2.5.1 第2课时 直线与圆的位置关系的综合应用 导学案-2026-2027学年高二上学期数学人教A版选择性必修第一册

该高中数学导学案聚焦直线与圆位置关系的综合应用，通过探究坐标法与向量法、综合法的异同连接前后知识，以典例解析、解题步骤梳理为支架，引导学生掌握实际应用、坐标法及最值问题的解决方法。 资料以实际情境问题（如海岛、储备基地）培养学生数学眼光，通过坐标法将几何问题转化为代数问题发展数学思维，多种最值转化方法（斜率、截距、距离）提升数学语言表达能力，分层练习与课堂达标设计助力学生自主学习，高效掌握核心知识。

2.5.1 直线与圆的位置关系 第2课时 直线与圆的位置关系的综合应用 导学案-2026-2027学年高二上学期数学人教A版选择性必修第一册 ★学习目标　1.会解决关于直线与圆的方程的实际应用问题. 2.会解决直线与圆相切、弦长等相关的问题，能利用直线与圆的位置关系解决简单的数形结合问题、几何问题及最值或取值范围问题. 一、直线和圆的方程的实际应用 探究1　比较坐标法与向量法，它们在解决几何问题时，有什么异同点？ 【典例1】　如图，某海面上有O，A，B三个小岛（面积大小忽略不计），A岛在O岛的北偏东45°方向距O岛40千米处，B岛在O岛的正东方向距O岛20千米处.以O为坐标原点，O的正东方向为x轴的正方向，1千米为单位长度，建立平面直角坐标系.圆C经过O，A，B三点. （1）求圆C的方程； （2）若圆C区域内有未知暗礁，现有一船D在O岛的南偏西30°方向距O岛40千米处，正沿着北偏东45°方向行驶，若不改变方向，试问该船有没有触礁的危险？ ★解题感悟 　　1.应用解析法研究与平面图形有关的实际问题，可取得简便、精确的效果，因此，解析几何在求解实际应用问题时，有着广泛的应用. 2.解析法的关键是建系，合理适当地建系对问题的解决会有很大帮助，“适当”要结合具体问题来体会. 3.解决直线与圆的实际应用题的步骤. （1）审题：从题目中抽象出几何模型，明确已知和未知. （2）建系：建立适当的平面直角坐标系，用坐标和方程表示几何模型中的基本元素. （3）求解：利用直线与圆的有关知识求出未知. （4）还原：将运算结果还原到实际问题中去. 【练习1】　（1）为了适应市场需要，某地准备建一个圆形生猪储备基地，它的附近有一条公路，从基地中心O向正东方向走1 km到达储备基地边界上的点A，继续向东走7 km到达公路上的点B；从基地中心O向正北方向走8 km到达公路上的点C，现准备在储备基地的边界上选一点D，修建一条由D通往公路BC的专用线DE（E在公路BC上），则D到E的最小距离为（ 　） A.2 km B.4 km C.2－1 km D.4－1 km （2）若圆x2＋y2－4x－4y－10＝0上至少有三个不同的点到直线l：ax＋by＝0的距离为2，则直线l的斜率的取值范围是 . 二、用坐标法解决几何问题 探究2　初中时，我们多用综合法研究几何问题，它有什么特点？现在我们给圆建立了方程，那么还可以用什么方法？ ★梳理教材 用坐标法解决几何问题 用坐标法解决几何问题分为三步： 第一步：建立适当的平面直角坐标系，用坐标和方程表示问题中的几何要素，把平面几何问题转化为代数问题； 第二步：通过代数运算，解决代数问题； 第三步：把代数运算的结果“翻译”成几何结论. ★温馨提示　建立不同的平面直角坐标系，对解决问题有着直接的影响.因此，建立直角坐标系，应使所给图形尽量对称，所需的几何元素的坐标或方程尽量简单. ★判断正误（正确的打“√”，错误的打“✕”） （1）圆心到圆的切线的距离等于半径.（ 　） （2）点到圆上的点的距离的最大值为点到圆心的距离与半径之和.（ 　） （3）利用坐标法解决实际问题时，若建立的平面直角坐标系不同，则所得结果不同.（ 　） （4）同一圆的两条弦的垂直平分线的交点为圆心.（ 　） 【典例2】　在△ABO中，｜OB｜＝3，｜OA｜＝4，｜AB｜＝5，P是△ABO的内切圆上的一点，求以｜PA｜，｜PB｜，｜PO｜为直径的三个圆的面积之和的最大值和最小值. ★解题感悟 坐标法建立平面直角坐标系应坚持的原则 （1）若有两条相互垂直的直线，一般以它们分别为x轴、y轴. （2）充分利用图形的对称性. （3）让尽可能多的点落在坐标轴上，或关于坐标轴对称. （4）关键点的坐标易于求得. 【练习2】　如图，半径为2的圆M上有两点P，Q，过P，Q的切线相交于点T，自点P向平行于PQ的直径AB的两端各作一直线，这两条直线分别交垂直于PQ的直径所在的直线于R，S.试建立适当的平面直角坐标系，并用坐标法证明：｜RT｜＝｜ST｜. 三、最值或取值范围问题 【典例3】　（1）若直线y＝x＋b与曲线y＝有公共点，则b的取值范围为 . （2）已知实数x和y满足方程（x＋1）2＋y2＝，试求及的最值. ★解题感悟 与圆有关的最值问题的常见解法 （1）形如μ＝形式的最值问题，可转化为动直线斜率的最值问题. （2）形如t＝ax＋by形式的最值问题，可转化为动直线截距的最值问题. （3）形如s＝（x－a）2＋（y－b）2形式的最值问题，可转化为动点到定点的距离的平方的最值问题. 【练习3】　（1）若直线l：kx－y－1＝0与曲线C：＝x－1有两个不同的交点，则实数k的取值范围是（ 　） A.（，1］ B.（，3） C.［－1，－］∪（，1］ D.（，＋∞） （2）已知实数x，y满足方程x2＋y2－4x＋1＝0.求： ①的最大值和最小值； ②y－x的最大值和最小值； ③x2＋y2的最大值和最小值. ★课堂达标 1.设某公园外围成圆形，其所在曲线的方程可用x2＋y2－2x＝0表示，现欲在公园外两点A（－2，0），B（0，2）与公园边上任意一点所围的范围内修建一处舞台，则舞台面积的最小值为（ 　） A.3－ B.3＋ C.3－ D. 2.已知圆C：x2＋y2＋mx－4＝0上存在两点关于直线x－y＋3＝0对称，则实数m的值是（ 　） A.8 B.－4 C.6 D.无法确定 3.已知实数x，y满足方程（x－3）2＋（y－3）2＝6，则x2＋y2的最大值为 . 4.已知隧道的截面是半径为4 m的半圆，车辆只能在道路中心线一侧行驶，一辆宽为2.7 m、高为2.5 m的货车 （填“能”或“不能”）驶入这个隧道；假设货车的最大宽度为a m，那么要正常驶入该隧道，货车的最大高度为 （用含a的代数式表示）. 解析版 ★学习目标　1.会解决关于直线与圆的方程的实际应用问题. 2.会解决直线与圆相切、弦长等相关的问题，能利用直线与圆的位置关系解决简单的数形结合问题、几何问题及最值或取值范围问题. 一、直线和圆的方程的实际应用 探究1　比较坐标法与向量法，它们在解决几何问题时，有什么异同点？ 提示：向量法是将点、线、面等几何要素用向量表示，通过向量运算将结果“翻译”成相应结论，为几何问题的解决带来极大便利性.坐标法与它类似，也是将几何问题“代数化”，通过计算使繁杂的问题得到解决. 【典例1】　如图，某海面上有O，A，B三个小岛（面积大小忽略不计），A岛在O岛的北偏东45°方向距O岛40千米处，B岛在O岛的正东方向距O岛20千米处.以O为坐标原点，O的正东方向为x轴的正方向，1千米为单位长度，建立平面直角坐标系.圆C经过O，A，B三点. （1）求圆C的方程； （2）若圆C区域内有未知暗礁，现有一船D在O岛的南偏西30°方向距O岛40千米处，正沿着北偏东45°方向行驶，若不改变方向，试问该船有没有触礁的危险？ 解：（1）由题意，得A（40，40），B（20，0），设过O，A，B三点的圆C的方程为x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0（D2＋E2－4F＞0）， 则 解得 ∴圆C的方程为x2＋y2－20x－60y＝0. （2）该船初始位置为点D， 则D（－20，－20）， 且该船航线所在直线l的斜率为1， 故直线l：x－y＋20－20＝0， 由（1）得圆C的圆心C（10，30），半径r＝10， 由于圆心C到直线l的距离d＝＝10＜10， 故若不改变方向，该船有触礁的危险. ★解题感悟 　　1.应用解析法研究与平面图形有关的实际问题，可取得简便、精确的效果，因此，解析几何在求解实际应用问题时，有着广泛的应用. 2.解析法的关键是建系，合理适当地建系对问题的解决会有很大帮助，“适当”要结合具体问题来体会. 3.解决直线与圆的实际应用题的步骤. （1）审题：从题目中抽象出几何模型，明确已知和未知. （2）建系：建立适当的平面直角坐标系，用坐标和方程表示几何模型中的基本元素. （3）求解：利用直线与圆的有关知识求出未知. （4）还原：将运算结果还原到实际问题中去. 【练习1】　（1）为了适应市场需要，某地准备建一个圆形生猪储备基地，它的附近有一条公路，从基地中心O向正东方向走1 km到达储备基地边界上的点A，继续向东走7 km到达公路上的点B；从基地中心O向正北方向走8 km到达公路上的点C，现准备在储备基地的边界上选一点D，修建一条由D通往公路BC的专用线DE（E在公路BC上），则D到E的最小距离为（　D　） A.2 km B.4 km C.2－1 km D.4－1 km （2）若圆x2＋y2－4x－4y－10＝0上至少有三个不同的点到直线l：ax＋by＝0的距离为2，则直线l的斜率的取值范围是　[2－，2＋]　. 解析：（1）以O为坐标原点，OB，OC所在直线分别为x轴、y轴建立平面直角坐标系，如图所示，则O（0，0），A（1，0），B（8，0），C（0，8），则圆O：x2＋y2＝1，直线BC：x＋y－8＝0.∴点O到直线BC的距离d＝＝4，∴D到E的最小距离为d－1＝4－1.故选D. （2）圆x2＋y2－4x－4y－10＝0化为标准方程，可得（x－2）2＋（y－2）2＝（3）2，∴圆心坐标为（2，2），半径为3.若圆上至少有三个不同的点到直线l：ax＋by＝0的距离为2，则圆心到直线l的距离应小于等于，即≤，整理得（）2＋4（）＋1≤0，∴－2－≤≤－2＋.又直线l的斜率k＝－，∴2－≤k≤2＋，即直线l的斜率的取值范围是[2－，2＋]. 二、用坐标法解决几何问题 探究2　初中时，我们多用综合法研究几何问题，它有什么特点？现在我们给圆建立了方程，那么还可以用什么方法？ 提示：运用综合法有时需添加辅助线，侧重于解题技巧，同时对运算能力也有要求，往往计算复杂，还可以用坐标法. ★梳理教材 用坐标法解决几何问题 用坐标法解决几何问题分为三步： 第一步：建立适当的平面直角坐标系，用坐标和方程表示问题中的几何要素，把平面几何问题转化为代数问题； 第二步：通过代数运算，解决代数问题； 第三步：把代数运算的结果“翻译”成几何结论. ★温馨提示　建立不同的平面直角坐标系，对解决问题有着直接的影响.因此，建立直角坐标系，应使所给图形尽量对称，所需的几何元素的坐标或方程尽量简单. ★判断正误（正确的打“√”，错误的打“✕”） （1）圆心到圆的切线的距离等于半径.（　√　） （2）点到圆上的点的距离的最大值为点到圆心的距离与半径之和.（　√　） （3）利用坐标法解决实际问题时，若建立的平面直角坐标系不同，则所得结果不同.（　✕　） （4）同一圆的两条弦的垂直平分线的交点为圆心.（　√　） 【典例2】　在△ABO中，｜OB｜＝3，｜OA｜＝4，｜AB｜＝5，P是△ABO的内切圆上的一点，求以｜PA｜，｜PB｜，｜PO｜为直径的三个圆的面积之和的最大值和最小值. 解：由题易知，△ABO为直角三角形，故以O为坐标原点，OA，OB所在直线分别为x轴、y轴建立如图所示的平面直角坐标系，则A（4，0），B（0，3），O（0，0），设△AOB的内切圆的半径为r，点P（x，y）. 由等面积法知3×4＝r（3＋4＋5）， 解得r＝1. ∴内切圆的方程为（x－1）2＋（y－1）2＝1， 即x2＋y2－2y＝2x－1. ① 又｜PA｜2＋｜PB｜2＋｜PO｜2＝（x－4）2＋y2＋x2＋（y－3）2＋x2＋y2＝3x2＋3y2－8x－6y＋25， ② ∴将①代入②，得｜PA｜2＋｜PB｜2＋｜PO｜2＝3（2x－1）－8x＋25＝－2x＋22. ∵P（x，y）是△AOB内切圆上的点，∴0≤x≤2， ∴｜PA｜2＋｜PB｜2＋｜PO｜2的最大值为22，最小值为18. 又以｜PA｜，｜PB｜，｜PO｜为直径的三个圆的面积之和为π（）2＋π（）2＋π（）2＝（｜PA｜2＋｜PB｜2＋｜PO｜2）， 故以｜PA｜，｜PB｜，｜PO｜为直径的三个圆的面积之和的最大值为，最小值为. ★解题感悟 坐标法建立平面直角坐标系应坚持的原则 （1）若有两条相互垂直的直线，一般以它们分别为x轴、y轴. （2）充分利用图形的对称性. （3）让尽可能多的点落在坐标轴上，或关于坐标轴对称. （4）关键点的坐标易于求得. 【练习2】　如图，半径为2的圆M上有两点P，Q，过P，Q的切线相交于点T，自点P向平行于PQ的直径AB的两端各作一直线，这两条直线分别交垂直于PQ的直径所在的直线于R，S.试建立适当的平面直角坐标系，并用坐标法证明：｜RT｜＝｜ST｜. 证明：如图，以圆心M为原点，以MT所在的直线为x轴，平行于PQ的直径AB所在的直线为y轴，建立平面直角坐标系， 则可得圆M的方程为x2＋y2＝4，A（0，2），B（0，－2）. 设P（x0，y0），则＋＝4. 直线AP的方程为y＝x＋2， 令y＝0，得xR＝， 直线BP的方程为y＝x－2， 令y＝0，得xS＝. ∵切线PT的方程为x0x＋y0y＝4， 由对称性知点T在x轴上， 令y＝0，得xT＝， ∴｜RT｜＝｜xR－xT｜＝｜－｜＝｜｜＝2｜｜， ｜ST｜＝｜xS－xT｜＝｜－｜＝｜｜＝2｜｜. ∴｜RT｜＝｜ST｜. 三、最值或取值范围问题 【典例3】　（1）若直线y＝x＋b与曲线y＝有公共点，则b的取值范围为　[－2，2]　. 解析：如图，在坐标系中作出曲线y＝（半圆）和直线l1：y＝x－2，直线l2：y＝x＋2.由图可知，当直线l：y＝x＋b夹在l1与l2之间（包括l1，l2）时，l与曲线y＝有公共点，所以截距b的取值范围为[－2，2]. （2）已知实数x和y满足方程（x＋1）2＋y2＝，试求及的最值. 解：x和y可以认为是以C（－1，0）为圆心，以为半径的圆上的点的横、纵坐标，由两点间的距离公式易联想到表示圆上的点到M（2，3）的距离，易知圆心C（－1，0）到M（2，3）的距离与半径的和与差分别为的最大值和最小值.连接CM（图略），因为｜CM｜＝3，因此最大值为3＋，最小值为3－. 可认为是圆上的点与坐标原点连线的斜率，由图形知当过原点的直线与圆相切时，斜率取得最大值或最小值，设过原点的直线方程为y＝kx，则＝，解得k＝±. 故最大值为，最小值为－. ★解题感悟 与圆有关的最值问题的常见解法 （1）形如μ＝形式的最值问题，可转化为动直线斜率的最值问题. （2）形如t＝ax＋by形式的最值问题，可转化为动直线截距的最值问题. （3）形如s＝（x－a）2＋（y－b）2形式的最值问题，可转化为动点到定点的距离的平方的最值问题. 【练习3】　（1）若直线l：kx－y－1＝0与曲线C：＝x－1有两个不同的交点，则实数k的取值范围是（　A　） A.（，1］ B.（，3） C.［－1，－］∪（，1］ D.（，＋∞） 解析：易知，直线l恒过定点A（0，－1）， 曲线C的方程可整理为（x－1）2＋（y－1）2＝1，x≥1， 所以曲线C表示以（1，1）为圆心，1为半径的半圆，图象如图所示. 当直线l经过D（1，0）时，l与曲线C有两个不同的交点，此时k＝＝1，直线记为l1； 当l与半圆相切时，由＝1，解得k＝，切线记为l2， 所以当＜k≤1时，直线l与曲线C有两个不同的交点.故选A. （2）已知实数x，y满足方程x2＋y2－4x＋1＝0.求： ①的最大值和最小值； ②y－x的最大值和最小值； ③x2＋y2的最大值和最小值. 解：如图，方程x2＋y2－4x＋1＝0表示以C（2，0）为圆心，为半径的圆. ①的几何意义是圆上一点与原点连线的斜率，所以设＝k，即y＝kx，当圆心（2，0）到直线y＝kx的距离等于半径，即直线与圆相切于点P，P'时，斜率分别取得最大值、最小值. 由＝，解得k2＝3， ∴（）max＝，（）min＝－. ②y－x可以看作是直线y＝x＋b在y轴上的截距.当直线y＝x＋b与圆相切时，直线在y轴上的截距b取最小值或最大值， 由点到直线的距离公式，得＝， 即b＝－2±， 故（y－x）min＝－2－，（y－x）max＝－2＋. ③x2＋y2表示圆上的一点与原点的距离的平方.设圆C与x轴交于B，C'两点（点B在点C'左边），则（x2＋y2）max＝｜OC'｜2＝（2＋）2＝7＋4，（x2＋y2）min＝｜OB｜2＝（2－）2＝7－4. ★课堂达标 1.设某公园外围成圆形，其所在曲线的方程可用x2＋y2－2x＝0表示，现欲在公园外两点A（－2，0），B（0，2）与公园边上任意一点所围的范围内修建一处舞台，则舞台面积的最小值为（　A　） A.3－ B.3＋ C.3－ D. 2.已知圆C：x2＋y2＋mx－4＝0上存在两点关于直线x－y＋3＝0对称，则实数m的值是（　C　） A.8 B.－4 C.6 D.无法确定 解析：因为圆上存在两点关于直线x－y＋3＝0对称，所以直线x－y＋3＝0过圆心C（－，0），从而－＋3＝0，即m＝6. 3.已知实数x，y满足方程（x－3）2＋（y－3）2＝6，则x2＋y2的最大值为　24＋12　. 解析：（x－3）2＋（y－3）2＝6可看作以（3，3）为圆心，为半径的圆.x2＋y2的最大值为圆上一点（x，y）到原点（0，0）的距离的平方最大值，则x2＋y2的最大值为（3＋）2＝24＋12. 4.已知隧道的截面是半径为4 m的半圆，车辆只能在道路中心线一侧行驶，一辆宽为2.7 m、高为2.5 m的货车　能　（填“能”或“不能”）驶入这个隧道；假设货车的最大宽度为a m，那么要正常驶入该隧道，货车的最大高度为　 m　（用含a的代数式表示）. 解析：以隧道截面半圆的圆心为坐标原点，半圆直径所在直线为x轴，建立如图所示的平面直角坐标系，则半圆方程为x2＋y2＝16（y≥0）. 将x＝2.7代入x2＋y2＝16（y≥0），得y＝＝＞2.5，即在离中心线2.7 m处，隧道高度高于货车的高度，所以货车能驶入这个隧道. 将x＝a代入x2＋y2＝16（y≥0）得y＝，所以货车要驶入该隧道，最大高度为 m. 页 学科网（北京）股份有限公司 $