2.5.1 直线与圆的位置关系预习导学案-2026-2027学年高二上学期数学人教A版选择性必修第一册

该高中数学导学案聚焦“直线与圆的位置关系”，通过“温故”回顾点到直线距离公式、圆的标准及一般方程，“知新”探究几何法（距离与半径比较）和代数法（方程组解的情况）判定位置关系，搭建前后知识衔接的学习支架。 资料以数形结合思想为核心，通过几何法与代数法对比培养数学思维，课前自测覆盖位置判定、切线、弦长等常考题型，解析详细。反思环节强调“以形观势、以数定界”，助力学生用数学眼光发现联系，提升数学语言表达与问题解决能力，适合自主学习与教学评估。

2.5.1 直线与圆的位置关系 预习提要 1.回顾直线方程、圆的方程以及点到直线的距离公式，思考如何借助代数与几何方法判断位置关系，体会数形结合思想，做好预习铺垫. 2.阅读课本内容，探究直线与圆相交、相切、相离的判定方法，理解几何法与代数法，尝试求解简单的切线、弦长问题. 【温故】 1.点到直线的距离公式：点到直线的距离________________．当，或时，公式仍然成立． 2.圆的标准方程：方程___________________称为圆心为，半径为的圆的标准方程． 3.圆的一般方程：当时，方程___________________表示以为圆心，_____________为半径的一个圆，叫做圆的一般方程． 【知新】 1.由圆心到直线的距离与半径的大小关系判断直线与圆的位置关系：当时，直线与圆__________；当时，直线与圆__________；当时，直线与圆__________． 2.由方程组解的情况判断直线与圆的位置关系：当方程组有_______组不同的实数解时，直线与圆相交；当方程组只有一组实数解（两组_______的实数解）时，直线与圆相切；当方程组_______实数解时，直线与圆相离． 课前自测 1.直线与圆的位置关系是( ) A.相交 B.相切 C.相离 D.不确定 2.已知圆与直线交于A，B两点，则( ) A. B. C. D. 3.已知直线l与圆相切于点，则直线l的方程为( ) A. B. C. D. 4.过直线上任意一点，总存在直线与圆相切，则k的最大值为( ) A. B. C.1 D. 5.已知直线与圆相交，则实数k的取值范围为______. 反思 直线与圆的位置关系是高中解析几何必考重难点，题型灵活、综合性强. 常考内容包含位置判定、切线方程求解、弦长计算、参数取值范围与几何最值问题. 几何法计算简便、步骤精简，是解题首选；代数法通用性强，适合复杂含参题型. 华罗庚说：数形结合百般好，隔离分家万事休. 直线与圆的位置关系，是数形思想最典型的体现. 图形的离合相切，对应代数数据的大小变化与方程解的个数. 以形观势、以数定界，将直观几何现象转化为精准运算，能培养辩证分析、双向推理、严谨分类的高水平数学思维. 答案及解析 【温故】 1. 2. 3. 【知新】 1.相交 相切 相离 2.两 相等 没有 课前自测 1.答案：B 解析：圆的圆心为，半径，点到直线的距离，所以直线与圆相切.故选B. 2.答案：A 解析：由圆，得，所以圆C的圆心的坐标为，半径，所以圆心C到直线的距离，所以直线l与圆C相交的弦长.故选A. 3.答案：A 解析：方法一：点P与圆心连线所在直线的斜率为，则所求直线的斜率为，由点斜式方程，可得，整理得. 方法二：（二级结论）由在圆C上，可得直线l的方程为，即. 4.答案：A 解析：设P为直线上任意一点，因为过直线上任意一点，总存在直线与圆相切，所以点P在圆外或圆上，所以直线与圆相离或相切，则，即，解得，故k的最大值为. 5.答案： 解析：圆的圆心坐标为，半径为2，因为直线与圆相交，所以，即，两边同时平方化简可得，解得，所以实数k的取值范围为. 学科网（北京）股份有限公司 $