第二十二讲 椭圆的简单几何性质导学案-2026-2027学年高二上学期数学人教A版选择性必修第一册

该高中数学导学案聚焦椭圆的简单几何性质，涵盖标准方程、范围、顶点等核心知识点。课堂导入可衔接椭圆定义，通过对比焦点在x轴和y轴的方程及性质，搭建从定义到几何性质的学习支架，帮助学生梳理知识脉络。 导学案系统梳理知识点、易错点及题型，表格对比性质助直观理解，分层习题覆盖基础到综合。通过典型例题培养学生用数学思维分析问题，用数学语言表达结论，提升逻辑推理与运算素养，适合自主学习与课堂教学。

第二十二讲 椭圆的简单几何性质 【学习目标】1.掌握椭圆的简单几何性质； 2.通过椭圆简单几何性质的学习，进一步体会数形结合思想 【学习重点】椭圆的简单几何性质： 【学习难点】椭圆扁平程度与离心率的关系 必掌握知识点： 椭圆的几何性质， 焦点的位置 焦点在x轴上 焦点在y轴上 y超 B B 图形 B: 标准方程 2 y2.x2 63 =1(a>b>0) aF+存=1(a>b>0) 统一方程 mx2+y2=1(m>0,n>0,m≠n) x=acos0 参数方程 (y=bsine' 0为参数(0e[0,2πD {=sin06为参数(0e0,2πD x=acos0 第一定义 到两定点F、B的距离之和等于常数2a,即M+|M上2a(2aFB) 范围 -a≤x≤a且-b≤y≤b -b≤r≤b且-a≤y≤a A（-a,0)、A2(a,0) A(0,-a)、A(0,a） 项点 B(0,-b)、B2(0,b) B(-b,0)、B2(b,0) 轴长 长轴长=2a,短轴长=2b 长轴长=2a,短轴长=2b 对称性 关于x轴、'轴对称，关于原点中心对称 焦点 F(-c,0)、E(c,0) F(0,-c).F(0,c) 焦距 EE=2c(c2=a2-b2) 离心率 c2 a2-b2 (0<e<1) 准线方程 x=ta2 c y=ta 点和椭圆 >1 外 >1 外 + a b2 =1台点(x,y)在椭圆 上 + a 2 =1台点(x)在椭圆 上 的关系 <1 内 <1 内 + =1 yoy o a2 =1 b2 ()为切点) b2 (x)为切点) 切线方程 对于过椭圆上一点G,)的切线方程，只需将椭圆方程中x换为x,广换为 yoy可得 切点弦所在 +=1(点(x,)在椭圆外) 2+。=1(点(K,)在椭圆外) + 的直线方程 。+ cos0- 2b2 -1,0x=∠FBF ,(B为短轴的端点) 1 Sa sin0-b'tan 0c,焦点在x轴上 ② “2cx,焦点在y轴上(0=∠FPE) P(Xo.Yo) 0 焦点三角形 F, 面积 当P点在长轴端点时，(5)min=b2 ③当P点在短轴端点时，(5)max=a 焦点三角形中一般要用到的关系是 MF +MF,|=2a(2a>2c) 1 Sms-2 P Isin∠RPR) FF=PF+PFP-2 PFPF I COs ZFPF 左焦半径：M=a+ex 下焦半径：MFi=a+eyo 焦半径 右焦半径： MF=a-exo 上焦半径：MF=a-eyo 2 焦半径最大值a+c,最小值a-c 通径 26 过焦点且垂直于长轴的弦叫通径：通径长=a(最短的过焦点的弦) 设直线与椭圆的两个交点为4(x,乃)，B(x,),kB=k】 则3弦长4=1+x-=+FG-广-4红天 弦长公式 -+--4= (其中a是消'后关于x的一元二次方程的x的系数，△是判别式) 二 一些常见结论 2b2 过椭圆的焦点与椭圆的长轴垂直的直线被椭圆所截得的线段称为椭圆的通径，其长为α· 1. 2.椭圆上到中心距离最小的点是短轴的两个端点，到中心距离最大的点是长轴的两个端点. 3椭圆上到焦点距离最大和最小的点是长轴的两个端点。 距离的最大值为a+C,距离的最小值为a-C. 4,最大角，P是椭圆上一点，当运动到短轴端点时，∠F1PF2为最大角： 5.焦点三角形面积SaPr,p,=btan ∠FPF2 2 6.焦半径PF1=a+exo,PF2=a-exo: X=a·cos0 椭圆×t1Q>b>0的参数方程y=b:96 (日为参数) 8.椭圆的切线 号+ 椭圆a+尔=1(a>b>0 +2=1 ”上一点P(x。'%)处的切线方程是a2b 过椭圆+京=1a>b>0 x2.y2 xox yoy=1 外一点P(,%),所引两条切线的切点弦方程是a2b2 3 x2,y2 椭圆a+6=1a>b>0 与直线Ar+By+C=0相切的条件是APa2+Bb=c2. 三易错点汇总 1.公式记忆错误：椭圆a=b2+c2,与双曲线c2=a2+b2严格区分，绝不记反。 2.焦点判定错误：标准化方程后，分母大的对应坐标轴为焦点轴，不可只看未知数。 3.定义条件遗漏：椭圆定义必须满足2a>2c,否则无轨迹或为线段。 4.焦点三角形失分：面积公式、余弦定理变形、内切圆等综合题型，不会公式联用。 5.范围忽略：椭圆上点的坐标有界，最值、不等式题型必须优先考虑取值范围。 6.题型思维固化：共焦点、共离心率不会用结论简化计算，全程硬算浪费时间。 7.解答题规范失分：不验证判别式、遗漏斜率不存在、韦达计算失误、不写取值范围。 8.离心率误区：始终牢记0<<1，求值、求范围最终结果必须符合该区间。 必考题型全归纳： 题型一、椭圆基本概念与基本量(a、b、c、e) (1)标准方程与焦点判定 焦点在x轴：ab =1(a>b>0),焦点（±c,0) 焦点在y轴： y+=1(a>b>0),焦点(0，±c a2 b2 判定规则：分母谁大，焦点在谁轴；Q为长半轴、b为短半轴、C为半焦距。 (2)核心恒等式：a=b2+c2(高频必考，区别于双曲线) (3)离心率：e=S(0<e<1) 几何意义：离心率越小，椭圆越接近圆形：离心率越大，椭圆越扁。 (4)椭圆量：长轴长2a、短轴长2b、焦距2c。 易错点 混淆公式：误写为c2=a2+b2(双曲线公式)，椭圆固定为a2=b2+c2。 未标准化方程，直接判断焦点位置，导致出错。 离心率大小与椭圆形状关系记反：e越小越圆，e越大越扁。 未分类讨论焦点位置(x轴/y轴)，漏掉多解情况 1.椭圆145 =1的离心率为() 9 .4 5 B.14 C.33 D. 3v14 7 14 【答案】D 【分析】代入离心率公式即可计算 9_314 2.下列椭圆中，形状最接近于圆的是() A.2+=l +=1 B.23 c. .=1 n 【答案】D 【分析】利用椭圆离心率公式逐项求解，然后利用离心率的性质分析即可 【详解】对于A,a=V2,b=1→c=Va2-B=2-1=1, 所以椭圆离心率为e=二= a√2’ 对于B,a=3,b=2→c=2-万=-（2=1， 所以椭圆离心率为e=￡= 对于C,a=2,b=5→c=va2-F=V2-(3=1, 所以椭圆离心率为e=C-{ a2, 对于D,a=5,b=2→c=Va2-bF=5-22=1, 所以椭圆离心率为e=C a5, 1111 因为2225，所以D选项中椭圆离心率最小， 由椭圆性质知，离心率越小，越接近于圆，故D正确 5 3.如图，直角坐标系中有3条圆锥曲线C,(=1,2,3),其离心率分别为？，则的大小关系为 () A.e2<e<e B.e<e<e C.es<e,<e D.e<e<e 【答案】B 【分析】根据椭圆的离心率与图形的关系即可判断。 【许解】设三条线的方程为存花1623），芙中。相铜高心率9匠因 a 由图可知，短半轴b<b,<b,因此a2-b>a2-b好>a2-b, 即Va2-g>Va2-bg>Va2-R 两边同除以a,得e>e>e,即e<<e. 故选：B 4.下列椭圆的方程中，形状最接近于圆的是() A.9x2+y2=36 16*121 【答案】D 【分析】需要分别计算各项中椭圆的离心率，再比较大小 【详解】对于椭圆，其离心率©=。，椭圆的肩平程度由离心率决定，离心率。越接近0，椭圆越接 近圆， -422 选顶A.化为标准方程为+，a=36公=4。二1.363， x2 y2 2W2 选项B.化为标准方程为36+4=1a2=36,B=4因此其离心率e,=6,= 31 6 12-1 所以eg=e4>ec>e。,因此选项D中椭圆的离心率最小，形状最接近于圆故选D 题型二、椭圆定义与轨迹方程 (1)第一定义：平面内动点到两焦点距离和为定值2a,且满足2a>2c,轨迹为椭圆。 衍生结论：2a=2c为线段、2a<2c无轨迹。 (2)椭圆上任意点满足：|PF1+|PF2=2a,焦点三角形周长C=2a+2c。 (3)轨迹求解方法： 定义法：优先判断几何关系，直接套用椭圆定义求方程： 直译法：翻译题干几何条件，化简得方程，注意剔除无效点。 易错点 忽略2a>2c核心条件，盲目判定轨迹为椭圆。 求解轨迹方程后，未剔除无法构成图形的端点、共线点。 共焦点椭圆题型，不会利用C不变的性质快速解题。 y2,x2 5.与椭圆4+2=1有相同的焦点，且经过点(V5,2)的椭圆的标准方程为 y2,x2 【答案】8+6 =1 y2,x2 【分析】设所求椭圆的标准方程为云+存=1>b>0),由愿意有。-=2，把点(5,2)代入椭 圆方程，求出a2,b即可 【详解】所求椭圆与椭圆：+的焦点相同，则其焦点在y轴上，半焦距C有。2=4一22 y2,x2 设它的标准方程为。+存=1(a>b>0),于是得。-尔=2 43 又点(3,2)在所求椭圆上，即有。+京=1， 43 联立两个方程得2++家1，解得62=6，则a2=8, 所以所求椭圆的标准方程为8+6 y 故答案为：8+61 1 6.过点(3，-2)且与椭圆4x2+9y2=36有相同焦点的椭圆方程是 x2 【答案】15+10 【分析】根据题意，求出椭圆的标准方程，分析可得其焦点坐标，即可得要求的椭圆的焦点坐标， 设其左右焦点为R、F,由椭圆的定义可得2a=P+PF引，由椭圆的几何性质可得b的值，代入 椭圆的标准方程即可得答案， 【详解】根据题意，椭圆4x2+92=36的标准方程为g4三1， 其焦点坐标为（±5,0）， 则所求的椭圆的焦点坐标为（±5,0， 设其左右焦点为F、F, 又由椭圆经过点(3，-2)， 则有2a=PF+PE=V3-V52+(-22+V3+V52+(←22=215， 则a=5, 又由c=V5,则b2=a2-c2=10, x2,y2 则要求椭圆的方程为：15+01 x2+y=1 故答案为：15+10 【点睛】本题考查椭圆的几何性质，涉及椭圆的标准方程，注意先将己知椭圆的方程变为标准方 程 又。若所圆c过点任，2且与稀圆后+苦-1有相同的东点，则稀国c的方程为 【答案】15+10 【分析】本题有两种方法：法一是设共焦点的椭圆方程系，直接代入(3,2)即可求得；法二是求出 椭圆的焦点，利用定义求出长轴长，进而求出椭圆标准方程 x2,y2 详解】法：因为腿与猫圆及子中夹焦点，所以设稀因℃：久行2 广=12>3)， 32 22 因为椭圆c过点(3,2)，所以g+元+3+元l,即-21-35=0 解得元=7或九=-5（舍去）， 8 所以椭圆c的方程为510 x2,y2 故答案为： =1 1510 x2,y2 法2：因为椭圆8+3=1的焦点为F(-5,0,F(N5,0),椭圆c过点M3,2) 所以 2aMFI+ME,=V3+V5+22+V3-52+2=18+6W5+V18-6W5=25所以a=I5, 而。-5：所以=0所议撰圆c的方程为后+若山. x2,y2 故答案为：1510 8.己知圆C,:(x+4)+y2=1的圆心为C,圆C,:(x-4)+y=81的圆心为C,动圆M与圆C外 切，且与圆C?内切，记动圆圆心M的轨迹为曲线C. (1)求曲线C的方程； (2)当∠CMC2为钝角时，求点M横坐标的取值范围。 【10学 =1(x≠-5) 575V7 -44 (2) 【分析】(1)结合圆与圆的位置关系，利用椭圆的定义求解即可； (2)设点M(x,y),将∠CMC,为钝角转化为MC·MC,<0且C、M、C,三点不共线，然后结合 点M在椭圆上，利用数量积的坐标运算列不等式求解即可 【详解】(1)设动圆M的半径为R,圆C的圆心为C(-4,0),半径为片=1： 圆C,的圆心为C,(4,0),半径为5=9.因为动圆M与圆C外切，且与圆C,内切， MC=R+1 所以wC,=9-R,所以MC+MC=10>CC=8 所以曲线C是以C,C,为焦点，长轴长为10的椭圆， x2y2 设椭圆方程为行+示=1a>6>0,所以2a=102c=g即g=25”C=16 所以b2=a2-c2=9,又CC2=8=5-i, 9 所以圆C与圆C,内切于点(5,0)， 所以c的方程为行号-〔4列。 (2)设点M(x,y),C(4,0),C(4,0), 所以MC=(-4-x,-y),MC,=(4-x,-y), 若∠CMC,为钝角，MC·MC<0且C、M、C,三点不共线， 所以(4-x(4-x)+y2<0,① 又由椭圆的方程得y产2=9-9 25，-② 联合①②得 55<r<5 <7,解钓- 4 5v75W7 所以点的横坐标的取值范围是 4’4 题型三、椭圆离心率取值范围与求值问题 ()基础求值：根a,bc三者关系，直接代入e=合计算。 (2)范围求解：结合椭圆上点的范围、垂直平分线、几何最值、角度限制、向量垂直等条件，建 立不等式求解e范围。 (3)特殊题型：椭圆光学性质、垂直平分线过焦点、内切圆半径关联离心率。 易错点 求解取值范围时，忘记椭圆离心率固有范围0<<1，导致范围偏大。 无法将垂直平分线、内切圆、角度条件转化为Q、C的不等式。 光学性质题型不会利用“反射光线过另一焦点”转化边角关系。 包已知椭圆C:+片Q>b>0的左、石顶点分别为A,B,点M在C上，且BM=55 10 |AM=l3,an∠BAM- 12,则C的离心率为() A青 B. C.14 2W2 12 D 3 【答案】C 【详解】因为BM<AM,所以点M在y轴右侧，过点M作MN⊥x轴，垂足为点N, 因为tan∠BAM= 2所以s动∠BAM=MN_y.5 AM13=13,则MW=5 AN =AM-MN =12,BNI=BM2-MN =10, 所以2a=AB=AW+BN=12+10=22,则a=11, 则点M的坐标为(1,5)或(1，-5)， 代入稀圆方程2+后-山，得6=6 125 b25 24,所以。=24， 所以e=C b219_114 N 10.椭圆a+ =1(a>b>O)的右焦点为F,其右准线与x轴的交点为A,在椭圆上存在点P满足 线段AP的垂直平分线过点F,则椭圆离心率的取值范围是() C.2-1 【答案】D 【分析】设椭圆的左顶点为A,根据右焦点F在AP的垂直平分线上，知PF日FA,得到 |FA≤FA,列出关于a,c的不等式，求解即得e的取值范围. 【详解】设椭圆的左顶点为A', 由题意PFHFAI,即以F为圆心，|FA为半径画圆与椭圆有交点P,如图.只需FA≤FA 11 a- 即&-c≤a+c即2c2+ac-a220 两边除以a2得2e2+e-1≥0即(2e-l)(e+1)20 得e 22,又0<e<1 1 VA 1.已知椭圆C: ,y2 行+F=1a>b>0)的左、右焦点分别为F,F:若C上存在一点p,使得 P5⊥P5,1APF天的内切模羊v-台则C的篇心率e 4 【答案】50.8 【分析】设PF=m,PF=n,根据条件，利用椭圆的定义得到2mm=4a2-4c2,进而可得 1 a-c=b,再利用。-b+c2,可得5c=4a即可求解 【详解】设PF=m,PF=n,则m+n=2a①，因为P℉1P5,则m2+n2=4c2②， 由①②可得2mn=4a2-4c2, 又。PF片的内切题半径r台则maa+2)小号a+elb, 所以a2-c2=(a+d),得到a-c=力，又a2=+c2 所以a2=9(a-c}+c2,整理得到5c2-9ac+4a2=(5c-4a(c-a)=0, 4 所以5c=4a或c=a（舍)，则c的离心率e= 2,已知F,E分别为椭圆C。+1(Q>b>0)的左、右焦点，点p为椭圆外y轴上一点，毁 段PF与C交于点Q,FO·P听=0，△PQF内切圆的半径为b,则椭圆C的离心率为一 【答案】3 12 【分析】根据条件，结合椭圆定义以及三角形内切圆性质，即可化简得到2+b=2c2,再利用 b2=a2-c2即可求得结果 【详解】由F0PF=0得，F0⊥PF, 又P,Q,F共线，故FQ⊥QF, P(0.t),PO=m,oF |=n,PF=1, 则2m=u++小o, 所以b=mn m+n+1,叉P=m2+n2, 且(m+n2-12=m2+2mn+m2-(m2+n2）=2mn, (m+n+l)(m+n-l） 所以b= 2 m+n-l, m+n+l 2 即lPg+lF引-|PF=2b, 又PE=|PF=Pg+QEl, 所以PO+|QF-(Pg+QFd)=|QF-l2F=2b, 又F+leF=2a, OF-OF=2b 联立2E+lo=2a可得1p=a+b,QFl=a-b' 又F+lF=EE=(2c}-4c2, 化简得，a2+b2=2c2, 又b2=a2-c2, e=6 所以2a2=3c2,a3 6 即椭圆c的离心率为3 13 F2 题型四、焦点三角形综合问题（核心重难点） 设P为椭圆上一点，F1,F2为左右焦点，∠F1PF2=6。 (1)定义关系：|PF1+|PF2=2a,|F1F2=2c (2)余弦定理：(2cP=PF1+PF2-2PF1IlPF2lcos0 (3)面积双公式： SAPF,F=b'tan S=c.lypl (4)特殊结论：P在短轴顶点时，日最大，焦点三角形面积最大。 (5)内切圆问题：利用等面积法S=C△·r求解半径或参数。 2 易错点 面积公式记混，混淆tan与cot。 使用S=c·yp时忽略绝对值，遗漏点的多解。 不会对(IPF1+PF2)展开变形，无法结合余弦定理解题。 内切圆题型不会使用等面积法建立等式。 ,椭圆父+X三上一点。与椭圆的两个焦点E,E的连线互相垂直，则APF的面积义 () A.24 B.48 C.12 D.96 【答案】A 【分析】结合椭圆的定义与直角三角形的勾股定理，求出两条焦半径的乘积，进而计算焦点三角 形的面积 x2,y2 【详解】对于椭圆49+241，得。2=49’8=24 14 因此a=7,c=Va2-b=√49-24=5，故EE=2c=10, 设P仁m,PF,=n,根据椭圆的定义，得m+n=2a=14,所以(m+m)=m2+n2+2mn=196, 由P听1P5,△PFF为直角三角形，根据勾股定理得m+n2F5P=100,即196-2mn=100, 解得mn=48, 因F的面积S-m= ×48=24 14若风，及为稀圆C:兮+ =1的两个焦点，P为C上一点，且△P乃的内切圆的半径小于 1 5,则点P横坐标的取值范围是() A.（5,-1u(5) B.[「-5，-u5 c.（-2,-1U(2) D.（-5,-V2)u(N2,N5) 【答案】A 【分析】利用等面积法建立方程，表示出P横坐标，再根据△PF乃的内切圆的半径取值范围求解. 【详解】由题可知a=5,c=1,所以FE引=2，PF+PF=25, 设△PF的内切圆的半径为r,P(Cx,) 所以S.m5=2Pr+PF+FEr=+5r, 又Ss=2FF=以，所以a+5r=,即+5,2=y2 5 所以2=515+55，因为0<r<1- 2 5 15 5所以1<2=515+55,2<5. 所以0<2<6-25 2 所以-V5<x<-1或1<x<V5,所以点P横坐标的取值范围是(V5,-IU1,W5) 15.椭圆4+少=1上有一点A在x轴上方，F,B分别为椭圆的左右焦点，则。F4AB,的周长为 【答案】4+2√5 【分析】利用椭圆的定义进行求解. 【详解】由题意得：c=√a2-b=V5,根据椭圆的定义得：A+AF=2a=4,所以aEA的 周长为2a+2c=4+2W3 16.椭圆具有特殊的光学性质：从椭圆的一个焦点出发的光线，经椭圆反射后，反射光线经过椭 圆的另一个焦点对于椭圆C+yQ>0,其左、有焦点分别是F,E,P为椭圆C上仟金 一点，△PFE面积的最大值为V3,椭圆C在点P处的切线为1，过点P且与1垂直的直线与椭圆的 PF 长轴交于点M(M与O不重合)，且∠EPM=∠E,PM,若PM=ME,则PF 【答案】3 【分析】根据给定条件，求出椭圆方程，再利用三角形面积公式及椭圆定义，结合余弦定理列式 求解。 【详解】由椭圆C。+了工，得椭圆一的短半轴长6心改该圆半焦距为。 由APFE面积的最大值为，5，得2Bb=c=V5,a=V6+C-2,即椭圆c的方程为 4+y2=1, 由椭圆的光学性质得过点P与l垂直的直线为∠FPF的角平分线，而∠FPM=∠F,PM, IEM_S际M_ EPFPM IFPI 则F,MSR,M PP∠5PwE,令FM-EP, IEMIEPI 则FP卡E,PHFM作FM,而FP1+|E,P4,IEMI+|EM=2W5, T是w源wR件名件用W月 16 4t}+ 1+t 1+t2 1+t 1+t 由 ,得 2x 4t2W3 2× 4t2W3 cos∠FPM=cos∠F,PM 1+t1+t 1+t1+t 整理得t2-4t+3=0,解得t=1或t=3, 当t=1时，IFMHEM,点M与O点重合，不符合题意， PFL=3 所以t=3'PF 故答案为：3 F 题型五、椭圆最值与范围问题 (1)距离最值：椭圆上点到定点/定直线距离最值，可参数换元、二次函数最值求解。 (2)周长最值：利用椭圆对称性、定义转化线段，结合三点共线取最值。 (3)坐标范围：椭圆上点满足-a≤x≤a、-b≤y≤b,可直接用于不等式求解。 (4)椭圆与圆综合最值：|PQlmax1min=|PO圆±r(O圆为圆心，r为圆半径)。 易错点 椭圆与圆综合最值，误以原点为圆心计算，忽略题目自定义圆心。 忽略椭圆坐标取值范围，导致二次函数最值求解错误。 无法利用对称性、椭圆定义转化线段求周长最值。 17.已知曲线C:x=V3-3y2,则曲线上的点到直线1：x+y+4=0的距离的取值范围是() 3W25W2 A. 2,2 B.「V2,32 3V2V6+4V2 c. 2,2 e9w 【答案】D 17 【分析】根据稀圆的方程，设点P5cos以s血9)为曲线c的任意点，且9e受习， 进而根据 点到直线的距离，结合三角恒等变换求解即可： 【详解1能线C:=5-3y支彩形得C:号+广=（≥0），表示y轴右侧的部分猫阀。 所以x∈[0,5]，y∈-1，， 设女P小5co8s血D)为线c:=5的仁查-，H0[受引， 2sin0+元 +4 点p5cos8,s血o)到直线 的距离为：d= 3 cos0+sin0+4 3 1:x+y+4=0 √2 所以2sm0+写e-l2,2sim0++4eB. 2sin0+ +4 所以d 3 √2 32 所以曲线。上的点到直线，的距离的取值范围是 x+y+4=0 18。过椭圆c:16+)=1的中心作直线I交椭圆于MT两点，F是椭圆的左焦点，则AMT周 长的最小值是() A.17 B.14 C.6+2√7 D. 8+27 【答案】B 【分析】根据椭圆的几何性质可得FT=MF引，进而将三角形的周长转化为M+MF+2OM, 18 再由椭圆的定义及椭圆的上点的范围可得最小值 之+y 【详解】由椭圆c:169=1,得a2=16,62=9,即a=4,b=3,c=7,F(-V万，0，FN7,0) 如图，作出符合题意的图形， M 因为椭圆和直线I都是中心对称图形，所以FT=MF引，M+MF引=2a=8. 所以△MFT的周长为ME+FT+|TM=ME+ME+2|oM=8+2OM. x > 又因为-4≤x≤4,0≤≤16，所以oM6 2+923,当且仅当x=0时等号成立 所以M+FT+TM=8+2OM≥8+2x3=14,当且仅当x=0时等号成立， 故选：B +y 19已知国c:后+二41m>4)的右焦点为p·点A-22为桶国c内点.若带因（上布 在一点P,使得PA+PF=8,则m的取值范围为() A.[6+25,25 B.(6+25,25 C.(9,25] D.[9,25] 【答案】B 【分析】椭圆C的左焦点为F,求出椭圆的两个焦点的坐标，根据椭圆定义得PF=-P+2√m, 结合PA+PF=8得PA+PF=|PA-PE=8-2m,根据几何关系求出|PA-PE的范围，从而 可得到一个不等式组，进行求解可得m的一个范围：再根据A在椭圆内可得的另外一个范围： 综合两个范围即可得到答案， 【详解】设椭圆C的左焦点为， 因a2=m,b=m-4,则c2=a2-b2=4,则c=2,则F(-2,0),F(2,0), 由椭圆的定义可知，PF+PF=2m,:.PF=PF+2m, 19 PA+PF=PA-PE+2Vm=8,PA+PF]=PA-PF=8-2Vm, :PA-PF≤AE=2, .-2≤PA-PF≤2，当P,A,E三点共线时，等号成立， :椭圆C上存在一点P,使得PA+PF=8, .-2≤8-2Wm≤2，解得9≤m≤25， 又：点A(-2,2)为椭圆C内一点， 4+44<1,解得m<6-25或m>6+25, ∴mm-4 综上可得m的取值范围为(6+2√5,25， 故选：B F 20已知4B是椭图C:号+ 5=1的左右顶点，P是C上任意一点，F是C的左焦点，圆 E:(K-2+y2=,Q是图五上任意一点，则PQ+PF的大值为 【答案】2 【分析】由椭圆的定义，得到PF=6-PF,化简得到Pg+PF=6+(PO-PF)）,结合圆的性 质，得到PQ≤PF+r=PF+7,求得lPg-PF1s,即可求得PO+PF的最大值 详解】由椭圆C)+片，可得。9.=5，则a3,6=N5且，2 则椭圆的左、右焦点分别为F(-2,0),F'(2,0), 又由椭圆的定义，可得PF+PF1=2a=6,所以PF=6-PF1, 所以Pg+PF=PO+6-PF1=6+(Pg-PF'), 因为圆E:(-2+-子可得圆心E即点F亿，0，半径为r 20 又因为点O是圆E上的年意一点，所以PQsPR1+r=PF+, 即PQ-PFs分，当且仅当PQ.F三点共线，且Q在pr的延长线上时，等号成立， 所以P-PF的最大值为2， 所以Pe+pA-6+Pg-Pr)s6+号月，即pg+Pm的最大值为 3 题型六、点、直线与椭圆的位置关系 (1)点与椭圆位置关系：点代入椭圆方程，小于0在椭圆内、等于0在椭圆上、大于0在椭圆 外。 (2)直线与椭圆交点：过椭圆上一点的直线，交点个数为1个（切线）或2个（割线）。 (3)椭圆与圆交点：联立方程，通过判别式、方程解的个数判断交点数量。 易错点 误判椭圆上点的直线交点个数，遗漏切线情况。 联立椭圆与圆方程后，未结合椭圆范围取舍解。 21.过点(12的宜线与子发1安点个数有() A.0个 B.1个 C.1个或2个 D.2个 【答案】C 【分析】判断点(-1,2)与椭圆的位置关系是点在椭圆上，则可判断出过点（1,2)的直线1与椭圆 君+苦这个数 【1号-合11a上 2 :过点(-1,2)的直线，与椭圆2+8=1交点个数有1个或2个 故选：C 21 2.记椭圆E:+ 84 =1的上顶点为A,右焦点为F,则以A为圆心，|AF为半径的圆与E的交点 个数为(). A.0 B.2 C.3 D.4 【答案】B 【分析】求出圆的方程，再与椭圆方程联立，转化为求出直线与椭圆交点个数即可 【详解】箱圆E:号+1的上项点A02少，右焦点F20h=2点， 84 因此以A为圆心，4F为半径的圆方程为x2+(y-2=8, ∫x2+(y-2)=8 由1x2+2y2=8 消去得y+4y-4=0,而-2≤y52解得y=22-2 直线y=2√2-2与椭圆E交于两点，所以所求交点个数为2. 题型七、椭圆共焦点、共离心率题型 (1)共焦点椭圆：半焦距C相同，可设共焦点椭圆系方程快速求解。 (2)共离心率椭圆：二比值不变，a、b、c成比例缩放。 易错点 共焦点题型，忘记C不变，重复计算参数。 共离心率题型，不会利用比例关系简化计算。 23.椭圆M x2y2 259 =1与椭圆N、 25-k+)-K=1k<9)的() A,长轴长相等 B.短轴长相等 C.离心率相等 D.焦距相等 【答案】D 【分析】利用椭圆的性质计算即可。 【详解】A选项，椭圆M的长轴长为2×5=10，椭圆N的长轴长为2√25-k,所以A选项错误： B选项，椭圆M的短轴长为2x3=6,椭圆V的短轴长为2√9-k，所以B选项错误： 9 9-k 4 C选项，椭圆，的离心率为eM M 25 5,椭圆 ,的离心率为ew= 25-k25-K,所以 C选项错误： D选项，椭圆M的焦距为2×√25-9=8，椭圆N的焦距为2×V(25-K)-(9-k)=8,所以D选项 22 正确 y2,x2 24.,过点(N2,2列，且与椭圆25+61有相同焦点的椭圆的标准方程为() y2,x2 x2,y2 y2,x2 A.18+9 B. 189 =1 c.2+3 =1D.12*3 =1 【答案】D a2-b2=9 【分析】设所求椭圆方程为y2,x2 a+=l(a>b>0) 依题意可得]4+2=’解得、 ，即可 a2 b2 求出椭圆方程。 【联1箱云+后何会点为0)成Q办 y2,x2 设所求椭圆方程为后+存=1(a>b>0): [a2-b2=9 则4+2-1 解得a=12,所以椭圆方程为少上 a+ b2=3 12*31 故选：D 2点已知锭图C的心在照点，供点在坐标轴上，日经过点05时0之 3 (1)求出椭圆C的标准方程及其离心率、准线方程 (②)求出与(1)中椭圆C共焦点且离心率等于2的椭圆D的标准方程. x2 2W2 9V2 【答案】①)标准方程为)+少=1，离心率为3，准线方程x= 4 -1 【分析】(1)设椭圆方程为：mx+y2=1(m,n>0且m≠”)，代入所过两点可得答案； x2y2 (2)由(1)设椭圆方程为：元+8+元 =1(2>0),然后由离心率可得答案 【详解】(1)设椭圆方程为：mr2+少y=1(m,n>0且m≠n）, 1 8m+5n=1[1 9 m= 代入 25,0.2'可得n8 9,则椭圆方程为： 3） m+n=1 n=1 9 9+y2=1 23 宽心率为，ca一。=3。准线方程为：三4 ,92 c 4 《2由知28故可设与椭圆一共焦点的椭圆。的方程为：8+>0， 因离心率为： x=1. 、-2+8及5一A=8,则椭圆D的标准方程为：6+8 a√n+8 2 26.求满足下列条件的椭圆的标准方程： 0经过点(30)，且离心率e=6 3: (②)经过点M3,2,且与椭圆g+4=1有相同的焦点 y2x2 上答10)9+3=1或27g≤1 x2.y2 1 (2)i5+10 【分析】(1)根据题意，分类讨论椭圆的焦点位置，结合椭圆的离心率公式求得a,b,C,从而得 解： (2)利用共焦点的性质得到c=5,再利用点在椭圆上得到关于，b的方程组，解之即可得解. 【详解】(1)因为椭圆经过点(3,0)， 若椭圆焦点在x轴上，则a=3, c 6 =a=3,得c=6,所以2=a2-c2=3 由e=-= x2.y2 此时椭圆的标准方程为9+3=1：若椭圆焦点在y轴上，则b=3 由e= 9V6 a=3,得a-27 y2 x2 此时椭圆的标准方程为27+91， 综社横国准为亏号收分号1 )因为所求椭圆与椭圆。+41有相同的焦点，可得。2=9-4与 因为焦点在x轴上，可设它的标准方程为。+京=1(a>b>0)且。2=5： 24 9.4 因为椭圆过点M(-3,2),所以有。+存=1①， 又因为a2-b2=c2=5②， 由①②解得：a2=15,b2=10」 x2 所以所求椭圆的标准方程为5+01 题型八、椭圆综合解答题（直线、定点、定值、面积、最值） (1)常规解题步骤：设直线方程→联立椭圆→判别式△>0→韦达定理一代入求解。 (2)弦长公式：1AB1=1+k.x1+x2-4x1x2 (3)面积求解：割补法、向量面积公式、底乘高。 (4)定点定值：通过韦达化简，消参得到固定坐标/固定值。 (5)中点轨迹：点差法（中点弦问题专属解法）快速求轨迹。 易错点 遗漏直线斜率不存在的情况，导致解题不完整。 联立后忘记验证△>0，保留无效解。 韦达定理计算出错，是解答题高频失分点。 点差法使用时，忽略直线与椭圆相交的前提条件。 +上=l,直线1：y=x+m 27.已知椭圆c的方程为4+3 (1)写出椭圆C的焦距和离心率； (2)当m=1时，求椭圆C被1截得的弦长： (3)已知l与椭圆C交于M,N两点，O为坐标原点，当OM⊥ON时，求m的值， 【答案】(1)焦距为2，离心率为2 号 6)42V42 7 【分析】(1)根据椭圆的标准方程及离心率公式求解即可。 (2)联立直线方程与椭圆方程，结合韦达定理及弦长公式求解即可 (3)联立直线方程与椭圆方程，结合韦达定理、向量垂直的坐标表示求解即可. 25 【详解】(1)由4+3=1，可得。2=462=3 所以a=2,b=V3,c=V√a2-b2=1, 所以椭圆c的焦距为2，离心率为e=C=) a 2 (2)当m=1时，直线l:y=x+1, y=x+1 联立2y 4+3 =1，整理得： 7x2+8x-8=0△=82-4×7×(-8)=288>0' 设直线1与椭圆交点坐标为A(x,),B(x,2), 所以6+6=氵，=- 8 7 则8=+--F+-46--4》-头 24 即椭圆c被1截得的弦长为 (3)设M(s),N(,y4),则OM=(3,),O=(c,y4), B y=x+m 联立方程： 父+少-1整理可得： 4+3 7x2+8mx+4m2-12=0 因为存在两个交点，故△=64m2-28(4m2-12)>0,解得-√7<m<7, 8m 4m2-12 X1+x2=- 7 所以y=(s+mc+m）=x+m(6+x)+m2-4m-12_mx8m --m× +m2=3m2-12 7 7 因为OM⊥ON,所以OM⊥ON，所以xx+4=0, 即+-m,2+3m12=0,解得m=±2 7 7 7,均满足斤<m<万： 26 所以m的值为±2y匣 7 x2,y2 28.已知椭圆c:。+存=1a>b>0)过点P2,V2):短轴长为4 (1)求椭圆C的方程： (2)已知点H(m,0)且m≥√2，若椭圆C上的点到H的距离的最小值是√3，求实数m的值： (3)椭圆C与y轴的交点为A、B(点A位于点B的上方)，直线I:y=x+4与椭圆C交于不同的 两点M、N.设直线AW与直线BM相交于点G,求GA+|GP的最小值. -1 【答案】)8+4 (2)2W2+V5 3)V6 【分析】(1)根据给定条件列式求出a,b即可. (2)设椭圆上任一点为Q(x,%),利用两点间距离公式列式，再结合椭圆范围及二次函数性质求 出最小值即可 (3)联立直线！与椭圆方程，利用韦达定理求出点G的轨迹，借助对称性即可求解GA+GP的 最小值 x2,y2 【详解】(1)由椭圆c:京+？=1a>b>0)的短轴长为4，得6=2 42 由椭圆c过点P2,V2),得+存=l,则a=2N2, 所以C的方程为专+ -=1. )设椭圆上任一点为0x,则发+1，即6=4-，52N2.2 84 则点Q到H的距离为 1 d=-m+%=26-2m+m+4=5,-2m-m+4, 1 由m22:得2m≥22，函数d=V6-2m-m+4在-2N2,221上单调递减， 1 则当x,=2W5时，d-2W2-2m-m+4=5,解得m=22+5, 所以m=22+V5】 27 (3)由(1)得A(0,2),B(0,-2). 设点N(x,),M(2,y2)y≠±2,2≠±2). y=c+4 由x2+2y2=8,得1+2k2x2+16+24=0' 由4=256k-961+269)>0,解得2> 于是￥+龙=- 16k 24 +2"五+22，+3三-2在6 3 白M5在雅圆专+号-1上得营+耳-1 84 即2-0+x）=号，则-2=20 20y+2)’ 直线1N的方程为y-2=,直线M的方程为+2=5+② x X2 y-2（y-2)x2 xX2 Xx2 两式相除得y+2+2)x2(%+2)(y+2)x 2(x+6)(2+6) 24 X x2 1+2k2 2k2xx32+12k(G+x)+72 1+2K2+12k.-16M 2k2.24 1+2k2+72 24 1 48K2-192k2+72+144k=-3,解得y=1,因此G在定直线y=1上， 由图知，点A,P都在直线y=1的上方，点A关于直线y=1的对称点为原点0， 则GA=lGO,lGA+GP=G0+|GP≥oP=V22+(2=6, 当且仅当G为线段OP与直线y=1的交点时，即点G的坐标为(W2,)时取等号， 所以GA+|GP1的最小值为V6 29,已知箱圆C等+少-1.过点TB0的直线，与椭西交于AB两点，设M为线段B的中点 求点M的轨迹方程； 28 【答案】2-3x+4y=0(0≤x< ）: 【分析】把椭圆上两个交点代入方程作差，借助中点坐标推出直线斜率；再利用直线过定点写出 另一组斜率，斜率相等消去参数得到轨迹，最后根据中点在椭圆内限定x范围。 【详解】设A(x,月)，B(x,2),M(x,). 因为弦B的中有为6，所以=士臣%=受 2 公+=1 又因为 两点在椭圆 x2 上，所以 A,B 4+=1 +好=1 (4 两武相减得任-飞++(-)0+)=0， 会告名0，品 当x≠5时，40+为)(G-) 4y0 由于孩AB过点7B0M6小》所以a产5)， y6=- 因此。-34，整理得x-3x,+4=0①， 又因为M(,)是弦AB的中点，所以M(,)必在椭圆内， 所以于方<山，再与0联立消去为得：+36-<4即%号 4 再由①得4=3x。-x≥0，解得0≤，≤3，因此0≤< 4 因此点M的轨迹方程为x2-3x+4y=0(0≤x<3), 巩固提升： 1已知20小a20动点c功则“C.C20是“号+号1~的() 94 A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 29 C.充分必要条件 D.既不充分也不必要条件 【答案】B 【分析】列出向量AC,BC,然后得到AC.BC,由条件“ACBC≥0”得点C(x,y)与圆 F+了=4的位置关系，由条件号+号1得点Ck)与桶圆号+苦=1的位置关系，数形结 合即可得到结论， 【详解】AC=(x+2,y),BC=(x-2,y),则ACBC=(x+2)(x-2)+y2=x2+y2-4, 当AC.BC≥0时，x2+y2≥4，表示点C(x,)在圆x2+y2=4上或圆外， 舌+号之1，表示点C6列车题号+号1止或猫圆外。 94 如图 所以“4CC之0是“长+之IP的必要不充分条件放选：B 9 4 2.已知椭圆C:￡+X1>b>≥0的左、右焦点分别为F,E,上、下顶点分别为B,B,目 FF=B,B,=2,直线y=x与椭圆交于P,2两点，则四边形PB,QF的周长为() A.2 B.22 C.4 D.42 【答案】D 【详解】设椭圆半焦距为c,则2b=2c=2,即b=c=1,a=Vb+c2=√2， 连接PF,,由P,0关于原点对称，F,F关于原点对称， V P/-x B2 得四边形PFQ5为平行四边形，P=OF引， 30 则lF+PF引=PF+PF=2a=2W2,而点B(0,1)与点F(1,0)关于直线y=x对称， 因此PB PF OB HoF,|PB+QB=OF+PF=22,所以四边形PB,OF的周长为4√2 3.己知中心在原点，对称轴在坐标轴上的椭圆，其一个顶点是(0,8)，一个焦点是(6,0)，以下为 椭圆顶点的是() A.(-10,0) B.(-6,0) C.(8,0) D.(0,10) 【答案】A 【分析】依题意求出椭圆所有顶点坐标判断选项即可 【详解】椭圆的一个顶点是(0,8)，一个焦点是(6,0)，椭圆的焦点在x轴上， 设椭圆方程为，+a>b>0,则有h38.c=6,得，=份+c10 所以椭圆左顶点为（一10,0），右顶点为0,0)，下顶点为(0，-8)，上顶点为(0,8)，只有A选项符合 x.y 4.已知椭圆4+京10<b<2)的离心率e=),则其焦距为()7 A.1 B.5 C.2 D.25 【答案】C 【分析】由题意列关于a,C方程组求出c,即可由焦距定义求解 c I e=-= 「a=2 【详解】由题意可得 a2→ c=1,所以椭圆焦距为 故选：C a=2 2c=2 5.已知椭圆+y=1的离心率为√m,则椭圆的一个焦点的坐标可以为（） m 2 B.（-2,0) 2 D.(0,2) 【答案】C 【详解】因为椭圆离心率范围为(0,1)，可得0<√m<1,即0<m<1, 当0<m<1,椭圆焦点在y轴上时， 由+y=1可得a=1b=m:则。=--m所以离心率e=-m-瓜，解得m) 1 2 此时c=V2 所以椭圆两个焦点为 31 6已知椭圆写+关=l的离心率e= x2.y2 5,则实数k的值为() A.3 5 B.3或3 C.5 15 D.5或3 【答案】B 【分析】分类讨论焦点在x轴和'轴上的情况， 详解】①当焦点在抽时，c5足大c:a36·则e号大3 a25 解得k=3: ②当焦点在y轴上时，a2=k,b2=5,c2=a2-b2=k-5, 解之得=25综合①②知，适合条件的实数 或25 3 =33 x2.y2 7.设F,F分别是椭圆。+存1(a>b>0)的左、右焦点，直线过R交椭圆于A'B两点 (点4在，轴下方)，交，轴正半输于点C,已知精圆的离心率《=2 2，且∠CFE=60°，则 AF A B. c2 2W2-1 7 7 【答案】D 【分析】由题意可得 设C=元，进而得到M=2ac·M-5-22小eFF2 a=V2e,设rd 再根据余弦定理建立方程求解即可： 【详解1由题意，。-台-号.即，2c由于0g=c,20F5=6:则Fq=210F=2, AF 设FC 元，则14=arq=2c' 在△A55中，aE=120,4F=2a-A=(22-2),lFF=2c, 由余弦定理得cos∠AF5=A+EE-A 24F FR 则-片-2a+e-2C1+3.wx-251.即 AF 2V2-1 2.2c.2c 2λ 7 7 32 B 8,已知锐角a满足mng>2'椭圆C:X +y=1,G:三+号=1的离心率分别为eG tana tana 2 若2g=4e,则ta 2() A.10 B.3 e D.4 【答案】B 12 【分析】根据椭圆的离心率结合标准方程得出tana= 5 再应用两角和正切计算求解. 1 2 【详解】由2e=4,’得2 =V14×, 12 1 解得tana= tang tana 5 2tan “2 12 1-tan2c5，即 所 an2号+5tang-6=0'解得ang_2或ng_ 3 tan- tan-=- 2 2 23 22 因为a为锐角，所以tan >0，故m5= 23· 9.已知椭圆E:x2+my2=1的离心率为2，则m的值为() 43 B)或2 3 A.3或4 C.4 D. 【答案】A 【分析】将椭圆化为标准方程，进而分类讨论椭圆焦点位置，再结合离心率求解m. x2.y2 =1 【详解】原方程整理得11 mm>0m≠1 当焦点在，辅上，则。=1公= m,满足1>1 >m’即m> 由离心率e= 得e--11 as. a2 1m4解得m=手，符合条件 33 当在y上则-石尔满足六>1，明网 同理c2-61 1=1-m= ,解得3，符合条件 m= m 4 10(多选).已知二次曲线C:5(x+y)+6y=8表示一个椭圆，则() A.C的对称中心为(0,0) B.C上的点到隙点距离的取值范园是[2] √10√10 C.当点P,)在c上时， 22 D.C的离心率为2 【答案】ACD 【分析】根据对称性定义计算可判断A:令r2-x2+y2,由(x±y≥r2±2y代入化简可得 8-5r≤3r2,计算可判断B;将曲线看作关于x的方程，由判别式列不等式计算可判断C；先证 明旋转公式，再将原方程标准化，计算判断D即可 【详解】对于A,设(c,y)是二次曲线C:5(r+y）+6y=8上任意一点， 将(-x,-y)代入二次曲线C:5(x}+(y+6(-x(-y)=8, 化简可得5(x2+y2)+6y=8,所以(x,-y)在二次曲线C上， 则二次曲线C的对称中心为(0,0)，故A正确： 对于B,令r2=x2+y,则6y=8-5r2, 因为生=+y生2=Pt2y20,得o≤5 所以8-5r2s3r2,解得1≤2≤4，即r∈[，2]， 所以二次曲线C上的点到原点距离的取值范围是山，2]，故B错误； 对于C,将曲线方程(x2+y2)+6y=8视为关于x的方程5x2+6x+5y2-8=0, 因为x为实数，所以△=36y2-4×5×(5y2-8)=-64y2+160≥0， 34 解得四5y四，当点P为)在=次自线c上时.可得% 「00 2’2 故C正确； 2 2 对于D,先推理旋转公式，记平面内点P(x,)在角B的终边上，则P(r©os8,rsin8), 而绕原点顺时针旋转一个锐角a,可得旋转后的坐标为rcos(8-a),rsin(8-a), 由正余弦的和差公式得旋转后的坐标如下， (rcoscosa+rsinsina,rsincosa-rcosesina). 又x=rcos8,y=rsin0 所以(xcosa+ysina,-xsin+ycos),即旋转公式得证， 将原方程化为标准方程，而其旋转角为， 旋转后整理方程令交叉项系数为0，可得6cos2α=0， -ysin I x=x'cosπ 而 解得 设 042-) a∈(0， a= 4 y=rsn+ycos-2 4 42(r+) 代入曲线c:化简可得(+ -=1 4 y2 故二次曲线c可以看作由椭圆x+ π 4 =1绕坐标原点逆时针旋转4得到， 如图所示，作出符合题意的图形， 在椭圆x2+y -1中a=2,b=l,c=5,e=5 4 )，故三次曲线的离心率为3，故D正确 11(多选)·已知A(5,0)以B(V5,0)动点P(x,y)满足直线PA与PB的斜率乘积为3，设点p的 运动轨迹为曲线C,过点P的直线I与曲线C的另一个交点为Q,则() A.点p的轨迹方程为了+少=1 B.△PAB面积的最大值为V3 35 C.不存在点p:使得∠APB-月 D.若直线I过原点，则PO的最小值为2 【答案】BCD 【分析】先求出P的运动轨迹是去掉左右项点的椭圆并求出其方程，再利用椭圆的性质逐一分析 即可求解 【详解1因陆园得如女g点5产名化商阳别写广=。 所以点P的运动轨迹是去掉左右顶点的椭圆，故选项A错误， APAB面积为S=25V51列 椭圆中yL,故Sax=V3×I=V5,故选项B正确： 因为PA=(（5-x,-y),PB=(3-x,-y, 所以Pa.PB=(5-x5-+(←-)=-3+y2=名2-2 又0≤x<3所以-2≤号r-2<0,所以p-P6<0 所以不存在点p,使得∠APB= 2,故选项C正确： 若直线I过原点，则P2关于原点对称，PO=2OPL, 当P为椭圆短轴端点时有OPmn=1, 所以直线I过原点，则PO的最小值为2，故选项D正确故选：BCD, x2,y2 12(多选)· 设椭圆)+石=1的左、右焦点分别为F?万：过点F的直线交椭圆于4，B两点， 则() A.椭圆的短轴长为V6 B.△ABF的周长为12 C.AE的最小值为3-√5 D.椭圆上不存在点P,使得∠FPE= 2 【答案】BCD 【分析】由椭圆方程可得a,b,C,根据椭圆性质判断ABC;对于D:可知当点P为短轴顶点时， ∠FPE取到最大值，结合余弦定理分析判断， 【详解】由椭圆方程可知：a=3,b=√6，c=√a2-b2=√3， 36 对于选项A:椭圆的短轴长为2b=2V6,故A错误： 对于选项B△ABF的周长为4a=12,故B正确： 对于选项C:A的最小值为a-c=3-5,故C正确： 对于选项D:当点P为短轴顶点时，∠FPF取到最大值， 9+9-121 此时P=|PF=Q=3,6F=25,可得cos∠P5=2X3x3=3 则∠FP5为脱角，所以精圆上不存在点P,使得∠FPR=子，故D正确枚选：BCD 13(多选).在平面直角坐标系中，动点P满足到两个定点A,0),B(-1,0)距离的倒数和是一个 1 1 定值，即P十P8入，称动点p的轨迹为“1曲线”，下列说法正确的是() A,“九曲线”至少有两条对称轴 B.若“九曲线”与y轴有交点，则九的最小值为2 C.“2025曲线”在圆(x-少旷+y=2023的外部 D.若“曲线”楼有点在精阳普背-1的内部，则的品大植为1 【答案】ACD 【分析】根据给定条件，求出“九曲线”的方程，再利用对称性、不等式性质及椭圆定义逐项分析 判断 【详解】设P(k,小则“2曲线”的方程为：c-+y = V(x+1)2+y2 对于A,将点(x,-),（x,)分别代入“1曲线”的方程，方程成立， 因此“九曲线”关于x轴，y轴均对称，A正确： 1.1 对于B若“人曲线”与，轴有交点，则PA=P≥1，A=P网十P8≤2，B错误： 1 对于C,由“2025曲线”，即PAP =2025,得P 1 <2025,即lPA>2025 则“2025曲线”在以4点为圆心，2025为半径的圆外，C正确： 11,=元 对于D,设“曲线”与，轴正半轴的交点坐标为(x,0),得x-Ix+1 37 2 若>2当0<x<1时，解得x=1-元， 此交点在椭圆 +上=1内部，不符合题意，千是0<1≤2' 3 4-ps-04:女高-2受4， 则P4+P-分自40L08(10为能图后+号-1g内个东点。 又点p不在箱调的内高，则P4-P网≥2=4恒成，同身之4，因比15D正稀 14(多途)，已如稀国C普苦1F为C的6点点AB在C上，且关于)轴时称PQ分 别为线段AF,AB的中点，O为坐标原点，则() 1 A.kAF'koF= B.P1的最小值为1-5 2 C.PO+PF=2 D.存在点A,使得∠OPF=90 【答案】BCD 【分析】设C的左焦点为F,利用对称性，如k=-k,BF=A,取具体的点验证是否有 kk即=)判断A,利用椭圆上点到焦点距离的最值判断B,结合椭圆定义判断C,设 A(x,%)(-V2<<V2),由∠QPF=90求出x判断D. 【详解】对于选项A,由题意得a=2,b=V2,c=V2,如图，设C的左焦点为E,连接A,BF, 由C的对称性知kr=-k且BF=A引，则kkr=-kr·k,由F-2,0、FR2,0,取 66 点A 6 2 2 3,故A错误； 对于选项B,因为p为线段A的中点，所以P=2A,因为列hF的最小值为。-c-2-2:所 以P4的最小值为-)，即l-三，数B正痛： 38 对于选项C,因为P,Q分别为线段4，AB的中点，所以PF=4F,Pg=BF-4l,由椭 圆的定义知PQ+Pr=4+4F)=2,故C正确： 动F心.设%回手号=1且登}由 kre=kr,kpo=ka,得kre=-kpo,所以krokpe=-kpo. Yo 2 y =坊1 +2222-2g2,若 1,=1 2 2 ∠QPF=90 则kk 2-1 此时心-号，改布在点有使得∠Q吓=90，改D正路 15(多选).若圆锥曲线C:mx2+y2=1的离心率为2，则实数m与n的关系为() A.4m=3n B.m=4n C.4n=3m D.n=4m 【答案】AC 【分析】先根据离心率判断曲线类型为椭圆，再将方程化为标准式因椭圆焦点位置有两种情况， 所以分情况讨论： 焦点在：轴时，确定。、公，由2=a-公求出c,结合离心率公式= =。列方程求解m与n关 系 焦点在y轴时，同样确定2、b、c2,再根据离心率公式列方程求解m与n关系 【详解】因为圆锥曲线的离心率=2∈(0,1)，所以该圆锥曲线为椭圆， x2.y2 =1 方程 可化为1+1 x2+my2= m n 39 当焦点在轴上时，此时mn 0，w0-合-片根据f--可e-日日 m m n 11 1 己知离心率。c_1,则2 e= 2211,p1三4 a 2 11 m,=1 化简1=4，则 m 4m=3n 当焦点在抽上时。此过分>0，即m>>口， 11 根据c2=a2-b可得c2=月 n m 11 11 已知离心率c1,则， ”,m=1 ,m= 2e212=1· a2 =4化简“1 4得， e=-=- a 2 21 4 n n 4n=3m 实数m与n的关系为4m=3n或4n=3m.故选：AC 16.(多选)如图，椭圆有这样的光学性质：从椭圆的一个焦点出发的光线，经椭圆反射后，反 射光线经过椭圆的另一个焦点已知椭圆C: 4+y少=L,其左、右焦点分别是F,E,p为椭圆c 上任意一点，直线与椭圆C相切于点P,过点P与垂直的直线与椭圆的长轴交于点M, ∠FPM=∠E,PM,点0，V6),给出下列四个结论，正确的是() A.△PFF面积的最大值为V5 B.PO+PF的最大值为8 C.若PM=M,则PF=3PF D.若F,R⊥1，垂足为R(o,),则 x+y=4 【答案】ACD 【分析】对于A：根据椭圆性质分析判断：对于B:由椭圆定义结合几何性质分析判断；对于C: 应用角平分线的性质及余弦定理即可求解；对于D,延长E,R，FP交于点G,应用对称性及圆的 定义即可求解。 40 【详解】由椭圆方程可知：a=2,b=1,c=√a2-b2=√5 对于A:当点p为短轴顶点时，△PFE面积的最大，最大值为×2√5×1=V5,故A正确： 对于B:因为PF+PF=2a=4,则PE引=4-PEl, 可得Pg+PF=4+Pg-PF≤4+Fg=4+Ve2+6=7, 当且仅当P为射线QF与椭圆的交点时，取到最大， 所以PO+PF的最大值为7，故B错误； 对于C:由椭圆的光学性质，得点P与垂直的直线为角∠FPF的角平分线， 则S。P形，M .没P吗-E=k,则PR=PF'FM=M F,ME,P,设PFE,M 可得=2 则cos∠FPM=cos∠MPF, 25 25k )2 25 1+k+ 1+k 1+k 1+k 1+k1+k 即 4k2W3 423 2 2 1+k1+k 1+k1+k 整理可得k2-4k+3=0,解得k=1或k=3, IPR-Ed=1. 当k=时，时M与0重合，不合题意， 所以k=3,即PF=PF,故C正确： 对于D:如图，延长FR,FP交于点G, 则在△PFG中，PR⊥GE,∠FPR=∠GPR, 则PF=PG且R为FG中点，连OR, 在FEG中，loA=)RG=0Pr+PG)-PE+PE)-a=2, 则点R在以原点为圆心，2为半径的圆上，即+=4，故D正确故选：ACD 41 G 切线 法线 41(a>2'4∈Z)的4个顶点、两个焦点中的两点，Pg=3,椭 4 圆的离心率为 【9 x2,y2 【分析】根据椭圆京+4=la>2:a∈Z),可得b=2,根据c=a2-4以及Pg=3结合 a∈Z可确定a,再求离心率. 【详解】因为b2=4,所以b=2, 所以椭圆顶点：（±a,0）,(0,±2）；焦点：（±c,0),所以2b=4,2a>4, 当P、Q为短轴顶点时，PO=4,不合题意， 当P、Q为焦点和左右顶点中的两点时，两点间距离可能为2a,a+ca-c,2c,若其中任意一个 为V3,解得a均不是整数，不合题意， 当P、Q一个为焦点一个为短轴顶点时，Pg=Vc2+2=C+4=a,a是整数，所以a≠3， 不合题意， 当P、Q一个为长轴顶点一个为短轴顶点时，Pg=Va2+22=Va+4=V3,解得a=3,满足题 盒所以。=VF-2-5,所以e=5 a 3 r2 y2.x2 18.己知椭圆T:+2+y=1(a>0)与椭圆T:+5+存-1相交于ABCD四点，且 与T和2的四个焦点在同一个圆上，则b= 【答案】2√6 【分析】根据椭圆和圆的对称性、椭圆的焦距公式进行求解即可， 【详解】因为两个椭圆的四个焦点在同一个圆上，所以根据椭圆「和2的对称性可知， 该圆的圆心为原点，因此有a2+2-1=b2+5-b2,即a2=4, 且两个椭圆的半焦距为√b2+5-b2=V5,因此该圆的方程为x2+y2=5, 42 又因为A、B、C、D四点与「1和「2的四个焦点在同一个圆上， 所以由椭圆和圆的对称性可知，这四个点也在圆x2+y=5上， x2 = +y2=1,得 24 由 6 x2 24代入椭圆上中，得{ ,解得 5 x2+y2=5 b2+5+6=1 b+56京=1 b2=26 B x2y2 19. 设圆经过椭圆2516 =1的右顶点及右焦点，且圆心在椭圆上，则圆心到椭圆中心的距离为 【答案】 4v34 5 【分析】先求出椭圆右顶点、右焦点坐标，利用垂直平分线确定圆心横坐标，代入椭圆求出圆心 纵坐标，最后用两点间距离公式算出圆心到原点距离。 x+y2 【详解】由椭圆的方程为25+61，得右顶点4的坐标为(5,0)，右焦点5，的坐标为3,0)， F O 圆的圆心在线段AF的垂直平分线上，所以圆心的横坐标为4， 将x=4 +=1，得25 代入2516 月16+上-1，解得y= ,12 16 所以的心坐标为号)皮4号》 所以圆心到椭圆中心的距离d=4+号-44 5 43 20.设不、B为椭圆r: y2 2521 =1的两个焦点，P为下上一点且在第三象限，若PE=FF引，则点 P的坐标为 3V7 【答案】 2 【分析】由焦半径公式求得横坐标，代入椭圆方程可求得纵坐标 秀分=1，则a=5-2c=后-6=2：所以 【详解】椭圆25+21 F-20,2,0,Pl=|6=2c=4,e=e-2 a5 由题意设P,<0<0PF=K所以a+c,=2c,5+号 =4 1 53√7 即x0=- 21 2 22 21.己知P(k)为椭圆C:号+上 36 1上任意一点，则，的最小值为一，y的取值范围是 【答案】 -5 [-6,6 【分析】由椭圆方程求出x的范围，'的范围，即可得解。 【详解1白写若1，可得5≤≤56≤y6 所以x的最小值为-5，y的取值范围是[-6，V6]故答案为：-5：[-V6,v6] 2.已知元eR:若P似小是梳因写兰1上一点：则，的取值他同民 【答案】[-2,2] 【分析】利用椭圆的范围求解即可 x2,y2 【详解】因为P(m,n)是椭圆5+4 =1上一点， 所以点P(m,n)满足椭圆的范围≤V5,以≤2， 因此m≤V5,川≤2，所以-2≤n≤2，即n的取值范围是【-2,2].故答案为：【-2,2] 2点.解四苦+y=1的长轴的项为A名剥点P在锅画肉.HP4P4=Po.则p网西 的取值范围是。 44 【答案】 [2 【分析】先设P(k)根据P4P4=PO得到x2-y=2,根据P在椭圆内，得到4+y<1, 故0≤y2<号，则Po=2+2ye 利用极化恒等式得到P所-P4=-P0-4[2》 【详解】不妨设4(-2,0)，4，(2,0)， P(x.y),=(x+2)+y.(x-2)'+y,po=x+y2, 故Vx+2}+y2Vx-2}+y2=x2+y2, 化简得r-少户=2，因为P在椭圆内，故+广1，即2+少<1，解得0≤y少<号 x2 n2+y2 o=4r-222 因为PA+PA=2P0,PA-P4=2A,0,两式平方相减可得 P屏-P所=pof-40=P0-4e29)放答案为 24.已知箱调后+茶=1a>6>0)的左顶点为人0为坐标原点 p是椭圆上一点，p在第二象 限内若AP=AO,则直线OP的斜率取值范围是 【答案】（0,5) 【分析】由椭圆的性质可知b<OP<a,根据余弦定理可以求出∠AOP的取值范围，可以求出 ∠FOP的范围，则可以求出直线OP的斜率取值范围， 【详解】由椭圆的性质可知b<OP<a,因为P是椭圆上一点，P在第二象限内若AP=AO,根据 余弦定理可知cos∠A0P=OP+OA-APOP 20A.OP 20A1 所以可得0<cos∠AOP<1 2 则可知子<∠A0P<受，又因∠F0OP=R-∠A0P, 所以可知2 <∠E0P<2 ，所以直线Op的斜率为-0<an∠F,OP<-5 故答案为： (-∞，-v) 45 25.直线经过椭圆的两个顶点，若椭圆中心到直线1的距离为其长轴长的4，则该椭圆的离心率 为 6 【答案】3 【分析】设直线l经过点A(a,O),B(0,b),得到直线I的br+y-ab=0,结合题意，利用点到直线的 距离公式，列出方程，求得分=，进而求得辅圆的离心率 3 x2 y2 【详解】设椭圆的方程为。+反=1(a>b>0),可得椭圆的四个顶点坐标为（仕a,0,(0,士b), 根据题意，直线必过椭圆长轴的一个顶点和短轴的一个顶点， 不妨设直线l经过点A(a,0),B(0,b),此时直线I的bx+ay-ab=0, ab_=x2a, 因为椭圆中心到直线，的距离为其长轴长的牙，可得、2+4 b b21 整理得2+2，可得=2，即。3 3 1V6 所以椭圆的离心率为e=-=- a =3 B 6等腰BC的三个顶在圆6y上，且C中有且仅有两个点是 的顶点，则满足条件的△ABC共有 个 【答案】20 46 【详解】如图所示： B 0 B2 由题意可得4(-√2026,0)，A,(N2026,0),B,(0,1),B,(0,-1), 以AB或AB或A,B或A,B为等腰三角形的底边， 在两侧可各作一个等腰三角形，共有4×2=8个： 以AB或AB2或A,B或A,B为等腰三角形的腰， 则AB片V2026+1=V2027, 设另一点为P(x,y), 若PBH4BL,即x2+0y-12=2027, x2+(0y-1)2=2027 由1x2 (2026+y2=1 ,解得 2025(-1)行合题意：（会去方 y=0 同理，若P4,日A4,B1,即(x-V2026)}2+y2=2027, (x-2026j+y2=2027 由x2 2026+y2s1 解得，405+2026，√2026 不符题意： 2025 故只能PB HAB1,这样的点关于y轴对称，共有2个， 故共有4×2=8个： 以BB2为腰，因为BB=2, 设另一点为P(x),若PB,HB,B,2,即x2+0-1)2=4, [x2+0y-102=4 +y2=1，解得.2023 y= ∈(-1,1) 2025 同理若PB,月B,B,F2,即x2+(0y+12=4, [x2+(0y+1)2=4 x+y2=1，解将少=-2023 02c←1)这样的点关子辅对称，共有4个 y 47 若AA,BB为底，则三角形中有三个点是椭圆「的顶点，不合题意： 综上，共有8+8+4=20个这样的等腰三角形. 27.已知椭圆￡+上=1 峪 m+l m （m>0)的离心率为5，则m= 【答案】4 【解1显然。m+=0:故后-品气，解得m4 28如图，。为坐标原点，，5为椭圆C:+>的两个焦点，过E,B分别作椭圆。的切线 的垂线，垂足分别为H,H,.当OH1OH2时，aOH,H,的面积为 【答案】2 【分析】切线：y=:+m,与椭圆方程联立，由△=0得m2=42+1,求出直线FH,FH,方程， 进而求得H,H坐标，计算OH,OH,得解 【详解】方法一：由题意可知直线I的斜率存在，设切线：y=c+m, y=kx+m 状立x2+y2=1:消去整理得 (4k2+1）x2+8kmr+4m2-4=0 ÷△=64k2m2-4(42+1)(4m2-4)=0,化简得m2=4k2+1; 因为FH11,且F(3,0）,则直线FH,:x=--V5, km+3 X=- k2+1 联立∫x=-y-5,解得 m-3k 所以 am+V3m-√3k H y=kx+m k2+1 k2+1k2+1 km-√5m+5k 同理，可得H, k2+1’k2+1 k2m2+m2+3(k2+1） ∴OH m+V52 m-3k m2+3 48+-2, k2+1 k2+1 (k2+1 V2+1=V2+1 48 同理，可得OH=2, 又0H,⊥OH,所以Sa%oHoH-x2x2=2 方法二： 设切点为G,延长FH,FG交于R, 由光学性质可得，R关于切线对称， O-FR-(FG+GR)-(IFG+GF)-zx2a-a-2, 同理oH=2=Sm%oH0H=x2×2=2, 29.求符合下列条件的方程： (①)求过两点C(-1,2)和D1,25),且圆心在x轴上的圆的标准方程. @与稻厨号+广=1有相同的焦点的高网，且经过点( 3 【谷案I0e-2求+re13e号+号1 x2 【分析】(1)设所求圆的标准方程为：(x-m2+y2=R2,代入（-1,2)，(，2W⑤)，求解即可 (2)求出椭圆的焦点坐标，利用待定系数法求得口，b的值，即得答案。 【详解】(1)设所求圆的标准方程为：(c-m)+y2=R2, (-1-m)}+22=R2 依题意得 -m+25j=R,即m+2m+5=R 解得m-2 m2-2m+13=R2 R2=13 所以所求圆的方程为：(x-2)2+y2=13 2椭圆。+y口的焦点坐标为中L0,则所求椭圆的焦点坐标也为中0 x2.y2 设其方程为云+存1(a>6>0),则G-公= 又和回经t引故字容1联章-价=小得=45= 49 x2 y2 故椭圆方程为4+3 =1. y 30.已知椭圆5+41 (1)求椭圆的长轴长，短轴长及离心率： (②求与椭圆+上=1有相同的焦点，且过点 54 3 的椭圆的标准方程。 5 【答案】()长轴长25，短轴长4，离心率 + -=1 9 8 【分析】(1)根据已知条件求得a,b,C,从而求得长轴长，短轴长及离心率： ②无来解在点标，公后安所求指国方程，过代入小6 来求得正确答案。 【详解】(1)由题可知a=V5,b=2,c=1, 5 所以椭圆的长轴长为25，短轴长为4'离心率为5 x2,y2 (2)因为椭圆5+4=1的焦点为（±1,0）， 其有相同的焦点的椭圆的方程可设为+多=1(4>B>0，其中B, 16 所以椭圆的方程为x 代入得3 A2A2-1 1将5,4 3一=1 +R x2,y2 + =1. 、解得42二9，或P三，（舍），所以椭圆的标准方程为98 x2.y2 3L.已知椭圆C:京+京=1(a>b>0)的左、右焦点分别为F,B?点M在椭圆c上，aME5的 周长为4+2V3,面积的最大值为c(c2=a2-b2) (1)求椭圆C的方程 (2)已知点A(-2,0),直线1与椭圆C交于P,2两点，点H为△AP的垂心 (i)若△APO为等边三角形，求点H的坐标； (i)若直线1过点(（L,0),求4H的最大值， 【答案】0号+P=1 6 50 【分析】(1)根据a,b,c三者的关系求解椭圆方程： (2)先设出直线的方程，联立椭圆方程，再结合等边三角形的性质，建立方程求解直线参数，进 而求解即可；利用垂直的斜率关系得到H坐标的表达式，将坐标用直线参数表示后，结合函数求 最值 【详解】(1)由题可知，△MEE的周长为ME+ME+FE=2a+2c=4+2V5,即a+c=2+V5, 且最大面积为×2c×6=6,解得6=1 又a=b+c2-1+c,所以。2=1+2+5-a,化简得a=2即椭圆方程为4+广=1 (2)(i)△AP为等边三角形，由对称性可知PQ1x轴， 设PQ:x=m,P(m,y),(m,-y),由AP=Pg得(m+22+y2=4y2, 又p在椭圆上，y2=1-m 4,代入得7m2+16m+4=0 解得m=-号〈阳三2合去) 2、2 _2 7 等边三角形垂心与重心重合，重心坐标为 (i)设P(,y),Q(,乃)，直线：x=my+1,代入椭圆得（m2+4)y2+2my-3=0, 2m 3 韦达定理得少+2=一 m2+4,5=- m2+4 H是垂心，故ALP2,AH方程为y=-m(x+2), 0方程为y三一二(x一）P方程为片=-本3x-x) y 两式相减整理得=m(+)+m+ 3y+1= -2m2+3 m2+4’ 3-2m2 11m 则yH=-m +2 m2+4 m2+4, 2 3-2m2 11m 12 4H为4〔2,0)到，的距离4=+2+- 11V1+m2 +2 m2+4 m2+4 m2+4, 令u=+mu≥）测n=- ,代入得 H=llu 11 =+3 3 u+ 由不学成2，学号度立，-店满足2，商一站- 51 32.已知椭圆C: 。y2 +行1(a>b>0),F,F分别是左、右焦点，P是椭圆C上一点，PF的最 大值为3，当P为椭圆上顶点时，△PFF为等边三角形. (1)求椭圆C的标准方程： (2)设A,B分别是椭圆C的左、右顶点，若直线I与C交于点M,N,且kw=3kw,直线1是否过 定点？若存在定点，求出定点的坐标 【答案】①+3口：②过定点，定点坐标为山0 【分析】(1)利用椭圆的性质计算参数即可； (2)设直线1方程及M,N坐标，先推导椭圆的第三定义，将斜率关系转化，再构造齐次化方程 计算参数即可。 【详解】(1)设椭圆的焦距为2c,则PFr=a+c=3, 当P为椭圆上顶点时，此时PF=a=FF=2c,所以a=2,c=1,b2=a2-c2=3, x2,y2 即该椭圆方程为：4+31： (2)过定点， 易知4(-2,0)，B(2,0),由于直线1不过A点，可设m(x+2)+y=1, 设P(%),(≠士2，M(飞，y),N(x,)则4+3 。+20-2后-44，所 以kww=子，则ww=香 椭圆方程可化为3(x+2-2)+4y2-12=0=3(x+2}-12(x+2)+4y2 =3(x+2)}2-12(x+2)儿m(x+2)+y]+4y2 =(3-12m)(x+2)}2-12y(x+2)+4y2, 52 则42-12（+23-12m=0, 书+2w= 易知w= +2,则kM,kw是上述方程的两个根， 即如e2子所以m年m+-0,这定0y 4 F 3及已如两C:至+号1，斜率为的直线，与稀圆c交于月两点，线段4份的中点为y (I)求直线l在y轴截距m的取值范围： (2)求点M的轨迹方程； (3)线段AB的垂直平分线交x轴于点P,当m为何值时，△PAB的面积有最大值，最大值为多少？ 【答案】(1(-32,32)(23x+2y=0x∈(-V2,V2)》 9 (3)当m=士3时，三角形P4B的面积有最大值，最大值为8 【分析】(1)直线！与椭圆C交于A,B两点，联立方程组则△>0，即可得到的取值范围为： (②)设直线与椭圆的交点A(,y）,B,）,并设M(k,小，由韦达定理得到x==-? 2 3’ 因为点M在直线上。得到y=受、消去心，再确定x的范国即可求解 (3)先利用弦长公式得到4B-正8m,再由两点间的距度公式得到M= 3 4，则 三角形PB的面积5.0s一m)m,可知当心=g·三角形p份的面双有录大位 39 3 【详解】(1)设这组平行直线的方程为y=2+m, 3 把y= +y x+m代入椭圆方程4+)=1，得gx2+6x+2m-18=0: 这个方程的根的判别式△=36m2-36(2m2-18)=36(-m2+18) 53 由△>0，得-32<m<32,所以m的取值范围为(32,3N2): (2)设直线与椭圆的交点A(,乃)，B(:,2),并设M(x,y), 则x+五三一”，x=+=-m 2 3 因为点M在直线y=2x+m上，所以y= 3 2 与=写联立，消去m,得3x+2y=0, 又由(1)可知-32<m<32,所以x∈(-V2,2) 所以M的轨迹方程为3x+2y=0(x∈(-V2,V2)」 (3)由韦达定理，x+x2=一 3,=2m2-18 2 9 则AB=1+2VG+x)-4xx=1 mm 由(2)知， M 32, 所以线度B的垂直半分线的方虚为y一号引+）】 所以点的坐标为 5mm） 4 三角形p4B的面积Spw-hMP-及08-m)ms818-心+m-9 2428 当且仅当18-m2=m2,即m=±3时等号成立， 9 所以当m2=9,即m=3时，APAB的面积有最大值，最大值为8 34,已知椭圆c: .y2 5 :T+存=1(a>b>0)的离心率为5，焦距为2c,以。'6'c为三边的三角形面 积为1.过左焦点F的直线交C于A,B两点，过点F与垂直的直线交C于D,E两点，其中B, 54 D在x轴上方，M、N分别为AB、DE的中点. (1)求椭圆C的标准方程； (2)证明：直线MW过定点，并求定点坐标： (3)设G为直线AE与直线BD的交点，当△GMN的面积取到最小值时，求直线AB的方程. 【答案】0)5+4 (2)由点B,D在x轴上方，直线I斜率存在且不为0， 设直线18x=my-1,联立椭圆4x2+5y2-20,消去x得（4m2+5)y2-8my-16=0, 8m 4+y=4m2+5 由韦达定理得 -16，且1 y2=4m2+5 +gx*）-小n5 4m+5m+5:由1E116则-代替，得N -54m） -5m2-4m） 则，中点M AB m 5m2+4'5m2+4: 9m 5 4m 9m=m≠).故wy=5m2-x+4m2+54m2+5, 所以kaw=5(m2- 化得+引则蛇小 当,反，引则过定 当m-1时，取如号)N多》则过定司高0：统上，百线nw过定司0】 E 160 (3)(S.6w)m=81 a 5 【分析】(1)由题可得： a2=b2+c2, 解方程即可求解； c=1 2 (1)根据短轴长及椭圆上点求椭圆参数，即可得方程： 55 (2)设直线'：x=my-1,联立椭圆并应用韦达定理求AB中点M坐标，利用垂直关系确定N坐 标，进而写出直线Mw的方程，即得定点； (③)由Sam专4DE,结合（②）及弦长公式求H,DE关Tm的表达式，最后应用基本不 等式求面积的最值， a 5 【详解】(1)由题可得： a2=b+c2,解得： a=5 所以椭圆的方程为 b=2 2bc=1 x2 c=1 =1 C (2)略 (3)由点M,N分别为AB,DE的中点， 由Sa=Sa-Sw-Sa c-S5.cM 由(2)知4B到=1+m2y-l=1+m2Vy+为)}-42= V5(m2+1) 4m2+5 以-上代替，得DE= 85(1+m2) 5m2+4 1 320(m2+1)月 40(m2+1）月 160 所以5aw-8(4m2+5)5m2+4 4m2+5+4+5m2 81, 2 当a仅当4抓45：+4甲网=1时区em-9。 x2.y2 35.已知椭圆C:示+示1（a>b>0)的左、右顶点分别为A?B离心率为分，且经过点 (25). (1)求椭圆C的标准方程： (2)若直线1经过点(3,0)，与椭圆交于M,N两点（异于左、右顶点），记直线AM的斜率为：， 直线BN的斜率为人，求证衣，为定值. 【实】片+ =1 56 2)a2=8所以a=2V2,则A-22,0,B22,0）。 直线1经过点(3,0)，与椭圆交于M,N两点（异于左、右顶点），故可设I:x=my+3(m≠0)， M(x,y),N(,y2), x=my+3 联立+=1得6m+y广+18+3=0所以=0则-46m+4小3=2m-48>0测 (86 m2> 6 43m+49+⅓=3m4所以心%=当名兰， 3 18m 6’x=my+3,;x2=m%2+3: +25m刚+3+22'飞=，石， k=出 -(m+3-22)m+3-22)y m,+3-2W2'店⅓(my+3+22 my,2+(3+2W2)2 圆为m+6-2-兰+6-2)所-3-122= 6 k_17-122)y-y 4+6aw-g兰f2-123,两2 6 因为[17+122)3-y]17-122)=⅓-(7-122)x=-{[7-122)X-⅓] ga巴=neoa.ain 所以元m-122)⅓-为]07-12同7-12-可 所以k为定值122-17 2+y2 【分析】(1)由离心率得到a,6,c的关系，设椭圆方程为：4C+3Cl,代入椭圆过的点坐标， 求出椭圆方程； x=my+3 (2)设（)， 1:x=my+3m≠0M(G,),N(x,2) 联立+1得 86 57 3 0y2三3m2+4+h--、18m 2之”，，所以必y2=一十之，由，，表示k,k,再求证k为定值 6 【详解】(1)依题意得e=C= =a=2所以a=2c: x2y2 又a2=b2+c2,得6=a2-c2=4c2-c2=3c2,则椭圆方程为：4+3C=1, 4.3 x2 y2 又椭圆过点（亿），所以：4C+。山，所以。2所以椭圆标准方程为8+61： (2)略。 36,已知椭圆C:父 2 +=1(a>b>0的离心率为2，点(2,0在椭圆cE (1)求C的方程： (2)过点(0，-2)的直线I交C于A,B两点，O为坐标原点若△OAB的面积为√2，求直线I的方程. 【实10+号162=+ 【分析】(1)利用椭圆右顶点和离心率，结合a2=b+C2直接求出椭圆标准方程： (2)设直线方程，联立椭圆用韦达定理，表达三角形面积，解方程求出参数t即可。 【详解】(1)由题知，a=2而离心率为。2，故c=2 2-1 因为a2=b2+c2,故h=V2,故椭圆方程为：4+2 X (2)由题设直线AB的斜率不为0，且过点(0，-2)， 故设直线：x=(y+2),A(,),B(:,), x=t(y+2) 由1x2+2y=4得(2+2)y2+4y+42-4=0: 故A=161-4+2(4-4)=4(8-4）>0,即-V2<t<V2, 42 42-4 且⅓+%=产+2 t2+2’ 58 收S.o-xPilx-小=林+广-4g-26=,解t行1= t2+2 31 所以直线1：x=v6 3少+2)或x=6+2 37已知椭圆E:￡+足 :京+京=1a>b>0)的左焦点为r(-l,0),离心率为) (1)求椭圆E的标准方程； (2)过椭圆E右焦点E(1,0)的直线1与椭圆E交于A,B两点，若A上2BF引，求直线1的方程， 【答10号号=1回-3w5-50:或5+25-5=0 【分析】(1)根据椭圆焦点坐标特点，结合椭圆离心率公式进行求解即可： (2)根据一元二次方程根与系数的关系，利用转化法进行求解即可· 【详解】(1)因为椭圆E x2,y2 京+京=1(a>b>0)的左焦点为F(←1,0)，离心率为) c=1 后}9{0-296=-2-v47=5 c=1 所以=1→ x2,y2 所以椭圆B的标准方程为4+31： (2)当直线I斜率为零时，此时A,B为左右顶点，不管A,B哪一个为左顶点，均不满足 AF=2BF, 当直线1斜率不存在时，此时根据椭圆的对称性，显然A=2BF不成立， 当直线I存在斜率且不为零时，设直线I的方程为x=my+1(m≠0)， x=my+l 于是有 +-1→(Bm+4y产+6my-9=0, x 43 显然△=36m2+36(3m2+4）=144m2+144>0, 6m -9 设A(,)B(G,),则有y+%=3m+43m+4<0, 因为2所总之，即%=-2， 59 6m 6m -9 -2y2+2= 因此由%+%=3m+4y3m+4<0= 3m2+4 -9 (-2y2)%=3m2+4 6m → y=3m2+4 ÷2,6m9 9 5 , 2y2=3m2+4 气3m+43m+43m2-m=±25 所以直线'的方程为x-25 y+1,或x=-25 5y+1, 化为一般式为5x-2V5y-5=0,或5x+2V5y-5=0. FO F2 60 第二十二讲 椭圆的简单几何性质 【学习目标】1.掌握椭圆的简单几何性质； 2.通过椭圆简单几何性质的学习，进一步体会数形结合思想. 【学习重点】椭圆的简单几何性质. 【学习难点】椭圆扁平程度与离心率的关系. 必掌握知识点： 一 椭圆的几何性质． 焦点的位置 焦点在轴上 焦点在轴上 图形 标准方程 统一方程 参数方程 第一定义 到两定点的距离之和等于常数2，即（） 范围 且 且 顶点 、 、 、 、 轴长 长轴长，短轴长 长轴长，短轴长 对称性 关于轴、轴对称，关于原点中心对称 焦点 、 、 焦距 离心率 准线方程 点和椭圆 的关系 切线方程 （为切点） （为切点） 对于过椭圆上一点的切线方程，只需将椭圆方程中换为，换为可得 切点弦所在的直线方程 焦点三角形面积 ①，（为短轴的端点） ② ③ 焦点三角形中一般要用到的关系是 焦半径 左焦半径： 右焦半径： 下焦半径： 上焦半径： 焦半径最大值，最小值 通径 过焦点且垂直于长轴的弦叫通径：通径长=（最短的过焦点的弦） 弦长公式 设直线与椭圆的两个交点为，，， 则弦长 （其中是消后关于的一元二次方程的的系数，是判别式） 二 一些常见结论 1.过椭圆的焦点与椭圆的长轴垂直的直线被椭圆所截得的线段称为椭圆的通径，其长为． 2.椭圆上到中心距离最小的点是短轴的两个端点，到中心距离最大的点是长轴的两个端点． 3.椭圆上到焦点距离最大和最小的点是长轴的两个端点． 距离的最大值为，距离的最小值为． 4.最大角，是椭圆上一点，当运动到短轴端点时，为最大角； 5.焦点三角形面积； 6.焦半径，； 7.椭圆的参数方程. 8.椭圆的切线 椭圆上一点处的切线方程是； 过椭圆外一点，所引两条切线的切点弦方程是； 椭圆 与直线 相切的条件是． 三 易错点汇总 1.公式记忆错误：椭圆，与双曲线严格区分，绝不记反。 2.焦点判定错误：标准化方程后，分母大的对应坐标轴为焦点轴，不可只看未知数。 3.定义条件遗漏：椭圆定义必须满足，否则无轨迹或为线段。 4.焦点三角形失分：面积公式、余弦定理变形、内切圆等综合题型，不会公式联用。 5.范围忽略：椭圆上点的坐标有界，最值、不等式题型必须优先考虑取值范围。 6.题型思维固化：共焦点、共离心率不会用结论简化计算，全程硬算浪费时间。 7.解答题规范失分：不验证判别式、遗漏斜率不存在、韦达计算失误、不写取值范围。 8.离心率误区：始终牢记，求值、求范围最终结果必须符合该区间。 必考题型全归纳： 题型一、椭圆基本概念与基本量（a、b、c、e） 1．椭圆的离心率为（    ） A． B． C． D． 2．下列椭圆中，形状最接近于圆的是（    ） A． B． C． D． 3．如图，直角坐标系中有3条圆锥曲线，其离心率分别为，则的大小关系为（    ） A． B． C． D． 4．下列椭圆的方程中，形状最接近于圆的是（    ） A． B．C．D． 题型二、椭圆定义与轨迹方程 5．与椭圆有相同的焦点，且经过点的椭圆的标准方程为______. 6．过点且与椭圆有相同焦点的椭圆方程是______ ． 7．若椭圆过点且与椭圆有相同的焦点，则椭圆的方程为____________． 8．已知圆的圆心为，圆的圆心为，动圆与圆外切，且与圆内切，记动圆圆心的轨迹为曲线. (1)求曲线的方程； (2)当为钝角时，求点横坐标的取值范围. 题型三、椭圆离心率取值范围与求值问题 9．已知椭圆的左、右顶点分别为A，B，点M在C上，且，，，则C的离心率为（ ） A． B． C． D． 10．椭圆的右焦点为F，其右准线与x轴的交点为A，在椭圆上存在点P满足线段AP的垂直平分线过点F，则椭圆离心率的取值范围是（   ） A． B． C． D． 11．已知椭圆的左、右焦点分别为，．若上存在一点，使得，且的内切圆半径，则的离心率_________． 12．已知，分别为椭圆的左、右焦点，点为椭圆外轴上一点，线段与交于点，，内切圆的半径为，则椭圆的离心率为______. 题型四、焦点三角形综合问题（核心重难点） 13．椭圆上一点与椭圆的两个焦点，的连线互相垂直，则的面积为（     ） A．24 B．48 C．12 D．96 14．若F1，F2为椭圆的两个焦点，P为C上一点，且△PF1F2的内切圆的半径小于则点P横坐标的取值范围是（   ） A． B． C． D． 15．椭圆上有一点A在x轴上方，，分别为椭圆的左右焦点，则的周长为________ 16．椭圆具有特殊的光学性质：从椭圆的一个焦点出发的光线，经椭圆反射后，反射光线经过椭圆的另一个焦点.对于椭圆，其左、右焦点分别是，，P为椭圆C上任意一点，面积的最大值为，椭圆C在点P处的切线为l，过点P且与l垂直的直线与椭圆的长轴交于点M（M与O不重合），且，若，则________． 题型五、椭圆最值与范围问题 17．已知曲线，则曲线上的点到直线的距离的取值范围是（    ） A． B． C． D． 18．过椭圆：的中心作直线l交椭圆于M，T两点，是椭圆的左焦点，则周长的最小值是（   ） A． B． C．D． 19．已知椭圆：的右焦点为，点为椭圆内一点．若椭圆上存在一点，使得，则的取值范围为（    ） A． B． C． D． 20．已知A、B是椭圆的左右顶点，P是C上任意一点，F是C的左焦点，圆，Q是圆E上任意一点，则的最大值为______． 题型六、点、直线与椭圆的位置关系 21．过点的直线与椭圆交点个数有（    ） A．0 个 B．1 个 C．1 个或 2 个 D．2 个 22．记椭圆的上顶点为A，右焦点为F，则以A为圆心，为半径的圆与E的交点个数为（    ）． A．0 B．2 C．3 D．4 题型七、椭圆共焦点、共离心率题型 23．椭圆与椭圆的（    ） A．长轴长相等 B．短轴长相等 C．离心率相等 D．焦距相等 24．过点，且与椭圆有相同焦点的椭圆的标准方程为（    ） A． B． C． D． 25．已知椭圆 C 的中心在原点，焦点在坐标轴上，且经过点. (1)求出椭圆 C 的标准方程及其离心率、准线方程. (2)求出与（1）中椭圆 C 共焦点且离心率等于的椭圆D的标准方程. 26．求满足下列条件的椭圆的标准方程： (1)经过点，且离心率： (2)经过点，且与椭圆有相同的焦点. 题型八、椭圆综合解答题（直线、定点、定值、面积、最值） 27．已知椭圆的方程为，直线：. (1)写出椭圆的焦距和离心率； (2)当时，求椭圆被截得的弦长； (3)已知与椭圆交于两点，为坐标原点，当时，求的值. 28．已知椭圆：过点，短轴长为4. (1)求椭圆C的方程； (2)已知点且，若椭圆上的点到的距离的最小值是，求实数的值； (3)椭圆与轴的交点为、（点位于点的上方），直线：与椭圆交于不同的两点、.设直线与直线相交于点，求的最小值. 29．已知椭圆．过点的直线与椭圆交于两点，设为线段的中点．求点的轨迹方程； 巩固提升： 1．已知，，动点，则“”是“”的（   ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件 2．已知椭圆的左､右焦点分别为，上､下顶点分别为，且，直线与椭圆交于两点，则四边形的周长为（    ） A．2 B． C．4 D． 3．已知中心在原点，对称轴在坐标轴上的椭圆，其一个顶点是，一个焦点是，以下为椭圆顶点的是（   ） A． B． C． D． 4．已知椭圆的离心率，则其焦距为（    ） A．1 B． C．2 D．2 5．已知椭圆的离心率为，则椭圆的一个焦点的坐标可以为（    ） A． B． C． D． 6．已知椭圆的离心率，则实数的值为（    ） A．3B．3或 C． D．或 7．设，分别是椭圆（）的左、右焦点，直线过交椭圆于，两点（点在轴下方），交轴正半轴于点，已知椭圆的离心率，且，则（    ） A． B．C． D． 8．已知锐角α满足，椭圆，的离心率分别为，．若，则（   ） A． B． C． D． 9．已知椭圆的离心率为，则的值为（    ） A．或 B．或2 C． D． 10（多选）．已知二次曲线表示一个椭圆，则（    ） A．的对称中心为 B．上的点到原点距离的取值范围是 C．当点在上时， D．的离心率为 11（多选）．已知，动点满足直线与的斜率乘积为，设点的运动轨迹为曲线，过点的直线与曲线的另一个交点为，则（    ） A．点的轨迹方程为 B．面积的最大值为 C．不存在点，使得 D．若直线过原点，则的最小值为2 12（多选）．设椭圆的左、右焦点分别为，，过点的直线交椭圆于A，B两点，则（    ） A．椭圆的短轴长为 B．的周长为12 C．的最小值为 D．椭圆上不存在点P，使得 13（多选）．在平面直角坐标系中，动点满足到两个定点，距离的倒数和是一个定值，即，称动点的轨迹为“曲线”.下列说法正确的是（   ） A．“曲线”至少有两条对称轴 B．若“曲线”与轴有交点，则的最小值为2 C．“2025曲线”在圆的外部 D．若“曲线”没有点在椭圆的内部，则的最大值为1 14（多选）．已知椭圆为的右焦点，点在上，且关于轴对称，分别为线段的中点，为坐标原点，则（    ） A． B．的最小值为 C． D．存在点，使得 15（多选）．若圆锥曲线的离心率为，则实数的关系为 （    ） A． B． C． D． 16．（多选）如图，椭圆有这样的光学性质：从椭圆的一个焦点出发的光线，经椭圆反射后，反射光线经过椭圆的另一个焦点.已知椭圆，其左、右焦点分别是，，为椭圆上任意一点，直线与椭圆相切于点，过点与垂直的直线与椭圆的长轴交于点，，点，给出下列四个结论，正确的是（    ） A．面积的最大值为 B．的最大值为8 C．若，则 D．若，垂足为，则 17．、为椭圆（，）的4个顶点、两个焦点中的两点，，椭圆的离心率为______． 18．已知椭圆：与椭圆：相交于、、、四点，且与和的四个焦点在同一个圆上，则___________． 19．设圆经过椭圆的右顶点及右焦点，且圆心在椭圆上，则圆心到椭圆中心的距离为________． 20．设为椭圆的两个焦点，P为上一点且在第三象限，若，则点P的坐标为________． 21．已知为椭圆上任意一点，则的最小值为_____，的取值范围是_____. 22．已知，若是椭圆上一点，则的取值范围是______． 23．椭圆的长轴的顶点为、，动点P在椭圆内，且，则的取值范围是______． 24．已知椭圆的左顶点为，为坐标原点，是椭圆上一点，在第二象限内.若，则直线的斜率取值范围是____________. 25．直线经过椭圆的两个顶点，若椭圆中心到直线的距离为其长轴长的，则该椭圆的离心率为__________. 26．等腰的三个顶点均在椭圆上，且、、中有且仅有两个点是椭圆的顶点，则满足条件的共有________个. 27．已知椭圆（）的离心率为，则______． 28．如图，为坐标原点，为椭圆的两个焦点，过分别作椭圆的切线的垂线，垂足分别为．当时，的面积为______． 29．求符合下列条件的方程： (1)求过两点和，且圆心在轴上的圆的标准方程． (2)与椭圆有相同的焦点的椭圆，且经过点． 30．已知椭圆. (1)求椭圆的长轴长，短轴长及离心率； (2)求与椭圆有相同的焦点，且过点的椭圆的标准方程． 31．已知椭圆 的左、右焦点分别为 ，点在椭圆上，的周长为面积的最大值为 (1)求椭圆的方程. (2)已知点，直线与椭圆交于两点，点为的垂心. （i）若 为等边三角形，求点的坐标； （ii）若直线过点，求的最大值. 32．已知椭圆，，分别是左、右焦点，P是椭圆C上一点，的最大值为3，当P为椭圆上顶点时，为等边三角形． (1)求椭圆C的标准方程； (2)设A，B分别是椭圆C的左、右顶点，若直线l与C交于点M，N，且，直线l是否过定点？若存在定点，求出定点的坐标． 33．已知椭圆：，斜率为的直线与椭圆交于，两点，线段的中点为． (1)求直线在轴截距的取值范围； (2)求点的轨迹方程； (3)线段的垂直平分线交轴于点，当为何值时，的面积有最大值，最大值为多少？ 34．已知椭圆的离心率为，焦距为，以，，为三边的三角形面积为1．过左焦点的直线交于，两点，过点与垂直的直线交于，两点，其中，在轴上方，、分别为、的中点． (1)求椭圆的标准方程； (2)证明：直线过定点，并求定点坐标； (3)设为直线与直线的交点，当的面积取到最小值时，求直线的方程． 35．已知椭圆：（）的左、右顶点分别为，，离心率为，且经过点． (1)求椭圆的标准方程； (2)若直线经过点，与椭圆交于，两点（异于左、右顶点），记直线的斜率为，直线的斜率为，求证为定值． 36．已知椭圆的离心率为，点在椭圆上． (1)求的方程； (2)过点的直线交于两点，为坐标原点.若的面积为，求直线的方程． 37．已知椭圆的左焦点为，离心率为. (1)求椭圆E的标准方程； (2)过椭圆E右焦点的直线l与椭圆E交于A，B两点，若，求直线l的方程. 1 学科网（北京）股份有限公司 $