专题2.2 立方根（8题型+高效培优讲义）数学新教材苏科版八年级上册

本讲义聚焦立方根的概念、性质及运算这一核心知识点，从定义出发，通过对比平方根明确“任何数都有唯一立方根”的性质，结合即学即练巩固求法，延伸至小数点移动规律、解方程及实际应用，构建递进式学习支架。 资料亮点在于分层设计与素养培养，知识点配即学即练及时反馈，8类题型覆盖基础到综合，实际应用题（如正方体体积计算）培养应用意识，规律探究题发展创新思维，助力教师课堂教学与学生课后查漏补缺。

专题2.2 立方根 教学目标 1. 理解立方根的概念，能用根号表示一个数的立方根。 2. 掌握立方根的性质：正数有一个正的立方根，负数有一个负的立方根，0的立方根是0。 3. 能运用立方根的概念求一个数的立方根，并进行简单计算。 教学重难点 重点： 1. 立方根的概念及其性质。 2. 求一个数的立方根，特别是负数立方根的确定。 教学难点： 1. 区分平方根与立方根的不同性质（负数有立方根）。 2. 理解立方根与立方运算的互逆关系，并用于求值。 知识点01 立方根的定义 1.定义：如果一个数的立方等于，那么这个数叫做的立方根或三次方根.这就是说，如果，那么叫做的立方根.求一个数的立方根的运算，叫做开立方. 注意：一个数的立方根，用表示，其中是被开方数，3是根指数. 开立方和立方互为逆运算. 2：立方根的特征 立方根的特征：正数的立方根是正数，负数的立方根是负数，0的立方根是0. 注意：任何数都有立方根，一个数的立方根有且只有一个，并且它的符号与这个非零数的符号相同. 两个互为相反数的数的立方根也互为相反数. 【即学即练1】计算： ． 【答案】 【知识点】求一个数的立方根 【分析】本题考查的是求解一个数的立方根，理解立方根的含义是解本题的关键．根据立方根的含义求解即可． 【详解】解：． 故答案为：． 【即学即练2】已知a的立方根为，则a的值为 ． 【答案】 【知识点】已知一个数的立方根，求这个数 【分析】此题主要考查了已知一个数的立方根，求这个数，根据a的立方根为，可得：，据此求出a的值是多少即可． 【详解】解∵a的立方根为， ∴． 故答案为：． 知识点02 立方根的性质 注意：第一个公式可以将求负数的立方根的问题转化为求正数的立方根的问题. 【即学即练】若，则的平方根是 ． 【答案】 【知识点】求一个数的平方根、立方根概念理解 【分析】本题考查的是立方根及平方根的定义，掌握立方根及平方根的定义是解题的关键．根据题意列出关于的方程，求出的值，即可求解． 【详解】解：， ， 解得：， 的平方根是， 故答案为：． 知识点03 立方根小数点位数移动规律 被开方数的小数点向右或者向左移动3位，它的立方根的小数点就相应地向右或者向左移动1位.例如，，，，. 【即学即练】完善下面表格，发现平方根和立方根的规律，并运用规律解决问题． x … 64 6400 64000 … … 8 m … … n 40 … (1)表格中的______，______； (2)已知，估计和的值；(结果保留四位小数) (3)若，估计的值．（参考数据：)．（结果保留四位小数） 【答案】(1)80，4 (2)， (3) 【知识点】求一个数的算术平方根、与算术平方根有关的规律探索题、求一个数的立方根、与立方根有关的规律探索 【分析】本题考查了算术平方根，立方根的计算，及其规律的发现，熟练掌握计算方法和规律是解题的关键． （1）根据算术平方根的意义计算，根据立方根的规律求解． （2）根据表格得出算术平方根的规律，即可求解． （3）根据（2）中规律求出a，根据表格得出立方根的规律，然后求出b，即可求解． 【详解】（1）解：∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 故答案为：80，4； （2）解：从表格数字中可以发现：开算术平方根时，被开方数的小数点每向左（或向右）移动两位，它的算术平方根的小数点随即向左（或向右）移动一位． ∵， ∴，； （3）解：根据平方根的变化规律得： ∵， ∴ 又， ∴， 从表格数字中可以发现：被开方数的小数点每向左（或向右）移动三位，它的立方根的小数点随即向左（或向右）移动一位． ∵ ∴， ∴． 题型01 立方根概念理解 【典例1】下列语句正确的是（　　） A．负数没有立方根 B．的立方根是 C．立方根等于本身的数只有 D． 【答案】D 【知识点】立方根概念理解、求一个数的立方根 【分析】本题主要考查了立方根的概念和求一个数的立方根，对于两个实数a、b若满足，那么a就叫做b的立方根，据此逐一求解判断即可． 【详解】解：∵正数、0和负数都有立方根， ∴选项A不符合题意； ∵64的立方根是4， ∴选项B不符合题意； ∵立方根等于本身的数有和0， ∴选项C不符合题意； ∴， ∴选项D符合题意， 故选：D． 【变式1】下列说法中，正确的是（   ） A．一个数的立方根有两个，它们互为相反数 B．一个非零数的立方根与这个数同号 C．负数没有平方根也没有立方根 D．算术平方根一定是正数 【答案】B 【知识点】求一个数的算术平方根、平方根概念理解、立方根概念理解 【分析】本题考查了平方根，立方根，算术平方根的定义，根据平方根，立方根，算术平方根的定义逐项判断即可． 【详解】解：A、一个数的立方根只有1个，故原说法不正确，不符合题意； B、一个非零数的立方根与这个数同号，正确，符合题意； C、负数没有平方根但是有立方根，故原说法不正确，不符合题意； D、0的算术平方根是0，不是正数，故原说法不正确，不符合题意； 故选：B． 【变式2】下列说法正确的是（   ） A．的立方根是 B．没有立方根 C．立方根等于本身的数是和 D． 【答案】D 【知识点】立方根概念理解、求一个数的立方根 【分析】本题考查了立方根的应用，解题的关键是正确理解一个正数有一个正的立方根、的立方根是，一个负数有一个负的立方根． 利用立方根的定义及求法逐项判断即可． 【详解】解：、的立方根是，原选项说法错误，不符合题意； 、有立方根，为，原选项说法错误，不符合题意； 、立方根等于本身的数是，和，原选项说法错误，不符合题意； 、，原选项说法正确，符合题意； 故选：． 题型02 求一个数的立方根 【典例2】64的立方根是 ． 【答案】4 【分析】本题考查的是立方根的含义，根据立方根的含义求解即可． 【详解】解：64的立方根是， 故答案为：． 【变式1】计算： ． 【答案】 【分析】此题考查了求一个数的立方根，熟记立方根定义是解题的关键． 根据立方根的性质求解即可． 【详解】． 故答案为：． 【变式2】的平方根是 ．的立方根是 ． 【答案】 【分析】本题主要考查平方根、立方根的计算，解题的关键是掌握平方根和立方根的求解过程． 根据平方根、立方根的定义计算即可． 【详解】解：， ； ， ； 故答案为：，． 题型03 已知一个数的立方根，求这个数 【典例3】已知一个数的立方根为，则这个数为 ． 【答案】 【分析】本题考查了立方根的定义，属于基础题型，熟练掌握立方根的概念是关键． 根据立方根的定义解答即可． 【详解】解：∵一个数的立方根为， ∴这个数是． 故答案为：． 【变式1】一个正数的平方根分别是和，的立方根是，则的算术平方根为 ． 【答案】 【分析】本题考查平方根、立方根的综合运用，先由题意，结合平方根与立方根定义分别求出值，代入求值后由算术平方根定义求解即可得到答案．熟记平方根、立方根定义是解决问题的关键． 【详解】解：一个正数的平方根分别是和， 分两种情况：①；②； 当时，方程无解； 当时，解得； 的立方根是， ，解得； ， 则的算术平方根为， 故答案为：． 【变式2】已知：和是正数M的平方根，的立方根为，则的算术平方根 ． 【答案】或 【分析】本题主要考查了根据立方根求原数，平方根的定义，求一个数的算术平方根，根据和是正数M的平方根可得与相等或与互为相反数，据此求出a的值， 再由立方根的定义求出b的值，则可求出的值，最后根据算术平方根的定义即可求出答案． 【详解】解：当时，则， 当与不相等时， ∵和是正数M的平方根， ∴， ∴； 综上所述，或； ∵的立方根为， ∴， ∴， ∴或， ∴的算术平方根是或， 故答案为；或． 题型04 立方根的性质 【典例4】已知，则的值为 ． 【答案】或或 【知识点】已知一个数的立方根，求这个数 【分析】本题考查了立方根的计算，掌握立方根的性质是关键． 根据正数的立方根是正数，负数的立方根是负数，0的立方根是0，列式求解即可． 【详解】解：，即一个数的立方根等于它本身， ∴当时， 解得，； 当时， 解得，； 当时， 解得，； 综上所述，的值为或或， 故答案为：或或 ． 【变式1】数a、b、c在数轴上对应的位置如图，化简的结果为 ． 【答案】 【知识点】根据点在数轴的位置判断式子的正负、求一个数的算术平方根、求一个数的立方根、整式的加减运算 【分析】本题考查绝对值的性质，算术平方根以及立方根的性质；根据有理数、、在数轴上的位置，得到它们之间的大小关系，再利用绝对值及算术平方根和立方根的性质去化简原式求出结果． 【详解】解：根据有理数、、在数轴上的位置，得到，且， ∴， ∴ ． 故答案是：． 【变式2】根据立方根的意义填空： _____，_____，______，_____，_____． 观察上述结果，猜想对于实数等于什么？对于式子（是整数）的化简，你有怎样的认识？ 【答案】2，，0，，；；当为偶数时，；当为奇数时， 【知识点】与算术平方根有关的规律探索题、与立方根有关的规律探索 【分析】此题考查立方根的定义及性质，求一个数的立方根，探究实数的计算规律，正确求出一个数的立方根是解题的关键． 先根据立方根定义填空，以此总结出的结果；对于式子（是整数）需要分为偶数和奇数进行讨论，得到偶次方根和奇次方根的结果． 【详解】解：；；；；， 则对于实数； 对于式子（是整数）， 当为偶数时，； 当为奇数时，． 题型05 利用开立方解方程 【典例5】解下列方程： (1)； (2) 【答案】(1)或 (2) 【分析】本题考查了利用平方根，立方根定义求解方程，解题的关键在于熟练掌握相关知识． （1）先整理为，再利用平方根定义解方程即可； （2）先整理为 ，再利用立方根定义解方程即可； 【详解】（1）解：由 得 所以 所以 或 解得 或 （2）解：由 得 所以 所以 解得 【变式1】解下列方程： (1)； (2)． 【答案】(1)或 (2) 【分析】（）把移到右边，再根据平方根的定义解答即可； （）把移到右边，再根据立方根的定义解答即可； 本题考查了利用平方根和立方根解答方程，掌握平方根和立方根的定义是解题的关键． 【详解】（1）解：∵， ∴， ∴， ∴或； （2）解：∵， ∴， ∴， ∴， ∴． 【变式2】求下列各式中x的值： (1)； (2)． 【答案】(1)或 (2) 【分析】本题考查由平方根运算、立方根运算解方程，熟练掌握平方根及立方根运算是解决问题的关键． （1）由平方根运算，直接开平方求解即可得到答案； （2）由立方根运算，直接开立方求解即可得到答案． 【详解】（1）解：， ， 即， ， 解得或； （2）解：， ， 即， 解得． 题型06 平方根与立方根的综合 【典例6】已知的平方根是的立方根是2． (1)求的值； (2)求的算术平方根． 【答案】(1)， (2)3 【分析】本题考查了平方根和算术平方根，代数式的知识，熟练掌握以上知识是解题的关键． （1）根据平方根和算术平方根的定义求解即可； （2）先求出的值，然后根据算术平方根的定义求解． 【详解】（1）解：的平方根是， 解得：， 的立方根是2， ． 解得：； （2）解：把代入中得：， 的算术平方根为3． 【变式1】已知实数的算术平方根是2，的立方根是2． (1)求，的值； (2)求的平方根． 【答案】(1)；； (2)的平方根是． 【分析】本题主要考查平方根，算术平方根，立方根的计算，掌握其运算方法是关键． （1）根据算术平方根，立方根的计算列式求解即可； （2）把的值代入，根据平方根的计算求解即可． 【详解】（1）解：的算术平方根是2， ， 解得； 的立方根是2， ，即， 解得． （2）解：由（1）知，，， ； 而10的平方根是， 的平方根是． 【变式2】已知的立方根是，的算术平方根是3． (1)求a，b的值； (2)若，且c是整数，求的平方根． 【答案】(1)， (2) 【分析】本题考查平方根，立方根，无理数的估算： （1）根据立方根和算术平方根的定义，进行求解即可； （2）夹逼法求出的值，进而求出的值，再利用平方根的定义进行求解即可． 【详解】（1）解：由题意，得：， ∴，； （2）解：∵， ∴， ∴， ∴， ∴的平方根为． 题型07 立方根的应用 【典例7】如图是一种形状为正方体的魔方，它的体积为，它的棱长是多少？ 【答案】 【分析】本题主要考查了立方根的实际应用．根据立方根的性质解答即可求解． 【详解】解：∵它的体积为， ∴它的棱长是． 【变式1】如图是一块体积为343立方厘米的正方体铁块． (1)求该正方体铁块的棱长； (2)现在工厂要将这块铁块熔化，重新锻造成两个棱长为3厘米的小正方体铁块和一个底面为正方形的长方体铁块．若长方体铁块的高为1厘米，求长方体铁块的底面正方形的边长． 【答案】(1)7厘米 (2)17厘米 【分析】本题考查立方根和算术平方根的实际应用，熟练掌握立方根和算术平方根的计算是解此题的关键． （1）根据正方体的体积公式进行求解即可； （2）根据总体积不变，求出长方体的体积，再根据长方体的体积求出长方体的底面面积，再根据长方体的底面面积求出底面正方形的边长即可． 【详解】（1）解：由题意得，该正方体铁块的棱长为（厘米）， ∴该正方体铁块的棱长为7厘米． （2）解：由题意，长方体的体积为：（立方厘米）， ∴长方体的底面面积为：（平分厘米）， ∴长方体铁块的底面正方形的边长为：（厘米）， ∴长方体铁块的底面正方形的边长为17厘米． 【变式2】在做浮力实验时，小华用一根细线将一正方体铁块拴住，完全浸入盛满水的杯中（杯的形状为圆柱体），并用量筒量得从杯中溢出的水的体积为，小华又将铁块从杯中拿出来，量得杯中水位下降了． (1)铁块的棱长为多少厘米？ (2)杯内部的底面直径为多少厘米（取）？ 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了立方根以及平方根的实际应用，根据题意正确列出含平方根、立方根的式子是解答本题的关键． （1）设正方体棱长为，根据正方体的体积公式得，解出的值即可； （2）设直径为，根据“用量筒量得从杯中溢出的水的体积为”得，解出的值，即可解答． 【详解】（1）解：设正方体棱长为， 则， 解得：， 答：正方体棱长； （2）解：设直径为， 则， 解得：，不符合实际， 直径为， 答：直径为． 题型08 与立方根有关的规律探究问题 【典例8】观察下列正数的立方根运算，并完成下列问题： (1)用语言叙述上述表格中的规律：在立方根运算中，被开方数的小数点每向右移动三位，相应的立方根的小数点就向___________移动___________位； (2)运用你发现的规律，探究下列问题：已知，则___________，___________． (3)类比上述立方根运算：已知，则___________，___________． 【答案】(1)右；一； (2)； (3)； 【分析】本题考查数字的变化类、立方根、算术平方根，解答本题的关键是明确题意，发现数字的变化特点，求得所求数字的值． （1）根据表格中的数据，可以发现数字的变化规律； （2）根据（1）的规律可得结论； （3）根据立方根的移位规律可得算术平方根的移位规律，即可求得所求数字的值． 【详解】（1）解：用语言叙述上述表格中的规律：在立方根运算中，被开方数的小数点每向右移动三位，相应的立方根的小数点就向右移动一位． 故答案为：右；一； （2）解：∵，结合立方根小数点的规律， ∴，， 故答案为：；； （3）解：在算术平方根运算中，被开方数的小数点每向右移动两位，相应的平方根的小数点就向右移动一位． ∵， ∴，． 故答案为：；． 【变式1】观察下列规律回答问题： (1)_______，_______； (2)已知，若，用含x的代数式表示y，则_______； (3)根据规律写出与a的大小情况． 【答案】(1)0.01，100 (2) (3)当或时，；当或或时，；当或时， 【分析】此题考查了立方根的求解与规律归纳能力，关键是能准确理解并运用该知识进行正确地计算、归纳． （1）根据立方根的概念进行求解、归纳； （2）运用（1）题规律进行求解； （3）根据题目中求立方根的结果进行规律归纳． 【详解】（1）解：（1）；； 按上述规律，被开方数小数点向右（或左）移三位，则所得数的小数点向右（或左）移一位， 故答案为：0.01、100； （2）已知，若，用含的代数式表示，则， 故答案为：； （3），，，，， 与的大小情况为： 当或时，； 当或或时，； 当或时，． 【变式2】（1）填表： a 0.000008 0.008 8 8000 （2）观察上表，表中数a的小数点的移动与它的立方根的小数点的移动之间有何规律？请用语言叙述这个规律：______； （3）根据你发现的规律解答： ①已知，，，则介于哪两个整数之间？ ②已知，则______； ③用铁皮制作一个封闭的正方体，它的体积是1.843立方米，问需要多大面积的铁皮？（结果精确到0.01平方米） 【答案】（1）0.02，0.2，2，20；（2）规律：数a的小数点每向右或向左移动三位，它的立方根的小数点就相应地向右或向左移动一位；（3）①12和13之间；②12.26；③需要大约9.02平方米的铁皮 【分析】本题主要考查立方根的估算与运用，理解表格信息，找出规律是解立方根估算的关键，掌握体积的计算公式，立方根的估算方法是解实际问题的关键． （1）利用立方根的定义填表即可； （2）根据表格信息中小数点的移动情况分析即可求解； （3）①结合表格信息，对进行变形分析即可；②结合表格信息，对进行变形分析即可；③设正方体的棱长为米，由体积公式，立方根的估算得到棱长，再根据表面积的计算方法即可求解． 【详解】解：（1）填表如下： a 0.000008 0.008 8 8000 0.02 0.2 2 20 （2）规律：数a的小数点每向右或向左移动三位，它的立方根的小数点就相应地向右或向左移动一位； （3）①， ， 介于整数12和13之间； ②， ； ③设正方体的棱长为a米，则， 由②知， ； ， （平方米）， 答：需要大约9.02平方米的铁皮． 一、单选题 1．（25-26七年级下·内蒙古呼和浩特·期末）下列说法正确的是（     ） A．正数有两个互为相反数的立方根 B．负数没有立方根 C．一个数的立方根的符号与这个数的符号相同 D．的立方根是 【答案】C 【详解】解：根据立方根的定义：若，则是的立方根， 任何实数都只有一个立方根，正数的立方根为正数，负数的立方根为负数， A选项，正数只有一个正的立方根，故A错误； B选项，负数有一个负的立方根，故B错误； C选项，正数的立方根为正，负数的立方根为负，的立方根为， 因此一个数的立方根的符号与这个数的符号相同，故C正确； D选项，的立方根只有一个，故D错误． 2．（25-26七年级下·云南曲靖·期末）下列计算正确的是（） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】解：A．，错误． B．，错误． C．，错误． D．，正确． 3．（25-26七年级下·广东汕头·期末）已知，，，则（     ） A．27.76 B．12.89 C．59.81 D．5.981 【答案】B 【分析】被开立方的数的小数点每向右移动三位，那么开立方的结果的小数点向右移动一位，据此可得答案． 【详解】解：∵， ∴． 4．（26-27八年级·上海·暑假作业）已知一个正方体的体积是，现要在它的8个角上分别截去1个大小相同的小正方体，截去小正方体后余下部分的体积恰好是，则截去的每个小正方体的棱长是（      ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】设截去的每个小正方体的棱长是，由题意得出，整理得，再利用立方根的定义解方程即可得出答案． 【详解】解：设截去的每个小正方体的棱长是， 由题意得：， 整理得：， 解得：， 截去的每个小正方体的棱长是， 二、填空题 5．（25-26七年级下·贵州黔东南·期末）的平方根是________，的立方根是________． 【答案】 【分析】平方根的定义：若，则是的平方根，立方根的定义：若，则是的立方根，根据平方根与立方根的定义，分别计算得到结果． 【详解】解：， 的平方根是； ， 的立方根是． 6．（25-26七年级下·陕西商洛·期末）若一个正数的两个不同平方根是和，则的立方根为________． 【答案】 【分析】根据正数的两个不同平方根互为相反数的性质，列方程求出的值，再计算的立方根即可. 【详解】解： 一个正数的两个不同平方根互为相反数， ， 去括号，合并同类项得 ， 解得， ， 的立方根为. 7．（25-26七年级下·北京大兴·期末）已知一个正方体的棱长为，若它的体积变为原来的27倍，则改变后正方体的棱长为_______． 【答案】 【详解】解：原正方体的棱长为， 原正方体体积为 ， 改变后正方体体积为 ， 设改变后正方体的棱长为， 可得， 解得. 8．（26-27八年级·全国·暑假作业）数a、b、c在数轴上对应的位置如图，化简的结果为__________． 【答案】 【分析】根据有理数a、b、c在数轴上的位置，得到它们之间的大小关系，再利用绝对值及算术平方根和立方根的性质去化简原式求出结果． 【详解】解：根据有理数a、b、c在数轴上的位置，得到，且， ∴， ∴ ． 三、解答题 9．（26-27八年级·上海·暑假作业）求下列各数的立方根： (1)27； (2)； (3)； (4)0． 【答案】(1)3 (2) (3) (4)0 【详解】（1）解：因为， 所以27的立方根是； （2）解：因为， 所以的立方根是； （3）解：因为， 所以的立方根是； （4）解：因为， 所以0的立方根是． 10．（26-27八年级·上海·暑假作业）化简： (1)； (2)； (3)； (4)． 【答案】(1)6 (2) (3) (4) 【详解】（1）解：∵， ∴； （2）解：∵， ∴； （3）解：∵， ∴； （4）解：∵， ∴． 11．（24-25七年级下·四川南充·阶段检测）解下列方程 (1) (2) 【答案】(1)或 (2) 【详解】（1）解：， ， ， 解得或． （2）解：， ， ， 解得． 12．（25-26七年级下·陕西延安·期末）已知的平方根是，的立方根为． (1)求与的值； (2)求的算术平方根． 【答案】(1)； (2)． 【分析】由题意列方程组，然后解方程组即可；　　 把，，代入得，然后通过算术平方根定义即可求解． 【详解】（1）解：∵的平方根是，的立方根为， ∴， 解得； （2）解：由知，， ∴， ∵的算术平方根是， ∴的算术平方根为． 一、单选题 1．（25-26七年级下·吉林四平·期末）下列结论正确的是（     ） A．的平方根是 B．没有立方根 C．立方根等于本身的数是 D． 【答案】D 【分析】根据平方根与立方根的定义和性质逐项判断即可得到答案． 【详解】解：A、的平方根是，不是，A错误； B、任何实数都有立方根，负数也有立方根，，因此有立方根，B错误； C、立方根等于本身的数有0，1，，不只有，C错误； D、∵，，∴成立，D正确． 2．（25-26七年级下·内蒙古呼和浩特·期末）下列计算正确的是（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据立方根性质，计算各选项即可判断正误． 【详解】解：选项A：，不符合题意； 选项B：，，符合题意； 选项C：，不符合题意； 选项D：，，不符合题意． 3．（25-26七年级下·新疆伊犁·期中）若，则的值（    ） A．3 B．9 C．27 D． 【答案】A 【分析】利用算术平方根和绝对值的非负性先求出a，b的值，再代入计算即可． 【详解】解：∵，，且 ∴， 解得， ∴ 4．（25-26八年级上·山东潍坊·阶段检测）已知，，那么约为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】对于立方根，若被开方数扩大为原来的倍，则开方后的数比原来扩大10倍，据此解答即可． 【详解】解：， 又， ． 5．（25-26七年级下·内蒙古呼伦贝尔·阶段检测）若实数互为相反数，互为倒数，是16的平方根，则的值为（      ） A．8 B．26 C．10或26 D．8或24 【答案】C 【分析】根据相反数、倒数、平方根的定义可得，，，代入求值即可． 【详解】解： a，b互为相反数，c，d互为倒数，m是16的平方根， ，，， 当时， ； 当时， ； 综上：的值为10或26． 二、填空题 6．（25-26七年级下·广东广州·期中）9的平方根是________，的立方根是________． 【答案】 / 【详解】解：， 的平方根是； ， 的立方根是． 7．（25-26七年级下·重庆江津·期中）已知、都是实数，且满足，则的立方根是________． 【答案】2 【分析】根据算术平方根的定义，被开方数为非负数，据此先求出的值，再代入求出的值，最后计算的立方根即可． 【详解】解：根据算术平方根的性质，被开方数大于等于， 可得 解得， 将代入 ， 得 ， 则， 因为，所以的立方根是． 8．（25-26七年级下·陕西延安·期中）小亮有一枚体积为的正方体玉石印章，可以放进一个体积为的长方体木匣中（不考虑木匣的厚度），木匣的宽与印章的棱长相等，木匣的长与高相等，则木匣的长为______． 【答案】6 【分析】先根据正方体体积公式求出印章的棱长，得到长方体木匣的宽，再设木匣的长为未知数，根据长方体体积公式求解即可． 【详解】解：设正方体印章的棱长为， 由正方体体积公式得：， ∴， 因此木匣的宽为， 设木匣的长为，则木匣的高也为， 根据长方体体积公式可得：，即， 所以， 即木匣的长为． 9．（25-26七年级下·甘肃定西·阶段检测）观察下列各式：，，，，按照此规律，第8个等式是_____． 【答案】 【分析】观察已知等式中各部分的数字特征，归纳出一般性规律，即可得到第8个等式． 【详解】解：第1个等式：， 第2个等式：， 第3个等式：， 第4个等式：， ， 第个等式：， ∴第8个等式为：． 10．（25-26七年级上·安徽六安·阶段检测）如果两个数互为相反数，那么这两个数的立方根也互为相反数，即如果，那么．反过来，“如果两个数的立方根互为相反数，那么这两个数也互为相反数”也成立． （1）若，则__________； （2）若和互为相反数，且的平方根是它本身，则的立方根为__________． 【答案】 【分析】（1）根据性质求解即可； （2）根据性质，平方根的定义，立方根的定义，求解即可． 【详解】（1）解：因为，所以，解得； （2）解：根据题意，得， 所以， 解得． 因为的平方根是它本身， 所以，解得， 则， 所以的立方根为． 三、解答题 11．（25-26七年级下·河南信阳·期中）计算及解方程 (1)计算： (2)解方程：． 【答案】(1)3 (2) 【分析】（1）先计算算术平方根，立方根，再计算加减即可求解； （2）利用立方根即可求解． 【详解】（1）解：原式． （2）解：开立方得，， ∴． 12．（25-26七年级下·山东济南·期末）已知的平方根是，的立方根是． (1)求，的值； (2)求的算术平方根． 【答案】(1) ， (2) 的算术平方根为 【分析】（1）根据平方根和立方根的定义列出关于、的方程，先求出、的值； （2）把，代入计算的值，最后根据算术平方根的定义求解结果． 【详解】（1）解：的平方根是， ， 解得， 的立方根是， ， 把代入得， 解得； （2）解：把，代入得：， 的算术平方根是， 的算术平方根为． 13．（25-26七年级下·重庆綦江·期末）小明想要探究被开方数末尾带“0”时，算术平方根与立方根的变化规律． 已知，则，；已知，则，； 已知，则，；已知，则，； (1)根据小明的发现，请填空：若，那么 ；若，那么 ． (2)现有一个长方形，其长和宽分别用，来表示，且满足． ①求该长方形的周长． ②若将长方形的周长扩大为原来的100倍，得到新的周长，请利用（1）中所得规律，求出的值． 【答案】(1)25； (2)①；② 【分析】（1）观察可知，被开平方的数的小数点每向右移动两位，那么其算术平方根的小数点就向右移动一位，被开立方的数的小数点每向右移动三位，那么其立方根的小数点就向右移动一位，据此可得答案； （2）①根据立方根的定义可得，求出的值即可得到答案；②根据（2）①所求可得的值，求出C的算术平方根，即可求出的算术平方根． 【详解】（1）解：由题意得，若，那么； 若，那么； （2）解：①∵， ∴， ∴， ∴， ∴该长方形的周长C为； ②由（2）①得， ∵， ∴． 14．（25-26七年级下·北京海淀·期中）类比探究： 小红同学在学习完平方根（二次方根）、立方根（三次方根）的知识后，想要类比探究四次方根、五次方根的相关知识： 若，则叫的二次方根；若，则叫的三次方根； 若，则叫的四次方根，记作，例如：16的四次方根记为． 请认真阅读上面的材料，回答下列问题： (1)①类似地，若____________，则叫的五次方根，记作____________； ②32的五次方根为____________； (2)若，则____________； (3)求的值：． 【答案】(1)① ，；② (2) (3)或 【分析】本题类比已学的二次方根、三次方根、四次方根的定义，探究五次方根的相关知识，整体解题思路为：先根据已知定义类比得到五次方根的概念，再结合非负数的性质、一元方程的求解方法，利用乘方与开方互逆运算计算各小题的结果． 【详解】（1）解：①根据题干给出的二次方根、三次方根、四次方根的定义，类比可得，若 ，则x叫a的五次方根，记作． ②∵， ∴32的五次方根为2． （2）解：∵，，且， ∴，， 解得，， ∴， ∵， ∴． （3）解：∵， ∴， ∴ ∴， ∴， 解得，． 15．（25-26七年级下·福建福州·期中）小明在学完立方根后研究了如下问题：如何求出的立方根？他进行了如下步骤： ①首先进行了估算：因为，，所以是两位数； ②其次观察了立方数：，，，，，，，，；猜想的个位数字是； ③接着将往前移动位小数点后约为，因为，，所以的十位数字应为，于是猜想，验证得：的立方根是； ④最后再依据“负数的立方根是负数”得到，同时发现结论：若两个数互为相反数，则这两个数的立方根也互为相反数；反之也成立． 请你根据小明的方法和结论，完成下列问题： (1) ； (2)若，则 ； (3)已知，且与互为相反数，求，的值． 【答案】(1) (2) (3) 或或 【分析】（1）依照题干中的解题思路求出； （2）由可得关于的一元一次方程，解方程即可求出的值； （3）根据可得，由立方根等于它本身的数有和，可得：或或，分别求出当或或时，的值，再根据与互为相反数，求出的值． 【详解】（1）解：，，， 是两位数， ， 的个位数字应是， 将的小数点向前移动后约为， ，， 的十位数字应为， ， 依据“负数的立方根是负数”得到：； （2）解：， ， 解得：； （3）解：， ， ， 或或， 或或， 当时，可得：， 与互为相反数， ， 解得：， 即； 当时，可得：， 与互为相反数， ， 即， 解得：， 即； 当时，可得：， 与互为相反数， ， 即， 解得：． 2 / 37 学科网（北京）股份有限公司 $的学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 专题2.2立方根 内容总览 1教学目标、教学重难点 知识点01立方根的定义 知识点02立方根的性质 2.知识清单 知识点03立方根小数点位数移动规律 题型01立方根概念理解 题型02求一个数的立方根 立方根 题型03已知一个数的立方根，求这个数 题型04立方根的性质 3题型精讲 题型05利用开立方解方程 题型06平方根与立方根的综合 题型07立方根的应用 题型08与立方根有关的规律探究问题 基础自测 4.强化训练 能力提升 教学目标 教学重难点 1.理解立方根的概念，能用根号表示一个数的立方根。 2.掌握立方根的性质：正数有一个正的立方根，负数有一个负的立方根，0的立方根 教学目标 是0。 3.能运用立方根的概念求一个数的立方根，并进行简单计算。 重点： 1.立方根的概念及其性质。 教学重难点 2.求一个数的立方根，特别是负数立方根的确定。 教学难点： 1/11 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 1.区分平方根与立方根的不同性质（负数有立方根）。 2.理解立方根与立方运算的互逆关系，并用于求值。 知识清单 知识点01立方根的定义 1,定义：如果一个数的立方等于a,那么这个数叫做a的立方根或三次方根.这就是说，如果x=a,那 么x叫做的立方根.求一个数的立方根的运算，叫做开立方： 注意：一个数a的立方根，用a表示，其中a是被开方数，3是根指数.开立方和立方互为逆运算 2:立方根的特征 立方根的特征：正数的立方根是正数，负数的立方根是负数，0的立方根是0. 注意：任何数都有立方根，一个数的立方根有且只有一个，并且它的符号与这个非零数的符号相同.两个 互为相反数的数的立方根也互为相反数： 【即学即练1】计算：-64= 2 【即学即练2】已知a的立方根为3，则a的值为一 知识点02立方根的性质 -a=-a a =a (Va)-a 注意：第一个公式可以将求负数的立方根的问题转化为求正数的立方根的问题， 【即学即练】若8+d=2a-3),则a的平方根是 知识点03立方根小数点位数移动规律 被开方数的小数点向右或者向左移动3位，它的立方根的小数点就相应地向右或者向左移动1位.例 如，0.000216=0.06,0.216=0.6.216=6,216000=60 【即学即练】完善下面表格，发现平方根和立方根的规律，并运用规律解决问题. 2/11 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 … 0.064 0.64 64 6400 64000 √R … 0.25298 0.8 P 252.98 0.4 0.8618 W 18.566 40 (1)表格中的m= n= (2)已知V5≈3.873，.5≈1.22474，估计V150和V0.15的值；（结果保留四位小数） (3)若Va≈14.1421,700≈b,估计a+b的值.（参考数据： √2≈1.41421，√20≈4.4721,7≈1.9129,0.7≈0.88790).（结果保留四位小数） 题型精讲 题型01立方根概念理解 【典例1】下列语句正确的是() A.负数没有立方根 B.64的立方根是±2 C.立方根等于本身的数只有±1 D.8=-8 【变式1】下列说法中，正确的是() A.一个数的立方根有两个，它们互为相反数B.一个非零数的立方根与这个数同号 C.负数没有平方根也没有立方根 D.算术平方根一定是正数 【变式2】下列说法正确的是() A.64的立方根是±4 B.-27没有立方根 C.立方根等于本身的数是0和1 D.-27=-3 题型02求一个数的立方根 【典例2】64的立方根是 【变式1】计算：-27= 【变式2】64的平方根是一·⑧1的立方根是 3/11 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 题型03已知一个数的立方根，求这个数 【典例3】己知一个数的立方根为一5，则这个数为 【变式1】一个正数的平方根分别是2a-5和2a+1,b-30的立方根是-3，则Va+b的算术平方根为一 【变式2】已知：2a-7和a+4是正数M的平方根，b-7的立方根为-2，则3a+2b的算术平方根 题型04立方根的性质 【典例4】已知a-3=a-3,则a的值为 【变式1】数ab、c在数轴上对应的位置如图，化简√a+b-Vc-b2+的结果为 b a0e→ 【变式2】根据立方根的意义填空： 2- 观察上述结果，猜想对于实数a,a等于什么？对于式子a(n≥2，n是整数)的化简，你有怎样的认识？ 题型05利用开立方解方程 【典例5】解下列方程： (1)16(x+1)=49: (2)8(1-x)=125. 【变式1】解下列方程： ()x-1-9=0: a2x-+0, 【变式2】求下列各式中x的值： (1)3(5x+1)-48=0. 4/11 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 2)2(c-1)=-12 4 题型06平方根与立方根的综合 【典例6】已知3m-2的平方根是+2，m+2n+4的立方根是2. (1)求m,n的值： (2)求2mn+5的算术平方根. 【变式1】已知实数3a+10的算术平方根是2，a+b的立方根是2. (1)求a,b的值： (2)求5a+2b的平方根， 【变式2】已知3a-5的立方根是-2，b+1的算术平方根是3. (1)求a,b的值： (2)若c<V15<c+1,且c是整数，求b-2a+2c的平方根. 题型07 立方根的应用 【典例7】如图是一种形状为正方体的魔方，它的体积为216cm,它的棱长是多少？ 【变式1】如图是一块体积为343立方厘米的正方体铁块. (1)求该正方体铁块的棱长： (2)现在工厂要将这块铁块熔化，重新锻造成两个棱长为3厘米的小正方体铁块和一个底面为正方形的长方 体铁块.若长方体铁块的高为1厘米，求长方体铁块的底面正方形的边长， 【变式2】在做浮力实验时，小华用一根细线将一正方体铁块拴住，完全浸入盛满水的杯中（杯的形状为 5/11 学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 ◆ 圆柱体)，并用量筒量得从杯中溢出的水的体积为216c,小华又将铁块从杯中拿出来，量得杯中水位下 降了0.5cm (1)铁块的棱长为多少厘米？ (2)杯内部的底面直径为多少厘米（π取3）？ 题型08 与立方根有关的规律探究问题 【典例8】观察下列正数的立方根运算，并完成下列问题： b 0.004096 4.096 4096 4096000 4096000000 6 0.16 1.6 16 160 1600 (1)用语言叙述上述表格中的规律：在立方根运算中，被开方数的小数点每向右移动三位，相应的立方根的 小数点就向 移动 位 (2)运用你发现的规律，探究下列问题：已知13≈2.35，则0.013≈ 13000≈ (3)类比上述立方根运算：已知V3.66≈1.913，则V366≈ 36600≈ 【变式1】观察下列规律回答问题： -0.001=-0.1,-1=-1,-1000=-10,0.001=0.1,近=1,1000=10，… (1)0.000001=_-,10=- (2)已知=1.587，若5=0.1587，用含x的代数式表示y,则y=一： 3)根据规律写出a与a的大小情况. 【变式2】 (1)填表： 0.000008 0.008 P 8000 (2)观察上表，表中数a的小数点的移动与它的立方根a的小数点的移动之间有何规律？请用语言叙述 这个规律： (3)根据你发现的规律解答： ①已知0.214≈0.5981,2.14≈1.289,21.4≈2.776，则2140介于哪两个整数之间？ ②已知0.001843≈0.1226，则1843≈一： ③用铁皮制作一个封闭的正方体，它的体积是1.843立方米，问需要多大面积的铁皮？（结果精确到0.01 6/11 西学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 平方米) 0.000008 0.008 8 8000 a 0.02 0.2 3 20 强化训练 基础自测 一、单选题 1.(25-26七年级下·内蒙古呼和浩特·期末)下列说法正确的是（) A.正数有两个互为相反数的立方根 B.负数没有立方根 C.一个数的立方根的符号与这个数的符号相同 D.2的立方根是±2 2.(25-26七年级下·云南曲靖·期末)下列计算正确的是() A.√36=6 B.3-27=-9 C.V(-2)}=-2 D.--8=2 3.(25-26七年级下广东汕头期末)已知0.214≈0.5981,2.14≈1.289,21.4≈2.776，则2140≈ () A.27.76 B.12.89 C.59.81 D.5.981 4.(26-27八年级·上海·暑假作业)已知一个正方体的体积是729cm,现要在它的8个角上分别截去1个 大小相同的小正方体，截去小正方体后余下部分的体积恰好是665cm,则截去的每个小正方体的棱长是 （) A.6cm B.4cm C.2cm D.Icm 二、填空题 5.(25-26七年级下贵州黔东南期末)9的平方根是 8的立方根是 7/11 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 6.(25-26七年级下·陕西商洛期末)若一个正数的两个不同平方根是a+7和2a-4,则a的立方根为 7.(25-26七年级下北京大兴期末)已知一个正方体的棱长为2cm,若它的体积变为原来的27倍，则改 变后正方体的棱长为 cm 8.(26-27八年级全国暑假作业)数a五、c在数轴上对应的位置如图，化简V(a+b-√c-b)+ 的结果为 6 a 0 三、解答题 9.(26-27八年级上海·暑假作业)求下列各数的立方根： (1)27: (2)-1000: 64 (3)125 (4)0. 10.(26-27八年级·上海暑假作业)化简： (1)216: (2)-216： )8 1 ④8 11.(24-25七年级下·四川南充阶段检测)解下列方程 (1)4(x+3)-1=24 (2)(2x-1°+4=0 12.(25-26七年级下陕西延安期末)已知a+b-1的平方根是±4,1-b的立方根为-2， (1)求a与b的值： (2)求5a+b的算术平方根. 8/11 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 能力提升 一、 单选题 1.(25-26七年级下·吉林四平·期末)下列结论正确的是（) A.64的平方根是±4 B.一8没有立方根 C.立方根等于本身的数是0 D.-27=-27 2.(25-26七年级下内蒙古呼和浩特·期末)下列计算正确的是() A.(-2)3=2 B.30.064=-0.4 C.(-23=21 n 3.(25-26七年级下新疆伊犁期中)若Va-3+b-=0,则ab的值() A.3 B.9 C.27 D.-3 4.(25-26八年级上山东潍坊阶段检测)已知10≈2.154,100≈4.642，那么10000约为() A.21.54 B.215.4 C.46.42 D.464.2 5.(25-26七年级下·内蒙古呼伦贝尔阶段检测)若实数a,b互为相反数，C,d互为倒数，m是16的平方 根，则-a+b+cd+(m-l的值为() A.8 B.26 C.10或26 D.8或24 二、填空题 27 6.(25-26七年级下广东广州期中)9的平方根是 125的立方根是 7.(25-26七年级下·重庆江津期中)已知m、n都是实数，且满足n=√m-3+V3-m+5,则(m+n)的立 方根是 8.(25-26七年级下陕西延安·期中)小亮有一枚体积为125cm的正方体玉石印章，可以放进一个体积为 180cm的长方体木厘中（不考虑木匣的厚度），木匣的宽与印章的棱长相等，木厘的长与高相等，则木厘 的长为cm. 9.(25-26七年级下·甘肃定西阶段检测)观察下列各式： 9/11 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 5 5124=5124, 按照此规律，第8个等式是 10.(25-26七年级上·安徽六安·阶段检测)如果两个数互为相反数，那么这两个数的立方根也互为相反数， 即如果a+b=0,那么ā+b=0,反过来，“如果两个数的立方根互为相反数，那么这两个数也互为相 反数”也成立。 (1)若(-7.01+x3=0,则x= (2)若6-y和2y-3互为相反数，且x-5的平方根是它本身，则x+y的立方根为. 三、解答题 11.(25-26七年级下·河南信阳·期中)计算及解方程 (1)计算：V25-8-V-4 (2)解方程：(x-1)°=27. 12.(25-26七年级下山东济南期末)已知4m+1的平方根是±7,5n-m的立方根是2. (I)求m,n的值： (2)求m+n+9的算术平方根. 13.(25-26七年级下·重庆綦江期末)小明想要探究被开方数末尾带“0时，算术平方根与立方根的变化 规律。 己知√=1，则V100=10,V10000=100;已知V9-3,则V900=30,90000=300: 已知近=1，则1000=10,1000000=100：已知8=2，则8000=20,8000000=200： (1)根据小明的发现，请填空：若Va=2.5,那么V100a=-;若6=-1.2，那么000000b= (②)现有一个长方形，其长和宽分别用x,y来表示，且满足x+y-8=4, ①求该长方形的周长C. ②若将长方形的周长扩大为原来的100倍，得到新的周长C,请利用(1)中所得规律，求出√C的值. 14.(25-26七年级下北京海淀·期中)类比探究： 小红同学在学习完平方根（二次方根）、立方根（三次方根）的知识后，想要类比探究四次方根、五次方 根的相关知识： 若x=a(a≥0)，则x叫a的二次方根；若x=a,则x叫a的三次方根； 若x=a(a之0)，则x叫a的四次方根，记作x=±a,例如：16的四次方根记为士6=2. 请认真阅读上面的材料，回答下列问题： 10/11 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 (1)①类似地，若 则x叫a的五次方根，记作 ②32的五次方根为 1,, =0,则而= (3)求x的值：2(x-2)-162=0 15.(25-26七年级下·福建福州期中)小明在学完立方根后研究了如下问题：如何求出-1728的立方根？ 他进行了如下步骤： ①首先进行了估算：因为103=1000,1003=1000000，所以1728是两位数： ②其次观察了立方数：13=1,2=8,3=27,43=64,53=125,63=216,73=343,8=512， 93=729:猜想1728的个位数字是2： ③接着将1728往前移动3位小数点后约为1，因为13=1,2=8，所以1728的十位数字应为1，于是猜想 1728=12,验证得：1728的立方根是12； ④最后再依据“负数的立方根是负数”得到利-1728=-12，同时发现结论：若两个数互为相反数，则这两 个数的立方根也互为相反数：反之也成立， 请你根据小明的方法和结论，完成下列问题： (①)-3375=- (2)若5-4x=-x+10,则x=-: (3)已知x-2+2=x,且3y-1与1-2x互为相反数，求x,y的值. 11/11