函数的零点与方程的解2同步练-2026-2027学年高一上学期数学人教A版必修第一册

**基本信息** 高中数学“函数的零点与方程的解”新授课同步练，分层设计梯度合理，知识覆盖从单一概念到综合应用，通过问题情境发展抽象能力与推理意识，助力知识巩固与能力提升。 **分层设计** |层次|知识覆盖|设计特色| |----|----------|----------| |基础层|零点区间判断、直接求零点|如选择1、5、6及填空8，聚焦概念理解，培养数学眼光| |发展层|零点存在性定理、函数性质应用|如选择2、4及填空9，结合单调性、奇偶性，发展推理能力| |综合层|含参数方程零点、根的分布|如选择3、7及解答11-13，通过参数讨论与实际问题，提升模型意识|

函数的零点与方程的解2 一、选择题 1．【2026·江西南昌高一联考】函数f(x)＝2x－的零点所在的区间是(　　) A．(1，＋∞) B． C． D． 2．【2026·河北衡水高一期末】函数f(x)＝ax2＋bx＋c，若f(1)>0，f(2)<0，则f(x)在(1,2)上的零点(　　) A．至多有一个 B．有一个或两个 C．有且仅有一个 D．一个也没有 3.【2026·河南·专题练习】函数f(x)＝4x－log3(－x)的零点个数是(　　) A．3　 B．2 C．1　 D．0 4．【2026·河北衡水高一期末】设f(x)在区间[a，b]上是连续不断的单调函数，且f(a)·f(b)<0，则方程f(x)＝0在[a，b]内(　　) A．至少有一实根 B．至多有一实根 C．没有实根 D．必有唯一实根 5．【2026·山东济南高一月考】函数f(x)＝ln (x＋1)－的零点所在的区间是(　　) A．(0，1) B．(1，2) C．(2，e) D．(3，4) 6．【2026·山东济南高一月考】函数f(x)＝3x－4的零点所在区间为(　　) A．(0,1) B．(－1,0) C．(2,3) D．(1,2) 7.(多选)【2026·河北衡水高一期末】若定义在R上的连续不断的函数f(x)满足f(1)>0，f(2)<0，f(3)<0，则下列说法不正确的是(　　) A．f(x)在区间(1，2)上有且只有一个零点 B．f(x)在区间(1，2)上有零点 C．f(x)在区间(1，3)上有且只有一个零点 D．f(x)在区间(2，3)上没有零点 2、 填空题 8．【2026·河南·专题练习】函数f(x)＝的零点是________． 9．【2026·江西南昌高一联考】定义在R上的奇函数f(x)满足f(x)＝x2－2x(x≥0)，则函数f(x)的零点有________个． 10．【2026·云南昆明高一月考】已知函数f(x)＝3x＋x，g(x)＝log3x＋2，h(x)＝log3x＋x的零点依次为a，b，c，则a，b，c的大小关系是________． 3、 解答题 11.【2026·河南·专题练习】关于x的方程ax2－2(a＋1)x＋a－1＝0，求a为何值时： (1)方程有一个正解和一个负解； (2)方程的两个解都大于1. 12．【2026·江西南昌高一联考】函数f(x)＝x2＋ax＋b的零点是－1和2，判断函数g(x)＝ax3＋bx＋4的零点所在的大致区间． 13.【2026·河北衡水高一期末】关于x的方程mx2+2(m+3)x+2m+14=0有两实根,且一个大于4,一个小于4,求m的取值范围. 学科网（北京）股份有限公司 $ 函数的零点与方程的解2 一、选择题 1．【2026·江西南昌高一联考】函数f(x)＝2x－的零点所在的区间是(　　) A．(1，＋∞) B． C． D． 【答案】B 【解析】由f(x)＝2x－，得 f ＝2－2<0，f(1)＝2－1＝1>0， ∴f ·f(1)<0. ∴零点所在区间为. 2．【2026·河北衡水高一期末】函数f(x)＝ax2＋bx＋c，若f(1)>0，f(2)<0，则f(x)在(1,2)上的零点(　　) A．至多有一个 B．有一个或两个 C．有且仅有一个 D．一个也没有 【答案】C 【解析】若a＝0，则f(x)＝ax2＋bx＋c是一次函数，由已知f(1)·f(2)<0，得只有一个零点；若a≠0，则f(x)＝ax2＋bx＋c为二次函数，若有两个零点，则应有f(1)·f(2)>0，与已知矛盾．故仅有一个零点． 3.【2026·河南·专题练习】函数f(x)＝4x－log3(－x)的零点个数是(　　) A．3　 B．2 C．1　 D．0 【答案】C 【解析】分别作出函数y1＝4x和函数y2＝log3(－x)的图象，如图所示，由图象可知，两个函数的交点个数是1，所以函数f(x)＝4x－log3(－x)的零点个数是1. 4．【2026·河北衡水高一期末】设f(x)在区间[a，b]上是连续不断的单调函数，且f(a)·f(b)<0，则方程f(x)＝0在[a，b]内(　　) A．至少有一实根 B．至多有一实根 C．没有实根 D．必有唯一实根 【答案】D 【解析】因为f(x)在区间[a，b]上是连续不断的单调函数，且f(a)·f(b)<0，所以函数f(x)的图象在[a，b]内与x轴只有一个交点，即方程f(x)＝0在[a，b]内只有一个实根． 5．【2026·山东济南高一月考】函数f(x)＝ln (x＋1)－的零点所在的区间是(　　) A．(0，1) B．(1，2) C．(2，e) D．(3，4) 【答案】B 【解析】由于f(x)＝ln (x＋1)－在(－1，＋∞)单调递增，又f(1)＝ln 2－2<0，f(2)＝ln 3－1>ln e－1＝0，即f(1)·f(2)<0，∴函数f(x)＝ln (x＋1)－的零点所在区间是(1，2)，故选B. 6．【2026·山东济南高一月考】函数f(x)＝3x－4的零点所在区间为(　　) A．(0,1) B．(－1,0) C．(2,3) D．(1,2) 【答案】D 【解析】由f(－1)＝－<0，f(0)＝－3<0，f(1)＝－1<0，f(2)＝5>0，f(3)＝23>0，得f(x)的零点所在区间为(1,2)． 7.(多选)【2026·河北衡水高一期末】若定义在R上的连续不断的函数f(x)满足f(1)>0，f(2)<0，f(3)<0，则下列说法不正确的是(　　) A．f(x)在区间(1，2)上有且只有一个零点 B．f(x)在区间(1，2)上有零点 C．f(x)在区间(1，3)上有且只有一个零点 D．f(x)在区间(2，3)上没有零点 【答案】ACD 【解析】因为f(1)·f(2)<0，所以f(x)在区间(1，2)上有零点，但不确定有几个，故A错误，B正确；因为f(1)f(3)<0，所以f(x)在区间(1，3)上有零点，但不确定有几个，故C错误；因为f(2)f(3)>0，所以不能确定f(x)在区间(2，3)上是否有零点，故D错误． 2、 填空题 8．【2026·河南·专题练习】函数f(x)＝的零点是________． 【答案】1　 【解析】令f(x)＝0，即＝0，即x－1＝0或ln x＝0，∴x＝1，故函数f(x)的零点为1. 9．【2026·江西南昌高一联考】定义在R上的奇函数f(x)满足f(x)＝x2－2x(x≥0)，则函数f(x)的零点有________个． 【答案】3 【解析】当x≥0时，由f(x)＝0得x＝0或x＝2； 又f(x)为奇函数，∴f(－2)＝－f(2)＝0. 故f(x)在R上的零点有3个． 10．【2026·云南昆明高一月考】已知函数f(x)＝3x＋x，g(x)＝log3x＋2，h(x)＝log3x＋x的零点依次为a，b，c，则a，b，c的大小关系是________． 【答案】a＜b＜c　 【解析】画出函数y＝3x，y＝log3x，y＝－x，y＝－2的图象，如图所示， 观察图象可知，函数f(x)＝3x＋x，g(x)＝log3x＋2，h(x)＝log3x＋x的零点依次是点A，B，C的横坐标，由图象可知a＜b＜c. 3、 解答题 11.【2026·河南·专题练习】关于x的方程ax2－2(a＋1)x＋a－1＝0，求a为何值时： (1)方程有一个正解和一个负解； (2)方程的两个解都大于1. 【解析】 令f(x)＝ax2－2(a＋1)x＋a－1. (1)当方程有一个正解和一个负解时，f(x)对应的草图可能如图①，②所示． 　　　　　 　图①　　　　　　　　图② 因此f(x)＝0有一个正解和一个负解等价于或解得0<a<1. 所以当0<a<1时，方程有一个正解和一个负解． (2)当方程的两个解都大于1时，f(x)对应的草图可能如图③，④所示． 　　　　 　　图③　　　　　　　图④ 因此f(x)＝0的两个解都大于1等价于或解得a∈∅. 所以不存在实数a使方程的两个解都大于1. 12．【2026·江西南昌高一联考】函数f(x)＝x2＋ax＋b的零点是－1和2，判断函数g(x)＝ax3＋bx＋4的零点所在的大致区间． 【解析】 ∵－1和2是函数f(x)＝x2＋ax＋b的零点，∴－1和2是x2＋ax＋b＝0的两个实数解， ∴－1＋2＝－a，－1×2＝b， 即a＝－1，b＝－2. ∴g(x)＝－x3－2x＋4. 易知y＝g(x)在R上是减函数， 又∵g(1)＝1，g(2)＝－8，g(1)g(2)<0， ∴y＝g(x)在区间(1，2)内有零点． ∴函数g(x)的零点所在的大致区间为(1，2). 13.【2026·河北衡水高一期末】关于x的方程mx2+2(m+3)x+2m+14=0有两实根,且一个大于4,一个小于4,求m的取值范围. 【解析】 令f(x)=mx2+2(m+3)x+2m+14. 依题意得或 即或解得-<m<0. 即m的取值范围是(-,0). 学科网（北京）股份有限公司 $