精品解析：福建省南安市第一中学2024-2025学年高二下学期期末考试数学试题

南安一中2024-2025学年度下学期高二期末考 数学科试卷 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 已知角的终边经过点，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】由任意角的三角函数的定义结合和角公式求解即可. 【详解】因为角的终边经过点，则，. 所以. 故选：B 2. 设且，则“”是“”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】A 【解析】 【分析】根据题意，利用不等式的解法，求得不等式的解集，结合充分条件、必要条件的判定方法，即可求解. 【详解】由不等式，可得， 解得或， 所以“”是“”的充分不必要条件. 故选：A. 3. 若实数满足，则的最大值为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】由指数运算可得，再由二次函数可得的最大值. 【详解】因为，所以，即， 故，即，当且仅当时等号成立， 故的最大值为， 故选：D. 4. 若，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】利用二倍角公式以及弦化切可求得所求代数式的值. 【详解】 . 故选：B. 5. 设，，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据指数函数、对数函数及正弦函数的性质判断即可. 【详解】，， 又，所以，所以， 所以. 故选：B. 6. 已知函数 的定义域为 ，若 为偶函数， 为奇函数，则下列式子中一定是定值的为 （ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】通过已知为偶函数和为奇函数得出相应等式，再经过等式推导得出函数的周期，最后利用周期计算的值. 【详解】因为为偶函数，可得，也就是. 因为为奇函数，可得，也就是. 令代入，可得，所以. 由和，可得. 则，即. 则. 又因为，所以，所以函数的周期是. 因为，可得， 又因为前面已求得，所以. 故选：D. 7. 如图所示，某同学为了测量某塔高度，在塔对面笔直的临江大道上的三点，，处测得其顶点的仰角分别为，，（即点，，为水平地面上共线的三点），且米，则该塔的高度（ ）米 A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】设，利用直角三角形边角关系可得，再利用余弦定理列式求解. 【详解】设，依题意，，而， 由，得， 在，中，由余弦定理得：， 解得，所以该建筑的高度米. 故选：C 8. 如图，A，B是直线与函数图象的两个交点，若，则（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】设，利用求出，由求出，得到，再求即可. 【详解】设，则， 由得，， 所以，即，解得，所以， 由得， 可得， 所以， 当是偶数时，， 所以，由图知，而所以不符合题意； 当是奇数时， ， ，由图知，，所以符合题意， 所以. 综上，. 故选：D. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，有选错的得0分，部分选对的得部分分. 9. 关于函数，下列说法中正确的有（     ） A. 是奇函数 B. 在区间上单调递增 C. 为其图象的一个对称中心 D. 最小正周期为 【答案】BC 【解析】 【分析】根据正切型函数的性质及奇偶性定义判断各项的正误即可. 【详解】令，则，A错； 由，则，故在上单调递增，B对； 由，显然是的一个对称中心，C对； 由正切型函数的性质知，的最小正周期为，D错. 故选：BC 10. 记的内角的对边分别为，，，为边的中点，则下列说法正确的是（     ） A. 若，则是等边三角形 B. 若，则是直角三角形 C. 若，则是锐角三角形 D. 若，则是钝角三角形 【答案】BD 【解析】 【分析】利用正弦定理可得，结合条件可判断A；根据正弦定理可得进而判断B；利用特值法可判断C；根据及余弦定理结合条件可判断D. 【详解】对于A，由正弦定理可得，故， 而为三角形内角，故为直角，故是等腰三角形，不足以推出等边三角形，故A错误； 对于B，因为，由正弦定理得，所以中线等于斜边的一半，故是直角三角形，故B正确； 对于C，取，则，，因为，故存在，故存在， 此时由余弦定理得，故三角形内角为钝角，故是钝角三角形，故C错误； 对于C，因为，故，故， 由余弦定理可得， 故，故三角形内角为钝角，故是钝角三角形，故D正确； 故选：BD 11. 德国著名数学家狄利克雷第一个引入了现代函数的概念，是解析数论的创始数的发现改变了数学家们对 “函数是连续的”的认识，也使数学家们更加认可函数的对应说定义，关于函数，有以下四个命题，其中真命题是 （ ） A. 函数是奇函数 B. ，， C. 函数是偶函数 D. ，， 【答案】BCD 【解析】 【分析】取为有理数计算判断A；取计算判断B；求出，再利用奇偶性定义判断C；按是有理数、无理数计算判断D. 【详解】对于A，若是有理数，则也是有理数，则，因此不是奇函数，A错误； 对于B，当时，， ，此时，B正确； 对于C，若是有理数，则；若是无理数，， 于是，又，则，因此， 所以函数是偶函数，正确； 对于D，若是有理数，，则均是有理数，则； 若是无理数，，则均是无理数，则， 因此，D正确. 故选：BCD 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 若命题“，使得成立”为假命题，则实数的取值范围是_________． 【答案】 【解析】 【分析】分析可知方程无解，结合判别式运算求解即可. 【详解】因为命题“，使得成立”为假命题， 可知方程无解，则，解得， 所以实数的取值范围是. 故答案为：. 13. 某班有30人，其中15人喜爱篮球运动，10人喜爱乒乓球运动，8人对这两项运动都不喜爱，则喜爱乒乓球运动但不喜爱篮球运动的人数为________． 【答案】 【解析】 【分析】根据集合中的容斥原理求出喜爱乒乓球，也喜爱篮球的人数，即可求解. 【详解】 设喜爱篮球运动的人构成集合，喜爱乒乓球运动的人构成集合, 由题意可得：人，人，人， 由容斥原理可知：， 即 ，所以人， 所以喜爱乒乓球，也喜爱篮球的人数为人， 所以喜爱乒乓球运动但不喜爱篮球运动的人数为：人， 故答案为：． 14. 已知，点，，点，在图象上，若四边形为平行四边形，则的面积为________． 【答案】12 【解析】 【分析】根据给定条件，利用函数的图象与平行四边形都是中心对称图形可得胡相同的对称中心，再求出的面积即可. 【详解】函数的定义域为R，， 则函数的图象是以原点为对称中心的中心对称图形，而是中心对称图形， 又点都在函数的图象上，因此的对称中心为原点， 而点，则，， ，， 所以. 故答案为：12 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. 15. 设，函数． （1）求不等式的解集； （2）若曲线与轴所围成的图形的面积为2，求． 【答案】（1） （2）2 【解析】 【分析】（1）分和讨论即可; （2）写出分段函数,画出草图,表达面积解方程即可. 【小问1详解】 若,则, 即,解得,即, 若,则, 解得,即, 综上,不等式的解集为. 【小问2详解】 . 画出的草图,则与轴围成, 的高为,所以, 所以,解得. 16. 在四边形中，，，，． （1）若，求与； （2）若，求． 【答案】（1），； （2）. 【解析】 【分析】（1）根据给定条件，利用余弦定理、正弦定理列式求解. （2）法1，利用正弦定理，结合和差角的正弦列式求解；法2，利用平行线推比例式，结合直角三角形边角关系及和角的正切列式求解. 【小问1详解】 在中，由余弦定理得， 即，解得， 在四边形中，由，得， 在中，由正弦定理得， 所以. 【小问2详解】 法1，设，由，得， 由，，得，， 在中，由正弦定理得，即， 在中，，由正弦定理得，即， 因此，即， 整理得，即，而，解得， 所以. 法2，设与相交于，由，在中，设，则， 由，得，则，在中，， 由，得， 令，则，而，解得， 所以． 17. 已知函数，是的导函数，且． （1）若曲线在处的切线为，求k，b的值； （2）在（1）的条件下，证明：． 【答案】（1），； （2） 设函数，， 则， 设，则， 所以，当时，，单调递增． 又因为， 所以，时，，单调递增； 时，，单调递减． 又当时，， 综上在上单调递减，在上单调递增， 所以当时，取得最小值， 即， 所以，当时，． 【解析】 【分析】（1）根据题意，求导可得的值，再由导数意义可求切线，得到答案； （2）设函数，利用导数研究函数的单调性从而求出最小值大于0，可得证. 【小问1详解】 因为，所以， 因为，所以． 则曲线在点处的切线斜率为． 又因为， 所以曲线在点处的切线方程为， 即得，． 【小问2详解】 略 18. 在锐角中，角，，所对的边分别为，，，且满足 . 请从条件①、条件②中选择一个条件补充至横线处，并解决下列问题： 条件：①；②. （1）证明：； （2）若的平分线交于，，，求的值； （3）求的取值范围. 注：如果选择多个条件解答，按第一个解答计分. 【答案】（1）证明如下： 若选①：因为，由正弦定理得， 因为， 所以， 所以， 所以，或（舍去），即； 若选②：由正弦定理及， 得， 所以， 所以， 因为，所以， 所以或（舍去）， 所以； （2） （3） 【解析】 【分析】（1）根据正弦定理进行边角互化，再结合三角恒等变换可得证； （2）结合角分线的性质及三角形面积公式可得，即可得解； （3）利用正弦定理进行边角互化，再结合三角函数性质及基本初等函数的单调性可得取值范围. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 因为，为锐角， 所以，， 因为， 所以， 所以， 所以，； 【小问3详解】 由是锐角三角形，，，，可得， 所以， ， 令，则，在上单调递增， 而，， 所以， 所以. 19. 函数的最小正周期为，为该函数的一个对称中心. （1）求函数的解析式； （2）当时，设的最大值为，求的值域； （3）把曲线向右平移个单位，再把曲线上各点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变，得到曲线.试问当时，，，能否作为三边长？若能，给出证明，并探究的外接圆的半径是否为定值？若不能，请说明理由. 【答案】（1）， （2） （3）能，证明：把曲线向右平移个单位，再把曲线上各点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变，得到， 当时，可以作为三边长， 将问题转化为证明任意两数之和大于第三个数. 先证明：， 由题意可知，， ，，， , ， 故， 同理， 又. 综上能作为三边长. 设当作边时所对的角为， 则 ， 又因为，， 所以，， 由正弦定理可得，的外接圆的直径为， 即为定值. 【解析】 【分析】（1）由函数的最小正周期求出，再将代入解析式并结合的范围可得的值，从而得到函数解析式； （2）的值域即为在区间上最大值与最小值之差的取值范围，分的对称轴在区间内和不在区间内分别讨论可得结果； （3）图象变换得的解析式，再根据三角变换可证任意两数和大于第三个数，结合余弦定理可证外接圆的半径为定值. 【小问1详解】 函数的最小正周期为， 则， 又，则，， 又，，所以. 【小问2详解】 的值域即为在区间上最大值与最小值之差的取值范围. ①若的对称轴在区间内，不妨设对称轴在内， 则的最大值为1，当，即时， 的最小值为. ②若的对称轴不在区间内，则在区间内单调，在两端点处取得最大值与最小值， 则 ， 故函数在区间上的最大值与最小值之差的取值范围为，即的值域为. 【小问3详解】 略 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 南安一中2024-2025学年度下学期高二期末考 数学科试卷 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 已知角的终边经过点，则（ ） A. B. C. D. 2. 设且，则“”是“”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 3. 若实数满足，则的最大值为（ ） A. B. C. D. 4. 若，则（ ） A. B. C. D. 5. 设，，，则（ ） A. B. C. D. 6. 已知函数 的定义域为 ，若 为偶函数， 为奇函数，则下列式子中一定是定值的为 （ ） A. B. C. D. 7. 如图所示，某同学为了测量某塔高度，在塔对面笔直的临江大道上的三点，，处测得其顶点的仰角分别为，，（即点，，为水平地面上共线的三点），且米，则该塔的高度（ ）米 A. B. C. D. 8. 如图，A，B是直线与函数图象的两个交点，若，则（ ） A. B. C. D. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，有选错的得0分，部分选对的得部分分. 9. 关于函数，下列说法中正确的有（     ） A. 是奇函数 B. 在区间上单调递增 C. 为其图象的一个对称中心 D. 最小正周期为 10. 记的内角的对边分别为，，，为边的中点，则下列说法正确的是（     ） A. 若，则是等边三角形 B. 若，则是直角三角形 C. 若，则是锐角三角形 D. 若，则是钝角三角形 11. 德国著名数学家狄利克雷第一个引入了现代函数的概念，是解析数论的创始数的发现改变了数学家们对 “函数是连续的”的认识，也使数学家们更加认可函数的对应说定义，关于函数，有以下四个命题，其中真命题是 （ ） A. 函数是奇函数 B. ，， C. 函数是偶函数 D. ，， 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 若命题“，使得成立”为假命题，则实数的取值范围是_________． 13. 某班有30人，其中15人喜爱篮球运动，10人喜爱乒乓球运动，8人对这两项运动都不喜爱，则喜爱乒乓球运动但不喜爱篮球运动的人数为________． 14. 已知，点，，点，在图象上，若四边形为平行四边形，则的面积为________． 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. 15. 设，函数． （1）求不等式的解集； （2）若曲线与轴所围成的图形的面积为2，求． 16. 在四边形中，，，，． （1）若，求与； （2）若，求． 17. 已知函数，是的导函数，且． （1）若曲线在处的切线为，求k，b的值； （2）在（1）的条件下，证明：． 18. 在锐角中，角，，所对的边分别为，，，且满足 . 请从条件①、条件②中选择一个条件补充至横线处，并解决下列问题： 条件：①；②. （1）证明：； （2）若的平分线交于，，，求的值； （3）求的取值范围. 注：如果选择多个条件解答，按第一个解答计分. 19. 函数的最小正周期为，为该函数的一个对称中心. （1）求函数的解析式； （2）当时，设的最大值为，求的值域； （3）把曲线向右平移个单位，再把曲线上各点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变，得到曲线.试问当时，，，能否作为三边长？若能，给出证明，并探究的外接圆的半径是否为定值？若不能，请说明理由. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $