4.3 对数讲义-2026-2027学年高一上学期数学人教A版必修第一册

本讲义聚焦高中数学“对数”核心知识点，系统梳理从指数式到对数定义的过渡，涵盖对数概念（含常用与自然对数）、性质（与指数关系、恒等式、特殊值）、运算性质及换底公式与推论，构建层层递进的知识支架。 资料亮点在于题型设计从基础互化到综合应用，如指数对数互化实例、多步对数求值等，培养数学思维中的运算与推理能力。课中辅助教师分层教学，课后助力学生查漏补缺，提升应用意识。

4.3 对数 知识点一、对数的概念 1.对数的定义 一般地，如果ax＝N(a>0，且a≠1)，那么数x叫做以a为底N的对数，记作x＝logaN，其中a叫做对数的底数，N叫做真数. 对数定义的理解：（1）a<0，N取某些值时，logaN不存在，如根据指数的运算性质可知，不存在实数x使＝2成立，所以a不能小于0. （2）a＝0，N≠0时，不存在实数x使ax＝N，无法定义logaN；N＝0时，任意非零实数x，有ax＝N成立，logaN不确定. （3）a＝1，N≠1时，logaN不存在；N＝1，loga1有无数个值，不能确定. 2.常用对数与自然对数 名称 定义 符号 常用对数 以10为底的对数叫做常用对数 log10N记为lgN 自然对数 以e为底的对数叫做自然对数，e是无理数，e=2.71828 logeN记为lnN 知识点二、对数的性质 1.对数的性质 （1）对数与指数的关系：若a>0，且a≠1，则ax＝N⇒logaN＝x. （2）对数恒等式 ①alogaN＝N；②logaax＝x(a>0，且a≠1，N>0). （3）1的对数等于0，loga1＝0(a>0，且a≠1). （4）底数的对数等于1，logaa＝1(a>0，且a≠1). （5）零和负数没有对数. 2.对数的运算性质 如果a>0，且a≠1，M>0，N>0，那么： ①loga(M·N)＝logaM＋logaN. ②loga＝logaM－logaN. ③logaMn＝nlogaM(n∈R). 知识点三、换底公式 1.换底公式：logab＝(a>0，且a≠1；c>0，且c≠1；b>0). 2.对数换底公式的重要推论： 推论1：logab=.(b>0，且b≠1；a>0，且a≠1). 推论2：(a>0，且a≠1，b>0). 推论3：logab·logbc＝logac. logab·logbc·logcd＝logad(a>0，b>0，c>0，d>0，且a≠1，b≠1，c≠1). 题型一：指数式与对数式的互化 例1.将下列对数形式化成指数形式或将指数形式转化为对数形式： （1）33＝27；（2）＝-3；（3）＝16；（4）lg 1 000＝3. 解：（1）∵33＝27，∴log327＝3. （2）∵＝－3，∴＝8. （3）∵＝16，∴＝－2. （4）∵lg 1 000＝3，∴103＝1 000. 跟踪训练： 1.将下列指数式化为对数式，对数式化为指数式： （1）3－2＝； （2）＝125； （3）＝－3； （4） ＝－6(x>0，且x≠1)；（5）； （6）lg0.1=-1. 解：（1）log3＝－2. （2） ＝－3. （3）＝27； （4）()－6＝64； （5）ln10≈2.303； （6）10-1=0.1. 题型二：利用对数的概念和性质求值 例1.求下列各式的值. （1）log981＝ . （2）log0.41＝ . （2）ln e2＝ . 解：（1）设log981＝x，所以9x＝81＝92，故x＝2，即log981＝2. （2）设log0.41＝x，所以0.4x＝1＝0.40，故x＝0，即log0.41＝0. （3）设ln e2＝x，所以ex＝e2，故x＝2，即ln e2＝2. 例2.求下列各式中x的值： （1）log2(log5x)＝0； （2）log3(lg x)＝1； (3)x＝. 解：（1）∵log2(log5x)＝0，∴log5x＝20＝1，∴x＝51＝5. （2）∵log3(lg x)＝1，∴lg x＝31＝3，∴x＝103＝1 000. （3）x＝＝7÷＝7÷5＝. 跟踪训练： 1.（1）log27x＝，则x= ； （2）logx16＝－4，则x= ； （3）log28= ； （4）log9= ； （5）ln e= ； （6）lg 1= . 解：（1）由log27x＝得，x＝＝3－2＝.故答案为：. （2）由logx16＝－4，得x－4＝16，即x4＝，又x>0，且x≠1，∴x＝. 故答案为： （3）设log28＝x，则2x＝8＝23.∴x＝3.∴log28＝3.故答案为：3. （4）设log9＝x，则9x＝＝9－1，∴x＝－1.∴log9＝－1.故答案为：-1. （5）ln e＝1.故答案为：1 （6）lg 1＝0.故答案为：0. 2.求下列各式中x的值. （1）log8[log7(log2x)]＝0； （2）log2[log3(log2x)]＝1. （3）log4[log3(log2x)]＝0. 解：（1）由log8[log7(log2x)]＝0，得log7(log2x)＝1，即log2x＝7，∴x＝27. （2）由log2[log3(log2x)]＝1，得log3(log2x)＝2，∴log2x＝9，∴x＝29. （3）由log4[log3(log2x)]＝0，得log3(log2x)=1，则log2x=3，∴x＝23. 题型三：利用对数的运算性质进行化简和求值 例1.计算下列各式的值： （1）(lg 5)2＋2lg 2－(lg 2)2； （2）； （3）log535－2log5＋log57－log51.8. 解：（1）原式＝(lg 5)2＋(2－lg 2)lg 2 ＝(lg 5)2＋(1＋lg 5)lg 2 ＝(lg 5)2＋lg 2·lg 5＋lg 2 ＝(lg 5＋lg 2)·lg 5＋lg 2 ＝lg 5＋lg 2＝1. （2）原式＝. （3）原式＝log5(5×7)－2(log57－log53)＋log57－log5 ＝log55＋log57－2log57＋2log53＋log57－2log53＋log55 ＝2log55＝2. 跟踪训练： 1.计算下列各式的值： （1）lg－lg＋lg； （2）lg 25＋lg 8＋lg 5×lg 20＋(lg 2)2. （3）. 解：（1）方法一：原式＝(5lg 2－2lg 7)－×lg 2＋(2lg 7＋lg 5) ＝lg 2－lg 7－2lg 2＋lg 7＋lg 5＝lg 2＋lg 5＝(lg 2＋lg 5)＝lg 10＝. 方法二：原式＝lg－lg 4＋lg ＝lg＝lg(·)＝lg＝. （2）原式＝2lg 5＋2lg 2＋lg 5×(2lg 2＋lg 5)＋(lg 2)2 ＝2lg 10＋(lg 5＋lg 2)2＝2＋(lg 10)2＝2＋1＝3. （3）原式=＝＋1＋9×－0＝＋1＋＝. 题型四：换底公式的应用 例1.计算：（1）(log43＋log83)(log32＋log92)； （2）. 解：（1）原式＝＝＝＝. （2）原式＝＝·log32·3log23＝. 例2.已知log189＝a,18b＝5. （1）用a，b表示log3645. （2）用a，b表示log915. 解：（1）∵log189＝a,18b＝5，∴log185＝b. 于是log3645＝. （2）因为18b＝5，所以log185＝b. 所以log915＝. 跟踪训练： 1.计算： （1）（log43+log83）（log32+log92）+log3； （2）. 解：（1）原式 ； （2）原式＝﹣2（lg2+lg5）＝﹣26＝4. 2.（1）已知a＝lg5，则lg20可以用a表示为　 . 解：a＝lg5，所以.故答案为：2﹣a. （2）已知a＝lg2，b＝lg3，则用a、b表示对数log415＝　 . 解：∵a＝lg2，b＝lg3，∴.故答案为：. （3）已知2a＝3，b＝log25，则log815＝　 （用a，b表示）. 解：由2a＝3得a＝log23，且b＝log25，所以.故答案为：. 题型五：对数运算性质的综合应用 例1.（1）设3a＝4b＝36，求的值； （2）已知2x＝3y＝5z，且，求x，y，z. 解：（1）方法一：由3a＝4b＝36，得a＝log336，b＝log436， 由换底公式得＝log363，＝log364， ∴＝2log363＋log364＝log3636＝1. 方法二：由3a＝4b＝36，两边取以6为底数的对数，得alog63＝blog64＝log636＝2， ∴＝log63，＝log64＝log62，∴＝log63＋log62＝log66＝1. (2)令2x＝3y＝5z＝k(k>0)， ∴x＝log2k，y＝log3k，z＝log5k， ∴＝logk2，＝logk3，＝logk5， 由＝1， 得logk2＋logk3＋logk5＝logk30＝1，∴k＝30， ∴x＝log230＝1＋log215， y＝log330＝1＋log310，z＝log530＝1＋log56. 跟踪训练： 1.已知3a＝5b＝c，且＝2，求c的值. 解：∵3a＝5b＝c，∴a＝log3c，b＝log5c， ∴＝logc3，＝logc5，∴＝logc15. 由logc15＝2得c2＝15，即c＝. 2.若3a＝12，b＝log412，求的值. 解：3a＝12⇒a＝log312，又b＝log412， 所以. 3.已知2m＝9n＝6，求的值. 解：由2m＝9n＝6，可得m＝log26，n＝log96， 所以 1.(多选)下列说法正确的有(　　) A.只有正数有对数 B.任何一个指数式都可以化成对数式 C.以5为底25的对数等于2 D.＝a成立 解：B错误，如(－2)2＝4就不能化成对数式，D错误，对数式的真数a应注明大于0. 故选：AC. 2.求值：2log510＋log50.25等于(　　) A.0 B.1 C.2 D.4 解：2log510＋log50.25＝log5100＋log50.25＝log525＝2.故选：C. 3.2－3＝化为对数式为(　　) A.＝－3 B.＝2 C.log2＝－3 D.log2(－3)＝ 解：根据对数的定义知选C选正确.故选：C. 4.若a>0，a≠1，x>y>0，n∈N*，则下列各式： ①(logax)n＝nlogax；②(logax)n＝logaxn；③logax＝－loga；④＝logax；⑤. 其中正确的有(　　) A.2个 B.3个 C.4个 D.5个 解：根据对数的运算性质logaMn＝nlogaM(M>0，a>0，且a≠1)知③与⑤正确.故选：A. 5.若lgx5＝y，lgy＝1，则x＝　 　. 解：若lgx5＝5lgx＝y，lgy＝1，则y＝10，x＝100.故答案为：100. 6.　 　. 解：原式 .故答案为：1. 7.已知2a＝5b＝10，则＝　 　. 解：因为2a＝5b＝10，所以a＝log210，b＝log510.根据换底公式得a＝，b＝， 所以＝lg 2＋lg 5＝1.故答案为：1. 8. 　 　. 解：原式＝.故答案为：2. 1.使对数loga(－2a＋1)有意义的a的取值范围为(　　) A.a>且a≠1 B.0<a< C.a>0且a≠1 D.a< 解：由题意知，解得：0<a<.故选：B. 2.log242＋log243＋log244等于(　　) A.1 B.2 C.24 D. 解：log242＋log243＋log244＝log24(2×3×4)＝log2424＝1.故选：A. 3.(多选)下列等式正确的有(　　) A.lg(lg 10)＝0 B.lg(ln e)＝0 C.若lg x＝10，则x＝10 D.若ln x＝e，则x＝e2 解：A项，lg(lg 10)＝lg 1＝0； B项，lg(ln e)＝lg 1＝0； C项，若lg x＝10，则x＝1010； D项，若ln x＝e，则x＝ee.故选：AB. 4.对于a>0且a≠1，下列说法正确的是(　　) ①若M＝N，则logaM＝logaN； ②若logaM＝logaN，则M＝N； ③若logaM2＝logaN2，则M＝N； ④若M＝N，则logaM2＝logaN2. A.①② B.②③④ C.② D.②③ 解：①中若M，N小于或等于0时，logaM＝logaN不成立；②正确；③中M与N也可能互为相反数；④中当M＝N＝0时不正确.故选：C 5.已知lg 2＝a，lg 3＝b，则log36等于(　　) A. B. C. D. 解：log36＝.故选：B. 6.－－lg 0.01＋ln e3等于(　　) A.14 B.0 C.1 D.6 解：－－lg 0.01＋ln e3＝4－－lg＋3＝4－32－(－2)＋3＝0.故选：B. 7.设log83＝p，log35＝q，则lg 5等于(　　) A.p2＋q2 B.(3p＋2q) C. D.pq 解：∵log83＝，∴lg 3＝3plg 2. ∵log35＝＝q，∴lg 5＝qlg 3＝3pqlg 2＝3pq(1－lg 5)，∴lg 5＝.故选：C. 8.已知log7[log3(log2x)]＝0，那么＝ . 解：∵log7[log3(log2x)]＝0，∴log3(log2x)＝1，∴log2x＝3，∴23＝x，∴. 故答案为：. 9.若a＝lg 2，b＝lg 3，则的值为 . 解：∵a＝lg 2，∴10a＝2.∵b＝lg 3，∴10b＝3.∴.故答案为：. 10.若logab·logbc·logc3＝2，则a的值为 . 解：由已知可得，即＝2，∴lg 3＝2lg a，∴a2＝3，a＝.故答案为：. 11.化简求值 . 解：原式lg25+lg4+2． 故答案为：． 12.已知a，b，c是不等于1的正数，且ax＝by＝cz，＝0，则abc的值为 . 解：设ax＝by＝cz＝t(t>0)，则x＝logat，y＝logbt，z＝logct， ∴＝logta＋logtb＋logtc＝logt(abc)＝0， ∴abc＝t0＝1，即abc＝1.∴lg a＋lg b＋lg c＝lg(abc)＝0，∴abc＝1.故答案为：1. 13.计算： （1）log29×log34+2log510+log0.24. （2）e2ln3﹣log49•log278+lg4+lg25. （3）log25×log34×log527+log2（log216）. （4）. 解：（1）原式=log29×log34+2log510+log0.24＝4×log23×log32+log5100﹣log54＝4+log525＝4+2＝6. （2）原式=e2ln3﹣log49•log278+lg4+lg25＝e2ln3lg（4×25） ＝eln9﹣log23•log32+lg100＝9﹣1+2＝10. （3）原式 ＝log25×2log32×3log53+log24 ＝6+2＝8. （4）原式. 14.解方程： （1）log2[log3（3x﹣6）]＝1. （2）. 解：（1）由指数与对数的互化得log3（3x﹣6）＝2⇒3x﹣6＝32＝9， 解得x＝5，经检验，符合题意. （2）方程可变形为，所以，解得x＝4. 15.已知logax＋3logxa－logxy＝3(a>1)，若设x＝at. （1）试用a，t表示y； （2）若当0<t≤2时，y有最小值8，求a和当y取最小值时x的值. 解：（1）由换底公式，得logax＋＝3(a>1)，所以logay＝(logax)2－3logax＋3. 当x＝at时，logax＝logaat＝t，所以logay＝t2－3t＋3.所以y＝(t≠0). (2)y＝，因为0<t≤2，a>1， 所以当t＝时，ymin＝＝8. 所以a＝16，此时x＝＝64. 16.若，试确定x，y，z的大小关系. 解：由，可得：，则，所以x=. 由，可得：，则，所以y=. 由，可得：，则，所以z=. ∵310>215>56，∴y>x>z. 1 学科网（北京）股份有限公司 $ 4.3 对数 知识点一、对数的概念 1.对数的定义 一般地，如果ax＝N(a>0，且a≠1)，那么数x叫做以a为底N的对数，记作x＝logaN，其中a叫做对数的底数，N叫做真数. 对数定义的理解：（1）a<0，N取某些值时，logaN不存在，如根据指数的运算性质可知，不存在实数x使＝2成立，所以a不能小于0. （2）a＝0，N≠0时，不存在实数x使ax＝N，无法定义logaN；N＝0时，任意非零实数x，有ax＝N成立，logaN不确定. （3）a＝1，N≠1时，logaN不存在；N＝1，loga1有无数个值，不能确定. 2.常用对数与自然对数 名称 定义 符号 常用对数 以10为底的对数叫做常用对数 log10N记为lgN 自然对数 以e为底的对数叫做自然对数，e是无理数，e=2.71828 logeN记为lnN 知识点二、对数的性质 1.对数的性质 （1）对数与指数的关系：若a>0，且a≠1，则ax＝N⇒logaN＝x. （2）对数恒等式 ①alogaN＝N；②logaax＝x(a>0，且a≠1，N>0). （3）1的对数等于0，loga1＝0(a>0，且a≠1). （4）底数的对数等于1，logaa＝1(a>0，且a≠1). （5）零和负数没有对数. 2.对数的运算性质 如果a>0，且a≠1，M>0，N>0，那么： ①loga(M·N)＝logaM＋logaN. ②loga＝logaM－logaN. ③logaMn＝nlogaM(n∈R). 知识点三、换底公式 1.换底公式：logab＝(a>0，且a≠1；c>0，且c≠1；b>0). 2.对数换底公式的重要推论： 推论1：logab=.(b>0，且b≠1；a>0，且a≠1). 推论2：(a>0，且a≠1，b>0). 推论3：logab·logbc＝logac. logab·logbc·logcd＝logad(a>0，b>0，c>0，d>0，且a≠1，b≠1，c≠1). 题型一：指数式与对数式的互化 例1.将下列对数形式化成指数形式或将指数形式转化为对数形式： （1）33＝27；（2）＝-3；（3）＝16；（4）lg 1 000＝3. 跟踪训练： 1.将下列指数式化为对数式，对数式化为指数式： （1）3－2＝； （2）＝125； （3）＝－3； （4） ＝－6(x>0，且x≠1)；（5）； （6）lg0.1=-1. 题型二：利用对数的概念和性质求值 例1.求下列各式的值. （1）log981＝ . （2）log0.41＝ . （2）ln e2＝ . 例2.求下列各式中x的值： （1）log2(log5x)＝0； （2）log3(lg x)＝1； (3)x＝. 跟踪训练： 1.（1）log27x＝，则x= ； （2）logx16＝－4，则x= ； （3）log28= ； （4）log9= ； （5）ln e= ； （6）lg 1= . 2.求下列各式中x的值. （1）log8[log7(log2x)]＝0； （2）log2[log3(log2x)]＝1. （3）log4[log3(log2x)]＝0. 题型三：利用对数的运算性质进行化简和求值 例1.计算下列各式的值： （1）(lg 5)2＋2lg 2－(lg 2)2； （2）； （3）log535－2log5＋log57－log51.8. 跟踪训练： 1.计算下列各式的值： （1）lg－lg＋lg； （2）lg 25＋lg 8＋lg 5×lg 20＋(lg 2)2. （3）. 题型四：换底公式的应用 例1.计算：（1）(log43＋log83)(log32＋log92)； （2）. 例2.已知log189＝a,18b＝5. （1）用a，b表示log3645. （2）用a，b表示log915. 跟踪训练： 1.计算： （1）（log43+log83）（log32+log92）+log3； （2）. 2.（1）已知a＝lg5，则lg20可以用a表示为　 . （2）已知a＝lg2，b＝lg3，则用a、b表示对数log415＝　 . （3）已知2a＝3，b＝log25，则log815＝　 （用a，b表示）. 题型五：对数运算性质的综合应用 例1.（1）设3a＝4b＝36，求的值； （2）已知2x＝3y＝5z，且，求x，y，z. 跟踪训练： 1.已知3a＝5b＝c，且＝2，求c的值. 2.若3a＝12，b＝log412，求的值. 3.已知2m＝9n＝6，求的值. 1.(多选)下列说法正确的有(　　) A.只有正数有对数 B.任何一个指数式都可以化成对数式 C.以5为底25的对数等于2 D.＝a成立 2.求值：2log510＋log50.25等于(　　) A.0 B.1 C.2 D.4 3.2－3＝化为对数式为(　　) A.＝－3 B.＝2 C.log2＝－3 D.log2(－3)＝ 4.若a>0，a≠1，x>y>0，n∈N*，则下列各式： ①(logax)n＝nlogax；②(logax)n＝logaxn；③logax＝－loga；④＝logax；⑤. 其中正确的有(　　) A.2个 B.3个 C.4个 D.5个 5.若lgx5＝y，lgy＝1，则x＝　 　. 6.　 　. 7.已知2a＝5b＝10，则＝　 　. 8. 　 　. 1.使对数loga(－2a＋1)有意义的a的取值范围为(　　) A.a>且a≠1 B.0<a< C.a>0且a≠1 D.a< 2.log242＋log243＋log244等于(　　) A.1 B.2 C.24 D. 3.(多选)下列等式正确的有(　　) A.lg(lg 10)＝0 B.lg(ln e)＝0 C.若lg x＝10，则x＝10 D.若ln x＝e，则x＝e2 4.对于a>0且a≠1，下列说法正确的是(　　) ①若M＝N，则logaM＝logaN； ②若logaM＝logaN，则M＝N； ③若logaM2＝logaN2，则M＝N； ④若M＝N，则logaM2＝logaN2. A.①② B.②③④ C.② D.②③ 5.已知lg 2＝a，lg 3＝b，则log36等于(　　) A. B. C. D. 6.－－lg 0.01＋ln e3等于(　　) A.14 B.0 C.1 D.6 7.设log83＝p，log35＝q，则lg 5等于(　　) A.p2＋q2 B.(3p＋2q) C. D.pq 8.已知log7[log3(log2x)]＝0，那么＝ . 9.若a＝lg 2，b＝lg 3，则的值为 . 10.若logab·logbc·logc3＝2，则a的值为 . 11.化简求值 . 12.已知a，b，c是不等于1的正数，且ax＝by＝cz，＝0，则abc的值为 . 13.计算： （1）log29×log34+2log510+log0.24. （2）e2ln3﹣log49•log278+lg4+lg25. （3）log25×log34×log527+log2（log216）. （4）. 14.解方程： （1）log2[log3（3x﹣6）]＝1. （2）. 15.已知logax＋3logxa－logxy＝3(a>1)，若设x＝at. （1）试用a，t表示y； （2）若当0<t≤2时，y有最小值8，求a和当y取最小值时x的值. 16.若，试确定x，y，z的大小关系. 1 学科网（北京）股份有限公司 $