第三章函数的概念与性质测试卷A--2026-2027学年高一上学期数学人教A版必修第一册

**基本信息** 高一数学第三章单元复习卷，以函数性质为核心，通过基础选择、综合解答及“活水围网”养殖等实际情境题，分层考察数学抽象、逻辑推理与应用意识。 **题型特征** |题型|题量|知识覆盖|命题特色| |----|----|----------|----------| |单选|8|函数求值、幂函数判定、单调性|基础概念辨析，如第2题幂函数定义| |多选|3|分段函数最值、基本不等式|多维度考察，如第9题结合图像分析单调性与最值| |填空|3|定义域、奇函数解析式|简洁考察核心技能，如第13题奇函数性质应用| |解答题|5|偶函数解析式、不等式恒成立、实际应用|综合应用，如第19题构建养殖密度与生长量函数模型，体现数学建模|

2026-2027学年高一数学第三章A测试卷 学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________ 一、单选题 1．已知函数，则的值为（   ） A．0 B．1 C．2 D．3 【答案】C 【详解】，，则． 2．下列函数是幂函数的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据幂函数的定义直接判断即可. 【详解】幂函数的定义：， 可知，，均不是幂函数，是幂函数. 故选：D. 3．函数f（x）=x|x-2|的递减区间为（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】函数中含有绝对值，可根据绝对值内正负进行讨论，分段x≥2和 x＜2讨论单调性. 【详解】当x≥2时，f（x）=x（x-2）=x2-2x，对称轴为x=1，此时f（x）为增函数， 当x＜2时，f（x）=-x（x-2）=-x2+2x，对称轴为x=-1，抛物线开口向下，当1＜x＜2时，f（x）为减函数， 即函数f（x）的单调递减区间为（1，2）， 故选C． 【点睛】绝对值函数通过分段讨论去绝对值，一般可化简成分段函数，再根据分段函数求单调区间. 4．若关于的不等式在时有解，则实数的取值范围为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】先求函数在区间上的最小值，再根据有解条件确定的取值范围即可. 【详解】设，，则不等式在上有解等价于. 对任意，有，当且仅当，即时等号成立. 因为，故在上的最小值为，所以. 故的取值范围为. 5．已知函数若，则t的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】先计算出的值，再根据的取值范围分和两种情况，分别代入分段函数对应的解析式列不等式求解，最后将两种情况的解集合并得到的取值范围. 【详解】， 当，即时，，由，得； 当，即时，，由，得，解得， 综上，，即的取值范围为. 6．已知函数是定义在上的偶函数，且在上单调递减，，则不等式的解集为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据单调性及奇偶性解不等式即可. 【详解】因为是偶函数，即关于轴对称，在上单调递减， 又，即， 所以， ，解得， 所以不等式的解集为. 7．若函数是定义在上的偶函数，则（ ） A．6 B．5 C．4 D．3 【答案】B 【详解】函数是定义在上的偶函数， ，即， ， ， ， ， ． 8．若函数，在满足对任意实数，都有成立，则实数的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】利用分段函数的特点进行求解. 【详解】对任意实数，都有成立， 所以在上单调递增， 当时，若使单调递增，则需满足； 当时，若使单调递增，需满足二次函数的对称轴，即：， 若在上单调递增，则需满足，即：， 所以实数的取值范围为. 二、多选题 9．函数表示中的较小者，若，则（    ） A．的最大值为4 B．在区间上单调递减 C．的图象关于直线对称 D．方程有3个不等实根 【答案】BD 【分析】根据题意作出的图象，结合函数图象逐项分析判断即可. 【详解】因为， 作出的图象（图中实线部分），如图所示： 对于选项A：无最大值，故A错误； 对于选项B：在区间上单调递减，故B正确； 对于选项C：的图象不关于直线对称，故C错误； 对于选项D：因为与有3个交点，所以方程有3个不等实根，故D正确； 故选：BD. 10．在下列函数中，最小值是2的函数有（    ） A． B． C． D． 【答案】ABD 【详解】对于选项A：因为函数的定义域为，则，， 可得，当且仅当，即时，等号成立， 所以函数的最小值为2，故A正确； 对于选项B：因为， 则，当且仅当，即时，等号成立， 所以函数的最小值为2，故B正确； 对于选项C：令，可得， 因为在内单调递增，则， 所以函数的最小值不为2，故C错误； 对于选项D：因为， 则， 当且仅当，即时，等号成立， 所以函数的最小值为2，故D正确. 11．下列说法中正确的是（    ） A．的最小值为2 B．与是同一个函数 C．函数满足，若，则实数 D．若函数的定义域为，则函数的定义域为 【答案】CD 【分析】结合基本不等式，可判定A错误；根据同一函数的判定方法，可判定B错误；根据函数的对应法则，以及函数值的运算法则，可得判定C正确；根据抽象函数定义的计算方法，可判定D正确. 【详解】对于A，当时，可得，当且仅当时，等号成立； 当时，可得，当且仅当时，等号成立， 所以函数没有最小值，所以A错误； 对于B，函数有意义，则满足，解得或， 函数有意义，满足，解得， 所以函数和的定义域不同，所以不是同一个函数，所以B错误； 对于C，由函数满足， 令，即，解得，则，即， 若，可得，所以C正确； 对于D，由函数的定义域为，即，可得， 所以函数的定义域为，所以D正确. 三、填空题 12．要使分式有意义，则的取值范围为___. 【答案】且 【分析】0的0次幂没有意义，偶次根号下被开方数为非负数，分母不能是0. 【详解】 13．已知是定义在上的奇函数，当时，，则时，的解析式为________________． 【答案】 【分析】利用函数的奇偶性求解即可. 【详解】已知是定义在上的奇函数，则 当时，， 则时，有，则， 因此. 14．函数的增区间是______． 【答案】 【分析】由偶次根式有意义,可得定义域为,再根据复合函数的同增异减法则可得. 【详解】函数是由函数复合而成的， 在其定义域上为增函数， 要求函数的增区间即求函数的增区间， 由于函数的增区间为， 又由函数的定义域为, 故函数的增区间是. 故答案为：． 四、解答题 15．已知函数是定义域为R的偶函数，当时，. (1)求函数的解析式； (2)在直角坐标系中，画出函数的图象，并写出函数的单调增区间； (3)若关于的方程无解，直接写出的范围. 【答案】(1)； (2)答案见解析； (3)． 【分析】（1）由偶函数的定义求解析式； （2）作出时，的图象，再关于轴对应后可得图象，由图象可得单调区间； （3）由函数图象得函数最小值后可得的范围． 【详解】（1）是偶函数， 时，，， 所以． （2）先作出二次函数在的图象，再作出其关于轴的图象，如图即为的图象， 由图象得增区间是，，减区间是，．（0，处写成闭区间也可）． （3）由图象知时，函数取得最小值， 所以时，无解． 16．已知函数 (1)若，求不等式的解集； (2)当时，恒成立，求实数的取值范围． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）将代入，再解一元二次方程； （2）分离参数，令，求出函数在上的最小值，进而求实数的取值范围. 【详解】（1）， 即不等式的解集为； （2），恒成立， 令，则函数在上单调递减，在上单调递增， 故，则， 故实数的取值范围为. 17．已知在上是单调递减的一次函数，且. (1)求； (2)求函数在上的最小值． 【答案】（1）；（2）. 【分析】（1）先由题意，设，根据，得到，由对应系数相等，求出，即可得出结果； （2）先由（1）得，分别讨论，，三种情况，根据二次函数的性质，即可得出结果. 【详解】（1）因为在上是单调递减的一次函数， 所以设， 又，所以， 即，所以，解得：， 因此； （2）由（1）可得：是开口向上，对称轴为的二次函数， 当时，函数在上单调递增，所以； 当，即时，函数在上单调递减，所以； 当时，，函数在上单调递减，在上单调递增，所以； 综上，函数在上的最小值为. 【点睛】本题主要考查求一次函数解析式，以及二次函数的值域，利用待定系数法求函数解析式，熟记二次函数的性质即可，属于常考题型. 18．已知函数，． (1)求证：在上单调递增； (2)判断的奇偶性并证明； (3)若，求实数的取值范围． 【答案】(1)证明：令，则 ， 因为，，，所以， 所以，即, 则在上单调递增. (2)是奇函数，证明：的定义域为，关于原点对称，且， 所以是奇函数. (3) 【详解】（1）略. （2）略. （3）由是奇函数，得， 因为在上单调递增， 所以解得. 故实数的取值范围是. 19．“活水围网”养鱼技术具有养殖密度高、经济效益好的特点．研究表明，“活水围网”养鱼时，某种鱼在一定的条件下，每尾鱼的平均生长速度（单位：千克/年）是养殖密度（单位：尾/立方米）的函数．当时，的值为2千克/年；当时，是的一次函数；当时，因缺氧等原因，的值为0千克/年． (1)当时，求函数关于的函数解析式； (2)当养殖密度为多大时，鱼的年生长量（单位：千克/立方米）可以达到最大？求出最大值及等号条件． 【答案】(1) (2)当养殖密度为10时，鱼的年生长量可以达到最大，最大值为千克/立方米 【分析】（1）根据给定条件，利用待定系数法求出函数解析式. （2）由（1）求出年生长量函数，再分段求出最大值并比较大小即可. 【详解】（1）依题意，当时，关于的函数解析式为； 当时，设关于的函数解析式为， 将代入，得，解得 当时，关于的函数解析式为， 所以函数关于的函数解析式为. （2）设年生长量为， 依题意，， 当时，，随的增大而增大， 因此当时，取得最大值，最大值； 当时，， 当且仅当时取等号，而，即的最大值为， 所以当养殖密度为10时，鱼的年生长量可以达到最大，最大值为千克/立方米. 试卷第1页（共3页） 试卷第1页（共3页） 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026-2027学年高一数学第三章A测试卷 学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________ 一、单选题 1．已知函数，则的值为（   ） A．0 B．1 C．2 D．3 2．下列函数是幂函数的是（    ） A． B． C． D． 3．函数f（x）=x|x-2|的递减区间为（　　） A． B． C． D． 4．若关于的不等式在时有解，则实数的取值范围为（   ） A． B． C． D． 5．已知函数若，则t的取值范围为（    ） A． B． C． D． 6．已知函数是定义在上的偶函数，且在上单调递减，，则不等式的解集为（    ） A． B． C． D． 7．若函数是定义在上的偶函数，则（ ） A．6 B．5 C．4 D．3 8．若函数，在满足对任意实数，都有成立，则实数的取值范围为（    ） A． B． C． D． 二、多选题 9．函数表示中的较小者，若，则（    ） A．的最大值为4 B．在区间上单调递减 C．的图象关于直线对称 D．方程有3个不等实根 10．在下列函数中，最小值是2的函数有（    ） A． B． C． D． 11．下列说法中正确的是（    ） A．的最小值为2 B．与是同一个函数 C．函数满足，若，则实数 D．若函数的定义域为，则函数的定义域为 三、填空题 12．要使分式有意义，则的取值范围为___. 13．已知是定义在上的奇函数，当时，，则时，的解析式为________________． 14．函数的增区间是______． 四、解答题 15．已知函数是定义域为R的偶函数，当时，. (1)求函数的解析式； (2)在直角坐标系中，画出函数的图象，并写出函数的单调增区间； (3)若关于的方程无解，直接写出的范围. 16．已知函数 (1)若，求不等式的解集； (2)当时，恒成立，求实数的取值范围． 17．已知在上是单调递减的一次函数，且. (1)求； (2)求函数在上的最小值． 18．已知函数，． (1)求证：在上单调递增； (2)判断的奇偶性并证明； (3)若，求实数的取值范围． 19．“活水围网”养鱼技术具有养殖密度高、经济效益好的特点．研究表明，“活水围网”养鱼时，某种鱼在一定的条件下，每尾鱼的平均生长速度（单位：千克/年）是养殖密度（单位：尾/立方米）的函数．当时，的值为2千克/年；当时，是的一次函数；当时，因缺氧等原因，的值为0千克/年． (1)当时，求函数关于的函数解析式； (2)当养殖密度为多大时，鱼的年生长量（单位：千克/立方米）可以达到最大？求出最大值及等号条件． 试卷第1页（共3页） 试卷第1页（共3页） 学科网（北京）股份有限公司 $