3.2 勾股定理的逆定理 讲义2026-2027学年苏科版数学八年级上册

本讲义聚焦“勾股定理的逆定理”核心知识点，系统梳理其内容（三角形三边长a,b,c满足a²+b²=c²则为直角三角形）及勾股数概念（满足a²+b²=c²的三个正整数），通过解题知识说明、典例解析与变式训练构建从概念理解到应用的学习支架。 资料以题型分层设计为亮点，题型1通过判断直角三角形（如网格中点构成直角三角形问题）培养几何直观，题型2结合勾股数辨析（如7,24,25等实例）发展推理能力，题量丰富且梯度合理，课中辅助教师高效教学，课后助力学生查漏补缺，体现用数学思维解决实际问题的应用意识。

3.2 勾股定理的逆定理 内 容 导 航 题型1 勾股定理的逆定理 题型2 勾股数 考 点 演 练 题型1 勾股定理的逆定理 解｜题｜知｜识 （1）勾股定理的逆定理：如果三角形的三边长a，b，c满足a2+b2＝c2，那么这个三角形就是直角三角形． 说明： ①勾股定理的逆定理验证利用了三角形的全等． ②勾股定理的逆定理将数转化为形，作用是判断一个三角形是不是直角三角形．必须满足较小两边平方的和等于最大边的平方才能做出判断． （2）运用勾股定理的逆定理解决问题的实质就是判断一个角是不是直角．然后进一步结合其他已知条件来解决问题． 注意：要判断一个角是不是直角，先要构造出三角形，然后知道三条边的大小，用较小的两条边的平方和与最大的边的平方比较，如果相等，则三角形为直角三角形；否则不是． 【典例1】已知一个三角形的三边长分别为2，3，，则该三角形最长边上的中线长为（　　） A． B．1 C． D．无法确定 【变式1】下列四组线段中，可以构成直角三角形的是（　　） A．1，2，3 B．1.5，2，2.5 C．3，5，7 D．6，8，9 【变式2】下列长度的三条线段能组成直角三角形的是（　　） A．1，1，2 B．2，3，4 C．3，4，5 D．32，42，52 【变式3】如图，小正方形组成的3×2网格中，每个小正方形的顶点称为格点．点A，B，C，D，M，N均在格点上，其中点A，B，C，D能与点M，N构成一个直角三角形的是（　　） A．点A B．点B C．点C D．点D 题型2 勾股数 解｜题｜知｜识 勾股数：满足a2+b2＝c2 的三个正整数，称为勾股数． 说明： ①三个数必须是正整数，例如：2.5、6、6.5满足a2+b2＝c2，但是它们不是正整数，所以它们不是够勾股数． ②一组勾股数扩大相同的整数倍得到三个数仍是一组勾股数． ③记住常用的勾股数再做题可以提高速度．如：3，4，5；6，8，10；5，12，13；… 【典例1】下列各组数中，是“勾股数”的一组是（　　） A．4，5，6 B．1.5，2，2.5 C．7，24，25 D．1，，2 【变式1】下列各组数为勾股数的是（　　） A．0.3，0.4，0.5 B．4，5，6 C．7，24，25 D．，， 【变式2】我国是最早了解勾股定理的国家之一，它被记载于我国古代著名的数学著作《周髀算经》中，视下列各组数中，是“勾股数”的是（　　） A．1，， B．0.3，0.4，0.5 C．2，3，4 D．7，24，25 【变式3】下列各组数中，是勾股数的是（　　） A．1，2，3 B．6，8，10 C．0.3，0.4，0.5 D．9，24，25 过 关 验 收 1．如图，在4×4的正方形网格中，每个小正方形的边长都是1，点A，B，C都在小正方形的顶点上，则∠BAC的度数是（　　） A．40° B．45° C．50° D．60° 2．下列条件中，不能判断△ABC是直角三角形的是（　　） A．a+b＝c B．a：b：c＝3：4：5 C． D． 3．以下列长度的三条线段围成的三角形是直角三角形的是（　　） A．32，42，52 B．，， C．1.5，2.5，2 D．，， 4．△ABC中，∠A，∠B，∠C的对边分别记为a，b，c，由下列条件能判定△ABC为直角三角形的是（　　） A．a＝9，b＝12，c＝15 B．a＝12，b＝18，c＝22 C．a＝12，b＝35，c＝36 D．a＝15，b＝36，c＝41 5．下列四组线段中，可以构成直角三角形的是（　　） A．1cm，3cm，4cm B．cm，cm，2cm C．cm，2cm，cm D．5cm，12cm，13cm 6．下列四组a、b、c的线段中，不能组成直角三角形的是（　　） A．a＝1，，c＝2 B． C．a＝9，b＝12，c＝15 D．a＝8，b＝15，c＝17 7．如图，在四边形ABCD中，AB＝BC＝3，CD，DA＝5，∠B＝90°，则∠BCD的度数 　 　 ． 8．如图，在“4×4”的正方形网格中，∠1+∠2的度数为 　 　． 9．在△ABC中，AB＝10，BC＝6，AC＝8，点D在线段BC上从点C向点B移动，同时，点E在线段AB上由点A向点B移动，当点D与点B重合时运动停止，已知它们的运动速度相同，连接AD，CE，则AD+CE的最小值为 　 　 ． 10．如图，在△ABC中，AC＝3，BC＝4，AB＝5，分别以点A和点B为圆心，大于的长为半径作弧（弧所在的圆的半径都相等），两弧相交于M，N两点，直线MN分别与边AB，BC相交于点D，E，则线段CE的长为 　 　 ． 11．如图，在△ABC中，AB＝6，AC＝8，BC＝10，BC的垂直平分线分别交AC、BC于点D、E，求CD的长． 12．如图，在Rt△ABC中，∠BCA＝90°，AC＝12，AB＝13，点D是Rt△ABC外一点，连接DC，DB，且CD＝4，BD＝3． （1）求证：∠D＝90°； （2）求四边形ABCD面积． 13．如图，在四边形ABCD中，∠B＝90°，AB＝BC＝2，CD＝3，DA＝1． （1）求∠DAB的度数； （2）求四边形ABCD的面积． 14．如图，四边形ABCD中，AB＝20，BC＝15，CD＝7，AD＝24，∠B＝90°． （1）判断∠D是否是直角，并说明理由． （2）求四边形ABCD的面积． 15．如图，在△ABC中，CD⊥AB，AB＝5，BC，CD＝2． （1）求DB的长； （2）求证：AC⊥BC． 16．一块田地的形状如图所示，已知AB＝13m，BC＝12m，CD＝3m，AD＝4m，∠ADC＝90°，求该田地的面积． 17．数学社团小组同学在一次“探究性学习”课中，设计了如下数表： 2 3 4 5 … a 22﹣1 32﹣1 42﹣1 52﹣1 … b 4 6 8 10 … c 22+1 32+1 42+1 52+1 … （1）请你分别观察a，b，c与n之间的关系，并用含自然数n（n≥2）的代数式表示：a＝ 　 ，b＝ 　 ，c＝ 　 　　 ． （2）猜想：以a，b，c为边的三角形是否为直角三角形？并证明你的猜想． 18．如图，在△ABC中，AB边上的垂直平分线DE与AB、AC分别交于点D、E，且CB2＝AE2﹣CE2． （1）求证：∠C＝90°； （2）若AC＝8，BC＝6，求CE的长． 19．如图，，AM＝1，BM＝2，． （1）求证：△ABM是直角三角形； （2）求证：∠B+∠C＝45°． 20．有下列各组数：①3，4，5；②8，15，17；③0.5，1.2，1.3；④，其中勾股数有（　　） A．1组 B．2组 C．3组 D．4组 21．下列四组数中，是勾股数的是（　　） A．0.3，0.4，0.5 B．32，42，52 C．3，4，5 D． 22．下列各组数中，是勾股数的是（　　） A．0.3，0.4，0.5 B．10，15，18 C．，， D．6，8，10 23．将下列长度的三根木棒首尾顺次连接，能组成直角三角形的是（　　） A．1、2、3 B．2、3、4 C．3、4、5 D．4、5、6 24．在下列各组数中，是勾股数的一组是（　　） A．0.3，0.4，0.5 B．6，8，10 C．，，1 D．1，2，3 25．清代扬州数学家罗士琳痴迷于勾股定理的研究，提出了推算勾股数的“罗士琳法则”．法则的提出，不仅简化了勾股数的生成过程，也体现了中国传统数学在数论领域的贡献．由此法则写出了下列几组勾股数： ①3，4，5； ②5，12，13； ③7，24，25； ④9，40，41； ⑤11，60，61 … 根据上述规律，写出第⑥组勾股数为　　 　　 ． 26．观察下列几组勾股数：①3、4、5；②5、12、13；③7、24、25；④9、40、41；…根据上面的规律，写出第6组勾股数： 　 　 ． 27．已知：满足a2+b2＝c2的三个正整数a，b，c称为一组勾股数，很多勾股数组具有规律： （1）设a＜b＜c，观察提供勾股数的规律，填空： 当a为奇数时，如①3，4，5；②5，12，13；③7，24，25；④9，　 　 ，　 　 ；⑤11，60，61； 当a为偶数时，如①6，8，10；②8，15，17；③10，24，26；④12，35，37；⑤14，　 　 ，　　 ； （2）若a＝2n，b＝n2﹣1，c＝n2+1，n为正整数，且n≥3，求证：a，b，c是勾股数组． 28．课堂上学习了勾股定理后知道：直角三角形三边长是整数时我们称之为“勾股数”．写出三组勾股数，它们之间有一个相同的整数． 学科网（北京）股份有限公司 $ 3.2 勾股定理的逆定理 内 容 导 航 题型1 勾股定理的逆定理 题型2 勾股数 考 点 演 练 题型1 勾股定理的逆定理 解｜题｜知｜识 （1）勾股定理的逆定理：如果三角形的三边长a，b，c满足a2+b2＝c2，那么这个三角形就是直角三角形． 说明： ①勾股定理的逆定理验证利用了三角形的全等． ②勾股定理的逆定理将数转化为形，作用是判断一个三角形是不是直角三角形．必须满足较小两边平方的和等于最大边的平方才能做出判断． （2）运用勾股定理的逆定理解决问题的实质就是判断一个角是不是直角．然后进一步结合其他已知条件来解决问题． 注意：要判断一个角是不是直角，先要构造出三角形，然后知道三条边的大小，用较小的两条边的平方和与最大的边的平方比较，如果相等，则三角形为直角三角形；否则不是． 【典例1】已知一个三角形的三边长分别为2，3，，则该三角形最长边上的中线长为（　　） A． B．1 C． D．无法确定 【答案】C 【解答】解：∵22+（）2＝9＝32， ∴该三角形是直角三角形，且斜边长为3， ∴该三角形最长边上的中线长为， 故选：C． 【变式1】下列四组线段中，可以构成直角三角形的是（　　） A．1，2，3 B．1.5，2，2.5 C．3，5，7 D．6，8，9 【答案】B 【解答】解：A、∵1+2＝3， ∴不能组成三角形， 故A不符合题意； B、∵1.52+22＝6.25，2.52＝6.25， ∴1.52+22＝2.52， ∴能构成直角三角形， 故B符合题意； C、∵32+52＝34，72＝49， ∴32+52≠72， ∴不能构成直角三角形， 故C不符合题意； D、∵62+82＝100，92＝81， ∴62+82≠92， ∴不能构成直角三角形， 故D不符合题意； 故选：B． 【变式2】下列长度的三条线段能组成直角三角形的是（　　） A．1，1，2 B．2，3，4 C．3，4，5 D．32，42，52 【答案】C 【解答】解：A、1+2＝3，不能组成三角形，故A选项不符合题意； B、22+32≠42，不能组成直角三角形，故B选项不符合题意； C、32+42＝52，能组成直角三角形，故C选项符合题意； D、32+42＝52，不能组成三角形，故D选项不符合题意； 故选：C． 【变式3】如图，小正方形组成的3×2网格中，每个小正方形的顶点称为格点．点A，B，C，D，M，N均在格点上，其中点A，B，C，D能与点M，N构成一个直角三角形的是（　　） A．点A B．点B C．点C D．点D 【答案】D 【解答】解：A、∵AM2＝12＝1，MN2＝12+12＝2，AN2＝12+22＝5， ∴AM2+MN2≠AN2， ∴△AMN不是直角三角形， 故A不符合题意； B、∵MN2＝12+12＝2，MB2＝12+22＝5，BN2＝12+22＝5， ∴MN2+MB2≠BN2， ∴△BMN不是直角三角形， 故B不符合题意； C、∵MN2＝12+12＝2，CN2＝12+22＝5，MC2＝32＝9， ∴MN2+CN2≠MC2， ∴△CMN不是直角三角形， 故C不符合题意； D、∵MN2＝12+12＝2，MD2＝12+32＝10，DN2＝22+22＝8， ∴MN2+DN2＝MD2， ∴△DMN是直角三角形， 故D符合题意； 故选：D． 题型2 勾股数 解｜题｜知｜识 勾股数：满足a2+b2＝c2 的三个正整数，称为勾股数． 说明： ①三个数必须是正整数，例如：2.5、6、6.5满足a2+b2＝c2，但是它们不是正整数，所以它们不是够勾股数． ②一组勾股数扩大相同的整数倍得到三个数仍是一组勾股数． ③记住常用的勾股数再做题可以提高速度．如：3，4，5；6，8，10；5，12，13；… 【典例1】下列各组数中，是“勾股数”的一组是（　　） A．4，5，6 B．1.5，2，2.5 C．7，24，25 D．1，，2 【答案】C 【解答】解：A、42+52＝16+25＝41≠62，不是勾股数，不符合题意； B、1.5，2.5是小数，不是勾股数，不符合题意； C、72+242＝625＝252，且均为正整数，是勾股数，符合题意； D、不是正整数，不是勾股数，不符合题意； 故选：C． 【变式1】下列各组数为勾股数的是（　　） A．0.3，0.4，0.5 B．4，5，6 C．7，24，25 D．，， 【答案】C 【解答】解：A、0.3，0.4，0.5都不是正整数，不是勾股数，不符合题意； B、∵42+52≠62， ∴4，5，6不是勾股数，不符合题意； C、∵72+242＝252， ∴7，24，25是勾股数，符合题意； D、，，都不是正整数，不是勾股数，不符合题意； 故选：C． 【变式2】我国是最早了解勾股定理的国家之一，它被记载于我国古代著名的数学著作《周髀算经》中，视下列各组数中，是“勾股数”的是（　　） A．1，， B．0.3，0.4，0.5 C．2，3，4 D．7，24，25 【答案】D 【解答】解：A：、不是正整数，不是勾股数，不符合题意； B：0.3，0.4，0.5不是正整数，不是勾股数，不符合题意； C：2，3，4均为正整数，但22+32≠42，2，3，4不是勾股数，不符合题意； D：7，24，25均为正整数，且72+242＝252，7，24，25是勾股数，符合题意；故选：D． 【变式3】下列各组数中，是勾股数的是（　　） A．1，2，3 B．6，8，10 C．0.3，0.4，0.5 D．9，24，25 【答案】B 【解答】解：A、12+22≠32，不是勾股数，不符合题意； B、62+82＝102，是勾股数，符合题意； C、0.3，0.4，0.5不是整数，不是勾股数，不符合题意； D、92+242≠252，不是勾股数，不符合题意． 故选：B． 过 关 验 收 1．如图，在4×4的正方形网格中，每个小正方形的边长都是1，点A，B，C都在小正方形的顶点上，则∠BAC的度数是（　　） A．40° B．45° C．50° D．60° 【答案】B 【解答】解：连接BC， ∵每个小正方形的边长都是1， ∴AC2＝12+32＝10，BC2＝12+32＝10，AB2＝22+42＝20， ∵10+10＝20， ∴AC2+CB2＝AB2，AC2＝CB2， ∴△ACB是等腰直角三角形， ∴∠BAC＝45°． 故选：B． 2．下列条件中，不能判断△ABC是直角三角形的是（　　） A．a+b＝c B．a：b：c＝3：4：5 C． D． 【答案】A 【解答】解：A、a+b＝c，不能构成三角形，符合题意； B、设a＝3k，b＝4k，c＝5k， ∵（3k）2+（4k）2＝（5k）2， ∴a2+b2＝c2， ∴△ABC是直角三角形，不符合题意； C、∵12+22＝（）2， ∴a2+b2＝c2， ∴△ABC是直角三角形，不符合题意； D、∵12+（）2＝22， ∴a2+c2＝b2， ∴△ABC是直角三角形，不符合题意； 故选：A． 3．以下列长度的三条线段围成的三角形是直角三角形的是（　　） A．32，42，52 B．，， C．1.5，2.5，2 D．，， 【答案】C 【解答】解：A、∵32+42＝52，不能围成三角形，故选项A不符合题意； B、（）2+（）2≠（）2，不能围成直角三角形，故选项B不符合题意； C、1.52+22＝2.52，能围成直角三角形，故选项C符合题意； D、（）2+（）2≠（）2，不能围成直角三角形，故选项D不符合题意； 故选：C． 4．△ABC中，∠A，∠B，∠C的对边分别记为a，b，c，由下列条件能判定△ABC为直角三角形的是（　　） A．a＝9，b＝12，c＝15 B．a＝12，b＝18，c＝22 C．a＝12，b＝35，c＝36 D．a＝15，b＝36，c＝41 【答案】A 【解答】解：A、∵92+122＝81+144＝225，152＝225， ∴a2+b2＝c2，△ABC是直角三角形，正确，符合题意； B、∵122+182＝144+324＝468，222＝484， ∴a2+b2≠c2，△ABC不是直角三角形，不符合题意； C、∵122+352＝144+1225＝1369，362＝1296， ∴a2+b2≠c2，△ABC不是直角三角形，不符合题意； D、∵152+362＝225+1296＝1521，412＝1681， ∴a2+b2≠c2，△ABC不是直角三角形，不符合题意， 故选：A． 5．下列四组线段中，可以构成直角三角形的是（　　） A．1cm，3cm，4cm B．cm，cm，2cm C．cm，2cm，cm D．5cm，12cm，13cm 【答案】D 【解答】解：A、∵12+32＝1+9＝10，42＝16， ∴12+32≠42， ∴1m、3cm、4cm三条线段不能组成直角三角形，故选项A不符合题意； B、∵（）2+（）2＝2+3＝5，22＝4， ∴（）2+（）2≠22， ∴cm、cm、2cm三条线段不能组成直角三角形，故选项B不符合题意； C、∵22+（）2＝4+3＝7，（）2＝5， ∴22+（）2≠（）2， ∴cm、2cm、cm三条线段不能组成直角三角形，故选项C不符合题意； D、∵52+122＝25+144＝169，132＝169， ∴52+122＝132， ∴5cm、12cm、13cm三条线段能组成直角三角形，故选项D符合题意； 故选：D． 6．下列四组a、b、c的线段中，不能组成直角三角形的是（　　） A．a＝1，，c＝2 B． C．a＝9，b＝12，c＝15 D．a＝8，b＝15，c＝17 【答案】B 【解答】解：A、12+（）2＝22，故是直角三角形，故此选项不符合题意； B、（）2+（）2≠（）2，故不是直角三角形，故此选项符合题意； C、92+122＝152，故是直角三角形，故此选项不符合题意； D、82+152＝172，故是直角三角形，故此选项不符合题意． 故选：B． 7．如图，在四边形ABCD中，AB＝BC＝3，CD，DA＝5，∠B＝90°，则∠BCD的度数 　 　 ． 【答案】135°． 【解答】解：∵AB＝BC＝3，∠B＝90°， ∴∠ACB＝∠BAC＝45°， ∴AC3， ∵CD，DA＝5， ∴AC2+CD2＝（3）2+（）2＝25，AD2＝52＝25， ∴AC2+CD2＝AD2， ∴△ACD是直角三角形， ∴∠ACD＝90°， ∴∠BCD＝∠ACB+∠ACD＝135°， 故答案为：135°． 8．如图，在“4×4”的正方形网格中，∠1+∠2的度数为 　 　． 【答案】45°． 【解答】解：将∠2向下平移1个单位格得到AB，如图，连接AC， ∴∠2＝∠ABE， ∵AC2＝AD2+CD2＝22+12＝5，AB2＝BE2+AE2＝22+12＝5，BC2＝32+12＝10， ∴AC2+AB2＝BC2， ∴△ABC是等腰直角三角形， ∴∠ABC＝45°， ∴∠ABE+∠1＝45°， ∴∠1+∠2＝45°， 故答案为：45°． 9．在△ABC中，AB＝10，BC＝6，AC＝8，点D在线段BC上从点C向点B移动，同时，点E在线段AB上由点A向点B移动，当点D与点B重合时运动停止，已知它们的运动速度相同，连接AD，CE，则AD+CE的最小值为 　 　 ． 【答案】 【解答】解：∵AB＝10，BC＝6，AC＝8，则AB2＝BC2+AC2， ∴△ABC为直角三角形，则∠ACB＝90°， 作CF⊥AB交AB于F，作∠BCH＝∠BAC，并使得CH＝AC＝8，过点A作AG⊥HC交HC延长线于点G，连接AH，则∠G＝∠AFC＝90°，∠BAC+∠ACF＝90°， ∵∠ACF+∠BCF＝90°， ∴∠BCH＝∠BAC＝∠BCF， 又∵∠ACB＝90°， ∴∠ACG+∠BCH＝90°， ∴∠ACF＝∠ACG， ∵AC＝AC， ∴△ACF≌△ACG（AAS）， ∴CG＝CF，AG＝AF， 又∵， ∴， 则，， ∴， ∵点D，点E运动速度相同， ∴CD＝AE， 又∵∠BCH＝∠BAC，CH＝AC， ∴△ACE≌△CHD（SAS）， ∴CE＝DH， ∴，当点D在AH上时，取等号， ∴AD+CE的最小值为：． 10．如图，在△ABC中，AC＝3，BC＝4，AB＝5，分别以点A和点B为圆心，大于的长为半径作弧（弧所在的圆的半径都相等），两弧相交于M，N两点，直线MN分别与边AB，BC相交于点D，E，则线段CE的长为 　 　 ． 【答案】． 【解答】解：连接AE， 由题意知：MN垂直平分AB， ∴AE＝BE， ∵AC＝3，BC＝4，AB＝5， ∴AC2+BC2＝AB2， ∴∠C＝90°， ∴AC2+CE2＝AE2， 令CE＝x，则BE＝BC﹣CE＝4﹣x， ∴AE＝4﹣x，∴x2+32＝（4﹣x）2， ∴x， ∴CE． 故答案为：． 11．如图，在△ABC中，AB＝6，AC＝8，BC＝10，BC的垂直平分线分别交AC、BC于点D、E，求CD的长． 【答案】见试题解答内容 【解答】解：连接DB， 在△ACB中， ∵AB2+AC2＝62+82＝100， 又∵BC2 ＝102 ＝100， ∴AB2+AC2＝BC2． ∴△ACB是直角三角形，∠A＝90°， ∵DE垂直平分BC， ∴DC＝DB， 设DC＝DB＝x，则AD＝8﹣x． 在Rt△ABD中，∠A＝90°，AB2+AD2＝BD2， 即62+（8﹣x）2＝x2， 解得x， 即CD． 12．如图，在Rt△ABC中，∠BCA＝90°，AC＝12，AB＝13，点D是Rt△ABC外一点，连接DC，DB，且CD＝4，BD＝3． （1）求证：∠D＝90°； （2）求四边形ABCD面积． 【答案】见试题解答内容 【解答】解：（1）在Rt△ABC中，∠BCA＝90°，AC＝12，AB＝13， ∴BC2＝AB2﹣AC2＝132﹣122＝25， ∴BC＝5， ∵BC2＝DB2+DC2， ∴∠D＝90°； （2）∵CD＝4，BD＝3， ∴CD2+BD2＝42+32＝25， 由（1）知BC＝5，即BC2＝25， ∴CD2+BD2＝BC2， ∴△DBC是直角三角形，且∠D＝90°， ∴S△DBCBD×DC3×4＝6； 由（1）知在Rt△ABC中，∠BCA＝90°，AC＝12，BC＝5， ∴S△ABCBC×AC5×12＝30． ∴S四边形ABCD＝S△ABC+S△DBC＝30+6＝36． 13．如图，在四边形ABCD中，∠B＝90°，AB＝BC＝2，CD＝3，DA＝1． （1）求∠DAB的度数； （2）求四边形ABCD的面积． 【答案】见试题解答内容 【解答】解：（1）连接AC， ∵∠B＝90°，AB＝BC＝2， ∴AC2， ∠BAC＝∠ACB＝45°， ∵CD＝3，DA＝1， ∴AD2+AC2＝12+（2）2＝9，CD2＝32＝9， ∴AD2+AC2＝CD2， ∴△ADC是直角三角形， ∴∠DAC＝90°， ∴∠DAB＝∠BAC+∠DAC＝135°， ∴∠DAB的度数为135°； （2）由题意得： 四边形ABCD的面积＝△ABC的面积+△ADC的面积 AB•BCAD•AC 2×21×2 ＝2， ∴四边形ABCD的面积为2． 14．如图，四边形ABCD中，AB＝20，BC＝15，CD＝7，AD＝24，∠B＝90°． （1）判断∠D是否是直角，并说明理由． （2）求四边形ABCD的面积． 【答案】见试题解答内容 【解答】（1）解：∠D是直角． 理由：连接AC， ∵∠B＝90°， ∴AC2＝BA2+BC2＝400+225＝625， ∵DA2+CD2＝242+72＝625， ∴AC2＝DA2+DC2， ∴△ADC是直角三角形，即∠D是直角； （2）解：∵S四边形ABCD＝S△ABC+S△ADC， ∴S四边形ABCDAB•BCAD•CD， ， ＝234． 15．如图，在△ABC中，CD⊥AB，AB＝5，BC，CD＝2． （1）求DB的长； （2）求证：AC⊥BC． 【答案】见试题解答内容 【解答】（1）解：∵CD⊥AB， ∴∠CDA＝∠CDB＝90°， 在Rt△CDB中，BC，CD＝2， ∴BD1， ∴DB的长为1； （2）证明：∵AB＝5，BD＝1， ∴AD＝AB﹣BD＝5﹣1＝4， 在Rt△ACD中，AC2， ∴AC2+BC2＝（2）2+（）2＝25，AB2＝52＝25， ∴AC2+BC2＝AB2， ∴△ABC是直角三角形， ∴∠ACB＝90°， ∴AC⊥BC． 16．一块田地的形状如图所示，已知AB＝13m，BC＝12m，CD＝3m，AD＝4m，∠ADC＝90°，求该田地的面积． 【答案】该田地的面积是24m2． 【解答】解：连接AC， 在Rt△ACD中，根据勾股定理，可得（m）， ∵AC2+BC2＝52+122＝169，AB2＝132＝169， ∴AC2+BC2＝AB2， ∴△ABC是直角三角形， ∴∠ACB＝90°， ∴该田地的面积＝△ABC的面积﹣△ACD的面积 AC•BCAD•CD 5×124×3 ＝30﹣6 ＝24（m2）， 答：该田地的面积是24m2． 17．数学社团小组同学在一次“探究性学习”课中，设计了如下数表： 2 3 4 5 … a 22﹣1 32﹣1 42﹣1 52﹣1 … b 4 6 8 10 … c 22+1 32+1 42+1 52+1 … （1）请你分别观察a，b，c与n之间的关系，并用含自然数n（n≥2）的代数式表示：a＝ 　 ，b＝ 　 ，c＝ 　 　　 ． （2）猜想：以a，b，c为边的三角形是否为直角三角形？并证明你的猜想． 【答案】（1）n2﹣1，2n，n2+1； （2）以a，b，c为边的三角形是直角三角形． 证明：∵a2+b2＝（n2﹣1）2+（2n）2＝n4﹣2n2+1+4n2＝n4+2n2+1， c2＝（n2+1）2＝n4+2n2+1， ∴a2+b2＝c2， ∴以a、b、c为边的三角形是直角三角形． 【解答】解：（1）由图格中的数据可知， ∵n＝2时，a＝22﹣1，b＝2×2，c＝22+1， n＝3时，a＝32﹣1，b＝2×3，c＝32+1， n＝4时，a＝42﹣1，b＝2×4，c＝42+1， …， ∴a＝n2﹣1，b＝2n，c＝n2+1． 故答案为：n2﹣1，2n，n2+1； （2）以a，b，c为边长的三角形是直角三角形． 证明：∵a2+b2＝（n2﹣1）2+（2n）2＝n4﹣2n2+1+4n2＝n4+2n2+1， c2＝（n2+1）2＝n4+2n2+1， ∴a2+b2＝c2， ∴以a、b、c为边的三角形是直角三角形． 18．如图，在△ABC中，AB边上的垂直平分线DE与AB、AC分别交于点D、E，且CB2＝AE2﹣CE2． （1）求证：∠C＝90°； （2）若AC＝8，BC＝6，求CE的长． 【答案】（1）见解析． （2）． 【解答】（1）证明：连接BE，如图： ∵AB边上的垂直平分线为DE， ∴AE＝BE， ∵CB2＝AE2﹣CE2， ∴CB2＝BE2﹣CE2， ∴CB2+CE2＝BE2， ∴∠C＝90°； （2）设CE＝x，则AE＝BE＝8﹣x， ∴在Rt△BCE中， EC2+BC2＝BE2， 即x2+62＝（8﹣x）2 解得：， 则． 19．如图，，AM＝1，BM＝2，． （1）求证：△ABM是直角三角形； （2）求证：∠B+∠C＝45°． 【答案】证明：（1）∵，AM＝1，BM＝2， ∴AM2+BM2＝1+4＝5＝（）2＝AB2， ∴∠AMB＝90°，△ABM是直角三角形； （2）设BM的中点为N，连接AN， ∴MN＝BNBM＝1， ∵∠AMB＝90°，△ABM是直角三角形，AM＝1， ∴△AMN为等腰直角三角形， ∴∠ANM＝45°， ∴∠ANM＝∠B+∠BAN＝45°， 在△ABN和△CAM中， ， ∴△ABN≌△CAM（SSS）， ∴∠C＝∠BAN， ∴∠B+∠C＝45°． 【解答】证明：（1）∵，AM＝1，BM＝2， ∴AM2+BM2＝1+4＝5＝（）2＝AB2， ∴∠AMB＝90°，△ABM是直角三角形； （2）设BM的中点为N，连接AN， ∴MN＝BNBM＝1， ∵∠AMB＝90°，△ABM是直角三角形，AM＝1， ∴△AMN为等腰直角三角形， ∴∠ANM＝45°， ∴∠ANM＝∠B+∠BAN＝45°， 在△ABN和△CAM中， ， ∴△ABN≌△CAM（SSS）， ∴∠C＝∠BAN， ∴∠B+∠C＝45°． 20．有下列各组数：①3，4，5；②8，15，17；③0.5，1.2，1.3；④，其中勾股数有（　　） A．1组 B．2组 C．3组 D．4组 【答案】B 【解答】解：①3，4，5均为正整数，且32+42＝25＝52，是勾股数，符合题意； ②8，15，17均为正整数，且82+152＝289＝172，是勾股数，符合题意； ③0.5，1.2，1.3均不是整数，不是勾股数，不符合题意； ④中和不是整数，不是勾股数，不符合题意． 故勾股数有2组． 故选：B． 21．下列四组数中，是勾股数的是（　　） A．0.3，0.4，0.5 B．32，42，52 C．3，4，5 D． 【答案】C 【解答】解：A、0.32+0.42＝0.52，能构成直角三角形，但不是整数，不是勾股数，故本选项不符合题意； B、（32）2+（42）2≠（52）2，不是勾股数，故本选项不符合题意； C、32+42＝52，是勾股数，故本选项符合题意； D、（）2+（）2≠（）2，不是勾股数，故本选项不符合题意． 故选：C． 22．下列各组数中，是勾股数的是（　　） A．0.3，0.4，0.5 B．10，15，18 C．，， D．6，8，10 【答案】D 【解答】解：A、0.3，0.4，0.5不是正整数，不是勾股数，故此选项不合题意； B、102+152≠182，不是勾股数，故此选项不合题意； C、，，不是正整数，不是勾股数，故此选项不合题意； D、62+82＝102，且都是正整数，是勾股数，故此选项符合题意； 故选：D． 23．将下列长度的三根木棒首尾顺次连接，能组成直角三角形的是（　　） A．1、2、3 B．2、3、4 C．3、4、5 D．4、5、6 【答案】C 【解答】解：A、∵12+22≠32，∴不能组成直角三角形，故A选项错误； B、∵22+32≠42，∴不能组成直角三角形，故B选项错误； C、∵32+42＝52，∴组成直角三角形，故C选项正确； D、∵42+52≠62，∴不能组成直角三角形，故D选项错误． 故选：C． 24．在下列各组数中，是勾股数的一组是（　　） A．0.3，0.4，0.5 B．6，8，10 C．，，1 D．1，2，3 【答案】B 【解答】解：∵满足a2+b2＝c2 的三个正整数，称为勾股数， ∴A、0.3，0.4，0.5不是正整数，不是勾股数，不符合题意； B、62+82＝102，6，8，10是勾股数，符合题意； C、，，不是正整数，不是勾股数，不符合题意； D、12+22≠32，1，2，3不是勾股数，不符合题意， 故选：B． 25．清代扬州数学家罗士琳痴迷于勾股定理的研究，提出了推算勾股数的“罗士琳法则”．法则的提出，不仅简化了勾股数的生成过程，也体现了中国传统数学在数论领域的贡献．由此法则写出了下列几组勾股数： ①3，4，5； ②5，12，13； ③7，24，25； ④9，40，41； ⑤11，60，61 … 根据上述规律，写出第⑥组勾股数为　　 　　 ． 【答案】13，84，85． 【解答】解：设第二个数字为b，第⑥组勾股数的第一个数字为13， 则第三个数字为b+1， 由勾股定理，得132+b2＝（b+1）2， 即169+b2＝b2+2b+1， 整理得169＝2b+1， 解得b＝84， 故b+1＝85． 因此第⑥组勾股数为13，84，85． 故答案为：13，84，85． 26．观察下列几组勾股数：①3、4、5；②5、12、13；③7、24、25；④9、40、41；…根据上面的规律，写出第6组勾股数： 　 　 ． 【答案】13，84，85． 【解答】解：①、3＝2×1+1，4＝2×1×（1+1），5＝4+1； ②、5＝2×2+1，12＝2×2×（2+1），13＝12+1； ③、7＝2×3+1，24＝2×3×（3+1），25＝24+1． ∴第⑥组勾股数为：2×6+1＝13，2×6×（6+1）＝84，84+1＝85． 故答案为：13，84，85． 27．已知：满足a2+b2＝c2的三个正整数a，b，c称为一组勾股数，很多勾股数组具有规律： （1）设a＜b＜c，观察提供勾股数的规律，填空： 当a为奇数时，如①3，4，5；②5，12，13；③7，24，25；④9，　 　 ，　 　 ；⑤11，60，61； 当a为偶数时，如①6，8，10；②8，15，17；③10，24，26；④12，35，37；⑤14，　 　 ，　　 ； （2）若a＝2n，b＝n2﹣1，c＝n2+1，n为正整数，且n≥3，求证：a，b，c是勾股数组． 【答案】（1）40，41； （2）48，50； （3）a2+b2＝（2n）2+（n2﹣1）2＝4n2+n4﹣2n2+1＝n4+2n2+1，c2＝（n2+1）2＝n4+2n2+1， 则a2+b2＝c2， ∵n为正整数，且n≥3， ∴a、b、c都是正整数， ∴a，b，c是勾股数组． 【解答】（1）解：9，40，41是一组勾股数， 故答案为：40，41； （2）解：14，48，50是一组勾股数， 故答案为：48，50； （3）证明：a2+b2＝（2n）2+（n2﹣1）2＝4n2+n4﹣2n2+1＝n4+2n2+1，c2＝（n2+1）2＝n4+2n2+1， 则a2+b2＝c2， ∵n为正整数，且n≥3， ∴a、b、c都是正整数， ∴a，b，c是勾股数组． 28．课堂上学习了勾股定理后知道：直角三角形三边长是整数时我们称之为“勾股数”．写出三组勾股数，它们之间有一个相同的整数． 【答案】7，24，25；18，24，30；10，24，26． 【解答】解：勾股数：7，24，25；18，24，30；10，24，26． 学科网（北京）股份有限公司 $