精品解析：福建省泉州第五中学2025-2026学年高二下学期数学期末模拟试题2

**基本信息** 本卷以科技前沿（如人机武术对抗赛）、文化传承（杨辉三角）为情境，通过梯度化问题设计，考查函数导数、概率统计等核心知识，体现数学思维与数据观念。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |单选|8/40|二项式定理、正态分布|基础巩固，如第1题二项式系数计算| |多选|3/18|散点图回归分析、函数性质|综合辨析，如第9题残差平方和判断| |填空|3/15|切线方程、独立性检验|创新应用，如第13题疫苗效果检验| |解答|5/77|导数证明、概率分布列|实际建模，如第17题饮品销量预测；逻辑推理，如第19题导数不等式证明|

绝密★启用前 数学 姓名_____________ 准考证号_____________________ 全卷共4页，满分150分，考试时间120分钟． 考生注意： 1．答题前，请务必将自己的姓名、准考证号用黑色字迹的签字笔或钢笔分别填写在试题卷和答题纸规定的位置上． 2．答题时，请按照答题纸上“注意事项”的要求，在答题纸相应的位置上规范作答，在本试题卷上的作答一律无效． 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 在的二项展开式中，第4项的二项式系数是（　　） A. 56 B. C. 70 D. 2. 某工厂生产的某批产品的质量指标服从正态分布，质量指标大于或等于20的产品为优等品，且优等品出现的概率为0.1，现从该批产品中随机抽取6件，用表示这6件产品的质量指标不在区间的产品件数，则（ ） A. 0.2 B. 0.6 C. 0.8 D. 1.2 3. 已知，是两个随机事件，若，，，记，则（ ） A. B. C. D. 4. 设随机变量服从正态分布，若，则函数有极值点的概率为（ ） A. 0.2 B. 0.3 C. 0.4 D. 0.5 5. 将标有5，5，2，3，4，6的六张数字卡片分成甲，乙，丙三组，要求每组都有奇数数字卡片与偶数数字卡片，则不同的分法总数为（ ） A. 12 B. 36 C. 24 D. 18 6. 已知函数在上单调递增，则和的取值不可能是（ ） A. ， B. ， C. ， D. ， 7. 已知函数是定义在上的连续可导函数，且的导函数为，为奇函数，设，且，则（ ） A. B. C. D. 8. 已知关于的不等式在上恒成立，则实数的取值范围为（ ） A. B. C. D. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 如图是由个样本数据得到的散点图，根据这个样本数据建立y关于x的经验回归方程.下列说法正确的是（ ） A. 样本数据、、、、的平均数为 B. 去掉后，残差平方和变小 C. 经验回归直线经过点 D. 相关系数用来衡量两个变量之间线性关系的强弱，越接近于，相关性越弱 10. 已知函数，则下列说法正确的有（ ） A. 若，则存在极值点 B. 若是增函数，则 C. 曲线是中心对称图形 D. 存在，使得有三个不同的零点 11. 小郡玩一种跳棋游戏，一个箱子中装有大小质地均相同的且标有的10个小球，每次随机抽取一个小球并放回，规定：若每次抽取号码小于或等于5的小球，则前进1步，若每次抽取号码大于5的小球，则前进2步.每次抽取小球互不影响，记小郡一共前进步的概率为，则下列说法正确的是（ ） A. B. C. D. 小华一共前进3步的概率最大 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 若曲线存在过原点的切线，则实数的取值范围为________ 13. 为了考查一种新疫苗预防某X疾病的效果，研究人员对一地区某种动物进行试验，从该试验群中随机进行了抽查，已知抽查的接种疫苗的动物数量是没接种疫苗的2倍，接种且发病占接种的，没接种且发病的占没接种的，若本次抽查得出“在犯错误的概率不超过0.05的前提下认为接种该疫苗与预防某X疾病有关”的结论，则被抽查的没接种动物至少有_______________只. 0.10 0.05 0.01 0.005 0.001 2.706 3.841 5.635 7.879 10.828 14. 我国南宋数学家杨辉在1261年所著的《详解九章算法》一书里给出了著名的“杨辉三角”，它揭示了展开式的项数及各项系数的规律，这是我国数学史上的一个伟大成就．在如图所示的“杨辉三角”中，第10行从左到右第4个数是______；记第行从左到右第个数为，则______． 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 已知函数． （1）当时，讨论的单调性； （2）若对任意的，恒成立，求m的取值范围． 16. 根据统计数据，某会员店的本地会员占，外地会员占.现对该店会员开展商品质量满意度调查，如果会员是本地会员，他对该店商品质量满意的概率为；如果会员是外地会员，他对该店商品质量满意的概率为.每个会员对该店商品质量满意与否相互独立. （1）从该店所有会员中随机抽取1名会员，求其对该店商品质量满意的概率； （2）从该店所有会员中随机抽取3名会员，记这3名会员中对该店商品质量满意的人数为，求的分布列与数学期望. 17. 某饮品店推出一款网红饮品，记录上市第天的销量（单位：杯），数据如下： 1 2 3 4 5 130 170 220 280 350 （1）求样本相关系数；（精确到0.01） （2）求关于的经验回归方程，并预测第7天该饮品的销量． 附：，，，，样本相关系数，经验回归方程中回归系数与回归截距分别为，． 18. 2026年马年春晚《武BOT》节目中，宇树科技的人形机器人与塔沟武校的少年武者进行了一场人机武术对抗赛．假设每局比赛中，机器人获胜的概率为，少年武者获胜的概率为，且每局胜负相互独立．比赛采用局胜制（即先赢得局者获胜）． （1）当时，记结束比赛时的局数为，求的分布列和数学期望； （2）设在该赛制下机器人获胜的概率为． ①求和的值，并比较它们的大小，据此说明和哪种赛制对机器人更有利； ②随着的增大，机器人获胜的可能性如何变化？证明你的结论． 19. 已知． （1）求曲线在点处的切线方程； （2）当时，证明； （3）求实数的最大可能值，使得对任意的都成立． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 绝密★启用前 数学 姓名_____________ 准考证号_____________________ 全卷共4页，满分150分，考试时间120分钟． 考生注意： 1．答题前，请务必将自己的姓名、准考证号用黑色字迹的签字笔或钢笔分别填写在试题卷和答题纸规定的位置上． 2．答题时，请按照答题纸上“注意事项”的要求，在答题纸相应的位置上规范作答，在本试题卷上的作答一律无效． 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 在的二项展开式中，第4项的二项式系数是（　　） A. 56 B. C. 70 D. 【答案】A 【解析】 【分析】由二项式的展开式即可求解. 【详解】第4项的二项式系数为． 2. 某工厂生产的某批产品的质量指标服从正态分布，质量指标大于或等于20的产品为优等品，且优等品出现的概率为0.1，现从该批产品中随机抽取6件，用表示这6件产品的质量指标不在区间的产品件数，则（ ） A. 0.2 B. 0.6 C. 0.8 D. 1.2 【答案】D 【解析】 【分析】根据正态分布的对称性求出质量指标不在区间的概率，结合条件可得随机变量服从二项分布，根据二项分布的均值公式求解即可. 【详解】因为工厂生产的某批产品的质量指标服从正态分布， ，根据正态曲线的对称性，得， 所以1件产品的质量指标不在区间的概率为， 根据题意，故. 3. 已知，是两个随机事件，若，，，记，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】由及求得，再由概率的性质、条件概率的求法求概率. 【详解】由，则，故， 由，则，且， 所以. 4. 设随机变量服从正态分布，若，则函数有极值点的概率为（ ） A. 0.2 B. 0.3 C. 0.4 D. 0.5 【答案】C 【解析】 【分析】根据题意得有变号的根，从而求出的取值范围，进而根据正态分布的对称性求解即可． 【详解】由有极值点， 则有变号的根， 则，解得， 又随机变量服从正态分布，且， 则， 所以， 所以函数有极值点的概率为． 5. 将标有5，5，2，3，4，6的六张数字卡片分成甲，乙，丙三组，要求每组都有奇数数字卡片与偶数数字卡片，则不同的分法总数为（ ） A. 12 B. 36 C. 24 D. 18 【答案】D 【解析】 【分析】找出分组组合后分配给甲，乙，丙三组. 【详解】分组组合有，，三种， 所以不同的分法总数有种. 6. 已知函数在上单调递增，则和的取值不可能是（ ） A. ， B. ， C. ， D. ， 【答案】C 【解析】 【分析】对函数求导，把函数在区间内单调递增转化为导数在区间内恒大于等于零，进而求出的关系，再逐一分析选项，判断不可能取值． 【详解】函数求导得，若在单调递增， 则在恒成立， 令，则，解得， 选项A：，符合条件； 选项B：，符合条件； 选项C：，不符合条件； 选项D：，符合条件． 7. 已知函数是定义在上的连续可导函数，且的导函数为，为奇函数，设，且，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据为奇函数，确定的图象关于中心对称，根据复合函数求导确定的图象关于轴对称，进而确定函数周期，即可求解. 【详解】是奇函数，所以， 即， 且，又，所以， 因为，即， 即，令，得， 即， 即，则关于直线对称， 可得， 可得 则，故函数是周期为4的函数， ， 所以 8. 已知关于的不等式在上恒成立，则实数的取值范围为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】不等式整理为，构造函数，用导函数判断函数单调性，再取对数变量分离，再令，求导函数进而求最值可得. 【详解】由，得，令， 则不等式变形为在上恒成立. 因为，再令，则， 当时，，单调递减；当时，，单调递增； ，即，所以在上单调递增， 因此，由得，即，所以不等式在上恒成立. 设，， 当时，，单调递增；当时，，单调递减. 所以，所以. 因此实数的取值范围为. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 如图是由个样本数据得到的散点图，根据这个样本数据建立y关于x的经验回归方程.下列说法正确的是（ ） A. 样本数据、、、、的平均数为 B. 去掉后，残差平方和变小 C. 经验回归直线经过点 D. 相关系数用来衡量两个变量之间线性关系的强弱，越接近于，相关性越弱 【答案】ABC 【解析】 【分析】利用平均数公式可判断A选项；利用回归直线拟合效果与残差平方和的关系可判断B选项；利用经验回归直线过样本中心点可判断C选项；利用相关系数与相关性的关系可判断D选项. 【详解】对于A选项，由题意可知样本数据、、、、的平均数为，A对； 对于B选项，去掉后，回归直线的拟合效果越好，残差平方和变小，B对； 对于C选项，由题意可得， 故经验回归直线经过点，C对； 对于D选项，相关系数用来衡量两个变量之间线性关系的强弱， 越接近于，相关性越强，D错. 故选：ABC. 10. 已知函数，则下列说法正确的有（ ） A. 若，则存在极值点 B. 若是增函数，则 C. 曲线是中心对称图形 D. 存在，使得有三个不同的零点 【答案】ABC 【解析】 【分析】对于A，将代入，求导判断函数是否存在极值点；对于B，求导，根据是增函数得到在上恒成立，分离参数，令，求出的最大值，进而得到的取值范围；对于C，根据函数的对称性进行判断；对于D分两种情况讨论极值点个数，对于，利用导数求出函数的极大值，求出极大值的取值范围进行判断. 【详解】函数的定义域为， 对于A， 当时，， 所以， 所以当时，，当时，， 当时，，所以存在极值点，A正确； 对于B，， 若是增函数，则在上恒成立， 即在上恒成立，令， 因为在上单调递减，在上单调递增， 且在上恒成立， 所以，所以，故B正确； 对于C，， 所以， 所以函数关于点对称，C正确； 对于D，由B选项可知，当时，函数单调递增，最多有一个零点， 当时，令，则，等价于， ， 所以方程有两个不同的实数根， 由韦达定理，故， 所以在上单调递增，在 上单调递减，在上单调递增， 所以的极大值为 又是极值点，所以，即， 所以， 令，则， 设，则在上恒成立， 所以在上单调递增，所以， 即，所以在上恒小于0，故最多两个不同的零点， 即不存在使有三个不同的零点，故D错误. 11. 小郡玩一种跳棋游戏，一个箱子中装有大小质地均相同的且标有的10个小球，每次随机抽取一个小球并放回，规定：若每次抽取号码小于或等于5的小球，则前进1步，若每次抽取号码大于5的小球，则前进2步.每次抽取小球互不影响，记小郡一共前进步的概率为，则下列说法正确的是（ ） A. B. C. D. 小华一共前进3步的概率最大 【答案】BC 【解析】 【分析】根据题意直接求概率判断选项A，然后根据题意求出递推公式即可判断选项B，根据递推公式判断数列是首项为，公比为的等比数列，求通项公式判断选项C，分类讨论求解概率通项的最大值判断D. 【详解】根据题意，小郡前进1步的概率和前进2步的概率都是，所以，， 故选项A错误； 当时，其前进几步是由两部分组成：先前进步，再前进1步，其概率为， 或者先前进步，再前进2步，其概率为，所以， 故选项B正确； 因为，所以， 而，所以，即， 故选项C正确； 因为当时，，所以， 又，所以数列是首项为，公比为的等比数列. 所以，所以. 当n为奇数时，为偶数，则，此时数列单调递增，所以； 当n为偶数时，为奇数，则，此时数列单调递减， 所以； 综上，当时，概率最大，即小华一共前进2步的概率最大，故选项D错误. 故选：BC 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 若曲线存在过原点的切线，则实数的取值范围为________ 【答案】 【解析】 【分析】设曲线上任意一点为，将问题转化为方程有解，据此可得答案. 【详解】设曲线上任意一点为，则. 因，则曲线在的切线方程为： . 因存在切线过原点，将代入切线方程，得方程有解. 因，则方程有解或. 13. 为了考查一种新疫苗预防某X疾病的效果，研究人员对一地区某种动物进行试验，从该试验群中随机进行了抽查，已知抽查的接种疫苗的动物数量是没接种疫苗的2倍，接种且发病占接种的，没接种且发病的占没接种的，若本次抽查得出“在犯错误的概率不超过0.05的前提下认为接种该疫苗与预防某X疾病有关”的结论，则被抽查的没接种动物至少有_______________只. 0.10 0.05 0.01 0.005 0.001 2.706 3.841 5.635 7.879 10.828 【答案】36 【解析】 【分析】设没接种只数为，列出2×2列联表后计算，可得，即可得的最小值. 【详解】设没接种只数为k，依题意，得2×2列联表如下： 发病 没发病 合计 接种 没接种 合计 则的观测值为：， 因为本次调查得出“在犯错误的概率不超过0.05的前提下认为接种该疫苗与预防某X疾病有关”的结论， 于是，即， 即， ∴，即被抽查的没接种动物至少有36只． 14. 我国南宋数学家杨辉在1261年所著的《详解九章算法》一书里给出了著名的“杨辉三角”，它揭示了展开式的项数及各项系数的规律，这是我国数学史上的一个伟大成就．在如图所示的“杨辉三角”中，第10行从左到右第4个数是______；记第行从左到右第个数为，则______． 【答案】 ①. 120 ②. 【解析】 【分析】通过题意分析出，使用二项式定理与组合数的性质求解. 【详解】第10行从左到右第4个数是； 由题意知，， 令，则，当从1到时，从0到，则， ，由二项式定理，令得， 则， 所以． 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 已知函数． （1）当时，讨论的单调性； （2）若对任意的，恒成立，求m的取值范围． 【答案】（1）在上单调递减，在上单调递增 （2） 【解析】 【分析】（1）对函数求导，分析导函数的符号，从而可判断函数的单调性； （2）先对不等式进行变形分离参数，再构造函数借助导数找到函数的最小值，从而得到m的取值范围. 【小问1详解】 当时，，则． 由，得， 所以当时，，单调递减， 当时，，单调递增， 所以在上单调递减，在上单调递增． 【小问2详解】 由，得．因，则得， 依题意，只需即可. 设函数，则，由，得， 所以当时，，单调递减， 当时，，单调递增， 所以，即， 所以，即的取值范围为． 16. 根据统计数据，某会员店的本地会员占，外地会员占.现对该店会员开展商品质量满意度调查，如果会员是本地会员，他对该店商品质量满意的概率为；如果会员是外地会员，他对该店商品质量满意的概率为.每个会员对该店商品质量满意与否相互独立. （1）从该店所有会员中随机抽取1名会员，求其对该店商品质量满意的概率； （2）从该店所有会员中随机抽取3名会员，记这3名会员中对该店商品质量满意的人数为，求的分布列与数学期望. 【答案】（1） （2） 的分布列为： 0 1 2 3 数学期望 【解析】 【分析】（1）运用全概率公式，将“抽取1名会员满意”拆分为本地会员满意、外地会员满意两个互斥事件，分别计算概率后求和； （2）先判断服从二项分布，再依据二项分布的概率公式计算分布列，利用二项分布期望公式求期望. 【小问1详解】 设事件表示“随机抽取1名会员对该店商品质量满意”，事件表示“抽取的会员为本地会员”， 事件表示“抽取的会员为外地会员”， 由题意得，，， 则. 【小问2详解】 从所有会员中随机抽取3名，每名会员满意的概率均为，且各会员满意与否相互独立， 因此随机变量，的可能取值为， 由二项分布概率公式，可得： ，  ，  ， ， 所以的分布列为 根据二项分布的期望公式，代入得：. 17. 某饮品店推出一款网红饮品，记录上市第天的销量（单位：杯），数据如下： 1 2 3 4 5 130 170 220 280 350 （1）求样本相关系数；（精确到0.01） （2）求关于的经验回归方程，并预测第7天该饮品的销量． 附：，，，，样本相关系数，经验回归方程中回归系数与回归截距分别为，． 【答案】（1）样本相关系数约为 （2）经验回归方程为，第7天该饮品的销量预测为450杯 【解析】 【分析】（1）计算出和的样本均值，代入公式求解即可. （2）求出回归系数与截距，得到经验回归方程，代入即可完成销量预测. 【小问1详解】 样本均值，， 则， ， 因此. 【小问2详解】 回归系数， 截距， 故经验回归方程为. 将代入回归方程，得， 即第7天销量预测为450杯. 18. 2026年马年春晚《武BOT》节目中，宇树科技的人形机器人与塔沟武校的少年武者进行了一场人机武术对抗赛．假设每局比赛中，机器人获胜的概率为，少年武者获胜的概率为，且每局胜负相互独立．比赛采用局胜制（即先赢得局者获胜）． （1）当时，记结束比赛时的局数为，求的分布列和数学期望； （2）设在该赛制下机器人获胜的概率为． ①求和的值，并比较它们的大小，据此说明和哪种赛制对机器人更有利； ②随着的增大，机器人获胜的可能性如何变化？证明你的结论． 【答案】（1） （2）①，，， 时，5局3胜制对机器人更有利 ②随着的增大，机器人获胜的可能性越来越大． 证明如下： 由题意得局中只要率先赢下胜即可赢得比赛, 若提前决出胜负后仍继续进行剩余比赛，则最终总胜局数与比赛最终胜者保持一致， 因此可等价地把比赛视为打满局，因为要获胜，所以的取值范围必须是从一直累加到最高， 所以 下面讨论局与前局的递推关系：（用先打局，再打2局的方法） （ⅰ）若前局中机器人恰好赢了局，则后两场机器人都要赢才能获胜， 其概率为，即 （ⅱ）若前局中机器人恰好赢了局，则后两场机器人至少要赢一场才能获胜， 其获胜概率为，即 （ⅲ）若前局中机器人至少赢了局，则后两场机器人无论输赢都获胜， 其获胜概率为 ， ， ，，即． 【解析】 【分析】（1）由题意结合二项分布得出的分布列，进而可求数学期望; （2）①针对具体的局数赛制，利用“前几局随机排列，最后一局必须由胜者定序”的原则，分别计算出与并直接比较大小得出结论.②使用“全场打满（等效替代）”的思想将动态提前结束的赛制转化为静态的二项分布求和，随后通过分类讨论建立与的递推关系，最后作差证明其差值大于零. 【小问1详解】 当时，赛制为三局两胜制，故的可能取值为，， ， ， 所以的分布列为： 【小问2详解】 ①因为每局比赛中，机器人获胜的概率为， 由题可知为3局2胜制时，机器人获胜的概率，机器人获胜的情形有两种：或， 所以， 为5局3胜制时，机器人获胜的概率，机器人获胜的情形有三种：或或， ， 所以， 所以时，5局3胜制对机器人更有利 ②略 19. 已知． （1）求曲线在点处的切线方程； （2）当时，证明； （3）求实数的最大可能值，使得对任意的都成立． 【答案】（1） （2）方法一：令，则， 当时，，，则， 所以在上单调递增，则， 所以在上恒成立，即在上恒成立； 当时，令，所以， 因为和在上单调递增，则在上单调递增， 所以， 因为，所以，所以，由于， 所以，则在上单调递增， 则，即在恒成立， 所以在上单调递减， 所以，即在成立， 故在成立， 综上，在上恒成立， 方法二：要证，即证，可得， 令，，则， 设，， 当时，则， 当时，则， 因为，则，可得，则， 可知在内单调递减，且， 则当时，，即；当时，，即； 综上所述：当时，；当时，； 可知在内单调递增，在内单调递减，则， 所以在内恒成立， 且，即在内恒成立， 所以在上恒成立. （3） 【解析】 【分析】（1）利用导数的几何意义，以及直线的点斜式方程求解即可； （2）方法一：令，利用导数研究在上的单调性以及最值即可证明结论； 方法二：比值构造法 构建，，求导，分和两种情况讨论，利用导数分析的单调性和最值，即可证明不等式. （3）利用导数证明，分和两种情况讨论不等式是否成立. 【小问1详解】 由于， 所以，， 则曲线在点处的切线方程为：， 即； 【小问2详解】 略 【小问3详解】 ①当时，设 构造函数， 则， 令， 所以， 由于在上单调递增， 所以，则在上单调递减， 故，则在上单调递减， 则在上恒成立，即在上恒成立； 令，所以， 所以在上单调递增，则，当且仅当时取等， 即在上恒成立. 故， 令，则， 对于，令，则， 变形得， 裂项求和得， 对题设不等式左边取对数放缩： ， 对题设不等式右边取对数放缩：： 当时，，此时右侧大于左侧，不等式不恒成立，所以不满足条件； ②当时，若,恒成立， 此时原不等式右侧，只需证明：， 由（2）问结论可得： 对于二项式展开， 两边取对数，， 又 因此， 所以原不等式成立，则的最大值为 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $