3.1 勾股定理的探究 同步练 2026-2027学年苏科版八年级数学上册

**基本信息** 苏科版八年级数学勾股定理探究同步练，通过基础巩固、能力提升、综合应用三层设计，覆盖从概念理解到实际应用的知识路径，培养几何直观与模型意识。 **分层设计** |层次|知识覆盖|设计特色| |----|----------|----------| |基础层|勾股定理基本计算（以三边为边长的图形面积、直接求边长）|选择/填空/简单解答（如第1-3题、6-7题），难度0.85-0.94，巩固核心概念| |提升层|动点问题、相似三角形、尺规作图|综合填空/解答（如第10题、13-14题），难度0.65，培养推理能力与空间观念| |综合层|实际情境应用（超市门铃、隧道修建）|情境解答题（如第15题、20题），发展应用意识与创新思维|

3.1勾股定理的探究同步练2026-2027学年苏科版八年级数学上学期 学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________ 一、单选题 1．如图，在中，，分别以，为边作正方形．若，则正方形和正方形的面积和为（   ） A．64 B．36 C．12 D．6 2．如图所示，以的三边向外作正方形，其面积分别为，，，且，，则（    ） A．4 B．12 C．16 D．64 3．已知，为正数，且，如果以，为直角边长作一个直角三角形，那么以这个直角三角形的斜边长为边长的正方形的面积为（　　  ） A．5 B．7 C．15 D．25 4．如图所示，意大利著名画家达▪芬奇用一张纸片剪拼出不一样的空洞，证明了勾股定理．若设图1中空白部分（两个正方形和两个直角三角形组成）的面积为，经过以下裁剪，翻转，拼出图2，其中空白部分的面积为，嘉琪同学得出了以下四个结论：①；②；③；④．则其中正确的有（   ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 5．已知直角三角形的一条直角边、斜边，则以为轴旋转一周，所得到的圆锥的底面积是（　　） A．90πcm2 B．209πcm2 C．155πcm2 D． 二、填空题 6．若直角三角形的两边长分别为a、b，且满足，则该直角三角形的第三边长的平方为___________． 7．清代数学家梅文鼎在《勾股举隅》一书中，用四个全等的直角三角形拼出正方形ABCD的方法证明了勾股定理（如图）．连结CE，若，，则正方形ABCD的边长为________． 8．如图，梯形中，，，，若该梯形的中位线长为3，则_________． 9．如图，在中，，，分别是和的平分线，交于点，于点．若，，则的面积是____________． 10．如图的两条直角边，，点D沿从A向B运动，速度是，同时，点E沿从B向C运动，速度为．动点E到达点C时运动终止．连接． （1）当动点运动______秒时，与相似； （2）当动点运动______秒时，． 三、解答题 11．在中，． (1)已知，，求b的值． (2)已知，，求a的值． 12．在中，． ①若，，则 ； ②若，，则 ； ③已知，，则 ； ． 13．如图，在中，． (1)尺规作图：作边上的高（保留作图痕迹，不写作法）； (2)若，求和的长． 14．如图，已知线段a，b，h（） (1)用尺规作，使得，，边上的高（保留作图痕迹，不写作法）； (2)若，，，直接写出的长． 15．某超市为了吸引顾客，在超市门口离地高的墙上，装有一个由传感器控制的门铃A，如图1所示，人只要移至该门口及以内时，门铃就会自动发出语音“欢迎光临”．一个身高的学生走到D处，门铃恰好自动响起，如图2所示．求此时该学生头顶C到门铃A的距离． 16．如下图，在中，，于点，于点．已知，，求的长． 17．如图，已知（两个三角形的直角边长为a，b，斜边长为c），，点B，C，D在同一条直线上，连接AE．    请将下面验证勾股定理的过程补充完整． 证明：由题意可得， 所以． 因为， 所以____________， 所以， 所以是等腰直角三角形， 所以_______． 因为，所以， 所以_______， 所以_______=_______，所以． 18．如图，在中，是边上的高线，． (1)若，，求的长． (2)若是边上的中线，，求证：． 19．如图所示，有一个长方形的公园．如果游人要从A景点走到C景点，至少要走多远？ 20．如图，在笔直的公路旁有一座山，为方便运输货物现要从公路上的D处开凿隧道通一条公路到C处，已知点C与公路上的停靠站A的距离为，与公路上另一停靠站B的距离为，且，． (1)求修建的公路的长； (2)若公路建成后，一辆货车由C处途经D处到达B处的总路程是多少？ 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 《3.1勾股定理的探究同步练2026-2027学年苏科版八年级数学上学期》参考答案 题号 1 2 3 4 5 答案 B C B D D 1．B 【难度】0.85 【知识点】以直角三角形三边为边长的图形面积 【分析】本题考查的是勾股定理，如果直角三角形的两条直角边长分别是，斜边长为，那么． 根据勾股定理、正方形的面积公式计算即可． 【详解】解：在中，， 由勾股定理得：， ∴正方形和正方形的面积和为 36 ， 故选：B． 2．C 【难度】0.94 【知识点】以直角三角形三边为边长的图形面积 【分析】本题考查勾股定理及正方形面积公式的运用，解题关键是明确直角三角形的边长的平方即为相应的正方形的面积．由题意可知，，再根据勾股定理可求出． 【详解】解：∵，， ∴，． 在中，， ∴． 故选C． 3．B 【难度】0.85 【知识点】绝对值非负性、求一个数的算术平方根、以直角三角形三边为边长的图形面积 【分析】根据“两个非负数相加和为0，则这两个非负数的值均为0”解出x、y的值，然后运用勾股定理求出斜边的长．斜边长的平方即为正方形的面积． 【详解】解：依题意得：，且，为正数， ∴， 斜边长， 所以正方形的面积． 故选：B． 【点睛】本题综合考查了勾股定理与非负数，解这类题的关键是利用直角三角形，用勾股定理来寻求未知系数的等量关系． 4．D 【难度】0.65 【知识点】勾股定理的证明方法 【分析】本题考查勾股定理的证明，直角三角形的性质等知识，解题的关键是读㯵图象信息．根据勾股定理，直角三角形以及正方形的面积公式计算，即可解决问题． 【详解】解：由勾股定理得：， 由题意得：， 故①，②，③，④正确， 故选：D． 5．D 【难度】0.65 【知识点】以直角三角形三边为边长的图形面积 【分析】根据勾股定理求得底面半径，然后求得底面积即可． 【详解】解：∵直角三角形ABC的一条直角边、斜边， ∴， ∴底面积为， 故选：D． 【点睛】考查了圆锥的计算及勾股定理的知识，解题的关键是确定哪一条边是底面半径，难度不大． 6．25或7 【难度】0.85 【知识点】绝对值非负性、用勾股定理解三角形 【分析】本题主要考查了非负数的性质，勾股定理等知识，首先利用非负数的性质得，再分为直角边或为斜边两种情形，分别利用勾股定理计算即可． 【详解】解：∵， ∴， ∴， 当为直角边时，第三边的平方为， 当为斜边时，第三边的平方为， 故答案为：25或7． 7． 【难度】0.85 【知识点】以弦图为背景的计算题 【分析】根据全等三角形的性质得到CF=BE=4，根据勾股定理求出EF，求出BF，进而得出AE，根据勾股定理计算，得到答案． 【详解】解：如图所示： 由四个全等的直角三角形可得，BE=CF=4，AE=BF， 由勾股定理得，EF=＝＝3， ∴BF=BE-EF=4-3=1， 由勾股定理得，AB=＝＝， 故答案为：． 【点睛】此题考查是勾股定理、全等三角形的性质，掌握勾股定理、全等三角形的对应边相等是解题的关键． 8． 【难度】0.65 【知识点】含30度角的直角三角形、用勾股定理解三角形、梯形中位线定理 【分析】过点作交的延长线于点，过点作于点，根据中位线的长得到，根据角的直角三角形得到，根据勾股定理进行计算即可． 【详解】解：过点作交的延长线于点， 四边形是平行四边形， ∴ 梯形的中位线长为3， ， ， ， 在梯形中，， ， 过点作于点， ， ， ， ， ， ． 故答案为：． 9．15 【难度】0.65 【知识点】角平分线的性质定理、等腰三角形的性质和判定、用勾股定理解三角形 【分析】过点作于点，根据角平分线的定义结合平行线的性质可得到，根据角平分线的性质求出，根据勾股定理得出关于的方程，求出的值，再根据面积公式求出的面积即可． 【详解】解：如图，过点作于点． 平分， ． ， ， ， ． ，平分，， ． 又， ， ． 设． ， ． 在中，由勾股定理，得， ， 解得，即， ， 的面积． 故答案为：． 【点睛】本题考查了角平分线的性质、平行线的性质、等腰三角形的判定、勾股定理等知识点，能综合运用性质进行推理是解此题的关键． 10． 或 【难度】0.85 【知识点】用勾股定理解三角形、相似三角形的判定与性质综合 【分析】（1）分当时，当时，两种情况利用相似三角形的性质求解即可； （2）如图所示，过点E作于F，证明，求出，，则，再证明，得到，即，解方程即可． 【详解】解：（1）由题意得，则， 在中，由勾股定理得， 当时， ∴，即， 解得； 当时， ∴，即， 解得； 综上所述，当或时，与相似， 故答案为：或； （2）如图所示，过点E作于F，则， ∴， ∴，即， ∴，， ∴ ∵， ∴， ∴， ∴， 又∵， ∴， ∴，即， 解得， 故答案为：． 【点睛】本题主要考查了相似三角形的性质与判定，勾股定理，熟知相似三角形的性质与判定条件是解题的关键． 11．(1) (2)11 【难度】0.85 【知识点】求一个数的算术平方根、用勾股定理解三角形 【分析】本题考查勾股定理，熟知勾股定理是解答的关键． （1）根据求解即可； （2）根据求解即可． 【详解】（1）解：在中，， ∴， ∵，， ∴， ∴； （2）解：∵，， ∴由得， ∴． 12．①9；②12；③9；12 【难度】0.85 【知识点】用勾股定理解三角形 【分析】本题考查了勾股定理，熟练掌握勾股定理是解题的关键． ①由勾股定理即可得出答案； ②由勾股定理即可得出答案； ③依据题意设，由勾股定理列出方程解得x，进而得出答案． 【详解】解：∵在中，， ∴， ①∵，， ∴； ②∵，， ∴； ③∵， ∴设， 又∵，， ∴， ∴（负值舍去）， ∴． 故答案为：①9；②12；③9；12． 13．(1) 如图，为所求； (2) 【难度】0.85 【知识点】作垂线(尺规作图)、用勾股定理解三角形 【分析】本题考查了作垂线，勾股定理，等面积法，正确掌握相关性质内容是解题的关键． （1）直接利用过直线外一点作已知直线的垂线的作法即可解答； （2）先结合勾股定理算出的长，再运用等面积法，得，则，即可作答． 【详解】（1）略 （2）解：∵，， ∴， ∴ 由（1）得， ∴， 则 ∴． 14．(1) 取线段，作出的垂直平分线，与交于点， 以为圆心，为半径作弧，与垂直平分线的交点即为点， 以为圆心，为半径作弧，与的交点即为点， 以为圆心，为半径作弧，与的交点即为点，再连接， 如图即为所求， (2) 【难度】0.65 【知识点】尺规作图——作三角形、作垂线(尺规作图)、用勾股定理解三角形 【分析】本题主要考查尺规作图，勾股定理的应用，熟悉作垂直平分线、线段的作法及勾股定理是解题的关键． （1）先作线段，再作出的垂直平分线，取线段，然后作线段、，再连接即可； （2）由勾股定理，求出，进而得到，再根据即可求解． 【详解】（1）略 （2）根据题意，， ， ． 15．5米 【难度】0.65 【知识点】用勾股定理构造图形解决问题 【分析】本题考查了勾股定理的应用，正确识图，理清题目中各线段的长度，运用勾股定理解题是本题的关键． 根据题意构造出直角三角形，利用勾股定理即可解答． 【详解】解：过点C作，垂足为点E， 则， 由题意得：米，米，米 则， 在中，由勾股定理得： ,即， 解得米． 答：该生头顶C到门铃A的距离为5米． 16．3 【难度】0.65 【知识点】直角三角形的两个锐角互余、三线合一、用勾股定理解三角形 【分析】本题考查了等腰三角形的性质，三角形面积公式，勾股定理，掌握等腰三角形面积的两种表示方法是解题的关键． 先利用等腰三角形面积相等推出，再在中用勾股定理求． 【详解】解：，，， ， ． 在中， ，，， ． 17．，，，． 【难度】0.65 【知识点】用勾股定理解三角形、勾股定理的证明方法 【分析】利用三角形全等的性质、等腰直角三角形的判定与性质以及梯形面积公式来验证勾股定理． 【详解】解：证明：由题意可得， ∴． ∵， ∴． ∴． ∴是等腰直角三角形． ∴ ． ∵， ∴． ∴ ． ∴． ∴． ∴． ∴． 故答案为：，，，． 【点睛】本题考查了勾股定理的验证，解题关键是通过图形面积的不同表示方法，建立等式来推导勾股定理，同时运用了三角形全等、等腰直角三角形以及梯形的相关知识． 18．(1) (2) 证明：∵是边上的高线， ∴， ∵是边上的中线， ∴， 又∵． ∴， ∵， ∴． 【难度】0.65 【知识点】三线合一、用勾股定理解三角形、斜边的中线等于斜边的一半 【分析】本题考查了勾股定理，直角三角形中斜边上的中线等于斜边的一半，等腰三角形的性质． （1）根据已知条件分别求得，进而根据勾股定理求得，即可； （2）根据直角三角形中斜边上的中线等于斜边的一半，得出，根据已知可得，即可得出，进而根据等腰三角形的性质，即可得证． 【详解】（1）解：∵，， ∴，， ∵是边上的高线， ∴， 在中，； （2）略 19．1000m 【难度】0.85 【知识点】用勾股定理构造图形解决问题 【分析】直接根据勾股定理即可得出结论． 【详解】解：∵AB=800m，AB=600m， ∴． 答：游人要从A景点走到C景点至少要走1000m． 【点睛】本题考查的是勾股定理的应用，熟知在应用勾股定理解决实际问题时勾股定理与方程的结合是解决实际问题常用的方法，关键是从题中抽象出勾股定理这一数学模型，画出准确的示意图．领会数形结合的思想的应用． 20．(1)修建的公路CD的长为 (2)总路程为 【难度】0.65 【知识点】与三角形的高有关的计算问题、用勾股定理解三角形 【分析】（1）根据题意可得：，，，利用勾股定理可得，再由三角形的等面积法计算即可得出； （2）由垂直的性质及（1）中结论，再利用勾股定理可得出长度，然后求长即可． 【详解】（1）解：∵， ∴， 根据题意可得：，， ∴， ， ∴， ∴， ∴修建的公路CD的长为； （2）解：∵， ∴， 根据题意可得：，， ∴， ∴， ∴总路程为． 【点睛】本题主要考查勾股定理的应用，理解题意，熟练应用勾股定理是解题关键． 答案第1页，共2页 答案第1页，共2页 学科网（北京）股份有限公司 $