2.1 平方根 同步讲义 2026--2027学年苏科版八年级数学上册

本讲义聚焦初中数学“平方根”核心知识点，系统梳理算术平方根（正数x²=a的正数x，双重非负性）与平方根（数的平方等于a，正数两相反数平方根等）的概念、性质及求法，通过典例与变式题构建从概念到应用的学习支架。 资料以题型分类为特色，结合拼图、数值转换器等问题培养数学眼光（抽象能力、几何直观）与数学思维（运算能力、推理意识），梯度化题目设计助力课中教学实施与课后学生查漏补缺，提升应用意识。

2.1 平方根 内 容 导 航 题型1 算术平方根 题型2 平方根 考 点 演 练 题型1 算术平方根 解｜题｜知｜识 （1）算术平方根的概念：一般地，如果一个正数x的平方等于a，即x2＝a，那么这个正数x叫做a的算术平方根．记为． （2）非负数a的算术平方根a有双重非负性：①被开方数a是非负数；②算术平方根a本身是非负数． （3）求一个非负数的算术平方根与求一个数的平方互为逆运算，在求一个非负数的算术平方根时，可以借助乘方运算来寻找． 【典例1】64的算术平方根是（　　） A．±4 B．±8 C．4 D．8 【变式1】的值为（　　） A．±2 B．2 C．4 D．±4 【变式2】小明是一个电脑爱好者，设计了一个程序如图，当输入x的值是有理数64时，输出的y值是（　　） A．8 B．±8 C．2 D． 【变式3】下列各式中，正确的是（　　） A．2 B．9 C．±3 D．±±3 题型2 平方根 解｜题｜知｜识 （1）定义：如果一个数的平方等于a，这个数就叫做a的平方根，也叫做a的二次方根． 一个正数有两个平方根，这两个平方根互为相反数，零的平方根是零，负数没有平方根． （2）求一个数a的平方根的运算，叫做开平方． 一个正数a的正的平方根表示为“”，负的平方根表示为“”． 正数a的正的平方根，叫做a的算术平方根，记作．零的算术平方根仍旧是零． 平方根和立方根的性质 1．平方根的性质：正数a有两个平方根，它们互为相反数；0的平方根是0；负数没有平方根． 2．立方根的性质：一个数的立方根只有一个，正数的立方根是正数，负数的立方根是负数，0的立方根是0． 【典例1】16的平方根是（　　） A．±4 B．4 C．±8 D．8 【变式1】的平方根是（　　） A．6 B．±6 C． D． 【变式2】若2m﹣5与3m﹣15是同一个数的两个不相等的平方根，则这个数是（　　） A．3 B．﹣3 C．16 D．9 【变式3】4的平方根为（　　） A．2 B．±2 C．4 D．±4 过 关 验 收 1．如图，用边长为3的两个小正方形拼成一个大正方形，则大正方形的边长最接近的整数是（　　） A．3 B．4 C．5 D．6 2．若a﹣2是一个数的算术平方根，则（　　） A．a≥0 B．a＞0 C．a＞2 D．a≥2 3．下列各式中，正确的是（　　） A． B． C． D． 4．已知，那么（a+b）2025＝（　　） A．0，﹣1 B．1，﹣1 C．1，0 D．﹣1 5．若，，则的值用a，b可以表示为（　　） A． B． C． D． 6．已知，，则（　　） A．14.35 B．143.5 C．45.39 D．453.9 7．计算：　 　 ． 8．的算术平方根是　 　 ． 9．16的算术平方根是 　 　 ． 10．如图是一个数值转换器（|x|＜25）． （1）当输入的x为﹣14时．输出的y值是　 　 ； （2）若输入实数x后，始终输不出y值，则所有满足要求的x的值为　 　 ； （3）若输出的y是，求x的负整数值． 11．我们知道，负数没有算术平方根，但对于三个互不相等的负整数，若两两乘积的算术平方根都是整数，则称这三个数为“完美组合数”．例如：﹣1、﹣4、﹣9这三个数，，，，其结果6、3、2都是整数，所以﹣1、﹣4、﹣9这三个数称为“完美组合数”． （1）﹣3、﹣12、﹣27这三个数　 　 “完美组合数”（填“是”或“不是”）． （2）若三个数﹣5、m、﹣20是“完美组合数”，其中有两个数乘积的算术平方根为15，求m的值． 12．先填写表，通过观察后再回答问题． a … 0.0004 0.04 4 400 40000 … … 0.02 x 2 20 y … （1）表格中x＝ 　 　 ，y＝　 　 ； （2）从表格中探究a与数位的规律，并利用这个规律解决下面两个问题： ①已知，，则 　 　 ； ②已知，，用含m的代数式表示n，则n＝　 　 　 ． 13．（1）如图1，用两个边长为的小正方形纸片剪拼成一个大正方形．求大正方形的边长； （2）如图2，某同学把长为2，宽为1的两个长方形进行裁剪，拼成如图所示的一个正方形，求小长方形的对角线的长度； （3）若沿着（1）小题的大正方形纸片边的方向裁剪，能否裁得一个长宽之比为3：2且面积为12cm2的长方形纸片，若能，求出裁得的长方形纸片的长和宽；若不能，请说明理由．、 14．小红想用一块面积为900cm2的正方形纸片，沿着边的方向裁出一块面积为600cm2的长方形纸片，使它的长宽之比为5：3，他不知道能否裁得出来，正在发愁，这时小明同学见了说：“别发愁，一定能用一块面积大的纸片裁出一块面积小的纸片．” （1）长方形纸片的长和宽分别是多少厘米？ （2）你是否同意小明同学的说法？说明理由． 15．2x+4有平方根，则x满足的条件是（　　） A．x＜﹣2 B．x＞﹣2 C．x≤﹣2 D．x≥﹣2 16．9的平方根是±3，用数学符号表示，正确的是（　　） A． B．± C． D．±±3 17．64的平方根是　 　 ． 18．已知|a|＝5，b是49的平方根，且|a+b|＝a+b，则a﹣b的值为 　　 　 ． 19．已知某正数的两个不同平方根分别是m+4和2m﹣16，则m＝　 　 ． 20．中国清代学者华衡芳和英国人傅兰雅合译英国瓦里斯的《代数学》，卷首有“代数之法，无论何数，皆可以任何记号代之”，说明了所谓“代数”，就是用符号来代表数的一种方法，若一个正数的平方根分别是2a﹣3和5﹣a，则a的值是 　 　 ． 21．已知一个正数的两个平方根分别是3x+2和5x+6，则这个正数是　 　 ． 22．若一个正数的两个不同的平方根为2m﹣6和m+3，则m为　 　 ． 23．若2m﹣4与3m﹣1是同一个正数a的平方根，则a为　 　 ． 24．若（x+1）2＝64，则x＝ 　 　 ． 25．若8xmy与6x3yn是同类项，则（m+n）3的平方根为　 　 ． 26．若2m﹣4与3m﹣1是同一个正数a的两个不同的平方根，则a＝　 　 ． 27．如果一个数的平方根是±7，那么这个数是　 　 ． 28．已知一个正数的两个平方根分别是x﹣1和3x+5，则x的值为　 　 ． 29．求下列各式中x的值： （1）； （2）（x﹣2）2＝169． 30．一个正数的平方根是a﹣3和a+7，求这个数． 31．已知正实数x的两个平方根分别是m+1和m﹣3，求m和正实数x的值． 32．已知：2m+2的平方根是±4，3m+n+1的平方根是±5，求m+2n的平方根． 学科网（北京）股份有限公司 $ 2.1 平方根 内 容 导 航 题型1 算术平方根 题型2 平方根 考 点 演 练 题型1 算术平方根 解｜题｜知｜识 （1）算术平方根的概念：一般地，如果一个正数x的平方等于a，即x2＝a，那么这个正数x叫做a的算术平方根．记为． （2）非负数a的算术平方根a有双重非负性：①被开方数a是非负数；②算术平方根a本身是非负数． （3）求一个非负数的算术平方根与求一个数的平方互为逆运算，在求一个非负数的算术平方根时，可以借助乘方运算来寻找． 【典例1】64的算术平方根是（　　） A．±4 B．±8 C．4 D．8 【答案】D 【解答】解：64的算术平方根是8． 故选：D． 【变式1】的值为（　　） A．±2 B．2 C．4 D．±4 【答案】C 【解答】解；的值为4， 故选：C． 【变式2】小明是一个电脑爱好者，设计了一个程序如图，当输入x的值是有理数64时，输出的y值是（　　） A．8 B．±8 C．2 D． 【答案】D 【解答】解：正确按照流程图顺序计算如下： 64的算术平方根是8，是有理数， 故将8取立方根为2，是有理数， 将2取算术平方根得，是无理数． 故选：D． 【变式3】下列各式中，正确的是（　　） A．2 B．9 C．±3 D．±±3 【答案】D 【解答】解：A、2，故本选项错误； B、3，故本选项错误； C、3，故本选项错误； D、±3，故本选项正确； 故选：D． 题型2 平方根 解｜题｜知｜识 （1）定义：如果一个数的平方等于a，这个数就叫做a的平方根，也叫做a的二次方根． 一个正数有两个平方根，这两个平方根互为相反数，零的平方根是零，负数没有平方根． （2）求一个数a的平方根的运算，叫做开平方． 一个正数a的正的平方根表示为“”，负的平方根表示为“”． 正数a的正的平方根，叫做a的算术平方根，记作．零的算术平方根仍旧是零． 平方根和立方根的性质 1．平方根的性质：正数a有两个平方根，它们互为相反数；0的平方根是0；负数没有平方根． 2．立方根的性质：一个数的立方根只有一个，正数的立方根是正数，负数的立方根是负数，0的立方根是0． 【典例1】16的平方根是（　　） A．±4 B．4 C．±8 D．8 【答案】A 【解答】解：∵（±4）2＝16， ∴16的平方根是：±4． 故选：A． 【变式1】的平方根是（　　） A．6 B．±6 C． D． 【答案】D 【解答】解：∵6， ∴6的平方根为， 故选：D． 【变式2】若2m﹣5与3m﹣15是同一个数的两个不相等的平方根，则这个数是（　　） A．3 B．﹣3 C．16 D．9 【答案】D 【解答】解：因为2m﹣5与3m﹣15是同一个数的两个不相等的平方根， 所以2m﹣5+3m﹣15＝0， 解得m＝4， 所以2m﹣5＝3，3m﹣15＝﹣3， 所以这个数是9． 故选：D． 【变式3】4的平方根为（　　） A．2 B．±2 C．4 D．±4 【答案】B 【解答】解：4的平方根是±2， 故选：B． 过 关 验 收 1．如图，用边长为3的两个小正方形拼成一个大正方形，则大正方形的边长最接近的整数是（　　） A．3 B．4 C．5 D．6 【答案】B 【解答】解：∵用边长为3的两个小正方形拼成一个大正方形， ∴大正方形的面积为：9+9＝18， 则大正方形的边长为：， ∵， ∴44.5， ∴大正方形的边长最接近的整数是4． 故选：B． 2．若a﹣2是一个数的算术平方根，则（　　） A．a≥0 B．a＞0 C．a＞2 D．a≥2 【答案】D 【解答】解：由题意得，a﹣2≥0， 解得a≥2， 故选：D． 3．下列各式中，正确的是（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【解答】解：A、2，故本选项错误； B、3，故本选项错误； C、9，故本选项错误； D、13，故本选项正确． 故选：D． 4．已知，那么（a+b）2025＝（　　） A．0，﹣1 B．1，﹣1 C．1，0 D．﹣1 【答案】A 【解答】解：∵， ∴a+b+1＝0或a+b+1＝1， ∴a+b＝﹣1或a+b＝0， ∴原式＝﹣1或0． 故选：A． 5．若，，则的值用a，b可以表示为（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【解答】解：． 故选：C． 6．已知，，则（　　） A．14.35 B．143.5 C．45.39 D．453.9 【答案】B 【解答】解：∵， ∴． 故选：B． 7．计算：　 　 ． 【答案】5． 【解答】解；5， 故答案为：5． 8．的算术平方根是　 　 ． 【答案】． 【解答】解：∵， ∴的算术平方根是， 故答案为：． 9．16的算术平方根是 　 　 ． 【答案】4 【解答】解：4． 故答案为：4 10．如图是一个数值转换器（|x|＜25）． （1）当输入的x为﹣14时．输出的y值是　 　 ； （2）若输入实数x后，始终输不出y值，则所有满足要求的x的值为　 　 ； （3）若输出的y是，求x的负整数值． 【答案】（1）； （2）1，2，3； （3）﹣3或﹣23． 【解答】解：（1）当x＝﹣14时，|x﹣2|＝|﹣14﹣2|＝16，4，2，是无理数， ∴当输入的x为﹣14时．输出的y值是． 故答案为：； （2）∵0和1的算术平方根是它本身， ∴|x﹣2|＝0， 解得x＝2， |x﹣2|＝1， 解得x＝3或x＝1， ∴所有满足要求的x的值为1，2，3． 故答案为：1，2，3； （3）若第1次运算是， ∵5， ∴|x﹣2|＝5， 解得x＝7或x＝﹣3， ∵x为负整数， ∴输入的x值为﹣3； 若第2次运算是， ∵5，52＝25， ∴|x﹣2|＝25， 解得x＝27或x＝﹣23， ∵x为负整数， ∴输入的x值为﹣23， ∵|x|＜25， ∴x的负整数值为﹣3或﹣23． 11．我们知道，负数没有算术平方根，但对于三个互不相等的负整数，若两两乘积的算术平方根都是整数，则称这三个数为“完美组合数”．例如：﹣1、﹣4、﹣9这三个数，，，，其结果6、3、2都是整数，所以﹣1、﹣4、﹣9这三个数称为“完美组合数”． （1）﹣3、﹣12、﹣27这三个数　 　 “完美组合数”（填“是”或“不是”）． （2）若三个数﹣5、m、﹣20是“完美组合数”，其中有两个数乘积的算术平方根为15，求m的值． 【答案】（1）是； （2）m＝﹣45． 【解答】解：（1）∵负数没有算术平方根，但对于三个互不相等的负整数，若两两乘积的算术平方根都是整数，则称这三个数为“完美组合数”，，，，其中6，9，18都是整数， ∴﹣3、﹣12、﹣27这三个数是“完美组合数”， 故答案为：是； （2）当时，则﹣5m＝225，解得m＝﹣45， ∵，，且10，15，30都是整数， ∴此时满足﹣5、m、﹣20是“完美组合数”； 当时，则﹣20m＝225，解得，不满足m是整数，不符合题意； 综上所述，m＝﹣45． 12．先填写表，通过观察后再回答问题． a … 0.0004 0.04 4 400 40000 … … 0.02 x 2 20 y … （1）表格中x＝ 　 　 ，y＝　 　 ； （2）从表格中探究a与数位的规律，并利用这个规律解决下面两个问题： ①已知，，则 　 　 ； ②已知，，用含m的代数式表示n，则n＝　 　 　 ． 【答案】（1）0.2；200；（2）①26.5；②． 【解答】解：（1）根据题意可知，， ∵a＝40000，， ． 故答案为：0.2；200； （2）①根据题意可知，到被开方数扩大到原来100倍， ∵， ∴； ②∵，， ∴， ∴， ∴． 故答案为：①26.5；②． 13．（1）如图1，用两个边长为的小正方形纸片剪拼成一个大正方形．求大正方形的边长； （2）如图2，某同学把长为2，宽为1的两个长方形进行裁剪，拼成如图所示的一个正方形，求小长方形的对角线的长度； （3）若沿着（1）小题的大正方形纸片边的方向裁剪，能否裁得一个长宽之比为3：2且面积为12cm2的长方形纸片，若能，求出裁得的长方形纸片的长和宽；若不能，请说明理由．、 【答案】见试题解答内容 【解答】（1）由题意得，大正方形的面积， ∴大正方形的边长； （2）∵大正方形面积为：（1+2）2＝9，两个小长方形面积之和为：2×1×2＝4， ∴小正方形面积为：9﹣4＝5， ∴长方形对角线长度为； （3）不能；理由如下： 设长方形纸片的长为3acm，宽为2acm， 由题意，得3a•2a＝12， 解得：a， 此时3a＝34， ∴不能裁得一个长宽之比为3：2且面积为12cm2的长方形纸片． 14．小红想用一块面积为900cm2的正方形纸片，沿着边的方向裁出一块面积为600cm2的长方形纸片，使它的长宽之比为5：3，他不知道能否裁得出来，正在发愁，这时小明同学见了说：“别发愁，一定能用一块面积大的纸片裁出一块面积小的纸片．” （1）长方形纸片的长和宽分别是多少厘米？ （2）你是否同意小明同学的说法？说明理由． 【答案】（1）长是10cm，宽是6cm； （2）不同意小于同学的说法，理由见解答． 【解答】解：（1）解：设长方形纸片的长为5x（x＞0）cm，则宽为3xcm， 依题意得，5x•3x＝600， 15x2＝600， x2＝40， ∵x＞0， ∴x＝2， ∴长方形纸片的长为10 cm，宽为6cm， 答：长方形纸片的长是10cm，宽是6cm； （2）不同意小于同学的说法． 理由：∵面积为900平方厘米的正方形的边长为30厘米，1030， ∴长方形纸片的长大于正方形纸片的边长， ∴不能用这块纸片裁出符合要求的长方形纸片． 15．2x+4有平方根，则x满足的条件是（　　） A．x＜﹣2 B．x＞﹣2 C．x≤﹣2 D．x≥﹣2 【答案】D 【解答】解：由题意可得：2x+4≥0， ∴2x≥﹣4， ∴x≥﹣2． 故选：D． 16．9的平方根是±3，用数学符号表示，正确的是（　　） A． B．± C． D．±±3 【答案】D 【解答】解：A、表示9的算术平方根，故选项错误； B、±，故选项错误； C、等式左右两边不可能相等，故选项错误； D、±±3，故选项正确． 故选：D． 17．64的平方根是　 　 ． 【答案】±8． 【解答】解：64的平方根为：±±8， 故答案为：±8． 18．已知|a|＝5，b是49的平方根，且|a+b|＝a+b，则a﹣b的值为 　　 　 ． 【答案】﹣2或﹣12 【解答】解：∵|a|＝5， ∴a＝±5， ∵b是49的平方根， ∴b＝±7， ∵|a+b|＝a+b， ∴a+b＞0， ∴a＝5，b＝7或a＝﹣5，b＝7， ∴a﹣b＝5﹣7＝﹣2或a﹣b＝﹣5﹣7＝﹣12， 故答案为：﹣2或﹣12． 19．已知某正数的两个不同平方根分别是m+4和2m﹣16，则m＝　 　 ． 【答案】4 【解答】解：∵正数的两个不同平方根分别是m+4和2m﹣16， ∴m+4+2m﹣16＝0． 解得m＝4． 故答案为：4． 20．中国清代学者华衡芳和英国人傅兰雅合译英国瓦里斯的《代数学》，卷首有“代数之法，无论何数，皆可以任何记号代之”，说明了所谓“代数”，就是用符号来代表数的一种方法，若一个正数的平方根分别是2a﹣3和5﹣a，则a的值是 　 　 ． 【答案】﹣2 【解答】解：∵一个正数的平方根分别是2a﹣3和5﹣a， ∴2a﹣3+5﹣a＝0， ∴a＝﹣2． 故答案为：﹣2． 21．已知一个正数的两个平方根分别是3x+2和5x+6，则这个正数是　 　 ． 【答案】1 【解答】解：由题意得 3x+2+5x+6＝0 ∴x＝﹣1 ∴3x+2＝﹣1，5x+6＝1 ∴这个正数的两个平方根分别为﹣1和1，则这个正数为1 22．若一个正数的两个不同的平方根为2m﹣6和m+3，则m为　 　 ． 【答案】1 【解答】解：由题意可知：（2m﹣6）+（m+3）＝0， ∴3m＝3， ∴m＝1， 故答案为：1 23．若2m﹣4与3m﹣1是同一个正数a的平方根，则a为　 　 ． 【答案】4或100． 【解答】解：∵2m﹣4与3m﹣1是同一个正数a的平方根， ∴2m﹣4+3m﹣1＝0或2m﹣4＝3m﹣1， 解得：m＝1或﹣3， ∴当m＝1时，2m﹣4＝2×1﹣4＝﹣2， ∴a＝（﹣2）2＝4， 当m＝﹣3时，2m﹣4＝2×（﹣3）﹣4＝﹣10， ∴a＝（﹣10）2＝100， 故答案为：4或100． 24．若（x+1）2＝64，则x＝ 　 　 ． 【答案】7或﹣9． 【解答】解：∵（x+1）2＝64， ∴， ∴x+1＝8或x+1＝﹣8， x＝7或﹣9． 故答案为：7或﹣9． 25．若8xmy与6x3yn是同类项，则（m+n）3的平方根为　 　 ． 【答案】±8 【解答】解：∵8xmy与6x3yn是同类项， ∴m＝3，n＝1， ∴（m+n）3＝43＝64， ∵64的平方根是±8， ∴（m+n）3的平方根为±8， 故答案为：±8． 26．若2m﹣4与3m﹣1是同一个正数a的两个不同的平方根，则a＝　 　 ． 【答案】4． 【解答】解：根据题意得2m﹣4+3m﹣1＝0， 解得m＝1， ∴3m﹣1＝2， ∴a＝22＝4， 故答案为：4． 27．如果一个数的平方根是±7，那么这个数是　 　 ． 【答案】49． 【解答】解：∵一个数的平方根是±7， ∴这个数为（±7）2＝49， 故答案为：49． 28．已知一个正数的两个平方根分别是x﹣1和3x+5，则x的值为　 　 ． 【答案】﹣1． 【解答】解：根据题意，得x﹣1+3x+5＝0， x+3x＝1﹣5， 4x＝﹣4， x＝﹣1， 故答案为：﹣1． 29．求下列各式中x的值： （1）； （2）（x﹣2）2＝169． 【答案】（1）x1＝8，x2＝﹣8；（2）x1＝15，x2＝﹣11． 【解答】解：（1）， x2＝64， 解得：x1＝8，x2＝﹣8； （2）（x﹣2）2＝169， x﹣2＝±13， x＝±13+2， 解得：x1＝15，x2＝﹣11． 30．一个正数的平方根是a﹣3和a+7，求这个数． 【答案】见试题解答内容 【解答】解：由一个正数的两个平方根互为相反数可知a﹣3+a+7＝0， 解得a＝﹣2， 则这个正数的平方根为﹣5和5， 这个正数为52＝25． 31．已知正实数x的两个平方根分别是m+1和m﹣3，求m和正实数x的值． 【答案】m＝1，x＝4． 【解答】解：∵正实数x的两个平方根分别是m+1和m﹣3， ∴（m+1）+（m﹣3）＝0， 解得：m＝1， ∴m+1＝2， ∴x＝22＝4． 32．已知：2m+2的平方根是±4，3m+n+1的平方根是±5，求m+2n的平方根． 【答案】． 【解答】解：∵2m+2的平方根是±4， ∴2m+2＝16， 解得m＝7， ∵3m+n+1的平方根是±5， ∴3m+n+1＝25，即21+n+1＝25， 解得n＝3， ∴m+2n＝13， ∴m+2n的平方根是． 学科网（北京）股份有限公司 $