3.1.1 第2课时 与椭圆有关的轨迹问题 导学案-2026-2027学年高二上学期数学人教A版选择性必修第一册

该高中数学导学案聚焦椭圆轨迹方程求解，核心内容为定义法、代入法、直接法的应用。课堂导入通过回顾圆与椭圆定义（探究1）、联系坐标法解决垂直问题（探究2），搭建旧知到新知的学习支架，梳理知识脉络。 以“探究-典例-感悟-练习”分层设计，典例结合动圆位置关系等几何情境引导学生用数学眼光抽象椭圆定义，解题感悟提炼步骤培养数学思维，练习与达标通过不同问题情境让学生用数学语言表达轨迹，提升逻辑推理与应用能力，适合师生教学使用。

3.1.1 椭圆及其标准方程 第2课时 与椭圆有关的轨迹问题导学案-2026-2027学年高二上学期数学人教A版选择性必修第一册 ⚪学习目标　1.会用定义法求轨迹方程. 2.会用代入法求轨迹方程. 3.会用直接法求轨迹方程. 一、定义法求轨迹方程 探究1　回顾一下圆、椭圆的定义，并指出定义中的关键要素. 【典例1】　一动圆与定圆O1：（x＋3）2＋y2＝1外切，与定圆O2：（x－3）2＋y2＝81内切，试求动圆圆心的轨迹方程. ⚪解题感悟 　　利用椭圆定义求轨迹方程问题，一般解题思路如下： 首先分析几何图形所表示的几何关系，然后对比椭圆的定义，求出a，b的值，最后得到轨迹方程. 【练习1】　如图所示，在圆C：（x＋1）2＋y2＝25内有一点A（1，0）.Q为圆C上任意一点，线段AQ的垂直平分线与C，Q的连线交于点M，当点Q在圆C上运动时，求点M的轨迹方程. 二、代入法求动点的轨迹方程 【典例2】　已知中心在坐标原点的椭圆，经过点A（2，3），且点F（2，0）为其右焦点. （1）求椭圆的标准方程； （2）若P是（1）中所求椭圆上的动点，求PF的中点Q的轨迹方程. ⚪解题感悟 代入法（相关点法）求轨迹方程的一般步骤 （1）建立平面直角坐标系，设所求动点的坐标为（x，y），其相关动点的坐标为（x0，y0）. （2）找出（x，y）与（x0，y0）之间的等量关系，用x，y表示x0，y0. （3）将x0，y0代入其所在的曲线方程. （4）化简得所求方程. 【练习2】　已知点P为椭圆E：＋＝1上的动点，点Q满足＝（O为坐标原点），则点Q的轨迹M的方程为 . 三、直接法求动点的轨迹方程 探究2　前面我们已经了解了坐标法在解析几何中的作用，比如已知A（－2，0），B（2，0），AC⊥BC时，我们如何找到动点C（x，y）所满足的关系？你有哪些方法建立这个关系？ 【典例3】　设A，B两点的坐标分别为（0，6），（0，－6）.直线AM，BM相交于M. （1）若它们的斜率之积是－，求点M的轨迹方程； （2）若它们的斜率之积是－，求点M的轨迹方程. ⚪解题感悟 　　求轨迹方程时，没有坐标系时要先建立坐标系，设轨迹上任一点的坐标为（x，y），轨迹方程就是x，y之间的等式，关键是找到等量关系，然后用x，y表示. 【练习3】　已知A（2，1），B（2，－1），O为坐标原点，动点P（x，y）满足＝m＋n，其中m，n∈R，且m2＋n2＝，则动点P的轨迹方程是 . ⚪课堂达标 1.平面内一点M到两定点F1（0，－3），F2（0，3）的距离之和为10，则M的轨迹方程是（　 ） A.＋＝1 B.＋＝1 C.＋＝1 D.＋＝1 2.化简方程＋＝10的结果是（　 ） A.＋＝1 B.＋＝1 C.＋＝1 D.＋＝1 3.已知点B（－4，0），C（4，0），且△ABC的周长等于18，则动点A的轨迹方程为 . 4.动点M（x，y）与定点F（4，0）的距离和M到定直线l：x＝的距离的比是常数，则动点M的轨迹方程是 . 解析版 ⚪学习目标　1.会用定义法求轨迹方程. 2.会用代入法求轨迹方程. 3.会用直接法求轨迹方程. 一、定义法求轨迹方程 探究1　回顾一下圆、椭圆的定义，并指出定义中的关键要素. 提示：圆的定义：到定点的距离等于定长的点的轨迹，关键要素是圆心、半径；椭圆的定义：到两定点的距离之和为定值的点的轨迹，关键要素是两定点是两焦点，并且注意定值要大于两定点间的距离. 【典例1】　一动圆与定圆O1：（x＋3）2＋y2＝1外切，与定圆O2：（x－3）2＋y2＝81内切，试求动圆圆心的轨迹方程. 解：两定圆的圆心和半径分别为O1（－3，0），r1＝1，O2（3，0），r2＝9，设动圆圆心为M（x，y），半径为R，连接MO1，MO2（图略），则由题设条件，可得｜MO1｜＝1＋R，｜MO2｜＝9－R. ∴｜MO1｜＋｜MO2｜＝10＞｜O1O2｜＝6. 由椭圆的定义知，点M在以O1，O2为焦点的椭圆上，且a＝5，c＝3.∴b2＝a2－c2＝25－9＝16. 故动圆圆心的轨迹方程为＋＝1. ⚪解题感悟 　　利用椭圆定义求轨迹方程问题，一般解题思路如下： 首先分析几何图形所表示的几何关系，然后对比椭圆的定义，求出a，b的值，最后得到轨迹方程. 【练习1】　如图所示，在圆C：（x＋1）2＋y2＝25内有一点A（1，0）.Q为圆C上任意一点，线段AQ的垂直平分线与C，Q的连线交于点M，当点Q在圆C上运动时，求点M的轨迹方程. 解：如图所示，连接MA. 由题意知点M在线段CQ上，从而有｜CQ｜＝｜MQ｜＋｜MC｜.∵点M在线段AQ的垂直平分线上，∴｜MA｜＝｜MQ｜， 故｜MA｜＋｜MC｜＝｜CQ｜＝5＞｜AC｜＝2. 故点M的轨迹是以（1，0），（－1，0）为焦点的椭圆，且2a＝5， 故a＝，c＝1，b2＝a2－c2＝－1＝. 故点M的轨迹方程为＋＝1. 二、代入法求动点的轨迹方程 【典例2】　已知中心在坐标原点的椭圆，经过点A（2，3），且点F（2，0）为其右焦点. （1）求椭圆的标准方程； （2）若P是（1）中所求椭圆上的动点，求PF的中点Q的轨迹方程. 解：（1）依题意，可设椭圆C的方程为＋＝1（a＞b＞0），点F（2，0）为其右焦点， 不妨令其左焦点为F'，则F'（－2，0）， 从而有 解得 又a2＝b2＋c2，∴b2＝12， 故椭圆C的标准方程为＋＝1. （2）设P（x0，y0），Q（x，y）， ∵Q为PF的中点， ∴∴ 又P是椭圆＋＝1上的动点， ∴＋＝1，即＋＝1. 故点Q的轨迹方程是＋＝1. ⚪解题感悟 代入法（相关点法）求轨迹方程的一般步骤 （1）建立平面直角坐标系，设所求动点的坐标为（x，y），其相关动点的坐标为（x0，y0）. （2）找出（x，y）与（x0，y0）之间的等量关系，用x，y表示x0，y0. （3）将x0，y0代入其所在的曲线方程. （4）化简得所求方程. 【练习2】　已知点P为椭圆E：＋＝1上的动点，点Q满足＝（O为坐标原点），则点Q的轨迹M的方程为　＋＝1　. 三、直接法求动点的轨迹方程 探究2　前面我们已经了解了坐标法在解析几何中的作用，比如已知A（－2，0），B（2，0），AC⊥BC时，我们如何找到动点C（x，y）所满足的关系？你有哪些方法建立这个关系？ 提示：可用三角形三边关系（AC2＋BC2＝AB2）： （x＋2）2＋（y－0）2＋（x－2）2＋（y－0）2＝42； 可用向量关系（＝0）：（x＋2，y）·（x－2，y）＝0. 它们化简后都能代表动点C（x，y）的轨迹方程. 【典例3】　设A，B两点的坐标分别为（0，6），（0，－6）.直线AM，BM相交于M. （1）若它们的斜率之积是－，求点M的轨迹方程； （2）若它们的斜率之积是－，求点M的轨迹方程. 解：设点M的坐标为（x，y），那么直线AM，BM的斜率分别为和，其中x≠0. （1）由题意知＝－， 化简得＋＝1（x≠0）. （2）＝－（x≠0）， 化简得＋＝1（x≠0）. ⚪解题感悟 　　求轨迹方程时，没有坐标系时要先建立坐标系，设轨迹上任一点的坐标为（x，y），轨迹方程就是x，y之间的等式，关键是找到等量关系，然后用x，y表示. 【练习3】　已知A（2，1），B（2，－1），O为坐标原点，动点P（x，y）满足＝m＋n，其中m，n∈R，且m2＋n2＝，则动点P的轨迹方程是　＋y2＝1　. ⚪课堂达标 1.平面内一点M到两定点F1（0，－3），F2（0，3）的距离之和为10，则M的轨迹方程是（　B　） A.＋＝1 B.＋＝1 C.＋＝1 D.＋＝1 解析：平面内一点M到两定点F1（0，－3）， F2（0，3）的距离之和为10＞｜F1F2｜＝6， 所以点M的轨迹为椭圆，且a＝5，c＝3，则b＝4，又椭圆的焦点在y轴上，所以椭圆的方程为＋＝1. 2.化简方程＋＝10的结果是（　C　） A.＋＝1 B.＋＝1 C.＋＝1 D.＋＝1 解析：由方程左边式子的几何意义及椭圆定义可知，方程表示的曲线为焦点在x轴上的椭圆，且c＝4，a＝5，所以b2＝a2－c2＝9，故化简结果为＋＝1. 3.已知点B（－4，0），C（4，0），且△ABC的周长等于18，则动点A的轨迹方程为　＋＝1（y≠0）　. 解析：由已知得｜AB｜＋｜AC｜＋｜BC｜＝18， ｜BC｜＝8， 则｜AB｜＋｜AC｜＝10. 由椭圆的定义可知，点A的轨迹是以B，C为焦点的椭圆（不含长轴端点），且2a＝10，2c＝8， 即a＝5，c＝4，所以b2＝a2－c2＝25－16＝9， 所以动点A的轨迹方程是＋＝1（y≠0）. 4.动点M（x，y）与定点F（4，0）的距离和M到定直线l：x＝的距离的比是常数，则动点M的轨迹方程是　＋＝1　. 页 学科网（北京）股份有限公司 $