4.5.1函数的零点与方程的解 同步练-2026-2027学年高一上学期数学人教A版必修第一册

**基本信息** 聚焦函数零点与方程的解，采用基础与拔高分层设计，通过概念巩固、区间判断到参数综合应用的路径，适配新授课知识内化与能力提升需求，培养数学抽象、推理能力及模型观念。 **分层设计** |层次|知识覆盖|设计特色| |----|----------|----------| |基础题|函数零点定义、等价关系、零点存在性定理直接应用|以选择填空为主（如单选1求零点值），夯实概念理解与基本运算| |拔高题|含参零点个数、方程根的综合问题|含多选型（多选9区间判断）和开放解答（解答15(3)参数范围），深化逻辑推理与模型构建|

4.5.1函数的零点与方程的解同步练（河南专用） 教材知识梳理 1．函数的零点 （1）函数零点的定义 对于函数，我们把使_________的实数叫做函数的零点． （2）几个等价关系 方程有实数根⇔函数的图象与_________有交点⇔函数有_________． （3）函数零点的判定（零点存在性定理） 若函数在闭区间上的图象是连续不断的一条曲线，并且有_________，那么，函数在开区间_________内至少有一个零点，即在区间内相应的方程至少有一个解． 【答案】 （1） （2）轴 零点 （3） 2．判断正误． （1）函数的零点是一个点．( ) （2）任何函数都有零点．( ) （3）函数的零点是．( ) （4）若函数满足，则函数在区间上至少有一个零点．( ) （5）函数的零点不是点，它是函数的图象与x轴交点的横坐标，是方程的根．( ) 【答案】 错误 错误 错误 错误 正确 【详解】零点是函数时对应的自变量的取值，是一个数值，而不是一个点，所以（1）（3）错误，（5）正确；不是任何函数都有零点，比如没有零点，所以（2）错误，根据函数零点存在定理，首先函数图象是连续不断的，所以（4）错误. 同步练（最新河南同步考题，题号前加“★”的为拔高题目） 一、单选题 1．（2025高二上·河南·学业考试）已知是函数的零点，则（    ） A． B． C．0 D．3 【答案】A 【分析】分类解方程即可. 【详解】若，则由，得，不符合题意，故舍去； 若，则由，得（正值舍去）， 故. 故选：A 2．（2026·河南濮阳·一模）已知函数的零点分别为，则的大小顺序为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】将问题转化为图象交点的横坐标，数形结合可得；或利用函数的单调性以及零点存在性定理可比较. 【详解】法1：由题意可知，分别为与的函数图象的交点的横坐标， 图象如图：    由图可知，； 法2：易知，均为增函数， 因为，所以， 因为，所以， 所以. 故选：A 3．（25-26高一上·河南洛阳·阶段检测）函数的零点所在区间是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】先判断函数的单调性，再根据函数的零点存在定理，即可判断. 【详解】根据题意，令，，则， 根据指数函数的图象性质，可知在内单调递减， 根据一次函数的图象性质，可知在内单调递减， 所以为上的减函数， 又，， 所以的零点所在区间是. 故选：D 4．（25-26高一上·河南信阳·期末）函数的一个零点在区间内，则实数的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】先根据零点分析得，然后利用指数函数单调性和反比例函数的单调性可知，函数在单调递增，进而利用零点存在性定理列不等式求解即可. 【详解】当时，在上恒成立，此时在区间内无零点； 要使函数的一个零点在区间内，则， 因为函数和在单调递增，所以函数在单调递增， 由零点存在性定理可知，解得． 故选：B 5．（25-26高一上·河南许昌·期末）已知函数.若函数恰有两个零点，则实数的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据题意，画出函数的图象，把恰有两个零点，转化为和的图象有两个不同的交点，结合图像，即可求解. 【详解】由函数， 当时，可得，开口向上，且， 当时，可得，可得在上单调递增， 作出函数的图象，如图所示， 因为函数恰有两个零点， 即为和的图象有两个不同的交点， 结合图象，可得或，所以的取值范围为. 故选：C. 6．（25-26高一上·河南洛阳·阶段检测）已知函数为幂函数，若函数，则的零点所在区间为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】由幂函数的概念求得，再结合零点存在性定理和函数单调性即可求解. 【详解】因为函数为幂函数， 所以，解得，所以，. 因为，，， ，， 由解析式可知在上单调递增， 所以在上有唯一零点. 故选：B. 7．（24-25高一上·河南开封·期末）已知是函数的零点，且，，则（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】分析函数的单调性，结合零点存在定理可得出结果. 【详解】因为函数、在上均为增函数，故函数在为增函数， 因为，，，则， 由零点存在定理可得，又因为，，故. 故选：B. ★8．（25-26高一上·河南·阶段检测）已知函数，若关于的方程有4个不相等的实数根，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】由题意或，作出的图象，数形结合求得有三个不同的实数根，从而结合图象求得有一个实数根时的取值范围. 【详解】由， 得，所以或. 作出的图象，如图. 因为函数的图象与直线有三个交点，所以有三个不同的实数根. 所以必须有一个实数根，即函数的图象与直线有一个交点. 由图可知， 所以实数的取值范围为. 故选：A. 二、多选题 ★9．（25-26高一上·河南南阳·阶段检测）已知函数，则的零点所在区间可能为（    ） A． B． C． D． 【答案】BCD 【分析】根据零点存在定理分别判断各选项. 【详解】由已知， 则， ， 则，即函数在区间内不一定有零点，A选项错误； ， 则，即函数在区间内一定有零点，B选项正确； 又 ， 则，即函数在区间内一定有零点， 即函数在内一定有零点，C选项正确； ， ， 则，即函数在区间内一定有零点，D选项正确； 故选：BCD. ★10．（25-26高三上·河南·阶段检测）已知函数，则下列说法正确的有（    ） A． B．有3个实数根 C．若有4个实数根，从小到大分别为，则 D．若有8个实数根，则 【答案】ABC 【分析】对于A，B只需代值计算，根据自变量范围进行取舍即得；对于C，则需要作出函数的图象，利用函数与方程的关系，结合函数的对称性和图象变换，由双勾函数的单调性即可判断C项，对于D，设，结合图象，将问题转化为方程在上有两个相异实根的问题，利用一元二次方程的根的分布列出不等式组计算即得参数范围. 【详解】对于A，由题意，，故A正确； 对于B，当时，由可得， 解得，因，故得； 当时，由可得，或，解得或， 故有、、共三个实数根，故B正确； 对于C，作出函数的图象，由时，， 且，可知当时，直线与函数有两个交点； 又由时，，当时，直线与函数均有两个交点， 故由有4个实数根可得，，由图知，， ，则，解得， 又由解得，由解得，则有， 于是，因函数在单调递减，故， 则，故C正确； 对于D，设，则方程即， 由图知，要使原方程有8个实数根，需使有两个相异实根， 且，，则由解得或， 设，依题意，需使，则得， 综上，可得，故D错误. 故选：ABC. 三、填空题 11．（25-26高一上·河南商丘·期末）函数的零点个数为___________． 【答案】2 【分析】函数的零点个数即为函数与图象的交点个数．画出函数图象，数形结合，可得答案． 【详解】函数的零点个数即为函数与图象的交点个数． 在同一坐标系中画出函数与图象如下图所示    由图象可知函数有两个零点． 故答案为：2. 12．（25-26高三上·河南·期末）已知函数没有零点，则______. 【答案】 【分析】函数没有零点可以转化为函数与直线无交点，求出函数的值域即可求出答案. 【详解】函数没有零点， 即无解， 可化为， 即函数与直线无交点， 因为，所以， 若函数与直线无交点，则，解得， 所以若函数没有零点，则. 故答案为：. ★13．（25-26高一上·河南郑州·阶段检测）函数，若关于的方程有6个零点，则的取值范围为__________． 【答案】 【分析】先分析已知函数的值域，把关于的方程的零点个数转化为在值域内解的个数，结合给定零点个数求出相应，进而求出的取值范围． 【详解】， 当时，单调递增，值域为， 对任意，有1个解；或时无解； 当时，，值域为， 对任意，有2个解；时有1个解； 的解的个数为： 时，； 时，（时有1个，时有2个）； 时，； 时，； 令，， 有6个零点，即， 仅当且时，，此时， 设，需满足： 或， 对称轴， 端点值， 综上可得，， 故答案为：． 四、解答题 14．（25-26高二下·河南南阳·期末）设，函数的两个不同零点都在区间内，求实数的取值范围； 【答案】；（2）9． 【详解】的对称轴为， 因为函数的两个不同零点都在区间内， 所以，得， 故实数的取值范围为． 15．（25-26高一上·河南洛阳·期中）已知二次函数满足，且.    (1)求的解析式； (2)画出函数的图象； ★(3)若有四个不同的实数根，求实数的取值范围. 【答案】(1) (2)    (3) 【分析】（1）根据待定系数法求的解析式； （2）根据分段函数画出函数的图象即可； （3）将方程的根转化为图象交点个数，结合（2）所化图象，列出不等式组，解不等式即可. 【详解】（1）设二次函数， ，， ， ， ， （2）略 （3）若有四个不同的实数根， 等价于与的图象有四个交点， 由图可知， 即 ， . 故实数的取值范围为. 试卷第1页（共3页） 试卷第1页（共3页） 学科网（北京）股份有限公司 $4.5.1函数的零点与方程的解同步练（河南专用） 教材知识梳理 1.函数的零点 (1)函数零点的定义 对于函数y=fx,我们把使 的实数x叫做函数y=fx的零点. (2)几个等价关系 方程fx=0有实数根台函数y=fx的图象与 有交点台函数y=fx有 (3)函数零点的判定（零点存在性定理） 若函数y=fx在闭区间a,b上的图象是连续不断的一条曲线，并且有 ,那么，函数y=fx在 开区间 内至少有一个零点，即在区间α，b内相应的方程fx=0至少有一个解. 2.判断正误， (1)函数的零点是一个点.( (2)任何函数都有零点.（) (3)函数y=x的零点是0(0,0).( ) (4)若函数f(x)满足fa小·f(b)<0,则函数在区间a,b]上至少有一个零点.() (5)函数的零点不是点，它是函数y=f(x)的图象与x轴交点的横坐标，是方程f(x)=0的根.（) 同步练（最新河南同步考题，题号前加“★”的为拔高题目） 一、单选题 1.(2025高=上河南学业考试)已知x,是函数fx=3-L,X>0的零点，则x,=（) x2-9,x≤0 A.-3 B.-2 C.0 D.3 2.(2026河南濮阳一模)已知函数fx=2产+x-1,gX)=1og2X+X-1,h(X)=X2+X-1的零点分别 为a,b,c,则a,b,C的大小顺序为() A.b>c>a B.b>a>c C.c>b>a D.c>a>b 3。(25-26高一上河南洛阳阶段检测)函数fx=3-2x+4的零点所在区间是（） A.-1,0 B.0,1 C.1,2 D.2,3 试卷第1页（共3页） 4.(25-26高一上河南信阳期未)函数f(x)=2-20的一个零点在区间(1,2)内，则实数a的取值范围 是() A.(1,3) B.（1,4 c.(0,3 D.(1,2) 5.(25-26高一上河南许昌·期末)已知函数fx= X23,火0若函数g1x=fx-m恰有两个零 -2+lnx,x>0 点，则实数m的取值范围是() A.-4,-3 B.-3,0 c.{-4U-3,+oo D.{-4u-3,0 6.(25-26高一上·河南洛阳：阶段检测）已知函数fX=3m-2x为幂函数，若函数 gx=e-1+fx-7'则gx的零点所在区间为() A.1,2 B.2,3 C.3,4 D.4,5 7.(2425高一上河南开封期未)已知X是函数fx=nx-2的零点，且X,∈k,k+1,k∈乙，则 k=() A.3 B.2 C.1 D.0 ★8.(25-26高一上·河南·阶段检测)己知函数f引x= -xX2-2x+3,x≤0，若关于x的方程 Inx,x>0 [fxP-a+2fX+2a=0有4个不相等的实数根，则实数。的取值范国是() A.-00,0 B.0,+o c.13,4 D.3,4 二、多选题 ★9.(25-26高一上河南南阳阶段检测)已知函数fx=2x3-3+只V2,则x的零点所在区间可能为 () A.-2,-1 B.-1,0j C.0,1 D.5,6 ★10.(25-26高三上河南阶段检测)已知函数f(x)=X-4X+1,x≤0， 则下列说法正确的有 1og2x-1,x>0 试卷第2页（共3页） Af4=3 B.fx=有3个实数根 C.若fX=t有4个实数根，从小到大分别为x1,X,X,X,则X+X+X+x:∈[1,6 61 D.若fX-afx+2a+1=0隋8个实数根，则a∈2，岁 三、填空题 11.(25-26高一上河南商丘期末)函数fx=lnx-x-2的零点个数为 12.(25-26高三上河南期末)已知函数f(x)=ae-1(a>0)没有零点，则a=一 ★13.(25-26高一上河南郑州阶段检测)函数fX=gX,x>0, 若关于x的方程 2*+1,x≤0 gx=fx-afx+2有6个零点，则。的取值范围为 四、解答题 14.(25:26高二下河南南阳：期末)设m∈R,函数fx=X-5x+m的两个不同零点都在区间0，+∞ 内，求实数m的取值范围； 15.(25-26高一上·河南洛阳·期中)已知二次函数fx满足f0=1,且fx+1=fx+2x-3. 5 3 2 5-43-2-1912345元 9》 3 (1)求fx的解析式； (②画出函数fx的图象： ★(3)若fx=a2-a-1有四个不同的实数根，求实数a的取值范围。 试卷第3页（共3页）