1.2 常用逻辑用语专项训练-2027届高三数学一轮复习

**基本信息** 以“概念表格化梳理+分层题型训练”构建逻辑用语专项体系，通过结论提炼与多领域应用培养抽象能力与推理意识。 **专项设计** |模块|题量/典例|方法提炼|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |基础知识梳理|4概念表+2结论|集合关系判定条件、命题否定转换技巧|从充分/必要条件、量词概念到命题否定，形成“概念-判定-否定”逻辑链| |基础题|4题型24题|定义辨析法、符号直接转换|覆盖简单命题真假、条件判定等基础考法，夯实概念理解| |中档题|4题型30题|集合/函数/几何交叉转化|结合集合运算、函数单调性等深化条件关系，提升推理能力| |拔高题|4题型15题|新定义情境迁移、综合命题论证|通过创新情境（如切比雪夫距离）强化数学语言表达与逻辑建模|

1.2 常用逻辑用语 基础知识梳理 1.充分条件与必要条件的相关概念 记对应的集合分别为则: 是的充分条件 是的必要条件 是的充要条件 且 是的充分不必要条件 且 是的必要不充分条件 且 是的既不充分也不必要条件 且 且 2.全称量词和存在量词 量词名称 常见量词 符号表示 全称量词 所有的、一切、任意一个、每一个、任给等   存在量词 存在一个、至少有一个、有些、对某些等   3.全称量词命题与存在量词命题的否定 命题名称 语言表示 符号表示 命题的否定 全称量词 命题 对中任意一个成立 存在量词 命题 存在中的元素成立 4.常考结论 1.是的充分不必要条件是的必要不充分条件. 2.因为命题和的真假性相反,所以当判断一个命题的真假有困难时,可以先判断此命题的否定的真假. 基础题 题型一 命题及其关系 1．（26-27高一上·河南驻马店·开学考试）下列命题，真命题是（     ） A．一组邻边相等的四边形是菱形 B．有一个角是直角的平行四边形是矩形 C．对角线相等的四边形是矩形 D．对角线互相垂直的四边形是菱形 2．（2026高三·全国·专题练习）下面有四个命题：①如果已知一个数列的递推公式及其首项，那么可以写出这个数列的任何一项；②数列，，，，…通项公式是；③数列的图象是一群孤立的点；④数列与数列是同一数列．其中正确命题的个数是（   ） A．1 B．2 C．3 D．4 3．（25-26高二下·河北邢台·期末）已知命题p：，，命题q：，，则（    ） A．p和q都是真命题 B．和q都是真命题 C．p和都是真命题 D．和都是真命题 4．（25-26高一上·陕西西安·期末）下列命题的否定是真命题的是（   ） A．是整数 B．若，则 C．“”是存在量词命题 D．函数在上为增函数 题型二 充分条件与必要条件 5．（26-27高三上·贵州·阶段检测）已知不同的直线和不重合的平面，则使成立的一个充分条件可以是（    ） A． B． C． D． 6．（2025高二下·湖北·学业考试）设，则“”是“”的（   ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 7．（25-26高一上·上海·阶段检测）已知集合和集合，那么的充要条件是（    ） A． B． C． D． 8．（23-24高一上·湖南张家界·阶段检测）设：实数满足且，：实数满足，则是的（   ） A．充分条件 B．必要条件 C．充要条件 D．既不是充分条件也不是必要条件 9．（25-26高一下·上海·期中）已知是平面上的非零向量，则“”是“”的（    ） A．充分非必要条件 B．必要非充分条件 C．充要条件 D．既非充分又非必要条件 10．（25-26高二下·天津静海·阶段检测）已知，则“”是“”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 11．（25-26高三上·广东深圳·阶段检测）已知向量，，则“”是“”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 题型三 简单的逻辑联结词 12．（25-26高二下·北京丰台·期末）下列关于命题“若实数，则”的否定，正确的是（    ） A．若，则 B．任意实数，满足，则 C．存在一个实数，满足，则 D．存在一个实数，满足，则 13．（2026·山西忻州·模拟预测）已知命题：，，：，，则下列命题为真的是（    ） A． B． C． D． 14．（25-26高三·全国·一轮复习）命题是周期为的周期函数，命题是偶函数，则下列命题中为真命题的是（    ） A． B． C． D． 15．（25-26高一上·上海·期末）下列说法中，正确的是（   ） A．“或”的否定形式是“或” B．“”的否定形式是“或” C．“是锐角三角形”的否定形式是“中存在一个内角大于” D．“任意”的否定形式是“存在，使得” 16．（26-27高三上·福建龙岩·阶段检测）已知命题p：；则命题为（    ） A． B． C． D． 17．（25-26高三上·广东佛山·期中）已知命题：，，则（    ） A．：， B．：， C．：， D．：， 18．（26-27高三上·湖北武汉·开学考试）已知命题，，则（    ） A．是假命题，， B．是假命题，， C．是真命题，， D．是真命题，， 19．（23-24高一上·湖南张家界·阶段检测）命题p：，，则为（   ） A．， B．， C．， D．， 题型四 全称量词和存在量词 20．（25-26高一下·贵州遵义·期中）命题“，”的否定是（    ） A．， B．， C．， D．， 21．（25-26高二下·重庆沙坪坝·阶段检测）命题，的否定为（    ） A．， B．， C．， D．， 22．（25-26高二下·辽宁葫芦岛·期末）命题“，”的否定是（   ） A． B． C． D． 23．（2026高三·全国·专题练习）若命题，则是（    ） A．且 B．或 C．且 D． 24．（24-25高一上·福建宁德·阶段检测）命题“”的否定为（    ） A． B． C． D． 中档题 题型一 命题及其关系 1．（25-26高一下·上海·期中）已知集合，给出如下两个命题： ①集合中的元素都是周期函数；②集合中的元素都是奇函数．则（    ） A．①②都是真命题 B．①②都是假命题 C．①是真命题，②是假命题 D．①是假命题，②是真命题 2．（2025高三上·全国·竞赛）Agnes在白纸上写下以下四个论断： 这些论断中至少有一个是真的． 这些论断中至少有两个是真的． 这些论断中至少有两个是假的． 这些论断中至少有一个是假的． 每个论断非真即假．问Agnes在纸上写的假论断有几个？(    ) A．0 B．1 C．2 D．3 E．4 3．（25-26高二下·安徽宿州·期末）下列说法正确的是（    ） A．“若，则”是假命题 B．若实数满足且，则的最小值是 C．“”是“定义在上的函数是奇函数”的充要条件 D．命题p：，该命题的否定： 4．（25-26高二下·重庆荣昌·期末）若命题：“，”为假命题，实数的取值范围为______． 5．（2026高三·全国·专题练习）已知直线，，，有下面四个命题：①若，异面，，异面，则，异面；②若，相交，，相交，则，相交；③若，则，与所成的角相等；④若，，则.其中真命题的序号是________. 6．（25-26高二下·江西九江·期末）已知函数的图象关于点对称，函数. (1)求的值； (2)若命题“，”是假命题，求的取值范围. 题型二 充分条件与必要条件 1．（26-27高三上·上海·开学考试）已知四面体，，；则下列条件中是的充要条件的有（   ） ①         ②         ③ A．①②③ B．①③ C．①② D．②③ 2．（25-26高三上·上海·期中）已知正方体边长为，分别是棱，的中点，动点在正方形（包括边界）内运动，则平面的一个充分非必要条件是（   ）    A．为 B．为的中点 C．的轨迹长度为 D．为的中点 3．（25-26高一上·广东深圳·阶段检测）是函数在区间上单调递增的（   ） A．充要条件 B．充分不必要条件 C．必要不充分条件 D．既不充分又不必要条件 4．（25-26高二下·北京丰台·期末）已知，则“”是“”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 5．（25-26高二下·辽宁葫芦岛·期末）设：，：，若是的必要不充分条件，则实数的取值范围是（   ） A． B． C． D． 6．（25-26高二下·上海·期末）设：，：，若是的必要条件，则正实数的取值范围是________． 7．（25-26高三·全国·一轮复习）设命题实数满足：命题实数满足，其中.若是的必要不充分条件，求实数的取值范围__________. 8．（25-26高二下·黑龙江大庆·期中）已知函数，则“在上单调递减”的充要条件是__________.（用区间作答） 9．（2026高三·全国·专题练习）已知：，，若非是的必要不充分条件，求实数的取值范围． 10．（上海市七宝中学2025-2026学年高二第二学期期末考试数学试题）已知全集，集合，． (1)当时，求； (2)若“”是“”的必要非充分条件，求实数a的取值范围． 题型三 简单的逻辑联结词 1．（25-26高三下·贵州遵义·阶段检测）对于复数，命题：若，则；命题：若，则．则（    ） A．和都是真命题 B．和都是真命题 C．和都是真命题 D．和都是真命题 2．（25-26高一上·浙江杭州·期中）已知命题；命题，若p为假命题，q为真命题，则实数a的取值范围为（   ） A． B． C． D． 3．（24-25高二上·湖南株洲·阶段检测）以下有关命题的说法错误的是（   ） A．命题“若，则”的逆否命题为“若x ≠ 1，则” B．若pq为假命题，则p，q均为假命题 C．“”是“”的充要条件 D．命题p：为假命题 4．（24-25高二下·山东泰安·期末）已知命题p：函数在上是单调函数，命题q：函数的定义域为R，若命题p与q有且只有一个为真命题，则实数a的取值范围为（   ） A． B． C． D． 5．（2026高一·全国·专题练习）已知命题p：，，若p的否定为假命题，则实数m的取值范围为_______． 6．（25-26高一上·重庆九龙坡·阶段检测）已知命题，命题.若命题为真命题，则实数的取值范围是_____；若命题和有且仅有一个是真命题，则实数的取值范围是_____. 7．（2026高三·全国·专题练习）已知下列两个命题： 的解集是或； 的解集是． 分别判断“或”“且”“非”形式的复合命题的真假． 8．（25-26高一上·湖北·阶段检测）（1）设集合，，求； （2）设命题：对任意，不等式恒成立， 命题：存在，使得不等式成立， 若命题、都是真命题，求实数的取值范围. 题型四 全称量词和存在量词 1．（25-26高二下·吉林长春·期末）若命题“，使得”是假命题，则实数m的取值范围是（    ） A． B． C． D． 2．（26-27高三·全国·一轮复习）取整函数表示不超过的最大整数，如，下列关于“取整函数”的命题中，为真命题的是（  ） A． B．，则 C． D． 3．（25-26高二下·江西南昌·期末）若“，”为假命题，则的取值范围为（    ） A． B． C． D． 4．（25-26高二下·江苏·阶段检测）若命题“，使得”是假命题，则实数m的取值范围是（    ） A． B． C． D． 5．（25-26高二下·河北沧州·阶段检测）若，的否定为真命题，则实数的取值范围为（    ） A． B． C． D． 6．（25-26高一下·四川内江·期末）若命题：“，”为假命题，实数的取值范围（ ） A． B． C． D． 7．（2026高三·全国·专题练习）已知命题，与命题“，”都是真命题，则实数的取值范围是________． 8．（25-26高一下·江西鹰潭·期末）若命题“对任意，函数的值恒大于m”为假命题，则实数m的取值范围为______． 9．（25-26高二下·福建南平·期末）设，命题：，使得不等式成立；命题：函数在区间内单调递增． (1)若为真命题，求的取值范围； (2)若命题，有且只有一个是真命题，求的取值范围． 10．（25-26高二下·安徽合肥·期末）已知函数． (1)命题，使得成立为假命题，求实数的取值范围； (2)当时，不等式有解，求实数的取值范围． 拔高题 题型一 命题及其关系 1．（25-26高一下·上海·期末）对于非零平面向量，，定义，其中为在方向上的投影向量．给出下列命题：①对任意实数，都有恒成立；②对任意给定的平面上的一组基，，存在非零向量，使得成立．则以下判断正确的是（） A．①为真命题；②为真命题 B．①为真命题；②为假命题 C．①为假命题；②为真命题 D．①为假命题；②为假命题 2．（25-26高一下·上海·期末）在平面直角坐标系中，定义 为两点，的“切比雪夫距离”，又设点及上任意一点，称的最小值为点到直线的“切比雪夫距离”，记作 .给出下列两个命题： ①对任意三点 ，都有； ②已知点 和直线 ，则 . 则下列正确的是（     ） A．①和②都是真命题 B．①真②假 C．①假②真 D．①和②都是假命题 3．（25-26高二下·上海杨浦·期末）若数列满足，则称是差增数列． 对于以下两个命题： ①若是差增数列，则是严格增数列； ②若由的奇数项组成的子数列和偶数项组成的子数列都是差增数列，则是差增数列， 下列判断正确的为（     ） A．①是真命题，②是假命题； B．①是假命题，②是真命题； C．①是真命题，②是真命题； D．①是假命题，②是假命题． 4．（25-26高一上·河北石家庄·期末）已知函数，有两个零点，则下列结论中：①；②若，则；③.正确命题的序号是___________. 5．（25-26高三上·安徽淮北·期中）命题：是边长为1的正六边形内的一点，且恒成立，命题：方程有两解. (1)若是真命题，求实数的取值范围； (2)若一个为真命题，一个为假命题，求实数的取值范围. 题型二 充分条件与必要条件 1．（25-26高二下·河北沧州·期末）已知，．命题p：对任意，都存在，使得；命题q：存在，使得．则“”是“命题p，q同时成立”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 2．（25-26高一下·上海·期末）已知、为平面向量，且．设，存在平面向量，使得，且，则是的（    ） A．充分非必要条件 B．必要非充分条件 C．充要条件 D．既非充分又非必要条件 3．（2026·上海·三模）若对于任意的，总存在．使得，则满足条件的的一个充分条件是（    ） A． B． C． D． 4．（2026·云南·模拟预测）已知函数． (1)当时，证明：在上存在唯一零点； (2)证明： 在上恒成立的充要条件是． 5．（25-26高一上·江苏南通·阶段检测）设函数定义域为集合，值域为集合，函数，集合. (1)求A，B； (2)若“”是“”充分不必要条件，求实数的取值范围． 题型三 简单的逻辑联结词 1．（2022·黑龙江哈尔滨·模拟预测）已知命题p：若，则；命题q：若方程只有一个实根，则.下列命题中是真命题的是（    ） A． B． C． D． 2．（21-22高三上·江西·阶段检测）已知命题：在区间上单调递减；命题：时，恒成立，若为真命题，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 3．（19-20高三上·河北石家庄·阶段检测）设命题p：函数f(x)＝x3－ax－1在区间[－1，1]上单调递减；命题q：函数y＝ln(x2＋ax＋1)的值域是R，如果命题p或q是真命题，p且q为假命题，则实数a的取值范围是 A．(－∞，3] B．(－∞，－2]∪[2，3) C．(2，3] D．[3，＋∞) 题型四 全称量词和存在量词 1．（25-26高二下·重庆·期末）已知集合，集合，若命题“，使得”为真命题，命题“，都有”为假命题，则实数的取值范围是（   ） A． B． C． D． 2．（25-26高二下·天津·期末）已知函数，，命题“，恒成立”是假命题，则实数的取值范围为（     ） A． B． C． D． 3．（25-26高三上·山东菏泽·阶段检测）已知命题：，是假命题，则实数的取值范围是（   ） A． B． C． D． 4．（25-26高一上·江苏南通·阶段检测）命题“，有解”是假命题，则的取值范围是（ ） A． B． C． D． 第 1 页 共 10 页 学科网（北京）股份有限公司 $ 1.2 常用逻辑用语 基础知识梳理 1.充分条件与必要条件的相关概念 记对应的集合分别为则: 是的充分条件 是的必要条件 是的充要条件 且 是的充分不必要条件 且 是的必要不充分条件 且 是的既不充分也不必要条件 且 且 2.全称量词和存在量词 量词名称 常见量词 符号表示 全称量词 所有的、一切、任意一个、每一个、任给等   存在量词 存在一个、至少有一个、有些、对某些等   3.全称量词命题与存在量词命题的否定 命题名称 语言表示 符号表示 命题的否定 全称量词 命题 对中任意一个成立 存在量词 命题 存在中的元素成立 4.常考结论 1.是的充分不必要条件是的必要不充分条件. 2.因为命题和的真假性相反,所以当判断一个命题的真假有困难时,可以先判断此命题的否定的真假. 基础题 题型一 命题及其关系 1．下列命题，真命题是（     ） A．一组邻边相等的四边形是菱形 B．有一个角是直角的平行四边形是矩形 C．对角线相等的四边形是矩形 D．对角线互相垂直的四边形是菱形 【答案】B 【分析】根据菱形与矩形的特征逐一判断即可. 【详解】对于A，一组邻边相等的平行四边形才是菱形，故错误； 对于B，有一个角是直角的平行四边形是矩形，故B正确； 对于C，对角线相等的平行四边形才是矩形，故C错误； 对于D，对角线互相垂直的平行四边形才是菱形，故D错误. 2．下面有四个命题：①如果已知一个数列的递推公式及其首项，那么可以写出这个数列的任何一项；②数列，，，，…通项公式是；③数列的图象是一群孤立的点；④数列与数列是同一数列．其中正确命题的个数是（   ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】A 【分析】根据数列的定义与性质来判断即可 【详解】数列的定义:按照确定的顺序排列的一列数称为数列，当知道首项和递推公式时，不一定可以写出这个数列的任何一项， 例如,若只知道首项是写不出后续项的，故①错，②中的,当时，故②错， 因为数列中的的取值为正整数，所以数列的图像是一个个孤立的点，故③对， 数列与数列排列顺序不一样，所以不是同一数列，故④错.所以正确的个数为1个. 3．已知命题p：，，命题q：，，则（    ） A．p和q都是真命题 B．和q都是真命题 C．p和都是真命题 D．和都是真命题 【答案】A 【详解】先判断命题的真假： 分式不等式等价于且，解得或， 恰好对应命题给出的取值范围， ∴ ，恒成立，故为真命题，为假命题. 再判断命题的真假： 不等式化简得，即， ∵ ，∴ 不等式等价于，解得， 即当时，成立，例如取，，满足条件， ∴ ，成立，故为真命题，为假命题. 综上，和都是真命题，A选项正确. 4．下列命题的否定是真命题的是（   ） A．是整数 B．若，则 C．“”是存在量词命题 D．函数在上为增函数 【答案】D 【分析】根据原命题为假，则否定为真，依次判断各选项命题即可. 【详解】对于A，是整数，为真命题，其否定是假命题，不符合题意； 对于B，若，则为真命题，其否定是假命题，不符合题意； 对于C，“”是存在量词命题，是真命题，其否定是假命题，不符合题意； 对于D，函数在上为减函数， 故函数在上为增函数是假命题，其否定是真命题，符合题意. 故选：D 题型二 充分条件与必要条件 5．已知不同的直线和不重合的平面，则使成立的一个充分条件可以是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】结合长方体模型分析判断各个选项的对错可得. 【详解】如图，在长方体中， 选项A：记平面为平面，平面为平面，平面为平面， 显然有，但不满足，所以A错误； 选项B：记为直线，则满足，但不满足，所以B错误； 选项C：记为直线，为直线，则满足，但不满足，所以C错误； 选项D：由线面垂直的性质：垂直于同一条直线的两个平面互相平行，所以D选项正确． 6．设，则“”是“”的（   ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】C 【详解】①充分性：若，则，所以充分性成立； ②必要性：若，由正弦函数的性质可得. 所以“”是“”的充要条件. 7．已知集合和集合，那么的充要条件是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】对于A，若，则，故A错误； 对于B，若，符合，但不能得到，故B错误； 对于C，若，则，所以是的必要条件； 若，则，所以是的充分条件； 所以的充要条件是，故C正确； 对于D，若，可得，当是真子集时，不能得到，故D错误. 8．设：实数满足且，：实数满足，则是的（   ） A．充分条件 B．必要条件 C．充要条件 D．既不是充分条件也不是必要条件 【答案】A 【分析】根据充分条件、必要条件的定义，分别判断能否推出、能否推出即可得到结论. 【详解】充分性： 若实数满足且，根据不等式的同向可加性， 可得，即，因此是的充分条件. 必要性： 取反例：令，此时，满足， 但，不满足，即，因此不是的必要条件. 综上，是的充分条件. 9．已知是平面上的非零向量，则“”是“”的（    ） A．充分非必要条件 B．必要非充分条件 C．充要条件 D．既非充分又非必要条件 【答案】A 【分析】利用平面向量的数量积公式结合相等向量的概念、充分条件与必要条件的定义分析即可. 【详解】先判定充分性，对于时， 易知， 满足充分性； 再判定必要性，假设是平面中两两夹角的单位向量， 易知满足成立，但不满足，即必要性不成立，所以A正确. 10．已知，则“”是“”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】B 【分析】先求解一元二次不等式得到对应解集，通过判断两个解集的集合包含关系，结合充分必要条件的定义得出结论. 【详解】不等式解集为， 所以，“”是“”的必要不充分条件. 11．已知向量，，则“”是“”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】B 【详解】由可得，向量方向无法判断； 由可得，故其为必要不充分条件. 题型三 简单的逻辑联结词 12．下列关于命题“若实数，则”的否定，正确的是（    ） A．若，则 B．任意实数，满足，则 C．存在一个实数，满足，则 D．存在一个实数，满足，则 【答案】C 【分析】原命题为全称量词命题，其否定为存在量词命题，保持条件不变、否定结论，据此判断选项即可. 【详解】命题“若实数，则”等价于“任意,成立”， 故其否定为“存在,成立”. 13．已知命题：，，：，，则下列命题为真的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】分别判断命题与命题的真假即可得. 【详解】对，有，故该方程无解，故命题为假命题； 由，则，当且仅当时，等号成立，故命题为真命题； 故、、都为假命题，为真命题. 14．命题是周期为的周期函数，命题是偶函数，则下列命题中为真命题的是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】因为， 所以是周期为的周期函数，故命题是真命题， 因为，所以是偶函数，故命题为真命题， 则为真命题． 15．下列说法中，正确的是（   ） A．“或”的否定形式是“或” B．“”的否定形式是“或” C．“是锐角三角形”的否定形式是“中存在一个内角大于” D．“任意”的否定形式是“存在，使得” 【答案】D 【分析】根据或命题、全称命题、且命题的否定性质逐一判断即可. 【详解】A：因为“或”的否定形式是“且”，所以本选项说法不正确； B：因为“”的否定形式是“或”， 所以本选项说法不正确； C：因为“是锐角三角形”的否定形式是“中存在一个内角不小于”，所以本选项说法不正确； D：因为“任意”的否定形式是“存在，使得”， 所以本选项说法正确. 故选：D 16．已知命题p：；则命题为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】命题p：是全称量词命题，其否定是存在量词命题， 所以所求的否定为：. 17．已知命题：，，则（    ） A．：， B．：， C．：， D．：， 【答案】D 【详解】易得，：， 18．已知命题，，则（    ） A．是假命题，， B．是假命题，， C．是真命题，， D．是真命题，， 【答案】C 【分析】构造函数，结合导数与单调性及最值的关系判断命题的真假，根据全称命题的否定形式判断即可. 【详解】 令，定义域为，求导得. 当时，，故，因此在上单调递增. 所以，即对任意，，也即恒成立， 故命题是真命题，A，B错误. 命题的否定为：，C正确，D错误. 19．命题p：，，则为（   ） A．， B．， C．， D．， 【答案】D 【详解】 根据全称量词命题的否定规则：全称量词命题的否定是存在量词命题， 所以原命题的否定为，. 题型四 全称量词和存在量词 20．命题“，的否定是（    ） A．， B．， C．， D．， 【答案】C 【详解】命题“，”为全称命题， 则其否定为“，”. 21．命题，的否定为（    ） A．， B．， C．， D．， 【答案】B 【详解】命题“，”的否定为“”. 22．命题“，”的否定是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据全称量词命题的否定是存在量词命题可得. 【详解】命题“，”的否定是“”. 23．若命题，则是（    ） A．且 B．或 C．且 D． 【答案】B 【详解】命题， 则是或. 24．命题“”的否定为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查存在量词命题的否定. 【详解】”的否定为. 中档题 题型一 命题及其关系 1．（25-26高一下·上海·期中）已知集合，给出如下两个命题： ①集合中的元素都是周期函数；②集合中的元素都是奇函数．则（    ） A．①②都是真命题 B．①②都是假命题 C．①是真命题，②是假命题 D．①是假命题，②是真命题 【答案】C 【分析】利用函数的周期性与奇偶性定义结合反例判定命题即可. 【详解】由可得， 两式相加得， 则有，即， 所以的一个正周期为6，①是真命题； 假设， 满足条件，但此时不是奇函数，所以②是假命题，即C正确. 2．（2025高三上·全国·竞赛）Agnes在白纸上写下以下四个论断： 这些论断中至少有一个是真的． 这些论断中至少有两个是真的． 这些论断中至少有两个是假的． 这些论断中至少有一个是假的． 每个论断非真即假．问Agnes在纸上写的假论断有几个？(    ) A．0 B．1 C．2 D．3 E．4 【答案】B 【分析】运用假设法，对每个论断真假进行假设，从而确定假论断个数 【详解】假设论断1为假，即四个论断都是假的，但论断4若为假， 即四个论断都是真的，与假设矛盾，故论断1为真； 假设论断2为假，即至多有一个论断为真的，因为论断1为真， 则论断2、3、4为假，但论断3若为假，即至多有一个为假， 假设与论断3矛盾，故论断2为真； 假设论断3为假，即至多有一个为假，因为论断1、2为真， 故论断4也为真的，与假设符合，故论断3为假； 若论断4为假，即四个论断都是真的，但论断3为假的， 假设与论断3矛盾，故论断4为真； 综上，论断1、2、4为真，论断3为假. 3．（25-26高二下·安徽宿州·期末）下列说法正确的是（    ） A．“若，则”是假命题 B．若实数满足且，则的最小值是 C．“”是“定义在上的函数是奇函数”的充要条件 D．命题p：，该命题的否定： 【答案】B 【分析】根据假命题的定义可判断A；根据基本不等式可判断B；根据充要条件的定义可判断C；根据特称命题的否定是全称命题可判断D. 【详解】对于A，“若，则”，是真命题，故A错误； 对于B，因为，所以，当且仅当时，等号成立， 所以，解得，当且仅当时等号成立， 所以的最小值为，故B正确； 对于C，取，满足，但不是定义在上的奇函数，故充分性不成立， 若定义在上的函数是奇函数，则，故必要性成立， 所以“”是“定义在上的函数是奇函数”的必要不充分条件，故C错误； 对于D，已知命题， 根据存在量词命题的否定是全称命题可知，该命题的否定：，故D错误； 4．（25-26高二下·重庆荣昌·期末）若命题：“，”为假命题，实数的取值范围为______． 【答案】/ 【分析】先求出命题为真命题时的取值范围，进而即可得到命题为假命题时的取值范围． 【详解】若命题：“，”为真命题， 由，当且仅当时取等号，则， 所以命题为假命题时，． 5．（2026高三·全国·专题练习）已知直线，，，有下面四个命题：①若，异面，，异面，则，异面；②若，相交，，相交，则，相交；③若，则，与所成的角相等；④若，，则.其中真命题的序号是________. 【答案】③ 【详解】若，异面，，异面，则，异面或平行或相交，故①错误； 若，相交，，相交，则，相交或平行或异面，故②错误； 若，由平行线的性质，可得和与所成的角相等，故③正确； 若，，则或与相交或与异面，故④错误. 6．（25-26高二下·江西九江·期末）已知函数的图象关于点对称，函数. (1)求的值； (2)若命题“，”是假命题，求的取值范围. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）利用对称性有求参数值，再验证函数定义域是否关于点对称，即可得； （2）问题化为“，”是真命题，即，结合指数函数、二次函数及分式型函数的性质求右侧的最小值，即可得. 【详解】（1）由题意得，，即， 所以，恒成立， 所以恒成立，则，解得，或（舍去）， 所以，此时， 由，得定义域为，满足关于点对称，故； （2）因为命题“，”是假命题， 所以命题“，”是真命题， 即“，”是真命题， 即， 又，令，则， 所以，， 因为在区间上单调递增， 当，即时，， 易知函数在区间上单调递减， 所以， 所以时，取得最小值6， 所以，即的取值范围是. 题型二 充分条件与必要条件 1．（26-27高三上·上海·开学考试）已知四面体，，；则下列条件中是的充要条件的有（   ） ①         ②         ③ A．①②③ B．①③ C．①② D．②③ 【答案】B 【分析】由题设，如下图建立空间直角坐标系，利用空间向量坐标运算可判断选项正误. 【详解】如下图，取中点为，因，，则， 又平面，，则平面. 如下图，以为原点建立空间直角坐标系，设， ，从而. 对于①，，则， 则是的充要条件； 对于②，，则 ，结合，可得， 则 不是的充要条件； 对于③， ， 从而是的充要条件. 2．（25-26高三上·上海·期中）已知正方体边长为，分别是棱，的中点，动点在正方形（包括边界）内运动，则平面的一个充分非必要条件是（   ）    A．为 B．为的中点 C．的轨迹长度为 D．为的中点 【答案】D 【分析】取中点、中点，证得平面平面，得到点在正方形内的轨迹即可逐一分析选项. 【详解】取中点、中点，连接、、，则， 又分别是棱，的中点，则，所以， 平面，平面，所以平面， ，，则四边形为平行四边形，有， 平面，平面，所以平面， 平面，，故平面平面， 因此满足平面的点在正方形内的轨迹是线段，该线段长度为； 分析选项： 选项A：若，该点不在轨迹上，不满足条件； 选项B：若为中点，该点不在轨迹上，不满足条件； 选项C：的轨迹长度为不能得到平面，不满足充分性； 选项D：若为中点，则是线段的端点，必然满足平面， 但满足平面的点可以是线段上的任意点，不一定是中点，因此是充分非必要条件.    3．（25-26高一上·广东深圳·阶段检测）是函数在区间上单调递增的（   ） A．充要条件 B．充分不必要条件 C．必要不充分条件 D．既不充分又不必要条件 【答案】C 【分析】先由复合函数单调性得出内层二次函数需单调递减且恒大于0的条件，从而得到函数递增的充要条件为 ；再将此范围与题干条件 比较，通过判断两者之间的推出关系确定条件类型． 【详解】设，则， 因为在定义域内单调递减，要使在上单调递增，需在上单调递减且恒大于0， 二次函数的图象开口向上，对称轴为，因为在上单调递减，所以， 又因为对任意恒成立，所以，即，解得， 因此，函数在区间上单调递增的充要条件为， 若，显然，所以必要性成立； 但不能保证，所以充分性不成立； 所以，“”是函数在上单调递增的必要不充分条件． 4．（25-26高二下·北京丰台·期末）已知，则“”是“”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】C 【分析】结合已知的条件，利用基本不等式的等号成立条件，分别验证充分性和必要性即可判断. 【详解】 由可得，，满足基本不等式的使用前提： 充分性验证： 若，根据基本不等式，对任意正数有，当且仅当时等号成立. 令，则，等号成立当且仅当，整理得，结合得. 因，故等号取不到，因此，充分性成立. 必要性验证： 若，说明上述基本不等式的等号不成立，因此等号成立的条件不满足，即，必要性成立. 综上，“”是“”的充要条件. 5．（25-26高二下·辽宁葫芦岛·期末）设：，：，若是的必要不充分条件，则实数的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据充分条件、必要条件的定义，结合集合的包含关系、绝对值不等式及一元二次不等式的解法求解即可. 【详解】由，得. 由，得. 若是的必要不充分条件，则，解得. 6．（25-26高二下·上海·期末）设：，：，若是的必要条件，则正实数的取值范围是________． 【答案】 【详解】命题 ，因此对应的集合为， 命题 ，且，得，因此对应的集合为， 因为是的必要条件，所以，即集合是集合的子集， 所以且，是正实数，所以，即. 7．（25-26高三·全国·一轮复习）设命题实数满足：命题实数满足，其中.若是的必要不充分条件，求实数的取值范围__________. 【答案】 【分析】先解不等式，分别得到；；根据是的必要不充分条件，得到是的充分不必要条件，得出是的真子集，列出不等式求解，得出的范围，即可求出结果． 【详解】对于：等价于，解得：， 对于：由，得：， 又，所以； 因为是的必要不充分条件，所以是的充分不必要条件， 所以是的真子集，则，解得． 8．（25-26高二下·黑龙江大庆·期中）已知函数，则“在上单调递减”的充要条件是__________.（用区间作答） 【答案】 【分析】先把问题转化为在上恒成立，然后利用分离参数求最值，即可求解参数范围. 【详解】因为， 所以， 由题意可得在上恒成立， 即，在上恒成立， 令，则， 当时，，所以在上单调递增， 即，所以， 即实数的取值范围为. 9．（2026高三·全国·专题练习）已知：，，若非是的必要不充分条件，求实数的取值范围． 【答案】 【分析】求出命题相应的集合，判断出两集合的包含关系，列不等式即可求解. 【详解】解法一：由可知，即． 非或． 设集合或． 由可求得或． 设集合或． 非是的必要不充分条件，B是A的真子集，即得，且两等号不能同时成立， 解得，即实数的取值范围是. 解法二：非是的必要不充分条件，非是的必要不充分条件， 由解法一可知，非． P是Q的真子集， 则，且两等号不能同时成立， 解得，即实数的取值范围是. 10．（上海市七宝中学2025-2026学年高二第二学期期末考试数学试题）已知全集，集合，． (1)当时，求； (2)若“”是“”的必要非充分条件，求实数a的取值范围． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）分别求解分式不等式和一元二次不等式，再利用集合的交并补运算计算即得； （2）由题意得集合是集合的真子集，借助于数轴表示得到不等式组，解之即得. 【详解】（1）由，可得，解得，即， 当时，即，解得， 即，故. 于是 （2）由“”是“”的必要非充分条件，可得集合是集合的真子集. 因，由可知， 故得，解得. 故实数的取值范围为. 题型三 简单的逻辑联结词 1．（25-26高三下·贵州遵义·阶段检测）对于复数，命题：若，则；命题：若，则．则（    ） A．和都是真命题 B．和都是真命题 C．和都是真命题 D．和都是真命题 【答案】C 【分析】应用复数可判断命题，利用复数的性质、运算法则推导出命题的真假性. 【详解】设复数 命题：若复数，满足，但，故命题不正确. 命题复数满足，设， 则， ，，则， ，故命题是真命题； 2．（25-26高一上·浙江杭州·期中）已知命题；命题，若p为假命题，q为真命题，则实数a的取值范围为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】当时，， 因为p为假命题，所以或， ，则在上恒成立， 又当，当且仅当时取得等号， 因为q为真命题，所以， 所以实数a的取值范围为. 3．（24-25高二上·湖南株洲·阶段检测）以下有关命题的说法错误的是（   ） A．命题“若，则”的逆否命题为“若x ≠ 1，则” B．若pq为假命题，则p，q均为假命题 C．“”是“”的充要条件 D．命题p：为假命题 【答案】B 【分析】先逐一分析各选项，A依据逆否命题定义判断，B根据“且”命题真假规则判断，C利用不等式性质验证充要性，D结合指数函数值域判断命题真假，最终确定错误选项. 【详解】对于A：原命题若则，逆否命题为若则，故A选项正确； 对于B：若pq为假命题，则包含三种情况：真假，假真，假假，故B选项错误； 对于C：根据不等式性质，可得C选项正确； 对于D：： ，根据指数函数图象性质可得该命题为真命题， 则命题为假命题，故D选项正确. 故选：B. 4．（24-25高二下·山东泰安·期末）已知命题p：函数在上是单调函数，命题q：函数的定义域为R，若命题p与q有且只有一个为真命题，则实数a的取值范围为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】由题意得为真当且仅当或，为真当且仅当或，然后分两种情况讨论即可得解. 【详解】因为在上单调递减，在上单调递增， 所以为真当且仅当或， 函数的定义域为R， 当且仅当恒成立，即，解得或， 所以为真当且仅当或， 当为真为假时，的范围为与的交集，即， 当为假为真时，的范围为与的交集，即为空集， 综上所述，若命题p与q有且只有一个为真命题，则实数a的取值范围为. 故选：A. 5．（2026高一·全国·专题练习）已知命题p：，，若p的否定为假命题，则实数m的取值范围为_______． 【答案】 【分析】变形得到，成立，从而得到答案 【详解】因为p的否定为假命题，所以命题p为真命题， 可化为， 即，成立，故只需， 故实数m的取值范围为． 6．（25-26高一上·重庆九龙坡·阶段检测）已知命题，命题.若命题为真命题，则实数的取值范围是_____；若命题和有且仅有一个是真命题，则实数的取值范围是_____. 【答案】 【分析】空一：由题意可得小于等于的最小值，计算即可得；空二：分别计算出命题与命题为真时的的取值范围，再分真假与假真进行讨论即可得. 【详解】若命题为真命题，则，即； 若命题为真命题，则当时，， 当时，，解得， 又，故，综上可得； 由命题和有且仅有一个是真命题， 则当真假时，； 当假真时，； 故命题和有且仅有一个是真命题时，. 故答案为：；. 7．（2026高三·全国·专题练习）已知下列两个命题： 的解集是或； 的解集是． 分别判断“或”“且”“非”形式的复合命题的真假． 【答案】“或”是真命题、“且”是假命题，“非”为假． 【详解】对于命题：已知，根据绝对值不等式的解法， 的解集为或，因此是真命题； 对于命题：中， 当时，无解，解集为空集，不是，因此是假命题， 根据“真假”： 或：只要一个命题为真，结果为真，因此或是真命题； 且：需要两个命题都为真才为真，因此且是假命题； 非：对真命题的否定为假，因此非是假命题. 8．（25-26高一上·湖北·阶段检测）（1）设集合，，求； （2）设命题：对任意，不等式恒成立， 命题：存在，使得不等式成立， 若命题、都是真命题，求实数的取值范围. 【答案】（1）；（2） 【分析】（1）求解集合、，再根据集合并集的定义求解即可. （2）由命题、都是真命题，可以得到以及，求解即可. 【详解】（1）由，得集合， 由，得集合， 则； （2）命题：对任意，不等式恒成立， 即 ，当时，取到最小值， ∴，∴ 所以为真命题时，实数的取值范围是. 命题：存在，使得不等式成立， 只需，而在实数集上单调递增， 所以当时，取到最大值为， ∴， 故命题都是真命题，实数的取值范围是. 题型四 全称量词和存在量词 1．（25-26高二下·吉林长春·期末）若命题“，使得”是假命题，则实数m的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】问题化为，都有为真命题，结合一元二次不等式恒成立求参数范围. 【详解】由“，使得”是假命题， 则，都有为真命题， 当，则，满足， 当，则，满足, 综上，，则实数m的取值范围是. 2．（26-27高三·全国·一轮复习）取整函数表示不超过的最大整数，如，下列关于“取整函数”的命题中，为真命题的是（  ） A． B．，则 C． D． 【答案】C 【分析】根据取整函数的定义，利用特殊值法，进行判别选项的真假，可得答案. 【详解】对于A，当时，，但，故A为假命题； 对于B，设，则，故B为假命题； 对于C，当时，，故C为真命题； 对于D，当时，有，但，故D为假命题． 3．（25-26高二下·江西南昌·期末）若“，”为假命题，则的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】将不等式问题转化为函数不等式恒成立问题，进而通过端点值满足对应条件，即可求解. 【详解】由题意可得“，”为真命题， 设，因此上述不等式恒成立即转化为，恒成立， 则， 解得. 4．（25-26高二下·江苏·阶段检测）若命题“，使得”是假命题，则实数m的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】因为命题“，使得”是假命题，所以其命题的否定“，使得”是真命题： 当时，不等式即，符合题意； 当时，命题为真等价于，解得， 综上所述，. 5．（25-26高二下·河北沧州·阶段检测）若，的否定为真命题，则实数的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】将命题转化为有解问题，分情况讨论的值，时，不等式为一次不等式有解；时为一元二次不等式，根据二次函数的性质确定不等式有解. 【详解】，的否定为真命题， 即命题“”为真命题， 当时，不等式化为，即，符合题意； ，命题“”为真命题， 当时，对于抛物线，开口向下， 显然在有解，符合题意； 当时，对于抛物线，开口向上， 只需，解得或， 又，所以或， 综上实数的取值范围是或， 即． 6．（25-26高一下·四川内江·期末）若命题：“，”为假命题，实数的取值范围（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】先求出命题为真命题时的取值范围，进而即可得到命题为假命题时的取值范围． 【详解】若命题：“，”为真命题， 由，当且仅当时取等号，则， 所以命题为假命题时，． 7．（2026高三·全国·专题练习）已知命题，与命题“，”都是真命题，则实数的取值范围是________． 【答案】 【分析】对于命题，利用恒成立问题参变分离法求出的取值范围，对于命题，由一元二次方程的根的判别式求的取值范围，再由两个都是真命题，求交即可求得答案． 【详解】已知命题，是真命题，即在上恒成立， 令，， 当时，，在上单调递增， 所以，所以， 已知命题“，”是真命题，即方程有实数根， 因此，解得或， 因命题均为真命题，故的取值范围为． 8．（25-26高一下·江西鹰潭·期末）若命题“对任意，函数的值恒大于m”为假命题，则实数m的取值范围为______． 【答案】 【分析】先根据题意将假命题转化为真命题，得出，；再根据函数在上单调递增，得出，即可解答. 【详解】因为命题“对任意，函数的值恒大于m”为假命题， 则该命题的否定是真命题，即，函数的值不大于m. 即，. 又因为正弦函数和正切函数在区间上都单调递增， 所以函数在上单调递增， 当时，， 则， 所以m的取值范围为． 故答案为： 9．（25-26高二下·福建南平·期末）设，命题：，使得不等式成立；命题：函数在区间内单调递增． (1)若为真命题，求的取值范围； (2)若命题，有且只有一个是真命题，求的取值范围． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）分情况讨论当不等式是或不是二次不等式时解的情况； （2）求导，根据导数判断当命题为真命题时的取值范围，再分情况讨论两个命题真假性即可. 【详解】（1）因为：，使得不等式成立为真命题， 当时，不等式化为，为假命题，不符合题意； 当时，，为真命题，符合题意； 当时，，解得． 综上，的取值范围为． （2）由函数得， 若为真命题，则在上恒成立， 即在上恒成立． 因为在上单调递减，最大值为，所以． 由（1）知，若为真命题，的取值范围为． 又因为，有且只有一个是真命题， 所以当真假时，有，解得； 当假真时，有，解得． 所以的取值范围是． 10．（25-26高二下·安徽合肥·期末）已知函数． (1)命题，使得成立为假命题，求实数的取值范围； (2)当时，不等式有解，求实数的取值范围． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据命题为假，则命题为真，再结合，，及二次函数性质计算可得； （2）将不等式转化为，再通过换元并结合对勾函数的性质可得. 【详解】（1）由已知命题为假，则恒成立， 当时，，显然在上不恒成立； 当时，此时为开口向下，故不等式在上不恒成立； 当时，则，即. 综上，的取值范围是． （2）由不等式，即，即． 由恒成立，则在时有解， 即， 设，有， 而在上单调递增，则， 所以，故，所以. 因此，实数的取值范围为． 拔高题 题型一 命题及其关系 1．（25-26高一下·上海·期末）对于非零平面向量，，定义，其中为在方向上的投影向量．给出下列命题：①对任意实数，都有恒成立；②对任意给定的平面上的一组基，，存在非零向量，使得成立．则以下判断正确的是（） A．①为真命题；②为真命题 B．①为真命题；②为假命题 C．①为假命题；②为真命题 D．①为假命题；②为假命题 【答案】B 【分析】先结合投影向量的定义，改写的表达式，明确其几何意义； 对命题①，借助向量模的几何意义，结合垂线段最短的性质分析不等式；对命题②，将所有向量用给定基线性表示，代入等式整理得到线性方程组，通过判断方程组解的存在性分析命题. 【详解】由题可知，其中是在方向的投影向量， 因此是垂直于的分量，满足； 命题①：对任意，将分解：， 其中，，故两向量垂直， 由勾股定理：开方得， 故①为真命题； 命题②：举反例：取一组基，， 设非零，代入等式计算得： ，，， 相加得方程组：， 整理方程组最终可得：，时，判别式，无实根，不存在这样的非零，②为假命题； 综上，①为真，②为假. 2．（25-26高一下·上海·期末）在平面直角坐标系中，定义 为两点，的“切比雪夫距离”，又设点及上任意一点，称的最小值为点到直线的“切比雪夫距离”，记作 .给出下列两个命题： ①对任意三点 ，都有； ②已知点 和直线 ，则 . 则下列正确的是（     ） A．①和②都是真命题 B．①真②假 C．①假②真 D．①和②都是假命题 【答案】A 【分析】①讨论，，三点共线，以及不共线的情况，结合图象和新定义，即可判断； ②设点是直线上一点，且，可得，，讨论，的大小，可得距离，再由函数的性质，可得最小值. 【详解】① 对任意三点，，，若它们共线，设，，，如图， 结合三角形的相似可得，，为，，， 或，，，则； 若，或，对调，可得； 若，，不共线，且中为锐角或钝角， 由矩形或矩形，； 则对任意的三点，，，都有，命题①正确； ②设点是直线上一点，且， 可得， 由，解得，即有， 当时，取得最小值； 由，解得或，即有， 所以的范围是，无最值； 综上可得，，两点的“切比雪夫距离”的最小值为；故②正确. 3．（25-26高二下·上海杨浦·期末）若数列满足，则称是差增数列． 对于以下两个命题： ①若是差增数列，则是严格增数列； ②若由的奇数项组成的子数列和偶数项组成的子数列都是差增数列，则是差增数列， 下列判断正确的为（     ） A．①是真命题，②是假命题； B．①是假命题，②是真命题； C．①是真命题，②是真命题； D．①是假命题，②是假命题． 【答案】D 【分析】通过举出反例验证命题的真假. 【详解】对于命题①，设数列为， 则，这几项满足差增数列条件， 但数列不是严格增数列.故命题①为假命题. 对于命题②，设奇数项，偶数项， 奇数项差为， 偶数项差为：当时，； 当时，， 显然奇数项与偶数项组成的子数列满足差增数列， 但，不满足差增数列， 因此数列不是差增数列，故命题②为假命题. 4．（25-26高一上·河北石家庄·期末）已知函数，有两个零点，则下列结论中：①；②若，则；③.正确命题的序号是___________. 【答案】②③ 【分析】画出的函数图象，数形结合确定所在区间，即可判断①；对于②，考虑正切函数的周期性，且注意到，数形结合即可判断；对于③，由，推出，根据零点范围可得符号判断. 【详解】令，即，易知当时，，显然不符题意，故，因此等价于. 对于①：画出且且与的函数图象， 如图可以看出， 故，故①错误； 对于②：的最小正周期为，且由图象可知， 故之间的距离大于，即，故②正确； 对于③：由，推出 ， 因为，且由②可知， 故有，则， 而， 又因为，且在为增函数， 故， 则， 又因为， 故，故③正确. 故答案为：②③ 5．（25-26高三上·安徽淮北·期中）命题：是边长为1的正六边形内的一点，且恒成立，命题：方程有两解. (1)若是真命题，求实数的取值范围； (2)若一个为真命题，一个为假命题，求实数的取值范围. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据给定条件建立平面直角坐标系，设出点的坐标，利用数量积的坐标运算求解； （2）分类讨论“真假”与“假真”两种情况即可. 【详解】（1）因为命题是真命题，所以. 在正六边形中，以点为原点，所在直线分别为轴、轴，建立平面直角坐标系，如图.    因为正六边形的边长为，则 ， 设，因为点在正六边形内，则有， 则，则， 所以，即. （2）若为真命题，则函数与函数的图象有两个交点， 在同一个坐标系画出两个函数的图象，如下图.    由图可知，，所以. ①当真假时，则，解得； ②当假真时，则，解得. 综上，的取值范围为：. 题型二 充分条件与必要条件 1．（25-26高二下·河北沧州·期末）已知，．命题p：对任意，都存在，使得；命题q：存在，使得．则“”是“命题p，q同时成立”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】B 【分析】对于命题p：将问题转化为，利用单调性求最小值，对于命题q：将问题转化为，利用单调性求最大值，再解一元二次不等式，最后根据充分性和必要性的判断即可得出结论. 【详解】对于命题p：若对任意，都存在，使得， 等价于， 易知在上单调递增，， 在上单调递减，， 即有，解得：. 对于命题q：易知在上单调递增， 所以，即 ，所以命题p，q同时成立时； 易知为的必要不充分条件. 2．（25-26高一下·上海·期末）已知、为平面向量，且．设，存在平面向量，使得，且，则是的（    ） A．充分非必要条件 B．必要非充分条件 C．充要条件 D．既非充分又非必要条件 【答案】C 【分析】设，，根据条件把等价于的横坐标，利用，推出成立；反之，由成立，推导出，得出成立． 【详解】已知，设，， ， 等价于：的横坐标； 设，则，即， ， 当时，不成立， 此时的圆心横坐标， 圆上所有点的横坐标，则，故不成立； 当时，取，此时，满足条件； 当时，取，此时，满足条件； 故成立时，一定成立； 若成立， 当，此时的圆心横坐标， 圆上所有点的横坐标，则，故不成立； 若成立，则； 当时，取，此时，故不成立； 若成立，则； 综上：若成立，则，则也成立， 是的充要条件． 3．（2026·上海·三模）若对于任意的，总存在．使得，则满足条件的的一个充分条件是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】由题意可得在内的值域包含，只需，即可，进而将选项中的角，依次代入验证，即可判断. 【详解】因为对任意，都存在，使得成立， 所以， 因为，所以，， 若对任意，都存在，使得成立， 可知在内的值域包含， 只需，即可， 因为，则， 对于A：当时，，则， 因为，所以的取值不符合条件，故A错误； 对于B：当时，，则， 因为，所以的取值不符合条件，故B错误； 对于C：当时，，则， 因为，，取值符合条件，故C正确； 对于D：当时，，则， 因为，所以的取值不符合条件，故D错误； 4．（2026·云南·模拟预测）已知函数． (1)当时，证明：在上存在唯一零点； (2)证明： 在上恒成立的充要条件是． 【答案】(1)当时，， ∵， ∴在R上单调递减， 又∵ ， ∴在R上有唯一零点 ． (2)必要性：因为 时， ， 所以，即，所以， 充分性：当时，， 令，则， ， ①当时，， 当且仅当时， ， 所以在上单调递增， 故，所以 ， ②当时，记，则， 因为，，， 又因为在上单调递减，在上单调递增， 所以在 上存在、，使，，且，， 所以当或时， ；当时，， 所以在、上单调递增，在上单调递减， 又因为，，， 所以当时，；当时，， 所以在上单调递增，在上单调递减， 所以，而，，所以， 所以 ，所以 . 【分析】（1）先利用导数判断函数的单调性，再结合特殊点的函数值，根据零点存在定理推导零点的唯一性。 （2）先由时推出的范围，再分和两种情况，通过求导分析 单调性，证明时，，即充分性. 【详解】（1）略 （2）略 5．（25-26高一上·江苏南通·阶段检测）设函数定义域为集合，值域为集合，函数，集合. (1)求A，B； (2)若“”是“”充分不必要条件，求实数的取值范围． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据已知条件求函数的定义域为集合，值域为集合； （2）先根据“”是“”充分不必要条件，可知且，然后根据包含关系列出不等式求解即可． 【详解】（1）由，解得， 所以， 由， 所以． （2）因为“”是“”充分不必要条件， 所以且， 由，可得， 所以，即， 当时，与题意不符， 所以实数的取值范围为. 题型三 简单的逻辑联结词 1．（2022·黑龙江哈尔滨·模拟预测）已知命题p：若，则；命题q：若方程只有一个实根，则.下列命题中是真命题的是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】判断命题的真假，根据复合命题的真假判断方法判断即可. 【详解】当时，，又，所以， 当时，，又，所以， 当时，， 所以当时，，故命题为真命题， 由方程只有一个实根等价于方程只有一个实根， 所以函数与函数的图象有且只有一个交点， ， 作函数的图象， 观察图象可得当直线位于之间时，函数与函数的图象有且只有一个交点， 其中与有且只有一个交点，设 即只有一个解， 所以只有一个解，所以， 所以 与有且只有一个交点， 即只有一个解， 所以只有一个解，所以， 所以， 所以方程只有一个实根，则，命题为真命题， 所以为真命题，命题，，为假命题. 故选：A. 2．（21-22高三上·江西·阶段检测）已知命题：在区间上单调递减；命题：时，恒成立，若为真命题，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】在区间上单调递减，等价于在区间上恒成立，参变分离即可求出实数的取值范围；将变形为，构造函数设，利用导数研究函数的图象与性质，因此时，恒成立，等价于在上恒成立，即在上恒成立，参变分离即可求出实数的取值范围，然后根据条件得出为假命题，为真命题，进而可以求出结果. 【详解】因为在区间上单调递减，所以在区间上恒成立，而，即，令，则，故在上单调递增，所以，所以； 设，则，所以时，，所以单调递减，时，，所以单调递增，所以在处取得极小值，且，且时，，而时；时；时，恒成立，即，所以在上恒成立，因为，所以，即，即在上恒成立，也即是在上恒成立，设，则，所以在上单调递增，所以，所以，因为为真命题，所以为假命题，为真命题，因此，所以，故实数的取值范围是. 故选：D. 【点睛】恒成立问题解题思路： （1）参变量分离： （2）构造函数：①构造函数，研究函数的单调性，求出函数的最值，解不等式即可；②构造函数后，研究函数单调性，利用单调性解不等式，转化之后参数分离即可解决问题. 3．（19-20高三上·河北石家庄·阶段检测）设命题p：函数f(x)＝x3－ax－1在区间[－1，1]上单调递减；命题q：函数y＝ln(x2＋ax＋1)的值域是R，如果命题p或q是真命题，p且q为假命题，则实数a的取值范围是 A．(－∞，3] B．(－∞，－2]∪[2，3) C．(2，3] D．[3，＋∞) 【答案】B 【分析】根据命题p或q是真命题，p且q为假命题可知，命题p与命题q一真一假．先求得命题p与命题q都为真命题时a的取值范围，再判断两种情况下a的取值即可． 【详解】若命题p为真命题：函数f（x）= x3-ax-1在区间[-1，1]上单调递减，则 f′（x）=3x2-a≤0在[-1，1]恒成立，故a≥（3x2）max=3，即a≥3 若命题q为真命题：函数y=ln（x2+ax+1）的值域是R， 则必须使x2+ax+1能取所有正数，故△=a2-4≥0，解得a≤-2，或a≥2； 因为命题p或q是真命题，p且q为假命题 所以命题p与命题q一真一假 当p为真命题，q为假命题时，可得{a|a≥3}∩{a|-2＜a＜2}= ∅， 当q为真命题，p为假命题时，可得{a|a＜3}∩{a|a≤-2，或a≥2}={a|a≤-2，或2≤a＜3} 综上可知，实数a的取值范围是（-∞，-2]∪[2，3） 所以选B 题型四 全称量词和存在量词 1．（25-26高二下·重庆·期末）已知集合，集合，若命题“，使得”为真命题，命题“，都有”为假命题，则实数的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】分析命题得到两集合之间的关系，对于集合是不是空集分类讨论得到结果； 【详解】因为集合，集合，命题“，使得”为真命题，所以 又命题“，都有”为假命题，可知集合不是集合的子集， 当时，，解得，此时，不满足， 当时，，解得， 因为，所以或 由，解得；由，解得 因此得到 又因为集合不是集合的子集，所以或，解得或， 结合，可得， 故选：A. 2．（25-26高二下·天津·期末）已知函数，，命题“，恒成立”是假命题，则实数的取值范围为（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】利用绝对值三角不等式与不等式的性质得到，再结合题意与分离参数法得到在上有解，最后结合导数求解参数范围即可. 【详解】因为命题“，恒成立”是假命题， 所以命题“，”是真命题， 则，使得成立， 由题意得，， 由绝对值三角不等式得，当且仅当时取等， 由绝对值三角不等式得，当且仅当时取等， 由绝对值三角不等式得，当且仅当时取等， 由绝对值三角不等式得，当且仅当时取等， 由绝对值性质得，当且仅当时取等， 当且仅当时，上述不等式等号成立，由不等式的性质得， 则转化为，使得是真命题， 即，成立， 化简得在上有解，令， 而，当时，恒成立， 则在上单调递减，且，可得， 而在上有解，可得在上有解， 得到，即实数的取值范围为，故A正确. 3．（25-26高三上·山东菏泽·阶段检测）已知命题：，是假命题，则实数的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】先分离参数得，再求出为真时，利用基本不等式求最值得的范围，再求补集即可． 【解答】由得， 当为真时，对，不等式恒成立， 则， 而，当且仅当时取等号，满足题意， 所以， 所以为假时，． 故选：A． 4．（25-26高一上·江苏南通·阶段检测）命题“，有解”是假命题，则的取值范围是（ ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】先根据原命题为假命题推出其否定命题为真命题，从而得出与的关系，构造函数并求出最小值，进而得出的取值范围． 【详解】命题“，有解”是假命题， 其否命题“，”是真命题， 在上恒成立，即小于的最小值， 令，则开口向上，对称轴为， ，故在内的最小值为， ． 故选：A． 第 1 页 共 10 页 学科网（北京）股份有限公司 $