他11月份外卖送餐多少单？ 题型09 方案选择问题 典｜例｜精｜析 例9．（24-25八年级上·江苏盐城·期末）某化妆品公司每月付给销售人员的薪酬有两种方案． 方案一：没有底薪，只拿销售提成； 方案二：底薪加销售提成． 设（件）是销售商品的数量，（元）是销售人员的月薪酬．如图所示，为方案一的函数图象，为方案二的函数图象．根据图中信息解答如下问题： (1)方案二中每月付给销售人员的底薪是______元； (2)求，图象的函数解析式； (3)小丽应选择哪种薪酬方案，才能使月工资更多？ 变｜式｜巩｜固 1．（25-26八年级上·全国·课后作业）时光旅行社以沉浸式体验中华传统服饰文化为目标，让游客拥有更好的游玩体验．该旅行社现计划租用一批汉服供游客使用，长安汉服体验馆推出两种租用方案，具体如下： 方案一：不办理年卡，每件按原价收取租金； 方案二：若办理年卡（从购买日起，可持年卡使用一年），则每件汉服租金在原价的基础上打八折优惠，年卡每张480元． 方案一的租金（元），方案二的租金（元）与租用件数x（件）之间的函数关系如图所示． (1)长安汉服体验馆每件汉服租金的原价是多少元？ (2)若该旅行社今年的租金预算是4800元，则选择哪种优惠方式更合算？ 2．（2024·陕西咸阳·模拟预测）周末，张洋去某杨梅园摘杨梅，已知该杨梅园内的杨梅单价是每千克40元．为满足客户需求，该杨梅园现推出两种不同的销售方案： 甲方案：游客进园需购买30元的门票，采摘的杨梅按原价的七折收费； 乙方案：游客进园不需购买门票，采摘的杨梅在10千克以内按原价收费、超过10千克后，10千克部分按原价收费，超过部分按原价的五折收费． 设张洋的采摘量为千克，按甲方案所需总费用为元，按乙方案所需总费用为元． (1)当采摘量超过10千克时，分别求出、关于x的函数表达式； (2)若张洋的采摘量为30千克，选择哪种方案更划算?请说明理由． 3．（24-25八年级上·全国·期末）某校为落实西宁市教育局“教育信息化行动计划”，搭建数字化校园平台，需要购买一批电子白板和平板电脑，若购买台电子白板和台平板电脑共需万元；购买3台电子白板和4 台平板电脑共需万元． (1)求电子白板和平板电脑的单价各是多少万元？ (2)结合学校实际，该校准备购买电子白板和平板电脑共台，其中电子白板不超过台，某商家给出了两种优惠方案，方案一：电子白板和平板电脑均打九折；方案二：买台电子白板，送台平板电脑．若购买电子白板台和平板电脑所需的费用为（万元），请根据两种优惠方案分别写出关于的函数表达式，并分析该校应选用哪种优惠方案购买更省钱． 题型10 新考法问题 典｜例｜精｜析 例10．（辽宁省锦州市2025--2026学年上学期八年级1月期末数学试卷）为了加强劳动教育，落实五育并举，某中学在校园内建成了如图所示的一块三角形的劳动实践基地，并邀请数学兴趣小组的同学们将其全部种植甲、乙两种蔬菜．同学们经过测量与调查，得到如下信息： 信息1：； 信息2：甲种蔬菜的种植成本为每平方米30元； 信息3：乙种蔬菜的种植成本（单位：元）与种植面积（单位：平方米）的关系如下表所示，其中； /平方米 10 20 30 40 50 /元 420 660 900 1140 1380 根据以上信息，请帮助该小组的同学们完成下列任务： (1)求该校劳动实践基地的面积； (2)求乙种蔬菜的种植成本与种植面积之间的函数关系式； (3)设甲、乙两种蔬菜的总种植成本为元，如何分配两种蔬菜的种植面积，才能使最小？并求出的最小值． 变｜式｜巩｜固 1．（2025-2026学年八年级（上）期末数学样卷）【现实背景】无人机以技术、生态与安全优势推动低空经济产业化． 【实验操作】为了解无人机的电池需要多久能充满，以及充满电量状态下无人机使用的最大时长，某校综合实践小组以一款无人机的某个系列为研究对象，设计了两组实验：实验一：通过实验数据观察，发现电池充电量占电池满电量的百分比与时间（分钟）存在正比例函数关系，图象如图所示： 时间（分钟） 剩余电量占电池满电量的百分比 实验二：探究充满电的状态下，无人机的剩余电量占电池满电量的百分比与使用时间（分钟）的关系，记录相关数据如上表． 【建立模型】 结合实验一和实验二，关于的函数表达式为________，关于的函数表达式为________； 【解决问题】 （）无人机在充满电后连续使用了分钟，求此时剩余电量占电池满电量的百分比； （）在（）的条件下，将该无人机充电，需要充电多长时间才能充满? 2．（江苏省泰州市泰兴市2025—2026秋学期八年级上册数学期末试卷）综合与实践：杆秤中的数学 背景 杆秤，是中国人发明的人类最早的衡器，它凝聚了古代劳动人民的智慧，你知道杆秤中隐含的数学原理吗？ 素材1 杆秤称物符合杠杆原理：如图1，要使杆秤平衡，杆秤左端物体的质量M、左端物体到秤纽O（即杆秤的支点）的水平距离与右端秤砣的质量m、秤砣到秤纽的水平距离满足等式：．    素材2 如图2，利用杆秤称重时，当秤盘所托重物为（不包括秤盘的质量）时，秤砣到秤纽的水平距离为，根据杠杆平衡原理可得y是关于x的一次函数．    素材3 为了便捷的利用杆秤称重，需在杆秤上标记分布均匀的刻线来刻画刻度与重物质量的对应关系，其制作过程如下： （1）标记零刻线：当秤盘不放重物时，移动秤砣，直至杆秤平衡，标出零刻线； （2）标记末刻线：当秤盘放入杆秤允许的最大质量（即杆秤的最大量程）重物时，移动秤砣，直至杆秤平衡，标出末刻线； （3）标记计量刻线：量出零刻线与末刻线之间的距离，将零刻线与末刻线之间的距离等间距分割成10大格，每大格再等间距分割成10小格． 小明根据素材3制作了最大量程为的杆秤，若干次称重时所记录的一些数据如下表所示： 25 50 75 100 3 4 (1)若称一重物时的读数为5大格3小格，则此时称得的重物的质量为_________； (2)求y关于x的函数表达式； (3)求此杆秤的每小格的长度． 3．（江苏盐城市亭湖区2025-2026学年第一学期期末考试八年级数学试题）绿波带交通控制方案问题 绿波带是这样一段路：车辆以特定范围匀速行驶时，能连续通过多个绿灯． 如图1，在某段道路上依次有A、B、C、D 四个路口，路口B、C、D和路口A的距离分别为1200米、2100米、3600米． 各路口的交通灯设置及启动时间如下：各路口的绿灯持续30秒，红灯持续30秒，黄灯时长忽略不计，红灯和绿灯依次交替亮起，循环往复．在路口A绿灯亮起10秒后， C、D路口的绿灯同时亮起；A路口的绿灯亮起30秒后路口B的绿灯亮起． 如图2，若汽车在第0秒出发，以“时间”为横轴，“距离”为纵轴，绘制各路口红绿灯时序带（实线段为绿灯时段，虚线段为红灯时段）． (1)CD路口距离 米；在平面直角坐标系中，写出坐标 ； (2)作射线， ①求该射线表示的汽车行驶距离S与行驶时间t的函数关系式； ②通过读图，直接判断该车到达D路口时，路口亮着 （填“红灯”或“绿灯”）； (3)汽车在城市道路安全行驶速度．在（2）的基础上，为了让汽车能绿灯通过D路口，需要在C路口处调整车速，求调整后汽车速度V的取值范围． 基础通关 1．（25-26八年级上·贵州贵阳·期末）小张和爷爷去爬山，爷爷先出发一段时间后小张再出发，途中小张追上了爷爷并最终先爬到山顶，两人所爬的高度（米）与小张出发后的时间（分钟）的函数关系如图所示，下列结论错误的是（   ） A．山的高度是720米 B．小张爬山的速度是爷爷爬山的速度的2倍 C．在小张出发30分钟和50分钟时与爷爷相距60米 D．爷爷比小张先出发20分钟 2．（25-26八年级上·江苏无锡·阶段检测）如图表示的是某公司一种产品天的销售情况，其中图①是该产品日销售量y（件）与日期t（日）的函数图象，图②是该产品单件的销售利润w（元）与日期：t（日）的函数图象．下列结论错误的是（　　） A．第天的销售量为件 B．第天销售一件产品的利润是元 C．第天和第天的日销售利润相等 D．第天的日销售利润高于第天的日销售利润 3．（24-25八年级上·江苏苏州·阶段检测）人工智能的发展使得智能机器人送餐成为时尚．如图，某餐厅的机器人小数和小文从厨房门口出发，准备给相距的客人送餐，小数比小文先出发，且速度保持不变，小文出发一段时间后将速度提高到原来的2倍．设小数行走的时间为，小数和小文行走的路程分别为，，与之间的函数图象如图所示，则下列说法正确的是（    ）． 小数比小文先出发15秒； 小文提速后的速度为； ； 从小数出发至送餐结束，小文和小数最远相距． A． B． C． D． 4．（25-26八年级上·江苏扬州·期末）如图是一家公司绘制的销售收入随广告支出增加的变化趋势图，根据趋势图可预测当广告支出为2.5万元时，销售收入是____万元． 5．（25-26八年级上·江苏无锡·期末）已知从山脚起每升高，气温就下降．若测得山脚处的气温为，当从山脚起上升的高度为，所在位置的气温是，则关于的函数表达式为___________． 6．（24-25八年级上·山西晋中·期末）如图，在平面直角坐标系中，线段，分别表示1号、2号无人机在队形变换中飞行高度，与飞行时间的函数关系，其中，线段与相交于点，轴于点，点的横坐标为25，则在第_________秒时1号和2号无人机在同一高度． 7．（25-26八年级上·山东枣庄·阶段检测）如图，杆秤是利用杠杆原理来称物品质量的简易衡器，其秤砣到提钮的水平距离y与所挂物重x之间满足一次函数关系，下表为记录几次数据之后所列表格：若秤砣到提钮的水平距离是，此时挂重物为______． 0 1 2 8 8．（24-25八年级下·湖南长沙·期末）某文具商店销售某种文具时，顾客一次购买10件以内的（含10件）按原价付款，超过10件的，超出部分按原价的8折付款．若付款总数（元）与顾客一次购买数量（件）之间的函数关系如图所示，则这件商品每件的原价为______元． 9．（24-25八年级上·江苏苏州·期末）如图1，底面积为的空长方体容器内水平放置着由两个实心圆柱体组成的“几何体”，现向容器内均匀注水，注满为止，在注水过程中，水面高度与注水时间t之间的关系如图2所示，若“几何体”下方圆柱体的底面积为，则“几何体”上方圆柱体的底面积为__________． 10．（23-24八年级上·江苏南京·期末）电力公司想要估计某种风力发电塔的建造成本和所带来的利润，调查小组提出用如图的公式估计财务营收，其中F（元）为财务营收，x（年）为时间．根据公式，至少需要______年才能收回成本． 素养提升 1．（25-26八年级下·江苏盐城·阶段检测）某商场经营某种品牌的童装，进价为每件70元，根据市场调研，在一段时间内，当童装的销售定价为每件110元时，可售出20件，而每件定价每降低1元，销售量就增加2件． (1)当童装销售定价为每件100元时，销售量为________件； (2)直接写出销售量y（件）与售价x（元/件）的函数关系式为________； (3)为了尽可能地让利于顾客，该童装销售定价为每件多少元时，商场销售该品牌童装可盈利1200元？ 2．（25-26八年级上·江苏镇江·期末）向一个底部长、宽、水深的长方体游泳池注水，水位每小时上升． (1)写出游泳池水深关于注水时间的函数表达式； (2)如果共注水，求y关于x的函数表达式； (3)如果水深时游泳池即可开放使用，那么需往游泳池注水几小时？注水多少？ 3．（25-26八年级上·江苏镇江·期末）A，B两地相距200，甲列车从A地出发，以240的平均速度驶向B地；乙列车在甲列车出发后，从B地出发以320的平均速度驶向A地．如图所示是两列车与A地的距离关于时间的函数图象．请根据图象回答问题： (1)甲列车出发多久后与乙列车相遇？此时距A地多远？ (2)甲列车出发多长时间，两车相距140？ 4．（25-26八年级上·江苏宿迁·期末）沐阳快速路全长31公里，在铺设过程中，需将其中某路段，交由工程队承建.有甲、乙两家工程队参与投标，其报价方案如下： 甲工程队：基础费用1000万元（含设备、人员调配等成本)，每公里施工费180万元； 乙工程队：基础费用600万元，每公里施工费220万元． 设施工路段长度公里，甲工程队承建费用为万元，乙工程队承建费用为万元． (1)分别求出，与之间的关系式； (2)当施工路段为多少公里时，甲、乙两个工程队的承建费用相同？ (3)若预算上限为3000万元，则应选哪个工程队，可使施工路段长度更长？请说明理由． 5．（25-26八年级上·江苏盐城·期末）甲、乙两家汽车出租公司收取的租车费y甲（元）、y乙（元）都是行车里程x（千米）的函数，它们的图象如图所示． (1)根据图象回答：当 时，甲、乙两家公司的租车费相等； (2)求y乙与x之间的函数表达式； (3)若丙汽车出租公司收取的租车费为每千米0.5元，另收取一次性管理费2400元．在这三家公司中，你认为在哪家公司租车较好． 迁移创新 1．（25-26八年级上·江苏盐城·期末）问题背景 新能源汽车多数采用电能作为动力来源，不需要燃烧汽油，这样就减少了二氧化碳等气体的排放，从而达到保护环境的目的． 实验操作 为了解汽车电池需要多久能充满电，以及充满电量状态下电动汽车的最大行驶里程，某综合实践小组设计两组实验． 表1 电池充电状态 时间t（分钟） 0 10 15 40 增加的电量y（%） 0 20 30 80 实验一：探究电池充电状态下电动汽车仪表盘增加的电量y（%）与时间t（分钟）的关系数据记录如表1： 实验二：探究充满电量状态下电动汽车行驶过程中仪表盘显示电量e（%）与行驶里程s（千米）的关系，数据记录如表2： 表2 汽车行驶过程 已行驶里程s（千米） 0 150 200 350 显示电量 e（%） 100 70 60 30 建立模型 （1）观察表1、表2，发现都是一次函数模型，请结合表1、表2的数据，求出y关于t的函数表达式及e关于s的函数表达式．（不需要写出自变量的取值范围） 解决问题 （2）某电动汽车在充满电量的状态下出发，前往距离出发点650千米处的目的地，若电动汽车行驶300千米后，在途中的服务区充电，一次性充电若干时间后继续行驶，且到达目的地后电动汽车仪表盘显示电量为，则电动汽车在服务区充电多长时间？ 2．（25-26八年级上·江苏南京·期末）如图，某滤水壶有净水区和蓄水区．现给空壶的净水区加满水，净水区中水匀速流向蓄水区，一段时间后再将净水区补满（ 不计补水时间）．已知净水区水面与蓄水区水面的距离与水流时间的函数图象如图①所示． (1)点B的坐标的实际意义是 ； (2)求线段的函数表达式； (3)设滤水壶净水区水面、蓄水区水面距滤水壶底的高度分别为、，请在图②中分别画出、与水流时间的函数图象，并标注出关键点的坐标． 3．（25-26八年级上·江苏盐城·期末）综合与实践 知识背景 古代人们利用杠杆原理制作出了杆秤（如图1），杆秤是中国独立发明的度量物体质量的衡器，它是我国古代劳动人民的智慧结晶． 素材1 图2为杆秤称量物体质量的示意图，使用时将物体放在秤盘上，用手提起B处的秤纽，在秤杆上移动秤砣的位置，当秤杆水平平衡时，可根据秤砣在秤杆上的位置读出物体的质量．其中秤盘质量克，物体质量m克，秤砣质量M克，秤纽与秤盘的水平距离为l厘米，秤纽与零刻线的水平距离为a厘米，秤砣与零刻线的水平距离为y厘米，当满足时，杆秤处于平衡状态． 素材2 李师傅制作了一个杆秤，他设定克，克，最大可称物体质量为5000克，零刻线与末刻线的距离定为50厘米．如图3，当秤盘不放物体，秤砣在零刻线时，杆秤平衡；如图4，当秤盘放入质量为5000克的物体，秤砣从零刻线移至末刻线时，杆秤平衡． 素材3 李师傅的徒弟小周在学习了师傅的制作方法后，小周自己也另外做了一把杆秤，他称量质量为80克的物体时，秤砣在H处杆秤平衡（如图5）；称量质量为120克的物体时，秤砣在G处杆秤平衡（如图6）． 根据以上的素材，解决下面问题 (1)根据素材1和素材2，得出李师傅制作的杆秤中_________；_________． (2)根据素材1和素材2，求李师傅制作的杆秤中y关于m的函数表达式； (3)根据素材1和素材3，求小周制作的杆秤可称物体的最大质量是多少克？ 1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 $