专题 3.2 勾股定理的逆定理（知识梳理 + 题型精析 +同步检测）- 2026-2027学年苏科版八年级数学上册基础知识专项突破讲与练

本讲义聚焦勾股定理的逆定理核心知识点，系统梳理其定义、勾股数性质及与勾股定理的对比，前承勾股定理“由形推数”，后续通过基础到综合题型构建“由数推形”的应用学习支架。 资料特色在于分层设计与素养融合，知识梳理用对比表格培养推理意识，夯实基础题型（如勾股数判断）强化抽象能力，综合提升题型（如不规则图形面积）发展几何直观与创新意识，同步检测多样化题目助力学生用数学语言表达，课中辅助教学，课后帮助查漏补缺。

专题 3.2 勾股定理的逆定理（知识梳理 + 题型精析 +同步检测） 目录 一.学习目标与重难点 1 （一）学习目标 1 （二）重难点 2 二.知识梳理与解读 2 【知识点一】勾股定理的逆定理 2 【知识点二】勾股数 2 【知识点三】勾股定理与逆定理对比 2 三.题型精析（夯实基础） 3 【题型 1】判断勾股数 3 【题型 2】利用逆定理判定直角、求线段长度 5 四.题型精析（综合提升） 7 【题型 3】勾股数规律问题探究 7 【题型 4】利用逆定理求不规则图形面积 10 【题型 5】勾股定理逆定理拓展问题 13 五.同步检测 17 （一）选择题（本大题共10个小题,每小题3分,共30分） 17 （二）填空题（本大题共8小题，每小题4分，共32分） 24 （三）解答题（本大题共6小题，共58分） 28 一.学习目标与重难点 （一）学习目标 1. 知识目标：理解并掌握勾股定理的逆定理，明晰勾股定理与逆定理的区别与联系，熟记勾股数的定义及核心性质，能准确判别常见勾股数。 2. 能力目标：能运用勾股定理的逆定理判定直角三角形，熟练解决边长计算、图形面积求解、几何证明等基础题型，初步掌握不规则图形的拆分解题思路。 3. 素养目标：建立“数与形结合”的几何思维，掌握由边长数量关系判定图形形状的方法，提升几何推理与运算求解能力。 （二）重难点 1. 学习重点：勾股定理逆定理的理解与应用，利用逆定理判定直角三角形，常见勾股数的识别与运用。 2. 学习难点：勾股定理逆定理的证明思路，灵活运用逆定理解决不规则图形面积、综合几何推理问题，区分勾股定理与逆定理的适用场景。 二.知识梳理与解读 【知识点一】勾股定理的逆定理 1. 定理内容：如果三角形的三边长分别为，且满足 ，那么这个三角形是直角三角形，且边长为的边所对的角为直角。 2. 核心辨析 勾股定理：直角三角形 → 三边平方关系（由形推数）； 勾股定理逆定理：三边平方关系 → 直角三角形（由数推形），是判定直角三角形的重要方法。 【知识点二】勾股数 1. 定义：满足 的三个正整数，叫做一组勾股数。 必备条件：①三个数均为正整数；②较小两数的平方和等于最大数的平方。 2. 勾股数的性质：若 是一组勾股数， 为任意正整数，则 也为一组勾股数。 3. 常用经典勾股数 基础组：3、4、5；5、12、13；7、24、25；8、15、17 倍数组：6、8、10；9、12、15；10、24、26 等 【知识点三】勾股定理与逆定理对比 对比项目 勾股定理 勾股定理的逆定理 条件 三角形为直角三角形 三角形三边满足 结论 三角形为直角三角形 核心用途 已知直角，求边长、算线段 已知边长，判定直角三角形 推理方向 由形到数 由数到形 三.题型精析（夯实基础） 核心考点：勾股数判定、逆定理基础应用、简单边长计算，侧重基础知识巩固，适配基础题型得分。 【题型 1】判断勾股数 解题技巧：先找出三组数中的最大值，只需验证「两个较小数的平方和 = 最大数的平方」，同时必须是正整数。 【例题1】（25-26八年级上·江西南昌·期末）写出3组不同的，每组中都含60的勾股数． （1）60，_____，_____； （2）60，_____，_____； （3）60，_____，_____． 【答案】（1）80，100；（2）45，75；（3）36，48 【分析】本题考查勾股数的定义，掌握勾股数的定义是解题的关键． （1）将3，4，5这一组勾股数中的各个数都扩大20倍即可； （2）将3，4，5这一组勾股数中的各个数都扩大15倍即可； （3）将3，4，5这一组勾股数中的各个数都扩大12倍即可． （1）解：将3，4，5这一组勾股数中的各个数都扩大20倍即可得：60，80，100； 故答案为：80，100； （2）将3，4，5这一组勾股数中的各个数都扩大15倍即可得：45，60，75； 故答案为：45，75； （3）将3，4，5这一组勾股数中的各个数都扩大12倍即可得：36，48，60； 故答案为：36，48． 【变式1】（25-26八年级上·广东茂名·期中）在下列各组数中，不是勾股数的一组数是（     ） A．，， B．，， C．，， D．，， 【答案】A 【分析】验证每组数中较小两数的平方和与最大数的平方是否相等且是否为正整数，即可判断是否为勾股数． 解：A．，不是勾股数； B、C、D组分别满足，，，均为勾股数． 【变式2】（25-26七年级上·全国·期中）下面各组数中，是勾股数的是_____（填序号）． （1），，； （2），，； （3），，； （4），，． 【答案】（1）（2） 【分析】本题主要考查勾股数，判断各组数是否为正整数，并验证是否满足勾股定理即可． 解：（1）三个数均为正整数，且，该组数为勾股数； （2）三个数均为正整数，且，该组数为勾股数； （3）三个数均为正整数，但，该组数不是勾股数； （4）三个数不是正整数，该组数不是勾股数． 故答案为：（1）（2）． 【变式3】（24-25八年级下·全国·课后作业）我们知道3，4，5是一组勾股数，那么（k是正整数）也是一组勾股数吗？一般地，如果a，b，c是一组勾股数，那么（k是正整数）也是一组勾股数吗？ 【答案】（k是正整数）为勾股数，（k是正整数）也是勾股数 【分析】根据勾股数的定义：满足的三个正整数a、b、c称为勾股数，即可判断（k是正整数）与是不是一组勾股数． 解：因为， 所以（k是正整数）为勾股数． 如果a，b，c为勾股数，即，那么 ． 因此，（k是正整数）也是勾股数． 【点拨】本题考查勾股数判断，解题的关键是熟练掌握勾股数的定义：满足的三个正整数a、b、c称为勾股数． 【题型 2】利用逆定理判定直角、求线段长度 解题思路：通过边长平方关系判定直角 → 确定垂直关系 → 结合直角三角形性质求边长。 【例题2】（2025·广东广州·模拟预测）如图，已知，M为中点，于D，求和的长度． 【答案】， 【分析】本题考查了勾股定理逆定理，直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，与三角形高有关的计算． 根据勾股定理逆定理判定出为直角三角形，利用直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半求出的长，再利用三角形面积求出的长即可． 解：， ， ， 为直角三角形， 为的中点， ， ， ， ，． 【变式1】（25-26八年级下·贵州安顺·期末）在几何图形学习中，直角三角形是应用广泛的基础图形．下列长度（单位：cm）的各组线段中，能构成直角三角形的是（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】用勾股定理的逆定理，验证每组中两短边的平方和与最长边平方是否相等． 解： A、，不满足三边关系，不能构成三角形，不符合题意； B、，，，不能构成直角三角形，不符合题意； C、，，，不能构成直角三角形，不符合题意； D、，，，能构成直角三角形，符合题意． 【变式2】（23-24八年级下·河南信阳·阶段检测）如图，在正方形网格中有两条直线与，则的度数为__________． 【答案】/45度 【分析】本题考查了在网格中判断直角三角形，利用勾股定理及其逆定理得是直角三角形，，进而可求解，熟练掌握基础知识是解题的关键． 解：由勾股定理得： ，，， ，， 是直角三角形，， ， 故答案为：． 【变式3】（24-25八年级下·江西赣州·期末）如图所示，在中，，且周长为，点从点开始沿边向点以每秒的速度运动；点从点沿边向点以每秒的速度运动，两点同时出发， （1）求证：是直角三角形； （2）当运动了3秒时，求的面积． 【答案】（1）证明：， 设． ． ． 是直角三角形； （2） 【分析】本题考查了勾股定理逆定理，判定是直角三角形是关键； （1）由，设，由勾股定理的逆定理即可证明． （2）由（1）的结论及周长条件可求得x的值，从而求得的长；由条件求得，利用三角形面积求解即可． 解：（1）略 （2）解：由（1）可知． 根据题意得， 解得． ． 当运动了3秒时，． 的面积． 四.题型精析（综合提升） 核心考点：不规则图形面积求解、逆定理综合推理、数形结合综合应用，侧重难点突破与培优提升，适配中档及压轴题型。 【题型 3】勾股数规律问题探究 【例题3】（25-26八年级下·山西朔州·期末）学习了勾股数后，我们知道，，，…都是勾股数组．某学习小组分析这些勾股数组发现：，；，；，；…分析其中的规律，解答下列问题． （1）请你根据发现的规律写出下一组勾股数：__________． （2）根据以上规律猜想：三个正整数中，若一个数为（，且n为整数），另外两个数分别为__________，__________时，则这三个数为勾股数． 请你补充完整猜想并验证猜想． 【答案】（1）（10，24，26）；（2），， 证明：∵，， ∴， ∴是勾股数． 【分析】（1）通过观察得到下一组勾股数组的前两个数为，，利用勾股定理计算或者通过规律得到第三个数是26； （2）由观察归纳得到两个数与n之间的关系，结合代数运算验证猜想的正确性． 解：（1）略 （2）略 【变式1】（25-26八年级下·安徽合肥·期末）我国是最早了解勾股定理的国家之一，它被记载于我国古代著名的数学著作《周髀算经》中．下列各组数中，是“勾股数”的是（     ） A．12，13，14 B．24，25，26 C．9，30，31 D．9，40，41 【答案】D 【分析】勾股数的定义为：三个正整数中，若两个较小数的平方和等于最大数的平方，则这组数是勾股数. 本题只需依次验证各选项是否满足该条件即可． 解：A：∵ ，，， ∴ 12，13，14不是勾股数； B：∵ ，， ， ∴ 24，25，26不是勾股数； C：∵ ，， ， ∴ 9，30，31不是勾股数； D：∵ ， ∴ 9，40，41是勾股数． 【变式2】（25-26八年级下·江西上饶·期中）如果正整数、、满足等式，那么正整数、、叫作勾股数，某同学用下表呈现了一系列的勾股数，依据表中的规律，可知的值为___________． 3 5 7 9 11 … 4 12 24 40 … 5 13 25 41 … 【答案】60 【分析】先理解题意，再依据表中的规律，得出，，再把代入计算，即可作答． 解：依据表中的规律，得出，， 即 ∴ 解得． 【变式3】（25-26八年级上·广东佛山·阶段检测）已知：满足的三个正整数a，b，c称为一组勾股数，很多勾股数组具有规律： （1）设，观察提供的4组勾股数的规律，完成第⑤组勾股数； 当a为奇数时，如①3，4，5；②5，，；③7，，；④9，______，______；⑤11，60，61； 当a为偶数时，如①6，8，；②8，，；③，，；④，，，；⑤，______，______； （2）若，，，n为正整数，且，求证：不论n为何值，a，b，c都是勾股数组． 【答案】（1），，，；（2）证明：， ， ， ， ， ∴不论n为何值，a，b，c都是勾股数组． 【分析】本题考查勾股数，完全平方公式，数字的规律探索，掌握相关知识是解决问题的关键． （1）根据所提供的几组勾股数的规律发现，当a为奇数时，勾股数组中较大两数是相邻的两个连续整数；当a为偶数时，勾股数组中较大两数是相邻的两个连续偶数或奇数，据此列方程求解即可； （2）根据勾股数的定义，证明即可． （1）解：根据所提供的几组勾股数的规律发现， 当a为奇数时，勾股数组中较大两数是相邻的两个连续整数， 设两个连续整数中较小数为x， 则， ， ， ∴两数为； 当a为偶数时，勾股数组中较大两数是相邻的两个连续偶数或奇数， 设两个连续偶数或奇数中较小数为x， 则， ， ， ∴两数为； 故答案为：和； （2）略 【题型 4】利用逆定理求不规则图形面积 解题思路：将四边形、多边形等不规则图形，分割为两个三角形，用逆定理判定直角三角形，分别计算面积后求和，核心是“化不规则为规则”。 【例题4】（24-25八年级下·天津西青·期末）如图，有一块四边形绿地，已知，，，，的面积是． （1）判断的形状，并说明理由； （2）求这块四边形绿地的面积． 【答案】（1）解：是直角三角形． 理由：的面积是，，， ， ， ，， ， 是直角三角形； （2） 【分析】（1）利用的面积求出的长，分别求出，，利用勾股定理逆定理判断出三角形为直角三角形； （2）分别求出和的面积，两个三角形的面积的和即为四边形绿地的面积． 解：（1）略 （2）， 四边形的面积是． 【点拨】本题考查了勾股定理逆定理，三角形面积的求解，熟练掌握勾股定理逆定理是解答本题的关键． 【变式1】（25-26八年级下·安徽芜湖·期中）如图，在四边形中，，，，，，则四边形的面积是（   ） A．24 B．32 C．36 D．40 【答案】C 解：如图，连接， ，， ， ， ， ， 是直角三角形，，． 【变式2】（25-26八年级上·河北邯郸·期末）如图，在四边形中，，，，，则四边形的面积是______．. 【答案】4 【分析】本题考查了勾股定理的逆定理，勾股定理，连接，先在中，利用勾股定理求出的长，然后利用勾股定理的逆定理证明是直角三角形，从而可得，最后根据四边形的面积的面积的面积，进行计算即可解答． 解：连接， 在中，， 由勾股定理可得： 在中， 是直角三角形， 故答案为：． 【变式3】（25-26八年级上·上海黄浦·期末）如图，已知在中，为边的中线，，，．求的面积． 【答案】的面积为6 【分析】本题主要考查了勾股定理的逆定理，全等三角形的判定与性质，三角形的面积，掌握相应知识的运用是解题的关键． 延长至点，使，连接，可证，则，，则，根据勾股定理逆定理可得，计算出的面积即可求解． 解：如图，延长至点，使，连接， ∵为边的中线， ∴， 在和中 ， ∴， ∴，， ∴， ∵， ∴， 在中，，，， ∴， ∴， ∴． 【题型 5】勾股定理逆定理拓展问题 【例题5】（25-26八年级上·江苏泰州·期中）已知：，，． （1）当时，的值等于______．（结果用科学记数法表示） （2）当时，以a，b，c的值为三边长的三角形面积是______．（直接写出答案） （3）若两个正整数的平方和等于另一个正整数的平方，则称这三个数为勾股数．小明发现：当n取大于1的整数时，a，b，c为勾股数．你认为小明的发现正确吗？请通过计算说明理由． 【答案】（1）；（2）60；（3） 解：小明的发现正确，理由如下： ， ， 当取大于1的整数时，、、为一组勾股数． 【分析】本题主要考查了勾股定理的逆定理，科学记数法，整式的混合运算，熟练掌握勾股定理的逆定理是解题的关键． （1）根据题意可得，把代入计算，并应用科学记数法表示方法表示即可； （2）先由勾股定理的逆定理证明这个三角形是直角三角形，且是斜边，再利用三角形的面积公式计算即可； （3）先计算，再由勾股定理的逆定理即可得出结论． （1）解：， 当时， ； 故答案为：； （2）解：，，， 当时，，，， ， 这个三角形是直角三角形，且是斜边， 这个三角形的面积是， 故答案为：； （3）略 【变式1】（23-24八年级上·江苏宿迁·期中）若一个三角形的三条边的长度分别为，则这个三角形是（   ） A．锐角三角形 B．直角三角形 C．钝角三角形 D．等边三角形 【答案】A 【分析】本题考查勾股定理的逆定理的拓展知识，只需比较较小的两边的平方和与最长边的平方的大小关系即可得解．若三角形的三边分别是、、，是三角形的最长边，则有：（1）这个三角形是锐角三角形；（2）这个三角形是直角三角形；（3）这个三角形是钝角三角形．掌握利用比较较小的两边的平方和与最长边的平方的大小关系来推导三角形的形状是解题的关键． 解：∵， ∴这个三角形是锐角三角形． 故选：A． 【变式2】（24-25八年级上·河北承德·期末）阅读下列内容：设，，是一个三角形的三条边的长，且最大，我们可以利用，，之间的关系来判断这个三角形的形状：①若，则该三角形是直角三角形；②若，则该三角形是钝角三角形；③若，则该三角形是锐角三角形．例如：若一个三角形的三边长分别是，，，则最长边是，，故由③可知该三角形是锐角三角形． （1）若一个三角形的三边长分别是，，，则该三角形是__________； （2）若一个三角形的三边长分别是，，，且这个三角形是直角三角形，则的值为__________； （3）带一个三角形的三边长，，，其中是最长边长，则该三角形是__________三角形． 【答案】 锐角三角形 或 钝角 【分析】（1）直接利用定义结合三角形三边得出答案； （2）直接利用勾股定理得出x的值； （3）直接利用已知结合三边关系得出答案． 解：（1）∵72+82=49+64=113＞92， ∴三角形是锐角三角形， 故答案为：锐角三角形； （2）∵这个三角形是直角三角形，当x为斜边， ∴52+122=x2， ∴x=13， 当12是斜边， 则52+x2=122， 解得：x=， 综上所述：x=13或． 故答案为：13或； （3）∵a2-b2-c2=x2+3z2-x+y2-2y+=（x-）2+（y-1）2+3z2+＞0， ∴a2＞b2+c2， ∴该三角形是钝角三角形． 【点拨】此题主要考查了勾股定理以及勾股定理的逆定理，正确进行相关计算是解题关键． 【变式3】（24-25八年级上·江西吉安·期末）先观察下列各组数，然后回答问题： 第一组：，，； 第二组：，，； 第三组：，，； 第四组：，，； （1）根据各组数反映的规律，用含的代数式表示第组的三个数； （2）如果各组数的三个数分别是三角形的三边长，那么这个三角形是什么三角形？请说明理由； （3）如图，，，，若，，为上列按已知方式排列顺序的某一组数，且，，求的长． 【答案】（1），，；（2）直角三角形，证明：为正整数， ． 以，，为三边的三角形是直角三角形． （3） 【分析】（1）根据已知数据即可得到结果； （2）根据勾股定理判断即可； （3）根据题意可得出，，，在根据勾股定理计算即可； 解：（1）∵第一组：，，； 第二组：，，； 第三组：，，； 第四组：，，； ， ∴第组：，，． （2）略 （3），，为上列按已知方式排列顺序的某一组数， 这组数为第九列：，，， 即，，． ， ． ，， ． 【点拨】本题主要考查了勾股定理的应用和找规律，准确分析计算是解题的关键． 五.同步检测 （一）选择题（本大题共10个小题,每小题3分,共30分） 1．（25-26八年级下·陕西榆林·期末）下列各组数为勾股数的是（     ） A．，， B．，， C．，， D．，， 【答案】C 解：A、，，不是正整数，故不是勾股数； B、，，，故不是勾股数； C、，且，，均为正整数，故是勾股数； D、，，不是正整数，故不是勾股数． 2．（25-26八年级下·辽宁大连·期末）将下列长度的三条线段首尾顺次连接，能组成直角三角形的是（     ） A．，， B．，， C．，， D．，， 【答案】D 【分析】利用勾股定理逆定理逐一判断即可解答． 解：A选项：，不能组成三角形； B选项：，不能组成直角三角形； C选项：，不能组成直角三角形； D选项：，能组成直角三角形． 3．（24-25八年级下·天津·期末）在如图所示的正方形网格中，每个小正方形的边长均为，，，三点均在格点上，则的大小是（    ）    A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据勾股定理以及其逆定理即可得到问题答案． 解：， ， ∴， ∴是直角三角形， ∴． 故选：D． 【点拨】本题考查了勾股定理以及逆定理的运用，在任何一个直角三角形中，两条直角边长的平方之和一定等于斜边长的平方．如果直角三角形的两条直角边长分别是，，斜边长为，那么．熟记勾股定理的内容是解题得关键． 4．（2026·广东广州·一模）如图，在中，，，，点是的中点，则长为（    ） A． B．2 C． D． 【答案】C 【分析】首先根据勾股定理逆定理判断为直角三角形，然后利用直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半这一性质即可求解． 解：， ， ， ， 是直角三角形，且， 点是的中点， 是斜边上的中线， ． 5．（24-25八年级上·湖北襄阳·期末）已知一个三角形三边长分别是4，9，12，要作最长边上的高正确的图形做法是（　　　） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】由三角形的三边为4，9，12，可知该三角形为钝角三角形，其最长边上的高在三角形内部，即过最长边所对的角的顶点，作对边的垂线，垂足在最长边上． 解：∵42+92=97＜122， ∴三角形为钝角三角形， ∴最长边上的高是过最长边所对的角的顶点，作对边的垂线，垂足在最长边上． 故选：C． 【点拨】本题考查了三角形高的画法．当三角形为锐角三角形时，三条高在三角形内部；当三角形是直角三角形时，两条高是三角形的直角边，一条高在三角形内部；当三角形为钝角三角形时，两条高在三角形外部，一条高在内部． 6．（25-26八年级上·江苏南京·期末）如图，在正方形网格上，四边形的四个顶点都在格点上，则（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】取格点E，连接，，，由勾股定理结合可判定，由全等三角形的性质得，由勾股定理逆定理得为等腰直角三角形，即可求解. 解：如图，四边形的四个顶点都在格点上，取格点E，连接，，， 由格点三角形得， ， ， ， ， ， ， ，， 为等腰直角三角形， ， . 7．（25-26八年级下·黑龙江哈尔滨·期中）如图，公园里有一块草坪，已知米，米，米，米，且，这块草坪的面积是（     ） A．平方米 B．平方米 C．平方米 D．平方米 【答案】B 【分析】根据勾股定理求出，再根据勾股定理的逆定理得到，最后根据草坪的面积，即可求解． 解：，米，米， 米， 米，米， ， ， 这块草坪的面积为平方米， 故选：B． 8．（25-26八年级下·黑龙江哈尔滨·期中）如图，有一个面积为1的正方形，经过一次“生长”后，在它的左右肩上“生长”出两个小正方形，其中，三个正方形围成的三角形是直角三角形，再经过一次“生长”后，变成了如图所示的形状图，如果继续“生长”下去，它将变得“枝繁叶茂”，“生长”了2025次后形成的图形中所有的正方形的面积和是（   ） A．1012 B．2024 C．2025 D．2026 【答案】D 【分析】根据勾股定理和正方形的面积公式，知“生长”1次后，以直角三角形两条直角边为边长的正方形的面积和等于以斜边为边长的正方形的面积，即所有正方形的面积和是；“生长”2次后，所有的正方形的面积和是，推而广之即可求出“生长”2025次后形成图形中所有正方形的面积之和． 解：设直角三角形的三条边分别是a，b，c．根据勾股定理，得，即． “生长”1次后，以直角三角形两条直角边为边长的正方形的面积和等于以斜边为边长的正方形的面积，即所有正方形的面积和是； “生长”2次后，所有的正方形的面积和是， “生长”3次后，所有的正方形的面积和是， … “生长”了2025次后形成的图形中所有的正方形的面积和是． 9．（25-26九年级下·湖南株洲·开学考试）如图，点D是正内的一点，，，，则的度数是（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】把绕点B顺时针旋转得到，如图，连接，根据旋转的性质得，，，则可判断为等边三角形，所以，，再利用勾股定理的逆定理证明为直角三角形，，从而得到． 解：∵为等边三角形， ∴，， 把绕点B顺时针旋转得到，如图，连接， ∴，，， ∴为等边三角形， ∴，， 在中，∵，，， ∴， ∴为直角三角形，， ∴． 10．（25-26八年级下·北京·期中）如图，在中，的平分线交于点D，E为线段上一动点，F为边上一动点，若，，，则的最小值为（     ） A．4 B． C．10 D． 【答案】D 【分析】在边上取点G使，连接，过点A作于点H，证明，可得，从而得到，当点A，E，G三点共线时，取得最小值，最小值为的长，再根据勾股定理的逆定理可得为直角三角形，且，然后证明，，再根据，即可求解． 解：如图，在边上取点G使，连接，过点A作于点H， ∵的平分线交于点D， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， 当点A，E，G三点共线时，取得最小值，最小值为的长， 在中，，，， ∴， ∴为直角三角形，且， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴． 则的最小值为 （2） 填空题（本大题共8小题，每小题4分，共32分） 11．（25-26八年级下·甘肃临夏·期中）若7，24，x是一组勾股数，则x的值为________． 【答案】25 【分析】分两种情况讨论，为最长边和为最长边，结合勾股定理计算后筛选符合条件的的值． 解：勾股数是满足勾股定理的三个正整数，分两种情况讨论： 当为最长边时，根据勾股定理得： 由，得 ，是正整数，符合要求； 当为最长边时，根据勾股定理得： 因为不是完全平方数，不是正整数，不符合勾股数定义，舍去． 12．（25-26八年级下·陕西汉中·期中）木工用三根木条围框架，长度分别为、、2，这个框架是_____三角形． 【答案】等腰直角 【分析】根据已知三边长，先判断边的相等关系，再利用勾股定理的逆定理判断三角形的形状，即可得到结论． 解：由题意可知，三角形三边长分别为，，． 该三角形是等腰三角形． 又，， ． 根据勾股定理的逆定理可知，该三角形是直角三角形． 13．（23-24八年级下·河南周口·阶段检测）如图，网格中每个小正方形的边长都是1，点A，B，C，D都在小正方形的顶点上，则以，为边的三角形的形状为____． 【答案】直角三角形 【分析】本题考查了在网格中判断三角形形状，根据勾股定理算出各边长，可得出，即可判断出三角形为直角三角形． 解：由网格可得：，， ， ， 以为边的三角形的形状为直角三角形， 故答案为：直角三角形． 14．（25-26八年级下·广东梅州·期中）如图，在中，，，，根据尺规作图痕迹，线段的长为______． 【答案】 【分析】由勾股定理的逆定理可得是直角三角形，，由作图可知，，再结合等面积法求解即可． 解：在中，，，， ， 是直角三角形，， 由作图可知，， ， ． 15．（25-26七年级下·山东烟台·期中）如图，已知中，，，，的垂直平分线交于点，交于点，连接，则的长为__________． 【答案】 解：， ， 由勾股定理逆定理得是直角三角形，， 设，由垂直平分线的性质知， ， 在直角三角形中， 由勾股定理得，即， 解得，即． 16．（25-26八年级下·天津·期中）已知，，，，，连接，则的度数为______． 【答案】 【分析】先使用勾股定理计算出，再根据勾股定理的逆定理判断出． 解：在中，， ∵， ∴． 17．（25-26八年级下·四川南充·期末）一艘轮船和一艘渔船同时沿各自的航向从港口出发，如图所示，轮船从港口沿北偏东的方向行30海里到达点处，同一时刻渔船已航行到与港口相距40海里的点处，若、两地相距50海里，则渔船从港口出发的方向为______． 【答案】南偏东 【分析】先根据的长度，利用勾股定理的逆定理判断的形状，确定的度数．结合轮船航行方向是北偏东，确定正北方向与的夹角，再根据的度数计算与正南、正东或正北方向的夹角．根据方向角的定义，确定渔船的航行方向． 解： ∵海里，海里，海里， ∴， ∴是直角三角形，． ∵ 轮船方向为北偏东，， ∴与正南方向的夹角为， 因此渔船从港口出发的方向为南偏东． 18．（25-26八年级下·安徽六安·期中）（1）我们把能够成为直角三角形三条边的三个正整数，，称为勾股数．若5，13，是一组勾股数，则_____； （2）在学习“勾股数”的知识时，小明发现了一组有规律的勾股数，并将它们记录在如下的表格中． 6 8 10 12 14 … 8 15 24 35 48 … 10 17 26 37 50 … 则当时，的值为_____． 【答案】 12 200 【分析】（1）根据勾股数的概念，分两种情况，列出方程，求解即可； （2）根据表中的数据可得，再根据勾股数的概念可得，，求得，即可． 解：（1）当最大时，由勾股数的概念可得，， 解得（负值舍去），不是正整数，舍去； 当13为最大边时，由勾股数的概念可得， 解得或（舍去），符合题意； （2）由表格得规律：， 根据勾股数的概念可得：，即， 将代入得， 解得， ∴， ∴． （三）解答题（本大题共6小题，共58分） 19．（本小题满分8分）（25-26八年级下·河北雄安·期中）如图，在三角形支架中， （1）求的长； （2）判断支架外框的形状，并说明理由． 【答案】（1）；（2）为直角三角形，理由如下： 由（1）知，， ∴， ∵，， ∴，， ∴， ∴ ∴是直角三角形． 【分析】（1）对和运用勾股定理求解即可； （2）证明三边长满足，由勾股定理的逆定理可知，为直角三角形． （1）解：∵， ∴， 在中，，， ∴ 在中，， ∴ ∴的长为； （2）略 20．（本小题满分8分）（25-26八年级上·湖南怀化·期末）如图，在中，，，，点是外一点，连接，，且，． （1）求的长； （2）求四边形的面积． 【答案】（1）；（2） 【分析】本题考查了勾股定理及其逆定理的应用，以及直角三角形面积的计算，熟练运用勾股定理和逆定理判定直角三角形是解题的关键． （1）利用勾股定理，在直角三角形中，结合已知的斜边和直角边长度，直接计算出的长； （2）先通过勾股定理的逆定理判定为直角三角形，再将四边形的面积拆分为两个直角三角形面积之和，代入数据计算即可． （1）解：在中，，，，由勾股定理 的长为； （2）解：在中， ，， ， 又， ， 是直角三角形． ． 21．（本小题满分10分）（25-26八年级下·云南玉溪·期中）如图，在中，．延长到点D，连接． （1）求证：； （2）若命题“线段比线段长8”是真命题，求线段的长． 【答案】（1）证明：∵，，， ， 即， ∴是直角三角形，， ∴． （2）14 【分析】（1）利用勾股定理的逆定理判定是直角三角形从而证明结果； （2）设为x，再表示的长，利用勾股定理构造方程求出的长度，进一步解出线段的长． 解：（1）略 （2）解：设，则， ∵在中，， ∴， 解得， ∴, ∴． 22．（本小题满分10分）（2025·河北石家庄·模拟预测）满足勾股定理的正整数称为勾股数，观察以下两组勾股数的规律： （1）按此规律，填空：， 上面一组勾股数中，▲表示 ，〇表示 ； （2）猜想： ①当n是大于1的奇数时，勾股数为：（n，，），请你给出证明； ②当2n是大于2的偶数时，直接用n表示勾股数：（，， ）． 【答案】（1）8，10；（2）①证明：∵，， ， ∴当n是大于1的奇数时，勾股数为：（n，，）； ② 【分析】（1）找到两个正整数的和与它们的差为36即可； （2）①根据整式的加减即可证明； ②根据完全平方公式和整式的加减即可求解. （1）解：按此规律，填空： 上面一组勾股数中，▲表示8，〇表示10； （2）解：①略 ②∵， ∴当是大于2的偶数时，用n表示勾股数：． 23．（本小题满分10分）（25-26八年级下·辽宁大连·期末）如果把看作关于，，的方程，那么满足这个方程的正整数解，，通常叫作勾股数组，可以记作．毕达哥拉斯学派提出了一个构造勾股数组的公式，根据该公式可以构造出如下勾股数组：；；；… 分析这些勾股数组可以发现，，，，… （1）分析其中的规律，请写出一组满足上述规律的勾股数组； （2）小红将移项并因式分解得，请写出满足上述规律的第个勾股数组（用含的式子表示），并尝试用小红的方法证明； （3）若是满足上述规律的一组勾股数组，求的值． 【答案】（1）；（2）第个勾股数组为 ． 证明：由题意可知：第个勾股数组的最小数字（第一个数字）是， 令， ， ， 则 ， 即， 所以 是满足上述规律的第个勾股数组． （3）的值为 【分析】（1）根据算式规律写出下一个等式，从而得出对应的勾股数组； （2）先根据最小数字（勾股数组第一个数字）总结规律可知第个勾股数组的最小数字（第一个数字）是，再利用题干中等式规律可知第个勾股数组的第二个数字是即，则第个勾股数组的第三个数字，从而总结出第个勾股数组为．验证是否成立即可证明． （3）因为 是满足上述规律的一组勾股数组，故令，则，利用作差法消元求出n和m，继而求出x． 解：（1）由，，的规律可知：下一个等式是， 则对应的勾股数组是； （2）略 （3）因为 是满足上述规律的一组勾股数组， 故令，则， ∴，， ∴，， 解得：（负值舍去），， ∴，， 此时，符合题意， 所以，的值为 24．（本小题满分12分）（25-26八年级上·陕西咸阳·阶段检测）在《勾股定理》一章学习中，我们体验了“以形助数，以数解形”的研究策略．这充分体现了数学中“数形结合”这一数学思想方法的重要性．某校八年级数学兴趣小组通过面积恒等的方法对直角三角形三边关系进行了探究． 【初步探究】 （1）如图1，四个全等的直角三角形拼成一个大正方形，中间空白部分也是正方形．已知直角三角形的两直角边长分别为a，b，斜边长为c．课堂上，老师结合图形，用不同的方式表示大正方形的面积，证明了勾股定理．请利用图1推导：． 【结论运用】 （2）如图2，已知，是直角三角形，．若，的长比的长大2，求 的长． 【应用拓展】 （3）学校校内有一块如图3所示的三角形空地，其中米，米，米．计划将这块空地建成一个花园，以美化校园环境，预计花园每平方米的造价为60元，学校修建这个花园需要投资多少元？ 【答案】（1）证明：如图1，∵大的正方形的面积可以表示为，大的正方形的面积又可以表示为． ∴， ∴． （2）； （3）学校修建这个花园需要投资5040元. 【分析】本题考查了勾股定理，勾股定理的逆运算，解题关键在于熟练掌握其相关的知识点. （1）根据因为大的正方形的面积可以表示为，大的正方形的面积又可以表示为，联立等式即可求解； （2）由，根据勾股定理得，求解即可； （3）过点作于，设，则，可得，然后，最后根据勾股定理即可求解. 解：（1）略 （2）∵的长比的长大2， ∴， ∴， 解得：． （3）如图所示，过点作于， 设，则， 在中，， 在中，， ∴，则， 解得， ∴， 解得， ∴． ∴学校修建这个花园需要投资：（元）， 答：学校修建这个花园需要投资5040元． 2 / 30 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题 3.2 勾股定理的逆定理（知识梳理 + 题型精析 +同步检测） 目录 一.学习目标与重难点 1 （一）学习目标 1 （二）重难点 2 二.知识梳理与解读 2 【知识点一】勾股定理的逆定理 2 【知识点二】勾股数 2 【知识点三】勾股定理与逆定理对比 2 三.题型精析（夯实基础） 3 【题型 1】判断勾股数 3 【题型 2】利用逆定理判定直角、求线段长度 3 四.题型精析（综合提升） 4 【题型 3】勾股数规律问题探究 4 【题型 4】利用逆定理求不规则图形面积 5 【题型 5】勾股定理逆定理拓展问题 6 五.同步检测 7 （一）选择题（本大题共10个小题,每小题3分,共30分） 7 （二）填空题（本大题共8小题，每小题4分，共32分） 10 （三）解答题（本大题共6小题，共58分） 11 一.学习目标与重难点 （一）学习目标 1. 知识目标：理解并掌握勾股定理的逆定理，明晰勾股定理与逆定理的区别与联系，熟记勾股数的定义及核心性质，能准确判别常见勾股数。 2. 能力目标：能运用勾股定理的逆定理判定直角三角形，熟练解决边长计算、图形面积求解、几何证明等基础题型，初步掌握不规则图形的拆分解题思路。 3. 素养目标：建立“数与形结合”的几何思维，掌握由边长数量关系判定图形形状的方法，提升几何推理与运算求解能力。 （二）重难点 1. 学习重点：勾股定理逆定理的理解与应用，利用逆定理判定直角三角形，常见勾股数的识别与运用。 2. 学习难点：勾股定理逆定理的证明思路，灵活运用逆定理解决不规则图形面积、综合几何推理问题，区分勾股定理与逆定理的适用场景。 二.知识梳理与解读 【知识点一】勾股定理的逆定理 1. 定理内容：如果三角形的三边长分别为，且满足 ，那么这个三角形是直角三角形，且边长为的边所对的角为直角。 2. 核心辨析 勾股定理：直角三角形 → 三边平方关系（由形推数）； 勾股定理逆定理：三边平方关系 → 直角三角形（由数推形），是判定直角三角形的重要方法。 【知识点二】勾股数 1. 定义：满足 的三个正整数，叫做一组勾股数。 必备条件：①三个数均为正整数；②较小两数的平方和等于最大数的平方。 2. 勾股数的性质：若 是一组勾股数， 为任意正整数，则 也为一组勾股数。 3. 常用经典勾股数 基础组：3、4、5；5、12、13；7、24、25；8、15、17 倍数组：6、8、10；9、12、15；10、24、26 等 【知识点三】勾股定理与逆定理对比 对比项目 勾股定理 勾股定理的逆定理 条件 三角形为直角三角形 三角形三边满足 结论 三角形为直角三角形 核心用途 已知直角，求边长、算线段 已知边长，判定直角三角形 推理方向 由形到数 由数到形 三.题型精析（夯实基础） 核心考点：勾股数判定、逆定理基础应用、简单边长计算，侧重基础知识巩固，适配基础题型得分。 【题型 1】判断勾股数 解题技巧：先找出三组数中的最大值，只需验证「两个较小数的平方和 = 最大数的平方」，同时必须是正整数。 【例题1】（25-26八年级上·江西南昌·期末）写出3组不同的，每组中都含60的勾股数． （1）60，_____，_____； （2）60，_____，_____； （3）60，_____，_____． 【变式1】（25-26八年级上·广东茂名·期中）在下列各组数中，不是勾股数的一组数是（     ） A．，， B．，， C．，， D．，， 【变式2】（25-26七年级上·全国·期中）下面各组数中，是勾股数的是_____（填序号）． （1），，； （2），，； （3），，； （4），，． 【变式3】（24-25八年级下·全国·课后作业）我们知道3，4，5是一组勾股数，那么（k是正整数）也是一组勾股数吗？一般地，如果a，b，c是一组勾股数，那么（k是正整数）也是一组勾股数吗？ 【题型 2】利用逆定理判定直角、求线段长度 解题思路：通过边长平方关系判定直角 → 确定垂直关系 → 结合直角三角形性质求边长。 【例题2】（2025·广东广州·模拟预测）如图，已知，M为中点，于D，求和的长度． 【变式1】（25-26八年级下·贵州安顺·期末）在几何图形学习中，直角三角形是应用广泛的基础图形．下列长度（单位：cm）的各组线段中，能构成直角三角形的是（     ） A． B． C． D． 【变式2】（23-24八年级下·河南信阳·阶段检测）如图，在正方形网格中有两条直线与，则的度数为__________． 【变式3】（24-25八年级下·江西赣州·期末）如图所示，在中，，且周长为，点从点开始沿边向点以每秒的速度运动；点从点沿边向点以每秒的速度运动，两点同时出发， （1）求证：是直角三角形； （2）当运动了3秒时，求的面积． 四.题型精析（综合提升） 核心考点：不规则图形面积求解、逆定理综合推理、数形结合综合应用，侧重难点突破与培优提升，适配中档及压轴题型。 【题型 3】勾股数规律问题探究 【例题3】（25-26八年级下·山西朔州·期末）学习了勾股数后，我们知道，，，…都是勾股数组．某学习小组分析这些勾股数组发现：，；，；，；…分析其中的规律，解答下列问题． （1）请你根据发现的规律写出下一组勾股数：__________． （2）根据以上规律猜想：三个正整数中，若一个数为（，且n为整数），另外两个数分别为__________，__________时，则这三个数为勾股数． 请你补充完整猜想并验证猜想． 【变式1】（25-26八年级下·安徽合肥·期末）我国是最早了解勾股定理的国家之一，它被记载于我国古代著名的数学著作《周髀算经》中．下列各组数中，是“勾股数”的是（     ） A．12，13，14 B．24，25，26 C．9，30，31 D．9，40，41 【变式2】（25-26八年级下·江西上饶·期中）如果正整数、、满足等式，那么正整数、、叫作勾股数，某同学用下表呈现了一系列的勾股数，依据表中的规律，可知的值为___________． 3 5 7 9 11 … 4 12 24 40 … 5 13 25 41 … 【变式3】（25-26八年级上·广东佛山·阶段检测）已知：满足的三个正整数a，b，c称为一组勾股数，很多勾股数组具有规律： （1）设，观察提供的4组勾股数的规律，完成第⑤组勾股数； 当a为奇数时，如①3，4，5；②5，，；③7，，；④9，______，______；⑤11，60，61； 当a为偶数时，如①6，8，；②8，，；③，，；④，，，；⑤，______，______； （2）若，，，n为正整数，且，求证：不论n为何值，a，b，c都是勾股数组． 【题型 4】利用逆定理求不规则图形面积 解题思路：将四边形、多边形等不规则图形，分割为两个三角形，用逆定理判定直角三角形，分别计算面积后求和，核心是“化不规则为规则”。 【例题4】（24-25八年级下·天津西青·期末）如图，有一块四边形绿地，已知，，，，的面积是． （1）判断的形状，并说明理由； （2）求这块四边形绿地的面积． 【变式1】（25-26八年级下·安徽芜湖·期中）如图，在四边形中，，，，，，则四边形的面积是（   ） A．24 B．32 C．36 D．40 【变式2】（25-26八年级上·河北邯郸·期末）如图，在四边形中，，，，，则四边形的面积是______．. 【变式3】（25-26八年级上·上海黄浦·期末）如图，已知在中，为边的中线，，，．求的面积． 【题型 5】勾股定理逆定理拓展问题 【例题5】（25-26八年级上·江苏泰州·期中）已知：，，． （1）当时，的值等于______．（结果用科学记数法表示） （2）当时，以a，b，c的值为三边长的三角形面积是______．（直接写出答案） （3）若两个正整数的平方和等于另一个正整数的平方，则称这三个数为勾股数．小明发现：当n取大于1的整数时，a，b，c为勾股数．你认为小明的发现正确吗？请通过计算说明理由． 【变式1】（23-24八年级上·江苏宿迁·期中）若一个三角形的三条边的长度分别为，则这个三角形是（   ） A．锐角三角形 B．直角三角形 C．钝角三角形 D．等边三角形 【变式2】（24-25八年级上·河北承德·期末）阅读下列内容：设，，是一个三角形的三条边的长，且最大，我们可以利用，，之间的关系来判断这个三角形的形状：①若，则该三角形是直角三角形；②若，则该三角形是钝角三角形；③若，则该三角形是锐角三角形．例如：若一个三角形的三边长分别是，，，则最长边是，，故由③可知该三角形是锐角三角形． （1）若一个三角形的三边长分别是，，，则该三角形是__________； （2）若一个三角形的三边长分别是，，，且这个三角形是直角三角形，则的值为__________； （3）带一个三角形的三边长，，，其中是最长边长，则该三角形是__________三角形． 【变式3】（24-25八年级上·江西吉安·期末）先观察下列各组数，然后回答问题： 第一组：，，； 第二组：，，； 第三组：，，； 第四组：，，； （1）根据各组数反映的规律，用含的代数式表示第组的三个数； （2）如果各组数的三个数分别是三角形的三边长，那么这个三角形是什么三角形？请说明理由； （3）如图，，，，若，，为上列按已知方式排列顺序的某一组数，且，，求的长． 五.同步检测 （一）选择题（本大题共10个小题,每小题3分,共30分） 1．（25-26八年级下·陕西榆林·期末）下列各组数为勾股数的是（     ） A．，， B．，， C．，， D．，， 2．（25-26八年级下·辽宁大连·期末）将下列长度的三条线段首尾顺次连接，能组成直角三角形的是（     ） A．，， B．，， C．，， D．，， 3．（24-25八年级下·天津·期末）在如图所示的正方形网格中，每个小正方形的边长均为，，，三点均在格点上，则的大小是（    ）    A． B． C． D． 4．（2026·广东广州·一模）如图，在中，，，，点是的中点，则长为（    ） A． B．2 C． D． 5．（24-25八年级上·湖北襄阳·期末）已知一个三角形三边长分别是4，9，12，要作最长边上的高正确的图形做法是（　　　） A． B． C． D． 6．（25-26八年级上·江苏南京·期末）如图，在正方形网格上，四边形的四个顶点都在格点上，则（　　） A． B． C． D． 7．（25-26八年级下·黑龙江哈尔滨·期中）如图，公园里有一块草坪，已知米，米，米，米，且，这块草坪的面积是（     ） A．平方米 B．平方米 C．平方米 D．平方米 8．（25-26八年级下·黑龙江哈尔滨·期中）如图，有一个面积为1的正方形，经过一次“生长”后，在它的左右肩上“生长”出两个小正方形，其中，三个正方形围成的三角形是直角三角形，再经过一次“生长”后，变成了如图所示的形状图，如果继续“生长”下去，它将变得“枝繁叶茂”，“生长”了2025次后形成的图形中所有的正方形的面积和是（   ） A．1012 B．2024 C．2025 D．2026 9．（25-26九年级下·湖南株洲·开学考试）如图，点D是正内的一点，，，，则的度数是（     ） A． B． C． D． 10．（25-26八年级下·北京·期中）如图，在中，的平分线交于点D，E为线段上一动点，F为边上一动点，若，，，则的最小值为（     ） A．4 B． C．10 D． （2） 填空题（本大题共8小题，每小题4分，共32分） 11．（25-26八年级下·甘肃临夏·期中）若7，24，x是一组勾股数，则x的值为________． 12．（25-26八年级下·陕西汉中·期中）木工用三根木条围框架，长度分别为、、2，这个框架是_____三角形． 13．（23-24八年级下·河南周口·阶段检测）如图，网格中每个小正方形的边长都是1，点A，B，C，D都在小正方形的顶点上，则以，为边的三角形的形状为____． 14．（25-26八年级下·广东梅州·期中）如图，在中，，，，根据尺规作图痕迹，线段的长为______． 15．（25-26七年级下·山东烟台·期中）如图，已知中，，，，的垂直平分线交于点，交于点，连接，则的长为__________． 16．（25-26八年级下·天津·期中）已知，，，，，连接，则的度数为______． 17．（25-26八年级下·四川南充·期末）一艘轮船和一艘渔船同时沿各自的航向从港口出发，如图所示，轮船从港口沿北偏东的方向行30海里到达点处，同一时刻渔船已航行到与港口相距40海里的点处，若、两地相距50海里，则渔船从港口出发的方向为______． 18．（25-26八年级下·安徽六安·期中）（1）我们把能够成为直角三角形三条边的三个正整数，，称为勾股数．若5，13，是一组勾股数，则_____； （2）在学习“勾股数”的知识时，小明发现了一组有规律的勾股数，并将它们记录在如下的表格中． 6 8 10 12 14 … 8 15 24 35 48 … 10 17 26 37 50 … 则当时，的值为_____． （三）解答题（本大题共6小题，共58分） 19．（本小题满分8分）（25-26八年级下·河北雄安·期中）如图，在三角形支架中， （1）求的长； （2）判断支架外框的形状，并说明理由． 20．（本小题满分8分）（25-26八年级上·湖南怀化·期末）如图，在中，，，，点是外一点，连接，，且，． （1）求的长； （2）求四边形的面积． 21．（本小题满分10分）（25-26八年级下·云南玉溪·期中）如图，在中，．延长到点D，连接． （1）求证：； （2）若命题“线段比线段长8”是真命题，求线段的长． 22．（本小题满分10分）（2025·河北石家庄·模拟预测）满足勾股定理的正整数称为勾股数，观察以下两组勾股数的规律： （1）按此规律，填空：， 上面一组勾股数中，▲表示 ，〇表示 ； （2）猜想： ①当n是大于1的奇数时，勾股数为：（n，，），请你给出证明； ②当2n是大于2的偶数时，直接用n表示勾股数：（，， ）． 23．（本小题满分10分）（25-26八年级下·辽宁大连·期末）如果把看作关于，，的方程，那么满足这个方程的正整数解，，通常叫作勾股数组，可以记作．毕达哥拉斯学派提出了一个构造勾股数组的公式，根据该公式可以构造出如下勾股数组：；；；… 分析这些勾股数组可以发现，，，，… （1）分析其中的规律，请写出一组满足上述规律的勾股数组； （2）小红将移项并因式分解得，请写出满足上述规律的第个勾股数组（用含的式子表示），并尝试用小红的方法证明； （3）若是满足上述规律的一组勾股数组，求的值． 24．（本小题满分12分）（25-26八年级上·陕西咸阳·阶段检测）在《勾股定理》一章学习中，我们体验了“以形助数，以数解形”的研究策略．这充分体现了数学中“数形结合”这一数学思想方法的重要性．某校八年级数学兴趣小组通过面积恒等的方法对直角三角形三边关系进行了探究． 【初步探究】 （1）如图1，四个全等的直角三角形拼成一个大正方形，中间空白部分也是正方形．已知直角三角形的两直角边长分别为a，b，斜边长为c．课堂上，老师结合图形，用不同的方式表示大正方形的面积，证明了勾股定理．请利用图1推导：． 【结论运用】 （2）如图2，已知，是直角三角形，．若，的长比的长大2，求 的长． 【应用拓展】 （3）学校校内有一块如图3所示的三角形空地，其中米，米，米．计划将这块空地建成一个花园，以美化校园环境，预计花园每平方米的造价为60元，学校修建这个花园需要投资多少元？ 2 / 30 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $