专题 2.1 平方根（知识梳理 + 题型精析 +同步检测）- 2026-2027学年苏科版八年级数学上册基础知识专项突破讲与练

本讲义聚焦初中数学“平方根”核心知识点，系统梳理平方根的定义与性质（正数两相反数平方根、0的平方根、负数无平方根）、算术平方根（双重非负性）、开平方运算（与平方互逆）及两大核心恒等式，构建从概念辨析到运算应用的学习支架。 该资料通过分层题型设计（夯实基础与综合提升），如实际应用题（正方形边长面积计算）培养应用意识，规律探究题发展推理能力，估值问题提升抽象能力。课中辅助教师系统教学，课后同步检测助力学生查漏补缺，落实数学核心素养。

专题 2.1 平方根（知识梳理 + 题型精析 +同步检测） 目录 一.学习目标与重难点 1 （一）学习目标 1 （二）重难点 2 二.知识梳理与解读 2 【知识点一】平方根的定义与性质 2 【知识点二】算术平方根 2 【知识点三】开平方运算 2 【知识点四】两大核心恒等式 3 三.题型精析（夯实基础） 3 【题型 1】求算术平方根 3 【题型 2】 求一个数的平方根 5 【题型 3】恒等式化简计算 6 四.题型精析（综合提升） 8 【题型 4】利用平方根解方程 8 【题型 5】平方根实际应用 10 【题型 6】概念辨析易错题 12 【题型 7】平方根与规律问题探究 14 【题型 8】算术平方根估值问题 17 【题型 9】算术平方根非负性问题 21 五.同步检测 23 （一）选择题（共8题，每小题4分，合计32分） 23 （二）填空题（共8题，每小题4分，合计32分） 26 （三）解答题（共4题，每小题9分，合计36分） 28 一.学习目标与重难点 （一）学习目标 1. 理解平方根、算术平方根的概念，明确二者的联系与区别，规范掌握对应数学符号的书写与含义。 2. 熟练掌握平方根的性质，能够准确求解任意非负数的平方根与算术平方根。 3. 理解平方与开平方互为逆运算，能利用逆运算求解简单的平方方程。 4. 掌握平方根两大核心恒等式，能规范完成根式化简与基础计算。 5. 学会运用平方根知识，解决正方形边长、面积相关的实际应用问题。 （二）重难点 重点：平方根与算术平方根的定义、符号表示；非负数平方根的求解；平方根基础计算。 难点：平方根与算术平方根的概念辨析；的化简；双重非负性的理解与应用。 二.知识梳理与解读 【知识点一】平方根的定义与性质 定义：如果一个数的平方等于（即），那么这个数叫做的平方根，也叫二次方根。 平方根核心性质： 1. 正数有两个平方根，它们互为相反数； 2. 0的平方根是0； 3. 负数没有平方根（任何数的平方均为非负数）。 符号表示：正数的平方根记作，其中为正平方根，为负平方根。 【知识点二】算术平方根 定义：正数的正的平方根，叫做的算术平方根，记作。 规定：0的算术平方根是0，即。 双重非负性（必考）： 1. 被开方数非负：； 2. 算术平方根结果非负：。 【知识点三】开平方运算 求一个数平方根的运算，叫做开平方。 核心关系：平方运算与开平方运算互为逆运算，可互相推导、相互检验计算结果。 【知识点四】两大核心恒等式 1. （先开方、再平方，结果等于本身） 2. （先平方、再开方，结果为绝对值） 三.题型精析（夯实基础） 【题型 1】求算术平方根 【例题1】（24-25七年级下·全国·课后作业）求下列各数的算术平方根： （1）； （2）； （3）． 【答案】（1）；（2）；（3） 【分析】本题考查算术平方根的概念，关键是掌握算术平方根的定义．如果一个正数的平方等于，即，那么这个正数叫做的算术平方根，由此可计算． （1）由从而可得答案； （2）由从而可得答案； （3）由从而可得答案 解：（1）解：∵， 的算术平方根是； （2）解：∵， 的算术平方根是； （3）解：∵， 的算术平方根是 【变式1】（25-26八年级上·广东茂名·期中）的算术平方根是（     ） A． B． C． D． 【答案】B 解：的算术平方根为． 【变式2】（25-26七年级下·江西上饶·期末）17的算术平方根是_____． 【答案】 【分析】本题考查算术平方根的定义，根据算术平方根的定义直接求解即可． 解：根据算术平方根的定义，若一个正数满足，则正数为的算术平方根，记为. 因为，且是正数， 所以的算术平方根是． 【变式3】（25-26八年级上·全国·课后作业）求下列各数的算术平方根： （1）； （2）0.0001； （3）900； （4）； （5）； （6）． 【答案】（1）；（2）0.01；（3）30；（4）；（5）；（6）2 【分析】本题考查了算术平方根的定义，负整数指数幂，解题的关键是熟练掌握算术平方根的定义，如果一个非负数x的平方等于a，即，那么这个非负数叫做a的算术平方根． （1）根据算术平方根的定义计算即可； （2）根据算术平方根的定义计算即可； （3）根据算术平方根的定义计算即可； （4）根据算术平方根的定义计算即可； （5）根据算术平方根的定义计算即可； （6）根据算术平方根的定义计算即可． （1）解：； （2）解：； （3）解：； （4）解：； （5）解：； （6）解：． 【题型 2】 求一个数的平方根 【例题2】（26-27八年级·上海·暑假作业）求下列各数的平方根． （1） （2） （3） （4） 【答案】（1）；（2）；（3）；（4） （1）解：∵， ∴的平方根是； （2）解：∵， ∴的平方根是； （3）解：∵， ∴的平方根是； （4）解：∵，， ∴的平方根是． 【变式1】（25-26七年级下·甘肃陇南·期末）若一个数的一个平方根是2026，则它的另一个平方根为（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查平方根的基本性质，一个正数的两个平方根互为相反数，利用该性质可直接求解． 解：∵ 一个正数的两个平方根互为相反数， 这个数的一个平方根是， ∴ 它的另一个平方根是． 【变式2】（25-26七年级下·河南许昌·期末）的平方根是________． 【答案】 【分析】先计算乘方得到运算结果，再根据平方根的定义求出最终结果． 解：， ∴的平方根是． 【变式3】（25-26七年级下·广东江门·阶段检测）已知和互为相反数． （1）分别求出x，y的值； （2）求出的平方根． 【答案】（1），；（2） 【分析】（1）根据相反数的定义列方程，再结合绝对值和算术平方根的非负性求解即可； （2）将（1）的结果代入求出代数式的值，再计算平方根即可． （1）解：和互为相反数， ， ，， ，， ，； （2）解：由（1）可知，，， ， 的平方根为． 【题型 3】恒等式化简计算 【例题3】（25-26八年级上·全国·课后作业）求下列各式的值： （1）； （2）； （3）； （4）． 【答案】（1）；（2）；（3）；（4） 【分析】本题主要考查了求算术平方根，求平方根，熟练计算是解题的关键． 依据题意，根据算术平方根和平方根的定义，逐个进行化简与计算即可得解． （1）解：； （2）解：； （3）解：； （4）解：． 【变式1】（24-25七年级下·吉林·阶段检测）下列各式中，正确的是（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】先排除被开方数为负的无意义选项，再根据平方根、算术平方根的定义判断其余选项． 解：A、，故A正确； B、，故B错误； C、的被开方数小于0，无意义，故C错误； D、，故D错误． 【变式2】（24-25七年级下·四川德阳·期中）的算术平方根是______，的平方根是______． 【答案】 ； ； 解：∵ ，算术平方根为非负数， ∴ 的算术平方根是； ∵， 的平方根是， 即的平方根是． 【变式3】（24-25七年级下·四川绵阳·阶段检测）先说出下列各式的意义，再计算． （1） （2） （3）． 【答案】（1）；（2）15；（3） 【分析】本题主要考查了求一个数的平方根和算术平方根，熟知平方根和算术平方根的定义是解题的关键． （1）根据平方根的计算方法和平方根的意义求解即可； （2）根据算术平方根的计算方法和算术平方根的定义求解即可； （3）根据平方根的计算方法和平方根的意义求解即可． 解：（1）解： 表示 的平方根， ； （2）解：表示225的算术平方根， ； （3）解：表示的负平方根， ． 四.题型精析（综合提升） 【题型 4】利用平方根解方程 【例题4】（25-26七年级下·甘肃定西·期末）如图1，把面积为1的两个小正方形沿虚线剪开，将所得的四个直角三角形拼成如图所示的一个大正方形，则可得这个大正方形的边长为．参考这个方法，如图2，将长为3、宽为1的两个长方形沿着对角线剪开，将所得的4个直角三角形围成如图所示的正方形． （1）图2中大正方形的面积为________； （2）求图2中白色正方形的边长a的值． 【答案】（1）16；（2） 【分析】（1）根据题意大正方形边长为，则面积可求； （2）大正方形的面积也等于空白面积加4个直角三角形的面积，利用大正方形面积列方程即可求解题目 （1）解：由题意大正方形面积为； （2）解：大正方形面积为，空白部分面积为， 根据题意得：， 即， （负值舍去） 【变式1】（23-24九年级上·江西新余·阶段检测）若，则的值为（ ） A． B．或 C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查了非负数的性质和代数式求值，正确进行开方是解题的关键．先对进行开方，得到，再根据的非负性，即可得出结论． 解：， ， 或， 不论、为何值，， ， 故选． 【变式2】（25-26七年级下·山东临沂·期末）已知，则的值为________________． 【答案】5或 解：∵， ∴， 当时，解得， 当时，解得， 综上所述，x的值为或． 【变式3】（25-26七年级下·河南安阳·期末）图1中的两个小正方形纸片面积均为，用这两个小正方形剪拼成如图2所示的一个大正方形． （1）图2中拼成的大正方形纸片的边长为 ； （2）如图3，若沿此大正方形纸片的边的方向剪出一个长方形，能否使剪出的长方形纸片的长、宽之比为，且面积为？请通过计算说明． 【答案】（1）；（2）沿此大正方形边的方向，不能裁剪出符合要求的长方形纸片． 理由如下，∵长方形纸片的长宽之比为， ∴设长方形纸片的长和宽分别是，， ∴， ∴， ∵， ∴． ∴长方形纸片的长是， ∵， ∴沿此大正方形纸片边的方向，不能裁剪出符合要求的长方形纸片． 【分析】（1）先求出大正方形的面积，再结合正方形的面积公式计算即可得出结果； （2）设长方形纸片的长和宽分别是，，结合长方形的面积公式计算得出长方形纸片的长是，比较即可得出结果． （1）解：由题意可得：大正方形的面积， ∴大正方形纸片的边长为； （2）略． 【题型 5】平方根实际应用 【例题5】（25-26七年级下·安徽芜湖·期中）求下列各式中x的值： （1）； （2）． 【答案】（1）；（2）或 （1）解：， ， ； （2）解：， ， ， 或． 【变式1】（25-26八年级下·广西崇左·期末）小南按图的方法把边长为和的两个正方形切割成5块，按图的方式拼成一个大正方形，则大正方形的边长是（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据左右两个图形的面积相等，结合算术平方根的定义求解即可． 解：左图两个正方形的面积之和为， 所以右图的正方形的面积为，边长为． 【变式2】（2026·河北邯郸·三模）用边长是的正方形地砖，铺设面积是的正方形平整地面．首先用整块地砖铺设，且保证地砖边缘与正方形地面的边缘平行，当不能铺进完整地砖时，需要把多余的部分裁掉，每块地砖裁掉部分不再使用．若铺满这个地面且所用地砖最少（地砖之间的缝隙忽略不计），则被裁掉的部分面积之和是________． 【答案】 【分析】根据正方形的面积求得边长，根据，得出覆盖这个地面且所用地砖最少就需要块，进而求得被裁掉的部分面积之和． 解：∵地面的面积是， ∴其边长是．而， 覆盖这个地面且所用地砖最少就需要块，则需要的地砖的面积为． ∴被裁掉的部分面积之和是． 【变式3】（25-26七年级下·西藏日喀则·期中）解方程： （1）； （2）． 【答案】（1），；（2）， （1）解：， 开平方得：， 即，； （2）解：， 方程两边同除以2得：， 开平方得：， 解得：，． 【题型 6】概念辨析易错题 【例题6】（25-26七年级下·江西南昌·期末）已知正数的两个不相等的平方根为和． （1）当时，求的值； （2）若，求的值． 【答案】（1）；（2）． 解：（1）解：∵和是正数的两个不相等的平方根， ∴． 当时，． ∴． （2）解：∵和是正数的两个不相等的平方根， ∴． 由题意可得，． 解得． ∵， ∴． 【变式1】（24-25七年级下·云南昭通·期末）下列说法中，正确的是（    ） A．64的平方根是8 B．2或的平方根是4 C．没有平方根 D．16的平方根是4和 【答案】D 【分析】根据平方根的相关定义对每个选项做出判断即可得到答案． 解：A、64的平方根是，故A选项错误； B、没有平方根，2的平方根是，故B选项错误； C、，9的平方根是，即的平方根是，故C选项错误； D、16的平方根是4和，故D选项正确． 【点拨】一个正数有两个平方根，这两个平方根互为相反数，零的平方根是零，负数没有平方根． 【变式2】（24-25八年级上·黑龙江大庆·期末）有下列说法：①25的平方根是5；②是的算术平方根；③的算术平方根是；④若一个数的一个平方根是，则这个数是5．其中，正确的是 _______（填序号）． 【答案】②④ 【分析】利用平方根的定义，算术平方根的定义解答即可． 解：①25的平方根是，原说法错误； ②是的算术平方根，原说法正确； ③的算术平方根是4，原说法错误； ④若一个数的一个平方根是，则这个数是5，原说法正确． 其中，正确的是②④． 故答案为：②④． 【点拨】此题主要考查了平方根、算术平方根的定义及其性质，注意一个非负数有两个平方根，互为相反数，正值为算术平方根． 【变式3】（25-26七年级下·内蒙古通辽·阶段检测）已知一个正数m的两个平方根分别是与． （1）求a的值； （2）求的平方根； 【答案】（1）；（2） 【分析】（1）根据平方根的意义列方程计算即可； （2）求出m的值，将a、m的值代入求出的值，再求其平方根即可． 解：（1）解：由已知可得， ∴； （2）解：∵， ∴， ∴， ∴， ∴19的平方根为． 【题型 7】平方根与规律问题探究 【例题7】（25-26七年级下·河北唐山·期中）阅读观察下列算式，探究规律： 第1个等式：； 第2个等式：； 第3个等式：； 第4个等式： （1）计算：； （2）计算：； （3）按照你所发现的规律，猜想第个等式：（为正整数）=________． 【答案】（1）；（2）；（3） 【分析】观察给出的前4个等式，可以发现统一特征：第k个等式中，根号内的减数分子为，分母为，化简后的最终结果为． （1）解：； （2）解：， ， ； （3）解：． 【变式1】（25-26七年级下·河南商丘·期末）利用计算器计算出的各数的算术平方根如下： … … … 11 110 … 根据以上规律，若，，则（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据表格归纳算术平方根的变化规律：被开方数的小数点向左（或向右）移动两位，它的算术平方根的小数点相应向左（或向右）移动一位，再利用规律计算所求值． 解：由表格得到规律：被开方数小数点向左（右）移动两位，算术平方根的小数点同步向左（右）移动一位， 是将的小数点向左移动两位得到的，且已知， 根据规律，将的小数点向左移动一位，得． 【变式2】（25-26七年级下·黑龙江哈尔滨·期末）如图所示为一个按某种规律排列的数阵： 根据数阵的规律，第8行第6个数是_________． 【答案】 【分析】根据数阵中数字的特点总结规律求解即可． 解：由数阵可得，整个数阵从每一行左起第一个数开始，从左到右，从上到下，是连续的正整数的算术平方根， 且第1行的第1个数是1的算术平方根，而， 第2行的第1个数是3的算术平方根，而， 第3行的第1个数是7的算术平方根，而， 第4行的第1个数是13的算术平方根，而， …… 第8行的第1个数是的算术平方根，即， 第6个数是的算术平方根，即． 【变式3】（25-26七年级下·河北沧州·期中）先填写表格，通过观察后再回答问题． 0 0.0001 0.01 1 100 10000 … 0 0.01 1 100 … （1）表格中________，________； （2）从表格中探究与数位的规律：当被开方数每扩大100倍时，扩大________倍，利用这个规律解决下面两个问题． ①已知，，则________； ②已知，，用含的式子表示． 【答案】（1）0.1；10；（2）10；①26.5；② 【分析】（1）通过计算，即可得到答案； （2）观察规律，从表格中可发现当被开方数的值扩大到原来的倍时，的值扩大到原来的倍，①根据从到被开方数扩大到原来的倍，结果扩大到原来的倍，即可得到答案；②根据题意可得，进一步得到，即可得到答案． 解：（1）解：根据表格可得，，． （2）解：根据表格可得规律：当被开方数每扩大100倍时，相应地扩大倍． ①， ； ②， ， ． 【题型 8】算术平方根估值问题 【例题8】（25-26八年级上·吉林长春·期中）【阅读理解】我们来学习利用完全平方公式近似计算算术平方根的方法． 例如求的近似值． 因为， 所以． 则可以设成以下两种形式： ①，其中； ②，其中． 小明用①的形式求的近似值的过程如下： 因为，所以． 即． 因为比较小，将忽略不计， 所以，即， 得． 所以． 【尝试探究】用②的形式求的近似值．（结果保留位小数） 【问题解决】用①、②两种形式求的近似值．（结果保留位小数） 【比较分析】用哪种形式求的近似值的精确度更高？并说明理由． 【答案】尝试探究：； 问题解决： 方法①；方法②； 比较分析： 用②的形式求的近似值的精确度更高，理由如下： ∵，， ∴用②的形式求的近似值的精确度更高． 【分析】尝试探究：根据例题方法解答即可； 问题解决：根据例题方法解答即可； 比较分析：求出两个近似值的平方，跟原数比较即可判断求解； 本题考查了算术平方根的估算，正确理解题意是解题的关键． 解：尝试探究： 因为， 所以， 即， 因为比较小，将忽略不计， 所以，即， 得． 所以； 问题解决： 因为， 所以， 则可以设成以下两种形式： ①，其中； ②，其中； 用①的形式求的近似值： 因为， 所以． 即． 因为比较小，将忽略不计， 所以，即， 得， 所以； 用②的形式求的近似值： 因为， 所以， 即， 因为比较小，将忽略不计， 所以，即， 得， 所以； 比较分析：略 【变式1】（24-25八年级下·重庆·期末）估计的值在（    ） A．1到2之间 B．2到3之间 C．3到4之间 D．4到5之间 【答案】B 【分析】本题考查了估算无理数的大小，要想准确地估算出无理数的取值范围需要记住一些常用数的平方．根据，即可估计的值． 解：∵，，，， ∴， ∴， ∴， 即估计的值在2到3之间， 故选：B． 【变式2】（25-26九年级下·重庆江津·阶段检测）若实数，同时满足，，（为整数），则___________． 【答案】5 【分析】先根据绝对值的非负性确定的取值范围，去掉绝对值符号化简方程组，求解得到的值，再估算无理数的大小得到整数，最后代入代数式计算即可． 解：由 得 ， 根据绝对值的非负性得，即； 当时，， 代入 得 ， 整理得， 由得 ， 解得 ， 因此，代入 得， 将代入得：， 解得， 将代入得， ∵，∴， ∵ ，为整数， ∴， ∴ ． 【变式3】（24-25七年级下·河南新乡·期中）根据下表回答下列问题： x 18.3 18.4 18.5 18.6 18.7 18.8 18.9 19 x² 334.89 338.56 342.25 345.96 349.69 353.44 357.21 361 （1）在 和 之间．（填表中相邻的两个数） （2） ， （3）338.56的平方根是 ． 【答案】（1）18.6,18.8；（2）18.6，1.89；（3） 【分析】（1）结合表格中数据可得，，即可求解； （2）先根据表中数据得出在18.6和18.7之间，再利用四舍五入求解即可，再根据算术平方根的定义求解即可； （3）根据平方根的定义即可求解． 解：（1）解：∵ ，，， ∴在18.7和18.8之间， 故答案为：18.7,18.8； （2）解：∵，， ∴在18.6和18.7之间， ∴， ∵， ∴， 故答案为：18.6，1.89； （3）解：∵, ∴338.56的平方根是， 故答案为：． 【点拨】本题考查平方根和算术平方根的定义，正确利用平方根和算术平方根的定义是解题的关键． 【题型 9】算术平方根非负性问题 【例题9】（25-26八年级下·四川广元·期中）已知三角形的三边分别为a、b、c，其中a、b两边满足，求这个三角形的最大边c的取值范围． 【答案】 【分析】先求出，则，再根据三角形的三边关系和为这个三角形的最大边解答即可． 解：∵， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∵三角形的三边分别为， ∴，即， ∴， 又∵为这个三角形的最大边， ∴， ∴． 【变式1】（24-25七年级下·吉林·阶段检测）已知实数x、y、m满足，且对于任意满足条件的，均为负数，则的取值范围是（     ）. A． B． C． D． 【答案】B 【分析】先将用含的式子表达出来，再结合为负数的条件列出不等式分析求解． 解：由，得， 由二次根式有意义的条件，得，即． 为负数， ，代入的表达式得， 移项得， 需要找到的最大值． 设，， 在时随的增加而增加， 在时随的增加而减少， 又在时也随的增加而减少， 在时随的增加而减少， 当时，取得最大值， ． 【变式2】（25-26八年级下·山东东营·期末）已知，则______． 【答案】8 【分析】根据算术平方根的非负性的条件求出的取值，再求出的值，最后代入计算即可． 解：根据算术平方根的非负性的条件，被开方数为非负数，得：且， 解得， 将代入原等式，得， 即， 将代入，得． 【变式3】（25-26七年级下·山东临沂·期中）已知一个正数p的两个平方根分别是和． （1）求p和a的值； （2）若，求的算术平方根． 【答案】（1），；（2） 【分析】（1）根据一个正数的两个平方根互为相反数列方程求解即可； （2）根据“如果几个非负数的和为0，则这几个数都为0”求解即可． 解：（1）因为一个正数p的两个平方根分别是和， 所以，解得． 将代入，得． 所以； （2）因为，且， 所以． 因为，，，且它们的和为0， 所以，，， 解得，，． 所以， 因此的算术平方根为． 五.同步检测 （一）选择题（共8题，每小题4分，合计32分） 1．（2024·江苏南京·模拟预测）的算术平方根是（     ） A． B． C． D． 【答案】B 解： 的算术平方根是， 2．（25-26七年级下·云南大理·阶段检测）若，则的值为（    ） A． B．3 C．1 D．5 【答案】D 【分析】几个非负数的和为0，则每个非负数都为0，先求出x，y的值，再代入计算即可． 解：∵算术平方根和平方数都是非负数，且， ∴， 由得， 将代入，得， 解得， 将代入，得． 3．（25-26七年级下·安徽合肥·期末）已知是整数，且，则的值是（   ） A．8 B．9 C．10 D．11 【答案】A 【分析】本题利用算术平方根的性质，即被开方数越大，对应的算术平方根越大，通过比较与相邻整数平方的大小，确定的取值范围，即可得到整数的值． 解：∵，， ∴， 不等式两边同时开算术平方根，得， ∵，且为整数， ∴． 4．（25-26七年级下·内蒙古呼和浩特·期末）若，，，则的值为（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据题目已知条件找到规律为被开方数的小数点向某方向移动两位，算术平方根的小数点向相同方向移动一位，利用该规律即可求解． 解：，，，， 则被开方数的小数点向左移动两位，算术平方根的小数点向左移动一位， ， ． 5．（25-26七年级下·内蒙古·期末）若一个正方形的面积扩大为原来的倍，则它的边长要扩大为原来的（     ）倍 A． B． C． D． 【答案】B 【分析】通过设原边长，计算面积扩大后的边长，即可得到边长扩大的倍数． 解：设原正方形的边长为，则原正方形的面积为， ∵面积扩大为原来的倍， ∴扩大后的面积为， 设扩大后边长为，则， ∵边长为正数， ∴， ∴， 即边长扩大为原来的倍． 6．（25-26七年级下·四川南充·期末）下列各数中，没有平方根的是（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据“负数没有平方根”，判断各选项数值的正负性即可得到结果. 解：根据平方根的性质：正数有两个平方根，的平方根是，负数没有平方根， ∵ ，，， ∴ 只有是负数，因此没有平方根. 7．（25-26八年级下·黑龙江齐齐哈尔·期末）若x的平方等于5，则x等于（     ） A．25 B． C． D． 【答案】C 解：根据题意得：， 解得：． 8．（25-26七年级下·湖北襄阳·期末）已知一个数的两个不同的平方根是和，则这个数是（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】平方根的基本性质，一个正数的两个不同平方根互为相反数，先根据该性质列方程求出的值，再计算得到原数即可. 解：∵ 一个正数的两个不同平方根互为相反数， ∴ ， 整理得 ， 解得 ， 将代入其中一个平方根，得 ， ∴ 这个数为 . （2） 填空题（共8题，每小题4分，合计32分） 9．（25-26七年级下·湖南长沙·期末）13的平方根是___________． 【答案】 解：∵， ∴13的平方根是． 10．（25-26七年级下·山东济南·期末）已知是9的平方根，则的值是__________． 【答案】1或 【分析】根据平方根的定义得到关于的一元一次方程，求解即可得到的值． 解：的平方根是，是的平方根， 或， 解得：或． 11．（2024·江苏扬州·模拟预测）计算：___． 【答案】 【分析】先计算被开方数的值，再根据算术平方根的定义计算最终结果. 解：∵ ， ∴ . 12．（25-26七年级下·河北唐山·期末）已知为正整数，且满足，则符合条件的最大值为________． 【答案】 【分析】先对不等式变形求出的取值范围，再结合为正整数的条件，找出符合条件的的最大值． 解：， ， 为正整数， 符合条件的的最大值为． 13．（25-26七年级下·云南曲靖·期末）已知，则________． 【答案】 【分析】根据算术平方根的小数点移动规律，被开方数的小数点每向右移动2位，算术平方根的小数点向右移动1位，据此求解． 解： ， 已知， ． 14．（25-26七年级下·河南三门峡·期末）如图，把两个面积都为5的小正方形分别沿对角线剪开．将所得的4个直角三角形拼在一起，就得到一个大正方形．点P是对角线上一动点．连接．则的最小值为_________． 【答案】 解：∵两个面积都为5的小正方形， ∴两个小正方形的边长均为， 由题意可知小正方形的边长，且， 根据垂线段最短可知的最小值． 15．（25-26七年级下·北京·期末）如图，长方形内两个正方形的面积分别为，，图中两块阴影部分的面积和为__________． 【答案】 【分析】根据正方形的面积得到正方形的边长，进而得到长方形的长和宽，即可得解． 解：长方形内两个正方形的面积分别为，， 两个正方形的边长分别为，， 长方形的长为，宽为， 两块阴影部分的面积和为． 16．（25-26八年级下·内蒙古呼伦贝尔·期末）如图，在日常生活中，我们常用到不同型号的打印纸，对于纸张规格，有一些通用的国际标准，其中：纸定义为面积为1，长与宽之比为的纸张；沿纸两条长边中点的连线裁切，就得到两张纸；再沿纸两条长边中点的连线裁切得到两张纸…，依次类推，得到、、等纸张．裁剪一张规格纸最多可得到规格纸的张数__________． 【答案】16 【分析】根据图形得出纸张的宽为纸宽的，纸张的长为纸长的，从而得出纸的面积为纸面积的，即可得出答案． 解：∵由图得，纸张的宽为纸宽的，纸张的长为纸长的， 纸的面积为纸面积的， ∴裁剪一张规格纸最多可得到规格纸的张数是16张 （3） 解答题（共4题，每小题9分，合计36分） 17．（25-26七年级下·广西崇左·期中）计算求值 （1）计算：； （2）求x的值：． 【答案】（1）；（2）或． 【分析】（）先根据有理数的乘方、算术平方根、绝对值的性质进行化简，然后计算即可得到结果； （）方程变形后，利用平方根定义开方即可求出解． 解：（1）解： ； （2）解： 或， ∴或． 18．（25-26七年级下·广东中山·期中）已知一个正数m的两个不相等的平方根是与． （1）求a和正数m的值； （2）求关于x的方程的解． 【答案】（1），；（2）或． 【分析】（1）由一个正数的两个平方根互为相反数求值，即可求解； （2）将代入即可求解． （1）解：由题意得，， 解得， ； （2）解：当时，， ， ， ∴或． 19．（25-26七年级下·湖北荆门·期末）在第八章《实数》的复习课上，张老师鼓励学生对下面一个问题展开探究活动， 【观察思考】仔细观察下列等式特征，探索规律， 第1个等式：；第2个等式：；第3个等式：；第4个等式：；…… （1）【规律发现】_____； （2）用含字母n的式子表示第n个等式：______（且n为整数）； （3）【规律应用】计算：______； （4）若符合上述规律，则x的值为______． 【答案】（1）；（2）；（3）；（4） 【分析】（1）根据发现的规律即可求解； （2）根据发现的规律即可用代数式表示； （3）根据规律计算出每个因数，再相乘即可； （4）根据规律计算出等式左边的结果，可求得n的值，即可求得x的值． 解：（1）解：； （2）解：第1个等式：； 第2个等式：； 第3个等式：； 第4个等式：； ……， 第n个等式：； （3）解： ； （4）解：∵， ∴， 即， 解得， ∴． 20．（25-26八年级下·辽宁抚顺·期末）【教材再现】 一般地，如果一个正数的平方等于，即，那么这个正数叫做的算术平方根，记作，0的算术平方根是0，即，并且被开方数为非负数． 【探究新知】 （1）若，则的取值范围是 【知识应用】 （2）若，求的值． 【拓展提升】 （3）若，求的值． 【答案】（1）；（2）；（3） 【分析】（1）根据算术平方根的被开方数非负确定的取值范围． （2）利用非负数的性质得到的值，代入计算即可． （3）先由算术平方根的非负性确定的范围，化简绝对值后变形求解． 解：（1）解：∵的被开方数为非负数， ∴， 此时成立， 故的取值范围是． （2）解：∵，，且， ∴， ， ∴， ∴． （3）解：∵有意义， ∴，即， ∴ ， ∴ ， 原式化为， 整理得， 两边平方得， ∴ ． 2 / 30 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题 2.1 平方根（知识梳理 + 题型精析 +同步检测） 目录 一.学习目标与重难点 1 （一）学习目标 1 （二）重难点 2 二.知识梳理与解读 2 【知识点一】平方根的定义与性质 2 【知识点二】算术平方根 2 【知识点三】开平方运算 2 【知识点四】两大核心恒等式 3 三.题型精析（夯实基础） 3 【题型 1】求算术平方根 3 【题型 2】 求一个数的平方根 3 【题型 3】恒等式化简计算 4 四.题型精析（综合提升） 4 【题型 4】利用平方根解方程 4 【题型 5】平方根实际应用 5 【题型 6】概念辨析易错题 5 【题型 7】平方根与规律问题探究 6 【题型 8】算术平方根估值问题 7 【题型 9】算术平方根非负性问题 8 五.同步检测 9 （一）选择题（共8题，每小题4分，合计32分） 9 （二）填空题（共8题，每小题4分，合计32分） 9 （三）解答题（共4题，每小题9分，合计36分） 10 一.学习目标与重难点 （一）学习目标 1. 理解平方根、算术平方根的概念，明确二者的联系与区别，规范掌握对应数学符号的书写与含义。 2. 熟练掌握平方根的性质，能够准确求解任意非负数的平方根与算术平方根。 3. 理解平方与开平方互为逆运算，能利用逆运算求解简单的平方方程。 4. 掌握平方根两大核心恒等式，能规范完成根式化简与基础计算。 5. 学会运用平方根知识，解决正方形边长、面积相关的实际应用问题。 （二）重难点 重点：平方根与算术平方根的定义、符号表示；非负数平方根的求解；平方根基础计算。 难点：平方根与算术平方根的概念辨析；的化简；双重非负性的理解与应用。 二.知识梳理与解读 【知识点一】平方根的定义与性质 定义：如果一个数的平方等于（即），那么这个数叫做的平方根，也叫二次方根。 平方根核心性质： 1. 正数有两个平方根，它们互为相反数； 2. 0的平方根是0； 3. 负数没有平方根（任何数的平方均为非负数）。 符号表示：正数的平方根记作，其中为正平方根，为负平方根。 【知识点二】算术平方根 定义：正数的正的平方根，叫做的算术平方根，记作。 规定：0的算术平方根是0，即。 双重非负性（必考）： 1. 被开方数非负：； 2. 算术平方根结果非负：。 【知识点三】开平方运算 求一个数平方根的运算，叫做开平方。 核心关系：平方运算与开平方运算互为逆运算，可互相推导、相互检验计算结果。 【知识点四】两大核心恒等式 1. （先开方、再平方，结果等于本身） 2. （先平方、再开方，结果为绝对值） 三.题型精析（夯实基础） 【题型 1】求算术平方根 【例题1】（24-25七年级下·全国·课后作业）求下列各数的算术平方根： （1）； （2）； （3）． 【变式1】（25-26八年级上·广东茂名·期中）的算术平方根是（     ） A． B． C． D． 【变式2】（25-26七年级下·江西上饶·期末）17的算术平方根是_____． 【变式3】（25-26八年级上·全国·课后作业）求下列各数的算术平方根： （1）； （2）0.0001； （3）900； （4）； （5）； （6）． 【题型 2】 求一个数的平方根 【例题2】（26-27八年级·上海·暑假作业）求下列各数的平方根． （1） （2） （3） （4） 【变式1】（25-26七年级下·甘肃陇南·期末）若一个数的一个平方根是2026，则它的另一个平方根为（     ） A． B． C． D． 【变式2】（25-26七年级下·河南许昌·期末）的平方根是________． 【变式3】（25-26七年级下·广东江门·阶段检测）已知和互为相反数． （1）分别求出x，y的值； （2）求出的平方根． 【题型 3】恒等式化简计算 【例题3】（25-26八年级上·全国·课后作业）求下列各式的值： （1）； （2）； （3）； （4）． 【变式1】（24-25七年级下·吉林·阶段检测）下列各式中，正确的是（     ） A． B． C． D． 【变式2】（24-25七年级下·四川德阳·期中）的算术平方根是______，的平方根是______． 【变式3】（24-25七年级下·四川绵阳·阶段检测）先说出下列各式的意义，再计算． （1） （2） （3）． 四.题型精析（综合提升） 【题型 4】利用平方根解方程 【例题4】（25-26七年级下·甘肃定西·期末）如图1，把面积为1的两个小正方形沿虚线剪开，将所得的四个直角三角形拼成如图所示的一个大正方形，则可得这个大正方形的边长为．参考这个方法，如图2，将长为3、宽为1的两个长方形沿着对角线剪开，将所得的4个直角三角形围成如图所示的正方形． （1）图2中大正方形的面积为________； （2）求图2中白色正方形的边长a的值． 【变式1】（23-24九年级上·江西新余·阶段检测）若，则的值为（ ） A． B．或 C． D． 【变式2】（25-26七年级下·山东临沂·期末）已知，则的值为________________． 【变式3】（25-26七年级下·河南安阳·期末）图1中的两个小正方形纸片面积均为，用这两个小正方形剪拼成如图2所示的一个大正方形． （1）图2中拼成的大正方形纸片的边长为 ； （2）如图3，若沿此大正方形纸片的边的方向剪出一个长方形，能否使剪出的长方形纸片的长、宽之比为，且面积为？请通过计算说明． 【题型 5】平方根实际应用 【例题5】（25-26七年级下·安徽芜湖·期中）求下列各式中x的值： （1）； （2）． 【变式1】（25-26八年级下·广西崇左·期末）小南按图的方法把边长为和的两个正方形切割成5块，按图的方式拼成一个大正方形，则大正方形的边长是（     ） A． B． C． D． 【变式2】（2026·河北邯郸·三模）用边长是的正方形地砖，铺设面积是的正方形平整地面．首先用整块地砖铺设，且保证地砖边缘与正方形地面的边缘平行，当不能铺进完整地砖时，需要把多余的部分裁掉，每块地砖裁掉部分不再使用．若铺满这个地面且所用地砖最少（地砖之间的缝隙忽略不计），则被裁掉的部分面积之和是________． 【变式3】（25-26七年级下·西藏日喀则·期中）解方程： （1）； （2）． 【题型 6】概念辨析易错题 【例题6】（25-26七年级下·江西南昌·期末）已知正数的两个不相等的平方根为和． （1）当时，求的值； （2）若，求的值． 【变式1】（24-25七年级下·云南昭通·期末）下列说法中，正确的是（    ） A．64的平方根是8 B．2或的平方根是4 C．没有平方根 D．16的平方根是4和 【变式2】（24-25八年级上·黑龙江大庆·期末）有下列说法：①25的平方根是5；②是的算术平方根；③的算术平方根是；④若一个数的一个平方根是，则这个数是5．其中，正确的是 _______（填序号）． 【变式3】（25-26七年级下·内蒙古通辽·阶段检测）已知一个正数m的两个平方根分别是与． （1）求a的值； （2）求的平方根； 【题型 7】平方根与规律问题探究 【例题7】（25-26七年级下·河北唐山·期中）阅读观察下列算式，探究规律： 第1个等式：； 第2个等式：； 第3个等式：； 第4个等式： （1）计算：； （2）计算：； （3）按照你所发现的规律，猜想第个等式：（为正整数）=________． 【变式1】（25-26七年级下·河南商丘·期末）利用计算器计算出的各数的算术平方根如下： … … … 11 110 … 根据以上规律，若，，则（     ） A． B． C． D． 【变式2】（25-26七年级下·黑龙江哈尔滨·期末）如图所示为一个按某种规律排列的数阵： 根据数阵的规律，第8行第6个数是_________． 【变式3】（25-26七年级下·河北沧州·期中）先填写表格，通过观察后再回答问题． 0 0.0001 0.01 1 100 10000 … 0 0.01 1 100 … （1）表格中________，________； （2）从表格中探究与数位的规律：当被开方数每扩大100倍时，扩大________倍，利用这个规律解决下面两个问题． ①已知，，则________； ②已知，，用含的式子表示． 【题型 8】算术平方根估值问题 【例题8】（25-26八年级上·吉林长春·期中）【阅读理解】我们来学习利用完全平方公式近似计算算术平方根的方法． 例如求的近似值． 因为， 所以． 则可以设成以下两种形式： ①，其中； ②，其中． 小明用①的形式求的近似值的过程如下： 因为，所以． 即． 因为比较小，将忽略不计， 所以，即， 得． 所以． 【尝试探究】用②的形式求的近似值．（结果保留位小数） 【问题解决】用①、②两种形式求的近似值．（结果保留位小数） 【比较分析】用哪种形式求的近似值的精确度更高？并说明理由． 【变式1】（24-25八年级下·重庆·期末）估计的值在（    ） A．1到2之间 B．2到3之间 C．3到4之间 D．4到5之间 【变式2】（25-26九年级下·重庆江津·阶段检测）若实数，同时满足，，（为整数），则___________． 【变式3】（24-25七年级下·河南新乡·期中）根据下表回答下列问题： x 18.3 18.4 18.5 18.6 18.7 18.8 18.9 19 x² 334.89 338.56 342.25 345.96 349.69 353.44 357.21 361 （1）在 和 之间．（填表中相邻的两个数） （2） ， （3）338.56的平方根是 ． 【题型 9】算术平方根非负性问题 【例题9】（25-26八年级下·四川广元·期中）已知三角形的三边分别为a、b、c，其中a、b两边满足，求这个三角形的最大边c的取值范围． 【变式1】（24-25七年级下·吉林·阶段检测）已知实数x、y、m满足，且对于任意满足条件的，均为负数，则的取值范围是（     ）. A． B． C． D． 【变式2】（25-26八年级下·山东东营·期末）已知，则______． 【变式3】（25-26七年级下·山东临沂·期中）已知一个正数p的两个平方根分别是和． （1）求p和a的值； （2）若，求的算术平方根． 五.同步检测 （一）选择题（共8题，每小题4分，合计32分） 1．（2024·江苏南京·模拟预测）的算术平方根是（     ） A． B． C． D． 2．（25-26七年级下·云南大理·阶段检测）若，则的值为（    ） A． B．3 C．1 D．5 3．（25-26七年级下·安徽合肥·期末）已知是整数，且，则的值是（   ） A．8 B．9 C．10 D．11 4．（25-26七年级下·内蒙古呼和浩特·期末）若，，，则的值为（     ） A． B． C． D． 5．（25-26七年级下·内蒙古·期末）若一个正方形的面积扩大为原来的倍，则它的边长要扩大为原来的（     ）倍 A． B． C． D． 6．（25-26七年级下·四川南充·期末）下列各数中，没有平方根的是（     ） A． B． C． D． 7．（25-26八年级下·黑龙江齐齐哈尔·期末）若x的平方等于5，则x等于（     ） A．25 B． C． D． 8．（25-26七年级下·湖北襄阳·期末）已知一个数的两个不同的平方根是和，则这个数是（     ） A． B． C． D． （2） 填空题（共8题，每小题4分，合计32分） 9．（25-26七年级下·湖南长沙·期末）13的平方根是___________． 10．（25-26七年级下·山东济南·期末）已知是9的平方根，则的值是__________． 11．（2024·江苏扬州·模拟预测）计算：___． 12．（25-26七年级下·河北唐山·期末）已知为正整数，且满足，则符合条件的最大值为________． 13．（25-26七年级下·云南曲靖·期末）已知，则________． 14．（25-26七年级下·河南三门峡·期末）如图，把两个面积都为5的小正方形分别沿对角线剪开．将所得的4个直角三角形拼在一起，就得到一个大正方形．点P是对角线上一动点．连接．则的最小值为_________． 15．（25-26七年级下·北京·期末）如图，长方形内两个正方形的面积分别为，，图中两块阴影部分的面积和为__________． 16．（25-26八年级下·内蒙古呼伦贝尔·期末）如图，在日常生活中，我们常用到不同型号的打印纸，对于纸张规格，有一些通用的国际标准，其中：纸定义为面积为1，长与宽之比为的纸张；沿纸两条长边中点的连线裁切，就得到两张纸；再沿纸两条长边中点的连线裁切得到两张纸…，依次类推，得到、、等纸张．裁剪一张规格纸最多可得到规格纸的张数__________． （3） 解答题（共4题，每小题9分，合计36分） 17．（25-26七年级下·广西崇左·期中）计算求值 （1）计算：； （2）求x的值：． 18．（25-26七年级下·广东中山·期中）已知一个正数m的两个不相等的平方根是与． （1）求a和正数m的值； （2）求关于x的方程的解． 19．（25-26七年级下·湖北荆门·期末）在第八章《实数》的复习课上，张老师鼓励学生对下面一个问题展开探究活动， 【观察思考】仔细观察下列等式特征，探索规律， 第1个等式：；第2个等式：；第3个等式：；第4个等式：；…… （1）【规律发现】_____； （2）用含字母n的式子表示第n个等式：______（且n为整数）； （3）【规律应用】计算：______； （4）若符合上述规律，则x的值为______． 20．（25-26八年级下·辽宁抚顺·期末）【教材再现】 一般地，如果一个正数的平方等于，即，那么这个正数叫做的算术平方根，记作，0的算术平方根是0，即，并且被开方数为非负数． 【探究新知】 （1）若，则的取值范围是 【知识应用】 （2）若，求的值． 【拓展提升】 （3）若，求的值． 2 / 30 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $