培优05 函数的概念与性质（专项训练）高一数学人教A版必修第一册

**基本信息** 聚焦函数概念与性质，以“考点-题型”架构系统覆盖定义域、单调性、奇偶性核心内容，通过分层训练提升抽象能力与推理意识。 **专项设计** |模块|题量/典例|题型特征|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |函数的概念|4题型×3题|定义域（重）、分段函数（高频）|从概念定义到图像表征，构建函数认知基础| |函数的单调性|6题型×3题|定义法证明（重）、解不等式（高频）|从判定方法到应用拓展，形成性质应用链条| |函数的奇偶性|4题型×3题|定义判断（重）、求参数（高频）|从奇偶性定义到综合应用，强化逻辑推理|

专题05 函数的概念与性质 常考题型·精准突破 考点一 函数的概念 题型1 函数的定义域（重） 题型2 函数的表示方法（重） 题型3 分段函数（高频） 题型4 函数图像 考点二 函数的单调性 题型1 定义法判断或证明函数的单调性（重） 题型2 判断单调性或求函数的单调区间（重） 题型3 复合函数的单调性 题型4 根据函数的单调性解不等式（高频） 题型5 函数不等式恒成立问题（高频） 题型6 根据单调性求最值和值域（高频） 考点三 函数的奇偶性 题型1 函数奇偶性的定义与判断（重） 题型2 根据奇偶性求函数的解析式（重） 题型3 由奇偶性求参数（高频） 题型4 由奇偶性解不等式（高频） 综合攻坚·知能拔高 常考题型·精准突破 考点一 函数的概念 ◆题型1函数的定义域 1．函数的定义域为（     ） A． B． C．R D． 2．函数的定义域为（   ） A． B． C． D． 3．若函数的定义域为，则函数的定义域为（    ） A． B． C． D． ◆题型2 函数的表示方法 1．若函数，则（    ） A． B． C． D． 2．已知是一次函数，，且，函数满足，则（ ） A． B． C． D． 3．已知函数，则（    ） A． B． C． D． ◆题型3 分段函数 1．设函数则（　　 ） A．—2 B． C． D． 2．已知函数，则（    ） A． B．1 C．7 D．5 3．已知函数的值域为，则实数的取值范围是（ ） A． B． C． D． ◆题型4 函数图像 1．如图中的图象所表示的函数的解析式为（   ） A． B． C． D． 2．定义运算，则函数的部分图象大致是（    ） A． B． C． D． 3．在股票买卖过程中，经常用到两种曲线，一种是即时曲线（实线表示）；另一种是平均价格曲线（虚线表示）.如是指开始买卖第二小时的即时价格为3元；表示二个小时内的平均价格为3元，下列给出的图象中，可能正确的是（    ） A．   B．   C．   D．   考点二 函数的单调性 ◆题型1定义法判断或证明函数的单调性 1．定义在上的函数，满足对任意，都有，则（   ） A． B． C． D． 2．若函数在上是减函数，且，则下列选项错误的是（   ） A． B． C． D． 3．设函数在上为增函数，则下列结论正确的是（    ） A．在R上为减函数 B．在R上为增函数 C．在R上为增函数 D．在R上为减函数 ◆题型2 判断单调性或求函数的单调区间 1．函数的单调递减区间为（   ） A． B． C． D． 2．若函数的图象如图所示，则其单调递增区间是（   ） A． B． C． D． 3．函数在（    ） A．上是增函数 B．上是减函数 C．和上是增函数 D．和上是减函数 ◆题型3 复合函数的单调性 1．函数f（x）＝的单调递减区间是（   ） A． B． C．[1,4] D．[－2,1] 2．函数的单调递增区间是（   ） A． B．， C．， D．， 3．下列函数中在区间单调递增的是（    ） A． B． C． D． ◆题型4 根据函数的单调性解不等式 1．已知是定义在上的增函数，则不等式的解集为（   ） A． B． C． D． 2．若定义在上的函数是单调递减函数，且，则实数的取值范围是（    ） A．或 B． C． D． 3．已知定义在上的函数满足对任意的、，当时，成立，则不等式的解集为（   ） A． B． C． D． ◆题型5 函数不等式恒成立问题 1．一元二次不等式在区间上恒成立，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 2．若关于的不等式在区间上恒成立，则的值可能是（   ） A． B．1 C．2 D．4 3．不等式对任意实数恒成立，则实数的取值范围为（   ） A． B． C． D． ◆题型6 根据单调性求最值和值域 1．函数的值域为（    ） A． B． C． D． 2．已知函数，则在区间上的最大值为（   ） A． B．1 C． D． 3．函数的值域为（    ） A． B． C． D． 考点三 函数的奇偶性 ◆题型1函数奇偶性的定义与判断 1．下列函数中是奇函数且是增函数的是（   ） A． B． C． D． 2．下列函数既是奇函数，又在其定义域上是单调递增函数的是（    ） A． B． C． D． 3．下列函数中是偶函数的是 （   ） A． B． C． D． ◆题型2 根据奇偶性求函数的解析式 1．若函数是奇函数，且当时，，则当时，的解析式为（   ） A． B． C． D． 2．已知函数是定义在上的奇函数，当时，，则当时，（    ） A． B． C． D． 3．函数是定义在上的奇函数，且当时，，则当时，（　　） A． B． C． D． ◆题型3 由奇偶性求参数 1．若函数为奇函数，则（   ） A． B．0 C．1 D．2026 2．已知是奇函数，且，函数是偶函数，则（    ） A． B．0 C．1 D．2 3．已知函数是奇函数，则（   ） A．0 B．1 C．2 D． ◆题型4 由奇偶性解不等式 1．已知是定义在R上的偶函数，且在上单调递增，则不等式的解集为（   ） A． B． C． D． 2．已知奇函数的定义域为且在上单调递减，，则满足的的取值范围是（    ） A． B． C． D． 3．已知为定义在上的奇函数，若在上单调递减，则满足不等式的实数a的取值范围是（   ） A． B． C． D． 综合攻坚·知能拔高 一、单选题 1．下列各组函数表示同一函数的是（    ） A．， B．， C．， D．， 2．已知函数是奇函数，则（    ） A．3 B． C．1 D． 3．已知函数是定义在上的奇函数，当时，（m为常数），则（   ） A．4 B．7 C． D．8 4．已知函数的图象如图所示，则的图象为（    ） A． B． C． D． 5．已知函数 在 上单调递减，则 的最小值是（    ） A． B．2 C． D．5 6．已知函数，若，则a的取值范围是（    ） A． B． C． D． 二、多选题 7．已知为奇函数，为偶函数，且均为非零函数，则（    ） A．为奇函数 B．为偶函数 C．为奇函数 D．为偶函数 8．已知函数，则（    ） A．的定义域为 B．在上单调递减 C．在上单调递增 D． 9．已知函数满足对任意的，都有，且，当时，，则（   ） A． B． C．是增函数 D．不等式的解集为 三、填空题 10．函数 的最大值为_____________． 11．已知函数是定义域在上的奇函数，且在上为增函数，若，则实数的取值范围是______． 12．若对任意，有，写出符合要求的一个解析式________，则函数在上的最大值与最小值的和________． 四、解答题 13．已知函数， (1)用定义法判断在区间上的单调性； (2)求出该函数在区间上的最大值和最小值. 14．已知函数，的定义域都是，且是奇函数，是偶函数， ． (1)求函数，的解析式； (2)求不等式的解集． 15．已知函数，函数是奇函数． (1)求实数a的值； (2)若对任意的，不等式恒成立，求实数的取值范围． 1 / 14 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题05 函数的概念与性质 常考题型·精准突破 考点一 函数的概念 题型1 函数的定义域（重） 题型2 函数的表示方法（重） 题型3 分段函数（高频） 题型4 函数图像 考点二 函数的单调性 题型1 定义法判断或证明函数的单调性（重） 题型2 判断单调性或求函数的单调区间（重） 题型3 复合函数的单调性 题型4 根据函数的单调性解不等式（高频） 题型5 函数不等式恒成立问题（高频） 题型6 根据单调性求最值和值域（高频） 考点三 函数的奇偶性 题型1 函数奇偶性的定义与判断（重） 题型2 根据奇偶性求函数的解析式（重） 题型3 由奇偶性求参数（高频） 题型4 由奇偶性解不等式（高频） 综合攻坚·知能拔高 常考题型·精准突破 考点一 函数的概念 ◆题型1函数的定义域 1．函数的定义域为（     ） A． B． C．R D． 【答案】C 【分析】根据根式有意义及一元二次不等式的解法求解即可. 【详解】由题意知，， 又恒成立， 所以函数的定义域为. 2．函数的定义域为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据具体函数定义域的求法求解即可. 【详解】由条件可得：， 所以的定义域为． 3．若函数的定义域为，则函数的定义域为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】由函数的定义域可知，解出的取值范围，即可得到函数的定义域． 【详解】因为函数的定义域为，函数， 所以，解得：或, 所以函数的定义域为， 故选：D ◆题型2 函数的表示方法 1．若函数，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据换元法求解即可. 【详解】令，，则， . . 2．已知是一次函数，，且，函数满足，则（ ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】设，利用待定系数法，结合已知方程组可得，再由换元法代入计算可得，可得出结论. 【详解】依题意可设， 由可得， 因此可得，解得或； 又因为，所以，即，即A正确，B错误； 又可得， 令，所以，因此， 所以，可得C错误，D错误. 故选：A. 3．已知函数，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】令，则，因为，所以， 由，可得， 所以． ◆题型3 分段函数 1．设函数则（　　 ） A．—2 B． C． D． 【答案】B 【分析】按照从内到外的顺序，先计算内层的值，再将所得结果代入函数计算外层值 【详解】因为，所以， 因为，所以， 所以. 2．已知函数，则（    ） A． B．1 C．7 D．5 【答案】B 【分析】由分段函数性质分别代入计算即可求得结果. 【详解】由题意可知：， ， 故. 故选：B 3．已知函数的值域为，则实数的取值范围是（ ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据分段函数解析式求出当时，即可得到当时的值域需包含，从而得到不等式组，解得即可. 【详解】因为， 所以当时，即； 要使函数的值域为， 所以当时的值域需包含， 又，所以，解得， 即实数的取值范围是. 故选：D ◆题型4 函数图像 1．如图中的图象所表示的函数的解析式为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】求已知图象函数的解析式，常使用特殊值代入排除法． 【详解】解：由已知函数图象易得：点、在函数图象上 将点代入，，可排除B、C 将代入，可排除D， 故选：A． 2．定义运算，则函数的部分图象大致是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据运算得到函数解析式作图判断. 【详解】， 其图象如图所示： 故选：B 3．在股票买卖过程中，经常用到两种曲线，一种是即时曲线（实线表示）；另一种是平均价格曲线（虚线表示）.如是指开始买卖第二小时的即时价格为3元；表示二个小时内的平均价格为3元，下列给出的图象中，可能正确的是（    ） A．   B．   C．   D．   【答案】A 【分析】根据开始时即时价格与平均价格的关系以及买卖过程中即时价格与平均价格的变化情况进行分析. 【详解】开始时，即时价格与平均价格相同，故排除C； 买卖过程中，平均价格不可能一直大于即时价格，故排除B； 买卖过程中，即时价格不可能一直大于平均价格，故排除D； 故选：A. 考点二 函数的单调性 ◆题型1定义法判断或证明函数的单调性 1．定义在上的函数，满足对任意，都有，则（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】由可得在上单调递增，故 2．若函数在上是减函数，且，则下列选项错误的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】因为在上是减函数，，所以，A正确；又，所以，，B，C正确，D错误． 3．设函数在上为增函数，则下列结论正确的是（    ） A．在R上为减函数 B．在R上为增函数 C．在R上为增函数 D．在R上为减函数 【答案】D 【分析】通过举反例即可判断A、B、C选项，可以借助单调性的定义证明D选项. 【详解】对于A选项，若，则，在上不是减函数，故A错误； 对于B选项，若，则，在上不是增函数，故B错误； 对于C选项，若，则，在上不是增函数，故C错误； 对于D选项，函数在上为增函数，则对于任意的，设，必有，即， 对于，则有 则在上为减函数，故D正确． 故选：D. ◆题型2 判断单调性或求函数的单调区间 1．函数的单调递减区间为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据题意，化简函数的解析式为，结合一次函数的性质，即可求解. 【详解】由函数，所以函数的单调递减区间为. 故选：D. 2．若函数的图象如图所示，则其单调递增区间是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】利用函数图象，结合函数单调性的定义，即可求解. 【详解】由函数的图象可知，单调递增区间是， 又由图知，而，所以A不正确， 故选：D. 3．函数在（    ） A．上是增函数 B．上是减函数 C．和上是增函数 D．和上是减函数 【答案】C 【分析】分离常数，作出函数图象，观察即可得出结果. 【详解】， 函数的定义域为， 其图象如下： 由图象可得函数在和上是增函数. 故选：C ◆题型3 复合函数的单调性 1．函数f（x）＝的单调递减区间是（   ） A． B． C．[1,4] D．[－2,1] 【答案】C 【分析】先求出函数的定义域，再换元，然后利用复合函数单调性“同增异减”的方法求解. 【详解】由题可知，，解得. 令，则， 因为在上单调递减，而在上单调递增，根据复合函数单调性“同增异减”， 所以在上单调递减. 故选：C. 2．函数的单调递增区间是（   ） A． B．， C．， D．， 【答案】B 【分析】首先求出函数的定义域，再根据复合函数的单调性判断即可. 【详解】令，解得且， 所以函数的定义域为， 又在上单调递减，在上单调递增， 由反比例函数性质得在，上单调递减， 所以的单调递增区间为，. 故选：B 3．下列函数中在区间单调递增的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】结合基本初等函数的图象与性质，逐项判定，即可求解. 【详解】根据二次函数的图象与性质，可得函数在单调递增，不符合题意； 由函数，可得函数在上单调递增，不符合题意； 由函数，可得函数在上单调递增，所以在区间单调递增，符合题意； 由函数，则满足，解得，即函数的定义域为，结合幂函数的性质，可得函数在上单调递减，不符合题意. 故选：C. ◆题型4 根据函数的单调性解不等式 1．已知是定义在上的增函数，则不等式的解集为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】利用定义域的限制及函数的单调性列不等式组，解不等式组求出解集． 【详解】已知是定义在上的增函数，不等式， 则，解得， 不等式的解集为，故A正确． 故选：A． 2．若定义在上的函数是单调递减函数，且，则实数的取值范围是（    ） A．或 B． C． D． 【答案】C 【分析】根据函数的定义域及其单调性，结合已知不等式求参数范围. 【详解】由题意，则，可得. 故选：C 3．已知定义在上的函数满足对任意的、，当时，成立，则不等式的解集为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】分析可知是上的增函数，由可得，解之即可. 【详解】不妨设，由可得，则， 所以函数是上的增函数， 则由，可得，即，解得或. 故原不等式的解集为. 故选：A. ◆题型5 函数不等式恒成立问题 1．一元二次不等式在区间上恒成立，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】参变分离可得在区间上恒成立，结合函数的单调性求出，即可得解. 【详解】因为在区间上恒成立， 所以在区间上恒成立， 即在区间上恒成立， 又与均在区间上单调递增， 所以在区间上单调递增，所以， 所以，即实数的取值范围为. 故选：D 2．若关于的不等式在区间上恒成立，则的值可能是（   ） A． B．1 C．2 D．4 【答案】D 【分析】将问题转化为在区间上恒成立，即可求出的取值范围. 【详解】由题意可得，在区间上恒成立， 因，则，故ABC错误，D正确. 故选：D 3．不等式对任意实数恒成立，则实数的取值范围为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】利用二次函数求出最小值，再借助恒成立建立不等式求解. 【详解】依题意，，当且仅当时取等号， 由对任意实数恒成立，得，解得， 所以实数的取值范围为. 故选：D ◆题型6 根据单调性求最值和值域 1．函数的值域为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】求二次函数的对称轴，根据单调性确定闭区间上的最值. 【详解】函数的对称轴为， 在单调递减，在单调递增， 所以，， 当，， 故原函数的值域为. 2．已知函数，则在区间上的最大值为（   ） A． B．1 C． D． 【答案】D 【分析】先判断在区间上的单调性，进而即可求在区间上的最大值． 【详解】由在上单调递增， 所以． 3．函数的值域为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】令，利用换元法将变为关于的二次函数，根据二次函数单调性即可求解. 【详解】令，则，得， 所以可以转化为． 因为二次函数在上单调递增， 当时，， 所以函数的值域为． 故选：D． 考点三 函数的奇偶性 ◆题型1函数奇偶性的定义与判断 1．下列函数中是奇函数且是增函数的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】是奇函数，但不是增函数，故A错误； 是奇函数，且在上是增函数，故B正确； 是偶函数，故C错误； 定义域为，是非奇非偶函数，故D错误. 2．下列函数既是奇函数，又在其定义域上是单调递增函数的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据幂函数、反比例函数的性质逐一判断即可. 【详解】对于A，函数为偶函数，不满足题意； 对于B，函数是奇函数，且单调递增，满足题意； 对于C，函数为非奇非偶函数，不满足题意； 对于D，函数为奇函数，但在定义域上不单调，不满足题意. 3．下列函数中是偶函数的是 （   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】由偶函数的定义判断即可． 【详解】对于A，函数，定义域关于原点对称， 且，则函数是偶函数； 对于B，函数，定义域为，关于原点对称， 而与不恒等，则函数不是偶函数； 对于C，函数定义域为，关于原点对称， 而与不恒等，则函数不是偶函数； 对于D，函数的定义域不关于原点对称，则函数不是偶函数. 故选：A ◆题型2 根据奇偶性求函数的解析式 1．若函数是奇函数，且当时，，则当时，的解析式为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】利用奇函数的性质即可求出时，的解析式. 【详解】由题可知，时，， 取，则，， 由奇函数性质可得：. 2．已知函数是定义在上的奇函数，当时，，则当时，（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】先求出当时，的表达式，再利用奇函数，求出的表达式. 【详解】当时，，所以 函数是上的奇函数，所以 故选：B. 3．函数是定义在上的奇函数，且当时，，则当时，（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】利用奇函数的性质求解. 【详解】当时，所以，故， 又为奇函数，则，故. 故选：A. ◆题型3 由奇偶性求参数 1．若函数为奇函数，则（   ） A． B．0 C．1 D．2026 【答案】B 【分析】分析可知函数的定义域为，结合奇函数定义运算求解. 【详解】因为函数的定义域为，且为奇函数， 则， 结合的任意性可得． 2．已知是奇函数，且，函数是偶函数，则（    ） A． B．0 C．1 D．2 【答案】A 【分析】根据的奇偶性，由建立关于的方程求解并验证即可. 【详解】根据题意，函数是偶函数，则， 即， 又由，， 则有，解可得． 验证：时，，， 要满足，即， 整理得，满足是奇函数， 所以. 3．已知函数是奇函数，则（   ） A．0 B．1 C．2 D． 【答案】A 【分析】利用奇函数的定义求解. 【详解】因为是分式，定义域为，又函数为奇函数， 所以定义域关于原点对称，， 所以，因为， 所以是奇函数，故. ◆题型4 由奇偶性解不等式 1．已知是定义在R上的偶函数，且在上单调递增，则不等式的解集为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】将原不等式转化为，再结合单调性即可得解. 【详解】因为是定义在R上的偶函数，故可转化为， 又因为在上单调递增，故，解得或，即解集为. 2．已知奇函数的定义域为且在上单调递减，，则满足的的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据奇偶性及条件，可得在上的单调性，及，，将所求变为或，结合示意图，分析即可得答案. 【详解】因为为上的奇函数，且在上单调递减， 所以在上单调递减，且，， 由，得或， 作出的示意图， 所以x的取值范围是. 故选：C 3．已知为定义在上的奇函数，若在上单调递减，则满足不等式的实数a的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据奇函数的性质得在上单调递减，再根据奇函数性质将化为，结合定义域利用单调性得，解不等式组即可解答. 【详解】因为是奇函数，则可化为． 又在上单调递减且是定义在上的奇函数，所以在上单调递减． 则，解得或， 即实数a的取值范围是． 故选：C 综合攻坚·知能拔高 一、单选题 1．下列各组函数表示同一函数的是（    ） A．， B．， C．， D．， 【答案】D 【详解】选项A：的定义域是，的定义域是， 定义域不同，不是同一函数，故A错误； 选项B：的定义域是，的定义域是， 定义域不同，不是同一函数，故B错误； 选项C：的定义域是，的定义域是， 定义域不同，不是同一函数，故C错误； 选项D：的定义域是， 去绝对值分段得， 定义域和表达式均和一致，是同一函数，故D正确． 2．已知函数是奇函数，则（    ） A．3 B． C．1 D． 【答案】D 【详解】已知是奇函数，根据奇函数定义有， 当时，，则， 所以. 3．已知函数是定义在上的奇函数，当时，（m为常数），则（   ） A．4 B．7 C． D．8 【答案】C 【详解】由已知得，则， 所以当时，， 所以，故． 4．已知函数的图象如图所示，则的图象为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】由与图象关于y轴对称，得的图象为A选项. 5．已知函数 在 上单调递减，则 的最小值是（    ） A． B．2 C． D．5 【答案】B 【详解】对函数，由对勾函数可得在和上单调递减， 因为函数在上单调递减，在上单调递减， 所以，解得， 所以的最小值为2. 6．已知函数，若，则a的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】对分类讨论：分，，，四种情况讨论即可. 【详解】当时，的对称轴在轴的右边，在上单调递减，在上单调递增， 所以，解得，结合得，； 当时，，恒成立，满足条件； 当时，在上单调递减，所以，解得， 所以只需考虑的情况，的对称轴为， 若，即时，的最小值为，，解得，故满足条件； 若，即时，在上单调递减， ，解得，所以满足条件； 综上所述，a的取值范围是. 二、多选题 7．已知为奇函数，为偶函数，且均为非零函数，则（    ） A．为奇函数 B．为偶函数 C．为奇函数 D．为偶函数 【答案】ACD 【分析】由奇偶性的定义确定为奇函数，由此得与奇偶性相异，结合“同偶异奇”分情况讨论即可. 【详解】设，， 由题意得，即①， ，即②， ②除以①得，即为奇函数，A正确； 由上并结合“同偶异奇”知与奇偶性相异，故B错误， 当为奇函数，为偶函数时，为偶函数，为偶函数， 满足为奇函数，为偶函数， 当为偶函数，为奇函数时，为偶函数，为偶函数， 不满足为奇函数，故C，D正确. 8．已知函数，则（    ） A．的定义域为 B．在上单调递减 C．在上单调递增 D． 【答案】ACD 【分析】求得函数的定义域可判断A；当时，，判断单调性可判断B；当时，，判断单调性可判断C；代入计算可判断D. 【详解】对于A，的定义域为，故A正确. 对于B，当时，， 因为在上单调递减，所以在上单调递增， 所以在上单调递增， 即在上单调递增，故B错误； 对于C，当时，， 因为在上单调递增，所以在上单调递增， 所以在上单调递增， 即在上单调递增，故C正确. 对于D，，故D正确. 故选：ACD 9．已知函数满足对任意的，都有，且，当时，，则（   ） A． B． C．是增函数 D．不等式的解集为 【答案】BD 【分析】利用赋值法判断A；令，可得，即可判断B；根据题意结合函数单调性的定义判断C；分析可得，结合单调性运算求解即可. 【详解】因为，， 对于选项A：令，得，解得，故A错误 对于选项B：令，得，即， 可知为奇函数，所以，故B正确； 对于选项C：任取，则，可得， 则， 即，可知在定义域上单调递减，故C错误； 对于选项D：因为， 令，得，即，可得， 因为， 因为在定义域上单调递减， 则，即，即， 所以不等式的解集为，故D正确. 三、填空题 10．函数 的最大值为_____________． 【答案】2 【分析】求出函数在每一段的最大值，再进行比较，即可得答案. 【详解】当时，函数为减函数，所以在处取得最大值； 当时，函数在上单调递增，在上单调递减， 在处取得最大值. 故函数的最大值为2. 11．已知函数是定义域在上的奇函数，且在上为增函数，若，则实数的取值范围是______． 【答案】 【分析】先判断在上为增函数，再根据奇偶性和单调性可得关于的不等式组，从而可得实数的取值范围. 【详解】因为为奇函数且在上为增函数，故在上为增函数， 因为为上的奇函数，故即为， 故，故. 12．若对任意，有，写出符合要求的一个解析式________，则函数在上的最大值与最小值的和________． 【答案】 （符合题意任写一个即可） 8 【分析】由对任意，有，得函数是奇函数，从而写出符合要求的一个解析式，从而得到是奇函数，并求得其在上的最大值与最小值的和，进而得到的值. 【详解】因为对任意，有， 所以令，得，所以； 令，得，所以，即， 所以函数为奇函数. 若，则，， 所以，符合要求. 所以符合要求的一个解析式可以是. 此时，， 令，则的定义域为，且， 所以为奇函数，所以的图象关于原点对称. 记在上的最大值为与最小值为，则. 所以函数在上的最大值与最小值的和. 四、解答题 13．已知函数， (1)用定义法判断在区间上的单调性； (2)求出该函数在区间上的最大值和最小值. 【答案】(1)证明：，且， 则 , 因，则， 则，即， 则在区间上单调递增. (2)最小值为，最大值为. 【详解】（1）略 （2）由（1）可知在区间上单调递增， 则的最小值为，最大值为. 14．已知函数，的定义域都是，且是奇函数，是偶函数， ． (1)求函数，的解析式； (2)求不等式的解集． 【详解】（1）是奇函数，是偶函数，，， ，①， 即，②，由①、②解得，． （2）由（1）知是上的奇函数和增函数， 则不等式， 因此，即，解得， 即，所以原不等式的解集为． 15．已知函数，函数是奇函数． (1)求实数a的值； (2)若对任意的，不等式恒成立，求实数的取值范围． 【详解】（1）因为的定义域为，且函数是奇函数， 由，得，则， 经检验是奇函数，满足题意，故． （2） 由解析式可知在上单调递增，且为奇函数， ∴由恒成立，得， 所以，时恒成立，即在上恒成立， 令，，则 又，当且仅当，即时取等号， 所以实数的取值范围为． 1 / 14 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $