精品解析：福建省漳州市第二中学2025-2026学年第二学期高二年段期末考试数学试卷

2025-2026学年第二学期高二年段期末考数学试卷 考试时间：120分钟 满分：150分 命题人：高二数学备课组 一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分. 1. 已知点M在z轴上，且点M到点与到点的距离相等，则点M的坐标为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据z轴上点的特点，结合空间两点间距离公式进行求解即可. 【详解】因为点M在z轴上，所以设点M的坐标为， 因为点M到点与到点的距离相等， 所以， 两边同时平方，解得，所以点M的坐标为. 2. 已知集合，则（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】首先分别求解出、两个集合，然后再根据集合交集的定义进行运算即可. 【详解】由于，故， ，，即，故， 因此，即. 故选：C 3. “幂函数在上为增函数”是“函数为奇函数”的（ ）条件 A. 充分不必要 B. 必要不充分 C. 充分必要 D. 既不充分也不必要 【答案】A 【解析】 【分析】要使函数是幂函数，且在上为增函数，求出，可得函数为奇函数，即充分性成立；函数为奇函数，求出，故必要性不成立，可得答案. 【详解】要使函数是幂函数，且在上为增函数， 则，解得：，当时，，， 则，所以函数为奇函数，即充分性成立； “函数为奇函数”， 则，即， 解得：，故必要性不成立， 故选：A． 4. 函数的图象可能是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】求出函数的奇偶性，结合特殊区间的函数值正负，得到答案 【详解】的定义域为R， ， 故为奇函数，排除BC选项， 当时，，则， 又，，故，故， A选项满足要求，D选项错误. 5. 某制药企业为了响应并落实国家污水减排政策，加装了污水过滤排放设备，在过滤过程中，污染物含量M（单位：mg/L）与时间t（单位：h）之间的关系为：（其中为污染物初始含量，k是正常数）.已知经过1h，设备可以过滤掉20%的污染物，则过滤一半的污染物需要的时间最接近（ ） （参考数据：） A. 2h B. 3h C. 4h D. 5h 【答案】B 【解析】 【分析】先根据1小时过滤污染物的条件求出的值，再令剩余污染物为初始值的一半，将指数式转化为对数式，结合对数运算性质计算时间的近似值. 【详解】由题意，当时，剩余污染物为初始含量的， 代入得： ， 因为，所以. 当过滤掉一半污染物时，剩余污染物为，代入公式得 ， 因为，得. 所以， 又，所以 ，即所得值最接近. 6. 对于随机事件，若，，，则下列不正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】利用条件概率公式求得两事件积事件的概率，判断选项C，进而利用概率的性质、条件概率公式及对立事件的概念逐个选项判断即可. 【详解】由题意得，， 所以，C错； 所以，A正确； 又，B正确； 又，D正确. 7. 若函数在上单调递减，则实数的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】设，由复合函数的单调性可知，函数在上单调递减，且，再根据二次函数的性质即可求解. 【详解】设， 由题意可知，函数在上单调递减，且， 函数的对称轴为， 所以，解得. 故选：. 8. 已知，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据对数的运算性质，结合基本不等式能证明，由此能证明，再构造函数，，由，可得 ，则，由此能求出结果． 【详解】解：  ，，  ， ，等号取不到， ，  ，  ， ， 令， ∵，∴单调递减，且， ，可得  于是 ， ， 故选：A. 二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分. 9. 某人工智能公司近5年的利润情况如下表所示： 第年 1 2 3 4 5 利润／亿元 2 3 4 5 7 已知变量与之间具有线性相关关系，设用最小二乘法建立的回归直线方程为，则下列说法正确的是（ ） A. B. 变量与之间的线性相关系数 C. 预测该人工智能公司第6年的利润约为7.8亿元 D. 残差绝对值的最大值为0.4 【答案】ACD 【解析】 【分析】首先求出、，根据回归直线方程必过，即可求出，即可判断A；从而得到回归直线方程，根据与成正相关，即可得到相关系数，即可判断B；再令求出，即可预测第6年的利润，即可判断C，最后根据残差的定义求解判断D. 【详解】依题意，， 因为回归直线方程为必过样本中心点， 则，解得，故A正确； 回归直线方程为，则与成正相关，即相关系数，故B错误； 当时，，即该人工智能公司第6年的利润约为7.8亿元，故C正确； 当时，，残差绝对值为， 当时，，残差绝对值为， 当时，，残差绝对值为， 当时，，残差绝对值为， 当时，，残差绝对值为， 所以残差绝对值的最大值为0.4，故D正确； 故选：ACD. 10. 已知函数是定义在R上的奇函数，是偶函数，当，则下列说法中正确的有（ ） A. 函数关于直线对称 B. 4是函数的周期 C. D. 方程恰有4不同的根 【答案】ABD 【解析】 【分析】根据奇偶性的定义，结合函数的对称性，即可判断A的正误；根据题意，结合函数的周期性，可判断B的正误；根据函数的周期性，结合解析式，即可判断C的正误；分别作出和的图象，即可判断D的正误，即可得答案. 【详解】对于A：因为是偶函数， 所以，即 所以关于对称，故A正确. 对于B：因为， 所以， 所以，即周期，故B正确 对于C： 所以，故C错误； 对于D：因为，且关于直线对称， 根据对称性可以作出上的图象， 又，根据对称性，可作出上的图象， 又的周期， 作出图象与图象，如下图所示： 所以与有4个交点，故D正确. 故选： ABD 11. 如图，已知正方体的棱长为2，P是正方形（包括边界）底面内的一动点，则下列结论正确的有（ ） A. 三棱锥的体积为定值 B. 存在点P，使得 C. 若，则P点在正方形内的运动轨迹长度为 D. 若点P为的中点，点Q为的中点，过P，Q作平面平面，则平面截正方体所得截面的面积为 【答案】ACD 【解析】 【分析】利用等体积法判断A；建立空间直角坐标系，利用空间向量数量积判断B；确定轨迹并求出长度判断C；作出符合要求的正方体的截面并求出面积判断D. 【详解】对于A，在正方体中，平面平面， 则点P到平面距离为定值，的面积为定值，为定值，A正确； 对于B，建立如图所示的空间直角坐标系，则， 设，，， 不垂直，因此不存在点P，使，B错误； 对于C，连接，平面，平面，则，而， 又平面，则平面，又平面，则. 同理得，又平面，则平面， 由，得平面，又平面，因此点轨迹为平面 与底面交线，即为线段，又，C正确； 对于D，取中点为，连接，平面， 由平行于，平面，得，又，则平面， 又取中点为，则，有四点共面，则平面平面. 平面即为平面，设平面分别与交于， 由平面平面，平面，平面， 则，又都是中点，则是中点，同理是中点， 于是平面截正方体所得截面为正六边形，又正方体棱长为2，则， 所以截面面积为，D正确. 故选：ACD 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 设曲线的斜率为的切线为，则的方程为____________． 【答案】 【解析】 【分析】设出切点，求导，根据导数几何意义得到方程，求出，则，故切线方程，即. 【详解】设切线与函数的切点为， 故，所以在处的导数值为， 所以，又因为切点在函数上，即 所以切点为，所以切线方程，即 故答案为： 13. 某企业瓷砖生产线上生产的瓷砖某项指标，且，现从该生产线上随机抽取10片瓷砖，记表示的瓷砖片数，则______． 【答案】1 【解析】 【分析】由正态分布性质可求，结合二项分布定义确定的二项分布，根据二项分布的均值公式求结论. 【详解】因为，所以， 所以，又， 所以， 由已知， 所以. 故答案为：1. 14. 已知函数，若有三个零点，，，则实数a的取值范围为______；若，则的最大值为______. 【答案】 ①. ②. 【解析】 【分析】根据解析式画出大致图象，数形结合可得参数范围，进而有，且，，即可得，最后应用导数求最大值. 【详解】根据函数解析式，可得函数大致图象如下， 由有三个零点，则， 由，而，则， 又，则，， 则，且， 对于且，则， 当，，在上单调递增， 当，，在上单调递减， 所以， 综上，最大值. 故答案为：，. 四、解答题：本题共5小题，共77分. 15. 已知等比数列中，，. （1）求的通项公式； （2）记为的前n项和，若，求k. 【答案】（1） 或 . （2） . 【解析】 【分析】（1）利用等比数列通项公式建立关于公比q的方程，求出q后代入通项公式得到两种情况的通项； （2）分两种公比情况，分别写出等比数列前项和公式，令和等于求解正整数，舍去无解情形得到最终答案. 【小问1详解】 设公比为，由及得 ， 即，解得或或（舍）， 故通项或 . 【小问2详解】 若，，令，得 . 若，，令，化简得，无正整数解 . 综上. 16. 在某大学自主招生的面试中，考生要从规定的6道科学题，4道人文题共10道题中，随机抽取3道作答，每道题答对得10分，答错或不答扣5分，已知甲、乙两名考生参加面试，甲只能答对其中的6道科学题，乙答对每道题的概率都是，每个人答题正确与否互不影响. （1）求考生甲得分的分布列和数学期望； （2）求甲，乙两人中至少有一人得分不少于15分的概率. 【答案】（1） （2）. 【解析】 【分析】（1）根据题意分析，甲的得分情况可能为，利用超几何分布概率公式可得分布列，然后由期望公式可得； （2）根据乙答对题数服从二项分布可求得乙得分不少于15分的概率，先求两人得分都低于15分的概率，然后由对立事件的概率公式可得 . 【小问1详解】 设学生甲得分的所有取值为， ， ，. 所以甲得分的分布列为 -15 0 15 30 . 【小问2详解】 记事件:“甲得分不少于分”，记事件:“乙得分不少于分”． ， . 所以甲、乙两人中至少有一人得分大于等于分的概率为 . 17. 已知椭圆的左焦点为，离心率为. （1）求椭圆E的标准方程； （2）过椭圆E右焦点的直线l与椭圆E交于A，B两点，若，求直线l的方程. 【答案】（1） （2），或 【解析】 【分析】（1）根据椭圆焦点坐标特点，结合椭圆离心率公式进行求解即可； （2）根据一元二次方程根与系数的关系，利用转化法进行求解即可. 【小问1详解】 因为椭圆的左焦点为，离心率为， 所以， 所以椭圆E的标准方程为； 【小问2详解】 当直线l斜率为零时，此时A，B为左右顶点，不管A，B哪一个为左顶点，均不满足， 当直线l斜率不存在时，此时根据椭圆的对称性，显然不成立， 当直线l存在斜率且不为零时，设直线l的方程为， 于是有， 显然， 设，则有， 因为，所以，即， 因此由 ， 所以直线l的方程为，或， 化为一般式为，或. 18. 如图，平面，，，，，为的中点． （1）证明：； （2）求平面与平面夹角的余弦值； （3）设是棱上的点，若与所成角的余弦值为，求的长． 【答案】（1）证明：因为平面，，以为原点，为轴，为轴，为轴，建立空间直角坐标系，如图所示： 由已知可得，，，，， 因为为的中点，所以， 所以，， 所以， 所以， 所以. （2） （3） 【解析】 【分析】（1）建立坐标系，利用，即可证明； （2）分别求得平面与平面的法向量，利用法向量即可求解； （3）设，借助，求得值，即可求解. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 ，， 设平面的法向量，则 ，即，令得， 所以． 平面的法向量， 设平面与平面夹角为， ， 所以平面与平面夹角的余弦值为． 【小问3详解】 设且（）， ，则，，， 所以，所以，， 所以， 化简得， 解得或（舍）， 因为，所以． 19. 已知函数. （1）当 时，求函数的极值； （2）求函数的单调区间； （3）若对任意的实数 ，，曲线与直线总相切，则称函数是“函数”，当 时，若函数是“函数”，求 . 【答案】（1）极小值0，无极大值． （2）当时，的单调递减区间为，无递增区间； 当时，的单调递减区间为，单调递增区间为； （3） 【解析】 【分析】（1）求出导函数，利用导数求出函数的单调性区间，利用极值的定义求解即可； （2）利用导数与函数单调性间的关系，分类讨论求的单调区间即可； （3）利用“函数”的定义，结合导数的几何意义得，然后结合是方程的根，构造函数，利用导数与函数单调性间的关系得到，即可求解. 【小问1详解】 函数，， 当 时，，， 当时，，单调递减， 当时，，单调递增， 故有极小值，无极大值. 【小问2详解】 由（1）可知：当时，，在单调递减； 当时，令，得，， 所以，且为增函数， 当时，，在单调递减； 当时，，在单调递增； 综上， 当时，的单调递减区间为，无递增区间； 当时，的单调递减区间为，单调递增区间为； 【小问3详解】 当 时，函数是“函数”， 求导得， 设曲线与直线切点， 则，故，即， 所以且， 设，，易知，且是增函数， 当时，，单调递增，当时，，单调递减， 所以，所以是方程的根，且唯一， 所以． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025-2026学年第二学期高二年段期末考数学试卷 考试时间：120分钟 满分：150分 命题人：高二数学备课组 一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分. 1. 已知点M在z轴上，且点M到点与到点的距离相等，则点M的坐标为（ ） A. B. C. D. 2. 已知集合，则（ ） A. B. C. D. 3. “幂函数在上为增函数”是“函数为奇函数”的（ ）条件 A. 充分不必要 B. 必要不充分 C. 充分必要 D. 既不充分也不必要 4. 函数的图象可能是（ ） A. B. C. D. 5. 某制药企业为了响应并落实国家污水减排政策，加装了污水过滤排放设备，在过滤过程中，污染物含量M（单位：mg/L）与时间t（单位：h）之间的关系为：（其中为污染物初始含量，k是正常数）.已知经过1h，设备可以过滤掉20%的污染物，则过滤一半的污染物需要的时间最接近（ ） （参考数据：） A. 2h B. 3h C. 4h D. 5h 6. 对于随机事件，若，，，则下列不正确的是（ ） A. B. C. D. 7. 若函数在上单调递减，则实数的取值范围是（ ） A. B. C. D. 8. 已知，，则（ ） A. B. C. D. 二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分. 9. 某人工智能公司近5年的利润情况如下表所示： 第年 1 2 3 4 5 利润／亿元 2 3 4 5 7 已知变量与之间具有线性相关关系，设用最小二乘法建立的回归直线方程为，则下列说法正确的是（ ） A. B. 变量与之间的线性相关系数 C. 预测该人工智能公司第6年的利润约为7.8亿元 D. 残差绝对值的最大值为0.4 10. 已知函数是定义在R上的奇函数，是偶函数，当，则下列说法中正确的有（ ） A. 函数关于直线对称 B. 4是函数的周期 C. D. 方程恰有4不同的根 11. 如图，已知正方体的棱长为2，P是正方形（包括边界）底面内的一动点，则下列结论正确的有（ ） A. 三棱锥的体积为定值 B. 存在点P，使得 C. 若，则P点在正方形内的运动轨迹长度为 D. 若点P为的中点，点Q为的中点，过P，Q作平面平面，则平面截正方体所得截面的面积为 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 设曲线的斜率为的切线为，则的方程为____________． 13. 某企业瓷砖生产线上生产的瓷砖某项指标，且，现从该生产线上随机抽取10片瓷砖，记表示的瓷砖片数，则______． 14. 已知函数，若有三个零点，，，则实数a的取值范围为______；若，则的最大值为______. 四、解答题：本题共5小题，共77分. 15. 已知等比数列中，，. （1）求的通项公式； （2）记为的前n项和，若，求k. 16. 在某大学自主招生的面试中，考生要从规定的6道科学题，4道人文题共10道题中，随机抽取3道作答，每道题答对得10分，答错或不答扣5分，已知甲、乙两名考生参加面试，甲只能答对其中的6道科学题，乙答对每道题的概率都是，每个人答题正确与否互不影响. （1）求考生甲得分的分布列和数学期望； （2）求甲，乙两人中至少有一人得分不少于15分的概率. 17. 已知椭圆的左焦点为，离心率为. （1）求椭圆E的标准方程； （2）过椭圆E右焦点的直线l与椭圆E交于A，B两点，若，求直线l的方程. 18. 如图，平面，，，，，为的中点． （1）证明：； （2）求平面与平面夹角的余弦值； （3）设是棱上的点，若与所成角的余弦值为，求的长． 19. 已知函数. （1）当 时，求函数的极值； （2）求函数的单调区间； （3）若对任意的实数 ，，曲线与直线总相切，则称函数是“函数”，当 时，若函数是“函数”，求 . 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $