1.4 二次函数与一元二次方程的关系 同步讲义 2026-2027学年浙教版九年级数学上册

本讲义聚焦二次函数与一元二次方程的关系，系统梳理抛物线与x轴交点（用△判断个数、交点式应用）、图象法求近似根（作图定范围、估根）、二次函数与不等式（函数值比较、图象位置关系）等核心知识点，搭建从函数图象到方程根与不等式解集的学习支架。 资料以题型分层设计为亮点，“解题知识”模块明确方法，典例与变式题结合几何直观（数学眼光）培养推理意识（数学思维），通过图象分析与符号表达（数学语言）解决面积、根的范围等问题。课中助力教师系统教学，课后过关验收帮助学生查漏补缺。

1.4 二次函数与一元二次方程的关系 内 容 导 航 题型1 抛物线与x轴的交点 题型2 图象法求一元二次方程的近似根 题型3 二次函数与不等式（组） 考 点 演 练 题型1 抛物线与x轴的交点 解｜题｜知｜识 求二次函数y＝ax2+bx+c（a，b，c是常数，a≠0）与x轴的交点坐标，令y＝0，即ax2+bx+c＝0，解关于x的一元二次方程即可求得交点横坐标． （1）二次函数y＝ax2+bx+c（a，b，c是常数，a≠0）的交点与一元二次方程ax2+bx+c＝0根之间的关系． △＝b2﹣4ac决定抛物线与x轴的交点个数． △＝b2﹣4ac＞0时，抛物线与x轴有2个交点； △＝b2﹣4ac＝0时，抛物线与x轴有1个交点； △＝b2﹣4ac＜0时，抛物线与x轴没有交点． （2）二次函数的交点式：y＝a（x﹣x1）（x﹣x2）（a，b，c是常数，a≠0），可直接得到抛物线与x轴的交点坐标（x1，0），（x2，0）． 【典例1】小明在学习函数后，在“几何画板”软件中绘制了函数y＝x2（x﹣3）的图象，如图所示．通过观察此图象，下列说法错误的是（　　） A．点（2，﹣4）在y＝x2（x﹣3）的图象上 B．当0＜x＜2时，y随x的增大而减小 C．x2（x﹣3）＝kx﹣2最多有三个实数根 D．若x＜3，则y＜0 【变式1】如图，函数的图象与x轴交于A，B两点（A在B的左侧），与y轴交于点C，点P是BC上方抛物线上一点，连结AP交BC于点D，连结AC，CP，记△ACD的面积为S1，△PCD的面积为S2，则的最大值为（　　） A．1 B． C． D． 【变式2】已知抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）与x轴的交点为A（1，0）和B（3，0），点P1（x1，y1），P2（x2，y2）是抛物线上不同于A，B的两个点，记△P1AB的面积为S1，△P2AB的面积为S2，则下列结论正确的是（　　） A．当x1＞x2+2时，S1＞S2 B．当x1＜2﹣x2时，S1＜S2 C．当|x1﹣2|＞|x2﹣2|＞1时，S1＞S2 D．当|x1﹣2|＞|x2+2|＞1时，S1＜S2 【变式3】关于抛物线y＝x2﹣（m+1）x+m，下列说法：①开口向下；②与坐标轴有3个交点；③一定过点（1，0）；④顶点一定不在第二象限；其中正确的是（　　） A．①②③ B．②④ C．③④ D．②③ 题型2 图象法求一元二次方程的近似根 解｜题｜知｜识 利用二次函数图象求一元二次方程的近似根的步骤是： （1）作出函数的图象，并由图象确定方程的解的个数； （2）由图象与y＝h的交点位置确定交点横坐标的范围； （3）观察图象求得方程的根（由于作图或观察存在误差，由图象求得的根一般是近似的）． 【典例1】已知二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0），y与x的部分对应值如表所示： x … ﹣1 0 1 3 … y … ﹣3 1 3 1 … 下列判断中正确的是（　　） A．抛物线开口向上 B．抛物线与y轴的交于负半轴 C．当x＝4时，y＞0 D．方程ax2+bx+c＝0的正根在3与4之间 【变式1】已知二次函数y＝ax2+bx+c的图象如图所示，则一元二次方程ax2+bx+c＝0的其中一个解的范围是（　　） A．﹣4＜x＜﹣3 B．﹣3＜x＜﹣2 C．﹣2＜x＜﹣1 D．﹣1＜x＜0 【变式2】二次函数y＝x2+bx的图象如图，对称轴为直线x＝1．若关于x的一元二次方程x2+bx﹣t＝0（b、t为实数）在﹣1＜x＜4的范围内有解，则t的取值范围是 　 　 ． 【变式3】已知函数y＝（x+1）2﹣4，请按要求填空或解答问题： （1）函数图象的对称轴是直线 　 ，顶点坐标是 　 　 ． （2）画出该二次函数的大致图象，并结合图象回答，当x取何值时，函数值y＜0； （3）利用第（2）小题得到的图象，直接写出方程（x+1）2﹣4＝2的近似解（精确到0.1）． 题型3 二次函数与不等式（组） 解｜题｜知｜识 二次函数y＝ax2+bx+c（a、b、c是常数，a≠0）与不等式的关系 ①函数值y与某个数值m之间的不等关系，一般要转化成关于x的不等式，解不等式求得自变量x的取值范围． ②利用两个函数图象在直角坐标系中的上下位置关系求自变量的取值范围，可作图利用交点直观求解，也可把两个函数解析式列成不等式求解． 【典例1】如图，已知抛物线y＝ax2+c与直线y＝kx+b交于A（﹣3，y1），B（1，y2）两点，则关于x的不等式ax2+c＞kx+b的解集是（　　） A．x＜﹣3或x＞1 B．x＞﹣3或x＜1 C．﹣3＜x＜1 D．﹣1＜x＜1 【变式1】 抛物线y＝ax2+bx+c与直线y＝mx+c相交于如图所示的A，B两点，则不等式ax2+bx≥mx的解集为（　　） A．0≤x≤3 B．x≤3 C．﹣1≤x≤3 D．x≤0或x≥3 【变式2】已知二次函数y＝mx2+nx+c与一次函数y＝x的图象如图所示，则不等式mx2+（n﹣1）x＜﹣c的解集为（　　） A．x＜3 B．x＞1 C．1＜x＜3 D．0＜x＜1 【变式3】二次函数y＝ax2+bx+c的部分图象如图所示，其对称轴为直线x＝2，若该抛物线与x轴的一个交点为（5，0），则由图象可知，不等式ax2+bx+c＞0的解集为（　　） A．x＜﹣1 B．x＞5 C．﹣1＜x＜5 D．x＜﹣1或x＞5 过 关 验 收 1．关于x的函数y＝x2﹣|x﹣2|﹣4x+k+1的图象与x轴有四个不同的公共点，则k的取值范围是（　　） A．且k≠3 B． C． D． 2．已知抛物线y＝ax2+bx+c上的某些点的横坐标x与纵坐标y的对应值如下表： x … ﹣7.21 ﹣7.20 ﹣7.19 ﹣7.18 ﹣7.17 … y … ﹣0.04 ﹣0.03 0.01 0.02 0.03 … 则该函数与x轴的其中一个交点的横坐标的范围是（　　） A．﹣7.21＜x＜﹣7.20 B．﹣7.20＜x＜﹣7.19 C．﹣7.19＜x＜﹣7.18 D．﹣7.18＜x＜﹣7.17 3．已知一元二次方程ax2+bx+c＝0有两个实数根x1＝1，x2＝5，且a＞0，给出下列结论：①a+b＝0；②抛物线y＝ax2+bx+c的顶点坐标为（3，﹣4a）；③c＜0；④当n＞3时，n（an+b）＞9a+3b．其中正确的有（　　） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 4．已知抛物线y＝x2﹣bx+c与x轴交于点A（﹣1，0），B（3，0），则关于x的方程x2﹣bx+c＝0的解是（　　） A．x1＝﹣1，x2＝﹣3 B．x1＝﹣1，x2＝3 C．x1＝1，x2＝﹣3 D．x1＝1，x2＝3 5．抛物线y＝x2﹣6x+c与x轴只有一个交点，则c＝　　 ． 6．若二次函数y＝3x2+bx+c的部分图象如图所示，关于x的一元二次方程3x2+bx+c＝0的一个解x1＝3，则另一个解x2＝　 　 ． 7．若函数y＝mx2+2x+1的图象与x轴只有一个公共点，则常数m的值是 　 ． 8．如图，是二次函数y＝ax2+bx+c图象的一部分，其对称轴为直线x＝1，若与x轴的其中一个交点为A（3，0），则由图象可知，与x轴的另一个交点坐标是 　 　 ． 9．若二次函数y＝﹣x2+2x+k的部分图象如图所示，则关于x的一元二次方程﹣x2+2x+k＝0的一个解x1＝3，另一个解x2＝　 ． 10．在平面直角坐标系xOy中，已知抛物线y＝x2﹣2mx+n． （1）若n＝m2﹣1，求证：抛物线与x轴一定有两个交点． （2）若n＝m2+m，点P（x1，y1），Q（x2，y2）在抛物线上，其中m﹣2＜x1＜m+1，x2＝1﹣2m． ①若y1的最小值是﹣2，求函数的表达式； ②若对于x1，x2，都有y1＜y2，求m的取值范围． 11．已知抛物线y＝x2﹣ax+2（a﹣3）． （1）求证：不论a为何实数，这个抛物线与x轴总有两个交点； （2）如果有一交点坐标为（3，0），求a的值． 12．已知二次函数y＝x2﹣6x﹣16，求二次函数图象与坐标轴交点的坐标． 13．已知：如图，二次函数的图象与x轴交于A（﹣2，0），B（4，0）两点，且函数的最大值为9． （1）求二次函数的解析式； （2）设此二次函数图象的顶点为C，与y轴交点为D，求四边形ABCD的面积． 14．如图，以（1，﹣4）为顶点的二次函数y＝ax2+bx+c的图象与x轴负半轴交于A点，则一元二次方程ax2+bx+c＝0的正数解的范围是（　　） A．2＜x＜3 B．3＜x＜4 C．4＜x＜5 D．5＜x＜6 15．已知二次函数y＝ax2+bx+c的变量x，y的部分对应值如表： x … ﹣3 ﹣2 ﹣1 0 1 … y … ﹣11 ﹣5 ﹣1 1 1 … 根据表中信息，可得一元二次方程ax2+bx+c＝0的一个近似解x1的范围是（　　） A．﹣3＜x1＜﹣2 B．﹣2＜x1＜﹣1 C．﹣1＜x1＜0 D．0＜x1＜1 16．二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）中，自变量x与函数y的对应值如下表： x … ﹣2 ﹣1 0 1 2 3 4 … y … m﹣4.5 m﹣2 m﹣0.5 m m﹣0.5 m﹣2 m﹣4.5 … 若1＜m＜1.5，则下面叙述正确的是（　　） A．该函数图象开口向上 B．该函数图象与y轴的交点在x轴的下方 C．对称轴是直线x＝m D．若x1是方程ax2+bx+c＝0的正数解，则2＜x1＜3 17．二次函数y＝ax2+bx+c的图象如图所示，其对称轴为直线x＝1，且与x轴的负半轴交于点A，则关于x的方程ax2+bx+c＝0的正数解的范围是（　　） A．2＜x＜3 B．3＜x＜4 C．4＜x＜5 D．5＜x＜6 18．下表列出了函数y＝ax2+bx+c（a≠0）中自变量x与函数y的部分对应值．根据表中数据，判断一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的一个解在（　　） x ﹣2 ﹣1 0 1 2 y 1 2 1 ﹣2 ﹣7 A．1与2之间 B．﹣2与﹣1之间 C．﹣1与0之间 D．0与1之间 19．已知二次函数y＝ax2+bx+c中，函数y与自变量x的部分对应值如表，则方程ax2+bx+c＝0的一个解的范围是（　　） x 6.17 6.18 6.19 6.20 y ﹣0.03 ﹣0.01 0.02 0.04 A．﹣0.01＜x＜0.02 B．6.17＜x＜6.18 C．6.18＜x＜6.19 D．6.19＜x＜6.20 20．观察下列表格，一元二次方程x2﹣x﹣1.1＝0的最精确的一个近似解是（　　） x 1.1 1.2 1.3 1.4 1.5 1.6 1.7 1.8 1.9 x2﹣x﹣1.1 ﹣0.99 ﹣0.86 ﹣0.71 ﹣0.54 ﹣0.35 ﹣0.14 0.09 0.34 0.61 A．0.09 B．1.1 C．1.6 D．1.7 21．如图是抛物线图象的一部分，抛物线的顶点坐标为B（﹣1，﹣3），与x轴的一个交点为A（﹣4，0）．点A和点B均在直线y2＝mx+n（m≠0）上，则：①2a+b＝0；②abc＜0；③抛物线与x轴的另一个交点是（4，0）；④a+b+c＞﹣m+n；⑤不等式mx+n＞ax2+bx+c的解集为﹣4＜x＜﹣1．其中结论正确的是（　　） A．②④⑤ B．①③⑤ C．②⑤ D．①②⑤ 22．二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的对称轴是直线x＝﹣2，该抛物线与x轴的一个交点在点（﹣4，0）和点（﹣3，0）之间，其部分图象如图所示，下列结论：①4a﹣b＝0，②a+b+c＜0，③b2+3b＝4ac，④若点（﹣5，n）在二次函数的图象上，则关于x的不等式ax2+bx+c﹣n＞0的解集是﹣5＜x＜1，其中正确的是（　　） A．①②③ B．②③④ C．①②④ D．①②③④ 23．在平面直角坐标系中，直线y1＝ax+b经过抛物线的顶点，其中ab≠0，下列四个结论，①6a+b＝0；②当x＞﹣3时，y2随自变量x的增大而增大；③y1与y2的另一个交点的横坐标为﹣2；④当﹣3≤x≤﹣2时，y1≥y2．正确结论的个数（　　） A．1 B．2 C．3 D．4 24．如图，函数y＝ax2+c与y＝mx+n的图象交于A（﹣1，p），B（4，q）两点，则关于x的不等式ax2+mx+c＞n的解集是　 ． 25．如图，函数y＝ax2+c与y＝mx+n的图象交于A（﹣1，p），B（3，q）两点，则关于x的不等式ax2﹣mx+c＞n的解集是　 ． 26．二次函数y1＝ax2+bx+c与一次函数y2＝mx+n的图象如图所示，则满足ax2+bx+c＞mx+n的x的取值范围是 　 　 ． 27．已知二次函数y＝﹣x2﹣2x+3的图象，点P是抛物线的顶点，与x轴相交于A、B两点，与y轴交于C点（如图所示），点D在二次函数的图象上，且D与C关于对称轴对称，一次函数的图象过点B、D，直线DB的解析式为　 ，一次函数值大于二次函数值的x的取值范围 　 ，△DBP面积为　　 ． 28．如图所示，在直角坐标平面中，抛物线y＝ax2+bx+c与直线y＝mx+n相交于D（﹣2，3）和B（1，0），则不等式ax2+bx+c＜mx+n的解集是　 ． 29．二次函数y＝﹣x2+2x+4，当﹣1≤x≤2时，则y的取值范围是　 　 ． 30．如图是二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象的一部分，其对称轴是直线x＝2，与x轴的一个交点是（5，0），则不等式ax2+bx+c＞0的解集是 　 ． 31．如图，二次函数y＝ax2+bx+c（a，b，c为常数，a≠0）的图象与x轴交于点（3，0），顶点坐标为（1，3），则不等式ax2+bx+c＞0的解集为 　 　 ． 32．如图，一次函数y1＝kx+1与二次函数交于A，B两点，且A（1，0），抛物线的对称轴是直线x＝﹣1． （1）求k和a，b的值； （2）求点B的坐标并写出不等式kx+1＞ax2+bx﹣3的解集． 33．二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象如图所示，根据图象解答下列问题． （1）写出方程ax2+bx+c＝0的两个根：　 　 ； （2）写出不等式ax2+bx+c＜0的解集：　 ； （3）写出y随x的增大而减小的自变量x的取值范围　 ； （4）若方程ax2+bx+c＝k有两个不相等的实数根，直接写出k的取值范围：　 ． 34．如图，抛物线y＝x2+bx与直线y＝kx+2相交于点A（﹣2，0）和点B． （1）求b和k的值； （2）求点B的坐标，并结合图象写出不等式kx+2≤x2+bx的解集． 35．如图，二次函数的图象与x轴交于点A，B（A在B的左侧），与一次函数y2＝﹣x+b的图象交于A，C两点． （1）求b的值； （2）求△ABC的面积； （3）根据图象，直接写出当y1＞y2时x的取值范围． 36．已知二次函数y＝x2﹣（a+1）x+a． （1）证明这个二次函数的图象经过点（1，0）； （2）点（x1，y1），（x2，y2）在这个二次函数图象上，当x1+x2＝3，x2＞x1时，都有y2＞y1，求a的取值范围． （3）关于x不等式x2﹣（a+1）x+a＜0有且只有一个整数解时，直接写出a的取值范围． 37．已知一次函数y1＝2x﹣2与二次函数相交于A（3，a）、B（b，﹣6）两点． （1）求a、b的值； （2）直接写出当y1＜y2时，x的取值范围． 38．已知一次函数y1＝2x+b的图象与二次函数，a，b为常数）的图象交于A，B两点，且A的坐标为（0，1）． （1）求出a，b的值，并写出函数y1，y2的解析式； （2）验证点B的坐标是否为（1，3），并写出当y1≥y2时，x的取值范围； （3）设u＝y1+y2，v＝y1﹣y2，若n≤x≤m时，u随着x的增大而增大，且v也随着x的增大而增大，求n的最小值和m的最大值． 学科网（北京）股份有限公司 $ 1.4 二次函数与一元二次方程的关系 内 容 导 航 题型1 抛物线与x轴的交点 题型2 图象法求一元二次方程的近似根 题型3 二次函数与不等式（组） 考 点 演 练 题型1 抛物线与x轴的交点 解｜题｜知｜识 求二次函数y＝ax2+bx+c（a，b，c是常数，a≠0）与x轴的交点坐标，令y＝0，即ax2+bx+c＝0，解关于x的一元二次方程即可求得交点横坐标． （1）二次函数y＝ax2+bx+c（a，b，c是常数，a≠0）的交点与一元二次方程ax2+bx+c＝0根之间的关系． △＝b2﹣4ac决定抛物线与x轴的交点个数． △＝b2﹣4ac＞0时，抛物线与x轴有2个交点； △＝b2﹣4ac＝0时，抛物线与x轴有1个交点； △＝b2﹣4ac＜0时，抛物线与x轴没有交点． （2）二次函数的交点式：y＝a（x﹣x1）（x﹣x2）（a，b，c是常数，a≠0），可直接得到抛物线与x轴的交点坐标（x1，0），（x2，0）． 【典例1】小明在学习函数后，在“几何画板”软件中绘制了函数y＝x2（x﹣3）的图象，如图所示．通过观察此图象，下列说法错误的是（　　） A．点（2，﹣4）在y＝x2（x﹣3）的图象上 B．当0＜x＜2时，y随x的增大而减小 C．x2（x﹣3）＝kx﹣2最多有三个实数根 D．若x＜3，则y＜0 【答案】D 【解答】解：由题意，对于A，当x＝2时，y＝﹣4， ∴点（2，﹣4）在y＝x2（x﹣3）的图象上，故选项A正确； 对于B，结合图象可得，当0＜x＜2时，y随x的增大而减小，故选项B正确． 对于C，∵函数y＝x2（x﹣3）与直线y＝kx﹣2k＝k（x﹣2）的交点如图所示， ∴函数y＝x3﹣3x2与直线y＝kx﹣2k＝k（x﹣2）的交点最多3个． ∴方程x2（x﹣3）＝kx﹣2最多有三个实数根，故选项C正确； 对于D，结合图象可得 若x＜3，则y≤0，故D选项错误； 故选：D． 【变式1】如图，函数的图象与x轴交于A，B两点（A在B的左侧），与y轴交于点C，点P是BC上方抛物线上一点，连结AP交BC于点D，连结AC，CP，记△ACD的面积为S1，△PCD的面积为S2，则的最大值为（　　） A．1 B． C． D． 【答案】B 【解答】解：由题知，如图，过点P作x轴的平行线交BC的延长线于点M， ∵PM∥x轴， ∴△PMD∽△ABD， ∴， 令y＝0，则有， 解得x1＝﹣1，x2＝4， ∴A（﹣1，0），B（4，0）， ∴AB＝5． 将x＝0代入， 得：y＝3． ∴点C的坐标为（0，3）． 令直线BC的函数解析式为y＝kx+b， 则， 解得， ∴直线BC的函数解析式为． ∵， 令点P坐标为， 则， ∴， ∴， 则PM＝m﹣（m2﹣3m）＝﹣m2+4m， ∴， 则当m＝2时，有最大值为：， 即的最大值为． 故选：B． 【变式2】已知抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）与x轴的交点为A（1，0）和B（3，0），点P1（x1，y1），P2（x2，y2）是抛物线上不同于A，B的两个点，记△P1AB的面积为S1，△P2AB的面积为S2，则下列结论正确的是（　　） A．当x1＞x2+2时，S1＞S2 B．当x1＜2﹣x2时，S1＜S2 C．当|x1﹣2|＞|x2﹣2|＞1时，S1＞S2 D．当|x1﹣2|＞|x2+2|＞1时，S1＜S2 【答案】C 【解答】解：不妨假设a＞0． A．如图1中，P1，P2满足x1＞x2+2， ∵P1P2∥AB， ∴S1＝S2，故A错误． B．当x1＝﹣2，x2＝﹣1，满足x1＜2﹣x2， 则S1＞S2，故B错误． C．∵|x1﹣2|＞|x2﹣2|＞1， ∴P1，P2在x轴的上方，且P1离x轴的距离比P2离x轴的距离大， ∴S1＞S2，故C正确． D．如图2中，P1，P2满足|x1﹣2|＞|x2+2|＞1，但是S1＝S2，故④错误． 故结论正确的是：C． 同理，a＜0时，结论正确的是：C． 故答案为：C． 【变式3】关于抛物线y＝x2﹣（m+1）x+m，下列说法：①开口向下；②与坐标轴有3个交点；③一定过点（1，0）；④顶点一定不在第二象限；其中正确的是（　　） A．①②③ B．②④ C．③④ D．②③ 【答案】C 【解答】解：在y＝x2﹣（m+1）x+m中， ∵1＞0， ∴开口向上，故①错误； ∵Δ＝[﹣（m+1）]2﹣4×1×m＝（m﹣1）2≥0， ∴当m＝1时，抛物线与x轴有一个交点， 由于抛物线与y轴有一个交点，故与坐标轴有2个交点，故②错误； 令x＝1，则y＝0， 故一定过点 （1，0），故③正确； y＝x2﹣（m+1）x+m， 当时，， ∴顶点一定不在第二象限，故④正确； ∴正确的有③④， 故选：C． 题型2 图象法求一元二次方程的近似根 解｜题｜知｜识 利用二次函数图象求一元二次方程的近似根的步骤是： （1）作出函数的图象，并由图象确定方程的解的个数； （2）由图象与y＝h的交点位置确定交点横坐标的范围； （3）观察图象求得方程的根（由于作图或观察存在误差，由图象求得的根一般是近似的）． 【典例1】已知二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0），y与x的部分对应值如表所示： x … ﹣1 0 1 3 … y … ﹣3 1 3 1 … 下列判断中正确的是（　　） A．抛物线开口向上 B．抛物线与y轴的交于负半轴 C．当x＝4时，y＞0 D．方程ax2+bx+c＝0的正根在3与4之间 【答案】D 【解答】解：由图表可得， 该函数的对称轴是直线x，有最大值， ∴抛物线开口向下，故选项A错误， 抛物线与y轴的交点为（0，1），故选项B错误， 由对称性，x＝﹣1关于对称轴x的对称点为x＝4，故f（4）＝f（﹣1）＝﹣3＜0，故选项C错误， 方程ax2+bx+c＝0的正根在3与4之间，故选项D正确， 故选：D． 【变式1】已知二次函数y＝ax2+bx+c的图象如图所示，则一元二次方程ax2+bx+c＝0的其中一个解的范围是（　　） A．﹣4＜x＜﹣3 B．﹣3＜x＜﹣2 C．﹣2＜x＜﹣1 D．﹣1＜x＜0 【答案】B 【解答】解：依题意得二次函数y＝ax2+bx+c的抛物线开口向下，图象的对称轴为x＝﹣1， 而对称轴右侧图象与x轴交点在0与1之间，即0＜x＜1， 又∵对称轴为x＝﹣1， 则抛物线与x轴的另一个交点在﹣3与﹣2之间，即一元二次方程ax2+bx+c＝0的其中一个解的范围是﹣3＜x＜﹣2， 故选：B． 【变式2】二次函数y＝x2+bx的图象如图，对称轴为直线x＝1．若关于x的一元二次方程x2+bx﹣t＝0（b、t为实数）在﹣1＜x＜4的范围内有解，则t的取值范围是 　 　 ． 【答案】﹣1≤t＜8 【解答】解：对称轴为直线x1， 解得b＝﹣2， 所以，二次函数解析式为y＝x2﹣2x， y＝（x﹣1）2﹣1， x＝﹣1时，y＝1+2＝3， x＝4时，y＝16﹣2×4＝8， ∵x2+bx﹣t＝0相当于y＝x2+bx与直线y＝t的交点的横坐标， ∴当﹣1≤t＜8时，在﹣1＜x＜4的范围内有解． 故答案为：﹣1≤t＜8． 【变式3】已知函数y＝（x+1）2﹣4，请按要求填空或解答问题： （1）函数图象的对称轴是直线 　 ，顶点坐标是 　 　 ． （2）画出该二次函数的大致图象，并结合图象回答，当x取何值时，函数值y＜0； （3）利用第（2）小题得到的图象，直接写出方程（x+1）2﹣4＝2的近似解（精确到0.1）． 【答案】（1）x＝﹣1，（﹣1，﹣4）； （2）见解析；当﹣3＜x＜1时，函数值y＜0； （3）x1≈﹣3.4，x2≈1.4． 【解答】解：（1）函数图象的对称轴是直线x＝﹣1，顶点坐标是（﹣1，﹣4）． 故答案为：x＝﹣1，（﹣1，﹣4）； （2） x ﹣3 ﹣2 ﹣1 0 1 y 0 ﹣3 ﹣4 ﹣3 0 如图， 由图象可知，当﹣3＜x＜1时，函数值y＜0； （3）方程（x+1）2﹣4＝2近似解即为y＝（x+1）2﹣4与y＝2的交点横坐标，由图象可知，x1≈﹣3.4，x2≈1.4． 题型3 二次函数与不等式（组） 解｜题｜知｜识 二次函数y＝ax2+bx+c（a、b、c是常数，a≠0）与不等式的关系 ①函数值y与某个数值m之间的不等关系，一般要转化成关于x的不等式，解不等式求得自变量x的取值范围． ②利用两个函数图象在直角坐标系中的上下位置关系求自变量的取值范围，可作图利用交点直观求解，也可把两个函数解析式列成不等式求解． 【典例1】如图，已知抛物线y＝ax2+c与直线y＝kx+b交于A（﹣3，y1），B（1，y2）两点，则关于x的不等式ax2+c＞kx+b的解集是（　　） A．x＜﹣3或x＞1 B．x＞﹣3或x＜1 C．﹣3＜x＜1 D．﹣1＜x＜1 【答案】C 【解答】解：∵抛物线y＝ax2+c与直线y＝kx+b交于A（﹣3，y1），B（1，y2）两点， 结合抛物线y＝ax2+c与直线y＝kx+b的图象可知，关于x的不等式ax2+c＞kx+b的解集是﹣3＜x＜1， 故选：C． 【变式1】 抛物线y＝ax2+bx+c与直线y＝mx+c相交于如图所示的A，B两点，则不等式ax2+bx≥mx的解集为（　　） A．0≤x≤3 B．x≤3 C．﹣1≤x≤3 D．x≤0或x≥3 【答案】D 【解答】解：ax2+bx≥mx等价于ax2+bx+c≥mx+c， 由图象可知，不等式ax2+bx≥mx的解集为x≤0或x≥3， 故选：D． 【变式2】已知二次函数y＝mx2+nx+c与一次函数y＝x的图象如图所示，则不等式mx2+（n﹣1）x＜﹣c的解集为（　　） A．x＜3 B．x＞1 C．1＜x＜3 D．0＜x＜1 【答案】C 【解答】解：∵mx2+（n﹣1）x＜﹣c， mx2+nx﹣x＜﹣c， ∴mx2+nx+c＜x， 上式表示二次函数y＝mx2+nx+c的图象位于一次函数y＝x的图象下方， 观察图象知，1＜x＜3， ∴不等式的解集为1＜x＜3， 故选：C． 【变式3】二次函数y＝ax2+bx+c的部分图象如图所示，其对称轴为直线x＝2，若该抛物线与x轴的一个交点为（5，0），则由图象可知，不等式ax2+bx+c＞0的解集为（　　） A．x＜﹣1 B．x＞5 C．﹣1＜x＜5 D．x＜﹣1或x＞5 【答案】C 【解答】解：∵二次函数y＝ax2+bx+c的对称轴为直线x＝2，与x轴的一个交点为（5，0）， ∴二次函数与x轴的另一个交点的横坐标为2﹣（5﹣2）＝﹣1， ∴二次函数与x轴的另一个交点的坐标为（﹣1，0）， ∵二次函数的图象开口向下， ∴不等式ax2+bx+c＞0的解集为﹣1＜x＜5， 故选：C． 过 关 验 收 1．关于x的函数y＝x2﹣|x﹣2|﹣4x+k+1的图象与x轴有四个不同的公共点，则k的取值范围是（　　） A．且k≠3 B． C． D． 【答案】B 【解答】解：∵y＝x2﹣|x﹣2|﹣4x+k+1， ∴y， 由题意得， 且当x＝2时，y＞0，即4﹣8+k+1＞0， 解得3＜k， 故选：B． 2．已知抛物线y＝ax2+bx+c上的某些点的横坐标x与纵坐标y的对应值如下表： x … ﹣7.21 ﹣7.20 ﹣7.19 ﹣7.18 ﹣7.17 … y … ﹣0.04 ﹣0.03 0.01 0.02 0.03 … 则该函数与x轴的其中一个交点的横坐标的范围是（　　） A．﹣7.21＜x＜﹣7.20 B．﹣7.20＜x＜﹣7.19 C．﹣7.19＜x＜﹣7.18 D．﹣7.18＜x＜﹣7.17 【答案】B 【解答】解：由题意，抛物线随x的增大而增大， 又∵当x＝﹣7.20时，y＝﹣0.03＜0，而当x＝﹣7.19时，y＝0.01＞0， ∴在﹣7.20＜x＜﹣7.19时，必有有一个x的值使得y＝0． ∴该函数与x轴的其中一个交点的横坐标的范围是﹣7.20＜x＜﹣7.19． 故选：B． 3．已知一元二次方程ax2+bx+c＝0有两个实数根x1＝1，x2＝5，且a＞0，给出下列结论：①a+b＝0；②抛物线y＝ax2+bx+c的顶点坐标为（3，﹣4a）；③c＜0；④当n＞3时，n（an+b）＞9a+3b．其中正确的有（　　） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】B 【解答】解：∵方程有两根x1＝1，x2＝5，且a＞0， ∴y＝a（x﹣1）（x﹣5）＝a（x2﹣6x+5）＝ax2﹣6ax+5a， ∴b＝﹣6a，c＝5a． ①a+b＝a﹣6a＝﹣5a≠0，错误； ②顶点横坐标， 纵坐标， ∴顶点为（3，﹣4a），正确； ③c＝5a＞0，错误； ④∵a＞0，对称轴为直线x＝3， 当n＞3时，an2+bn+c＞a×32+b×3+c， 即n（an+b）＞9a+3b．故④正确， ∴正确结论有②④，共2个． 故选：B． 4．已知抛物线y＝x2﹣bx+c与x轴交于点A（﹣1，0），B（3，0），则关于x的方程x2﹣bx+c＝0的解是（　　） A．x1＝﹣1，x2＝﹣3 B．x1＝﹣1，x2＝3 C．x1＝1，x2＝﹣3 D．x1＝1，x2＝3 【答案】B 【解答】解：∵与x轴交于点A（﹣1，0），B（3，0）， ∴方程x2﹣bx+c＝0的两个根为x1＝﹣1，x2＝3． 故选：B． 5．抛物线y＝x2﹣6x+c与x轴只有一个交点，则c＝　　 ． 【答案】9 【解答】解：令y＝0，则x2﹣6x+c＝0， 依题意得：Δ＝b2﹣4ac＝（﹣6）2﹣4c＝0， 解得：c＝9， 故答案为：9． 6．若二次函数y＝3x2+bx+c的部分图象如图所示，关于x的一元二次方程3x2+bx+c＝0的一个解x1＝3，则另一个解x2＝　 　 ． 【答案】﹣1． 【解答】解：∵二次函数y＝3x2+bx+c的对称轴为直线x＝1，关于x的一元二次方程3x2+bx+c＝0的一个解x1＝3，另一个解为x2， ∴1﹣x2＝3﹣1， ∴x2＝﹣1， 故答案为：﹣1． 7．若函数y＝mx2+2x+1的图象与x轴只有一个公共点，则常数m的值是 　 ． 【答案】0或1 【解答】解：有两种情况： ①当m＝0时，函数为y＝2x+1， ∵图象为一条直线，与x轴有一个交点， ∴m＝0； ②当m≠0时，y＝mx2+2x+1的图象与x轴只有一个公共点， 令y＝0，则mx2+2x+1＝0， ∴Δ＝4﹣4m＝0， 解得：m＝1， 故答案为：0或1． 8．如图，是二次函数y＝ax2+bx+c图象的一部分，其对称轴为直线x＝1，若与x轴的其中一个交点为A（3，0），则由图象可知，与x轴的另一个交点坐标是 　 　 ． 【答案】（﹣1，0）． 【解答】解：∵点（﹣1，0）与（3，0）关于直线x＝1对称， ∴抛物线与x轴的另一个交点坐标为（﹣1，0）． 故答案为：（﹣1，0）． 9．若二次函数y＝﹣x2+2x+k的部分图象如图所示，则关于x的一元二次方程﹣x2+2x+k＝0的一个解x1＝3，另一个解x2＝　 ． 【答案】﹣1 【解答】解：由图可知，对称轴为x＝1， 根据二次函数的图象的对称性， 1， 解得，x2＝﹣1． 故答案为：﹣1． 10．在平面直角坐标系xOy中，已知抛物线y＝x2﹣2mx+n． （1）若n＝m2﹣1，求证：抛物线与x轴一定有两个交点． （2）若n＝m2+m，点P（x1，y1），Q（x2，y2）在抛物线上，其中m﹣2＜x1＜m+1，x2＝1﹣2m． ①若y1的最小值是﹣2，求函数的表达式； ②若对于x1，x2，都有y1＜y2，求m的取值范围． 【答案】（1）∵n＝m2﹣1， ∴y＝x2﹣2mx+m2﹣1， 令y＝0，x2﹣2mx+m2﹣1＝0， Δ＝（﹣2m）2﹣4（m2﹣1）＝4＞0， ∴抛物线与x轴一定有两个交点． （2）①y＝x2+4x+2；②或m≥1． 【解答】（1）证明：∵n＝m2﹣1， ∴y＝x2﹣2mx+m2﹣1， 令y＝0，x2﹣2mx+m2﹣1＝0， Δ＝（﹣2m）2﹣4（m2﹣1）＝4＞0， ∴抛物线与x轴一定有两个交点． （2）解：①若n＝m2+m，则y＝x2﹣2mx+m2+m， ∴对称轴为直线x＝m， ∵m﹣2＜x＜m+1，y1的最小值是﹣2， ∴当x＝m时，y1＝m＝﹣2， ∴函数的表达式为y＝x2+4x+2． ②∵对于x1，x2，都有y1＜y2， 又∵图象开口向上，（m﹣2，y）关于对称轴的对称点为（m+2，y）， ∴1﹣2m≤m﹣2或1﹣2m≥m+2， ∴或m≥1． 11．已知抛物线y＝x2﹣ax+2（a﹣3）． （1）求证：不论a为何实数，这个抛物线与x轴总有两个交点； （2）如果有一交点坐标为（3，0），求a的值． 【答案】见试题解答内容 【解答】解：（1）Δ＝a2﹣8（a﹣3）＝a2﹣8a+24＝a2﹣8a+16+8＝（a﹣4）2+8＞0， 则不论a为何实数，这个抛物线与x轴总有两个交点； （2）把（3，0）代入抛物线得9﹣3a+2（a﹣3）＝0， 解得：a＝3． 12．已知二次函数y＝x2﹣6x﹣16，求二次函数图象与坐标轴交点的坐标． 【答案】（0，﹣16），（﹣2，0），（8，0）． 【解答】解：将x＝0代入y＝x2﹣6x﹣16， 得y＝﹣16， ∴二次函数y＝x2﹣6x﹣16与y轴的交点坐标为（0，﹣16）． 令x2﹣6x﹣16＝0， 解得x1＝﹣2，x2＝8， ∴二次函数y＝x2﹣6x﹣16与x轴的交点坐标为（﹣2，0），（8，0）， ∴二次函数图象与坐标轴交点的坐标为（0，﹣16），（﹣2，0），（8，0）． 13．已知：如图，二次函数的图象与x轴交于A（﹣2，0），B（4，0）两点，且函数的最大值为9． （1）求二次函数的解析式； （2）设此二次函数图象的顶点为C，与y轴交点为D，求四边形ABCD的面积． 【答案】见试题解答内容 【解答】解：（1）由抛物线的对称性知，它的对称轴是直线x＝1． 又∵函数的最大值为9， ∴抛物线的顶点为C（1，9）． 设抛物线的解析式为y＝a（x﹣1）2+9，代入B（4，0），求得a＝﹣1． ∴二次函数的解析式是y＝﹣（x﹣1）2+9， 即y＝﹣x2+2x+8． （2）过C作CE⊥x轴于E点． 当x＝0时，y＝8，即抛物线与y轴的交点坐标为D（0，8）． ∴S四边形ABCD＝S△AOD+S四边形DOEC+S△BCE2×8（8+9）×13×9＝30． 14．如图，以（1，﹣4）为顶点的二次函数y＝ax2+bx+c的图象与x轴负半轴交于A点，则一元二次方程ax2+bx+c＝0的正数解的范围是（　　） A．2＜x＜3 B．3＜x＜4 C．4＜x＜5 D．5＜x＜6 【答案】C 【解答】解：∵二次函数y＝ax2+bx+c的顶点为（1，﹣4）， ∴对称轴为x＝1， 而对称轴左侧图象与x轴交点横坐标的取值范围是﹣3＜x＜﹣2， ∴右侧交点横坐标的取值范围是4＜x＜5． 故选：C． 15．已知二次函数y＝ax2+bx+c的变量x，y的部分对应值如表： x … ﹣3 ﹣2 ﹣1 0 1 … y … ﹣11 ﹣5 ﹣1 1 1 … 根据表中信息，可得一元二次方程ax2+bx+c＝0的一个近似解x1的范围是（　　） A．﹣3＜x1＜﹣2 B．﹣2＜x1＜﹣1 C．﹣1＜x1＜0 D．0＜x1＜1 【答案】C 【解答】解：当x＝﹣1时，y＝﹣1；当x＝0时，y＝1， ∴方程的一个近似根x的范围是﹣1＜x＜0， 故选：C． 16．二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）中，自变量x与函数y的对应值如下表： x … ﹣2 ﹣1 0 1 2 3 4 … y … m﹣4.5 m﹣2 m﹣0.5 m m﹣0.5 m﹣2 m﹣4.5 … 若1＜m＜1.5，则下面叙述正确的是（　　） A．该函数图象开口向上 B．该函数图象与y轴的交点在x轴的下方 C．对称轴是直线x＝m D．若x1是方程ax2+bx+c＝0的正数解，则2＜x1＜3 【答案】D 【解答】解：∵二次函数过（﹣1．，m﹣2），（3，m﹣2），∴对称轴为直线x1，故C错误，不合题意； 由表格可得，当x＞1时，y随x的值增大而减小， ∴该函数开口向下，故选项A错误，不符合题意； ∵图象过点（0，m﹣0.5），1＜m＜1.5， ∴1﹣0.5＜m﹣0.5＜1.5﹣0.5，即0.5＜m﹣0.5＜1， ∴该函数图象与y轴的交点在x轴的上方，故B错误，不合题意； 由表中数据可知：y＝0在y＝m﹣2与y＝m﹣0.5之间， 故对应的x的值在﹣1与0之间， 故对应的x的值在2与3之间，即2＜x1＜3，故D正确，符合题意． 故选：D． 17．二次函数y＝ax2+bx+c的图象如图所示，其对称轴为直线x＝1，且与x轴的负半轴交于点A，则关于x的方程ax2+bx+c＝0的正数解的范围是（　　） A．2＜x＜3 B．3＜x＜4 C．4＜x＜5 D．5＜x＜6 【答案】C 【解答】解：∵抛物线y＝ax2+bx+c对称轴为x＝1，而对称轴左侧图象与x轴交点横坐标的取值范围是﹣3＜x＜﹣2， ∴右侧交点横坐标的取值范围是4＜x＜5． 故选：C． 18．下表列出了函数y＝ax2+bx+c（a≠0）中自变量x与函数y的部分对应值．根据表中数据，判断一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的一个解在（　　） x ﹣2 ﹣1 0 1 2 y 1 2 1 ﹣2 ﹣7 A．1与2之间 B．﹣2与﹣1之间 C．﹣1与0之间 D．0与1之间 【答案】D 【解答】解：∵当x＝0时，y＝1，x＝1时，y＝﹣2， ∴函数在0～1之间由正到负， ∴一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的一个近似解在0与1之间， 故选：D． 19．已知二次函数y＝ax2+bx+c中，函数y与自变量x的部分对应值如表，则方程ax2+bx+c＝0的一个解的范围是（　　） x 6.17 6.18 6.19 6.20 y ﹣0.03 ﹣0.01 0.02 0.04 A．﹣0.01＜x＜0.02 B．6.17＜x＜6.18 C．6.18＜x＜6.19 D．6.19＜x＜6.20 【答案】C 【解答】解：由表格中的数据看出﹣0.01和0.02更接近于0，故x应取对应的范围． 故选：C． 20．观察下列表格，一元二次方程x2﹣x﹣1.1＝0的最精确的一个近似解是（　　） x 1.1 1.2 1.3 1.4 1.5 1.6 1.7 1.8 1.9 x2﹣x﹣1.1 ﹣0.99 ﹣0.86 ﹣0.71 ﹣0.54 ﹣0.35 ﹣0.14 0.09 0.34 0.61 A．0.09 B．1.1 C．1.6 D．1.7 【答案】D 【解答】解：∵x＝1.7时，x2﹣x﹣1.1的值0.09最小， ∴一元二次方程x2﹣x﹣1.1＝0的最精确的一个近似解是1.7． 故选：D． 21．如图是抛物线图象的一部分，抛物线的顶点坐标为B（﹣1，﹣3），与x轴的一个交点为A（﹣4，0）．点A和点B均在直线y2＝mx+n（m≠0）上，则：①2a+b＝0；②abc＜0；③抛物线与x轴的另一个交点是（4，0）；④a+b+c＞﹣m+n；⑤不等式mx+n＞ax2+bx+c的解集为﹣4＜x＜﹣1．其中结论正确的是（　　） A．②④⑤ B．①③⑤ C．②⑤ D．①②⑤ 【答案】A 【解答】解：∵抛物线的对称轴为直线x1， ∴b＝2a，即2a﹣b＝0，所以①错误； ∵抛物线开口向上， ∴a＞0， ∴b＝2a＞0， ∵抛物线与y轴的交点在x轴下方， ∴c＜0， ∴abc＜0，所以②正确； ∵抛物线的对称轴为直线x＝﹣1，抛物线与x轴的一个交点为A（﹣4，0）， ∴抛物线与x轴的另一个交点为（2，0），所以③错误； ∵抛物线开口向上，对称轴为直线x＝﹣1，﹣1＜1， ∴a+b+c＞a﹣b+c， ∵直线y2＝mx+n（m≠0）经过抛物线的顶点坐标为B（﹣1，﹣3）， ∴a﹣b+c＝﹣m+n， ∴a+b+c＞﹣m+n，所以④正确； ∵当﹣4＜x＜﹣1时，y2＞y1， ∴不等式mx+n＞ax2+bx+c的解集为﹣4＜x＜﹣1．所以⑤正确． 故选：A． 22．二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的对称轴是直线x＝﹣2，该抛物线与x轴的一个交点在点（﹣4，0）和点（﹣3，0）之间，其部分图象如图所示，下列结论：①4a﹣b＝0，②a+b+c＜0，③b2+3b＝4ac，④若点（﹣5，n）在二次函数的图象上，则关于x的不等式ax2+bx+c﹣n＞0的解集是﹣5＜x＜1，其中正确的是（　　） A．①②③ B．②③④ C．①②④ D．①②③④ 【答案】D 【解答】解：∵抛物线的对称轴为直线， ∴b＝4a， ∴4a﹣b＝0，①正确； ∵抛物线的顶点坐标为（﹣2，3）， ∴， ∴b2+12a＝4ac， ∵b＝4a， ∴b2+3b＝4ac，③正确； ∵抛物线与x轴的一个交点在点（﹣4，0）和点（﹣3，0）之间， ∴由抛物线的对称性可知，另一个交点在（﹣1，0）和（0，0）之间， ∴x＝0时，y＜0， ∴c＜0， ∵a＜0， ∴b＝4a＜0， ∴a+b+c＜0，②正确； ∵抛物线的顶线坐标为（﹣2，3），点（﹣5，n）在二次函数的图象， ∴抛物线与直线y＝n有两个交点， ∴交点的横坐标即为方程ax2+bx+c＝n的两个实数根， ∵点（﹣5，n）在二次函数的图象， ∴﹣5为其中一个实数根， 根据函数图象对称性，对称轴为直线x＝﹣2， ∴另一个实数根是1， ∴关于x的不等式ax2+bx+c﹣n＞0的解集是﹣5＜x＜1， ∴④正确， 故选：D． 23．在平面直角坐标系中，直线y1＝ax+b经过抛物线的顶点，其中ab≠0，下列四个结论，①6a+b＝0；②当x＞﹣3时，y2随自变量x的增大而增大；③y1与y2的另一个交点的横坐标为﹣2；④当﹣3≤x≤﹣2时，y1≥y2．正确结论的个数（　　） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】B 【解答】解：∵抛物线的顶点横坐标为， 把代入， 得顶点横坐标为：， ∴抛物线的顶点坐标为， ∵直线y1＝ax+b经过抛物线的顶点， ∴， 整理得b（b+6a）＝0， ∵ab≠0， ∴a≠0，b≠0， ∴6a+b＝0， 故①正确； ∵6a+b＝0， ∴b＝﹣6a， ∴抛物线的对称轴为直线， 若a＞0，抛物线开口向上，当x＞﹣3时，y2随自变量x的增大而增大， 若a＜0，抛物线开口向下，当x＞﹣3时，y2随自变量x的增大而减小， 故②不正确； 令ax2﹣bx＝ax+b， 即ax2﹣（a+b）x﹣b＝0， ∵b＝﹣6a， ∴ax2﹣（﹣5a）x+6a＝0， ∴x2+5x+6＝0， 解得：x1＝﹣2，x2＝﹣3， ∵直线与抛物线的一个交点为抛物线的顶点，其横坐标对应x2＝﹣3， ∴y1与y2的另一个交点的横坐标为﹣2， 故③正确； ＝﹣[ax2﹣（a+b）x﹣b] ＝﹣[ax2﹣（﹣5a）x+6a] ＝﹣（ax2+5ax+6a） ＝﹣a（x+2）（x+3）， 当a＞0时，﹣a＜0， 则当﹣3≤x≤﹣2时，x+2≤0，x+3≥0， ∴﹣a（x+2）（x+3）≥0， ∴y1﹣y2≥0， ∴y1≥y2， 当a＜0时，﹣a＞0， 则当﹣3≤x≤﹣2时，x+2≤0，x+3≥0， ∴y1﹣y2≤0， ∴y1≤y2， 故④不正确． 综上，正确的结论为①③，共2个． 故选：B． 24．如图，函数y＝ax2+c与y＝mx+n的图象交于A（﹣1，p），B（4，q）两点，则关于x的不等式ax2+mx+c＞n的解集是　 ． 【答案】x＞1或x＜﹣4． 【解答】解：如图， 由ax2+mx+c＞n得， ax2+c＞﹣mx+n， 即抛物线y＝ax2+c对应比直线y＝﹣mx+n高的自变量x的取值， 从图象可得：x＞1或x＜﹣4， 故答案为：x＞1或x＜﹣4． 25．如图，函数y＝ax2+c与y＝mx+n的图象交于A（﹣1，p），B（3，q）两点，则关于x的不等式ax2﹣mx+c＞n的解集是　 ． 【答案】x＜﹣1或x＞3． 【解答】解：观察函数图象可知：当x＜﹣1或x＞3时，直线y＝mx+n在抛物线y＝ax2+c的下方， ∴关于x的不等式ax2﹣mx+c＞n的解集是x＜﹣1或x＞3． 故答案为：x＜﹣1或x＞3． 26．二次函数y1＝ax2+bx+c与一次函数y2＝mx+n的图象如图所示，则满足ax2+bx+c＞mx+n的x的取值范围是 　 　 ． 【答案】﹣3＜x＜0 【解答】解：由图可知，﹣3＜x＜0时二次函数图象在一次函数图象上方， 所以，满足ax2+bx+c＞mx+n的x的取值范围是﹣3＜x＜0． 故答案为：﹣3＜x＜0 27．已知二次函数y＝﹣x2﹣2x+3的图象，点P是抛物线的顶点，与x轴相交于A、B两点，与y轴交于C点（如图所示），点D在二次函数的图象上，且D与C关于对称轴对称，一次函数的图象过点B、D，直线DB的解析式为　 ，一次函数值大于二次函数值的x的取值范围 　 ，△DBP面积为　　 ． 【答案】y＝﹣x+1；x＜﹣2或x＞1；3． 【解答】解：抛物线y＝﹣x2﹣2x+3， 配方得：y＝﹣（x+1）2+4， 所以顶点为P（﹣1，4），对称轴为直线x＝﹣1， 与x轴交点：﹣x2﹣2x+3＝0， 即x2+2x﹣3＝0，（x+3）（x﹣1）＝0， 得A（﹣3，0）、B（1，0）， 令x＝0，y＝3，得C（0，3）， 点D与C关于对称轴x＝﹣1对称， 故D（﹣2，3）． 设直线DB的解析式为y＝kx+b， 将D（﹣2，3）、B（1，0）代入上式， 可得：， 解得：k＝﹣1，b＝1， 所以直线DB的解析式为y＝﹣x+1； 联立， 解得：x＝﹣2或x＝1， 故由图象可知一次函数值大于二次函数值时， x＜﹣2或x＞1； 水平宽（最左点D到最右点B的横坐标差）＝1﹣（﹣2）＝3； 过点P作竖直线x＝﹣1，交直线DB于点Q， 则Q（﹣1，2）， 铅垂高＝PQ＝4﹣2＝2． △DBP面积， 故答案为：y＝﹣x+1；x＜﹣2或x＞1；3． 28．如图所示，在直角坐标平面中，抛物线y＝ax2+bx+c与直线y＝mx+n相交于D（﹣2，3）和B（1，0），则不等式ax2+bx+c＜mx+n的解集是　 ． 【答案】x＜﹣2或x＞1． 【解答】解：借助图象可得抛物线在直线下方的自变量x的取值范围为x＜﹣2或x＞1， ∴不等式ax2+bx+c＜mx+n 的解集是x＜﹣2或x＞1， 故答案为：x＜﹣2或x＞1． 29．二次函数y＝﹣x2+2x+4，当﹣1≤x≤2时，则y的取值范围是　 　 ． 【答案】1≤y≤5． 【解答】解：∵二次函数y＝﹣x2+2x+4＝﹣（x﹣1）2+5， ∴对称轴为直线x＝1，且函数图象开口向下， 当﹣1≤x≤2时，x＝1时二次函数的最大值为5； 当x＝﹣1时，二次函数的最小值为：﹣（﹣1）2+2×（﹣1）+4＝1， ∴y的取值范围是1≤y≤5． 故答案为：1≤y≤5． 30．如图是二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象的一部分，其对称轴是直线x＝2，与x轴的一个交点是（5，0），则不等式ax2+bx+c＞0的解集是 　 ． 【答案】﹣1＜x＜5． 【解答】解：∵二次函数y＝ax2+bx+c的图象的对称轴是直线x＝2，与x轴的一个交点为（5，0）， ∴抛物线与x轴的另一个交点为（﹣1，0）， 由图象可知：不等式ax2+bx+c＞0的解集为﹣1＜x＜5； 故答案为：﹣1＜x＜5． 31．如图，二次函数y＝ax2+bx+c（a，b，c为常数，a≠0）的图象与x轴交于点（3，0），顶点坐标为（1，3），则不等式ax2+bx+c＞0的解集为 　 　 ． 【答案】﹣1＜x＜3． 【解答】解：∵抛物线的顶点坐标为（1，3）， ∴抛物线的对称轴为直线x＝1， ∵抛物线与x轴的一个交点坐标为（3，0）， ∴抛物线与x轴的另一个交点坐标为（﹣1，0）， ∵当﹣1＜x＜3时，y＞0， ∴不等式ax2+bx+c＞0的解集为﹣1＜x＜3． 故答案为：﹣1＜x＜3． 32．如图，一次函数y1＝kx+1与二次函数交于A，B两点，且A（1，0），抛物线的对称轴是直线x＝﹣1． （1）求k和a，b的值； （2）求点B的坐标并写出不等式kx+1＞ax2+bx﹣3的解集． 【答案】（1）k＝﹣1，a＝1，b＝2； （2）（﹣4，5）；﹣4＜x＜1． 【解答】解：（1）把A（1，0）分别代入解析式y1＝kx+1与中，得k+1＝0，a+b﹣3＝0， 由抛物线对称轴为直线x＝﹣1， 故即b＝2a， 故k＝﹣1，a+2a﹣3＝0， 解得a＝1， 故b＝2； 综上所述，k＝﹣1，a＝1，b＝2． （2）根据题意，k＝﹣1，a＝1，b＝2． 故函数解析式为y1＝﹣x+1与， 设点B的横坐标为xB，根据xB，1是方程x2+2x﹣3＝﹣x+1的两个根， 故x2+3x﹣4＝0， 故xB×1＝﹣4， 解得xB＝﹣4， 故y1＝﹣x+1＝4+1＝5， 故点B（﹣4，5）， 根据题意，得不等式kx+1＞ax2+bx﹣3的解集为﹣4＜x＜1． 33．二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象如图所示，根据图象解答下列问题． （1）写出方程ax2+bx+c＝0的两个根：　 　 ； （2）写出不等式ax2+bx+c＜0的解集：　 ； （3）写出y随x的增大而减小的自变量x的取值范围　 ； （4）若方程ax2+bx+c＝k有两个不相等的实数根，直接写出k的取值范围：　 ． 【答案】（1）1和3；（2）x＜1或x＞3；（3）x＞2；（4）k＜2． 【解答】解：（1）由图象可知，图象与x轴交于（1，0）和（3，0）点， 则方程ax2+bx+c＝0的两个根为x＝1和x＝3， 故答案为：1和3； （2）由图象可知当x＜1或x＞3时，不等式ax2+bx+c＜0； 故答案为：x＜1或x＞3； （3）由图象可知，y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象的对称轴为直线x＝2，开口向下， 即当x＞2时，y随x的增大而减小； 故答案为：x＞2． （4）由图象可知，二次函数y＝ax2+bx+c＝k有两个不相等的实数根，则k必须小于y＝ax2+bx+c（a≠0）的最大值， 故答案为：k＜2． 34．如图，抛物线y＝x2+bx与直线y＝kx+2相交于点A（﹣2，0）和点B． （1）求b和k的值； （2）求点B的坐标，并结合图象写出不等式kx+2≤x2+bx的解集． 【答案】（1）b＝2，k＝1； （2）B（1，3），x≤﹣2或x≥1． 【解答】解：（1）把A（﹣2，0）代入y＝x2+bx得，4﹣2b＝0， 解得b＝2． 把A（﹣2，0）代入y＝kx+2得，﹣2k+2＝0， 解得k＝1； （2）由（1）知：y＝x2+2x，y＝x+2， 联立，解得，， ∴B（1，3）， 由图象可知：kx+2≤x2+bx的解集为x≤﹣2或x≥1． 35．如图，二次函数的图象与x轴交于点A，B（A在B的左侧），与一次函数y2＝﹣x+b的图象交于A，C两点． （1）求b的值； （2）求△ABC的面积； （3）根据图象，直接写出当y1＞y2时x的取值范围． 【答案】（1）b＝﹣1； （2）6； （3）x＜﹣1或x＞2． 【解答】解：（1）当y1＝0时， x2﹣2x﹣3＝0， 解得：x1＝﹣1，x2＝3， ∴抛物线与x轴交于A（﹣1，0），B（3，0）． ∵直线经过A点， ∴0＝﹣（﹣1）+b， ∴b＝﹣1； （2）由（1）知y2＝﹣x﹣1， 联立得：x2﹣2x﹣3＝﹣x﹣1， ∴x2﹣x﹣2＝0 ∴x＝﹣1（舍），x＝2， 把x＝2代入y＝﹣x﹣1，得y＝﹣3， ∴C（2，﹣3）， ∴S△ABC[3﹣（﹣1）]×|﹣3|＝6； （3）当x＜﹣1或x＞2时，抛物线在直线的上方， ∴当y1＞y2时，x＜﹣1或x＞2． 36．已知二次函数y＝x2﹣（a+1）x+a． （1）证明这个二次函数的图象经过点（1，0）； （2）点（x1，y1），（x2，y2）在这个二次函数图象上，当x1+x2＝3，x2＞x1时，都有y2＞y1，求a的取值范围． （3）关于x不等式x2﹣（a+1）x+a＜0有且只有一个整数解时，直接写出a的取值范围． 【答案】（1）∵把x＝1代入二次函数y＝x2﹣（a+1）x+a得：y＝12﹣（a+1）+a＝1﹣a﹣1+a＝0， ∴经过点（1，0）． （2）a≤2； （3）2＜a≤3或﹣1≤a＜0． 【解答】（1）证明：∵把x＝1代入二次函数y＝x2﹣（a+1）x+a得：y＝12﹣（a+1）+a＝1﹣a﹣1+a＝0， ∴经过点（1，0）． （2）解：∵点（x1，y1），（x2，y2）在这个二次函数图象上，二次函数y＝x2﹣（a+1）x+a， ∴，， ∴， ∵x2＞x1， ∴x2﹣x1＞0， 又∵x1+x2＝3， ∴y2﹣y1＝（x2﹣x1）（3﹣a﹣1）＝（x2﹣x1）（2﹣a）， ∵要使y2＞y1恒成立， ∴y2﹣y1＞0，即（x2﹣x1）（2﹣a）＞0， ∴2﹣a＞0， 解得：a＜2； （3）解：∵x2﹣（a+1）x+a＜0， ∴（x﹣1）（x﹣a）＜0， ∵（x﹣1）（x﹣a）＝0， ∴x＝a，x＝1， ∴函数y＝x2﹣（a+1）x+a与x轴交点横坐标为1或a， 当a＜1时，a＜x＜1， ∵关于x不等式x2﹣（a+1）x+a＜0有且只有一个整数解， ∴这个整数解为0， ∴﹣1≤a＜0， 当a＞1时，1＜x＜a， ∵关于x不等式x2﹣（a+1）x+a＜0有且只有一个整数解， ∴这个整数解为2， ∴2＜a≤3； 综上，a的取值范围为2＜a≤3或﹣1≤a＜0． 37．已知一次函数y1＝2x﹣2与二次函数相交于A（3，a）、B（b，﹣6）两点． （1）求a、b的值； （2）直接写出当y1＜y2时，x的取值范围． 【答案】（1）a＝4，b＝﹣2； （2）﹣2＜x＜3． 【解答】解：（1）将（3，a）代入y1＝2x﹣2得a＝6﹣2＝4， 将（b，﹣6）代入y1＝2x﹣2得﹣6＝2b﹣2， 解得b＝﹣2； （2）由（1）知，抛物线经过点（3，4），（﹣2，﹣6）， 由图象可得：当﹣2＜x＜3时，抛物线在直线上方， ∴y1＜y2时x的取值范围是﹣2＜x＜3． 38．已知一次函数y1＝2x+b的图象与二次函数，a，b为常数）的图象交于A，B两点，且A的坐标为（0，1）． （1）求出a，b的值，并写出函数y1，y2的解析式； （2）验证点B的坐标是否为（1，3），并写出当y1≥y2时，x的取值范围； （3）设u＝y1+y2，v＝y1﹣y2，若n≤x≤m时，u随着x的增大而增大，且v也随着x的增大而增大，求n的最小值和m的最大值． 【答案】（1）y1＝2x+1，y2＝x2+x+1； （2）当y1≥y2时，x的取值范围为0≤x≤1； （3）n的最小值为﹣1.5，m的最大值为0.5． 【解答】解：（1）把A（0，1）代入y1＝2x+b得b＝1， 把A（0，1）代入y2＝a（x2+bx+1）得，a＝1， ∴y1＝2x+1，y2＝x2+x+1； （2）解方程组， 解得或， ∴B（1，3）， 作y1＝2x+1，y2＝x2+x+1的图象如下： 由函数图象可知，y1＝2x+1不在y2＝x2+x+1下方时，0≤x≤1， ∴当y1≥y2时，x的取值范围为0≤x≤1； （3）∵u＝y1+y2＝2x+1+x2+x+1＝x2+3x+2＝（x+1.5）2﹣0.25， ∴当x≥﹣1.5时，u随x的增大而增大； v＝y1﹣y2＝（2x+1）﹣（x2+x+1）＝﹣x2+x＝﹣（x﹣0.5）2+0.25， ∴当x≤0.5时，v随x的增大而增大， ∴当﹣1.5≤x≤0.5时，u随着x的增大而增大，且v也随着x的增大而增大， ∵若n≤x≤m时，u随着x的增大而增大，且v也随着x的增大而增大， ∴n的最小值为﹣1.5，m的最大值为0.5． 学科网（北京）股份有限公司 $