2.1等式性质与不等式性质【课时步步练】-2026-2027学年高一上学期数学人教A版必修第一册

**基本信息** 高中数学2.1等式性质与不等式性质同步练，新授课适用。分层设计梯度合理，从概念辨析到综合应用，适配知识巩固与数学思维、语言能力培养。 **分层设计** |层次|知识覆盖|设计特色| |----|----------|----------| |基础认知|不等式表示与概念辨析|选择题2、3等基础题，强化符号意识与抽象能力| |性质应用|大小比较与取值范围|填空题12、14结合运算，培养推理意识| |综合提升|实际情境与证明|解答题16证明题，发展逻辑推理与模型意识|

2.1等式性质与不等式性质 【课时步步练】 2026-2027学年高一数学同步备课系列【提升题】——解析版 一、选择题（共8小题） 1.（2025-2026·湖南岳阳高一上期中）若则一定有（） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】由得,故； 因为,所以； 由不等式性质得． 答案为. 2.下面能表示“a与b的和是非正数”的不等式为(　　) A.a＋b<0 B.a＋b>0 C.a＋b≤0 D.a＋b≥0 【答案】C 【解析】“非正数”是负数和零，用不等号表示为“≤”，即a与b的和是非正数用不等式表示为a＋b≤0. 3.下列说法正确的是(　　) A.某人的月收入x不高于2 000元可表示为“x＜2 000” B.小明的身高x cm，小华的身高y cm，则小明比小华矮表示为“x＞y” C.某变量x至少是a可表示为“x≥a” D.某变量y不超过a可表示为“y≥a” 【答案】C 【解析】某人的月收入x不高于2 000元可表示为“x≤2 000”，∴A错误； 小明的身高x cm，小华的身高y cm，则小明比小华矮表示为“x＜y”，∴B错误； 某变量x至少是a可表示为“x≥a”，∴C正确； 某变量y不超过a可表示为“y≤a”，∴D错误． 4.完成一项装修工程，请木工需付工资每人500元，请瓦工需付工资每人400元，现有工人工资预算20 000元，设请木工x人，瓦工y人，则请工人满足的关系式是(　　) A.5x＋4y<200 B.5x＋4y≥200 C.5x＋4y＝200 D.5x＋4y≤200 【答案】D 【解析】由题意，x，y满足的不等式为500x＋400y≤20 000，即5x＋4y≤200. 5.（2025-2026·湖南长沙高一上期中）已知枝玫瑰与枝康乃馨的价格之和大于元，而枝玫瑰与枝康乃馨的价格之和小于元，那么枝玫瑰和枝康乃馨的价格的比较结果是（） A.枝玫瑰的价格高 B.枝康乃馨的价格高 C.价格相同 D.不确定 【答案】A 【解析】设1枝玫瑰与1枝康乃馨的价格分别为元、元,由题意得. 由得；由得. 因为,且,所以,即. 答案为A. 6.（2025-2026·湖南永州高一上期中）设，，则有（） A. B. C. D.. 【答案】C 【解析】由, 得配方为, 因为, 所以, 故,即. 答案为C. 7.已知0＜x＜1，0＜y＜1，记M＝xy，N＝x＋y－1，则M与N的大小关系是(　　) A.M＜N B.M ＞N C.M＝N D.M与N的大小关系不确定 【答案】B 【解析】M－N＝xy－x－y＋1＝x(y－1)－(y－1)＝(x－1)(y－1)， 因为0＜x＜1，0＜y＜1，所以x－1＜0，y－1＜0， 所以M－N＞0，所以M ＞N. 8.足球赛期间，某球迷俱乐部一行56人从旅馆乘出租车到球场为中国队加油，现有A，B两个出租车队，A队比B队少3辆车.若全部安排乘A队的车，每辆车坐5人，车不够，每辆车坐6人，有的车未坐满；若全部安排乘B队的车，每辆车坐4人，车不够，每辆车坐5人，有的车未坐满.则A队有出租车(　　) A.11辆 B.10辆 C.9辆 D.8辆 【答案】B 【解析】设A队有出租车x辆， 则B队有出租车(x+3)辆，由题意得 解得 则<x<11.而x为正整数，故x=10. 二、多选题（共3小题） 9.下列说法正确的是(　　) A.某人月收入x不高于2 000元可表示为“x<2 000” B.小明的体重x kg，小华的体重y kg，则小明比小华重表示为“x>y” C.某变量x至少为a可表示为“x≥a” D.某变量y不超过a可表示为“y≤a” 【答案】BCD 【解析】对于A，x应满足x≤2 000，故A错；B，C，D正确. 10.（2025-2026·湖南长沙高一上期中）已知，则下列命题正确的是（） A.若且，则 B.若，则 C.若，则 D.若且，则 【答案】BCD 【解析】对于选项A： 取,满足且, 此时,故,A错误. 对于选项B： 因为,所以,B正确. 对于选项C： 因为,由, 得,故,C正确. 对于选项D： 因为且,所以, 故,由得,D正确. 答案为BCD. 11.（2024-2025·内蒙古呼伦贝尔高一上期中）若，则下列不等式恒成立的是（） A. B. C. D. 【答案】AB 【解析】对于选项A: 由,因为,所以, 故,即,A正确. 对于选项B: 由,因为,所以, 故,即,B正确. 对于选项C: 取,则,故,C错误. 对于选项D: 取,则,故,D错误. 故选:AB 三、填空题（共3小题） 12.（2025-2026·湖南永州高一上期中）已知，则的取值范围是                   . 【答案】 【解析】设, 由得, 解得, 故. 由得, 由, 故, 即. 14.已知1<a<6，3<b<4，则a-b的取值范围是                  .的取值范围是                  . 【答案】-3<a-b<3　<2 【解析】因为3<b<4，所以-4<-b<-3. 所以1-4<a-b<6-3，即-3<a-b<3. 又即<2. 13.某学习小组，调查鲜花市场价格得知，购买2枝玫瑰与1枝康乃馨所需费用之和大于8元，而购买4枝玫瑰与5枝康乃馨所需费用之和小于22元.设购买2枝玫瑰花所需费用为A元，购买3枝康乃馨所需费用为B元，则A，B的大小关系是                  . 【答案】A>B 【解析】法一 设每枝玫瑰x元，每枝康乃馨y元， 由题意得且2x＝A，3y＝B， 整理得x＝，y＝， 将A＋>8乘以－2与2A＋B<22相加，解得B<6， 又A>8－，则A>6，故A>B. 法二 由题意得且2x＝A，3y＝B， 设A－B＝2x－3y＝m(2x＋y)＋n(4x＋5y)， 则解得 因此2x－3y＝(2x＋y)－(4x＋5y)>＋＝0， 因此2x－3y>0，即2x>3y， 结合2x＝A，3y＝B，可知A>B. 四、解答题（共2小题） 15．（25-26高一上·黑龙江大庆·阶段检测）已知， (1)求的取值范围； (2)比较两个代数式的大小：与． 【答案】（1） ，， ， ； （2） ， ． 16．证明下列不等式： (1)已知a>b>c>d，求证：； (2)已知a>b>0，c<d<0，e<0，求证：. 【答案】证明(1)因为a>b>c>d，即a>b，-d>-c， 所以a-d>b-c>0，则. (2)因为a>b>0，c<d<0，e<0， 所以-c>-d>0， 所以a-c>b-d>0，b-a<0，c-d<0， 则>0， 所以. 学科网（北京）股份有限公司 $ 2.1等式性质与不等式性质 【课时步步练】 2026-2027学年高一数学同步备课系列【提升题】——原卷版 一、选择题（共8小题） 1.（2025-2026·湖南岳阳高一上期中）若则一定有（） A. B. C. D. 2.下面能表示“a与b的和是非正数”的不等式为(　　) A.a＋b<0 B.a＋b>0 C.a＋b≤0 D.a＋b≥0 3.下列说法正确的是(　　) A.某人的月收入x不高于2 000元可表示为“x＜2 000” B.小明的身高x cm，小华的身高y cm，则小明比小华矮表示为“x＞y” C.某变量x至少是a可表示为“x≥a” D.某变量y不超过a可表示为“y≥a” 4.完成一项装修工程，请木工需付工资每人500元，请瓦工需付工资每人400元，现有工人工资预算20 000元，设请木工x人，瓦工y人，则请工人满足的关系式是(　　) A.5x＋4y<200 B.5x＋4y≥200 C.5x＋4y＝200 D.5x＋4y≤200 5.（2025-2026·湖南长沙高一上期中）已知枝玫瑰与枝康乃馨的价格之和大于元，而枝玫瑰与枝康乃馨的价格之和小于元，那么枝玫瑰和枝康乃馨的价格的比较结果是（） A.枝玫瑰的价格高 B.枝康乃馨的价格高 C.价格相同 D.不确定 6.（2025-2026·湖南永州高一上期中）设，，则有（） A. B. C. D.. 7.已知0＜x＜1，0＜y＜1，记M＝xy，N＝x＋y－1，则M与N的大小关系是(　　) A.M＜N B.M ＞N C.M＝N D.M与N的大小关系不确定 8.足球赛期间，某球迷俱乐部一行56人从旅馆乘出租车到球场为中国队加油，现有A，B两个出租车队，A队比B队少3辆车.若全部安排乘A队的车，每辆车坐5人，车不够，每辆车坐6人，有的车未坐满；若全部安排乘B队的车，每辆车坐4人，车不够，每辆车坐5人，有的车未坐满.则A队有出租车(　　) A.11辆 B.10辆 C.9辆 D.8辆 二、多选题（共3小题） 9.下列说法正确的是(　　) A.某人月收入x不高于2 000元可表示为“x<2 000” B.小明的体重x kg，小华的体重y kg，则小明比小华重表示为“x>y” C.某变量x至少为a可表示为“x≥a” D.某变量y不超过a可表示为“y≤a” 10.（2025-2026·湖南长沙高一上期中）已知，则下列命题正确的是（） A.若且，则 B.若，则 C.若，则 D.若且，则 11.（2024-2025·内蒙古呼伦贝尔高一上期中）若，则下列不等式恒成立的是（） A. B. C. D. 【答案】AB 【解析】对于选项A: 由,因为,所以, 故,即,A正确. 对于选项B: 由,因为,所以, 故,即,B正确. 对于选项C: 取,则,故,C错误. 对于选项D: 取,则,故,D错误. 故选:AB 三、填空题（共3小题） 12.（2025-2026·湖南永州高一上期中）已知，则的取值范围是                   . 14.已知1<a<6，3<b<4，则a-b的取值范围是                  .的取值范围是                  . 13.某学习小组，调查鲜花市场价格得知，购买2枝玫瑰与1枝康乃馨所需费用之和大于8元，而购买4枝玫瑰与5枝康乃馨所需费用之和小于22元.设购买2枝玫瑰花所需费用为A元，购买3枝康乃馨所需费用为B元，则A，B的大小关系是                  . 四、解答题（共2小题） 15．（25-26高一上·黑龙江大庆·阶段检测）已知， (1)求的取值范围； (2)比较两个代数式的大小：与． 16．证明下列不等式： (1)已知a>b>c>d，求证：； (2)已知a>b>0，c<d<0，e<0，求证：. 学科网（北京）股份有限公司 $