22.3.3相似三角形的判定 学案 2026-2027学年沪科版数学九年级上册

该初中数学导学案聚焦相似三角形判定定理2（两边成比例且夹角相等的两个三角形相似），通过复习上节课的判定定理1，类比全等三角形的SAS、SSS判定方法，引导学生猜想新判定条件，构建前后知识脉络，形成学习支架。 资料以“猜想-证明-应用”为主线，通过合作探究让学生参与定理推导，培养推理意识，结合例题变式和分层习题，将抽象定理与具体情境结合，提升应用意识，帮助学生理解定理本质，发展几何直观与逻辑推理能力。

分课时学案 课题 22.3.2相似三角形的判定 单元 22 学科 数学 年级 九年级 学习 目标 1. 掌握相似三角形的判定定理1-两角分别相等的两个三角形相似 2. 理解相似三角形判定定理1的推导过程，并能运用定理解决简单的有关问题 3. 经历从探究到证明归纳的过程，培养学生的推理能力，渗透类比的数学思想方法 重点 掌握相似三角形的判定定理1-两角分别相等的两个三角形相似 难点 理解相似三角形判定定理1的推导过程，并能运用定理解决简单的有关问题 教学过程 导入新课 复习提问，温故孕新 上节课我们类比全等三角形的判定方法猜想了相似三角形的判定方法，并通过证明得到了相似三角形的判定定理1. 其它的猜想是否正确呢？ 新知讲解 创设情境，引入课题 问题1.有两边对应成比例的两个三角形相似吗? 问题2.类比三角形全等的判定方法（SAS,SSS），猜想可以添加什么条件来判定两个三角形相似？ 合作探究，活动领悟 猜想：两边对应成比例且夹角相等的两个三角形相似. 试着去证明猜想吧！ 已知：如图，在△ABC和△A’B’C’ 中， ，∠A =∠A， 求证：△ABC ∽ △A’B’C’. 归纳： 相似三角形的判定 定理 2 如果一个三角形的两条边与另一个三角形的两条边对应成比例，并且夹角相等，那么这两个三角形相似． 简记为：两边成比例且夹角相等的两个三角形相似． 符号语言 ： 特别提醒： 利用该定理判定三角形相似时，必须注意是 两边及夹角，即相等的角必须是成比例的两边 的夹角否则不能判定两个三角形相似. 师生互动，变式深化 例1、在△ABC和△A’B’C’中，已知AB=5,AC=3，∠A=45°。A’B’=10，A’C’=6，∠A’=45°.判断这两个三角形是否相似，并说明理由. 例2、如图，在△ABC中，点E在AB上，延长AC到点D，连接DE与BC相交于点O。 (1)当∠D满足什么条件时，△ADE∽△ABC？ (2)当AE:AC满足什么条件时，△ADE∽△ABC？ 巩固训练 尝试练习，巩固提高 1.如图，在等边三角形ABC中，点D，E分别在AC，AB边上，且AD : AC＝1 : 3，AE＝BE，则有(　　) A. △AED∽△BED B. △AED∽△CBD C. △AED∽△ABD D. △BAD∽△BCD 2.若在△ABC和△DEF中，∠A＝40°，∠D＝60°，∠E＝80°，，则∠B的度数是(　　) A. 40° B. 60° C. 80° D. 100° 3.如图，点 在 的 边上，已知 ，又 ________,则可判定 ，依据是____________________________. 3.如图， 与 相交于点 ，，，，当 _4__时， . 5.如图,在正方形 中, 是 上的点, 且 ， 是 的中点. 求证: . 作业布置 1.如图，在三角形纸片ABC中，AB＝6，BC＝8，AC＝4.沿虚线剪下的阴影部分的三角形与△ABC相似的是(　　) 2.如图，四边形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，且将这个四边形分成①②③④四个三角形.若OA·OD＝OC·OB，则下列结论中，一定正确的是(　　) A.三角形①和三角形②相似 B.三角形①和三角形③相似 C.三角形①和三角形④相似 D.三角形②和三角形④相似 3.如图，已知＝＝，AC平分∠BAD，BC＝6，则CD＝__. 4.如图，在▱ABCD中，AB＝10，AD＝6，E是AD的中点.若在AB上取一点F，当BF＝____时，△CBF∽△CDE. 5.如图，在△ABC中，点D，E分别在边AB，AC上，DC与BE相交于点O，且OD＝2，OB＝DC＝6，OE＝3.求证：△DOE∽△COB. 答案： 复习提问，温故孕新 上节课我们类比全等三角形的判定方法猜想了相似三角形的判定方法，并通过证明得到了相似三角形的判定定理1. 如果一个三角形的两个角分别与另一个三角形的两个角对应相等，那么这两个三角形相似． 简记为：两角分别相等的两个三角形相似． 其它的猜想是否正确呢？ 师生互动，变式深化 例1、在△ABC和△A’B’C’中，已知AB=5,AC=3，∠A=45°。A’B’=10，A’C’=6，∠A’=45°.判断这两个三角形是否相似，并说明理由. 解： △ABC∽△A’B’C’ 理由如下： ∵， ∴ 又∵∠A=∠A’=45° ∴△ABC∽△A’B’C’ 例2、如图，在△ABC中，点E在AB上，延长AC到点D，连接DE与BC相交于点O。 (1)当∠D满足什么条件时，△ADE∽△ABC？ (2)当AE:AC满足什么条件时，△ADE∽△ABC？ 解：(1)∵∠A=∠A ∴当∠D=∠B时， △ADE∽△ABC (2) ∵∠A=∠A ∴当AE:AC=AD:AB时， △ADE∽△ABC 课堂练习 尝试练习，巩固提高 1.如图，在等边三角形ABC中，点D，E分别在AC，AB边上，且AD : AC＝1 : 3，AE＝BE，则有(　B　) A. △AED∽△BED B. △AED∽△CBD C. △AED∽△ABD D. △BAD∽△BCD 2.若在△ABC和△DEF中，∠A＝40°，∠D＝60°，∠E＝80°，，则∠B的度数是(　B　) A. 40° B. 60° C. 80° D. 100° 3.如图，点 在 的 边上，已知 ，又 ___CAB__,则可判定 ，依据是__两边成比例且夹角相等的两个三角形相似__. 3.如图， 与 相交于点 ，，，，当 _4__时， . 5.如图,在正方形 中, 是 上的点, 且 ， 是 的中点. 求证: . 证明： ∵四边形 ABCD 是正方形， ∴ ∠C=∠D=90°，BC=CD=AD. ∵Q为CD的中点，  ∴ CQ=DQ=CD=AD. ∵ BP=3CP，∴ CP=BC=CD. ∴ CP=DQ. ∴ . 又 ∠C=∠D， ∴△CPQ∽△DQA. 作业设计 1.如图，在三角形纸片ABC中，AB＝6，BC＝8，AC＝4.沿虚线剪下的阴影部分的三角形与△ABC相似的是(　B　) 2.如图，四边形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，且将这个四边形分成①②③④四个三角形.若OA·OD＝OC·OB，则下列结论中，一定正确的是(　B　) A.三角形①和三角形②相似 B.三角形①和三角形③相似 C.三角形①和三角形④相似 D.三角形②和三角形④相似 3.如图，已知＝＝，AC平分∠BAD，BC＝6，则CD＝_8_. 4.如图，在▱ABCD中，AB＝10，AD＝6，E是AD的中点.若在AB上取一点F，当BF＝__1.8__时，△CBF∽△CDE. 5.如图，在△ABC中，点D，E分别在边AB，AC上，DC与BE相交于点O，且OD＝2，OB＝DC＝6，OE＝3.求证：△DOE∽△COB. 证明：∵OD＝2，OB＝DC＝6，OE＝3， ∴OC＝DC－OD＝6－2＝4， ∴＝＝，＝＝， ∴＝. ∵∠DOE＝∠COB， ∴△DOE∽△COB. 学科网（北京）股份有限公司 $