第二十一讲 椭圆及其标准方程导学案-2026-2027学年高二上学期数学人教A版选择性必修第一册

该高中数学导学案聚焦椭圆及其标准方程，核心涵盖椭圆定义、标准方程、离心率及易错点。课堂从圆锥曲线实际背景导入，联系圆的知识，通过具体情境抽象椭圆特征，构建前后知识脉络的学习支架。 资料亮点在于系统归纳易错点与9类必考题型，结合巩固提升设计。助力学生通过定义法、数形结合等学科方法掌握知识，培养数学抽象能力、逻辑推理思维与模型应用意识，提升解题与知识迁移能力。

第二十一讲 椭圆及其标准方程 【学习目标】1.了解圆锥曲线的实际背景，感受圆锥曲线在刻画现实世界和解决实际问题中的作用； 2.经历从具体情境中抽象出椭圆的过程，初步掌握椭圆的定义、标准方程，进一步体会数形结合思想． 【学习重点】椭圆的几何特征，椭圆的标准方程. 【学习难点】椭圆几何特征的发现，椭圆标准方程的推导． 必掌握知识点 一、椭圆的定义 1．定义：平面内与两个定点F1，F2的距离的和等于常数(大于|F1F2|)的点的轨迹． 2．焦点：两个定点F1，F2. 3．焦距：两焦点间的距离|F1F2|. 4．如图：是椭圆上一点.(三角形两边之和大于第三边) 注 点的轨迹是以、为焦点的椭圆； 点的轨迹是线段； 点P的轨迹是无轨迹. 二、椭圆的标准方程 焦点在x轴上 焦点在y轴上 标准方程 ＋＝1(a>b>0) ＋＝1(a>b>0) 图形 焦点坐标 F1(－c，0)，F2(c，0) F1(0，－c)，F2(0，c) a，b，c的关系 b2＝a2－c2 三 椭圆的离心率 （1）离心率：，也就是说，给出离心率实质是给出了的比值 （2）若点P是椭圆上一点，F1，F2椭圆的两个焦点，由于，而因此可以把其转化到△PF1F2中，利用解三角形的知识来解决离心率问题 四 易错点总结： 1.椭圆定义：看到距离之和，先判断；线段，无轨迹；求轨迹记得挖去无效顶点。 2.基本量公式：牢牢记住，不要记反；焦点看分母大小。 3.焦点三角形：面积两个公式、；余弦定理配合变形。 4.最值类：椭圆与圆混合题型，先算椭圆上点到圆心距离，不是原点；距离最值善用椭圆定义 + 三角不等式。 5.圆与椭圆结合：焦半径为直径圆，优先中位线，少硬算坐标。 6.条件判断：表示椭圆，要求；是圆。 7.轨迹方程：优先定义法，其次直译法；一定检验是否要剔除点。 8.大题：联立直线椭圆，韦达细心；面积相等灵活转化；注意斜率不存在；翻折问题分清不变量。 必考题型全归纳： 题型一、椭圆的定义 1.第一定义：平面内与两个定点的距离之和等于常数（）的点的轨迹叫做椭圆。两个定点叫焦点，两焦点间距离叫焦距。 若：轨迹为线段； 若：轨迹不存在。 2.椭圆定义推论：椭圆上任意一点，满足。常用于焦点三角形周长：。 3.第二定义（圆锥曲线统一定义）：平面内到定点（焦点）距离与到对应定直线（准线）距离之比为离心率，椭圆满足。 易错点 1.忽略定义条件，直接判定是椭圆；得到线段，无轨迹（第 20 题）。 2.求轨迹方程忘记抠掉长轴端点（这些点不能构成三角形）。 3.焦点三角形周长记错：周长 =，不是。 4.垂直平分线结合椭圆定义题型，不会做线段等量代换。 1．方程表示的曲线为（    ） A．圆 B．椭圆 C．线段 D．不表示任何图形 【答案】D 【分析】结合椭圆的定义求解即可. 【详解】由题可得：方程左边的几何意义是点到点，点的距离之和， 即，因为，所以， 所以满足点的轨迹不存在，即方程不表示任何图形．故选：D. 2．在平面直角坐标系中，已知的顶点和，顶点B在椭圆上，则_______． 【答案】 【分析】根据椭圆的标准方程，椭圆的定义，及正弦定理即可求解． 【详解】由椭圆的标准方程，则点和为椭圆的焦点坐标， 又点B在椭圆上，则由椭圆的定义可得， 所以由正弦定理可得． 3．椭圆的左、右焦点分别为，，点在椭圆上．若，则________． 【答案】4 【详解】由题可知，又，所以. 4．已知椭圆：的左、右焦点分别为，，点在上，若，则_______． 【答案】 【分析】根据题意，结合椭圆的定义即可求解 【详解】 已知椭圆，则，， 由椭圆的定义得，， 由于，所以， 则. 题型二、椭圆标准方程与基本量 1.焦点在轴：；焦点 2.焦点在轴：；焦点 3.恒等式：；长半轴，短半轴，半焦距； 4.离心率：，，越大椭圆越扁。 5.判断焦点位置：看分母大小，哪个分母大，焦点就在哪个轴上。 6.一般式：表示椭圆；若表示圆。 易错点 1.和勾股定理混淆，错写成。 2.分不清焦点在还是轴，只看，忘记比较分母大小。 3.形式，没有化成标准式直接判断焦点； 4.方程表示椭圆条件：分母都大于 0 且不相等；分母相等时是圆，不是椭圆。 5．已知方程表示焦点在轴上的椭圆，则的最小值是（   ） A．4 B．5 C． D．6 【答案】B 【分析】由椭圆方程结构特点求得范围，再结合基本不等式即可求解. 【详解】根据题意可得，解得. 令，则， 当且仅当，即时等号成立，故的最小值为5. 6．已知椭圆的长轴长是短轴长的2倍，则（    ） A． B． C．或 D．或 【答案】C 【详解】①当椭圆的焦点在轴上时，，解得； ②当椭圆的焦点在轴上时，，解得， 所以或. 7．方程表示焦点在x轴上的椭圆，则实数m的取值范围为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】若方程表示焦点在x轴上的椭圆，则，解得，即m的取值范围为． 8．离心率为，焦点在轴且长轴长为 6 的椭圆的标准方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】设为长半轴长，为短半轴长，为半焦距，因为离心率为，可得， 因为长轴长为 6，可得，所以，，所以，， 因为焦点在轴，所以椭圆的标准方程为. 题型三、充分必要条件（椭圆命题判断） 1.充分条件：条件结论；必要条件：结论条件。 2.方程，推不出椭圆，还需要； 3.焦点三角形为直角三角形，区分直角顶点：直角可以是，也可以是。 易错点 1.忽略圆的特殊情况，认为只要系数大于 0 就是椭圆。 2.焦点三角形直角三角形，只考虑为直角顶点，忽略焦点作为直角顶点。 9．在平面直角坐标系中，“”是“方程表示的曲线是椭圆”的（   ）． A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】B 【分析】根据曲线是椭圆的条件进行判断即可. 【详解】将方程化为标准形式为. 当时，方程表示的曲线是圆，充分性不成立， 若该方程表示椭圆，则需满足分母均大于0，即且，解得且，必要性成立，因此，“”是“方程表示的曲线是椭圆”的必要不充分条件.故选：B 10．已知，则“”是“曲线表示椭圆”的（    ） A．充分不必要条件 B．充要条件 C．必要不充分条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】C 【详解】若方程表示椭圆，则，解得且， 所以“”是“曲线表示椭圆”的必要不充分条件. 11．设是椭圆的两个焦点，点在上，命题，命题：为直角三角形，则是的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】A 【详解】由椭圆方程得，焦距， 设，则，若成立，即， 解得或，此时三边为， 满足，故为直角三角形，即； 若成立，即为直角三角形，若直角顶点为，则， 结合得，此时成立，若直角顶点为或，则或， 的横坐标为，代入椭圆方程得，此时为， ，此时不成立，因此成立时不一定成立，即是的充分不必要条件． 题型四、焦点三角形（） 点在椭圆上，左右焦点。 1.定义：，。 2.余弦定理：，。 3.面积公式：；也可以，是点纵坐标。 4.最大值：在短轴顶点时最大。 易错点 1.焦点三角形面积公式记混；，不是。 2.利用，求点纵坐标，忘记绝对值，漏掉负解。 3.余弦定理展开不会变形，。 12．已知椭圆C：的左、右焦点分别为，，点P在椭圆C上，且，则的面积为（     ） A． B． C． D．1 【答案】B 【分析】利用椭圆的定义，结合余弦定理即可求三角形面积. 【详解】由椭圆：可知：， 由余弦定理得：， 代入得：， 所以三角形面积为：. 13．已知椭圆：的左、右焦点分别为，，点在椭圆上，且，则的面积为（    ） A． B．1 C． D．2 【答案】B 【分析】根据椭圆的定义及勾股定理求出，代入面积公式求解即可. 【详解】由题意知，，. 因为，所以. 又，即，所以. 所以. 14．已知是椭圆上一点，椭圆的左、右焦点分别为，，且，则（   ） A．的周长为12 B． C．点到轴的距离为 D． 【答案】C 【详解】对于A，根据椭圆标准方程得，，，由椭圆定义知， 所以的周长为，A错误. 对于B，在中，由余弦定理可得，， 由，代入， 化简得，所以， 在中，，所以为锐角， 且， 故，B选项错误. 对于C，由B选项知，在中，设点到的距离为， 由，得，即， 因为到的距离,就是到轴的距离，C选项正确. 对于D，根据数量积公式，，D选项错误. 15．若点在椭圆，、分别为椭圆的左、右焦点，且，则（   ） A． B． C．的周长为 D．面积为 【答案】A 【分析】利用椭圆定义可判断C选项；利用余弦定理结合椭圆定义可判断B选项；利用三角形面积公式可判断D选项；利用三角形的面积公式可求出的值，结合椭圆方程可求出的值，可判断A选项. 【详解】在椭圆中，，，， 对于C选项，的周长为，C错； 对于B选项，由余弦定理可得 ， 解得，B错； 对于D选项，，D错； 对于A选项，因为，解得， 所以，解得，A对.故选：A. 题型五、椭圆上点的最值问题（距离、面积、向量） 1.面积最值：过椭圆中心弦与焦点构成三角形面积最大值（第 1 题）。 2.距离最值： 椭圆上点到焦点距离范围：； 椭圆上动点到定点距离最值；椭圆 + 圆：椭圆上点，圆上点，，为圆心，圆半径。 椭圆定义转化距离：，利用三角不等式。 3.向量数量积最值：设点坐标，转化二次函数求最值。 易错点 1.椭圆与圆结合求，直接椭圆最值 + 圆半径，忘记先算椭圆上点到圆心的距离，不是到原点。 2.使用椭圆定义转化距离求最值，不会使用三角不等式；不会判断等号是否成立。 3.参数方程换元求距离，三角函数范围记错。 16．AB为过椭圆中心的弦，是椭圆的右焦点，则面积的最大值是（    ） A．bc B．ac C．ab D． 【答案】A 【详解】设椭圆中心为原点，过中心，故, =， 所以当与x轴垂直时，取得最大值， 所以的最大值是. 17．已知点是椭圆上的动点，点，则的最小值为（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】用换元法，设，然后由两点间距离公式计算，结合二次函数和余弦函数的性质求得最小值． 【详解】设，则 ， 所以时，． 18．已知点在椭圆上运动，点在圆上运动，则的最大值为（    ） A． B． C．5 D． 【答案】D 【分析】求出圆心坐标及半径，求出椭圆上的点到圆心距离的最大值，再利用圆的性质求得答案. 【详解】设圆的圆心为，其半径，则， 设椭圆上的点，则，即， 因此 ，当且仅当时取得最大值， 所以.故选：D 19．已知为椭圆的左焦点，抛物线与椭圆交于两点，当变化时， 周长的最大值为（    ） A．8 B．6 C． D． 【答案】A 【分析】根据三角形三边的关系可得，当且仅当共线时等号成立，然后根据椭圆的定义及椭圆的标准方程即可求解. 【详解】 如图所示，已知椭圆方程，则， 由于点在椭圆上，根据椭圆的定义有，， 又因为在中，有，当且仅当共线时等号成立， 所以的周长，当且仅当共线时等号成立， 即的周长的最大值为，故A正确. 题型六、椭圆与圆位置关系 1.以椭圆焦半径为直径的圆：与以长轴为直径的大圆内切；中位线是解题关键。 2.以为直径作圆，两圆上点距离最大值 = 圆心距。 3.椭圆上点向定圆引两条切线，最大等价于到圆心距离最小。 易错点 1.不会利用三角形中位线处理 “以焦半径为直径的圆”； 2.角度最大最小不会转化成距离的最值。 20．已知、为椭圆方程：的左右焦点，点在椭圆上，动点、始终满足，，则的最大值为（     ） A．6 B．7 C．8 D．9 【答案】D 【分析】由，，可判断点，分别在以线段，为直径的圆上，可知两圆上点的最大距离等于圆心距加上两圆的半径. 【详解】解：由题意知，，，则，，， 由，则，所以点在以线段为直径的圆上， 同理，由，可得点在以线段为直径的圆上， 设以线段为直径的圆的圆心为，半径， 以线段为直径的圆的圆心为，半径， 所以，在中，为中位线，则， 因此，当，，，四点共线，且，位于两圆外侧时，最大， 即， 由椭圆定义可知，所以. 21．已知椭圆：，是右焦点．设为椭圆上任意一点，以为直径的圆记为，则恒与下列哪个圆相切（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】利用坐标计算，求出以为直径的圆的圆心和半径，发现以为直径的圆的圆心到原点的距离与半径之和为定值2，从而可以判断其与圆内切. 【详解】设，显然，右焦点，记左焦点为， 则， 则圆的圆心 ，半径， 此时 ， 即，因此圆与以原点为圆心、半径为 的圆内切，因此恒与圆相切(内切). 22．过椭圆上一点作圆的两条切线，切点为，，当最大时，点的纵坐标为________． 【答案】/ 【分析】根据给定条件，利用圆的切线长定理、结合四边形及三角形面积转化为求最大值问题. 【详解】圆的圆心，半径， 由切圆于点知，，则， 因此最大，当且仅当最大，设，， 则， 当且仅当时取等号，所以点的纵坐标为.故答案为：    题型七、中点、斜率、向量、三点共线性质 1.椭圆中心弦：若关于原点对称，椭圆上一点，则； 2.中位线：焦点和线段中点，原点是两焦点中点，常构造中位线； 3.向量共线等价三点共线； 4.倾斜角互补斜率互为相反数。 易错点 1.中点条件，想不到中位线，硬设坐标计算增大计算量。 2.倾斜角互补，误以为斜率相等，实际。 3.原点为对称中心，过原点，则经常忽略。 23．已知点P在椭圆：上，C的左焦点为F，若线段的中点在以原点O为圆心，为半径的圆上，则的值为(     ) A．1 B．2 C． D．4 【答案】D 【分析】利用三角形中位线定理结合椭圆的定义，将中点的圆上条件转化为右焦点到点的距离，再通过椭圆的定义求解. 【详解】由椭圆，得，， ，故左焦点，右焦点，. 设的中点为，由题设，在以原点为圆心、为半径的圆上，故. 在中，为的中点，为的中点， 故为的中位线，得. 由椭圆的定义，，因此，.故选：D 24．已知椭圆上不同两点A，B，如果以线段AB为直径的圆过原点O，且O到直线AB的距离是，则（   ） A． B． C． D．点在椭圆C上 【答案】A 【分析】由题意知，设点，根据在已知椭圆上，即结合到直线的距离，可得，利用其可判断各个选项. 【详解】根据题意易知，故设点， 由于均在已知椭圆上，则，所以， 同理可得， 所以，即， 又由于到直线的距离是，所以，即，所以，由于，故点在椭圆外，故D错误； 由于，所以，所以， 即，故C错误； 由于，可得，又，则，即得， 即，解得，故A正确，B错误． 25（多选）．已知椭圆的右焦点为F，右顶点为A，过原点O的直线l（斜率不为0）与W交于B，C两点，M为AC的中点，则（    ） A．直线OM与AC的斜率之积为 B．点B到点的距离与到点F的距离之和的最大值为 C． D．B，F，M三点共线 【答案】ABD 【分析】设，，利用斜率公式计算判断选项A；B选项，问题转化为点B到点的距离与到左焦点的距离之差的最大值；由向量与的关系判断CD选项. 【详解】椭圆的右焦点为，右顶点为， 过原点O的直线l（斜率不为0）与W交于B，C两点，设， 则有，满足，有， M为AC的中点，则，，A选项正确； 椭圆的左焦点为，则， 点在椭圆内，， ， 当且仅当三点共线，在之间时等号成立，B选项正确； ，，，则，C选项错误； 与共线，且与有公共点，所以B，F，M三点共线，D选项正确； 题型八、轨迹方程求解 1.定义法（优先）：分析几何条件，满足椭圆第一 / 第二定义，直接写出写方程。 2.直译法：把题目几何条件翻译成等式，化简。 3.注意：轨迹如果是椭圆，要剔除不符合条件的点（如三角形顶点，不能落在 x 轴上）。 易错点 1.求出轨迹方程，不剔除无效点。 2.分不清什么时候用定义法，硬平方展开，计算量巨大。 3.第二定义：距离之比为常数，椭圆，抛物线，双曲线，比值搞反分子分母。 26．已知△ABC的顶点A，B的坐标分别为，，C为动点，且满足，则点C的轨迹方程为________． 【答案】 【详解】因为由正弦定理可得， 即，满足椭圆定义，则，，可得， 所以点C的轨迹方程为． 27．已知圆，点，若点是圆上一动点，线段的中垂线与直线相交于点，则点的轨迹方程为______________. 【答案】 【分析】根据题设条件结合椭圆的定义判断点的轨迹为椭圆，运用待定系数法求解即得. 【详解】如图，连接,因是线段的中垂线，则, 由可得,因, 可得点的轨迹为以为两焦点的椭圆，设椭圆方程为， 易得，则，故点的轨迹方程为. 28．若将方程化简为的形式，则________． 【答案】 25 【分析】方程左侧是平面上点到两个定点(0，5)的距离之和，根据椭圆的定义，若距离之和大于两定点间的距离，那么该点的轨迹是椭圆，以此作为解题突破口。 【详解】方程可以看作点P(x，y)到距离之和为26，由椭圆的定义可知，方程表示的轨迹是以 �� 1 ， �� 2 为焦点的椭圆， 设椭圆长半轴长，短半轴长，半焦距分别为，，. 所以所以 因此方程为，所以因为a>0，b>0所以a=12，b=13故 = 12 + 13 = 25 . 29．(1)在中，，边上的两条中线之和为，求的重心的轨迹方程. (2)点与定点的距离和它到直线的距离的比是常数，求点的轨迹. 【答案】（1）（2） 【分析】（1）以线段的中点为原点，直线为轴建立平面直角坐标系，根据给定条件，结合三角形重心定理即可求解； （2）设点，根据题意列出方程即可求解. 【详解】（1）以线段的中点为原点，直线为轴建立平面直角坐标系，，如图所示， 设的重心，依题意，， 因此点的轨迹是以点为左右焦点，长轴长为的椭圆（除点外）， 该椭圆长半轴长，半焦距，则短半轴长， 所以的重心的轨迹方程为. （2）设点到直线的距离为，依题意，， 于是，化简得，即， 所以点的轨迹是长轴长为，短轴长为，焦点在轴上的椭圆，其方程为. 题型九、直线与椭圆综合大题 1.直线与椭圆相交，联立方程，判别式，韦达定理； 2.面积相等条件转化：①底相同，高相等；②线段中点重合；③。 3.定值证明：倾斜角互补，斜率为定值。 易错点 1.联立后计算韦达计算出错； 2.“面积相等” 不会转化条件，死算面积； 3.忘记检验判别式，得到不存在的直线； 4.直线设，漏掉斜率不存在情况。 30．已知椭圆的左､右焦点分别为，过点作轴的垂线交椭圆于两点（点在第一象限），且的周长为. (1)求椭圆的标准方程； (2)过点作两条直线分别交椭圆于两点（均不与重合），若直线与的倾斜角互补，证明：直线的斜率为定值，并求出该定值. 【答案】(1) (2)证明：将代入，得，点在第一象限，所以. 易知，直线与的倾斜角均不为， 所以斜率均存在，不为零，且斜率互为相反数. 设直线的方程为，则直线的方程为. 设，由，得， 则，所以，， 同理，用代换，得，， 所以直线的斜率为. 所以直线的斜率为定值，该定值为. 【分析】（1）设椭圆的焦距为，由题意直接求得，根据求得即可求得椭圆的标准方程； （2）求出点的坐标，设直线的斜率为，则直线的斜率为，联立直线与椭圆的方程，用表示两点的坐标，即可求得直线的斜率为定值，并求出该定值. 【详解】（1）设椭圆的焦距为，则， 由的周长为，得，所以. 所以，所以椭圆的标准方程为. 31．已知椭圆的左、右焦点分别为，点在上，轴，且点到直线的距离为，求的方程； 【答案】 【分析】将代入椭圆方程求出，再利用椭圆的定义以及等面积法求出即可. 【详解】由题意知，，则， 令，则，得，则，由椭圆的定义可知，， 因为点到直线的距离为，，所以， 则，即，又，得， 故的方程为. 32．已知和为椭圆：（）上两点． (1)求的方程； (2)过点作直线与相交于，两点，与轴交于点（点在椭圆内部），为坐标原点，若的面积与的面积相等，求直线的方程． 【答案】(1) (2)或 【分析】（1）根据椭圆过两点列方程组求解即可. （2）设出直线方程，与椭圆方程联立（法一：消去；法二，消去），根据韦达定理、点到直线的距离、三角形面积公式及已知条件，结合弦长公式求解即可. 法三：设出直线方程，与椭圆方程联立（消去），根据韦达定理、点到直线的距离、三角形面积公式及已知条件，结合中点坐标公式求解即可. 【详解】（1）依题意得，，解得，所以的方程为． （2）法一： 依题意可知，直线的斜率存在且不为零． 设直线：，，，所以， 联立，整理得，所以， 设原点到的距离为，因为的面积与的面积相等， 所以，得， 所以，得 依题意，与异号，所以，所以，解得， 所以直线的方程为或． 法二：依题意可知，直线的斜率存在且不为零． 设直线：，，，所以， 联立，得，所以， 因为的面积与的面积相等，所以， 所以，则，即. 依题意，与异号，所以，则，解得， 所以直线的方程为或． 法三： 依题意可知，直线的斜率存在且不为零． 设直线：，，，所以， 联立，得，所以， 设原点到的距离为. 因为的面积与的面积相等，所以，得，所以与的中点重合， 又的中点，的中点，所以， 所以，解得，所以直线的方程为或． 巩固提升 1．已知椭圆的焦点在轴上，是的上顶点，若上存在点使得，则的取值范围为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】结合题意可得，利用二次函数的最值可求得的范围. 【详解】设， ， 又因为，因为下顶点到上顶点的距离为， 令， 要存在点使得，则的最大值必须大于， 由于是开口向下的二次函数，其最大值若要大于等于， 其对称轴必须在的右侧， 所以，解得， 故选：A 2．设椭圆的左、右焦点分别为，，上顶点为，与的另一个交点为，若，则的周长为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】利用角的余弦值得到，从而求出，再利用椭圆的定义求出的周长为. 【详解】依题意，，，（为坐标原点）， 因为，则， 所以，，所以，所以， 解得，所以，所以， 的周长, 由于，代入得： ， 根据椭圆定义，得,， 故所求的周长为. 3．设椭圆的左､右焦点分别为，且点在椭圆上，则的最大值为（    ） A．4 B．9 C．16 D．25 【答案】C 【详解】由椭圆的定义可得， 所以， 当且仅当时，等号成立， 所以的最大值为16. 4．已知椭圆，为椭圆的左､右焦点，点为椭圆上在第一象限内的一点，且的面积为，则的角平分线所在的直线方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】作出图形，利用的面积，结合椭圆方程求得点，再由角平分线定理求得点。即可求得的角平分线所在的直线方程. 【详解】如图，由可得椭圆的半焦距，则，    于是的面积为，取，代入，可得， 则直线轴，且， 设的角平分线交轴于点，则， 又，则得，故， 则直线的斜率为，其方程为，即. 5．已知椭圆的左右焦点分别为，点在椭圆上，若的面积为1，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】由三角形的面积确定点坐标，再结合向量数量积的坐标表示即可求解. 【详解】由椭圆，得，，即， 因此左右焦点，， 因为面积为，故，得，即， 将代入椭圆方程：，解得. ，， 则 . 6．已知椭圆的左、右焦点分别为，，点在上，且，则（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】先根据椭圆方程求出的值，再利用椭圆定义求出，最后在中运用余弦定理求出，进而得到的值. 【详解】由题意得，.若，则， 由余弦定理得， 因为，所以. 7．已知，分别为椭圆的左、右焦点，位于第三象限的点在上，．将沿其短轴翻折，使得的左半部分所在平面与右半部分所在平面互相垂直，则翻折后与之间的距离为（    ） A． B． C． D．3 【答案】C 【分析】通过椭圆的基本性质得到焦点的坐标，采用数形结合的方法，通过线面垂直证明线线垂直，从而求得线段的长度. 【详解】是椭圆的左、右焦点，即的坐标分别为， 因为，且为的中点， 所以， 设点为椭圆的短轴的一个端点，翻折后（如图所示）， 因为平面平面，且平面平面，， 所以平面，则， 所以. 8．设为坐标原点，，为椭圆的两个焦点，点在椭圆上，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】先由椭圆方程可得椭圆基本量，再由得，进而在焦点三角形中由余弦定理可得，再由中线向量关系可得，从而可得所求值. 【详解】椭圆方程，得，因此， 根据椭圆的定义有，， 在中，因为，所以， 由同角三角函数关系式可得， 由余弦定理，， 即，得. 又在中，是的中线，所以，如图： 所以 ， 因此，，即. 9（多选）．已知椭圆的左、右焦点分别为，，点P在C上且位于第一象限，，则（   ） A．的周长为16 B． C． D．直线的斜率为 【答案】AC 【详解】由题可知，∴，， ∴，的周长为，A选项正确； ∵，∴，∴，B选项错误； ，∴，C选项正确； ， ∴， ∴斜率，D选项错误.      10（多选）．若椭圆Γ上的动点到Γ的两个焦点的距离之和为10，且Γ上的动点到Γ的焦点的距离的最小值为2，则Γ的标准方程可能是（    ） A． B． C．D． 【答案】BD 【详解】椭圆Γ上的动点到Γ的两个焦点的距离之和为10，则，， 且Γ上的动点到Γ的焦点的距离的最小值为2，则， 即，解得， ，故选项BD正确. 11（多选）．已知椭圆的上顶点为A，左、右焦点分别为，离心率，过且垂直于直线的直线与椭圆C交于D，E两点，，则下列结论正确的是（   ） A．椭圆C的长轴长为8 B．的周长为20 C．直线DE的倾斜角为 D．为等边三角形 【答案】CD 【分析】根据离心率得出，求出直线的斜率即可判断CD；设，在，中利用余弦定理可得，，利用可得判断A；根据可判断B. 【详解】由题意得，，，则， 直线的斜率为，则， 因为，所以为等边三角形，故D正确； 因为，所以直线DE的倾斜角为，故C正确； 设， 由椭圆定义可知，，， 则，， 在，中利用余弦定理得， ， ， 得，， 则， 得，故椭圆C的长轴长为，故A错误； 因为是线段的中垂线，所以， 所以的周长为 ，故B错误. 12（多选）．已知P为椭圆上的一个动点，Q为圆上的一个动点，点，则（   ） A．的最小值为6 B．的最小值为7 C．的最大值为8 D．的最大值为9 【答案】BD 【分析】确定，为C的两个焦点，由椭圆的定义结合圆外一点到圆的最值求解即可. 【详解】圆的圆心为，则，为C的两个焦点， 由椭圆的定义知，，如图， 由Q为圆M上的动点，得，即， 则， 即，故的最小值为7，最大值为9. 13（多选）．已知方程，则下列说法正确的有（　　） A．当时，方程表示直线 B．当时，方程表示的曲线是圆 C．当时，方程表示的曲线是焦点在轴上的椭圆 D．若方程表示的曲线是焦点在轴上的椭圆，则实数的取值范围是 【答案】ABD 【分析】对于ABC，代入数据逐个判断即可，对于D，由求解即可判断. 【详解】当时，方程可化为，解得，表示直线，故A正确． 当时，方程可化为，表示以原点为圆心，半径的圆，故B正确． 当且时，方程可化为．当时，方程可化为，表示焦点在轴上的椭圆，故C错误． 若方程表示的曲线是焦点在轴上的椭圆， 则，解得， 即实数的取值范围是，故D正确． 故选：ABD． 14（多选）．关于的方程，下列说法正确的是（　　） A．若，则该方程表示椭圆，其焦点在轴上 B．若，则该方程表示圆，其半径为 C．若，则该方程表示椭圆，其焦点在轴上 D．该方程不可能表示直线 【答案】AC 【分析】根据给定条件，结合椭圆方程及圆的方程特征，逐项分析判断. 【详解】对于A，当时，，则， 方程，即表示椭圆，其焦点在轴上，故A正确； 对于B，当时，方程表示圆，其半径为，故B错误； 对于C，当时，，则， 方程，即表示椭圆，其焦点在轴上，故C正确； 对于D，当，，方程表示两条直线，故D错误. 故选：AC 15．椭圆上的任意一点到两个焦点的距离和是4，椭圆的焦距是2，则椭圆的标准方程是________． 【答案】 【详解】椭圆上的任意一点到两个焦点的距离和是4，焦距是2， 则有，，即，，所以， 所以椭圆的标准方程为． 16．已知点为某个长轴长为6的椭圆上的一点，若点到该椭圆的一个焦点的距离为2，则点到该椭圆的另一个焦点的距离为_____________． 【答案】4 【详解】由题意可知椭圆的长轴长， 由于点到该椭圆的一个焦点的距离为2， 根据椭圆的定义得点到该椭圆的另一个焦点的距离为4. 17．已知点在椭圆上，的左焦点为，若线段的中点在以原点为圆心，为半径的圆上，则的值为_______. 【答案】 【分析】连接与椭圆的右焦点，与的中点，结合相似三角形与椭圆的定义求解即可. 【详解】由已知得：， 设椭圆的右焦点为，的中点为，连接和（如图所示）， 因为在以为圆心，为半径的圆上，所以， 又为的中点，为的中点，所以， 由椭圆的定义知：. 18．已知在中，，，若点为的中点.则的最小值为__________. 【答案】 【分析】根据题意可得：点在以，为焦点，且长轴长，焦距的椭圆上，不含长轴上的两顶点，从而根据椭圆的几何性质，即可求解． 【详解】在△中，，， 点在以，为焦点，且长轴长，焦距的椭圆上，不含长轴上的两顶点， ，，短半轴，又的中点为该椭圆的中心， 的最小值为． 故答案为： 19．过椭圆 （）的右焦点 的直线交椭圆于 两点， 是椭圆的左焦点，则 的周长为________. 【答案】20 【详解】 如图的周长为. 20．已知点为椭圆上纵坐标不为零的点，、分别为椭圆左右两焦点，则的周长为______. 【答案】 【分析】根据椭圆的定义，求三角形的周长. 【详解】由椭圆方程可知，，，所以， 的周长为. 21．已知椭圆：，左、右焦点分别是、，点是椭圆上任意一点，点，则的最大值为____________． 【答案】/ 【分析】借助椭圆的定义将代换为，把目标式转化为定值与距离差的和，再利用三角不等式求解距离差的最大值，进而得到目标式的最大值. 【详解】椭圆中，，，故，焦点，. 由椭圆的定义得，即， 因此. 在中，由三角不等式得， 当且仅当三点共线且位于之间时取等号. 计算得，故. 经检验，直线与椭圆存在满足取等条件的交点，等号可取. 22．椭圆C：的左右焦点分别为，，点，P为C上一动点，则的最小值为______． 【答案】/ 【分析】根据椭圆的定义及线段和差关系即可求解． 【详解】依题意可得，， 将点代入椭圆C，有，则点在椭圆C内， 由椭圆的定义可知，即， 所以， 所以的最小值为． 23．已知点分别是椭圆和圆上的两个动点，且点，则的最大值为__________. 【答案】/ 【分析】根据给定条件，利用椭圆的定义将所求最大值转化为求值的最大值，再结合圆的性质求解. 【详解】因为为椭圆的右焦点，设其左焦点为， 圆的圆心，半径，由椭圆的定义得， 则， 而，当且仅当点在直线上时取等号， 所以当是线段延长线与椭圆的交点、是线段延长线与圆的交点时，取得最大值. 24．设M是椭圆=1上的一点，为该椭圆的焦点，，则的面积为___. 【答案】 【详解】由椭圆，得，可得， 即，则， 设，则有，， ， ， 25．已知椭圆 的左、右焦点分别为 ，点在椭圆上且在 轴上方. 若 的面积为 12，则直线的斜率为_____. 【答案】 【分析】通过三角形面积确定坐标，再由斜率公式即可求解 【详解】由椭圆方程 ，得 ，， 因此 ，即 ， 所以，右焦点 ， 设 ，在轴上方故 ， 的面积： ， 解得：， 将 代入椭圆方程： ， 即 故直线​的斜率： .​ 26．已知中顶点和顶点，顶点在椭圆上，则________． 【答案】 【详解】椭圆中，，得，， 因此椭圆的两个焦点恰好就是和， 则，且， 根据正弦边角关系，得. 27．椭圆的焦距为________． 【答案】 【详解】∵ 椭圆的标准方程为，∴，. ∴，. ∴ 该椭圆的焦距为. 28．已知椭圆，为椭圆的右焦点，为椭圆上的动点，为坐标原点，则的最大值为________． 【答案】 【详解】由题意得，，，则，即，， 设，则， ， 因为，所以，即，， 所以的最大值为. 29．若椭圆的焦点在轴上，则的取值范围是______． 【答案】 【分析】由条件结合椭圆方程的特征列不等式求的范围即可. 【详解】由椭圆方程的特征可知， 所以方程，可化为， 因为的焦点在轴上，所以，所以，故的取值范围是. 30．若方程表示焦点在轴上的椭圆，则的取值范围是______． 【答案】 【详解】因为方程表示焦点在轴上的椭圆，所以， 解得. 31．P为椭圆上一点，曲线与坐标轴的交点分别为，若，则到轴的距离为___________． 【答案】/ 【分析】首先画出图形，利用数形结合转化为点也在另一个椭圆上，通过联立方程，即可求解. 【详解】如图，正方形是曲线表示的图形，，，，， 椭圆的焦点分别为，，， 所以，所以点也在以点，为焦点的椭圆上，椭圆方程为，联立，解得：，则 所以点到轴的距离为.故答案为： 32．已知椭圆中心在坐标原点，焦点在轴上，椭圆与轴的一个交点到两焦点的距离分别为和，则椭圆的标准方程为____. 【答案】 【详解】由题意可得，解得，又， 所以椭圆方程为. 33．已知焦点在y轴上的椭圆的长轴长为6，短轴长为4，则该椭圆的标准方程是__________ 【答案】 【分析】先设出椭圆的标准方程，再根据题设条件可求基本量，从而可求椭圆的标准方程. 【详解】由题意可得，椭圆长轴为6，短轴为4，焦点在y轴上， 设椭圆的标准方程为, 则，即, 所以椭圆的标准方程为. 34．已知椭圆经过点、，则其标准方程为______． 【答案】 【详解】设椭圆的一般方程为， 把点、的坐标分别代入椭圆方程， 得，解得，故椭圆标准方程为. 35．已知周长为，，则顶点的轨迹方程为__________. 【答案】 【详解】由，，得. 周长为，故. ，所以点轨迹为焦点在轴上的椭圆，除去与共线两点. 设椭圆方程. 椭圆焦点在轴，，， ，所以得椭圆方程：. 不在直线上，故. 顶点的轨迹方程为. 36．（1）已知直线MN经过椭圆的右焦点，并与椭圆交于M，N两点，其左焦点为，求的周长． （2）已知椭圆上一点P到左焦点的距离为7，求点P到右焦点的距离． 【答案】（1）8（2）13 【详解】（1）由椭圆得， 根据椭圆定义可得， 所以的周长为. （2）设椭圆的左右焦点为，由题可得，， 由椭圆的定义，即.所以点P到右焦点的距离为. 1 学科网（北京）股份有限公司 $ 第二十一讲 椭圆及其标准方程 【学习目标】1.了解圆锥曲线的实际背景，感受圆锥曲线在刻画现实世界和解决实际问题中的作用； 2.经历从具体情境中抽象出椭圆的过程，初步掌握椭圆的定义、标准方程，进一步体会数形结合思想． 【学习重点】椭圆的几何特征，椭圆的标准方程. 【学习难点】椭圆几何特征的发现，椭圆标准方程的推导． 必掌握知识点 一、椭圆的定义 1．定义：平面内与两个定点F1，F2的距离的和等于常数(大于|F1F2|)的点的轨迹． 2．焦点：两个定点F1，F2. 3．焦距：两焦点间的距离|F1F2|. 4．如图：是椭圆上一点.(三角形两边之和大于第三边) 注 点的轨迹是以、为焦点的椭圆； 点的轨迹是线段； 点P的轨迹是无轨迹. 二、椭圆的标准方程 焦点在x轴上 焦点在y轴上 标准方程 ＋＝1(a>b>0) ＋＝1(a>b>0) 图形 焦点坐标 F1(－c，0)，F2(c，0) F1(0，－c)，F2(0，c) a，b，c的关系 b2＝a2－c2 三 椭圆的离心率 1.离心率：，也就是说，给出离心率实质是给出了的比值 2.若点P是椭圆上一点，F1，F2椭圆的两个焦点，由于，而因此可以把其转化到△PF1F2中，利用解三角形的知识来解决离心率问题 四 易错点总结： 1.椭圆定义：看到距离之和，先判断；线段，无轨迹；求轨迹记得挖去无效顶点。 2.基本量公式：牢牢记住，不要记反；焦点看分母大小。 3.焦点三角形：面积两个公式、；余弦定理配合变形。 4.最值类：椭圆与圆混合题型，先算椭圆上点到圆心距离，不是原点；距离最值善用椭圆定义 + 三角不等式。 5.圆与椭圆结合：焦半径为直径圆，优先中位线，少硬算坐标。 6.条件判断：表示椭圆，要求；是圆。 7.轨迹方程：优先定义法，其次直译法；一定检验是否要剔除点。 8.大题：联立直线椭圆，韦达细心；面积相等灵活转化；注意斜率不存在；翻折问题分清不变量。 必考题型全归纳： 题型一、椭圆的定义 1．方程表示的曲线为（    ） A．圆 B．椭圆 C．线段 D．不表示任何图形 2．在平面直角坐标系中，已知的顶点和，顶点B在椭圆上，则_______． 3．椭圆的左、右焦点分别为，，点在椭圆上．若，则________． 4．已知椭圆：的左、右焦点分别为，，点在上，若，则_______． 题型二、椭圆标准方程与基本量 5．已知方程表示焦点在轴上的椭圆，则的最小值是（   ） A．4 B．5 C． D．6 6．已知椭圆的长轴长是短轴长的2倍，则（    ） A． B． C．或 D．或 7．方程表示焦点在x轴上的椭圆，则实数m的取值范围为（   ） A． B． C． D． 8．离心率为，焦点在轴且长轴长为 6 的椭圆的标准方程为（    ） A． B． C． D． 题型三、充分必要条件（椭圆命题判断） 9．在平面直角坐标系中，“”是“方程表示的曲线是椭圆”的（   ）． A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 10．已知，则“”是“曲线表示椭圆”的（    ） A．充分不必要条件 B．充要条件 C．必要不充分条件 D．既不充分也不必要条件 11．设是椭圆的两个焦点，点在上，命题，命题：为直角三角形，则是的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 题型四、焦点三角形（） 12．已知椭圆C：的左、右焦点分别为，，点P在椭圆C上，且，则的面积为（     ） A． B． C． D．1 13．已知椭圆：的左、右焦点分别为，，点在椭圆上，且，则的面积为（    ） A． B．1 C． D．2 14．已知是椭圆上一点，椭圆的左、右焦点分别为，，且，则（   ） A．的周长为12 B． C．点到轴的距离为 D． 15．若点在椭圆，、分别为椭圆的左、右焦点，且，则（   ） A． B． C．的周长为 D．面积为 题型五、椭圆上点的最值问题（距离、面积、向量） 16．AB为过椭圆中心的弦，是椭圆的右焦点，则面积的最大值是（    ） A．bc B．ac C．ab D． 17．已知点是椭圆上的动点，点，则的最小值为（     ） A． B． C． D． 18．已知点在椭圆上运动，点在圆上运动，则的最大值为（    ） A． B． C．5 D． 19．已知为椭圆的左焦点，抛物线与椭圆交于两点，当变化时， 周长的最大值为（    ） A．8 B．6 C． D． 题型六、椭圆与圆位置关系 20．已知、为椭圆方程：的左右焦点，点在椭圆上，动点、始终满足，，则的最大值为（     ） A．6 B．7 C．8 D．9 21．已知椭圆：，是右焦点．设为椭圆上任意一点，以为直径的圆记为，则恒与下列哪个圆相切（    ） A． B． C． D． 22．过椭圆上一点作圆的两条切线，切点为，，当最大时，点的纵坐标为________． 题型七、中点、斜率、向量、三点共线性质 23．已知点P在椭圆：上，C的左焦点为F，若线段的中点在以原点O为圆心，为半径的圆上，则的值为(     ) A．1 B．2 C． D．4 24．已知椭圆上不同两点A，B，如果以线段AB为直径的圆过原点O，且O到直线AB的距离是，则（   ） A． B． C． D．点在椭圆C上 25（多选）．已知椭圆的右焦点为F，右顶点为A，过原点O的直线l（斜率不为0）与W交于B，C两点，M为AC的中点，则（    ） A．直线OM与AC的斜率之积为 B．点B到点的距离与到点F的距离之和的最大值为 C． D．B，F，M三点共线 题型八、轨迹方程求解 26．已知△ABC的顶点A，B的坐标分别为，，C为动点，且满足，则点C的轨迹方程为________． 27．已知圆，点，若点是圆上一动点，线段的中垂线与直线相交于点，则点的轨迹方程为______________. 28．若将方程化简为的形式，则________． 29．(1)在中，，边上的两条中线之和为，求的重心的轨迹方程. (2)点与定点的距离和它到直线的距离的比是常数，求点的轨迹. 题型九、直线与椭圆综合大题 30．已知椭圆的左､右焦点分别为，过点作轴的垂线交椭圆于两点（点在第一象限），且的周长为. (1)求椭圆的标准方程； (2)过点作两条直线分别交椭圆于两点（均不与重合），若直线与的倾斜角互补，证明：直线的斜率为定值，并求出该定值. 31．已知椭圆的左、右焦点分别为，点在上，轴，且点到直线的距离为，求的方程； 32．已知和为椭圆：（）上两点． (1)求的方程； (2)过点作直线与相交于，两点，与轴交于点（点在椭圆内部），为坐标原点，若的面积与的面积相等，求直线的方程． 巩固提升 1．已知椭圆的焦点在轴上，是的上顶点，若上存在点使得，则的取值范围为（   ） A． B． C． D． 2．设椭圆的左、右焦点分别为，，上顶点为，与的另一个交点为，若，则的周长为（    ） A． B． C． D． 3．设椭圆的左､右焦点分别为，且点在椭圆上，则的最大值为（    ） A．4 B．9 C．16 D．25 4．已知椭圆，为椭圆的左､右焦点，点为椭圆上在第一象限内的一点，且的面积为，则的角平分线所在的直线方程为（    ） A． B． C． D． 5．已知椭圆的左右焦点分别为，点在椭圆上，若的面积为1，则（    ） A． B． C． D． 6．已知椭圆的左、右焦点分别为，，点在上，且，则（   ） A． B． C． D． 7．已知，分别为椭圆的左、右焦点，位于第三象限的点在上，．将沿其短轴翻折，使得的左半部分所在平面与右半部分所在平面互相垂直，则翻折后与之间的距离为（    ） A． B． C． D．3 8．设为坐标原点，，为椭圆的两个焦点，点在椭圆上，，则（    ） A． B． C． D． 9（多选）．已知椭圆的左、右焦点分别为，，点P在C上且位于第一象限，，则（   ） A．的周长为16 B． C． D．直线的斜率为 10（多选）．若椭圆Γ上的动点到Γ的两个焦点的距离之和为10，且Γ上的动点到Γ的焦点的距离的最小值为2，则Γ的标准方程可能是（    ） A． B． C．D． 11（多选）．已知椭圆的上顶点为A，左、右焦点分别为，离心率，过且垂直于直线的直线与椭圆C交于D，E两点，，则下列结论正确的是（   ） A．椭圆C的长轴长为8 B．的周长为20 C．直线DE的倾斜角为 D．为等边三角形 12（多选）．已知P为椭圆上的一个动点，Q为圆上的一个动点，点，则（   ） A．的最小值为6 B．的最小值为7 C．的最大值为8 D．的最大值为9 13（多选）．已知方程，则下列说法正确的有（　　） A．当时，方程表示直线 B．当时，方程表示的曲线是圆 C．当时，方程表示的曲线是焦点在轴上的椭圆 D．若方程表示的曲线是焦点在轴上的椭圆，则实数的取值范围是 14（多选）．关于的方程，下列说法正确的是（　　） A．若，则该方程表示椭圆，其焦点在轴上 B．若，则该方程表示圆，其半径为 C．若，则该方程表示椭圆，其焦点在轴上 D．该方程不可能表示直线 15．椭圆上的任意一点到两个焦点的距离和是4，椭圆的焦距是2，则椭圆的标准方程是________． 16．已知点为某个长轴长为6的椭圆上的一点，若点到该椭圆的一个焦点的距离为2，则点到该椭圆的另一个焦点的距离为_____________． 17．已知点在椭圆上，的左焦点为，若线段的中点在以原点为圆心，为半径的圆上，则的值为_______. 18．已知在中，，，若点为的中点.则的最小值为__________. 19．过椭圆 （）的右焦点 的直线交椭圆于 两点， 是椭圆的左焦点，则 的周长为________. 20．已知点为椭圆上纵坐标不为零的点，、分别为椭圆左右两焦点，则的周长为______. 21．已知椭圆：，左、右焦点分别是、，点是椭圆上任意一点，点，则的最大值为____________． 22．椭圆C：的左右焦点分别为，，点，P为C上一动点，则的最小值为______． 23．已知点分别是椭圆和圆上的两个动点，且点，则的最大值为__________. 24．设M是椭圆=1上的一点，为该椭圆的焦点，，则的面积为___. 25．已知椭圆 的左、右焦点分别为 ，点在椭圆上且在 轴上方. 若 的面积为 12，则直线的斜率为_____. 26．已知中顶点和顶点，顶点在椭圆上，则________． 27．椭圆的焦距为________． 28．已知椭圆，为椭圆的右焦点，为椭圆上的动点，为坐标原点，则的最大值为________． 29．若椭圆的焦点在轴上，则的取值范围是______． 30．若方程表示焦点在轴上的椭圆，则的取值范围是______． 31．P为椭圆上一点，曲线与坐标轴的交点分别为，若，则到轴的距离为___________． 32．已知椭圆中心在坐标原点，焦点在轴上，椭圆与轴的一个交点到两焦点的距离分别为和，则椭圆的标准方程为____. 33．已知焦点在y轴上的椭圆的长轴长为6，短轴长为4，则该椭圆的标准方程是__________ 34．已知椭圆经过点、，则其标准方程为______． 35．已知周长为，，则顶点的轨迹方程为__________. 36．（1）已知直线MN经过椭圆的右焦点，并与椭圆交于M，N两点，其左焦点为，求的周长． （2）已知椭圆上一点P到左焦点的距离为7，求点P到右焦点的距离． 1 学科网（北京）股份有限公司 $