第二章一元二次函数、方程和不等式单元试卷同步练-2026-2027学年高一上学期数学人教A版必修第一册

**基本信息** 高一数学第二章单元复习同步练，分层设计梯度合理，知识覆盖从单一概念到综合应用，通过问题解决培养数学思维与应用意识。 **分层设计** |层次|知识覆盖|设计特色| |----|----------|----------| |基础|不等式性质、解法等单一概念与运算|单选题1-4直接考查比较大小、解集求解，巩固基础认知| |中档|命题判断、条件关系等综合应用与推理|多选题9-11结合命题真假与解集分析，培养逻辑推理能力| |提升|实际问题与创新探究|解答题19联系利润函数模型，体现数学应用于现实世界的价值|

2026-2027学年高一数学第二章测试卷 学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________ 一、单选题 1．已知，，记，，则与的大小关系是（    ） A． B． C． D．与的大小关系不确定 2．不等式的解集是（    ） A． B． C． D． 3．“”是“”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 4．若不等式的解集是，则（    ）. A． B． C． D． 5．已知，为正实数，则的最大值为（    ） A． B． C． D． 6．某工厂第一年的产量为，第二年的增长率为，第三年的增长率为（），这两年的平均增长率为，则（   ） A． B． C． D． 7．函数的最小值是（    ） A．8 B．6 C．9 D．4 8．《几何原本》中的几何代数法(以几何方法研究代数问题)成为了后世数学家处理问题的重要依据.通过这一原理，很多的代数的公理或定理都能够通过图形实现证明，也称之为无字证明.如图所示的图形，在AB上取一点，使得，，过点作交圆周于D，连接OD.作交OD于.则下列不等式可以表示的是（    ） A． B． C． D． 二、多选题 9．下列命题为真命题的是（    ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 10．若命题“”是假命题，则m的值可以是（    ） A．0 B． C．2 D．4 11．已知关于的不等式的解集为，则下列选项中正确的是（    ） A． B．不等式的解集是 C． D．不等式的解集为或 三、填空题 12．已知，则的取值范围为______ 13．存在，使不等式成立.则实数的取值范围是____________． 14．当时，则的最小值是______. 四、解答题 15．（1）设，．试比较与的大小． （2）已知，，．求证：． 16．（1）当时，求函数的最小值； （2）已知正数x，y满足. （i）求的最大值； （ii）求的最小值. 17．求下列不等式的解集： （1）； （2） 18．（1）若关于的不等式的解集为，求实数的取值范围； （2）若不等式对任意恒成立，求实数的取值范围. 19．某公司为进一步增强市场竞争力，计划改进技术生产某产品．已知该产品年利润（单位：万元）与年产量（单位：台）的函数关系为.假设生产的产品当年能全部销售完，且每年最大产量为100台． (1)当年产量为20台时，求公司所获年利润； (2)当年产量不超过40台时，为实现年盈利，该产品的年产量至少为多少台？ (3)当该产品的年产量为多少台时，公司所获年利润最大？ 试卷第1页（共3页） 试卷第1页（共3页） 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026-2027学年高一数学第二章测试卷 学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________ 一、单选题 1．已知，，记，，则与的大小关系是（    ） A． B． C． D．与的大小关系不确定 【答案】A 【分析】利用作差法可判断. 【详解】 因为，， 所以，. 所以，得，即. 2．不等式的解集是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】将分式不等式移项通分转化为乘积不等式，结合分母不为零的条件求解解集. 【详解】对移项可得：， 因此不等式等价于，即， 可得；， 又因为分母即， 最终解集为. 3．“”是“”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】C 【分析】利用作差法、不等式的基本性质结合充分条件、必要条件的定义判断可得出结论. 【详解】由可得， 由已知且，若，则，所以，，则，矛盾. 若，则，从而，合乎题意. 综上所述，“”是“”的充要条件. 故选：C. 4．若不等式的解集是，则（    ）. A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据不等式对应方程的韦达定理得到，计算得到答案. 【详解】不等式的解集是 则根据对应方程的韦达定理得到：即 故选 【点睛】本题考查了不等式的系数关系，转化为对应方程的根与系数的关系是解题的关键. 5．已知，为正实数，则的最大值为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】将原式的两个分母整体设为新变量，通过解方程组用新变量表示，代入原式化简后结合基本不等式即可求解最值. 【详解】∵ 为正实数，令，，，， 联立得，解得，. ∵ 为正实数， ∴ ，即，满足基本不等式使用条件. 所以. 则，当且仅当，即时取等号. 此时，，均为正实数，等号可取. ∴ 原式，即最大值为. 6．某工厂第一年的产量为，第二年的增长率为，第三年的增长率为（），这两年的平均增长率为，则（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】由题意建立等式，再结合基本不等式即可求解. 【详解】由题意得，因为， 所以， 易知，所以， 因为， 则有， 即，即， 因为，所以， 即，所以， 所以. 7．函数的最小值是（    ） A．8 B．6 C．9 D．4 【答案】A 【分析】利用配凑法结合基本不等式即可求解. 【详解】， ，，， 由基本不等式可得：， 当且仅当，即时，等号成立，故选A. 8．《几何原本》中的几何代数法(以几何方法研究代数问题)成为了后世数学家处理问题的重要依据.通过这一原理，很多的代数的公理或定理都能够通过图形实现证明，也称之为无字证明.如图所示的图形，在AB上取一点，使得，，过点作交圆周于D，连接OD.作交OD于.则下列不等式可以表示的是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据圆的性质、射影定理求出CD和DE的长度，利用CD>DE即可得到答案.同时这是几何法构造基本不等式及其推论的一种方法. 【详解】 连接DB，因为AB是圆O 的直径，所以，所以在中，中线，由射影定理可得，所以. 在中，由射影定理可得，即， 由得， 故选：A 二、多选题 9．下列命题为真命题的是（    ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 【答案】BD 【详解】A选项，当时，，所以A选项错误； B选项，若，则，所以，所以B选项正确； C选项，若，则，所以C选项错误； D选项，若，则，则，所以D选项正确. 10．若命题“”是假命题，则m的值可以是（    ） A．0 B． C．2 D．4 【答案】AB 【详解】由题意可知：命题“”是真命题， 则，解得， 结合选项可知AB正确，CD错误. 11．已知关于的不等式的解集为，则下列选项中正确的是（    ） A． B．不等式的解集是 C． D．不等式的解集为或 【答案】AC 【分析】根据不等式的解与方程的根之间的关系，结合韦达定理可得，即可代入选项中逐一求解. 【详解】由不等式的解集为，可知是不等式的两个实数根，所以且，则且，故A正确， 对于B,不等式为，解得，故解集是，故B错误， 对于C, ，C正确， 对于D, 化为，即，解得，故不等式的解为，D错误， 故选：AC 三、填空题 12．已知，则的取值范围为______ 【答案】 【分析】利用不等式待定系数配凑求解 【详解】设 展开得 对比系数列方程得，解得 所以 因为， 所以，即 ，两不等式相加得，即 13．存在，使不等式成立.则实数的取值范围是____________． 【答案】 【分析】应用存在性条件结合一元二次不等式计算求解. 【详解】存在，使不等式成立， 则实数，即得， 所以，所以的取值范围是 14．当时，则的最小值是______. 【答案】 【分析】将函数变形成，再利用重要不等式即可求出结果. 【详解】因为，所以， ， 当且仅当，即时，等号成立， 所以函数的最小值为. 四、解答题 15．（1）设，．试比较与的大小． （2）已知，，．求证：． 【答案】（1）； （2）因为，可得， 又因为，所以，所以， 因为，所以. 【分析】（1）根据题意，利用作差比较法，即可求解； （2）根据题意，利用不等式的基本性质，即可得证. 【详解】（1）解：由，， 则， 因为，可得，所以； （2）略 16．（1）当时，求函数的最小值； （2）已知正数x，y满足. （i）求的最大值； （ii）求的最小值. 【答案】（1）14；（2）（i）（ii）4 【详解】（1）由，所以，所以 当且仅当 即时，函数取到最小值14. （2）（i）因为正数x，y，由基本不等式得， 解得（当且仅当时取等号）， 所以的最大值； （ii） 当且仅当时，即取等号， 故的最小值为4. 17．求下列不等式的解集： （1）； （2） 【答案】（1）  （2）答案见解析 【解析】（1）求出方程的两根，再结合一元二次函数的图象求得不等式的解集； （2）先将不等式转化为，再对进行分类讨论，比较对应方程根的大小关系，结合二次函数的图象，即可得到答案. 【详解】（1）因为，所以方程有两个不相等的实根，.又二次函数的图象开口向下，所以原不等式的解集为. （2） 若，原不等式等价于，解得. 若，原不等式等价于，解得或. 若，原不等式等价于. ①当时，，无解； ②当时，，解得； ③当时，，解得. 综上所述，当时，解集为{或}； 当时，解集为；当时，解集为； 当时，解集为；当时解集为. 【点睛】本题考查一元二次不等式不含参和含参问题的求解，考查转化与化归思想、分类讨论思想、数形结合思想，考查逻辑推理能力和运算求解能力，求解时注意讨论的完整性及结合二次函数的开口方向，求得不等式的解集. 18．（1）若关于的不等式的解集为，求实数的取值范围； （2）若不等式对任意恒成立，求实数的取值范围. 【答案】（1）（2） 【分析】（1）分别按照和讨论求出实数的取值范围； （2）原不等式可化为，利用基本不等式求解，即可得到实数的取值范围. 【详解】（1）①当，即时， 不等式转化为， 此不等式无解，解集为，满足题设； ②当，即时， ， 解得； 综上：实数的取值范围为. （2）因为，所以， 解得，即， 因为，所以， 当且仅当即时，等号成立， 所以，故实数的取值范围为. 19．某公司为进一步增强市场竞争力，计划改进技术生产某产品．已知该产品年利润（单位：万元）与年产量（单位：台）的函数关系为.假设生产的产品当年能全部销售完，且每年最大产量为100台． (1)当年产量为20台时，求公司所获年利润； (2)当年产量不超过40台时，为实现年盈利，该产品的年产量至少为多少台？ (3)当该产品的年产量为多少台时，公司所获年利润最大？ 【答案】(1)万元； (2)台； (3)台. 【分析】（1）根据分段函数求值即可； （2）解一元二次不等式，即可得解； （3）利用二次函数性质和基本不等式分别求出各段最大值，比较即可作出判断. 【详解】（1）当年产量为20台时，（万元）， 所以当年产量为20台时，公司所获年利润为万元； （2）当年产量不超过40台时，为实现年盈利，即， 解得，又因为，所以， 即为实现年盈利，该产品的年产量至少为台； （3）当时，， 此时当时，在此区间内公司所获年利润最大值为万元， 当时，， 当且仅当时，在此区间内公司所获年利润取得最大值为万元， 综上可得：当该产品的年产量为台时，公司所获年利润最大值为万元. 试卷第1页（共3页） 试卷第1页（共3页） 学科网（北京）股份有限公司 $