4.4 对数函数 讲义-2026-2027学年高一上学期数学人教A版必修第一册

本讲义聚焦高中数学对数函数核心知识点，系统梳理从定义、定义域、值域到图像特征、单调性、最值及与指数函数关系的完整脉络，通过17个递进题型构建学习支架，衔接指数函数基础，逐步深入复合函数、反函数等综合应用。 资料以题型为单元，每个题型配套解题知识、典例及变式练习，注重抽象能力（数学眼光）培养，如通过定义域求解强化对数意义理解，强调推理能力（数学思维），如单调性与参数求解结合，提升应用意识（数学语言），如指对数不等式解法。课中助力教师分层教学，课后通过过关验收帮助学生查漏补缺，巩固知识体系。

4.4 对数函数 内 容 导 航 题型1 对数函数的定义 题型2 求对数函数的定义域 题型3 求对数型复合函数的定义域 题型4 求对数函数的值域 题型5 求对数型复合函数的值域 题型6 对数函数图象特征与底数的关系 题型7 对数函数及对数型复合函数的图象 题型8 求对数函数及对数型复合函数的单调性 题型9 由对数函数的单调性求解参数 题型10 求对数函数及对数型复合函数的最值 题型11 由对数函数的最值求解参数 题型12 对数值大小的比较 题型13 指数函数与对数函数的关系 题型14 反函数 题型15 对数函数图象与性质的综合应用 题型16 指、对数不等式的解法 题型17 指数函数与对数函数的关系 考 点 演 练 题型1 对数函数的定义 解｜题｜知｜识 一般地，如果a（a＞0，且a≠1）的b次幂等于N，那么数b叫做以a为底N的对数，记作logaN＝b，其中a叫做对数的底数，N叫做真数．即ab＝N，logaN＝b． 底数则要大于0且不为1． 【典例1】函数y的定义域是（　　） A． B． C．（，+∞） D．（，+∞） 【变式1】已知实数a，b满足等式log2a＝log3b，给出下列五个关系式：①a＞b＞1；②b＞a＞1；③a＜b＜1；④b＜a＜1；⑤a＝b．其中可能成立的关系式是　 　 ． 题型2 求对数函数的定义域 解｜题｜知｜识 对数函数的定义域是使对数有意义的自变量取值范围，对于y＝logax，定义域为x＞0． 【典例1】已知集合，则A∩B＝（　　） A．{x|0≤x＜2} B． C． D． 【变式1】函数的定义域为　 　 ． 【变式2】已知函数f（x）（x2﹣2ax+3）． （1）若f（x）的定义域为R，求实数a的取值范围； （2）若函数f（x）的值域为R，求实数a的取值范围； （3）若函数f（x）的值域为（﹣∞，﹣1]，求实数a的值． 题型3 求对数型复合函数的定义域 解｜题｜知｜识 对数型复合函数的定义域是使整个复合函数有意义的自变量取值范围． 【典例1】已知函数f（x）＝ln（mx2﹣mx+3），则下列选项正确的是（　　） A．若f（x）的定义域为R，则m∈（0，12） B．若f（x）的值域为R，则m∈（12，+∞） C．若f（x）的定义域为（﹣2，3），则 D．若f（x）在上单调递增，则m∈（0，+∞） 【变式1】在n＝log（m﹣3）（6﹣m）中，实数m的取值范围是（　　） A．m＞6或m＜3 B．3＜m＜6 C．3＜m＜4或4＜m＜6 D．4＜m＜5 题型4 求对数函数的值域 解｜题｜知｜识 一般地，我们把函数y＝logax（a＞0，且a≠1）叫做对数函数，其中x是自变量，函数的定义域是（0，+∞），值域是R． 定点：函数图象恒过定点（1，0） 【典例1】函数（x∈[2，4]）的值域为（　　） A． B． C．[﹣1，0] D．[0，1] 【变式1】函数的值域为A，的定义域为B． （1）求A； （2）若B∩∁RA＝∅，求实数a的取值范围． 题型5 求对数型复合函数的值域 解｜题｜知｜识 一般地，我们把函数y＝logax（a＞0，且a≠1）叫做对数函数，其中x是自变量，函数的定义域是（0，+∞），值域是R． 对数型复合函数的值域是指复合函数输出值的范围． 【典例1】函数的定义域为（　　） A．（﹣∞，﹣1） B． C． D．（﹣∞，﹣1）∪ 【变式1】．已知函数f（x）＝ln|x﹣a|，则（　　） A．f（x）的定义域为R B．f（x）的值域为R C．f（x）在（a，+∞）上单调递增 D．f（x）的图象关于直线x＝a对称 【变式2】已知函数f（x），则下列结论正确的是（　　） A．当a＝2时，f（x）的值域为（0，+∞） B．当a＝﹣3时，f（x）的定义域为（﹣∞，﹣1）∪（3，+∞） C．f（x）的图象关于直线x＝1对称 D．若f（x）的定义域为R，则实数a的取值范围是（1，+∞） 【变式3】已知函数．若f（x）的值域是R，则实数a的取值范围是 　 　 ． 题型6 对数函数图象特征与底数的关系 解｜题｜知｜识 对数函数的图象特征与其底数a有关，不同底数的对数函数图象形态不同． 0＜a＜1 a＞1 图像 【典例1】函数的图象恒过定点P，点P在幂函数f（x）的图象上，则f（9）＝（　　） A． B． C．3 D．9 【变式1】下列函数在（0，+∞）上是增函数的是（　　） A． B．f（x）＝2﹣x C．f（x）＝x﹣2 D．f（x）＝lnx 题型7 对数函数及对数型复合函数的图象 解｜题｜知｜识 对数函数的图象特征与其底数a有关，不同底数的对数函数图象形态不同． 0＜a＜1 a＞1 图像 【典例1】下列结论正确的是（　　） A．“每个正方体都有六个面”是全称量词命题 B．函数f（x）＝loga（3x﹣4）（a＞1）过定点 C．函数f（x）＝x3+x﹣3在区间（1，2）内必有零点 D．存在实数m，使得f（x）＝（m2﹣2m+4）xm为幂函数 【变式1】已知函数． （1）若f（6）＝﹣2，求a的值； （2）若，解不等式f（x）≥1． 题型8 求对数函数及对数型复合函数的单调性 解｜题｜知｜识 对数函数的单调性 当a＞1时，y＝logax在（0，+∞）上为增函数 当0＜a＜1时，y＝logax在（0，+∞）上为减函数 【典例1】已知函数f（x）＝log2（x+6）+log2（4﹣x），则下列不正确的为（　　） A．f（x）的定义域是（﹣6，4） B．f（x）有最大值 C．不等式f（x）＜4的解集是（﹣∞，﹣4）∪（2，+∞） D．f（x）在（0，4）上单调递减 【变式1】已知函数，且f（log2m）＞f（2），则实数m的取值范围为（　　） A．（4，+∞） B． C． D． 题型9 由对数函数的单调性求解参数 解｜题｜知｜识 对数函数的单调性 当a＞1时，y＝logax在（0，+∞）上为增函数 当0＜a＜1时，y＝logax在（0，+∞）上为减函数 【典例1】设函数在区间（0，1）上单调递减，则a的最大值为（　　） A．3 B．4 C．5 D．6 【变式1】已知关于x的函数在[﹣4，﹣3]上单调递增，则实数a的取值范围是（　　） A．a≤4 B．a＜4 C．a≤6 D．a＜6 题型10 求对数函数及对数型复合函数的最值 解｜题｜知｜识 对数函数及其复合函数的最值是指函数在定义域内取得的最大值或最小值． 【典例1】已知a＞0且a≠1，函数，若f（x）的最大值与最小值之差为2，则a＝（　　） A．2 B． C．2或 D．或 【变式1】设函数，若f（t）≥1，则的最大值为　　 ． 【变式2】已知函数． （1）若函数f（x）的图象经过点． ①求实数a的值； ②设，若关于x的方程f（x）＝g（x）在[﹣2，2]上有解，求实数m的取值范围； （2）是否存在实数a，使得f（x）存在最小值，且最小值小于﹣1？若存在，求实数a的取值范围；若不存在，说明理由． 【变式3】已知f（x）＝logax+loga（4﹣x）（a＞0，且a≠1），且f（2）＝﹣2． （1）求a的值及f（x）的定义域； （2）求f（x）在[1，3]上的最小值． 题型11 由对数函数的最值求解参数 解｜题｜知｜识 通过已知对数函数的最值，反向求解函数的参数值，要求学生理解最值与参数的关系． 【典例1】已知函数f（x）＝logax（a＞0，且a≠1）在上的最大值和最小值的差为2，则实数a的值为 　　 ． 【变式1】已知函数f（x）＝|log2x|，实数a，b满足0＜a＜b，且f（a）＝f（b），若f（x）在[a2，b]上的最大值为2，则b＝　　 ． 【变式2】已知函数． （1）若f（1）＝1，求不等式f（x）≤2的解集； （2）若函数y＝f（x）+x有两个零点，求a的取值范围； （3）设a＞0，若对任意t∈[﹣1，0]，函数f（x）在区间[t，t+1]上的最大值与最小值的和不大于log23，求a的取值范围． 题型12 对数值大小的比较 解｜题｜知｜识 1、若两对数的底数相同，真数不同，则利用对数函数的单调性来比较． 2、若两对数的底数和真数均不相同，通常引入中间变量（1，﹣1，0）进行比较 3、若两对数的底数不同，真数也不同，则利用函数图象或利用换底公式化为同底的再进行比较．（画图的方法：在第一象限内，函数图象的底数由左到右逐渐增大） 【典例1】已知a＝log1.80.8，b＝1.80.2，c＝0.80.9，则a、b、c的大小关系为（　　） A．a＞b＞c B．c＞a＞b C．b＞c＞a D．c＞b＞a 【变式1】已知，则（　　） A．b＜a＜c B．a＜b＜c C．c＜b＜a D．a＜c＜b 题型13 指数函数与对数函数的关系 解｜题｜知｜识 指数函数和对数函数的关系： （1）对数函数与指数函数互为反函数，它们的定义域、值域互换，图象关于直线y＝x对称． （2）它们都是单调函数，都不具有奇偶性．当a＞l时，它们是增函数；当O＜a＜l时，它们是减函数． （3）指数函数与对数函数的联系与区别： 【典例1】如果一个点是一个指数函数的图象与一个对数函数的图象的公共点，那么称这个点为“好点”．在下面的五个点M（1，1），N（1，2），P（2，1），Q（2，2），G（2，0.5）中，“好点”的个数为（　　） A．0个 B．1个 C．2个 D．3个 【变式1】已知（x1，y1），（x2，y2）是函数y＝2x的图象上两个不同的点，则（　　） A． B． C． D． 题型14 反函数 解｜题｜知｜识 定义 一般地，设函数y＝f（x）（x∈A）的值域是C，根据这个函数中x，y 的关系，用y把x表示出，得到x＝g（y）．若对于y在中的任何一个值，通过x＝g（y），x在A中都有唯一的值和它对应，那么，x＝g（y）就表示y是自变量，x是因变量是y的函数，这样的函数y＝g（x）（y∈C）叫做函数y＝f（x）（x∈A）的反函数，记作y＝f（﹣1）（x） 反函数y＝f（﹣1）（x）的定义域、值域分别是函数y＝f（x）的值域、定义域． 性质 反函数其实就是y＝f（x）中，x和y互换了角色 （1）函数f（x）与他的反函数f﹣1（x）图象关于直线y＝x对称；函数及其反函数的图形关于直线y＝x对称 （2）函数存在反函数的重要条件是，函数的定义域与值域是一一映射； （3）一个函数与它的反函数在相应区间上单调性一致； （4）大部分偶函数不存在反函数（当函数y＝f（x），定义域是{0} 且 f（x）＝C （其中C是常数），则函数f（x）是偶函数且有反函数，其反函数的定义域是{C}，值域为{0} ）．奇函数不一定存在反函数，被与y轴垂直的直线截时能过2个及以上点即没有反函数．若一个奇函数存在反函数，则它的反函数也是奇函数． （5）一切隐函数具有反函数； （6）一段连续的函数的单调性在对应区间内具有一致性； （7）严格增（减）的函数一定有严格增（减）的反函数反函数存在定理； （8）反函数是相互的且具有唯一性； （9）定义域、值域相反对应法则互逆（三反）； （10）原函数一旦确定，反函数即确定（三定）（在有反函数的情况下，即满足（2））． 【典例1】已知函数y＝f（x）的图像与y＝lgx的图像关于直线y＝x对称，则f（lg3）•f（lg4）＝（　　） A．lg7 B．10 C．12 D．107 【变式1】已知函数f（x）＝log2（x+a）的反函数图象过点（0，﹣1），则a＝（　　） A．5 B．4 C．3 D．2 题型15 对数函数图象与性质的综合应用 解｜题｜知｜识 对数函数及其复合函数的最值是指函数在定义域内取得的最大值或最小值． 【典例1】关于函数，下列结论正确的是（　　） A．若函数g（x）＝ln|x﹣3|﹣ln|x+1|，则f（x）与g（x）是同一个函数 B．f（x）在区间（﹣1，3）上单调递增 C．f（x）的图象关于点（1，0）对称 D． 【变式1】已知函数． （1）判断函数f（x）的奇偶性，并给出证明； （2）解不等式：f（x2+1）+f（﹣x2+2x﹣3）＞0； （3）若函数g（x）＝lnx﹣（x﹣1）在（1，+∞）上单调递减，比较f（2）+f（4）+…+f（2n）与2n（n∈N*）的大小关系，并说明理由． 题型16 指、对数不等式的解法 解｜题｜知｜识 不等式的解法 （1）整式不等式的解法（根轴法）． 步骤：正化，求根，标轴，穿线（偶重根打结），定解． 特例： ①一元一次不等式ax＞b解的讨论； ②一元二次不等式ax2+bx+c＞0（a≠0）解的讨论． （2）分式不等式的解法：先移项通分标准化，则 ． （3）无理不等式：转化为有理不等式求解． （4）指数不等式：转化为代数不等式 （5）对数不等式：转化为代数不等式 （6）含绝对值不等式 ①应用分类讨论思想去绝对值； ②应用数形思想； ③应用化归思想等价转化． 注：常用不等式的解法举例（x为正数）： 【典例1】已知集合A＝{x∈N|x2﹣2x﹣3≤0}，B＝{x|log2x≤1}，则A∩B＝（　　） A．{0，1，2} B．{0，1，2，3} C．{1，2} D．{1，2，3} 【变式1】已知集合A＝{x∈N|x2﹣x﹣12＜0}，B＝{x|2x＜8}，则A∩B＝（　　） A．{﹣2，﹣1，0，1，2} B．{0，1，2} C．{1，2} D．（﹣3，3） 题型17 指数函数与对数函数的关系 解｜题｜知｜识 指数函数和对数函数的关系： （1）对数函数与指数函数互为反函数，它们的定义域、值域互换，图象关于直线y＝x对称． （2）它们都是单调函数，都不具有奇偶性．当a＞l时，它们是增函数；当O＜a＜l时，它们是减函数． （3）指数函数与对数函数的联系与区别： 过 关 验 收 1．在y＝log（a﹣2）（5﹣a）中，实数a的取值范围是　 　 ． 2．已知集合P＝{x|x2﹣x＞0}，M＝{x|y＝log2（2x﹣1）}，则（∁RP）∩M＝（　　） A． B． C．[1，2） D．[1，+∞） 3．函数的定义域为（　　） A．（﹣1，2] B．（﹣2，2] C．（﹣2，﹣1）∪（﹣1，2） D．（﹣2，﹣1）∪（﹣1，2] 4．下列函数中，定义域为（2，+∞）的是（　　） A．f（x）＝lg（x2﹣4） B． C． D．f（x）＝ln（2x﹣2） 5．已知loga2＞﹣1（a＞0且a≠1），则a的取值范围是 　 　 ． 6．设函数（a＞0且a≠1，b∈R），已知f（2）＝1，f（loga6）＝2． （1）求f（x）的定义域； （2）是否存在实数λ，使得f（x）在区间[m，n]上的值域是[2m﹣λ，2n﹣λ]？若存在，请求出λ的取值范围；若不存在，请说明理由． 7．已知函数． （1）求f（x）的定义域； （2）若当时，函数g（x）＝f（x）﹣b在（1，+∞）有且只有一个零点，求实数b的范围； （3）是否存在实数a，使得当f（x）的定义域为[m，n]时，值域为[1+logan，1+logam]，若存在，求出实数a的取值范围；若不存在，请说明理由． 8．已知函数． （1）若a＝2，求f（x）在上的值域； （2）当a＞2，解关于x的不等式f（x）＞1． 9．如图，图像①②③④所对应的函数不属于y＝2x中的一个是（　　） A．① B．② C．③ D．④ 10．已知函数y＝loga（x+3）﹣2（a＞0且a≠1）的图象恒过定点坐标　 　 ． 11．若实数x，y，z满足2x﹣2＝3y﹣3＝5z﹣5，则x，y，z的大小关系不可能是（　　） A．x＝y＝z B．x＞y＞z C．z＞y＞x D．z＞x＞y 12．下列结论正确的是（　　） A．“每个正方体都有六个面”是全称量词命题 B．函数f（x）＝loga（3x﹣4）（a＞1）过定点 C．f（x）＝x3+x﹣3在区间（1，2）内必有零点 D．存在实数m，使得f（x）＝（m2﹣2m+4）xm为幂函数 13．已知函数f（x）＝loga（x2﹣x﹣b）． （1）若f（x）的定义域为R，求实数b的范围； （2）若a＝2，f（x）的最小值为3，求实数b的值； （3）若a，b＝0，解不等式f（x）＞﹣1． 14．已知函数f（x）＝logax（a＞0且a≠1）的图象过点（3，1）． （1）若函数g（x）＝f（x+1）+f（5﹣x），求g（x）在区间[1，2]上的最值； （2）对于（1）中的g（x），当x∈[1，2]时，不等式f（m2﹣2m）﹣g（x）≥0有解，求m的取值范围． 15．若a，b∈R，则“a＞b”是log6a＞log6b的（　　） A．必要不充分条件 B．充分不必要条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 16．若函数y＝lg（2+mx）在区间[1，+∞）上单调递增，则实数m的取值范围为（　　） A．（﹣∞，﹣1） B．（0，+∞） C．[﹣2，0） D．（0，1] 17．函数y＝2x|log0.5x|﹣1的图象与x轴的交点个数为（　　） A．1 B．2 C．3 D．4 18．若a＞0，，则a＝　　 ． 19．设函数f（x）＝loga（x+1）（a＞0且a≠1），若其反函数的图象过点（1，2），则a＝（　　） A．2 B．3 C． D． 20．把函数y＝2x的图像关于y轴对称后得到g（x）的图像，则g（x）的图像与函数的图像关于（　　） A．x轴对称 B．y轴对称 C．原点对称 D．直线y＝x对称 21．已知不等式x2﹣3x+t＜0的解集为{x|1＜x＜m，x∈R}． （1）分别求t，m的值； （2）若函数f（x）＝﹣x2+ax+4在区间（﹣∞，1]上递增，求关于x的不等式的解集． 学科网（北京）股份有限公司 $ 4.4 对数函数 内 容 导 航 题型1 对数函数的定义 题型2 求对数函数的定义域 题型3 求对数型复合函数的定义域 题型4 求对数函数的值域 题型5 求对数型复合函数的值域 题型6 对数函数图象特征与底数的关系 题型7 对数函数及对数型复合函数的图象 题型8 求对数函数及对数型复合函数的单调性 题型9 由对数函数的单调性求解参数 题型10 求对数函数及对数型复合函数的最值 题型11 由对数函数的最值求解参数 题型12 对数值大小的比较 题型13 指数函数与对数函数的关系 题型14 反函数 题型15 对数函数图象与性质的综合应用 题型16 指、对数不等式的解法 题型17 指数函数与对数函数的关系 考 点 演 练 题型1 对数函数的定义 解｜题｜知｜识 一般地，如果a（a＞0，且a≠1）的b次幂等于N，那么数b叫做以a为底N的对数，记作logaN＝b，其中a叫做对数的底数，N叫做真数．即ab＝N，logaN＝b． 底数则要大于0且不为1． 【典例1】函数y的定义域是（　　） A． B． C．（，+∞） D．（，+∞） 【答案】A 【解答】解：由题意知，2x﹣1＞0 ① 2x﹣1≠1 ② 3x﹣2＞0 ③ 综合上面三个不等式得到x且x≠1且x， ∴函数的定义域是 故选：A． 【变式1】已知实数a，b满足等式log2a＝log3b，给出下列五个关系式：①a＞b＞1；②b＞a＞1；③a＜b＜1；④b＜a＜1；⑤a＝b．其中可能成立的关系式是　 　 ． 【答案】②④⑤ 【解答】解：实数a，b满足等式log2a＝log3b，即y＝log2x在x＝a处的函数值和y＝log3x在x＝b处的函数值相等， 当a＝b＝1时，log2a＝log3b＝0，此时⑤成立 做出直线y＝1，由图象知，此时log2a＝log3b＝1，可得a＝2，b＝3，由此知②成立，①不成立 作出直线y＝﹣1，由图象知，此时log2a＝log3b＝﹣1，可得a，b，由此知④成立，③不成立 综上知②④⑤ 故答案为：②④⑤． 题型2 求对数函数的定义域 解｜题｜知｜识 对数函数的定义域是使对数有意义的自变量取值范围，对于y＝logax，定义域为x＞0． 【典例1】已知集合，则A∩B＝（　　） A．{x|0≤x＜2} B． C． D． 【答案】D 【解答】解：集合，， 则． 故选：D． 【变式1】函数的定义域为　 　 ． 【答案】（3，5）． 【解答】解：由题意可知，，解得3＜x＜5， 所以原函数的定义域为（3，5）． 故答案为：（3，5）． 【变式2】已知函数f（x）（x2﹣2ax+3）． （1）若f（x）的定义域为R，求实数a的取值范围； （2）若函数f（x）的值域为R，求实数a的取值范围； （3）若函数f（x）的值域为（﹣∞，﹣1]，求实数a的值． 【答案】（1）； （2）． （3）a＝±1． 【解答】解：（1）由f（x）的定义域为R，知x2﹣2ax+3＞0的解集为R， 则Δ＝4a2﹣12＜0，解得：． 所以a的取值范围为； （2）函数f（x）的值域为R等价于u（x）＝x2﹣2ax+3能取到（0，+∞） 上的一切值， 所以只要umin≤0即可，其中u（x）＝x2﹣2ax+3＝（x﹣a）2+3﹣a2≥3﹣a2， 所以，解得：或． 所以实数a的取值范围是．． （3）因为y＝f（x）≤﹣1，所以u（x）＝x2﹣2ax+3的值域为[2，+∞）， 又u（x）＝x2﹣2ax+3＝（x﹣a）2+3﹣a2≥3﹣a2， 则有，解得：a＝±1． 题型3 求对数型复合函数的定义域 解｜题｜知｜识 对数型复合函数的定义域是使整个复合函数有意义的自变量取值范围． 【典例1】已知函数f（x）＝ln（mx2﹣mx+3），则下列选项正确的是（　　） A．若f（x）的定义域为R，则m∈（0，12） B．若f（x）的值域为R，则m∈（12，+∞） C．若f（x）的定义域为（﹣2，3），则 D．若f（x）在上单调递增，则m∈（0，+∞） 【答案】C 【解答】解：若（x）＝lg（mx2﹣mx+3）的定义域为R， 则不等式mx2﹣mx+3＞0在R上恒成立， 当m＝0时，符合题意； 当m≠0时，由，解得0＜m＜12， 综上所述，当f（x）的定义域为R时，m∈[0，12），故A错误； 若f（x）＝lg（mx2﹣mx+3）的值域为R， 则代数式mx2﹣mx+3可以取遍一切正数，可得，解得m≥12，所以B错误； 若f（x）＝lg（mx2﹣mx+3）的定义域为（﹣2，3），则不等式mx2﹣mx+3＞0的解集为（﹣2，3）， 可得，解得， 当时，不等式为，即x2﹣x﹣6＜0解集为（﹣2，3），符合题意，故C正确； 若f（x）＝lg（mx2﹣mx+3）在上单调递增， 则m≠0，t＝mx2﹣mx+3在上为正值，且单调递增，所以， 解得0＜m≤12，可知D错误． 故选：C． 【变式1】在n＝log（m﹣3）（6﹣m）中，实数m的取值范围是（　　） A．m＞6或m＜3 B．3＜m＜6 C．3＜m＜4或4＜m＜6 D．4＜m＜5 【答案】C 【解答】解：n＝log（m﹣3）（6﹣m）， 则，解得3＜m＜4或4＜m＜6， 故实数m的取值范围是3＜m＜4或4＜m＜6． 故选：C． 题型4 求对数函数的值域 解｜题｜知｜识 一般地，我们把函数y＝logax（a＞0，且a≠1）叫做对数函数，其中x是自变量，函数的定义域是（0，+∞），值域是R． 定点：函数图象恒过定点（1，0） 【典例1】函数（x∈[2，4]）的值域为（　　） A． B． C．[﹣1，0] D．[0，1] 【答案】B 【解答】解：，且x∈[2，4]， 令t＝log2x∈[1，2]， 则， 又g（t）的图象开口向上且对称轴为，且g（1）＝g（2）＝0为最大值，当t时，函数取得最小值， 所以． 故选：B． 【变式1】函数的值域为A，的定义域为B． （1）求A； （2）若B∩∁RA＝∅，求实数a的取值范围． 【答案】（1）A＝{x|﹣1≤x≤4}； （2）[﹣3，1]． 【解答】解：（1）因为在上单调递减， 所以当时y有最大值，且最大值为， 当x＝2，y有最小值，且最小值为， 所以A＝{x|﹣1≤x≤4}； （2）由，得， 即（x+a﹣1）（x+a）≤0且x+a≠0， 解得﹣a＜x≤﹣a+1， 所以B＝{x|﹣a＜x≤﹣a+1}， 又因为A＝{x|﹣1≤x≤4}，且B⊆A， 所以， 解得﹣3≤a≤1， 故实数a的取值范围[﹣3，1]． 题型5 求对数型复合函数的值域 解｜题｜知｜识 一般地，我们把函数y＝logax（a＞0，且a≠1）叫做对数函数，其中x是自变量，函数的定义域是（0，+∞），值域是R． 对数型复合函数的值域是指复合函数输出值的范围． 【典例1】函数的定义域为（　　） A．（﹣∞，﹣1） B． C． D．（﹣∞，﹣1）∪ 【答案】B 【解答】解：由题意可得，﹣2x2+x+3＞0， 即2x2﹣x﹣3＜0，解得﹣1＜x． 故选：B． 【变式1】．已知函数f（x）＝ln|x﹣a|，则（　　） A．f（x）的定义域为R B．f（x）的值域为R C．f（x）在（a，+∞）上单调递增 D．f（x）的图象关于直线x＝a对称 【答案】BCD 【解答】解：由|x﹣a|＞0可得x≠a，值域为R，A错误，B正确； 由于y＝|x﹣a|在（a，+∞）单调递增，在（﹣∞，a）单调递减，而y＝lnx为（0，+∞）上的单调递增函数，因此f（x）在（a，+∞）上单调递增，C正确； 由于f（﹣x+2a）＝ln|﹣x+2a﹣a|＝ln|x﹣a|＝f（x），故f（x）的图象关于直线x＝a对称，D正确． 故选：BCD． 【变式2】已知函数f（x），则下列结论正确的是（　　） A．当a＝2时，f（x）的值域为（0，+∞） B．当a＝﹣3时，f（x）的定义域为（﹣∞，﹣1）∪（3，+∞） C．f（x）的图象关于直线x＝1对称 D．若f（x）的定义域为R，则实数a的取值范围是（1，+∞） 【答案】BCD 【解答】解：对于A：a＝2时，，故A错误； 对于B：a＝﹣3时，x2﹣2x﹣3＞0，解得x＞3或x＜﹣1，定义域为（﹣∞，﹣1）∪（3，+∞），故B正确； 对于C：因为f（x），f（x）的图象关于直线x＝1对称，故C正确； 对于D：因为f（x）的定义域为R，所以x2﹣2x+a＞0的解集是R，得Δ＝（﹣2）2﹣4a＜0，解得a＞1，故D正确． 故选：BCD． 【变式3】已知函数．若f（x）的值域是R，则实数a的取值范围是 　 　 ． 【答案】[16，+∞）． 【解答】解：因为函数f（x）的值域是R，则（0，+∞）为二次函数u＝ax2﹣ax+4值域的子集． 当a＝0时，内层函数为u＝4，不合题意； 当a≠0时，则有，解得a≥16． 综上所述，实数a的取值范围是[16，+∞）． 故答案为：[16，+∞）． 题型6 对数函数图象特征与底数的关系 解｜题｜知｜识 对数函数的图象特征与其底数a有关，不同底数的对数函数图象形态不同． 0＜a＜1 a＞1 图像 【典例1】函数的图象恒过定点P，点P在幂函数f（x）的图象上，则f（9）＝（　　） A． B． C．3 D．9 【答案】C 【解答】解：令3x﹣5＝1，得x＝2， 当x＝2时，， 所以点P的坐标为， 由于函数f（x）为幂函数，设f（x）＝xα， 将点P的坐标代入幂函数f（x）＝xα，得，则， ∴，∴． 故选：C． 【变式1】下列函数在（0，+∞）上是增函数的是（　　） A． B．f（x）＝2﹣x C．f（x）＝x﹣2 D．f（x）＝lnx 【答案】D 【解答】解：A：因为在（0，+∞）上单调递增，所以在（0，+∞）上单调递减，故A错误； B：因为，所以在（0，+∞）上单调递减，故B错误； C：，因为y＝x2在（0，+∞）上单调递增，所以在（0，+∞）上单调递减，故C错误； D：因为e＞1，所以y＝lnx在（0，+∞）上单调递增，故D正确． 故选：D． 题型7 对数函数及对数型复合函数的图象 解｜题｜知｜识 对数函数的图象特征与其底数a有关，不同底数的对数函数图象形态不同． 0＜a＜1 a＞1 图像 【典例1】下列结论正确的是（　　） A．“每个正方体都有六个面”是全称量词命题 B．函数f（x）＝loga（3x﹣4）（a＞1）过定点 C．函数f（x）＝x3+x﹣3在区间（1，2）内必有零点 D．存在实数m，使得f（x）＝（m2﹣2m+4）xm为幂函数 【答案】ABC 【解答】解：由全称量词命题的定义可得A显然正确． 对于f（x）＝loga（3x﹣4）（a＞1），因为，所以B正确． 对于f（x）＝x3+x﹣3，因为f（1）＜0，f（2）＞0，且f（x）＝x3+x﹣3的图象是连续不断的， 所以f（x）＝x3+x﹣3在区间（1，2）内必有零点，C正确． 若f（x）＝（m2﹣2m+4）xm为幂函数，则m2﹣2m+4＝1，该方程无实数解，D错误． 故选：ABC． 【变式1】已知函数． （1）若f（6）＝﹣2，求a的值； （2）若，解不等式f（x）≥1． 【答案】（1）； （2）{x|﹣9≤x＜﹣4}． 【解答】解：（1）因为f（6）＝loga2＝﹣2， 所以a﹣2＝2，即， 因为a＞0，所以； （2）因为，不等式f（x）≥1即为， 即， 因为在（0，+∞）上单调递减， 所以①等价于， 由②得，解得x＜﹣4或x＞1， 由③得，解得﹣9≤x＜1， 原不等式的解集是{x|﹣9≤x＜﹣4}． 题型8 求对数函数及对数型复合函数的单调性 解｜题｜知｜识 对数函数的单调性 当a＞1时，y＝logax在（0，+∞）上为增函数 当0＜a＜1时，y＝logax在（0，+∞）上为减函数 【典例1】已知函数f（x）＝log2（x+6）+log2（4﹣x），则下列不正确的为（　　） A．f（x）的定义域是（﹣6，4） B．f（x）有最大值 C．不等式f（x）＜4的解集是（﹣∞，﹣4）∪（2，+∞） D．f（x）在（0，4）上单调递减 【答案】C 【解答】解：由，解得﹣6＜x＜4，故A正确； ， 因t＝﹣x2﹣2x+24的对称轴为直线x＝﹣1，其图象在（﹣6，﹣1）上递增，在（﹣1，4）上递减， 又y＝log2t在（0，+∞）上单调递增，故f（x）在（﹣6，﹣1）上递增，在（﹣1，4）上递减， 所以f（x）的最大值为f（﹣1）＝2log25，故B、D正确； f（x）＜4，即 所以解得x∈（﹣6，﹣4）∪（2，4），故C错误． 故选：C． 【变式1】已知函数，且f（log2m）＞f（2），则实数m的取值范围为（　　） A．（4，+∞） B． C． D． 【答案】C 【解答】解：已知函数，且f（log2m）＞f（2）， 又函数的定义域为R，且， 所以为偶函数， 又y＝x2+3在（0，+∞）上单调递增，在（0，+∞）上单调递减， 所以f（x）在（0，+∞）上单调递减，则f（x）在（﹣∞，0）上单调递增， 所以不等式f（log2m）＞f（2）即|log2m|＜2，即﹣2＜log2m＜2，解得， 所以实数m的取值范围为． 故选：C． 题型9 由对数函数的单调性求解参数 解｜题｜知｜识 对数函数的单调性 当a＞1时，y＝logax在（0，+∞）上为增函数 当0＜a＜1时，y＝logax在（0，+∞）上为减函数 【典例1】设函数在区间（0，1）上单调递减，则a的最大值为（　　） A．3 B．4 C．5 D．6 【答案】B 【解答】解：因为抛物线y＝x2﹣ax+3的对称轴为直线， 函数在区间（0，1）上单调递减， 则， 解得2≤a≤4，所以a的最大值为4． 故选：B． 【变式1】已知关于x的函数在[﹣4，﹣3]上单调递增，则实数a的取值范围是（　　） A．a≤4 B．a＜4 C．a≤6 D．a＜6 【答案】B 【解答】解：因为在[﹣4，﹣3]上单调递增， 函数y＝x2+ax+a﹣1在[﹣4，﹣3]上单调递减，且x2+ax+a﹣1＞0对于x∈[﹣4，﹣3]恒成立， 则，解得a＜4． 故选：B． 题型10 求对数函数及对数型复合函数的最值 解｜题｜知｜识 对数函数及其复合函数的最值是指函数在定义域内取得的最大值或最小值． 【典例1】已知a＞0且a≠1，函数，若f（x）的最大值与最小值之差为2，则a＝（　　） A．2 B． C．2或 D．或 【答案】D 【解答】解：f（x）＝loga（2+x）+loga（2﹣x）化简得，， 当时，x2∈[0，2]，因此4﹣x2∈[2，4]， 由二次函数性质可知y＝4﹣x2在区间上单调递减． 当a＞1时，函数y＝logax在定义域内单调递增，所以函数在区间上单调递减， 所以，由题意可得loga4﹣loga2＝loga2＝2，解得，符合a＞1； 当0＜a＜1时，函数y＝logax在定义域内单调递减，所以函数在区间上单调递增， 所以， 由题意可得loga2﹣loga4＝2，解得， 综上，或． 故选：D． 【变式1】设函数，若f（t）≥1，则的最大值为　　 ． 【答案】﹣1． 【解答】解：若t≤0，则，即，得t≤﹣1； 若t＞0，则，得t≥1； 所以t≤﹣1或t≥1，则t4+1≥2， 由于单调递减，所以当t＝±1，t4+1＝2时，函数的最大值为﹣1． 故答案为：﹣1． 【变式2】已知函数． （1）若函数f（x）的图象经过点． ①求实数a的值； ②设，若关于x的方程f（x）＝g（x）在[﹣2，2]上有解，求实数m的取值范围； （2）是否存在实数a，使得f（x）存在最小值，且最小值小于﹣1？若存在，求实数a的取值范围；若不存在，说明理由． 【答案】（1）①a＝1；②； （2）存在，． 【解答】解：（1）①因为函数f（x）的图象经过点， 所以， 所以， 则，解得a＝1． ②， 因为f（x）＝g（x），所以， 即，整理得． 因为当x∈[﹣2，2]时，函数单调递减， 所以， 所以实数m的取值范围是． （2）由， 当a＜0时，令4x+a＞0，解得x＞log4（﹣a）， 令，则为增函数，所以函数y＝log4u是增函数， 所以f（x）在（log4（﹣a），+∞）上单调递增，无最小值； 当a＝0时，在R上单调递增，无最小值； 当a＞0时，，当且仅当，即时等号成立， 即的最小值为， 又因为函数y＝log4u是增函数， 所以， 解得． 存在实数a使得f（x）存在最小值小于﹣1，实数a的取值范围为． 【变式3】已知f（x）＝logax+loga（4﹣x）（a＞0，且a≠1），且f（2）＝﹣2． （1）求a的值及f（x）的定义域； （2）求f（x）在[1，3]上的最小值． 【答案】（1），（0，4）； （2）﹣2． 【解答】解：（1）f（2）＝loga2+loga2＝﹣2，即loga2＝﹣1，则a， 由题意得，所以0＜x＜4，f（x）的定义域为（0，4）． （2）将代入f（x），， 令m＝﹣x2+4x，则， 因为x∈[1，3]，所以m∈[3，4]， 所以当m＝4时，取得最小值为4＝﹣2． 所以f（x）在[1，3]上的最小值为﹣2． 题型11 由对数函数的最值求解参数 解｜题｜知｜识 通过已知对数函数的最值，反向求解函数的参数值，要求学生理解最值与参数的关系． 【典例1】已知函数f（x）＝logax（a＞0，且a≠1）在上的最大值和最小值的差为2，则实数a的值为 　　 ． 【答案】或． 【解答】解：当a＞1时，函数f（x）在上单调递增， 函数f（x）在上的最大值和最小值的差为2， 则，即loga3＝2，解得a（负值舍去）， 当0＜a＜1时，函数f（x）在上单调递减， 则，解得a（负值舍去）， 综上所述，a或． 故答案为：或． 【变式1】已知函数f（x）＝|log2x|，实数a，b满足0＜a＜b，且f（a）＝f（b），若f（x）在[a2，b]上的最大值为2，则b＝　　 ． 【答案】4 【解答】解：因为f（x）＝|log2 x|，且f（a）＝f（b）， ∴0＜a＜1＜b且﹣log2a＝log2b，ab＝1， 所以当x∈[a2，b]时，f（x）先递减后递增， ∴f（x）max＝max{f（a2），f（b）}， 当f（a2）＝2时，﹣log2 a2＝2，解得a，得b＝2，f（b）＝f（2）＝1＜2符合，此时b＝2+2＝4； 当f（b）＝2时，|log2 b|＝2，解得b＝4，得a，f（a2）＝f（）＝4＞2不符合题意． 综上得：b＝4． 故答案为：4 【变式2】已知函数． （1）若f（1）＝1，求不等式f（x）≤2的解集； （2）若函数y＝f（x）+x有两个零点，求a的取值范围； （3）设a＞0，若对任意t∈[﹣1，0]，函数f（x）在区间[t，t+1]上的最大值与最小值的和不大于log23，求a的取值范围． 【答案】（1）（﹣∞，log26]；（2）；（3）． 【解答】解：（1）f（1）＝1，则，∵f（x）≤2，∴， ∴，即2x≤6，∴x≤log26． 故不等式f（x）≤2的解集为（﹣∞，log26]； （2）函数y＝f（x）+x有两个零点，即方程有两个不相等的实根， ∴，∴1+a•2x＝2﹣x， ∴，令，则a＝u2﹣u， 即方程a＝u2﹣u在（0，+∞）上只有两解，令g（u）＝u2﹣u，u∈（0，+∞），则． 当时，直线y＝a和函数g（u）＝u2﹣u的图象只有两个公共点， 即函数y＝f（x）+x只有两个零点，∴实数a的范围是； （3）∵a＞0，∴函数y＝1+a•2x在R上单调递增， 即函数在定义域内单调递增， ∴函数f（x）在区间[t，t+1]上的最小值为，最大值为， ∴， ∴（1+a•2t）（1+a•2t+1）≤3对t∈[﹣1，0]恒成立．令h＝2t，， ∴2a2h2+3ah﹣2≤0对，a＞0恒成立， ∵y＝2a2h2+3ah﹣2在上单调递增，∴，∴2a2+3a﹣2≤0 解得，又a＞0，∴． ∴实数a的取值范围是． 题型12 对数值大小的比较 解｜题｜知｜识 1、若两对数的底数相同，真数不同，则利用对数函数的单调性来比较． 2、若两对数的底数和真数均不相同，通常引入中间变量（1，﹣1，0）进行比较 3、若两对数的底数不同，真数也不同，则利用函数图象或利用换底公式化为同底的再进行比较．（画图的方法：在第一象限内，函数图象的底数由左到右逐渐增大） 【典例1】已知a＝log1.80.8，b＝1.80.2，c＝0.80.9，则a、b、c的大小关系为（　　） A．a＞b＞c B．c＞a＞b C．b＞c＞a D．c＞b＞a 【答案】C 【解答】解：a＝log1.80.8＜0，b＝1.80.2＞1，0＜c＝0.80.9＜1， 所以b＞c＞a． 故选：C． 【变式1】已知，则（　　） A．b＜a＜c B．a＜b＜c C．c＜b＜a D．a＜c＜b 【答案】A 【解答】解：∵log3log3log3， 对数函数y＝log3x在（0，+∞）上单调递增，且4， ∴log34＜log3，即b＜a． c，a，由于e≈2.718，2.25，且函数y在[0，+∞）上单调递增， ∴，即c＞a． 综上可得，b＜a＜c． 故选：A． 题型13 指数函数与对数函数的关系 解｜题｜知｜识 指数函数和对数函数的关系： （1）对数函数与指数函数互为反函数，它们的定义域、值域互换，图象关于直线y＝x对称． （2）它们都是单调函数，都不具有奇偶性．当a＞l时，它们是增函数；当O＜a＜l时，它们是减函数． （3）指数函数与对数函数的联系与区别： 【典例1】如果一个点是一个指数函数的图象与一个对数函数的图象的公共点，那么称这个点为“好点”．在下面的五个点M（1，1），N（1，2），P（2，1），Q（2，2），G（2，0.5）中，“好点”的个数为（　　） A．0个 B．1个 C．2个 D．3个 【答案】C 【解答】解：当x＝1时，对数函数y＝logax（a＞0，a≠1）恒过（1，0）点， 故M（1，1），N（1，2），一定不是好点， 当y＝1时，指数函数y＝ax（a＞0，a≠1）恒过（0，1）点， 故P（2，1）也一定不是好点， 而Q（2，2）是函数y与y的交点； G（2，0.5）是函数y与y＝log4x的交点； 故好点有2个， 故选：C． 【变式1】已知（x1，y1），（x2，y2）是函数y＝2x的图象上两个不同的点，则（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【解答】解：（x1，y1），（x2，y2）是y＝2x上的点， 则y1，y2， 22，当且仅当x1＝x2时，等号成立， 又（x1，y1），（x2，y2）是函数y＝2x的图象上两个不同的点， 故， 两边同时取对数可得，log2． 故选：B． 题型14 反函数 解｜题｜知｜识 定义 一般地，设函数y＝f（x）（x∈A）的值域是C，根据这个函数中x，y 的关系，用y把x表示出，得到x＝g（y）．若对于y在中的任何一个值，通过x＝g（y），x在A中都有唯一的值和它对应，那么，x＝g（y）就表示y是自变量，x是因变量是y的函数，这样的函数y＝g（x）（y∈C）叫做函数y＝f（x）（x∈A）的反函数，记作y＝f（﹣1）（x） 反函数y＝f（﹣1）（x）的定义域、值域分别是函数y＝f（x）的值域、定义域． 性质 反函数其实就是y＝f（x）中，x和y互换了角色 （1）函数f（x）与他的反函数f﹣1（x）图象关于直线y＝x对称；函数及其反函数的图形关于直线y＝x对称 （2）函数存在反函数的重要条件是，函数的定义域与值域是一一映射； （3）一个函数与它的反函数在相应区间上单调性一致； （4）大部分偶函数不存在反函数（当函数y＝f（x），定义域是{0} 且 f（x）＝C （其中C是常数），则函数f（x）是偶函数且有反函数，其反函数的定义域是{C}，值域为{0} ）．奇函数不一定存在反函数，被与y轴垂直的直线截时能过2个及以上点即没有反函数．若一个奇函数存在反函数，则它的反函数也是奇函数． （5）一切隐函数具有反函数； （6）一段连续的函数的单调性在对应区间内具有一致性； （7）严格增（减）的函数一定有严格增（减）的反函数反函数存在定理； （8）反函数是相互的且具有唯一性； （9）定义域、值域相反对应法则互逆（三反）； （10）原函数一旦确定，反函数即确定（三定）（在有反函数的情况下，即满足（2））． 【典例1】已知函数y＝f（x）的图像与y＝lgx的图像关于直线y＝x对称，则f（lg3）•f（lg4）＝（　　） A．lg7 B．10 C．12 D．107 【答案】C 【解答】解：因为函数y＝f（x）的图像与y＝lgx的图像关于直线y＝x对称， 所以函数y＝f（x）与函数y＝lgx互为反函数， 所以f（x）＝10x，所以f（lg3）•f（lg4）＝10lg3×10lg4＝3×4＝12， 故选：C． 【变式1】已知函数f（x）＝log2（x+a）的反函数图象过点（0，﹣1），则a＝（　　） A．5 B．4 C．3 D．2 【答案】D 【解答】解：∵f（x）＝log2（x+a）的反函数图象过点（0，﹣1）， ∴f（x）的图象经过点（﹣1，0）， ∴f（﹣1）＝log2（﹣1+a）＝0，解得a＝2． 故选：D． 题型15 对数函数图象与性质的综合应用 解｜题｜知｜识 对数函数及其复合函数的最值是指函数在定义域内取得的最大值或最小值． 【典例1】关于函数，下列结论正确的是（　　） A．若函数g（x）＝ln|x﹣3|﹣ln|x+1|，则f（x）与g（x）是同一个函数 B．f（x）在区间（﹣1，3）上单调递增 C．f（x）的图象关于点（1，0）对称 D． 【答案】ACD 【解答】解：对A：因为，所以f（x）与g（x）是同一个函数，故A正确； 对B：当﹣1＜x＜3时，，所以， 因为在（﹣1，3）上单调递减，且u＞0，y＝lnu在（0，+∞）上单调递增， 所以在（﹣1，3）上单调递减，故B错误； 对C：因为f（x）， 即f（x）+f（2﹣x）＝0，所以函数f（x）的图象关于点（1，0）对称，故C正确； 对D：因为， 又，所以， 又因为函数f（x）在（﹣1，3）上单调递减，所以， 所以，故D正确． 故选：ACD． 【变式1】已知函数． （1）判断函数f（x）的奇偶性，并给出证明； （2）解不等式：f（x2+1）+f（﹣x2+2x﹣3）＞0； （3）若函数g（x）＝lnx﹣（x﹣1）在（1，+∞）上单调递减，比较f（2）+f（4）+…+f（2n）与2n（n∈N*）的大小关系，并说明理由． 【答案】（1）f（x）为奇函数； （2）（1，+∞）； （3）f（2）+f（4）+...+f（2n）＜2n（n∈N*）． 【解答】解：已知函数， （1）证明：f（x）为奇函数，证明如下： 令，得x＞1或x＜﹣1， 故定义域为（﹣∞，﹣1）∪（1，+∞）， ， 故f（x）为奇函数； （2）任取x1，x2∈（1，+∞）且x1＜x2， 则， 因为x1，x2∈（1，+∞）且x1＜x2，所以x1﹣1＞0，x2＞0，x2﹣x1＞0， 故，， 所以在x∈（1，+∞）上单调递增， 又y＝lnt在t∈（0，+∞）上单调递增， 由复合函数单调性可得在x∈（1，+∞）上单调递增， 由（1）知，f（x）为奇函数， f（x2+1）+f（﹣x2+2x﹣3）＞0⇒f（x2+1）＞﹣f（﹣x2+2x﹣3）＝f（x2﹣2x+3）， 其中x2+1≥1，x2﹣2x+3＝（x﹣1）2+2≥2， 故需满足x2+1＞x2﹣2x+3，得x＞1， 所以f（x2+1）+f（﹣x2+2x﹣3）＞0的解集为（1，+∞）； （3）f（2）+f（4）+...+f（2n）＜2n（n∈N*），理由如下： 若函数g（x）＝lnx﹣（x﹣1）在（1，+∞）上单调递减， 当x＞1时，， 故f（2）+f（4）+...+f（2n）＝ln3﹣ln1+ln5﹣ln3+...+ln（2n+1）﹣ln（2n﹣1） ＝﹣ln1+ln（2n+1）＝ln（2n+1）， 又g（x）＝lnx﹣（x﹣1）在（1，+∞）上单调递减，g（1）＝0， 故g（2n+1）＜g（1）＝0，n∈N*，所以ln（2n+1）﹣2n＜0，故ln（2n+1）＜2n，n∈N*， 所以f（2）+f（4）+...+f（2n）＜2n（n∈N*）． 。 题型16 指、对数不等式的解法 解｜题｜知｜识 不等式的解法 （1）整式不等式的解法（根轴法）． 步骤：正化，求根，标轴，穿线（偶重根打结），定解． 特例： ①一元一次不等式ax＞b解的讨论； ②一元二次不等式ax2+bx+c＞0（a≠0）解的讨论． （2）分式不等式的解法：先移项通分标准化，则 ． （3）无理不等式：转化为有理不等式求解． （4）指数不等式：转化为代数不等式 （5）对数不等式：转化为代数不等式 （6）含绝对值不等式 ①应用分类讨论思想去绝对值； ②应用数形思想； ③应用化归思想等价转化． 注：常用不等式的解法举例（x为正数）： 【典例1】已知集合A＝{x∈N|x2﹣2x﹣3≤0}，B＝{x|log2x≤1}，则A∩B＝（　　） A．{0，1，2} B．{0，1，2，3} C．{1，2} D．{1，2，3} 【答案】C 【解答】解：解不等式log2x＜1，得0＜x≤2， 则B＝{x|0＜x≤2}， 解不等式x2﹣2x﹣3≤0，得（x+1）（x﹣3）≤0， 解得﹣1≤x≤3，则A＝{0，1，2，3}， 所以A∩B＝{1，2}． 故选：C． 【变式1】已知集合A＝{x∈N|x2﹣x﹣12＜0}，B＝{x|2x＜8}，则A∩B＝（　　） A．{﹣2，﹣1，0，1，2} B．{0，1，2} C．{1，2} D．（﹣3，3） 【答案】B 【解答】解：由题意可知，A＝{x∈N|x2﹣x﹣12＜0}＝{x∈N|﹣3＜x＜4}＝0，1，2，3}，B＝{x|2x＜8}＝{x|x＜3}， 则A∩B＝{0，1，2}． 故选：B． 题型17 指数函数与对数函数的关系 解｜题｜知｜识 指数函数和对数函数的关系： （1）对数函数与指数函数互为反函数，它们的定义域、值域互换，图象关于直线y＝x对称． （2）它们都是单调函数，都不具有奇偶性．当a＞l时，它们是增函数；当O＜a＜l时，它们是减函数． （3）指数函数与对数函数的联系与区别： 过 关 验 收 1．在y＝log（a﹣2）（5﹣a）中，实数a的取值范围是　 　 ． 【答案】2＜a＜3或3＜a＜5 【解答】解：由b＝log（a﹣2）（5﹣a）可得 解得 ，即实数a的取值范围是2＜a＜3或3＜a＜5 故答案为：2＜a＜3或3＜a＜5． 2．已知集合P＝{x|x2﹣x＞0}，M＝{x|y＝log2（2x﹣1）}，则（∁RP）∩M＝（　　） A． B． C．[1，2） D．[1，+∞） 【答案】A 【解答】解：集合P＝{x|x2﹣x＞0}＝{x|x＜0或x＞1}， 则∁RP＝{x|0≤x≤1}， 集合， 所以． 故选：A． 3．函数的定义域为（　　） A．（﹣1，2] B．（﹣2，2] C．（﹣2，﹣1）∪（﹣1，2） D．（﹣2，﹣1）∪（﹣1，2] 【答案】D 【解答】解：函数， 则，解得﹣2＜x≤2且x≠﹣1， 所以函数f（x）的定义域为（﹣2，﹣1）∪（﹣1，2]． 故选：D． 4．下列函数中，定义域为（2，+∞）的是（　　） A．f（x）＝lg（x2﹣4） B． C． D．f（x）＝ln（2x﹣2） 【答案】B 【解答】解：对于A选项：令x2﹣4＞0，解得x＞2或x＜﹣2， 则定义域为（﹣∞，﹣2）∪（2，+∞），故A错误； 对于B选项：令x﹣2＞0，解得x＞2，定义域为（2，+∞），故B正确； 对于C选项：因为2x＞0，所以2x+2＞2，定义域为R，故C错误； 对于D选项：令2x﹣2＞0，解得x＞1，定义域为（1，+∞），故D错误． 故定义域为（2，+∞）的只有B，ACD错误． 故选：B． 5．已知loga2＞﹣1（a＞0且a≠1），则a的取值范围是 　 　 ． 【答案】{a|a＞1或0＜a}． 【解答】解：因为loga2＞﹣1＝loga， 当a＞1时，一定成立，符合题意； 当0＜a＜1时，，则0＜a， 综上，a的范围为a＞1或0＜a． 故答案为：{a|a＞1或0＜a}． 6．设函数（a＞0且a≠1，b∈R），已知f（2）＝1，f（loga6）＝2． （1）求f（x）的定义域； （2）是否存在实数λ，使得f（x）在区间[m，n]上的值域是[2m﹣λ，2n﹣λ]？若存在，请求出λ的取值范围；若不存在，请说明理由． 【答案】（1）（1，+∞）； （2）存在实数λ符合条件，λ的取值范围是（3，+∞）． 【解答】解：（1）由f（2）＝1，得，即a2﹣a﹣b＝0，① 由f（loga6）＝2，得loga（6﹣b）＝2，即6﹣b＝a2，② 由①②得2a2﹣a﹣6＝0，解得a＝2，或（舍），b＝2， 所以， 由2x﹣2＞0得x＞1， 故f（x）的定义域为（1，+∞）； （2）假设存在实数λ，n＞m＞1，使得f（x）在区间[m，n]上的值域是[2m﹣λ，2n﹣λ]． 令u＝2x﹣2，（u＞0），则u在（1，+∞）上单调递增， 而y＝log2u在（0，+∞）上单调递增，故f（x）在（1，+∞）上单调递增， 所以，即． 令，，，则t1，t2为方程t2﹣t0t+2t0＝0的两个不等实数根且t1，t2＞2， 令g（t）＝t2﹣t0t+2t0，则，即，解得t0＞8． 即2λ＞8，λ＞3，故存在实数λ符合条件，λ的取值范围是（3，+∞）． 7．已知函数． （1）求f（x）的定义域； （2）若当时，函数g（x）＝f（x）﹣b在（1，+∞）有且只有一个零点，求实数b的范围； （3）是否存在实数a，使得当f（x）的定义域为[m，n]时，值域为[1+logan，1+logam]，若存在，求出实数a的取值范围；若不存在，请说明理由． 【答案】（1）（﹣∞，﹣1）∪（1，+∞）； （2）（0，+∞）； （3）存在这样的实数符合题意． 【解答】解：（1）由，得x＞1或x＜﹣1， ∴f（x）的定义域为（﹣∞，﹣1）∪（1，+∞）； （2）令，任取x1，x2∈（1，+∞），x1＜x2， 则， ∵x1﹣x2＜0，x1+1＞0，x2+1＞0， ∴， 即函数在（1，+∞）上单调递增； 又， ∴f（x）在（1，+∞）上单调递减， 且当x趋于1，f（x）趋于+∞；x趋于+∞，f（x）趋于0， 函数g（x）＝f（x）﹣b在（1，+∞）有且只有一个零点， 即f（x）＝b在（1，+∞）有且只有一个解， ∵函数f（x）在（1，+∞）的值域为（0，+∞），如图所示， ∴b的取值范围是（0，+∞）； （3）假设存在这样的实数a，使得当f（x）的定义域为[m，n]时，值域为[1+logan，1+logam]， 由m＜n且1+logan＜1+logam，可得0＜a＜1， 又由（1）在（1，+∞）上为增函数，y＝logax在（1，+∞）上为减函数． 则f（x）在（1，+∞）上为减函数， 得， 即在（1，+∞）上有两个互异实根， 由，得ax2+（a﹣1）x+1＝0， 即g（x）＝ax2+（a﹣1）x+1有两个大于1的相异零点． 由0＜a＜1，函数g（x）开口向上，且对称轴为， 则，解得， 故存在这样的实数符合题意． 8．已知函数． （1）若a＝2，求f（x）在上的值域； （2）当a＞2，解关于x的不等式f（x）＞1． 【答案】（1）[2，3]； （2）． 【解答】解：（1）当a＝2时，，函数在上单调递减， 因此函数f（x）在时单调递减， 所以， 所以f（x）在上的值域为[2，3]； （2）由， ⇒x[（a﹣2）x+1]＞0， 因为a＞2，由x[（a﹣2）x+1]＞0⇒x＞0，或， 所以不等式的解集为． 9．如图，图像①②③④所对应的函数不属于y＝2x中的一个是（　　） A．① B．② C．③ D．④ 【答案】C 【解答】解：根据指数函数与对数函数的性质以及图象相关知识可得y＝2x为图象④， y＝log2x为图象②， y为图象①． 故选：C． 10．已知函数y＝loga（x+3）﹣2（a＞0且a≠1）的图象恒过定点坐标　 　 ． 【答案】（﹣2，﹣2）． 【解答】解：令x+3＝1，解得x＝﹣2． 当x＝﹣2时，y＝loga1﹣2＝0﹣2＝﹣2． 即函数y＝loga（x+3）﹣2（a＞0且a≠1）的图象恒过定点（﹣2，﹣2）． 故答案为：（﹣2，﹣2）． 11．若实数x，y，z满足2x﹣2＝3y﹣3＝5z﹣5，则x，y，z的大小关系不可能是（　　） A．x＝y＝z B．x＞y＞z C．z＞y＞x D．z＞x＞y 【答案】D 【解答】解：令2x﹣2＝3y﹣3＝5z﹣5＝t，得x＝log2（t+2），y＝log3（t+3），z＝log5（t+5），t＞﹣2， 在同一坐标系内作出函数f（t）＝log2（t+2），g（t）＝log3（t+3），h（t）＝log5（t+5）的图象， 则x，y，z分别是函数y′＝f（t），y′＝g（t），y′＝h（t），t＞﹣2的图象与直线t＝a（a＞﹣2）交点的纵坐标， 观察图象得，当a＝0时，x＝y＝z；当a＞0时，x＞y＞z，当﹣2＜a＜0时，z＞y＞x， 因此ABC都可能，D不可能． 故选：D． 12．下列结论正确的是（　　） A．“每个正方体都有六个面”是全称量词命题 B．函数f（x）＝loga（3x﹣4）（a＞1）过定点 C．f（x）＝x3+x﹣3在区间（1，2）内必有零点 D．存在实数m，使得f（x）＝（m2﹣2m+4）xm为幂函数 【答案】ABC 【解答】解：对于A，“每个正方体都有六个面”是全称量词命题，选项A正确； 对于B，f（x）＝loga（3x﹣4）（a＞1），f（）＝loga1＝0，选项B正确； 对于C，f（x）＝x3+x﹣3，则f（1）＜0，f（2）＞0，且f（x）＝x3+x﹣3的图象是连续不断的， 所以f（x）＝x3+x﹣3在区间（1，2）内必有零点，选项C正确； 对于D，若f（x）＝（m2﹣2m+4）xm为幂函数，则m2﹣2m+4＝1，该方程无实数解，选项D错误． 故选：ABC． 13．已知函数f（x）＝loga（x2﹣x﹣b）． （1）若f（x）的定义域为R，求实数b的范围； （2）若a＝2，f（x）的最小值为3，求实数b的值； （3）若a，b＝0，解不等式f（x）＞﹣1． 【答案】（1）{b|b}； （2）b； （3）{x|﹣1＜x＜0或1＜x＜2}． 【解答】解：（1）若f（x）的定义域为R，则x2﹣x﹣b＞0恒成立， 则Δ＝1+4b＜0，解得b， 故b的范围为{b|b}； （2）若a＝2，则f（x）＝log2（x2﹣x﹣b）≥3， 所以y＝x2﹣x﹣b的最小值为8， 故﹣b8，解得b； （3）若a，b＝0，由f（x）（x2﹣x）＞﹣1可得0＜x2﹣x＜2， 解得﹣1＜x＜0或1＜x＜2， 故不等式的解集为{x|﹣1＜x＜0或1＜x＜2}． 14．已知函数f（x）＝logax（a＞0且a≠1）的图象过点（3，1）． （1）若函数g（x）＝f（x+1）+f（5﹣x），求g（x）在区间[1，2]上的最值； （2）对于（1）中的g（x），当x∈[1，2]时，不等式f（m2﹣2m）﹣g（x）≥0有解，求m的取值范围． 【答案】（1）最大值为2，最小值为3log32； （2）（﹣∞，﹣2]∪[4，+∞）． 【解答】解：（1）函数f（x）＝logax（a＞0且a≠1）的图象过点（3，1）， 可得：loga3＝1，得a＝3， ∴g（x）＝log3（x+1）+log3（5﹣x）， 当1≤x≤2时，﹣x2+4x+5＝﹣（x﹣2）2+9∈[8，9]， ∴g（x）max＝log39＝2，g（x）min＝log38＝3log32， ∴g（x）在区间[1，2]上的最大值为2，最小值为3log32； （2）由（1）知，当x∈[1，2]时，g（x）min＝3log32，不等式f（m2﹣2m）﹣g（x）≥0有解， 即，x∈[1，2]． ∴，即m2﹣2m≥8，得：m≤﹣2或m≥4， ∴实数m的取值范围为：（﹣∞，﹣2]∪[4，+∞）． 15．若a，b∈R，则“a＞b”是log6a＞log6b的（　　） A．必要不充分条件 B．充分不必要条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】A 【解答】解：a＝1，b＝0时，因为y＝log6x的定义域为（0，+∞），log6b无意义，不能得出log6a＞log6b，所以充分性不成立； log6a＞log6b时，因为y＝log6x在（0，+∞）上单调递增，所以a＞b，必要性成立； 所以“a＞b”是log6a＞log6b的必要不充分条件． 故选：A． 16．若函数y＝lg（2+mx）在区间[1，+∞）上单调递增，则实数m的取值范围为（　　） A．（﹣∞，﹣1） B．（0，+∞） C．[﹣2，0） D．（0，1] 【答案】B 【解答】解：若函数y＝lg（2+mx）在区间[1，+∞）上单调递增， 则，解得m＞0． 故选：B． 17．函数y＝2x|log0.5x|﹣1的图象与x轴的交点个数为（　　） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】B 【解答】解：函数y＝2x|log0.5x|﹣1的图象与x轴的交点个数，就是f（x）＝2x|log0.5x|﹣1的零点个数，即方程2x|log0.5x|﹣1＝0的根， 即2x|log0.5x|＝1，|log0.5x|＝（）x， 在同一坐标系中画出函数y＝|log0.5x|与y＝（）x图象， 由图象知这两个函数图象有2个交点， 即函数f（x）＝2x|log0.5x|﹣1的图象与x轴的交点个数为2， 故选：B． 18．若a＞0，，则a＝　　 ． 【答案】3 【解答】解：由得，所以 故答案为：3 19．设函数f（x）＝loga（x+1）（a＞0且a≠1），若其反函数的图象过点（1，2），则a＝（　　） A．2 B．3 C． D． 【答案】B 【解答】解：由题意函数f（x）＝loga（x+1）（a＞0且a≠1），其反函数的图象过点（1，2）， 可得函数f（x）的图象过点（2，1）， 所以有loga（2+1）＝1⇒a＝3． 故选：B． 20．把函数y＝2x的图像关于y轴对称后得到g（x）的图像，则g（x）的图像与函数的图像关于（　　） A．x轴对称 B．y轴对称 C．原点对称 D．直线y＝x对称 【答案】D 【解答】解：函数y＝2x的图像关于y轴对称后得到g（x）g（x）＝（）x， g（x）的图像与函数的图像关于y＝x对称． 故选：D． 21．已知不等式x2﹣3x+t＜0的解集为{x|1＜x＜m，x∈R}． （1）分别求t，m的值； （2）若函数f（x）＝﹣x2+ax+4在区间（﹣∞，1]上递增，求关于x的不等式的解集． 【答案】（1）t＝2，m＝2； （2）． 【解答】解：（1）由题意可知，1，m为方程x2﹣3x+t＝0的两个根， 所以9﹣4t＞0，1+m＝3，1×m＝t， 所以t＝2，m＝2； （2）因为函数f（x）＝﹣x2+ax+4在区间（﹣∞，1]上递增， 所以，所以a≥2， 由（1）不等式可化为， 因为函数y＝ax（a≥2），在R上单调递增， 所以﹣2x2+3x＞0，解得， 所以不等式的解集为． 学科网（北京）股份有限公司 $