第三章 函数的概念与性质 单元卷-2026-2027学年高一上学期数学人教A版必修第一册

**基本信息** 聚焦函数概念与性质，通过单选、多选、填空及解答题分层考查奇偶性、单调性及幂函数，强化定义理解与逻辑推理，适配单元复习巩固与能力提升。 **题型特征** |题型|题量|知识覆盖|命题特色| |----|----|----------|----------| |单选题|8|奇偶性判断、单调区间、幂函数性质|基础概念辨析，如偶函数与单调递增函数判定| |多选题|3|幂函数奇偶性与单调性、定义域值域|多选项辨析，如幂函数奇偶性与单调性关系| |填空题|3|函数值计算、奇函数解析式、幂函数参数|性质直接应用，如已知奇函数求解析式| |解答题|5|单调性定义证明、幂函数综合、最值求解|分层递进，强调定义证明与逻辑推理，如用定义证明单调性|

高中数学人教A版必修一第三章函数的概念与性质 参考答案 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案 B B D C C D A A ACD ABD 题号 11 答案 BD 1．B 【详解】对于A，的定义域为，函数为非奇非偶函数，不符合题意； 对于B，的定义域为R，满足，函数为偶函数， 当时，单调递增，符合题意； 对于C，在上单调递减，不符合题意； 对于D，在上单调递减，不符合题意. 2．B 【详解】因为，二次函数开口向上，对称轴为， 故单调递增区间为. 3．D 【分析】本题主要利用函数单调性的概念逐项判断即可. 【详解】因为在上单调递增，且，所以，； 判断斜率符号：两点连线斜率，所以选项D正确； 排除其他选项： 选项A：，A错误； 选项B：斜率为正，B错误； 选项C：取，则，，两者相等，C错误. 4．C 【分析】先依据幂函数的定义求出的可能取值，再结合函数在上单调递减的性质筛选得到正确结果. 【详解】根据幂函数的定义可得 ，即，解得或， 又在上单调递减，可得，即， 所以. 5．C 【详解】由题意得，，，，故ABD错误； ，故C正确. 6．D 【分析】由题意，,求出,再利用奇函数性质代值计算即可. 【详解】因是定义在上的奇函数，则, 即,解得, 则当时，， 故. 7．A 【详解】∵ 当时，，∴ . ∵ 是奇函数，满足，∴ . 8．A 【详解】已知奇函数在上单调递减， 对于A，，，，A正确； 对于B，，B错误； 对于C，，，，C错误； 对于D，，，，D错误． 9．ACD 【分析】根据幂函数定义计算可得或，再分别利用函数奇偶性定义、单调性定义对选项逐一判断即可得出结论. 【详解】由幂函数的定义可知，即，解得或， 当时，为奇函数，且在上单调递减，A，C正确； 当时，为偶函数，且在上单调递减，B错误，D正确． 故选：ACD． 10．ABD 【分析】根据求出的值，可得出函数的解析式，再结合幂函数的基本性质逐项判断即可. 【详解】因为，则，解得，所以， 函数的定义域为，故函数是非奇非偶函数， 且该函数在上单调递增，ABD都错，C对. 故选：ABD. 11．BD 【分析】逐一求出各选项函数的定义域及值域即可判断. 【详解】对于A，函数的定义域为R，值域为，A不是； 对于B，函数的定义域为R，当时，， 当时，，因此的值域为R，B是； 对于C，函数的定义域为，值域为，C不是； 对于D，函数的定义域、值域均为R，D是. 故选：BD 12．2 【详解】 13． 【分析】利用函数的奇偶性求解即可. 【详解】已知是定义在上的奇函数，则 当时，， 则时，有，则， 因此. 14． 【分析】根据幂函数的定义和性质即可求解. 【详解】已知是幂函数，则，解得或， 又因为在上单调递减，所以，即，所以． 15．设，则， 由题意得，，， 则有，即，且， 故在上为单调递增函数. 【详解】略 16．(1)，奇函数，证明如下： 因为为幂函数，且过点，所以，解得 所以，所以该函数为奇函数. 理由：定义域为，因为都有， 且，所以该函数为奇函数. (2) 函数在上单调递减. ，且，则 ，，又因为，，即. ，即 在上单调递减. 【分析】（1）由幂函数的定义及经过的点可得函数解析式，并用奇偶性的定义判断可得； （2）直接根据幂函数性质判断并用单调性的定义证明可得. 【详解】（1）略 （2）略 17．(1) 在上的单调递增，证明如下： 在内任取，且， ， 因为，所以， 所以，即， 所以在上的单调递增. (2)最大值为，最小值为 【分析】（1）根据单调性的定义，按照取值、作差、整理、定号，得结论的步骤，证明即可. （2）根据的单调性，结合条件，代入数据，即可得答案. 【详解】（1）略 （2）由（1）得在上的单调递增， 所以的最大值为，的最小值为. 18．(1)；. (2)最大值为，最小值为. 【分析】（1）结合幂函数和一次函数定义，通过待定系数法求解方程； （2）根据二次函数性质结合给定区间求解最值即可. 【详解】（1）设幂函数，因为过点， 代入得：，得，因此 . 设一次函数，由题意：，得， 又过点，则，解得，故. （2）由题意得：，对称轴为， 且，则最大值在对称轴处取得：； 由，，可得最小值为. 所以在上的最大值为，最小值为. 19．(1) ， ． (2) (3)． 【分析】（1）根据解析式代入求解； （2）利用解析式直接相加求解； （3）根据（2）的结论，运用到式子中化简即可求值. 【详解】（1）已知函数， ， ． （2）由，得， ． （3）由知 ，， ． 学科网（北京）股份有限公司 $ 高中数学人教A版必修一第三章函数的概念与性质 一、单选题 1．下列函数中既是偶函数，又在上单调递增的是（ ） A． B． C． D． 2．函数的单调递增区间为（    ） A． B． C． D． 3．已知函数在区间上单调递增，且，则下列不等式一定成立的是（    ） A． B． C． D． 4．已知幂函数在上单调递减，则（   ） A．1或2 B．0或1 C．1 D．2 5．已知为奇函数且在上单调递减，则（   ） A． B． C． D． 6．已知奇函数的定义域为，且当时，，则（    ） A． B． C．2 D．1 7．已知为奇函数，且当时，，则（    ） A． B． C． D． 8．已知奇函数在上单调递减，则（   ） A． B． C． D． 二、多选题 9．已知幂函数，则（   ） A．当为奇函数时， B．当为偶函数时， C．当为奇函数时，在上单调递减 D．当为偶函数时，在上单调递减 10．已知幂函数的图象经过点，则下列说法错误的是（   ） A．函数是奇函数 B．函数是偶函数 C．在上单调递增 D．在上单调递减 11．下列函数定义域和值域相同的是（    ） A． B． C． D． 三、填空题 12．已知函数，则_______________． 13．已知是定义在上的奇函数，当时，，则时，的解析式为________________． 14．已知幂函数在上单调递减，则实数______． 四、解答题 15．用函数单调性的定义证明：在上为单调递增函数． 16．已知幂函数过点. (1)求的解析式，判断的奇偶性并证明； (2)判断函数在上的单调性并证明. 17．已知函数， (1)判断函数在区间上的单调性，并用定义证明你的结论． (2)求该函数在区间上的最大值与最小值． 18．已知幂函数与一次函数的图象都经过点，且． (1)求与的解析式： (2)求函数在上的最值． 19．已知函数． (1)求 ， 的值 (2)探索 (3)利用（2）的结论求表达式： 的值． 第1页，共2页 第1页，共2页 学科网（北京）股份有限公司 $