3.1.1 椭圆及其标准方程预习导学案-2026-2027学年高二上学期数学人教A版选择性必修第一册

该高中数学导学案聚焦“椭圆及其标准方程”，引导学生回顾圆的定义与方程，通过动手画图感知椭圆几何特征，搭建从圆到椭圆的学习支架，帮助学生建立前后知识联系。 资料特色在于温故知新衔接紧密，注重椭圆定义的探究与方程推导过程，培养学生用数学眼光观察几何特征，用数学思维进行逻辑推理。课前自测题针对性强，反思部分联系天文、建筑等实际应用，助力学生用数学语言表达现实世界，提升应用意识与学习效率。

3.1.1 椭圆及其标准方程 预习提要 1.回顾圆的定义与标准方程，结合动手画图感知椭圆的几何特征，思考椭圆上点满足的几何等量关系，体会坐标法研究曲线的思想，做好预习铺垫. 2.阅读课本内容，探究椭圆标准方程的推导过程，掌握两种位置下的标准方程形式，理解a，b，c之间的关系，会根据条件求椭圆标准方程. 【温故】 1.圆的标准方程：方程___________________称为圆心为，半径为的圆的标准方程． 2.圆的一般方程：方程___________________（）表示以为圆心，为半径的一个圆，叫做圆的一般方程． 【知新】 1.椭圆的定义：平面内与两个定点的距离的_______等于常数（大于_______）的点的轨迹叫做椭圆．这两个定点叫做椭圆的_________，两焦点间的距离叫做椭圆的_________，焦距的一半称为半焦距． 2.椭圆的标准方程： 焦点在轴上：方程________________叫做椭圆的标准方程．焦点，，其中___________． 焦点在轴上：椭圆的方程是________________，焦点_________，_________，其中． 课前自测 1.已知，分别为椭圆的左、右焦点，P为椭圆上一点，若，则( ) A.4 B.5 C.6 D.7 2.已知椭圆的左、右焦点分别是，，椭圆上任意一点到的距离之和为4，则椭圆C的标准方程为( ) A. B. C. D. 3.设，分别为椭圆的两个焦点，过且不与坐标轴重合的直线l交椭圆C于A，B两点，则的周长为( ) A.4 B.8 C.12 D.16 4.以，为焦点，且经过点的椭圆的标准方程是( ) A. B. C. D. 5.椭圆的焦距为4，则m的值为______. 反思 椭圆在天文、航天、建筑与生活中应用极为广泛. 行星绕太阳运行、卫星绕地公转的轨道均为椭圆轨迹；建筑椭圆形穹顶、拱桥造型利用椭圆对称美观的结构特性；光学中椭圆具有特殊反射性质，从一个焦点发出的光线经椭圆反射后汇聚至另一焦点，被应用于反光聚能设备、医疗仪器与雷达探测设备设计中. 答案及解析 【温故】 1. 2. 【知新】 1.和 焦点 焦距 2. 课前自测 1.答案：B 解析：因为椭圆方程为，所以，解得，由椭圆的定义可得，又，所以，故选B. 2.答案：C 解析：根据椭圆上任意一点到两焦点距离之和为，知，得，又，所以，所以椭圆C的标准方程为. 3.答案：B 解析：如图，不妨令，分别为椭圆C的左、右焦点，的周长，又由椭圆，得，所以的周长为8，故选B. 4.答案：A 解析：法一：依题意可知，且椭圆的焦点在y轴上.因为椭圆过点，所以，所以，所以，所以椭圆的标准方程为. 法二：焦点为，，可设椭圆的标准方程为，将代入，得，化简得，即，解得，所以椭圆的标准方程为. 5.答案：7或11 解析：由题意知，得.若椭圆的焦点在x轴上，则解得；若椭圆的焦点在y轴上，则解得.综上，或11. 学科网（北京）股份有限公司 $